Реферат: Экономическое моделирование

Задача 1

Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующаязависимость x от y:

/>.

Известно также, что, />.

Задание

1. Постройтедоверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели:

a. с вероятностью90%;

b. с вероятностью99%.

2. Проанализируйтерезультаты, полученные в п.1, и поясните причины их различий.

Решение.

Формула для расчета доверительного интервала для коэффициентарегрессии имеет вид:

/>

где /> — случайная ошибка параметра линейнойрегрессии. Оценка значимости коэффициента регрессии проводится путемсопоставления его значения с величиной случайной ошибки.

/>

где F – F-критерий Фишера и определяется изсоотношения:

/>

Тогда

/>

При /> и числа степеней свободы /> табличноезначение />.

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что />, из чегоследует, что гипотезу о несущественности параметра b с вероятностью 90% (p = 1 – α) следует отклонить

Для коэффициента регрессии в примере 90 %-ые границысоставят:

-7 + 1,7143 · (-2,86) ≤ b ≤ -7 — 1,7143 · (-2,86)

-11,9 ≤ b ≤ -2,04

При /> и числа степеней свободы /> табличноезначение />.

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что />, из чегоследует, что гипотезу о несущественности параметра b с вероятностью 99% (p = 1 – α) следует принять и признается статистическаянезначимость параметра b.

Для коэффициента регрессии в примере 99 %-ые границысоставят:

-7 + 2,8784 · (-2,86) ≤ b ≤ -7 – 2,8784 · (-2,86)

-15,23 ≤ b ≤ 1,232

Получили, что доверительный интервал для коэффициентакорреляции с вероятностью 90% значительно меньше доверительного интервала свероятностью 99%. Это объясняется тем, что при увеличении интервала вероятностьпопадания в него оцениваемого параметра растет и наоборот, с уменьшениеминтервала – вероятность снижается.

№ Производительность труда рабочих, тыс.руб., y

/>

/>

/>

фактическая, y

расчетная, />

1 12 10 0,167 4 0,16 2 8 10 0,250 4 12,96 3 13 13 0,000 1,96 4 15 14 0,067 1 11,56 5 16 15 0,063 1 19,36 6 11 12 0,091 1 0,36 7 12 13 0,083 1 0,16 8 9 10 0,111 1 6,76 9 11 10 0,091 1 0,36 10 9 9 6,76 Итого: - - 0,922 14 60,40 Ср. значение 11,6 - - - -

Задача 2

Зависимость среднемесячной производительности труда отвозраста рабочих характеризуется моделью />. Ее использование привело крезультатам, представленным в таблице:

№ Производительность труда рабочих, тыс.руб., y фактическая расчетная 1 12 10 2 8 10 3 13 13 4 15 14 5 16 15 6 11 12 7 12 13 8 9 10 9 11 10 10 9 9

Задание

Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации,индекс корреляции и F-критерий Фишера.

Решение

Значение средней ошибки аппроксимации находится по формуле:

/>

/>

Рассчитанное значение средней ошибки аппроксимации говорит определьном качестве модели, поскольку близко подходит к критическому пределу в10%.

Индекс корреляции (для нелинейной регрессии):

/>

/>

Найденное значение индекса корреляции говорит о наличииблизкой зависимости среднемесячной производительности труда от возрастарабочих.

F-критерий Фишера:

/>.

/> 

Приуровне значимости α = 0,05, k1 = 1 (m) и k2 = 10 (n-m-1=10-1-1)степенях свободы табличное значение F-критерия Фишера />.

/>=26,5 > />=5,12, значит, H0– гипотеза о случайной природе оцениваемыххарактеристик откланяется и признается их статистическая значимость инадёжность. Вывод: показатели рассчитанных коэффициентов позволяют предложитьотобразить зависимость среднемесячной производительности труда от возрастарабочих выбором более точной модели путем введения дополнительных переменных,либо изменением уравнения регрессии.

Задача 3

регрессия аппроксимация корреляция спрос

Зависимость спроса на товар K от его цены характеризуется по 20 наблюдениям уравнением: />. Доляостаточной дисперсии в общей составила 18%.

Задание

1. Запишите данноеуравнение в виде степенной функции.

2. Оценитеэластичность спроса на товар в зависимости от его цены.

