Реферат: Экономико-математическое моделирование производства

1. Совхоз для кормленияживотных использует два вида корма. В дневном рационе животного должносодержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единицпитательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно наодно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Питательное вещество Количество питательных веществ в 1 кг корма 1 2

А

В

2

2

1

4

Цена 1 кг корма, тыс. руб. 0,2 0,3

Построитьэкономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ееэлементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решатьзадачу на максимум, и почему?

Решение:

Введем обозначения:

Х1 – количество корма 1вида;

Х2 – количество корма 2вида.

Целевая функция – F = 0,2 х1 + 0,3 х2

Ограничения: 2х1+1х2≥6

2х1+4х2≥12

х1, х2≥0

Решим задачу графическимспособом

Первое ограничение имеетвид 2х1+1х2≥6, найдем пересечение с осями координат

Х1 3 Х2 6

Второе ограничение2х1+4х2≥12, найдем пересечения с осями координат

Х1 6 Х2 3

Для определения направлениядвижения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с1; с2),координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с(0,2;0,3).

Этот вектор показываетнаправление наискорейшее изменение функции.

Прямая f(х) = 0,2х1 + 0,3х2 = а1,перпендикулярная вектору – градиенту, является линией уровня целевой функции.

Для нахождения координатточки максимума решаем систему

2х1 + х2 = 6

/>2х1 + 4х2 =12

-3х2 = -6

/>х2 = 2

2х1+2=6

2х1 =4

/>х1 =2

Ответ: (2;2)

Fmin = 0,2*2+0,3*2=0,4+0,6=1

График:

Ответ: чтобы затраты былиминимальными необходимо расходовать 2ед. первого корма и 2 ед. второго корма.

Если данную задачу решатьна максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограниченасверху, т. е Fmax=+∞

2. Для изготовления четырехвидов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода ицены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

тип сырья норма расхода сырья на одно изделие запасы сырья А Б В Г 1 1 2 1 180 2 1 3 2 210 3 4 2 4 800 цена изделия 9 6 4 7

Требуется:

1. Сформулировать прямуюоптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции,получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулироватьдвойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теориидвойственности.

3. Пояснить нулевыезначения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойствдвойственных оценок и теорем двойственности:

—  Проанализироватьиспользования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

—  Определить, какизменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья 2 и 3видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасовсырья 1 вида;

—  Оценитьцелесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовлениекоторой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Сформулируем экономико– математическую модель задачи.

Переменные:

х1 — количествоединиц продукции А,

х2 — количествоединиц продукции Б,

х3 — количествоединиц продукции В,

х4 — количествоединиц продукции Г.

Целевая функция: F=9х1+6х2+4х3+7х4→max,

Цель максимизироватьвыручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

/>По 1 типу ресурса:     1х1+0х2+2х3+1х4≤180,

По 2 типу ресурса:     0х1+1х2+3х3+2х4≤210,

По 3 типу ресурса:     4х1+2х2+0х3+4х4≤800,

По смыслу х1; х2; х3; х4≥0.

Решение задачи выполним спомощью надстройки Excel ПоискРешения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решениеозначает, что максимальную выручку 2115 ден. ед., можем получит при выпуски 95ед. продукции А и 210 ед. продукции Б. При этом ресурсы 2 и 3 типа будутиспользоваться полностью, а из 180 ед. сырья 1 типа будет использоваться 95 ед.сырья.

Сформулируемэкономико–математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценкаресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценкаресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценкаресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функциядвойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общаястоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b1*y1+b2*y2+…→min

G=180у1+210у2+800у3→min

В исходной задачи четырепеременных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

/>по виду продукции А:    1у1+0у2+4у3≥9,

по виду продукции Б:     0у1+1у2+2у3≥6,

по виду продукции В:     2у1+3у2+0у3≥4,

по виду продукции Г:     1у1+2у2+4у3≥7

по смыслу у1;у2; у3≥0

2. Найдем оптимальныйплан двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- yi*(∑aij*xj-bi)=0

у1*(1х1+0х2+2х3+1х4-180)=0

у2*(0х1+1х2+3х3+2х4-210)=0

у3(4х1+2х2+0х3+4х4-800)=0

Если х=(95;210;0;0), то

у1(95-180)=0, т.к. 95<180=>у1=0

у2(210-210)=0

у3(4*95+2*210-800)=0

хj(∑aij*уi-cj)=0, если хj>0,то ∑aijуi=cj

/>/>х1=95>0=>                у1+4у3=9                                          у3=9/4=2,25

х2=210=>                  у2+2у3=6                                          у2=6-2*9/4=1,5

                                  у1=0                                                   у1=0

Результат: Оптимальныйплан у=(0;1,5;2,25)

F(х)=2115

G(y)=180*0+210*1,5+800*2,25=315+1800=2115=>первая теорема одвойственности f(х)=g(у) выполняется.

3. Поясним нулевыезначения переменных хiв оптимальном плане.

