Реферат: Эконометрическое моделирование: расчет коэффициентов корреляции и регрессии, анализ одномерного временного ряда

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА СТАТИСТИКИ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ЭКОНОМЕТРИКЕМосква2008

Задача №1.Эконометрическое моделирование стоимости квартир в московской области

Таблица 1 — Исходные данные для эконометрическогомоделирования стоимости квартир

Y X1 X2 X3 Цена квартиры Город области Число комнат в квартире Общая площадь квартиры 115 4 70,4 85 1 3 82,8 69 1 2 64,5 57 1 2 55,1 184,6 3 83,9 56 1 1 32,2 85 3 65 265 4 169,5 60,65 1 2 74 130 4 87 46 1 1 44 115 3 60 70,96 2 65,7 39,5 1 1 42 78,9 1 49,3 60 1 2 64,5 100 1 4 93,8 51 1 2 64 157 4 98 123,5 1 4 107,5 55,2 1 48 95,5 1 3 80 57,6 2 63,9 64,5 1 2 58,1 92 1 4 83 100 1 3 73,4 81 2 45,5 65 1 1 32 110 3 65,2 42,1 1 1 40,3 135 2 72 39,6 1 1 36 57 1 2 61,6 80 1 35,5 61 1 2 58,1 69,6 1 3 83 250 1 4 152 64,5 1 2 64,5 125 2 54 152,3 3 89

Принятые в таблицеобозначения:

Y – цена квартиры – этозависимая переменная (тыс. долл.).

В качестве независимых,объясняющих переменных выбраны

Х1 – городобласти: 1 – Подольск, 0 – Люберцы;

Х2 – числокомнат в квартире;

Х3 – общаяплощадь квартиры, кв. м.

1) Расчетматрицы парных коэффициентов корреляции; оценка статистической значимостикоэффициентов корреляции.

Длявычисления матрицы парных коэффициентов корреляции используем инструментКорреляция (Анализ данных в Excel)

Таблица 2 – Матрицапарных коэффициентов корреляции

 

Цена квартиры Город области Число комнат в квартире Общая площадь квартиры Цена квартиры 1 Город области -0,403 1 Число комнат в квартире 0,688 -0,155 1 Общая площадь квартиры 0,846 -0,082 0,806 1

Анализ матрицы парныхкоэффициентов корреляции показывает, что зависимая переменная (цена квартиры)имеет тесную связь с общей площадью квартиры (ryx3=0,846) и с числом комнат вквартире.

Оценкустатистической значимости коэффициентов корреляции выполняем с использованием t-критерия Стьюдента.Фактическое значение этого критерия определяем по формуле (1):

/> (1)

Критическоезначение t-статистикиСтьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 38: tрасч≈ 2,0244

Таблица3

tнабл

Y-X1 2,717131 Y-X2 5,847482 0,967211 Y-X3 9,762849 0,509262 8,393933

Из таблицы(3) видно что для всех коэффициентов матрицы tнабл > tрасч, следовательно всекоэффициенты корреляции статистически значимы. Между параметрами Y и X3 наиболее теснаястатистическая взаимосвязь.

2) Построениеполя корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

Полекорреляции имеет вид, приведенный на рис.1. Вытянутость облака точек надиаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение, чтосуществует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи междузначениями переменных Х3 и Y.

/>

3) Расчетпараметров линейной парной регрессии для каждого фактора Х.

Для расчетакоэффициентов регрессии используем инструмент регрессия (Анализ данных в Excel)

 

Коэффициенты

Y-пересечение 117,504 X1 -41,484

 

Коэффициенты

Y-пересечение 13,212 X2 33,516

 

Коэффициенты

Y-пересечение -13,109 X3 1,543

Моделилинейной регрессии будут иметь вид:

для Х1 — Y = 117,504 – 41,484 X1

для Х2 — Y = 13,212 + 33,516 X2

для Х3 — Y = -13,109 + 1,543 X3

4) Оценкакачества каждой модели через коэффициент детерминации, средней ошибкиаппроксимации и F-критерия Фишера. Выбор лучшей модели.

Модель Х1:R2 = 0,163; />= 18,259%;F = 7,383.

Коэффициент детерминацииравен 0,163, он показывает, что около 16,3% вариаций зависимой переменнойучтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов, т.е. цена квартирытолько на 16,3% зависит от города.

КритерийФишера равен 7,383. Табличное значение (при k1=5, k2=40-5-1=34 и а=0,05)равно 2,48. Отсюда F>Fтабл. Это означает, что уравнение регрессии с вероятностью 0,95,следует признать адекватным.

