Реферат: Экономико-математическое моделирование

1. Определить нижнюю иверхнюю цену игры, заданной платежной матрицей

/>

Имеет ли игра седловую точку?

Решение:

Найдем по каждой строчкеплатежной матрицы минимальное число αi<sub/>= min(αi1, αi2,αi3) – это гарантированный выигрыш игрока А, при выбореим соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможныйгарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которойαij имеет максимальное значение – α= max(α1, α2,α3) – это нижняя цена игры.

Для игрока В выберем покаждому столбцу максимальное число βj = max(α1j, α2j, α3j) – это гарантированный проигрышигрока В при выборе им стратегии Вj. Найдем минимальное из этих чисел β = min (β1, β2,β3) – это верхняя цена игры. Занесем полученные данные втаблицу 1.

Нижняя цена игры α = 8 равнаверхней цене игры β = 8. Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока Аоптимальная стратегия – А1, для игрока В оптимальная стратегия – В1.

Ответ: α = β = 8, игра имеетседловую точку, оптимальные стратегии (А1, В1).

Таблица 1 – Определение цены игры платежной матрицы

В1

В2

В3

А1

8 9 9

α1 = min (8, 9, 9) = 8

А2

6 5 8

α2 = min (6, 5, 8) = 5

А3

3 4 5

α3 = min (3, 4, 5) = 3

 β1 = max(8, 6, 3)

β1= 8

β2 = max(9, 5, 4)

β2= 9

β3 = max(9, 8, 5)

β3= 9

α = max(8, 5, 3) = 8

β = min (8, 9, 9) = 8

2. Решить графически игру, заданнуюплатежной матрицей

/>

Решение:

Дана игра 4 х 2, то естьу игрока А имеется 4 стратегии, а у игрока В – 2. Поэтому, будем решать игрудля игрока В. Построим оси: ОХ – на ней будем отмечать вероятности, с которымиигрок использует ту или иную стратегии, и ОУ – на ней будем откладывать ценуигры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей, какпоказано на рисунке 1.

Если игрок А выбираетстратегию А1, то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями (q1, q2), будет проигрывать, в среднем, q1∙α11+q2∙α12 = q1∙(-3) +q2∙(-4). Отметим на оси ОУ α11= -3, а на оси ей параллельной α12 = -4 и соединим эти точкипрямой линией – она показывает, сколько, в среднем, получает игрок В, если Аиспользует стратегию А1, а В чередует стратегии В1 и В2с некоторыми вероятностями (q1, q2). Аналогично отмечаем на оси ОУ точку -1, а на параллельнойей оси – точку 2 и соединяем отрезком. Получаем линию, показывающую, сколько, всреднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию А2. Точно такжедля А3 и А4.

Для игрока В надо выбратьверхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту стратегию,которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рисунке 1 этоломанная А3КА2, выделенная толстой линией. Игроку Вследует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшемупроигрышу для В – точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующихстратегиям А3 и А2. Выпишем уравнения этих прямых.

Прямая (А3 А3)проходит через точки с координатами (0;2) и (1;-4). Уравнение этой прямойзапишется в следующем виде:

/>

Уравнение прямой (А2А2), проходящей через точки (0;-1) и (1;2), запишется вследующем виде:

/>

Рисунок 1 –Графическое решение

/>

Точка К – точкапересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяющие системе:

/>

Решение системы: />

Следовательно, цена игры ν = 0,оптимальная стратегия для игрока В:

/>

Для игрока А, стратегии А1и А4 будут не активными, игроку А не выгодно их использовать.Максимально возможный выигрыш, равный цене игры ν = 0, игрок А будетполучать, используя стратегии А2 и А3. Найдем оптимальнуюсмешанную стратегию для игрока А из следующей системы, учитывая, что А1и А4 не активные стратегии, то есть р1 = р4 =0:

/>

 

Ответ: Цена игры ν = 0, оптимальныестратегии игроков /> 

3. Решить геометрическиследующую задачу линейного программирования:

/>при ограничениях: />/>

Решение:

Построим областьограничений. Строим прямую (1): x1 – 4x2 — 4 = 0  по двум точкам, координаты которых удовлетворяютуравнению: (8; 1), (4; 0), как показано на рисунке 2. Проверяем, какаяполуплоскость удовлетворяет неравенству />,для этого подставим значение произвольной точки (0; 0) в это неравенство,получим /> — выполняется. Аналогичнымспособом строим прямые (2): /> и (3): />, выделяем «бородой»области значений x1, x2, удовлетворяющие условиям /> и/>. На рисунке 2 изображенаобласть, удовлетворяющая представленной в условиях задачи системе. Заметим, что/> и одно из неравенствсистемы  — />, тогда, очевидно, функция F принимает значения интервала />, но />, тогда Fmax = />.

Ответ: Fmax = />.