3. Определите индекскорреляции.

4. Оценитезначимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение.

1. Уравнение в видестепенной функции: />

2. Эластичностьстепенной функции: />

Фактором снижения спроса выступает его цена: с ростом цены на1%, спрос снижается на 0,35%.

3. Индекс корреляции(для нелинейной регрессии):

Поскольку доля остаточной дисперсии в общей составила 18%, поэтомууравнение регрессии объясняется 82% дисперсии результативного признака, т. е. коэффициентдетерминации равен R2 = 0,82.

Индекс корреляции находится: /> Величина индекса корреляциидостаточно близка к 1 и означает наличие достаточно тесной связи объема спросаот размера цены.

F –тест состоитв проверке гипотезы H0остатистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Дляэтого сравнивается фактическое и критическое значение F-критерияФишера. При уровне значимости α = 0,05, k1 = 1 (m) и k2 = 20 (n-m-1=20-1-1)степенях свободы табличное значение F-критерия Фишера />:

/>.

/>> />,

то H0– гипотеза о случайной природеоцениваемых характеристик откланяется и признается их статистическая значимостьи надёжность.

Вывод: уравнение регрессии характеризует достаточно теснуюзависимость спроса на товар K отего цены. Причем, наблюдается обратная зависимость: с увеличением цены, спроспадает.

Задача 4

Изучение влияния стоимости основных и оборотных средств навеличину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 12 торговымпредприятиям были получены данные, приведенные в таблице:

Номер предприятия Валовой доход за год, млн.руб. Среднегодовая стоимость, млн.руб. основных фондов оборотных средств 1 203 118 105 2 63 28 56 3 45 17 54 4 113 50 63 5 121 56 28 6 88 102 50 7 110 116 54 8 56 124 42 9 80 114 36 10 237 154 106 11 160 115 88 12 75 98 46

Задание

1. Постройтелинейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл егопараметров. Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели спомощью t-критерия.

2. Рассчитайтесредние коэффициенты эластичности.

3. Определите парныеи частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициенткорреляции; сделайте выводы о силе связи результата и факторов.

4. Дайте оценкуполученного уравнения на основе общего F-критерия Фишера.

5. Оцените качествоуравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

6. Рассчитайтепрогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют80% от их максимальных значений.

7. Оценитеполученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение.

Построение линейной множественной регрессии сводится к оценкеее параметров – а, b1 и b2.  Для расчета параметров а, b1 и b2уравнениярегрессии /> решаемсистему нормальных уравнений относительно а, b1 и b2:

/>

По исходным данным произведем расчет предварительныхпараметров (табл. 4.1)

Таблица 4.1

№ У

Х1

Х2

Х12

Х22

Х1·Х2

У·Х1

У·Х2

ŷ 1 203 118 105 13924,00 11025,00 12390,00 23954,00 21315,00 197,29 2 63 28 56 784,00 3136,00 1568,00 1764,00 3528,00 80,63 3 45 17 54 289,00 2916,00 918,00 765,00 2430,00 73,07 4 113 50 63 2500,00 3969,00 3150,00 5650,00 7119,00 100,80 5 121 56 28 3136,00 784,00 1568,00 6776,00 3388,00 44,39 6 88 102 50 10404,00 2500,00 5100,00 8976,00 4400,00 98,90 7 110 116 54 13456,00 2916,00 6264,00 12760,00 5940,00 110,97 8 56 124 42 15376,00 1764,00 5208,00 6944,00 2352,00 93,91 9 80 114 36 12996,00 1296,00 4104,00 9120,00 2880,00 80,01 10 237 154 106 23716,00 11236,00 16324,00 36498,00 25122,00 212,75 11 160 115 88 13225,00 7744,00 10120,00 18400,00 14080,00 167,62 12 75 98 46 9604,00 2116,00 4508,00 7350,00 3450,00 90,66 Итого: 1351,00 1092,0 728,0 119410,0 51402,0 71222,0 138957,0 96004,0 1351,00

Систему линейных уравнений удобно решать методом Крамера(метод определителей):

/>

/>

/>

/> — частные определители, которыеполучаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системыданными левой части системы.

/>

частный определитель параметра а.

/>

/>

частный определитель параметра х1.

