Реферат: Практическое применение теории игр

Оренбургскийгосударственный аграрный университет

Кафедра организациипроизводства и моделирования экономических систем

на тему:

«Практическоеприменение теории игр»

Оренбург –2006г.

Содержание

Введение

I. Теоретическиеосновы методов программирования

1. Динамическоепрограммирование

2. Теория игр

3. Сетевоепланирование и управление

4. Моделированиесистем массового обслуживания

II. Практическое применение теории игрв задачах моделирования экономических процессах

Заключение

Список литературы

Введение

Цельюданного реферативного исследования является рассмотрение решения задач с помощьюметодов: динамического программирования, теории игр, сетевого планирования иуправления и моделирование систем массового обслуживания. Актуальность даннойработы заключается в том, что с помощью этих методов можно облегчить условиятруда современному человеку. В приведенной ниже работе можно найти способырешения задач, которые часто встречаются в нашем обиходе: например, дляменеджера предприятия, для бухгалтеров, для отдела потребления и т.д.

Особоевнимание в данной работе уделено фактору сезонности в экономических процессах,приведения формул и примеров расчетов. Некоторые модели посвящены рассмотрениюряда прикладных задач маркетинга, менеджмента и других областей управления вэкономике: моделирование спроса и потребления, научное управление запасами, аналитическоемоделирование систем массового обслуживании, принятие решений на основе теорииигр.

Намоделях связанных с теорией игр я решила остановиться более подробно, так кактам представлены, на мой взгляд, более актуальные задачи: как сделать так, чтобыприрода работала на тебя, а не ты на неё, как получить набольшую выгоду илиучет твоих интересов конкурентом, или поставщиком, какой товар лучшепроизводить и т.д.

I. Теоретические основы методов программирования

1. Динамическое программирование

Динамическоепрограммирование — один из разделов оптимального программирования, в которомпроцесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные этапы(шаги).

Экономическийпроцесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития. Подуправлением понимается совокупность решений, принимаемых на каждом этапе длярешений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса.Например, выпуск продукции предприятием – управленческий процесс. Совокупностьрешений принимаемых в начале года (квартала и т.д.) по обеспечению предприятиясырьем, замене оборудования, финансированию и т.д., является управлением.Необходимо организовать выпуск продукции так, чтобы принятые решения наотдельных этапах способствовали получению максимально возможного объемапродукции или прибыли.

Динамическоепрограммирование позволяет свести одну сложную задачу со многими переменными комногим задачам с малым числом переменных. Это значительно сокращает объемвычислений и ускоряет процесс принятия управленческого решения.

Прирешении задачи этим методом процесс решения расчленяется на этапы, решаемыепоследовательно во времени и приводящие, в конечном счете, к искомому решению.Типичные особенности многоэтапных (многошаговых) задач, решаемых методомдинамического программирования, состоят в следующем:

Процессперехода производственно-экономической системы из одного состояния в другоедолжен быть марковским (процессом с отсутствием последействия). Это значит, чтоесли система находится в некотором состоянии Sn<sub/>/>Sn<sup/>, то дальнейшее развитие процессазависит только от данного состояния и не зависит от того, каким путем системаприведена в это состояние.

Процессдлится определенное число шагов N. Накаждом шаге осуществляется выбор одного управления un, под воздействием, которого системапереходит из одного состояния Sn<sub/>в другое Sn+1:<sub/>Sn/> Sn+1. Поскольку процесс марковский, то Sn = un (Sn) зависит только от текущегосостояния.

Каждыйшаг (выбор очередного решения) связан с определенным эффектом, который зависитот текущего со стояния и принятого решения: /> (Sn, Sn<sup/>).

Общийэффект (доход) за N шагов слагается из доходов на отдельных шагах, т.е.критерий оптимальности дол жен быть аддитивным (или приводящимся к нему).

Требуетсянайти такое решение un длякаждого шага (n = 1, 2, 3, ..., N), т.е. последовательность (u1, ..., uN), чтобы получить максимальный эффект (доход) за N шагов.