/>

Рисунок 2 – Графическое решение

4. Для выпуска двух видовпродукции А и В предприятие использует 4 вида ресурсов, все данные представленыв следующей таблице:

Вид ресурса Расход ресурсов для выпуска одного изделия Наличие ресурса А В Рабочая сила 1 3 3 Сырье 6 3 24 Оборудование 2 5 20 Производственные ресурсы 2 2 10

Прибыль от реализацииединицы продукции А и В составляет 50 и 70 ДЕ, соответственно. Предприятиеможет нанять людей на работу, а увольнять людей не разрешается. Составить планвыпуска продукции, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Сколькочеловек придется нанять?

Решение:

Обозначим x1, x2 – число единиц продукциисоответственно А и В, запланированных к производству. По условию для ихизготовления потребуется (1∙ x1 + 3∙x2) единиц ресурса «Рабочая сила», (6∙ x1 + 3∙ x2) единицресурса «Сырье», (2∙ x1 + 5∙ x2) единиц ресурса «Оборудование», (2∙ x1 + 2∙ x2) единицресурса «Производственные ресурсы». Так как потребление всех этих видовресурсов не должно превышать наличие ресурсов, то связь между потреблениемресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

/>

где а ≥ 3 и а – целое число(количество работников).

Суммарная прибыль стремиться кмаксимальному значению:

/>

Все значения x1 и x2 лежат в I четверти, а функция F – луч, исходящий из точки (0; 0) под углом α к оси ОX1, где /> т.е. /> - функция прибыли F. Строим графическое решение длянеравенств (2): />, (3): />, (4): />, как это показано нарисунке 3.

Максимально возможнаяприбыль из графического решения в точке К, координаты которой находим изсистемы: />

С учетом, x1, x2 – целые числа (только конечныйпродукт можно продать и получить прибыль), находим: при  х1 = х2= 2  возможно получение  максимальной прибыли />Подставивх1 = х2 = 2 в неравенство (1): />, получим />, т.е. а = 8. Необходимодополнительно нанять 8 – 3 = 5 человек.

Ответ: Максимально возможная прибыль 240 ДЕвозможна при производстве изделий А – 2шт. и изделий В – 2 шт., при этомпридется дополнительно нанять 5 работников.

/>

Рисунок 3 – Графическое решение

5. Построить графсостояний следующего случайного процесса: система состоит из двух аппаратов попродаже билетов, каждый из которых в случайный момент времени может быть либозанятым, либо свободным.

 

Решение:

Система может находитьсяв четырех состояниях, так как у каждого аппарата по продаже билетов есть два состояния(быть занятым или свободным). Пусть S0– обааппарата заняты; S1 – 1-ый занят, 2-ой свободен; S2 – 1-ый свободен, 2-ой занят; S3 – оба аппарата свободны. Построим граф состояний,отметив на нем все возможные состояния кругами, а возможные переходы изсостояния в состояние обозначим стрелками. Получаем, что переход из S0в S3 возможен либо через S1, либо через S2, либонапрямик, как показано на рисунке 4.

/>

Рисунок 4 – Граф состояний аппаратовпо продаже билетов

6. Найти предельныевероятности для системы S,граф которой изображен на рисунке.

/>

 

Решение:

В теории случайныхпроцессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждогоиз них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, топредельные вероятности существуют. Их можно найти из уравнений Колмогорова,составив систему по данному размеченному графу состояний, по следующемуправилу:

Слева в уравнениистоит предельная вероятность данного состояния pi, умноженная на суммарнуюинтенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – суммапроизведений интенсивностей всех потоков, входящих в данное состояние, навероятности тех состояний, из которых эти состояния выходят.

Кроме этого надоучитывать, что сумма всех вероятностей данной конечной системы равна единице.Составим уравнения для состояний S1 и S2 (уравнение для состояния S0– «лишнее»): />

Ответ: Система примерно 66,67% временипребывает в состоянии S0, 25% — в состоянии S1 и 8,33% времени находится в состоянии S2.

7. Найти валовой выпускдля сбалансированной многоотраслевой экономики в модели Леонтьева, если данаматрица прямых затрат А и вектор конечного потребления У:

/>

 

Решение:

Для сбалансированной многоотраслевойэкономики выполняется следующее соотношение:

/>

где Х - вектор валового выпуска; У - вектор конечного потребления; А - матрица прямых затрат.

Выразим валовой выпуск через конечноепотребление и матрицу затрат:

/>

Находим матрицу, обратную к (Е – А):

/>

/>

/>

Найдем валовой выпуск:

Х = />

 

Ответ: Валовой выпуск равен (811,3; 660,4).

*При решении задачиспользовался источник:

АлесинскаяТ.В. Учебное пособие порешению задач по курсу «Экономико-математические методы и модели». — Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002. — 153 с.