Реферат: Средние величины и показатели вариации

Содержание

1.Понятие о среднихвеличинах

2.Виды средних

3.Показателивариации

4.Методическиеуказания и решение типовых задач

Список использованной литературы

1. Понятие о средних величинах.

Как правило, многие признаки единицстатистических совокупностей различны по своему значению, например, заработная платарабочих одной профессии какого- либо предприятия не одинакова за один и тот жепериод времени, различны урожайность сельскохозяйственных культур в хозяйствахрайона и цены на рынке на одинаковую продукцию и т.д. Поэтому, чтобы определитьзначение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц,прибегают к расчету средних величин.

Средней величиной в статистикеназывается обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления вконкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признакав расчете на единицу качественно однородной совокупности. В экономическойпрактике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде среднихвеличин.

Например, обобщающим показателемдоходов рабочих акционерного общества (АО) служит средний доход одногорабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социальногохарактера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочихАО. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов, например, работниковбюджетной сферы и пенсионеров по старости (исключая имеющих льготы идополнительные доходы) можно определить типичные доли расходов на покупкупредметов питания. Так можно говорить о средней продолжительности рабочего дня,среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровне производительности труда ит.д.

Вычисление среднего – один израспространенных приемов обобщения; средний показатель отражает то общее, чтохарактерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время онигнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеетместо сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силудействия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются,поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, отколичественных значений признака в каждом конкретном случае. В способностиабстрагироваться  от случайности отдельных значений, колебаний и заключенанаучная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Там, где возникает потребностьобобщения, расчет таких характеристик приводит к замене множества различныхиндивидуальных значений признака средним показателем,  характеризующим всюсовокупность явлений, что позволяет выявить закономерности, присущие массовымобщественным явлениям, незаметные в единичных явлениях.

Средняя отражает характерный,типичный, реальный уровень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и ихизменения во времени и в пространстве.

Средняя – это сводная характеристиказакономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает.

Анализ средних выявляет, например,закономерности изменения производительности труда, заработной платы рабочихотдельного предприятия на определенном этапе его экономического развития,изменения климата в конкретном пункте земного шара на основе многолетнихнаблюдений средней температуры воздуха и др.

Однако для того, чтобы среднийпоказатель был действительно типизирующим, он должен определяться не для любыхсовокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородныхединиц. Это является основным условием научно обоснованного использованиясредних.

Средние, полученные для неоднородныхсовокупностей, будут искажать характер  изучаемого общественного явления,фальсифицировать его, или будут бессмысленными. Так, если рассчитать среднийуровень доходов служащих какого-либо района, то получится фиктивный среднийпоказатель, поскольку для его исчисления использована неоднороднаясовокупность, включающая в себя служащих предприятий различных типов (государственных,совместных, арендных, акционерных), а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п. В таких случаях методсредних используется в сочетании с методом группировок, позволяющим выделитьоднородные группы, по которым и исчисляются типические групповые средние.

Групповые средние позволяют избежать«огульных» средних, обеспечивают сравнение уровней отдельных групп с общимуровнем по совокупности, выявление имеющихся различий и т.д.

Однако нельзя сводить роль среднихтолько к характеристике типических значений признаков в однородных по данномупризнаку совокупностях. На практике современная статистика использует такназываемые системные средние, обобщающие неоднородные явления (характеристикагосударства, единой  народнохозяйственной системы: например, среднийнациональный доход на душу населения, средняя урожайность зерновых по всехстране, средний реальный доход на душу населения, среднее потребление продуктовпитания на душу населения, производительность общественного труда).

В современных условиях развитиярыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективныхзакономерностей социально-экономических явлений. Однако в экономическом анализенельзя ограничиваться лишь средними показателями, так как за общимиблагоприятными средними могут скрываться и крупные серьезные недостатки вдеятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового,прогрессивного. Так, например, распределение населения по доходу позволяетвыявлять формирование новых социальных групп. Поэтому наряду со среднимистатистическими данными необходимо учитывать особенности отдельных единицсовокупности.

