Реферат: Принятие решений в условиях неопределенности

Принятиерешений в условиях неопределенности

Теория статистическихрешений может быть истолкована как теория поиска оптимальногонедетерминированного поведения в условиях неопределенности. Согласно А.Вальду,поведение считается оптимальным, если оно минимизирует риск в последовательныхэкспериментах, т.е. математическое ожидание убытков статистическогоэксперимента.

Считаю необходимымрассмотреть четыре критерия принятия решений в условиях неопределенности, когданикакие вероятностные характеристики не известны.

· критерий Лапласа,

· минимаксныйкритерий,

· критерий Сэвиджа,

· критерий Гурвица.

Основное различие междуэтими критериями определяется стратегией лица, принимающего решения. КритерийЛапласа основан на более оптимистичных предположениях, чем минимаксныйкритерий. Критерий Гурвица можно использовать при различных подходах – отнаиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного. Все эти критерии отражаютсубъективную оценку ситуации, в которой приходится принимать решение. При этомне существует общих правил применимости того или иного критерия, так какповедение лица, принимающего решение в условиях неопределенности, являетсянаиболее важным фактором при выборе подходящего критерия.

Перечисленные критериибазируются на том, что лицу, принимающему решение, не противостоит разумныйпротивник. В случае, когда в роли противника выступает природа, нет основанийпредполагать, что она стремится причинить вред лицу, принимающему решение.

При наличии разумногопротивника, интересы которого противоречат интересам лица, принимающего решения(например, в военных действиях противоборствующие армии являются разумнымипротивниками), для построения подходящего критерия требуется специальныйподход. Эти вопросы рассматриваются в теории игр.

Данные, необходимые дляпринятия решений в условиях неопределенности, задаются в форме матрицы, строкикоторой соответствуют действиям, а столбцы — возможным состояниям системы.

Каждому действию и каждомувозможному состоянию системы соответствует результат (исход), определяющийвыигрыш (или потери) при выборе данного действия и реализации данногосостояния.

Пусть ai (i=1,2,…, m)

и q j представляетвозможное состояние j ( j=1,2,… ,n),

n ( ai, q j ) — описывает соответствующий результат.

В общем случае n ( ai, qj ) может быть непрерывной функцией ai и q j .

В дискретном случаеуказанные данные представляются в форме матрицы.

q 1 q 2 ... q n a1 n (a1 ,q 1) n (a1 ,q 2) ... n (a1 ,q n) a2 n (a2 ,q 1) n (a2 ,q 2) ... n (a2 ,q n) ... ... ... ... ... am n (am ,q 1) n (am ,q 2) ... n (am ,q n)

Критерий Лапласа

Этот критерий опираетсяна известный принцип недостаточного обоснования. Поскольку вероятностисостояний q 1, q 2,… ,q n не известны, необходимая информация для вывода,что эти вероятности различны, отсутствует. В противном случае можно было быопределить эти вероятности и ситуацию уже не следовало рассматривать какпринятие решения в условиях неопределенности. Так как принцип недостаточногообоснования утверждает противоположное, то состояния q 1, q 2, ...,q n имеютравные вероятности. Если согласиться с приведенными доводами, то исходнуюзадачу можно рассматривать как задачу принятия решений в условиях риска, когдавыбирается действие ai, дающее ожидаемый выигрыш.

Другими словами,находится действие ai*, соответствующее

/>

/> — вероятность реализации состоянияq j ( j=1,2,… ,n),

Пример. Одно изпредприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобыудовлетворить потребности клиентов в течение предстоящих праздников. Точноечисло клиентов не известно, но ожидается, что оно может принять одно из четырехзначений: 200, 250, 300 или 350 клиентов. Для каждого из этих возможныхзначений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможныхзатрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либоиз-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворенияспроса.

В таблице приведеныпотери в тысячах долларов.

Клиенты

Уровень предложения

q 1 q 2 q 3 q 4 a1 5 10 18 25 a2 8 7 8 23 a3 21 18 12 21 a4 30 22 19 15

Принцип Лапласапредполагает, что q 1, q 2, q 3, q 4 равновероятны.

Следовательно, P{q =q j }=1/4, j= 1, 2, 3, 4, и ожидаемые потери при различных действиях a1, a2, a3, a4составляют

E{a1}=(1/4)(5+10+18+25)=14,5

E{a2}=(1/4)(8+7+8+23)=11,5

E{a3}=(1/4)(21+18+12+21)=18,0

E{a4}=(1/4)(30+22+19+15)=21,5

Таким образом, наилучшимуровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет a2.