Если ∑ aijуi>сj, то хj=0

У насх3=0, х4=0=>затраты на изделия В и Г превышают цену (См. отчет поустойчивости в столбце нормируемая стоимость).

4. а) Анализиспользования ресурсов в оптимальном плане

Если уi>0, то ∑ aijxj<sub/>= bi, i=1,….,m,

Если ∑ aijxj<sub/>< b<sub/>, то уi<sub/>=0, i=1,….,m.

У2=1,5; у3=2,25=>сырье2 и 3 полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е.сдерживают рост целевой функции.

Сырье 1 используется неполностью 95 из 180 это сырье не влияет на план выпуска продукции, т.е. неограничивает рост целевой функции, общая стоимость используемых ресурсов g (0;1,5;2,25)=2115.

б) Если запасы сырьяизменить 1-120, 2-330, 3-920, то выручка составит 2565 при оптимальном плане(65;330;0;0), остаток сырья 1 типа составит 120-65=55.

в) Если включить в планизделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицыкаждого сырья, то выручка составит 2268 при оптимальном плане (112;142;0;0;34),при этом сырье будет полностью израсходовано.

3. Промышленная группапредприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трехпредприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первоепредприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первоепредприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второепредприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьеговида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет навнутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешнимпотребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компанииполучены экономические оценки aij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологическойматрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементовуi вектора конечной продукции У.

Требуется:

1.Проверить продуктивность технологическойматрицы А=(аij) (матрицыкоэффициентов прямых материальных затрат).

2.Построить баланс (заполнить таблицу)производства и распределения продукции предприятий холдинга.

предприятия коэффициенты прямых затрат конечный продукт 1 2 3 1 0,0 0,1 0,2 180 2 0,1 0,2 0,1 200 3 0,2 0,1 0,2 200

Таблица матричногобаланса

конечный валовый предприятие потребляющие продукт продукт производящие 1 2 3 1 33,1 72,6 180 285,7 2 28,5 66,2 36,3 200 331 3 57,1 33,1 72,6 200 362,8 усл чист продукция 200 198,7 181,3 580 валовый продукт 285,6 331,1 362,8 979,5

Используем соотношениеХ=(Е-А)’*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валовоговыпуска для этого найдем: (Е-А)’ – матрицу полных затрат (Е – единичная матрица),

/>

/>

Найдем обратную матрицу(Е-А)’ используя функцию в Excel(fx/математическая/МоБР),

/>1,0750853

0,1706485

/>0,2901024

В=(Е-А)-1 0,1706485 1,2969283 0,2047782 0,2901024 0,2047782 1,3481229

/>/>/>/>/>/>Найдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ

1,0750853 0,1706485 0,2901024 * 180 285, 66553 В=(Е-А)-1*У 0,1706485 1,2969283 0,2047782 200 =331,05802 0,2901024 0,2047782 1,3481229 200 362,79863

Рассчитаем величиныпроизводственных затрат по формуле

Xij=aij*xj

aij- технологическая матрица

xj-строка валового выпуска,

Х11=0,0*285,66553=0 Х12=0,1*331,05802=33,105802 Х13=0,2*362,79863=72,559726 Х21=0,1*285,66553=28,566553 Х22=0,2*331,05802=66,211604 Х23=0,1*362,79863=36,279863 Х31=0,2*285,66553=57,133106 Х32=0,1*331,05802=33,105802 Х33=0,2*362,79863=72,559726 <p/>

Для расчета величин условно чистой продукции используем соотношение баланса для производства:

Z=xj-∑xij

xij – по столбцу

Z1=285,66553-(0+28,566553+57,133106)=199,965871

Z2=331,05802-(33,105802+66,211604+33,105802)=198,634812

Z3=362,79863-(72,559726+36,279863+72,559726)=181,399315

Проверим баланс конечнойи условно чистой продукции

∑YI=∑ZJ<sub/>, ∑Xi=∑Xj,

Z=199,965871+198,634812 +181,399315=580 =Y=180+200+200=580

Xi=285,66553+331,05802+362,79863=979,52218=Xj=285,66553+331,05802+

+ 362,79863=979,52218

Заполняем таблицу,подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.

4. В течение девятипоследовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Спрос на кредитные ресурсы 43 47 50 48 54 57 61 59 65

Требуется:

1. Проверить наличиеаномальных наблюдений.

2. Построить линейнуюмодель Y(t)=a0+a1tпараметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированныезначения временного ряда).

3. Оценить адекватностьпостроенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты,случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точностьмоделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. Фактические значенияпоказателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Спрос на кредитные ресурсы 43 47 50 48 54 57 61 59 65

Построим график:

/>

Проверим на анормальность- 9 неделю, у9=65

Оставшиеся наблюдения

Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 Спрос на кредитные ресурсы 43 47 50 48 54 57 61 59

Для оставшихсярассчитаем: уср — среднее значение; Sy – средне квадратичное отклонение,используя функции Excel;

Вычислим статистикуСтьюдента – tнаб=| y*-yср|/Sy

уср=52,375

(fx/статистические/СРЗНАЧ)

Sy= 6,3681686 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)

При L=5%, K=n-2=9-2=7,

tкр= 1,8945786 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)

tнаб= |65-52,375|/6,37=1,9819466

tнаб=1,98>tкр=1,89

Следовательно,наблюдаемое у9 не является аномальной и не требует замены.