Вотличие от линейного программирования, в котором симплексный метод являетсяуниверсальным методом решения, в динамическом программировании такогоуниверсального метода не существует. Одним из основных методов динамическогопрограммирования является метод рекуррентных соотношений, который основываетсяна использовании принципа оптимальности, разработанного американскимматематиком Р. Беллманом. Принцип состоит в том, что, каковы бы ни былиначальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге,последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, ккоторому придет система в конце данного шага. Использование данного принципагарантирует, что управление, выбранное на любом шаге; не локально лучше, алучше с точки зрения процесса в целом.

Внекоторых задачах, решаемых методом динамического программирования, процессуправления разбивается на шаги. При распределении на несколько лет ресурсовдеятельности предприятия шагом целесообразно считать временной период; прираспределении средств между предприятиями — номер очередного предприятия. Вдругих задачах разбиение на шаги вводится искусственно. Например, непрерывныйуправляемый процесс можно рассматривать как дискретный, условно разбив, его навременные отрезки (шаги). Исходя из условий каждой конкретной задачи, длинушага выбирают таким образом, чтобы на каждом шаге получить простую задачуоптимизации и обеспечить требуемую точность вычислений.

Любаявозможная допустимая последовательность решений (u1, ..., uN) называется стратегией управления. Стратегия управления,доставляющая максимум критерию оптимальности, называется оптимальной.

Воснове общей концепции метода ДП лежит принцип оптимальности Беллмана:

Оптимальнаястратегия обладает таким свойством, что независимо от того, каким образомсистема оказалась в рассматриваемом конкретном состоянии, последующие решениядолжны составлять оптимальную стратегию, привязывающуюся к этому состоянию.Математически этот принцип записывается в виде рекуррентного соотношения ДП(РДП):

/>

/>,

где />— все допустимые управленияпри условии, что система находится в состоянии Sn;

/>(Sn, Sn<sup/>) — эффект от принятия решения un;

/> — эффект за оставшиеся n шагов.

Благодаряпринципу оптимальности удается при последующих переходах испытывать не всевозможные варианты, лишь оптимальные выходы. РДП позволяют заменить трудоёмкоевычисление оптимума по N переменным в исходной задаче решением N задач, вкаждой из которых оптимум годится лишь по одной переменной.

Имеетсяочень много практически важных задач, которые ставятся и решаются как задачи ДП(задачи о замене оборудования, о ранце, распределения ресурсов и т.д.)

Вкачестве примера построения РДП рассмотрим использование принципа оптимальностидля реализации математической модели задачи оптимального распределениянекоторого ресурса в объеме х:

/>

/>

/>

где xj — количество ресурса, используемое j-м способом;

/> — доход от применения способа j, j = 1, N .

Рекуррентныесоотношения, с помощью которых находится решение этой задачи, имеют вид:

/>

/>

/>/>

/>

2.Теория игр

При решенииэкономических задач часто анализировать ситуации, в которых сталкиваютсяинтересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих различные цели; этоособенно характерно в условиях рыночной экономики. Такого рода ситуацииназываются конфликтными.

Математическойтеорией конфликтных ситуаций является теория игр. В игре могутсталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная)противников; существуют игры с бесконечным множеством игроков. Если вомножественной игре игроки образуют коалицию, то игра называетсякоалиционной;если таких коалиций две, то игра сводится к парной.

Напромышленных предприятиях теория игр может применяться для выбора оптимальныхрешений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов,полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличение запасов,гарантирующих бесперебойную работу производства, сокращения запасов в целяхминимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр можетприменяться при решении таких экономических задач, как посева одной извозможных культур, урожай которой зависит от погоды, если известны цена единицытой или иной культуры и средняя урожайность каждой культуры в зависимости отпогоды (например, будет ли лето засушливы, нормальным или дождливым); в этомслучае одним выступает сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечитьнаибольший доход, а другим — природа.