/>

/>

частный определитель параметра х2.

/>

Теперь произведем расчет коэффициентов множественнойрегрессии:

/>

Аналогичные результаты можно получить с помощью автоматическойпроцедуры нахождения параметров «Анализ данных» → «Регрессия» MS Excelуравнения множественной регрессии:

 Окончательно уравнениемножественной регрессии, связывающее валовой доход за год (у) со средней стоимостью основных фондов (х1)и со средней стоимостью оборотных средств (х2) имеет вид:

/>

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – сувеличением среднегодовой стоимости основных фондов на 1 млн. руб. размервалового дохода возрастет в среднем на 380 тыс. руб., при том же стоимостиоборотных средств. Увеличение среднегодовойстоимости оборотных средств на 1 млн. руб. при той же стоимости основныхфондов предполагает дополнительное увеличение валового дохода за год на 1,68млн. руб.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессиирассчитываются t-критерийСтьюдента и доверительные интервалы для каждого из них. Выдвигается гипотеза H0 о случайной природе показателей, т.е.о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии спомощью t-критерия Стьюдента проводится путемсопоставления их значений с величиной случайной ошибки по формулам:

/> и />.

Где случайные ошибки параметров линейной регрессииопределяются следующим образом:

/>; />

/>средняя квадратическая ошибка i-го коэффициента регрессии(стандартная ошибка i-го коэффициентарегрессии);

/>среднеквадратичное отклонениевеличины у;

/>среднеквадратичное отклонениевеличины х1;

/>среднеквадратичное отклонениевеличины х2;

/>

совокупный коэффициент множественной корреляции;

/>

определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

/>

определитель матрицы межфакторной корреляции. Как видно,величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляциирезультата с каждым их факторов, но и от межфакторной корреляции.  Парныйкоэффициент корреляции между у и х1 рассчитывается по формуле:

/>

Произведем расчет необходимых параметров в таблице 4.2

Таблица 4.2

№ У

Х1

/>

/>

/>

/>

/>

1 203,0 118,0 90,4 27,0 2441,25 8175,17 729,00 2 63,0 28,0 -49,6 -63,0 3123,75 2458,51 3969,00 3 45,0 17,0 -67,6 -74,0 5001,17 4567,51 5476,00 4 113,0 50,0 0,4 -41,0 -17,08 0,17 1681,00 5 121,0 56,0 8,4 -35,0 -294,58 70,84 1225,00 6 88,0 102,0 -24,6 11,0 -270,42 604,34 121,00 7 110,0 116,0 -2,6 25,0 -64,58 6,67 625,00 8 56,0 124,0 -56,6 33,0 -1867,25 3201,67 1089,00 9 80,0 114,0 -32,6 23,0 -749,42 1061,67 529,00 10 237,0 154,0 124,4 63,0 7838,25 15479,51 3969,00 11 160,0 115,0 47,4 24,0 1138,00 2248,34 576,00 12 75,0 98,0 -37,6 7,0 -263,08 1412,51 49,00 Итого 1351,00 1092,00 16016,00 39286,92 20038,00 Среднее значение 112,6 91,0

Тогда коэффициент корреляции между у и х1составит:

/>

Парный коэффициент корреляции между у и х2 рассчитываетсяпо формуле:

/>

Произведем расчет необходимых параметров в таблице 4.3

Таблица 4.3

№ У

Х2

/>

/>

/>

/>

/>

1 203,0 105,0 90,4 44,3 4008,47 8175,17 1965,44 2 63,0 56,0 -49,6 -4,7 231,39 2458,51 21,78 3 45,0 54,0 -67,6 -6,7 450,56 4567,51 44,44 4 113,0 63,0 0,4 2,3 0,97 0,17 5,44 5 121,0 28,0 8,4 -32,7 -274,94 70,84 1067,11 6 88,0 50,0 -24,6 -10,7 262,22 604,34 113,78 7 110,0 54,0 -2,6 -6,7 17,22 6,67 44,44 8 56,0 42,0 -56,6 -18,7 1056,22 3201,67 348,44 9 80,0 36,0 -32,6 -24,7 803,72 1061,67 608,44 10 237,0 106,0 124,4 45,3 5640,22 15479,51 2055,11 11 160,0 88,0 47,4 27,3 1296,06 2248,34 747,11 12 75,0 46,0 -37,6 -14,7 551,22 1412,51 215,11 Итого 1351,00 728,00 14043,33 39286,92 7236,67 Среднее значение 112,6 60,7