С помощью программыРЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ)рассчитаем и получим:

Регрессионная статистика Множественный R 0,970013862 R-квадрат 0,940926893 Нормированный R-квадрат 0,932487878 Стандартная ошибка 1,895064601 Наблюдения 9 Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 400,4166667 400,4166667 111,497238 1,4929E-05 Остаток 7 25,13888889 3,591269841 Итого 8 425,5555556 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 40,8611 1,3767325 29,6798 1,27E-08 37,60566 44,1166 37,6057 44,11657 Неделя t 2,58333 0,2446518 10,5592 1,493E-05 2,004824 3,16184 2,00482 3,161843 ВЫВОД ОСТАТКА Наблюдение Предсказ Спрос Y(t) Остатки 1 43,4444 -0,4444444 2 46,0278 0,9722222 3 48,6111 1,3888889 4 51,1944 -3,1944444 5 53,7778 0,2222222 6 56,3611 0,6388889 7 58,9444 2,0555556 8 61,5278 -2,5277778 9 64,1111 0,8888889

Модель построена, ееуравнение уt=a+b*t, t-момент времени, уt — теоретическое моделированиезначения У, а,b- коэффициенты модели

a=40,8611, b=2,6, следовательно уt=40,8611+2,6t

коэффициент регрессии b=2,6, т. е. с каждым годом спрос накредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,6 млн. руб.

Рассмотрим столбецОстатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:

/>

1. Подсчитаем количествоповоротных точек р для рядов остатков – р=5

2. Критическое количествоопределим формулой — ркр=[2*(n-2)/3-1,96*√16*n-29/90]

[ ] – целая часть; n- количество исходных данных

ркр=[2*(9-2)/3-1,96*√16*9-29/90]=2,451106=2

3 сравним фактическое р сркр

р=5 > ркр=2 следовательно,свойство случайности выполняется.

Для проверкинезависимости уровней ряда остатков:

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина –Уотсона)

2 вычислить первый коэффициентавтокорреляции r(1)

для расчетов подготовим –

∑e2(t) =25,14 — используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

∑(e(t)-e(t-1))2 = 69,72<sup/>–используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массивкроме последнего.

d=∑(e(t)-e(t-1))2 / ∑e2(t) =69,72/25,14=2,77327

По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсонаопределим, что d1= 1,08 и d2= 1,36

Т.е. наше d=2,77327 € (1.08;1,36), следовательнонужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,77327=1,22673, т.е d’ € (1,36;2)

следовательно, свойствонезависимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормальногораспределения остатков вычислим R/S – статистику

R/S=emax-emin/ Se

еmax — максимальный уровень ряда остатков,

еmin — минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

еmax=2,055555556 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

еmin=-3,194444444 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,895064601 1-я таблица Итоговрегрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,770354107

Критический интервал(2,7;3,7), т.е R/S=2,770354107 € (2,7;3,7), свойствонормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверкиможно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точностимодели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениямопределить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

относит. погр-ти

 

-1,033591731

 

2,06855792

 

2,777777778

 

-6,655092593

 

0,411522634

 

1,1208577

 

3,369763206

 

-4,284369115

 

1,367521368

 

Е ср.отн= -0,095228093

Для вычисления точечногопрогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у10=40,8611+2,6*10=66,8611

у11=40,8611+2,7*11=70,5611,

Ожидаемый спрос накредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около66,8611 млн. руб., а на 11 неделю около 70,5611 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7,равен

tкр(30%;7)=1,119159128 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

Se=1,895064601 1-я таблица Итоговрегрессии строка «стандартная ошибка»,

t’ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ)<sub/>-средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

∑(t-t’ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительногоинтервала вычислим по формуле:

U1=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)=1,119159128*1,895064601* √1+1/9+(10-5)2/60= =2,621476416

U2=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)=1,119159128*1,895064601*√1+1/10++(11-5)2/60==2,765287696

Далее вычислим верхнюю инижнюю границы прогноза uниж=y10-u1; uверх=у10+u1;<sub/>uниж=y11-u1;<sub/>uверх=у10+u1

uниж=66,8611-2,621476416=64,239623584

uверх=66,8611+2,621476416=69,482576416

uниж=70,5611-2,765287696=67,795812304

uниж=70,5611+2,765287696=73,326387696

Спрос на кредитныересурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 64,239623584 млн. руб.до 69,482576416 млн. руб., а на 11 неделю от 67,795812304 млн. руб. до 73,326387696млн. руб.

Строим график:

/>