Решениеподобных задач требует полной определенности формулировании их условий (правилигры); установления количества игроков, выявления возможных стратегийигроков, возможных выигрышей (проигрыш понимается как отрицательный выигрыш).Важным элементом в условии игровых задач является стратегия, т.е.совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяютоднозначный выбор действий данного игрока. Если в процессе игры игрок применяетпопеременно несколько стратегий, то такая стратегия называетсясмешанной,а ее элементы —чистыми стратегиями. Количество стратегий у каждогоигрока может быть конечным и бесконечным, в зависимости от этого игрыподразделяются на конечные и бесконечные.

Важнымиявляются понятия оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша.Эти понятия находят отражение в определении решения игры: стратегии Р* иQ* первого и второго игрокасоответственно называются их оптимальными стратегиями, а число V — ценой игры, если для любыхстратегий Р первого игрока и любых стратегий Q выполняются неравенства:/> гдеМ (Р,Q) означает математическое ожиданиевыигрыши (средней выигрыш) первого игрока, если первым и вторым игрокамиизбраны соответственно стратегии Р и Q.

Изнеравенств следует, в частности, что V = M (P*,Q*), т.е. цена игры равнаматематическому ожиданию выигрыша первого игрока, если оба игрока изберутоптимальные для себя стратегии.

Однимиз основных видов игр являются матричные игры, которыми называютсяпарные игры с нулевой суммой (один игрок выигрывает столько, сколькопроигрывает другой) при условии, что каждый игрок имеет конечное числостратегий. В этом случае парная игра формально задается матрицей А = (аij), элементы которой аij определяют выигрыш первого игрока (исоответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю стратегию (i = /> ),а второй —j-ю стратегию (j = />). Матрица А называется матрицейигры, или платежной матрицей.

Существуетряд методов решения матричных игр. Если матрица игры имеет одну изразмерностей, равную двум (у одного из игроков имеется только две стратегии),то решение игры может быть получено графически. Известно несколько методовприближенного решения матричной игры, например, метод Брауна. Во многих игровыхзадачах в сфере экономики неопределенность вызвана не сознательным противодействиемпротивника, а недостаточной осведомленностью об условиях, в которых действуютстороны.

Когдаодной из сторон выступает природа, когда неизвестно заранее погода, игрыназываются – играми с природой. В этих случаях строки матрицы игрысоответствуют стратегии игрока, а столбцы — состояниям «природы». В рядеслучаев при решении такой игры рассматривают матрицу рисков.

Прирешении игр с природой используется так же ряд критериев: критерий Сэвиджа,критерий Вальда, критерий Гурвица и др.

При максимальномкритерии Вальда оптимальным считается та стратегия лица, принимающегорешение, которая обеспечивает максимум минимального выигрыша; применяя этоткритерий, ЛПР в большей степени ориентируется на наихудшие условия (этоткритерий иногда называют критерием «крайнего пессимизма»).

Критерийминимаксного риска Сэвиджа предполагает, что оптимальной являетсята стратегия, при которой величина риска в наихудшем случае минимальна.

Прииспользовании критерия «пессимизм — оптимизма” Гурвица ЛПР выбираетнекоторый так называемый “коэффициент пессимизма» q; при q = 1критерий Гурвица приводится к критерию Вальда («крайнего пессимизма»), а прикритерию q=0 «крайнего оптимизма».

3.Модели сетевогопланирования и управления

Сетевоймоделью (другие названия: сетевой график, сеть) называетсяэкономико-математическая модель, отражающая комплекс работ (операций) исобытий, связанных с реализацией некоторого проекта (научно-исследовательского,производственного и др.), в их логической и технологической последовательностии связи. Анализ сетевой модели, представленной в графической или табличной(матричной) форме, позволяет, во-первых, более четко выявить взаимосвязи этаповреализации проекта и, во-вторых, определить наиболее оптимальный порядоквыполнения этих этапов в целях, например, сокращения сроков выполнения всегокомплекса работ. Таким образом, методы сетевого моделирования относятся кметодам принятия оптимальных решений.