Тогда коэффициент корреляции между у и х2 составит:

/>

Парный коэффициент корреляции между х1 и х2 рассчитываетсяпо формуле:

/>

Произведем расчет необходимых параметров в таблице 4.4

Таблица 4.4

№

х1

х2

/>

/>

/>

/>

/>

1 118,0 105,0 27,0 44,3 1197,00 729,00 1965,44 2 28,0 56,0 -63,0 -4,7 294,00 3969,00 21,78 3 17,0 54,0 -74,0 -6,7 493,33 5476,00 44,44 4 50,0 63,0 -41,0 2,3 -95,67 1681,00 5,44 5 56,0 28,0 -35,0 -32,7 1143,33 1225,00 1067,11 6 102,0 50,0 11,0 -10,7 -117,33 121,00 113,78 7 116,0 54,0 25,0 -6,7 -166,67 625,00 44,44 8 124,0 42,0 33,0 -18,7 -616,00 1089,00 348,44 9 114,0 36,0 23,0 -24,7 -567,33 529,00 608,44 10 154,0 106,0 63,0 45,3 2856,00 3969,00 2055,11 11 115,0 88,0 24,0 27,3 656,00 576,00 747,11 12 98,0 46,0 7,0 -14,7 -102,67 49,00 215,11 Итого 1092,00 728,00 4974,00 20038,00 7236,67 Средне значение 91,0 60,7

Тогда коэффициент корреляции между х1 и х2 составит:

/>

При трех переменных для двухфакторного уравнения регрессиирассчитаем определители матрицы парной корреляции и межфакторной корреляции:

/>;

/>

Тогда совокупный коэффициент множественной корреляции составит:

/>

По данным из табл. 2, 3 рассчитаем теперь среднееквадратическое отклонение величин у, х1 и х2 по формулам:

/>

Рассчитаем теперь средние квадратические ошибки коэффициентоврегрессии b1 и b2

/>

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводится квычислению значений:

/>

При уровне значимости α = 0,05, df = 11 (n-m-1=12-2-1) степенях свободы табличноезначение t-критерия Стьюдента 2,26.

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что />, из чегоследует, что гипотезу о несущественности параметра b2 с вероятностью 95% (p = 1 – α) следует отклонить. А вот /> из чего следует, чтогипотезу о несущественности параметра b1 свероятностью 95% (p = 1 – α)следует принять и признается статистическая незначимость параметра b1.

2. Для характеристики относительной силы влияния х1 их2 на у используя коэффициенты регрессии можно рассчитать средниекоэффициенты эластичности. Как правило, их рассчитывают для средних значенийфакторов и результатов.

/>

С увеличением среднегодовой стоимости основных фондов (х1)на 1% от его среднего уровня, средний объем валового дохода за год увеличитсяна 0,37% от своего среднего уровня; при повышении среднегодовой стоимостиоборотных средств на 1% — увеличится на 0,53% от своего среднего уровня.Очевидно, что сила влияния средней стоимости оборотных средств (х2)на валовой доход (у) оказалась сильнее, чем сила влияния средней стоимостиосновных фондов (х1).

Рассчитаем линейные коэффициенты частной корреляции

/>

Расчёт линейного коэффициента множественной корреляции икоэффициентов парной корреляции выполнен в п.1 Коэффициент множественнойдетерминации рассчитывается как квадрат коэффициента множественной корреляции:

/> Зависимость у от х1 их2 характеризуется как тесная, в которой 76% вариации валового доходаопределяются вариацией учтенных в модели факторов: среднегодовой стоимостиосновных фондов и среднегодовой стоимости оборотных средств. Прочие факторы, невключенные в модель, составляют соответственно 14% от общей вариации у.

