Реферат: Финансовая математика

МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Контрольнаяработа

Решение задач по финансовой математике

Архангельск,2010

Задание 1

Приведены поквартальные данныео кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условныхединицах) за 4 года (табл. 1)

Таблица 1. Исходные данные

Y(t)

1 39 2 50 3 59 4 38 5 42 6 54 7 66 8 40 9 45 10 58 11 69 12 42 13 50 14 62 15 74 16 46

ТРЕБУЕТСЯ

1. Построитьадаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора,приняв параметры сглаживания ;  = 0,6;  = 0,3.

2. Оценить точностьпостроенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценитьадекватность построенной модели на основе исследования:

- Случайностиостаточной компоненты по критерию пиков;

- Независимостиуровней ряда остатков по d — критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции прикритическом значении r1 = 0,32;

- Нормальностираспределения остаточной компоненты по R / Sкритерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построитьточечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на один год.

5. Отразить награфике фактические, расчетные и прогнозные данные.

РЕШЕНИЕ

I. Построимадаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора,приняв параметры сглаживания ; 2 = 0,6; 3 = 0,3.

Общий вид модели:

/>– расчетное значение уровня длямомента времени t с периодомупреждения k; />

k – период упреждения;

L – период сезонности;

(t– L) — индекс сезонного коэффициента за аналогичныйпериод прошлого года;

Ft<sub/>– мультипликативный индекссезонности;

a(t); a1(t) – параметры модели;

1. Найдем начальныеоценки параметров и индекса сезонности при n= 8.

/> - линейная трендовая модель

Параметра а0и а1 найдем используя МНК и систему нормальных уравнений:

Расчет необходимых суммпредставлен в таблице 2

Таблица 2. Таблица для расчета параметров моделии расчетных значений

у(t)

1 39 39 1 45,333 2 50 100 4 46,238 3 59 177 9 47,143 4 38 152 16 48,048 5 42 210 25 48,952 6 54 324 36 49,857 7 66 462 49 50,762 8 40 320 64 51,667 36 388 1784 204

/> />

Линейная трендовая модельпри n = 8: />

Для нахождения начальныхоценок индекса сезонности нужно фактические значения признака разделить нарасчетные и полученные значения усреднить по одноименным кварталам.

Расчетные значенияпризнака получаем путем последовательной подстановки значений t в трендовую модель /> (последняя графатаблицы 2).

/>/>

2. Произведемкорректировку параметров

Корректировкапараметров осуществляется по формулам:

/>, />, /> - параметры адаптации экспоненциальногосглаживания.

Рассматриваем I цикл

Рассматриваем II цикл

Рассматриваем III цикл

Рассматриваем VI цикл

Адаптивнаямультипликативная модель Хольта-Уинтерса:

Ft: F(4;1) = 0,876

F(4;2) = 1,083

F(4;3) = 1,273

F(4;4) = 0,774

Таблица3. Расчетная таблица для оценки качествамодели

t y(t)

E(t)

E(t)2

1 39 38,947 0,053 0,001 - 0,003 2 50 50,066 -0,066 0,001 0,004 0,014 3 59 60,154 -1,154 0,020 1 1,333 1,185 4 38 37,327 0,673 0,018 1 0,452 3,338 5 42 42,000 0,000 0,000 1 0,000 0,453 6 54 53,821 0,179 0,003 0,032 0,032 7 66 64,192 1,808 0,027 3,267 2,653 8 40 41,154 -1,154 0,029 1 1,331 8,770 9 45 45,277 -0,277 0,006 0,077 0,769 10 58 57,902 0,098 0,002 1 0,010 0,141 11 69 69,621 -0,621 0,009 0,385 0,517 12 42 42,910 -0,910 0,022 1 0,828 0,084 13 50 47,562 2,438 0,049 1 5,946 11,212 14 62 62,133 -0,133 0,002 0,018 6,613 15 74 74,331 -0,331 0,004 1 0,110 0,039 16 46 45,677 0,323 0,007 - 0,104 0,428

0,925

0,200

13,900

36,248

II. Оценимточность построенной модели с помощью средней относительной ошибкиаппроксимации

Расчет /> представлен вграфе 5 таблицы 3

Поскольку S < 7 %, то модель считаетсяточной.

III. Оценимадекватность построенной модели

1. Исследуемслучайность остаточной компоненты

Применяем критерийповоротных точек (критерий пиков). Точка считается поворотной, если она большепредшествующей и последующей (или меньше). Распределение ряда остатковсчитается случайным если выполняется неравенство:

m – количество поворотных точек.