Средняя должна исчисляться длясовокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц, так как в этомслучае согласно закону больших чисел взаимопогашаются случайные, индивидуальныеразличия между единицами, и они не оказывают существенного влияния на среднеезначение, что способствует проявлению основного, существенного, присущего всеймассе. Если основываться на среднем из небольшой группы данных, то можносделать неправильные выводы, поскольку такой средний показатель будет отражатьзначительное влияние индивидуальных особенностей, т.е. случайных моментов, нехарактерных для изучаемой совокупности в целом.

Каждая средняя характеризуетизучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типических черт и качественных особенностейнужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистикидля изучения социально-экономических явлений, как правило, исчисляется системасредних показателей. Так, например, показатели средней заработной платыоцениваются совместно с показателями средней выработки, фондовооруженности иэнерговооруженности труда, степенью механизации и автоматизации работ и др.

Средняя должна вычисляться с учетомэкономического содержания исследуемого показателя. Поэтому для конкретногопоказателя, используемого в социально-экономическом анализе, можно исчислитьтолько одно истинное значение средней на базе научного способа расчета.

2. Виды средних

В каждом конкретном случаеприменяется одна их средних величин: арифметическая, гармоническая,геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д.

Средняя арифметическая

Наиболее распространенным видомсредних является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когдаобъем варьирующего признака всей совокупности является суммой значенийпризнаков отдельных единиц. Для общественных явлений  характерна аддитивность,т.е. суммарность объемов варьирующего признака, этим определяется областьприменения средней арифметической и объясняется ее распространенность какобобщающего показателя. Так, например: общий фонд заработной платы  — это суммазаработных плат всех работников, валовый сбор урожая – сумма произведеннойпродукции со всей повседневной площади.

Средняя гармоническая

При расчете средних показателейпомимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних.Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене еюкаждого варианта осредняемого признака не изменялся итоговый, обобщающий, или,как его принято называть определяющий показатель, который связан с осредняемымпоказателем.

Следовательно, в каждом конкретномслучае в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одноистинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущностиизучаемого социально-экономического явления.

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется втех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, какправило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин,как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряжу динамики, т.е.характеризует средний коэффициент роста.

Наиболее широкое применение средняягеометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядахдинамики, а также в рядах распределения.

Средняя квадратическая и кубическая

В ряде случаев в экономическойпрактике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного вквадратных или кубических единицах измерения. Тогда применятся средняяквадратическая и средняя кубическая.

3. Показателивариации

Вариация – это различие в значенияхкакого- либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот жепериод или момент времени. Например, работники фирмы различаются по доходам,затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время ит.д. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признакаскладываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которыепо-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величинакаждого варианта объективна.

Исследование вариации в статистикеимеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенноактуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерениевариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов даетважную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах ирасходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятиянаучно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающуюхарактеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строениясовокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя непоказывает, как располагаются около нее варианты усредняемого признака,сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняявеличина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случаевсе индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом – эти отличиявелики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика, этоимеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единицсовокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своейсредней, и наоборот, — чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньшеони отличаются от средней, которая в таком случае будет более реальнопредставлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением однойсредней в ряде случаев нельзя. Нужны и показатели, характеризующие отклоненияотдельных значений от общей средней.

4. Методические указания и решение типовых задач

Средняя является обобщающей характеристикойсовокупности единиц по качественно однородному признаку.

В статистике применяются различные виды средних: арифмети­ческая,гармоническая, квадратическая, геометрическая и структур­ные средние — мода,медиана. Средние, кроме моды и медианы, исчисляются в двух формах: простой ивзвешенной. Выбор формы средней зависит от исходных данных и содержанияопределяемого показателя. Наибольшее распространение получила средняя ариф­метическая,как простая, так и взвешенная.