Минимаксный(максиминный) критерий

Является наиболееосторожным, поскольку основывается на выборе наилучшей из наихудшихвозможностей. Если результат n (ai, q j) представляет потери лица,принимающего решение, для действия ai наибольшие потери независимо отвозможного состояния q j будут равны

/>

В этом случае критерийназывается максиминным.

Пример. Рассмотримпредыдущий пример. Так как n (ai, q j) представляют потери, применимминимаксный критерий. Результаты вычислений представим в виде следующейтаблицы.

q 1 q 2 q 3 q 4

/>

a1 5 10 18 25 25 a2 8 7 8 23 23 a3 21 18 12 21 21 a4 30 22 19 15 30

Минимаксной стратегиейбудет a3 .

Подходы к учетунеопределенности при описании рисков. В теории принятия решений в настоящеевремя при компьютерном и математическом моделировании для описаниянеопределенностей чаще всего используют такие математические средства, как:

— вероятностно-статистические методы,

— методы статистикинечисловых данных, в том числе интервальной статистики и интервальнойматематики, а также методы теории нечеткости,

— методы теорииконфликтов (теории игр).

Они применяются вимитационных, эконометрических, экономико-математических моделях, реализованныхобычно в виде программных продуктов.

Некоторые видынеопределенностей связаны с безразличными к организации силами — природными(погодные условия) или общественными (смена правительства). Если явлениедостаточно часто повторяется, то его естественно описывать в вероятностныхтерминах. Так, прогноз урожайности зерновых вполне естественно вести ввероятностных терминах. Если событие единично, то вероятностное описаниевызывает внутренний протест, поскольку частотная интерпретация вероятностиневозможна. Так, для описания неопределенности, связанной с исходами выборовили со сменой правительства, лучше использовать методы теории нечеткости, вчастности, интервальной математики (интервал – удобный частный случай описаниянечеткого множества). Наконец, если неопределенность связана с активными действиямисоперников или партнеров, целесообразно применять методы анализа конфликтныхситуаций, т.е. методы теории игр, прежде всего антагонистических игр, но иногдаполезны и более новые методы кооперативных игр, нацеленных на получениеустойчивого компромисса.

Иногда под уменьшениемриска понимают уменьшение дисперсии случайной величины, поскольку при этомуменьшается неопределенность. В теории принятия решений риск — это плата запринятие решения, отличного от оптимального, он обычно выражается как математическоеожидание. В экономике плата измеряется обычно в денежных единицах, т.е. в видефинансового потока (потока платежей и поступлений) в условиях неопределенности.

Критерий Сэвиджа

Этот критерийхарактеризуется крайней осторожной (пессимистической) позицией к возможнымпотерям из-за отсутствия достоверных сведений о том, какая из ситуаций, влияющих на экономический результат, будет иметь место в конкретном случае.Реализуется применительно к матрице рисков и потерь.

Матрица потерь строитсяследующим образом:

1.Находим наибольшеезначение по каждому случайному событию Qi

2. Выписываем их вкачестве утопических точек отдельно

3.Вычитаем из каждойтакой утопической точки соответствующие этому случайному события Хi (пример: для Q1: Xy-X1,Xy-X2,Xy-X3.....).

4.Получаем новую матрицупотерь.

В рамках такого подходафункция, задающая семейство «линий уровня» определяется равенством:

F(u,v,......,z)=max(ay-u, ay-v,......, ay-z)

Целевая функциякритерия:

Zs=min(Ki), где Ki=max(Lij), Lij=max(Aij)-Ay, где (Lij) – матрица потерь

i – вариант возможного решения ЛПР

j – вариант возможной ситуации

Aij – доход ЛПР, если будет приняторешение i, а ситуация сложится j

А = (Aij) – матрица полезностей.

(Lij) – соответствующая матрица рисков или потерь

Критерий Гурвица

Критерий Гурвица – этовзвешенная позиция “пессимизма-оптимизма”.

При  С =1  — критерийГурвица просто соответствует Максиминному критерию.

Составные критерияпринятия решений в условиях неопределенности.

Шаг А: требования кдопустимому риску.