Математическийаппарат сетевых моделей базируется на теории графов.

Графом называется совокупность двухконечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множествапар вершин, которые называются ребрами. Если рассматриваемые пары вершин являютсяупорядоченными, т. е. на каждом ребре задается направление, то граф называетсяориентированным; в противном случае — неориентированным.Последовательность неповторяющихся ребер, ведущая от некоторой вершины кдругой, образует путь. Граф называется связным, если для любыхдвух его вершин существует путь, их соединяющий; в противном случае граф называетсянесвязным. В экономике чаще всего используются два вида графов: дерево исеть. Дерево представляет собой связный граф без циклов, имеющий исходнуювершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним вершинамназываютсяветвями. Сеть — это ориентированный конечный связныйграф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток).Таким образом, сетевая модель представляет собой граф вида «сеть».

Вэкономических исследованиях сетевые модели возникают при моделированииэкономических процессов методам сетевого планирования и управления (СПУ).

Объектомуправления в системах сетевого планирования и управления являются коллективыисполнителей, располагающих определенными ресурсами и выполняющих определенный комплексопераций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например,разработку нового изделия, строительства объекта и т.п.

ОсновойСПУ является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупностьвзаимосвязанных работ и событий отображающих процесс достижения определеннойцели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы.

Основныепонятия СМ: событие, работа и путь. На рисунке графически представлена СМ,состоящая из 11 событий и 16 работ, продолжительность выполнения которыхуказана над работами.

Работахарактеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, илилогическое, требующее взаимосвязи событий. При графическом представлении работаизображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается паройзаключенных в скобки чисел (i, j), где i — номер события, из которого работа выходит, а j – номер события, в которое онавходит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого онавыходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность t (i, j). Например,запись t (2,5) = 4 означает, что работа имеетпродолжительность 5 единиц. К работам относятся такие процессы, которые нетребуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлениилогической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственнозависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаютсяпунктирными стрелками.

/>

Рис.Сетевая модель

Событияминазываются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженностиво времени. Событие свершается в тот момент, когда оканчивается последняя изработ, входящая в него. События обозначаются одним числом и при графическом представленииСМ изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которогопроставляется его порядковый номер (i = 1, 2, ..., N). В СМ имеетсяначальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечноесобытие (с номером N), в котороеработы только входят.

Путь— это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечнуювершины, например, в приведенной выше модели путями являются L1 = (1, 2, 3, 7, 10, 11), L2= (1, 2, 4, 6, 11) и др. Продолжительность путиопределяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющиймаксимальную длину, называют критическим и обозначают Lкр, а его продолжительность — tкр. Работы, принадлежащие критическомупути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срывусроков всего комплекса работ.

СМимеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженностивыполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение оперераспределении ресурсов. Однако перед расчетом СМ следует убедиться, что онаудовлетворяет следующим основным требованиям:

1.События правильно пронумерованы, т. е. для каждой работы (i,j) i <j (см. на рис. работы (4,3) и (3,2)).При невыполнении этого требования необходимо использовать алгоритмперенумерации событий, который заключается в следующем:

нумерациясобытий начинается с исходного события, которому присваивается № 1;

изисходного события вычеркивают все исходящие из него работы (стрелки), и наоставшейся сети находят событие, в которое не входит ни одна работа, ему иприсваивают № 2;

затемвычеркивают работы, выходящие из события № 2, и вновь находят событие, вкоторое не входит ни одна работа, и ему присваивают № 3, и так продолжается дозавершающего события, номер которого должен быть равен количеству событий в сетевомграфике;

еслипри очередном вычеркивании работ одновременно несколько событий не имеютвходящих в них работ, то их нумеруют очередными номерами в произвольномпорядке.

2.Отсутствуют тупиковые события (кроме завершающего), т. е. такие, за которыми неследует хотя бы одна работа (событие 5);

3.Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя быодна работа (событие 7);

4.Отсутствуют циклы, т. е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим(см. путь (2,4,3)).