Средняя арифметическая простая равнасумме значений признака, деленной на их число:

S х

х/>= ¾¾¾¾,

              n

где х — значение признака (вариант);

n — число единиц признака.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда вариантыпредставлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке или ранжированногоряда.

Пример 1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бума­гами за отчетныйпериод составили: 0,4; 0,7; 0,8; 1,1; 1,2 тыс. руб.

Определить средний доход банка по данной операции.

Решение. Средний доход пяти банков по операциям с ценными  бумагами равен

х = 4,2/5 = 0,84 тыс. руб.

Если данные представлены в виде дискретных или интервальных 1 рядовраспределения, в которых одинаковые значения признака (х) объединены в группы,имеющие различное число единиц (f), назы­ваемое частотой(весом), применяется средняя арифметическая взвешенная:

                        S хf

    х = ¾¾¾¾,

                Sf

Пример 2. Имеются данные страховых организаций области числе заключенныхдоговоров по личному добровольному страхованию.

№ группы

Число договоров, тыс.

     х

Число страховых организаций

          f

Удельный вес страховых организаций,

          d

Число заключенных договоров

         xf

xd

I

II

III

IV

V

20

26

30

32

36

6

10

15

16

3

12

20

30

32

6

120

260

450

512

108

2,4

5,2

9,0

10,24

2,16

Итого 50 100 1450 29,0

Определить среднее число заключенных договоров в расчете на однустраховую организацию области.

Решение. Среднее число договоров на одну страховую органи­зациюопределяется отношением общего числа заключенных дого­воров к числу страховыхорганизаций:

      20 • 6 + 26 • 10 + 30 • 15 + 32 • 16 + 36 • 3 1450

        —————————————————   =  ——  = 29 тыс.

                                       50                                         50

В качестве весов могут быть использованы относительные величины,выраженные в процентах (d). Метод расчета средней не изменится:

             S хd

    х = ¾¾¾¾,

                Sd

Если проценты заменить коэффициентами (Sd= 1), то х = Sxd.

х = 20 • 0,12 + 26 • 0,2 + 30 • 0,3 + 32 • 0,32 + 36 .0,06 = 29,0 тыс.

Пример 3. По данным выборочного наблюдения имеется следующеераспределение фермерских хозяйств района по размерам угодий:      

     

№ Хозяйства по размерам Число хозяйств Середина группы угодий, га интервала             x            f

         x`

 

        xf I          До40         20         35    700 II        40—50         40         45

  1800  

 

Ш        50—60

        25

        55

    1375  

IV       60—70           10         65     650 V     Свыше 70            5

            75 

   375                               Итого            100          -   4900

Определить средний размер угодья на одно фермерское хозяйство:

по району.

Решение. Для расчета средней из интервального ряда необходимо выразитьварианты одним (дискретным) числом. Для закрытых ин­тервалов (группы II—IV) задискретное число принимается средняя: арифметическая простая из верхнего инижнего значений интервала. Для определения варианты в группах с открытымиинтервалами  группы I и V) предполагается, что для первой группы величинаинтервала равна интервалу второй группы, а в последней группе —интервалупредыдущей. Дальнейший расчет аналогичен примеру 2:

x = 4900/100 = 49 га.

В статистике приходится вычислять средние по вариантам, ко­торые являютсягрупповыми (частными) средними. В таких случаях общая средняя определяется каксредняя арифметическая взвешенная из групповых средних, в которой весамиявляются объемы единиц в группах.

Пример 4. Просроченная задолженность по кредитам акционер­ных обществ(АО) за отчетный период характеризуется следующими данными:

№ АО

Задолженность по кредитам, тыс. руб.

             f 

Удельный вес просрочен­ной задолженности

         х

Объем просроченной задолженности

        х f 

1

2

3

2500

3000

1000

20

30

16

500

900

160

Итого 6500 — 1560

Определить средний процент просроченной задолженности АО.

Решение. Экономическое содержание показателя равно

 

Удельный вес просроченной задолженности, % =

            

 объем просроченной задолженности

————————————————   •  100.

