Реферат: Экономико-математические методы

Задача 1

 

В базе данных магазина, торгующегоподержанными автомобилями, содержится информация об их потребительскихсвойствах и ценах.

Для анализа зависимости ценыавтомобиля Y от его возраста X1 и мощностидвигателя X2 из базы данных выбраны сведения о 16автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер автомобиля i

Цена (тыс.у.е.) yi

Возраст (лет) xi1

Мощность двигателя (л.с.)xi2

1 6,8 6,0 93 2 7,2 4,0 67 3 4,3 6,0 57 4 10,0 4,0 106 5 9,7 5,0 108 6 12,4 4,0 136 7 12,9 4,0 143 8 6,6 7,0 127 9 11,2 3,0 93 10 11,2 4,0 111 11 8,3 6,0 124 12 5,6 6,0 81 13 5,6 6,0 71 14 6,4 6,0 88 15 5,3 7,0 112 16 4,0 7,0 88

2. Множественная зависимость

С помощью коэффициентов парной корреляциипроанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, атакже между ценойи мощностью двигателя. Проверить их значимость снадежностью 0,9.

Методом наименьших квадратов найтиоценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

/>.

Проверить статистическую значимостьпараметров и уравнениямножественной регрессии снадежностью 0,9.

Рассчитать точечный и интервальныйпрогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью0,95.

3.Экономическая интерпретация

На основе полученных статистическиххарактеристик провести содержательный экономический анализ зависимости ценыавтомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Расчетнаятаблица:

№ y

X1

x2

x12

x22

y*x1

y*x2

y2

x1x2

1 6,8 6 93 36 8649 40,8 632,4 46,2 558 2 7,2 4 67 16 4489 28,8 482,4 51,8 268 3 4,3 6 57 36 3249 25,8 245,1 18,5 342 4 10,0 4 106 16 11236 40,0 1060,0 100,0 424 5 9,7 5 108 25 11664 48,5 1047,6 94,1 540 6 12,4 4 136 16 18496 49,6 1686,4 153,8 544 7 12,9 4 143 16 20449 51,6 1844,7 166,4 572 8 6,6 7 127 49 16129 46,2 838,2 43,6 889 9 11,2 3 93 9 8649 33,6 1041,6 125,4 279 10 11,2 4 111 16 12321 44,8 1243,2 125,4 444 11 8,3 6 124 36 15376 49,8 1029,2 68,9 744 12 5,6 6 81 36 6561 33,6 453,6 31,4 486 13 5,6 6 71 36 5041 33,6 397,6 31,4 426 14 6,4 6 88 36 7744 38,4 563,2 41,0 528 15 5,3 7 112 49 12544 37,1 593,6 28,1 784 16 4,0 7 88 49 7744 28,0 352,0 16,0 616 Сумма 127,5 85 1605 477 170341 630,2 13510,8 1141,9 8444

Коэффициентыпарной корреляции:

/> = /> = -0,833

/> = />= 0,665

Проверказначимости:

/>

/>(по таблице).

/> = 5,63 >1,761

/> = 3,33 >1,761

Коэффициентыкорреляции существенно отличаются от 0.

Найдемматрицы:

/> = />

/> =/>

Найдемматрицу />,обратную к матрице />.Определитель

|XTX|= 16 * 477 * 170341 + 85 * 8444 * 1605 + 1605 * 85 * 8444 – 1605 * 477 * 1605 –85 * 85 * 170341 – 16 * 8444 * 8444 = 3692086

Алгебраическиедополнения:

D11= (–1)1 + 1/> = 477 * 170341– 84442 = 9951521 и т.д.

Матрицаалгебраических дополнений

/> =/>

Присоединеннаяматрица

(XTX)*= DT = /> = D

(матрицаD симметрична).

(XTX)–1= (XTX)* / |XTX| = />/> = />

Вектороценок коэффициентов модели:

A = (XTX)-1 (XTY) =/>/> = />

Y = 10,455 – 1,650x1+ 0,063x2

Расчетнаятаблица:

№ y

x1

x2

/>

y — />

(y — />)2

y — />

(y — />)2

1 6,8 6,0 93,0 6,38 0,42 0,179 -1,2 1,4 2 7,2 4,0 67,0 8,05 -0,85 0,721 -0,8 0,6 3 4,3 6,0 57,0 4,12 0,18 0,031 -3,7 13,5 4 10,0 4,0 106,0 10,49 -0,49 0,241 2,0 4,1 5 9,7 5,0 108,0 8,97 0,73 0,539 1,7 3,0 6 12,4 4,0 136,0 12,37 0,03 0,001 4,4 19,6 7 12,9 4,0 143,0 12,81 0,09 0,009 4,9 24,3 8 6,6 7,0 127,0 6,86 -0,26 0,065 -1,4 1,9 9 11,2 3,0 93,0 11,33 -0,13 0,016 3,2 10,4 10 11,2 4,0 111,0 10,80 0,40 0,157 3,2 10,4 11 8,3 6,0 124,0 8,32 -0,02 0,000 0,3 0,1 12 5,6 6,0 81,0 5,63 -0,03 0,001 -2,4 5,6 13 5,6 6,0 71,0 5,00 0,60 0,361 -2,4 5,6 14 6,4 6,0 88,0 6,06 0,34 0,113 -1,6 2,5 15 5,3 7,0 112,0 5,92 -0,62 0,379 -2,7 7,1 16 4,0 7,0 88,0 4,41 -0,41 0,171 -4,0 15,8 Сумма 127,5 2,985 125,9