Средняяошибка аппроксимации />= 18,259%, т.е расчетные значения /> отличаются от фактических значений на18,26 %.

 

Модель Х2:R2 = 0,474;/>= 9,053%;F = 9,217.

Коэффициентдетерминации равен 0,474. Т.е. цена квартиры на 47,4% зависит от числа комнат вквартире.

КритерийФишера равен 9,217. Табличное значение (при k1=5, k2=40-5-1=34 и а=0,05)равно 2,48. Отсюда F>Fтабл. Это означает, что уравнение регрессии с вероятностью 0.95 95следует признать адекватным.

Средняяошибка аппроксимации />= 9,053, т.е расчетные значения /> отличаются от фактических значений на9,05%.

Модель Х3:R2 = 0,715;/>= 7,452%; F = 95,313.

Коэффициентдетерминации равен 0,715. Т.е. цена квартиры на 71,5% зависит от общей площадиквартиры.

КритерийФишера равен 95,313. Табличное значение (при k1=5, 2=40-5-1=34 иа=0,05) равно 2,48. Отсюда F>Fтабл. Это означает, что уравнение регрессии с вероятностью0,95 следует признать адекватным.

Средняяошибка аппроксимации />= 7,452%, т.е расчетные значения /> отличаются от фактических значений на7,45 %. 7,45% — хороший уровень точности модели.

Исходя изполученных данных, делаем вывод, что наилучшая модель– модель Х3: Y= -13,109 + 1,543 X3

5) Прогнозированиесреднего значения показателя /> при уровне значимости />, еслипрогнозное значения фактора /> составит 80% от его максимальногозначения.

Прогнозированиеосуществим для модели Х3

Х3max= 169,5

Xпрогноз = /> = 135,6

из уравнениерегрессии находим Yпрогноз:

Yпрогноз = -13,109 + />Xпрогноз= />=196,122

Изобразимграфически полученные величины (Рис.3.):

/>/>/>/>/>

6) Построениемодели формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Экономическаяинтерпретация коэффициентов модели регрессии.

В таблице (4)в первом столбце указан номер модели, во втором независимые переменные, втретьем столбце содержатся коэффициенты уравнения, а в четвертом t-статистика.

Таблица 4   Модель Независимые переменные Коэффициенты t-статистика

1 (tтабл=2,012894)

Y 11,69225872 1,077832949

 

X1 -35,17686233 -4,884306518

 

X2 -3,283285149 -0,571843303

 

X3 1,590356124 7,45908944

2 (tтабл=1,96495)

Y 10,25481 0,980733972

 

X1 -34,558 -4,898238752

 

X3 1,492126 11,9234164

Уравнениерегрессии зависимости цены квартиры от города области и общей площади квартиры,полученное на последнем шаге, можно записать в следующем виде

y = 10,255 — 34,558Х1<sub/>+ 1,492Х3

Коэффициентыуравнения регрессии показывают, что в Подольске цена квартиры меньше, чем вЛюберцах на 34,558 тыс. долл., а при увеличении общей площадина одинквадратный метрцена квартиры увеличится на 1,492 тыс. долл.

7)Оценкакачества построенной модели. Оценка влияния значимых факторов на результат спомощью коэффициентов эластичности,  — и  — коэффициентов

Сравниминдекс корреляции R и коэффициент детерминации R2 полученной модели соднофакторной моделью.

Таблица5

Коэффициент корреляции R

Коэффициент детерминации R2

однофакторная модель 0,846 0,715 двухфакторная модель 0,909 0,827

Из таблицы(5) видно, что качество новой модели лучше предыдущей однофакторной, т.к.коэффициенты ближе к единице.

Теперь оценимвлияние значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, — коэффициентов с помощью формул:

/>, /> и />,

где />

1) /> = />= -0,212

/> = />

Отсюда видно,что при изменении Х1 на 1% значение Y уменьшится на 21,2%. А при изменении Х3 на 1%значение Yувеличится на 110,3%.

2) Найдемкоэффициенты β для параметра Х1 и Х3. Сначалавычислим среднеквадратические отклонения:

/>=/>

/>= />

/>= />

Тогда:

/>= />

/>= />

Анализполученных данных показывает, что при увеличении Х1 на 0,5006 цена квартирыуменьшится на 0,336*51,492 = 17,301 тыс. долл. А при увеличении общей площадина 28,225 м2 Цена квартиры увеличится на 0,817*51,492 = 42,07 тыс.долл.