Вот на этом шагеуточняется критический уровень дохода(или потерь), приемлемый для ЛПР вконкретной ситуации. За основу бреется опорное значение для выбранного опорногокритерия. После задается допустимое для ЛПР максимально возможное отклонениеЕдоп>0 от опорного значения(в худшую сторону).

Шаг Б: блокировка решенийс недопустимом риском.

Вот на этом шагеудаляются из исходной матрицы все решения, который не подходят требованиям ЛПР,которые предъявляются к допустимому риску применительно к анализируемойситуации.

Шаг В: требования ккомпенсации за риск.

Этот шаг уточняеттребования к анализируемым решениям, для которых баланс между риском потерь(при -) и компенсации( при +) является приемлемым для ЛПР.

Шаг Г: блокировка решенийс недостаточной компенсацией риска.

Вот на этом шаге изматрицы полезностей(которая будет получена после шага Б) удаляются все решения,которые не соответствуют требованиям ЛПР.

Шаг Д: выбор оптимальногорешения.

И наконец, на этом шагедля оставшейся «урезанной» матрицы находится оптимальное решение по заранееоговоренном критерию. Это найденное решение и будит являться оптимальнымвыбором для соответствующего составного критерия.

Последствия решенийменеджера, экономиста, инженера проявятся в будущем. А будущее неизвестно. Мыобречены принимать решения в условиях неопределенности. Мы всегда рискуем,поскольку нельзя исключить возможность нежелательных событий. Но можносократить вероятность их появления. Для этого необходимо спрогнозироватьдальнейшее развитие событий, в частности, последствия принимаемых решений.

Задача №1.

Предприятиевыпускает два вида продукции: А и В. При этом используются pecypcы: Rl, R2 и R3. Нормы расхода на ресурсысоставляют соответственно:

R1: a1, a2

R2: b1,b2

R3: c1, c2

Рыночнаяцена продукции А составляет-Р1, продукции В-Р2. Необходимо принять решениеотносительно плана выпуска продукции обеспечивающего максимальный доход.Оценить устойчивость выбранного решения относительно колебания цен напродукцию. Объемы ресурсов: Rl -Vl, R2-V2, R3-V3

Вариант al а2 bl Ь2 cl с2 Р1 Р2 VI V2 V3 12 3 5 2 1 4 6 3 2 30 20 48

Обозначим/> - количество продукции А, /> - Количество продукции В.

НайтиХ=(/>, />), удовлетворяющие системе

3х1+5х2≤ 30 -количество ресурса />

2х1+х2≤ 20 -количество ресурса />

4х1+6х2≤ 48 — количество ресурса />

иусловию />

прикотором функция дохода принимает максимальное значение.

V = P1/> + P2/> = 3/>+ 2/> → max

Формулировказадачи.

Графическийметод.

ПостроимОДЗ /> и />

Неравенства/>, /> задают первый квадранткоординатной плоскости.

Неравенство3x1+5x2£30 задает полуплоскость, расположенную под прямой 3x1+5x2=30, включая эту прямую.

Неравенство2x1+x2£20задает полуплоскость, расположенную под прямой 2x1+x2=20, включая эту прямую.

Неравенство4x1+6x2£48задает полуплоскость, расположенную под прямой 4x1+6x2=48, включая эту прямую.

Такимобразом, получаем, что множество точек, удовлетворяющее всем неравенствам,Область ОАВС.

Построимвектор N{3;2}. Его проекция на ось /> равна 3, на ось /> 2.

Посколькунеобходимо найти максимум функции V, будем перемещать прямую l, перпендикулярновектору H, от начала к концу вектора H, т.е. в направлении возрастания функции V. Перейдя в точку В, прямая l окажется на выходе из многоугольнойобласти ОАВС. Точка В – (крайняя) последняя точка области при движении внаправлении вектора H,поэтому значение функции Vв этой точке будет наибольшим по сравнению с ее значениями в других точкахобласти.

Посколькуточка В – точка пересечения первой и второй прямой, то ее координаты можнонайти, решая систему уравнений:

                                                  ì3x1 +5x2  = 30

                                                  í

                                                  î2/>+/>= 20

Выразимиз второго уравнения />:

x2 = 20-2x1

Иподставим в первое уравнение

3x1+5(20-2x1) = 30

Откуда x1 = 10

Подставив/> в выражение для />, получим x2 = 0

Такимобразом оптимальное решение – точка В (10,0)

Оценимустойчивость выбранного решения относительно колебания цен на продукцию.