При невыполненииуказанных требований бессмысленно приступать к вычислениям характеристиксобытий, работ и критического пути. Для событий рассчитывают трихарактеристики: ранний и поздний срок совершения события, а также его резерв.

Раннийсрок свершениясобытия определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходногодо рассматриваемого события, причем />tp<sub/>(N)= tкр(L):

/>

Позднийсрок свершениясобытия характеризует самый поздний допустимый срок, к которому должносовершиться событие, не вызывая при этом срыва срока свершения конечного события:

/>

Этотпоказатель определяется «обратным ходом», начиная с завершающего события, сучетом соотношения t.п(N) = tp(N). Все события, за исключением событий, принадлежащихкритическому пути, имеют резерв R(i):

/>

Полныйрезерв времени показывает, на сколько можно увеличить время выполненияконкретной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ неизменится.

Независимыйрезерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работызаканчиваются в поздние сроки, а все последующие — начинаются в ранние сроки.Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени другихработ.

Путьхарактеризуется двумя показателями — продолжительностью и резервом.Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих егоработ. Резерв определяется как разность между длинами критического ирассматриваемого путей. Из этого определения следует, что работы, лежащие накритическом пути, и сам критический путь имеют нулевой резерв времени. Резерввремени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ»составляющих данный путь, без изменения продолжительности общего срокавыполнения всех работ.

4.Моделирование систем массовогообслуживания

Многиеэкономические задачи связаны с системами массового обслуживания (СМО), т. е.такими системами, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы(требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой — происходитудовлетворение этих запросов. СМО включает в себя следующие элементы: источниктребований, входящий поток требований, очередь, обслуживающие устройства(каналы обслуживания), выходящий поток требований. Исследованием таких системзанимается теория массового обслуживания.

Методамитеории массового обслуживания могут быть решены многие задачи исследованияпроцессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методыпозволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля,численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другим характернымпримером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовыхорганизаций, и задача теории массового обслуживания в данном случае сводитсятому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базутребований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарныерасходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными.Теория массового обслуживания может найти применение и при расчете площадискладских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающееустройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку — как требования.Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задачорганизации и нормирования труда, других социально-экономических проблем.

Системымассового обслуживания могут быть классифицированы по ряду признаков.

1. Взависимости от условий ожидания начала обслуживания различают:

• СМОс потерями (отказами),

• СМОс ожиданием.

В СМОс отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживаниязаняты, получают отказ и теряются. Классическим примером системы с отказамиявляется телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование насоединение с ним получает отказ и теряется.

В СМОс ожиданием требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится вочередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов.

СМО,допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называютсясистемами с ограниченной длинной очереди.

СМО,допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования вней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

2. Почислу каналов обслуживания СМО делятся на:

одноканальные;

многоканальные.

3. Поместу нахождения источника требований МО делятся на:

— разомкнутые, когда источник требования находится вне системы;

— замкнутые,когда источник находится в самой системе.

Примеромразомкнутой системы может служить ателье по ремонту телевизоров. Здесьнеисправные телевизоры — это источник требований на их обслуживание, находятсявне самой системы, число требований можно считать неограниченным. К замкнутымСМО относится, например, станочный участок, в котором станки являютсяисточником неисправностей, а следовательно, источником требований на ихобслуживание, например, бригадой наладчиков

Возможныи другие признаки классификации СМО, например, по дисциплине обслуживания,однофазные и многофазные СМО и др.

Методыи модели, применяющиеся в теории массового обслуживания, можно условноразделить на аналитические имитационные.

Аналитическиеметоды теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системыкак некоторые функции параметров её функционирования. Благодаря этомупоявляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторовна эффективность работы СМО. Имитационные методы основаны на моделированиипроцессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если, невозможноприменение аналитических моделей. Далее будем рассматривать аналитические методмоделирования СМО.

Внастоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практическихприложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящийпоток требований является простейшим (пуассоновским).

Дляпростейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется законуПуассона, т.е. вероятность поступления за время t ровно kтребований задается формулой:

/>

Простейшийпоток обладает тремя основными свойств ординарности, стационарности иотсутствием последствия.

Ординарностьпотока означает практическую невозможность одновременного поступления двух иболее требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что изгруппы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут изстроя сразу несколько станков.

Стационарнымназывается поток, для которого математическое ожидание числа требований,поступающих в систему в единицу времени (обозначим />),не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в системуопределенного количества требований в течение заданного промежутка времени />t зависит от его величины и не зависит от начала его отсчетана оси времени.

Отсутствиепоследействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того сколькотребований поступит в систему за промежуток времени от t до t+/>t.

Важнаяхарактеристика СМО — время обслуживания требований в системе. Времяобслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и,следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшеераспространение в теории и особенно в практических приложениях получилэкспоненциальный закон распределения

времениобслуживания. Функция распределения для этого она имеет вид:

/>

т.е.вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой, где /> — параметрэкспоненциального закона распределения времени обслуживания требований всистеме, т.е. величина, обратная среднему времени обслуживания />:

/>/>

Рассмотриманалитические модели наиболее распространенных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО,в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналызаняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

Общаяпостановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременнообслуживать только одно требование.

Всистему поступает простейший (пуассоновский) поток лини с параметром />. Если в момент поступленияочередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты),то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

Времяобслуживания каждого требования /> —случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределенияс параметром />.

СМО сожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. Кзамкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает всамой системе и ограничен.

Еслипитающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называютсяразомкнутыми. Отмеченные особенности функционирования этой системы. Расчетхарактеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчетавероятностей состояний СМО (так называемы формулы Эрланга).

Рассмотрималгоритмы расчета показателей качества функционирования разомкнутой системымассового обслужит с ожиданием.

Приизучении таких систем рассчитывают различны показатели эффективностиобслуживающей системы. В качестве/> основныхпоказателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты,математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициентзанятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введемв рассмотрение параметр />. Заметим,что если />, то очередь не может растибезгранично. Это условие имеет следующий смысл: /> —среднее число требований, поступающих за единицу времени, /> -время обслуживания однимканалом одного требования. Тогда />—среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицувремени все поступившие требования. Поэтому условие /> <1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше числа каналов,необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившиетребования. Важнейшие характеристики работы СМО:

1.Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

/>

2.Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находятсяна обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:

/>Po<sub/>где />

3.Вероятность того, что в системе находится k требований в случаи, когда их число больше числаобслуживающих каналов:

/> где />

4.Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

/>

5.Среднеевремя ожидания требованием начала обслуживания в системе:

/>

6.Средняядлина очереди:

/>

7.Среднеечисло свободных от обслуживания каналов:

/>

8.Коэффициентпростоя каналов:

/>.

9.Среднеечисло занятых обслуживанием каналов:

/>

10.Коэффициентзагрузки каналов:

/>

Перейдемк рассмотрению алгоритмов расчета характеристик функционирования замкнутых СМО.Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие:поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживанияодновременно не может находиться больше m требований (m —число обслуживаемых объектов).

Закритерий, характеризующий качество функционирования рассматриваемой системы,выберем отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований,находящихся одновременно в обслуживающей системе — коэффициент простоя обслуживаемогообъекта. В качестве другого критерия возьмем отношение среднего числа незанятыхобслуживающих каналов к их общему числу — коэффициент простоя обслуживаемогоканала.

Первыйиз названных критериев характеризует потери времени из-за ожидания началаобслуживания; второй показывает полноту загрузки обслуживающей системы.

Очевидно,что очередь может возникнуть, лишь когда число каналов меньше наибольшего числатребований, находящихся одновременно в обслуживающей системе (n < m).

Приведемпоследовательность расчетов характерней замкнутых СМО и необходимые формулы.