3) Вычислимкоэффициенты Δ для параметров Х1 и Х3:

/>= -0,403 * (-0,336) /0,827 = 0,164

/>= 0,846 * 0,817 / 0,827 =0,836

Из полученных данных мы видим, что долявлияния фактора город (Х1) в суммарном влиянии всех факторов составляет 0,164или 16,4%, тогда как доля влияния фактора общая площадь – 0,836 или 83,6%.

Задача №2. Исследование динамики экономического показателяна основе анализа одномерного временного ряда

Таблица 6– Исходные данные

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

yt

20 27 30 41 45 51 51 55 61

1. Выявление аномальных наблюдений

Построим график временного ряда

/>

Для выявления аномальных наблюдений воспользуемся методомИрвина. Для всех наблюдений вычисляем величину /> по формуле:

/>,

Где />, />

Результаты расчетов по методу Ирвина приведены в таблице(6)

Таблица 6

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

yt

20 27 30 41 45 51 51 55 61

/>

- 0,502 0,215 0,789 0,287 0,431 0,287 0,431

По результатам расчетов аномальных наблюдений нет, т.к.расчетные величины /> не превышают табличных значений.

2. Построение линейной модели

Таблица 7 — Промежуточные расчеты параметров линейноймодели

t

/>

/>

/>

/>

(/>)(/>)

/>

/>

1 20 -4 16 -22,333 89,332 22,333 -2,333 2 27 -3 9 -15,333 45,999 27,333 -0,333 3 30 -2 4 -12,333 24,666 32,333 -2,333 4 41 -1 1 -1,333 1,333 37,333 3,666 5 45 2,667 42,333 2,666 6 51 1 1 8,667 8,667 47,333 3,666 7 51 2 4 8,667 17,334 52,333 -1,333 8 55 3 9 12,667 38,001 57,333 -2,333 9 61 4 16 18,667 74,668 62,333 -1,333

/>

42,333 60 300

Рассчитываем параметры модели:

/>,

/>

В результате расчетов получаем, что кривая ростазависимости спроса на кредитные ресурсы финансовой компании от времени имеетвид:

Y(t)=17,333+5t

3. Оценка адекватности построенной модели

Проверку независимости осуществляем с помощью dw-критерияДарбина-Уотсона по формуле:

/>

Для вычисления коэффициента Дарбина-Уотсона построимвспомогательную таблицу (8):

Таблица 8

t

/>

Точки поворота

/>

/>

1 -2,333 5,443 2 -0,333 * 0,111 4 3 -2,333 * 5,443 4 4 3,666 * 13,440 35,988 5 2,666 * 7,108 1 6 3,666 * 13,440 1 7 -1,333 1,777 24,99 8 -2,333 * 5,443 1 9 -1,333 1,777 1

/>

6 53,982 72,978

Так как dw попало в интервал от d2 до 2, то по данному критерию можно сделать вывод овыполнении свойства независимости. Это означает, что в ряде динамики не имеетсяавтокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Поверку случайности проводим на основе критерия поворотныхточек по формуле, количество поворотных точек р при n=9 равно 6:

р>/>

/>

Неравенство выполняется (6>2). Следовательно, свойствослучайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределенияопределяем с помощью RS-критерия:

RS=(emax-emin)/S

/>

/>

Расчетноезначение RS=2,86 в интервал (2,7 – 3,7) попадает. Следовательно, по данномукритерию модель адекватна.

Вывод: модель статистически адекватна.

4) Оценка точности модели

Оценку точности модели проводим на основе использованиясредней относительной ошибки аппроксимации. Получаем

/>=5,75%

Вывод: Еотн=5,75% — хороший уровень точностимодели.

5) Прогноз спроса на следующие две недели.

Для вычисления точечного прогноза в построенную модельподставляем соответствующие значения фактора t=n+k:

/>

/>

Для построения интервального прогноза рассчитываемдоверительный интервал. При уровне значимости 0,3, доверительная вероятностьравна 70%, а критерий Стьюдента равен 1,119:

/>

/>

U(1)=3.841,

U(2)=4.065,

Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза.

Таблица 9

n+k U(k) Прогноз Верхняя граница Нижняя граница 10 U(1)=3,841 67,333 71,174 63,492 11 U(2)=4,065 72,333 76,398 68,268

6) Графическое представление фактических значенийпоказателя, результатов моделирования и прогнозирования.

/>/>/>/>/>/>/>