Функция V=3x1+2x2 достигает максимального значения вугловой точке В. При изменения коэффициентов целевой функции /> точка В останется точкойоптимального решения до тех пор, пока угол наклона прямой l будет лежать между углами наклонадвух прямых, пересечением которых является точка В. Этими прямыми являются /> (ограничение на ресурс R1) и /> (ограничениена ресурс R2).

Алгебраическизаписывается:

3/5£P2/P1£ 2/1 />

0,6£ P2/P1£ 2  />

Такимобразом найденное решение будет оптимальным, пока отношение цены продукции А кцене продукции В будет находиться в диапазоне от 0,6 до 2.

Задача 2(Многокритериальная задача)

Используяусловие задачи 1, найти план работы при котором достигается:

А)Максимум дохода

Б)Минимум затрат ресурсов (в натуральном выражении)

В)Максимум выпуска продукции А в натуральном выражении

Задачарешается методом уступок Величина уступок выбирается студентом.

Решение

Как былопоказано в задаче 1, максимум выручки V = P1/> + P2/> = 3/>+ 2/> → max достигается в точке В (15, 75).

Минимумзатрат ресурсов определяется минимумом целевой функции:

R= (3+4+2)x1 + (5+1+6)x2 = 9x1+12x2→ min

Посколькуограничения на минимальный объем продукции не заданы, то минимум затратресурсов будет достигаться при полном прекращении выпуска продукции, т.е. когда/> и />. Это же видно израссмотрения области ОАВС на рис. 1. Соответственно минимум функции затратресурсов R=0.

Воптимальной по критерию максимума выручки точке В (10,0) целевая функцияпринимает значение:

V= 3x1+2x2 =3*10+2*0 =30

Примемвеличину уступки 90%

90%V=30*0,9 =27

То есть

V= 3x1+2x2 =27

Нанесемпрямую  3x1+2x2 =27 награфик (рис. 2)

Дляпоиска минимума функции R=9x1+12x2 построимвектор М{9;12}. Его проекция на ось /> равна 9,на ось /> 12.

Посколькунеобходимо найти минимум функции R,будем перемещать прямую m,перпендикулярно вектору М, от конца к началу вектора М, т.е. в направленииуменьшения функции R. Перейдя в точкуК, прямая m окажется на выходе из области КВР.Точка К – крайняя точка прямой 3x1+2x2 =27 в области ОАВС при движении в направлении кначалу вектора М, поэтому значение функции R в этой точке будет наименьшим по сравнению с ее значениями вдругих точках области.

Решивсистему уравнений:

                                                  ì3x1 +5x2  = 30  

                                                  í   

                                                  î3/>+2/>= 27

Найдем      x1 = 8 1/3

x2<sub/>= 1

Такимобразом решение многокритериальной задачи при уступке по максимуму выручки 90%- точка К(8 1/3; 1).

Задача 3(Принятие решений в условиях неопределенности)

Магазинлродает скоропортящуюся продукцию по А рублей за ящик, закупая ее у поставщиковпо В рублей за ящик. Непроданная в течение дня продукция реализуется в концедня по С рублей за ящик. Суточный спрос на продукцию колеблется от 0 до 10ящиков. Других сведений о спросе нет. Сколько ящиков продукции должен закупатьу оптовиков магазин ежедневно в соответствии с принципами максимакса, максиминаи минимакса.

Вариант

N А в С 12 50 20 5

Решение

Матрицаприбыли (платежная матрица)

Объем спроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Объем закупок 1 -15 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 2 -30 15 60 60 60 60 60 60 60 60 60 3 -45 45 90 90 90 90 90 90 90 90 4 -60 -15 30 75 120 120 120 120 120 120 120 5 -75 -30 15 60 105 150 150 150 150 150 150 6 -90 -45 45 90 135 180 180 180 180 180 7 -105 -60 -15 30 75 120 165 210 210 210 210 8 -120 -75 -30 15 60 105 150 195 240 240 240 9 -135 -90 -45 45 90 135 180 225 270 270 10 -150 -105 -60 -15 30 75 120 165 210 255 300

Применивкритерий Maximax, найдем такой объем закупок, прикотором прибыль магазина максимальна при наиболее благоприятном спросе.