Квадратные скобкиозначают, что берется целая часть числа.

По графику остатков(рис. 1) видно, что т = 8

8 > 6,следовательно, критерий поворотных точек выполняется и остатки имеют случайныйхарактер распределения.

Рис. 1

2. Исследуемнезависимость ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона

С помощью критерияДарбина – Уотсона определяют независимость уровней ряда остатков, отсутствиеавтокорреляции в ряду остатков.

Находим расчетноезначение статистики Дарбина-Уотсона dwрасчпоформуле:

Значение критерияДарбина-Уотсона распределено в интервале от 0 до 4. Расчетное значениесравнивается с табличными d1 =1,10, d2 = 1,37.

Суммы для расчетакритерия Дарбина – Уотсона приведены в итоговых строках 7 и 8 таблицы 3.

2 < dрасч= 2,608 < 4 – находим d’= 4 – dрасч= 4-2,608 = 1,392

d2 =1,37 < dрасч 1,392 < 2 – свойствонезависимости выполняется, автокорреляция в ряду остатков отсутствует.

3. Исследуемнормальность распределения остаточной компоненты по R/ Sкритерию с критическими значениямиот 3 до 4,21.

Расчетное значениекритерия находится по формуле:

Emax и Emin – наибольшее и наименьшее значениеостатков.

Расчетное значение R/S критерия попадает внутрь критических значений (3 < 3,740< 4,21), следовательно, свойство выполняется, распределение остатковсоответствует нормальному закону распределения.

Вывод: Рядом остатков выполняются всесвойства, что говорит об ее адекватности. Низкое значение средней относительнойошибки аппроксимации свидетельствует о высокой точности построенной модели.Следовательно, модель является качественной и ее можно использовать дляпрогнозирования.

IV. Построимточечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на один год

Адаптивнаямультипликативная модель Хольта-Уинтерса:

Ft: F(4;1) = 0,876

F(4;2) = 1,083

F(4;3) = 1,273

F(4;4) = 0,774

t = 17; k = 1

t = 18; k = 2

t = 19; k = 3

t = 20; k = 4

В 1-ый кварталпредполагается, что сумма кредитов на жилищное строительство составят 52,788,во 2-й квартал – 66,373, в 3-й квартал – 79,308, в 4-й квартал – 49,013.

На рис. 2 представленыфактические, расчетные и прогнозные значения кредитов от коммерческого банка нажилищное строительство.

Рис. 2

Задание 2

Даны цены (открытия,максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней (табл. 4). Интервалсглаживания принять равным 5 дням. Рассчитать:

· Экспоненциальнуюскользящую среднюю;

· Момент;

· Скоростьизменения цен;

· Индексотносительной силы;

· %R, %K, %D;

Расчеты проводить длявсех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихсяданных.

Таблица 4. Исходные данные

Дни Цены Макс. Мин. Закр. 1 595 580 585 2 579 568 570 3 583 571 578 4 587 577 585 5 586 578 582 6 594 585 587 7 585 563 565 8 579 541 579 9 599 565 599 10 625 591 618

РЕШЕНИЕ

1. Определим экспоненциальную скользящую среднюю

При расчете EMA учитываются все цены предшествующегопериода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания.Однако последним значениям цены придается большее значение, чемпредшествующим.ЕМА рассчитывается по формуле:

/>,

где Pt – цена закрытия дня t; k – параметр сглаживания;

/>,

где n – порядок скользящей средней

При определении EMAt-1 берется простая скользящая средняяиз порядка скользящей средней.

Графическое изображениефактических цен и экспоненциальной скользящей средней представлено на рис. 3.

Рис. 3

До 6 дня линия скользящейсредней ЕМА находилась ниже ценового графика, т.е. ценовой тренд былвосходящим. На 7-й день линия EMAпересекла график цен, линия ЕМА находилась выше графика цен, т.е. тренд изменилсвое направление, стал нисходящим и поступилсигнал к покупкефинансового актива. На 8-й день линия EMA опять пересекла график цен, тренд изменил свое направление, сталвосходящим и поступилсигнал к продаже финансового актива.