4. F –тест Фишера состоит в проверке гипотезы H0о статистической незначимости уравнения регрессии ипоказателя тесноты связи. Для этого сравнивается фактическое и критическоезначение F-критерия Фишера. При уровне значимости α = 0,05,k1 = 2 (m) и k2 = 9 (n-m-1=12-2-1) степенях свободы табличное значение F-критерияФишера: />

/>

Таблица4.5

№ у ŷ

/>

/>

1 203 197,29 7174,61 32,65 2 63 80,63 1020,85 310,91 3 45 73,07 1561,63 787,69 4 113 100,80 138,89 148,88 5 121 44,39 4650,78 5869,60 6 88 98,90 187,15 118,88 7 110 110,97 2,59 0,95 8 56 93,91 348,78 1437,00 9 80 80,01 1060,74 0,00 10 237 212,75 10033,02 588,14 11 160 167,62 3029,24 58,09 12 75 90,66 480,55 245,29 Сумма 1351,00 29688,8 9598,1

Тогда

/>

/>> />, значит, H0– гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристикоткланяется и признается их статистическая значимость и надёжность.

Значение средней ошибки аппроксимации найдем по формуле:

/>

Таблица.4.6 Расчет ошибки аппроксимации

№ у ŷ

/>

1 203,0 197,29 0,03 2 63,0 80,63 0,28 3 45,0 73,07 0,62 4 113,0 100,80 0,11 5 121,0 44,39 0,63 6 88,0 98,90 0,12 7 110,0 110,97 0,01 8 56,0 93,91 0,68 9 80,0 80,01 0,00 10 237,0 212,75 0,10 11 160,0 167,62 0,05 12 75,0 90,66 0,21 13 1351,0 1351,0 2,8 14 203,0 197,29 0,03 Сумма 63,0 80,63 0,28

/>

Ошибка аппроксимации показала очень сильное отличиефактического значения результативного признака от теоретического, рассчитанногопо множественному уравнению регрессии, что свидетельствует о плохом выбореуравнения регрессии.

Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозныезначения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Задача 5

Имеются данные об объемах продаж в перерабатывающейпромышленности и торговле США в течение 5 лет в сопоставимых ценах в млрд.долл.

Месяц 1 год 2 год 3 год 4 год 5 год Январь 472,5 477,9 510,9 541,0 578,2 Февраль 482,1 467,5 484,7 512,3 539,4 Март 489,5 470,9 486,6 512,6 545,3 Апрель 493,6 469,1 488,4 511,5 551,9 Май 488,0 478,1 489,5 511,9 549,7 Июнь 490,6 480,6 486,6 513,9 550,1 Июль 492,5 479,3 491,8 520,0 554,0 Август 488,1 484,2 495,2 515,9 550,0 Сентябрь 493,1 484,9 491,8 524,2 565,6 Октябрь 484,5 485,6 496,1 527,1 564,7 Ноябрь 483,0 486,1 498,8 529,8 566,9 Декабрь 476,9 484,7 501,5 534,9 572,7

Задание

Рассчитайте трендовую и сезонную компоненты. Постройтемультипликативную модель этого ряда. Найдите наиболее целесообразный вариантпостроения уравнения авторегрессии через расчет коэффициентов автокорреляциипервого, второго и третьего порядка. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

Решение

1. Расчет оценоксезонной компоненты в мультипликативной модели

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деленияфактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем этиоценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем годам)оценки сезонной компоненты Sj. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной моделивыражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем месяцам должнабыть равна числу периодов в цикле, т.е. двенадцати, так как в нашем случаечисло периодов одного цикла (год) равно 12 месяцам. Для данной модели имеем:

/>.

Определим корректирующий коэффициент:

/>.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты какразность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

/>,

где />.

Проверим условие равенства двенадцати суммы значений сезоннойкомпоненты:

/>.

Таким образом, получены следующие значения сезоннойкомпоненты:

Элиминируем влияние сезонной компоненты, разделив значениекаждого уровня исходного временного ряда на соответствующие значения сезоннойкомпоненты. Получим T∙E=Y/S, значения,которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 5.3 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е вмультипликативной модели

t y S y/S T T·S

/>

E

/>

/>

1 472,5 1,045 452,024 462,884 483,852 1223,600 0,977 -11,352 128,866 2 482,1 0,992 486,039 464,396 460,632 644,144 1,047 21,468 460,863 3 489,5 0,995 492,032 465,908 463,510 323,280 1,056 25,990 675,460 4 493,6 0,994 496,428 467,419 464,757 192,654 1,062 28,843 831,923 5 488 0,996 490,190 468,931 466,836 379,470 1,045 21,164 447,915 6 490,6 0,993 494,071 470,443 467,138 284,934 1,050 23,462 550,462 7 492,5 1,000 492,362 471,955 472,087 224,400 1,043 20,413 416,700 8 488,1 0,997 489,587 473,466 472,028 375,584 1,034 16,072 258,315 9 493,1 1,000 493,166 474,978 474,915 206,784 1,038 18,185 330,712 10 484,5 0,997 485,935 476,490 475,083 528,080 1,020 9,417 88,688 11 483 0,997 484,563 478,001 476,459 599,270 1,014 6,541 42,783 12 476,9 0,994 479,676 479,513 476,738 935,136 1,000 0,162 0,026 13 477,9 1,045 457,190 481,025 502,814 874,976 0,950 -24,914 620,722 14 467,5 0,992 471,320 482,537 478,626 1598,400 0,977 -11,126 123,785 15 470,9 0,995 473,336 484,048 481,558 1338,096 0,978 -10,658 113,586 16 469,1 0,994 471,787 485,560 482,794 1473,024 0,972 -13,694 187,532 17 478,1 0,996 480,246 487,072 484,896 863,184 0,986 -6,796 46,180 18 480,6 0,993 484,000 488,584 485,151 722,534 0,991 -4,551 20,714 19 479,3 1,000 479,166 490,095 490,233 794,112 0,978 -10,933 119,520 20 484,2 0,997 485,676 491,607 490,113 541,958 0,988 -5,913 34,968 21 484,9 1,000 484,965 493,119 493,053 509,856 0,983 -8,153 66,467 22 485,6 0,997 487,038 494,630 493,170 478,734 0,985 -7,570 57,300 23 486,1 0,997 487,674 496,142 494,541 457,104 0,983 -8,441 71,255 24 484,7 0,994 487,521 497,654 494,774 518,928 0,980 -10,074 101,480 25 510,9 1,045 488,760 499,166 521,777 11,696 0,979 -10,877 118,302 26 484,7 0,992 488,660 500,677 496,620 518,928 0,976 -11,920 142,075 27 486,6 0,995 489,117 502,189 499,605 435,974 0,974 -13,005 169,130 28 488,4 0,994 491,198 503,701 500,832 364,046 0,975 -12,432 154,543 29 489,5 0,996 491,697 505,212 502,955 323,280 0,973 -13,455 181,042 30 486,6 0,993 490,042 506,724 503,164 435,974 0,967 -16,564 274,382 31 491,8 1,000 491,662 508,236 508,378 245,862 0,967 -16,578 274,837 32 495,2 0,997 496,709 509,748 508,199 150,798 0,974 -12,999 168,971 33 491,8 1,000 491,866 511,259 511,191 245,862 0,962 -19,391 376,008 34 496,1 0,997 497,569 512,771 511,257 129,504 0,970 -15,157 229,726 35 498,8 0,997 500,415 514,283 512,623 75,342 0,973 -13,823 191,086 36 501,5 0,994 504,419 515,794 512,809 35,760 0,978 -11,309 127,902 37 541 1,045 517,556 517,306 540,739 1123,590 1,000 0,261 0,068 38 512,3 0,992 516,486 518,818 514,613 23,232 0,996 -2,313 5,351 39 512,6 0,995 515,251 520,330 517,652 26,214 0,990 -5,052 25,526 40 511,5 0,994 514,430 521,841 518,869 16,160 0,986 -7,369 54,300 41 511,9 0,996 514,197 523,353 521,015 19,536 0,983 -9,115 83,079 42 513,9 0,993 517,536 524,865 521,178 41,216 0,986 -7,278 52,965 43 520 1,000 519,854 526,376 526,524 156,750 0,988 -6,524 42,562 44 515,9 0,997 517,472 527,888 526,284 70,896 0,980 -10,384 107,836 45 524,2 1,000 524,270 529,400 529,329 279,558 0,990 -5,129 26,308 46 527,1 0,997 528,661 530,912 529,344 384,944 0,996 -2,244 5,035 47 529,8 0,997 531,515 532,423 530,705 498,182 0,998 -0,905 0,820 48 534,9 0,994 538,014 533,935 530,845 751,856 1,008 4,055 16,443 49 578,2 1,045 553,144 535,447 559,701 5001,318 1,033 18,499 342,198 50 539,4 0,992 543,807 536,959 532,607 1018,886 1,013 6,793 46,148 51 545,3 0,995 548,120 538,470 535,700 1430,352 1,018 9,600 92,168 52 551,9 0,994 555,062 539,982 536,906 1973,136 1,028 14,994 224,816 53 549,7 0,996 552,167 541,494 539,074 1782,528 1,020 10,626 112,904 54 550,1 0,993 553,992 543,005 539,191 1816,464 1,020 10,909 119,009 55 554 1,000 553,845 544,517 544,670 2164,110 1,017 9,330 87,055 56 550 0,997 551,676 546,029 544,370 1807,950 1,010 5,630 31,698 57 565,6 1,000 565,676 547,541 547,467 3377,934 1,033 18,133 328,793 58 564,7 0,997 566,373 549,052 547,431 3274,128 1,032 17,269 298,224 59 566,9 0,997 568,735 550,564 548,788 3530,736 1,033 18,112 328,060 60 572,7 0,994 576,034 552,076 548,881 4253,648 1,043 23,819 567,361 Итого 52661,016 60,006 1,751 11202,95

Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведеманалитическое выравнивание ряда (T∙E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитическоговыравнивания следующие:

Таким образом, имеем линейный тренд:

/>.

Подставив в это уравнение значение t = 1, 2, …, 60, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативноймодели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующихмесяцев.

Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится поформуле:

/>.

Численные значения ошибок приведены в таблице

Для оценки качества построения мультипликативной модели можноиспользовать сумму квадратов абсолютных ошибок/>. Для данной мультипликативноймодели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 11202,95. По отношению к общейсумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной52661,016, эта величина составляет 21,2%:

/>.

Следовательно, можно сказать, что мультипликативная модельобъясняет 78,8% общей вариации уровней временного ряда объема продаж вперерабатывающей промышленности и торговле США за последние 60 месяцев.Мультипликативная модель построена.

При этом при расчете коэффициента автокорреляции первогопорядка параметрами будут являться значения исходного ряда /> и значения ряда сотставанием на 1 />.

/>

/>; />

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляциивторого и более высоких порядков.

Таблица 5.4 Расчет коэффициента автокорреляции первогопорядка

t y

/>

/>

/>

/>

/>

/>

1 472,5 - - - - - - 2 482,1 472,5 -25,9729 -33,8746 879,8204 674,5906 1147,4869 3 489,5 482,1 -18,5729 -24,2746 450,8488 344,9519 589,2551 4 493,6 489,5 -14,4729 -16,8746 244,2237 209,4643 284,7513 5 488 493,6 -20,0729 -12,7746 256,4226 402,9206 163,1898 6 490,6 488 -17,4729 -18,3746 321,0568 305,3016 337,6251 7 492,5 490,6 -15,5729 -15,7746 245,6556 242,5146 248,8373 8 488,1 492,5 -19,9729 -13,8746 277,1153 398,9160 192,5039 9 493,1 488,1 -14,9729 -18,2746 273,6231 224,1872 333,9601 10 484,5 493,1 -23,5729 -13,2746 312,9200 555,6807 176,2144 11 483 484,5 -25,0729 -21,8746 548,4587 628,6494 478,4971 12 476,9 483 -31,1729 -23,3746 728,6529 971,7485 546,3708 13 477,9 476,9 -30,1729 -29,4746 889,3329 910,4028 868,7506 14 467,5 477,9 -40,5729 -28,4746 1155,2956 1646,1587 810,8015 15 470,9 467,5 -37,1729 -38,8746 1445,0800 1381,8231 1511,2327 16 469,1 470,9 -38,9729 -35,4746 1382,5465 1518,8855 1258,4456 17 478,1 469,1 -29,9729 -37,2746 1117,2265 898,3736 1389,3940 18 480,6 478,1 -27,4729 -28,2746 776,7841 754,7592 799,4517 19 479,3 480,6 -28,7729 -25,7746 741,6088 827,8787 664,3288 20 484,2 479,3 -23,8729 -27,0746 646,3481 569,9145 733,0327 21 484,9 484,2 -23,1729 -22,1746 513,8488 536,9824 491,7118 22 485,6 484,9 -22,4729 -21,4746 482,5956 505,0304 461,1574 23 486,1 485,6 -21,9729 -20,7746 456,4773 482,8075 431,5830 24 484,7 486,1 -23,3729 -20,2746 473,8753 546,2916 411,0584 25 510,9 484,7 2,8271 -21,6746 -61,2766 7,9926 469,7873 26 484,7 510,9 -23,3729 4,5254 -105,7722 546,2916 20,4795 27 486,6 484,7 -21,4729 -21,6746 465,4156 461,0846 469,7873 28 488,4 486,6 -19,6729 -19,7746 389,0229 387,0223 391,0339 29 489,5 488,4 -18,5729 -17,9746 333,8397 344,9519 323,0854 30 486,6 489,5 -21,4729 -16,8746 362,3458 461,0846 284,7513 31 491,8 486,6 -16,2729 -19,7746 321,7893 264,8067 391,0339 32 495,2 491,8 -12,8729 -14,5746 187,6168 165,7111 212,4183 33 491,8 495,2 -16,2729 -11,1746 181,8426 264,8067 124,8712 34 496,1 491,8 -11,9729 -14,5746 174,4997 143,3499 212,4183 35 498,8 496,1 -9,2729 -10,2746 95,2749 85,9863 105,5669 36 501,5 498,8 -6,5729 -7,5746 49,7868 43,2028 57,3742 37 541 501,5 32,9271 -4,8746 -160,5058 1084,1951 23,7615 38 512,3 541 4,2271 34,6254 146,3658 17,8685 1198,9200 39 512,6 512,3 4,5271 5,9254 26,8251 20,4948 35,1106 40 511,5 512,6 3,4271 6,2254 21,3353 11,7451 38,7559 41 511,9 511,5 3,8271 5,1254 19,6156 14,6468 26,2700 42 513,9 511,9 5,8271 5,5254 32,1973 33,9553 30,5303 43 520 513,9 11,9271 7,5254 89,7566 142,2562 56,6320 44 515,9 520 7,8271 13,6254 106,6478 61,2638 185,6522 45 524,2 515,9 16,1271 9,5254 153,6176 260,0840 90,7337 46 527,1 524,2 19,0271 17,8254 339,1665 362,0312 317,7457 47 529,8 527,1 21,7271 20,7254 450,3037 472,0677 429,5432 48 534,9 529,8 26,8271 23,4254 628,4366 719,6943 548,7505 49 578,2 534,9 70,1271 28,5254 2000,4058 4917,8128 813,6998 50 539,4 578,2 31,3271 71,8254 2250,0836 981,3884 5158,8915 51 545,3 539,4 37,2271 33,0254 1229,4414 1385,8584 1090,6786 52 551,9 545,3 43,8271 38,9254 1705,9892 1920,8163 1515,1886 53 549,7 551,9 41,6271 45,5254 1895,0922 1732,8170 2072,5642 54 550,1 549,7 42,0271 43,3254 1820,8427 1766,2787 1877,0923 55 554 550,1 45,9271 43,7254 2008,1827 2109,3002 1911,9127 56 550 554 41,9271 47,6254 1996,7968 1757,8833 2268,1810 57 565,6 550 57,5271 43,6254 2509,6449 3309,3694 1903,1776 58 564,7 565,6 56,6271 59,2254 3353,7651 3206,6306 3507,6508 59 566,9 564,7 58,8271 58,3254 3431,1166 3460,6299 3401,8551 60 572,7 566,9 64,6271 60,5254 3911,5837 4176,6645 3663,3269 Итого 29973,6 29876,1 46980,9093 52640,2766 49558,8719

/>

Рассчитав коэффициент автокорреляции второго порядка r2, получим количественную характеристику корреляционнойсвязи рядов />,/>: />.

Аналогично рассчитаем коэффициент автокорреляции третьегопорядка: />.

Можно сделать вывод, что наиболее целесообразно построениеуравнения авторегрессии так как значение /> свидетельствует о наличии оченьтесной связи между уровнями ряда с лагом в 1 месяц.