Остаточнаядисперсия

S2 = ∑ (yi — />i)2 /(n – m – 1) = 2,985 / (16 – 2 – 1) = 0,230

Ковариационнаяматрица:

S2(XTX)-1= 0,230 * /> =/>

Стандартныеошибки коэффициентов равны квадратным корням из диагональных элементовковариационной матрицы:

S0= /> =0,787

S1 = /> =0,096

S2= /> = 0,005

Проверимзначимость параметров регрессии.

Табличноезначение

t1 – α/2, n – 3 = 1,77

t0= |a0| / S0=10,455 / 0,787 = 13,3 > 1,77

t1 = |a1| / S1 =1,650 / 0,096 = 17,1 > 1,77

t2 = |a2| / S2 =0,063 / 0,005 = 12,4 > 1,77

Всепараметры значимы.

Коэффициентдетерминации

/> = 1 – 2,985 /125,9 = 0,976

Табличноезначение критерия Фишера

Fт= 3,8

Расчетноезначение

Fф= /> =/> = 267,7 > 3,8

Уравнениезначимо.

Точечныйпрогноз:

/>(xp)= 10,455 – 1,650 * 3 + 0,063 * 165 = 15,83 тыс. у.е.

Интервальныйпрогноз

/>

Квантильраспределения Стьюдента (по таблице)

/> =t0,975; 13 = 2,16

/>

гдеS = /> = /> = 0,479

xp (XTX)-1(xp)T= />/>/> = /> /> = 0,633

/> =0,479 * /> = 0,381

/>В, Н= 15,83 ± 2,16 * 0,381 = 15,83 ± 0,68

/>Н= 15,15

/>В= 16,51

3. Экономическая интерпретация. Междувозрастом автомобиля и его ценой существует тесная отрицательная связь(коэффициент корреляции –0,833): при увеличении возраста на 1 год (прификсированной мощности двигателя) цена падает в среднем на 1,650 тыс. усл. ед.

Междумощностью двигателя и ценой автомобиля существует менее тесная положительнаясвязь (коэффициент корреляции 0,665): при увеличении мощности на 1 л.с. (прификсированном возрасте автомобиля) цена увеличивается в среднем на 0,063 тыс.усл. ед.

Свероятностью 0,95 можно утверждать, что цена автомобиля при возрасте 3 года имощности двигателя 165 л.с. будет находиться в пределах от 15,15 до 16,51 тыс.усл. ед.

Задача 3

 

1.Для регрессионной модели

/> и

спомощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствиеавтокорреляции на уровне значимости 0,05.

2.Для регрессионной модели

/>

проверитьналичие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:

а)парный коэффициент корреляции;

б)критерий «хи-квадрат» χ2 на уровне значимости 0,05.

Расчетнаятаблица:

№

et

et-1

et — et-1

(et — et-1)2

(et)2

2 -0,85 0,42 -1,27 1,62 0,72 3 0,18 -0,85 1,03 1,05 0,03 4 -0,49 0,18 -0,67 0,45 0,24 5 0,73 -0,49 1,22 1,50 0,54 6 0,03 0,73 -0,70 0,49 0,00 7 0,09 0,03 0,06 0,00 0,01 8 -0,26 0,09 -0,35 0,12 0,07 9 -0,13 -0,26 0,13 0,02 0,02 10 0,40 -0,13 0,52 0,27 0,16 11 -0,02 0,40 -0,41 0,17 0,00 12 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 0,00 13 0,60 -0,03 0,63 0,39 0,36 14 0,34 0,60 -0,26 0,07 0,11 15 -0,62 0,34 -0,95 0,91 0,38 16 -0,41 -0,62 0,20 0,04 0,17 Сумма 7,11 2,81

СтатистикаДарбина-Уотсона

/> = 7,11 / 2,81 =2,53

Табличныезначения при n = 16, m= 2

dl = 0,98; du= 1,54

Таккак 4 – du< d < 4 – dl,вопрос о наличии автокорреляции остается открытым (область неопределенностикритерия).

Найдемкоэффициентпарной корреляции между объясняющими переменными.

r12= /> =-0,169

Проверимзначимость коэффициента корреляции.

/> = /> = 0,643 < 1,761

Коэффициентнезначим, т.е. мультиколлинеарность не имеет места.

Определительматрицы коэффициентов парной корреляции:

Det (r)= /> =1 – 0,1692 = 0,971

Табличноезначение статистики для df=1 и α = 0,05 равно

χ21;0,05= 3,84.

Фактическоезначение статистики

/> =- (16 – 1 – (2 * 2 + 5) / 6) ln0,971 = 0,39 < 3,84

Мультиколлинеарностьне имеет места, т.е. линейной зависимости между объясняющими переменными(возрастом автомобиля и мощностью двигателя) не существует. Это свидетельствуето надежности оценок параметров модели.