1.Определим параметр /> — показательзагрузки системы, т.е. математическое ожидание числа требований поступающих всистему за время, равное средней длительности обслуживания (/> ).

2.Вероятность того, что занято kобслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системене превосходит числа обслуживающих каналов системы:

/>

3.Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числаобслуживающих каналов:

/>

4.Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны, определим, используяочевидное условие:

/>, откуда />.

ВеличинуРо можно получить также путем подстановки в равенство /> значения />, в которых Ро вводитсомножителем. Подставляя их, получаем следующее уравнение для определения Ро:

/>,

откуда

/>

5.Среднеечисло требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди),

/>

или

/>.

6.Коэффициентпростоя обслуживаемого требования ( объекта)

/>.

7. Среднеечисло требований, находящихся в обслуживающей системе, обслуживаемых иожидающих обслуживания:

/>

или

/>

8.Среднеечисло свободных обслуживающих каналов

/>.

9.Коэффициентпростоя обслуживающего канала:

/>

II. Практическое применение теории игр в задачах моделированияэкономических процессах

Пример №1

Набазе торговой фирмы имеется nтипов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезентолько один из этих типов товара. Если товар типа j/> будет пользоваться спросом, то магазин от егореализации получит прибыль />. Еслиже этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранениепринесут магазину убыток />.Требуетсявыбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин.

Вусловиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуациятовароснабжения формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок — магазин,второй игрок — покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по n стратегий. Завоз i-го товара — i-я. стратегия первого игрока, спрос на j-й товар — j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первогоигрока имеет вид квадратной матрицы n-го порядка:

/>

Пример №2

Матрица игры имеет вид:

/>

Минимальныйэлемент первой строки (первой стратегии первого игрока) равен 2, второй — 5,третьей — 4; максимальное значение из этих величин равно 5. Максимальныйэлемент первого столбца (первой стратегии второго игрока) равен 10, второго —10; третьего — 5, четвертого — 14, пятого — 12; минимальное значение из нихравно 5. Следовательно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задачаразрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй стратегии, первый игрокобеспечивает себе выигрыш, не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третьюстратегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии j = 2 и j = 3являются оптимальными для первого и второго игроков, при этом цена игры V = 5.

Пример№3

Диспетчеравтобусного парка (ЛПР) в месяцы в конце каждой недели должен принять решение оцелесообразности выделения дополнительных автобусов на загородный маршрут. ЛПРимеет три варианта решений: увеличить количество автобусов на 10 (стратегия />) увеличить это количествона 5 (стратегия Р2) или оставить без изменения обычное числоавтобусов на линии (стратегия Р3). Возможны два состояния погоды: —Q1 плохая погода,Q2 — хорошая погода, причем в момент принятия решения нетвозможности определить ожидаемое состояние погоды. Если в выходные дни будетхорошая погода и много желающих выехать за город, а выделено мало автобусов, топарк понесет убытки, связанные с недополученной прибылью. Если же выделеныдополнительные автобусы, а погода окажется плохой, то возникнут потеривследствие эксплуатации незаполненных автобусов.

Пусть,на основе анализа статистических данных за определенный период установленафункция потерь для возможных комбинаций состояний природы и решений ЛПР в видематрицы игры А (Рi,Qi), в которой отрицательные значения показываютдополнительную прибыль, а положительные – потери:

Q1 Q2

/>

Еслинет сведений о вероятностях различных состояний погоды, то по критерию Вальда ипо критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия Р2. По критериюГурвица при “коэффициенте пессимизма” q=1 оптимальной окажется стратегия Р2, а при q=0 — стратегия Р1.

Пример№4

Швейноепредприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукциючерез фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. Но даннымпрошлых наблюдений предприятие в течении апреля — мая в условиях теплой погодыможет реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде 1000костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течениеуказанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а ценареализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб. (цифры условные).

Задачазаключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукциис учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом,служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегиюпредприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход. Решимэту задачу методами теории игр, игра в этом случае будет относиться к типу игрс природой.