     объем общей задолженности

Для расчета среднего процента просроченной задолженности надо сравнитьсуммарные показатели просроченной и общей задол­женности АО.

Наряду со средней арифметической применяется средняя гармо­ническая,которая вычисляется из обратных значений осредняемого признака и по форме можетбыть простой и взвешенной.

Пример 5. Доходы банков в отчетном году характеризуются сле­дующимипоказателями:

№

банка

Средняя процентная ставка

x

Доход банка, тыс. руб.

М = xf

Сумма кредита

M/x

1

2

40

35

600

350

1500

1000

Итого — 950 2500

Определить среднюю процентную ставку банков.

Решение. Основой выбора формы средней является реальное, содержаниеопределяемого показателя:

Ставка, % = (доход банка / сумма кредита) • 100.

Средняя процентная ставка равна отношению доходов банков к сумме ихкредита. В данном примере отсутствуют прямые данные о кредитах. Но их суммыможно определить косвенным путем, разде­лив доход банка (М) на процентнуюставку (x) (см. последнюю графу).

Приведенная формула называется средней гармонической взве­шенной, гдевеса представляют собой произведения процентной став­ки (х) на сумму кредита(f): М = xf.

Мода — значение признака, наиболее часто встречающееся в изу­чаемойсовокупности. Для дискретных рядов распределения модой является вариант снаибольшей частотой.

Для интервальных вариационных рядов распределения мода рас­считывается поформуле.

где Мо —мода;

— нижняя граница модального интервала;

— величина модального интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным.

Пример 6. Имеются данные о распределении работников пред­приятия поуровню среднемесячной заработной платы:

№ группы

Заработная плата.              

         руб.

Число работников,

чел.

Сумма

накопленных частот

I 500—600 10 10 II 600—700 30 40 III 700—800 70 110 IV 800—900 60 — V 900—1000 25 — VI Свыше 1000 5 —

Определить модальный размер заработной платы.

Решение. Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальныйинтервал. Наибольшее число работников — 70 человек — имеют заработную плату винтервале 700—800 руб., который и является модальным.

Медианой называется вариант, расположенный в середине упо­рядоченноговариационного ряда, делящий его на две равные части.

В примере 1 медианой является величина признака, равная 0,8. Вранжированном ряду из четного числа членов медианой будет средняяарифметическая из двух вариантов, расположенных в середине ряда.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленныхчастот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле.

где Me — медиана;

— нижняя граница медианного интервала;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

Пример 7. По данным примера 6 рассчитать медиану.

Решение. Определяем медианный интервал, в котором находится порядковыйномер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот накопленным итогом до числа,превышающего половину объема совокупности (200/2 = 100).

В графе «Сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу700—800. Это и есть медианный интервал, в котором на­ходится медиана.

Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработнуюплату до 785,7 руб., а половина — выше этой суммы.

Показатели вариации. Для измерения степени колеблемости от­дельныхзначений признака от средней исчисляются основные обобщающие показателивариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия — это средняя арифметическая квадратов откло­нений отдельныхзначений признака от их средней арифметической.

В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формуле среднейарифметической простой или взвешенной:

- невзвешенная (простая);

- взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой ко­рень квадратныйиз дисперсии и равно:

— невзвешенное;

— взвешенное.

В отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение являетсяабсолютной мерой вариации признака в совокупности и вы­ражается в единицахизмерения варьирующего признака (рублях, тоннах, процентах и т.д.).

Для сравнения размеров вариации различных признаков, а также длясравнения степени вариации одноименных признаков в нескольких совокупностяхисчисляется относительный показатель вариации — коэффициент вариации (V),который представляет; собой процентное отношение среднего квадратическогоотклонения к средней арифметической:

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариациипризнаков, а следовательно, об однородности состава совокупности. Чем большеего величина, тем больше разброс значе­ний признака вокруг средней, тем менееоднородна совокупность по составу.