Предприятиерасполагает в этих условиях двумя чистыми стратегиями: стратегия А — в расчетена теплую погоду и стратегия Б — в расчете на холодную погоду. Природу будимрассматривать как второго игрока также с двумя стратегиями: прохладная погода(стратегия В) и теплая погода (стратегия Г). Если предприятие выберет стратегиюА, то в случае прохладной погоды (стратегия природы В) доход составит

600(48- 27) + 625(16 — 8) — (1975 — 625)8 = 6 800 руб.,

а вслучае теплой погоды (стратегия природы Г) доход равен

600(48- 27) + 1 975(16 — 8) = 28 400 руб.

Еслипредприятие выберет стратегию Б, то реализация продукции в условиях прохладнойпогоды даст доход

1000(48 — 27) + 625(16 — 8) = 26 000 руб.,

а вусловиях теплой погоды

600(48- 27) + 625(16 — 8) — (1 000 — 600)27 = 6 800

Следовательно,матрица данной игры (платежная матица) имеет вид:

/>

Перваяи вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, апервый и второй стратегиям В и Г природы.

Поплатежной матрице видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получитдоход меньше 6800. Но если погодные условия совпадают с выбранной стратегией,то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400. Отсюда можно сделать вывод,что в условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доходпредприятие обеспечит, если будет попеременно применять то А, то стратегию Б.Такая стратегия называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволитпервому игроку всегда получать выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пустьх означает частоту применения первым игроком стратегии А, тогда частотаприменения им стратегии Б равна (1 — х). В случае оптимальной смешаннойстратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии В (холоднаяпогода), и при стратегии Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход:

6800х+ 26 000(1 — х) = 28 400х + 6800(1 — х).

Отсюдаможно найти, что х — 8/17; 1 — х = 9/17.

Следовательно,первый игрок, применяя чистые стратеги А и Б в соотношении 8:9, будет иметьоптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае среднийдоход в сумме

6800-8/17+ 26000-9/17 /> 16965 руб.; эта величина ибудет в данном случае ценой игры.

Легкорассчитать, какое количество костюмов и платьев должно выпускать предприятиепри оптимальной стратегии:

(600костюмов + 1975 платьев)*8/17 + (1000 костюмов + 625 платьев)*9/17 = 812костюмов + 1260 платьев.

Следовательно,оптимальная стратегия предприятия заключи в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев,что обеспечит три любой погоде средний доход в сумме 16 965 руб.

Заключение

Наосновании выше изложенного материала можно сделать вывод о том, что особоевнимание при исследовании экономико-математических методов необходимо уделятьследующим моментам:

—  факторусезонности в экономических процессах;

—  приведению формули примеров расчетов;

—  рассмотрению рядаприкладных задач маркетинга, менеджмента и других областей управления вэкономике;

—  моделированиюспроса и потребления;

—  научномууправлению запасами;

—  анализу сетевогопланирования и управления;

—  анализудинамического программирования;

—  аналитическомумоделированию систем массового обслуживания;

—  принятию решенийна основе теории игр.

Таккак я в своей работе особое внимание уделила теории игр, то, после рассмотренияее более подробно, и в этой конкретной области можно сделать определенныевыводы. Здесь представлены, на мой взгляд, более актуальные задачи:

—  как сделать так,чтобы природа работала на тебя, а не ты на неё;

—  как получить набольшуювыгоду или учет твоих интересов конкурентом, или поставщиком;

—  какой товар лучшепроизводить и т.д.

Списокиспользуемой литературы

1. Экономико-математическиеметоды и прикладное моделирование / В.В. Федосеев. – М.: ЮНИТИ, 2002. — 391 с.

2. Математическоемоделирование макроэкономических процессов / А.Н. Котов. – Л.: ЛГУ, 1980

3. Основыэкономико-математического моделирования / Ю.Г. Семенов.1976

4. Экономико-математическиеметоды / Л.Л. Терехов.– М.: Статистика–1972