Пример 8. Имеются выборочные данные о стаже работников коммерческихбанков:

стаж, лет

Среднесписочная

численность

работников, чел.             f

Середина

интервала

до 3

3-5

5-7

7-9

свыше 9

10

48

28

10

4

2

4

6

8

10

20

192

168

80

40

-3

-1

1

3

5

9

1

1

9

25

90

48

28

90

100

Итого 100 - 500 - - 356

Определить:

1) средний стаж работников;

2) дисперсию;

3) среднее квадратическое отклонение;

4) коэффициент вариации.

Решение. 1. Средний стаж работников

x =500/100 =5 лет.

2. Дисперсия

       356/100 =3,56    3,6;

3. Среднее квадратическое отклонение     =     356/100 =        3.6  =1,8867.

4. Коэффициент вариации        = 1,8867/5-100=37,7%.

Правило сложения дисперсий (вариаций). Для статистической совокупности,сгруппированной по изучаемому признаку, возможно вычисление трех видовдисперсий: общей, частных (внутригрупповых) — и межгрупповой. Общая дисперсияхарактеризует вариацию всех единиц совокупности от общей средней, частные — вариацию признака в группах от групповой средней и межгрупповая — вариациюгрупповых средних от общей средней. Между указанными видами дисперсийсуществует соотношение, которое называют правилом сложения дисперсий: общаядисперсия равна сумме средней из частных дисперсий и межгрупповой:

Если основанием группировки является факторный признак, то с помощьюправила сложения дисперсий можно измерить силу его влияния на результативныйпризнак, вычислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционноеотношение.

Коэффициент детерминации равен отношению межгрупповой  дисперсии к общей ипоказывает долю общей вариации результативного признака, обусловленнуювариацией группировочного признака.

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется эмпирическимкорреляционным отношением:

                                                 />

По абсолютной величине он может изменяться от 0 до 1. Если = 0,группировочный признак не оказывает влияния на результа­тивный. Если = 1,изменение результативного признака полностью обусловлено группировочнымпризнаком, т.е. между ними сущест­вует функциональная связь.

Пример 9. По данным выборочного обследования заработной  платы работниковбюджетной сферы получены следующие показатели:

Отрасль Средняя заработ­ная плата, руб.

Численность работников, чел.

            f

Дисперсия заработной платы Здравоохранение Образование

600

800

80

120

4 900

16900

Определить:

1) среднюю заработную плату работников по двум отраслям;

2) дисперсии заработной платы: а) среднюю из групповых дисперсий(отраслевых), б) межгрупповую (межотраслевую), в) общую;

3) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение. 1. Средняя заработная плата работников по двум отраслям равна

2. а) Средняя из групповых дисперсий равна

б) Межгрупповая дисперсия равна

в) Применяя правила сложения дисперсий, получим общую дис­персию:

а) Коэффициент детерминации равен 0,4424, или 44,24%.

Он показывает, что оплата труда на 44,24%зависит от отрасле­вой принадлежности работников и на 55,76% — отвнутриотраслевых причин.

б) Эмпирическое корреляционное отношение составляет, что свидетельствуето существенном влиянии на дифференциацию заработной платы отраслевыхособенностей.

Список использованной литературы

1.  Гусаров В.М.Теория статистики: Учебное пособие для вузов. – М.: Аудит,   ЮНИТИ, 1998. – 247с

2.  Общаятеория статистики  Учеб. для вузов / В.С. Козло, Я.М. Эрлих  и др. М.: Финансыи статистика, 1985

3.  Практикумпо статистике:  Учебное пособие для вузов / под редакцией  В.М. Симчеры /ВЗФЭИ. – М.: ЗАО «Финстатинформ», 1999. – 259 с

4.  РяузовН.Н. Общая теория статистики: Учеб. для вузов. – М.: Финансы  и статистика,1984

5.  Теориястатистика: Учеб. для вузов / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы истатистика, 1996