2. Определим момент Mt

Момент рассчитывается поформуле:

Мt= Pt– Pn,

где Pt– цена закрытия текущего дня; Pn– цена закрытия n дней назад, включая текущий

Критическим уровнем для Мtявляется 0. Если Мt > 0, то это свидетельствуют оботносительном росте цен, если Мt < 0 – о снижении. Движениеграфика момента вверх из зоны отрицательных в зону положительных значений вточке пересечения нулевой линии дает сигнал к покупке (в случае нисходящеготренда ситуация развивается в обратном направлении).

n = 5

М5 = Р5 - Р1 = 582 -585 = -3 М6 = Р6 - Р2 = 587 -570 = 17 М7 = Р7 - Р3 = 565 -578 = -13 М8 = Р8 - Р4 = 579 -585 = -6 М9 = Р9 - Р5 = 599 -582 = 17 М10 = Р10 - Р6 = 618 -587 = 31

Графически моментпредставлен на рисунке 4.

Рис. 4

На 6 день линия моментапересекла критический нулевой уровень, значения момента положительные, ценовойтренд стал восходящим, наблюдается относительное повышение цен, поступил сигналк покупке финансового инструмента. На 7 день линия момента пересеклакритический нулевой уровень, значения момента стали отрицательные, ценовойтренд поменял свое направление и стал нисходящим, наблюдается относительноеснижение цен, поступил сигнал к продаже финансового актива. На 9 день линиямомента опять пересекла критический уровень, тренд стал восходящим.

3. Рассчитаем скоростьизменения цен ROCt

Скорость изменения цен ROCt рассчитывается по формуле:

/>,

где Pt– цена закрытия текущего дня; Pn– цена закрытия n дней назад, включая текущий

Критическим уровнем для ROCtявляется 100%. Если ROC > 100%, то это свидетельствует оботносительном росте цен, ROC< 100% – о снижении. При пересечении критической линии происходит развороттренда.

n = 5

ROC1 = Р5 - Р1 = 582 / 585 * 100% = 99,49% ROC2 = Р6 - Р2 = 587 / 570 * 100% = 102,98% ROC3 = Р7 - Р3 = 565 / 578 * 100% = 97,75% ROC4 = Р8 - Р4 = 579 / 585 * 100% = 98,97% ROC5 = Р9 - Р5 = 599 / 582 * 100% = 102,92% ROC6 = Р10 - Р6 = 618 / 587 * 100% = 105,28%

Графически график Мt и ROCtизменения цен одинаков. График ROCt представлен на рисунке 5.

Рис. 5

На 6 день линия ROC пересекла критический уровень 100%,ценовой тренд восходящий, наблюдается относительное повышение цен, поступилсигнал к покупке финансового инструмента. На 7 день линия ROC пересекла критический уровень,значения ROC стали менее 100%, ценовой трендпоменял свое направление и стал нисходящим, наблюдается относительное снижениецен, поступил сигнал к продаже финансового актива. На 9 день линия ROC опять пересекла критический уровень,тренд стал восходящим.

4. Рассчитаем индексотносительной силы

Индекс относительной силыRSI считается наиболее значимымосциллятором. Расчет его предусмотрен во всех компьютерных программахтехнического анализа. Для расчета используют формулу:

/> />,

где AU– сумма приростов конечных цен за n дней; АD — сумма убылей конечных цен за n дней.

Расчет приростов и убылейпредставлен в таблице 5.

Таблица 5. Таблица для расчета приростов иубылей

повышение цен понижение цен /> /> 1 585 - - /> 2 570 15 /> 3 578 8 /> 4 585 7 /> 5 582 3 /> 6 587 5 /> 7 565 22 /> 8 579 14 /> 9 599 20 /> 10 618 19 />

n = 5

/> />

Критические линии возьмемравные 20 и 80%.

За все время значение RSI не выходит за пределы критическихзначений (20 и 80%), то есть рынок относительно спокоен, нет больших скачков,нет риска. Если значение станет ниже 20%, то это означает что цены на рынкепопали в зону перепроданности. Рынок считается перепроданным тогда, когда ценанаходится около нижней своей границы, их дальнейшее понижение практическиневозможно. Если значение станет выше 80%, то это означает что цены на рынкепопали в зону перекупленности. Рынок считается перекупленным тогда, когда ценанаходится около верхней своей границы, их дальнейшее повышение практическиневозможно. Момент выхода цены из зоны перекупленности служит сигналом кпродаже по самым высоким ценам.

5. Рассчитаем % R, % K, % D

% R, % K, % D – стохастические линии

В отличии от M, ROCи RSIстохастические линии строятся с использованием более полной информации при ихрасчете используют минимальные и максимальные цены.

/>,

где Рt<sub/>– цена закрытия текущего дня t; Ln – минимальная цена за n дней, включая текущий; Hn — максимальная цена за n дней, включая текущий

n = 5

/>/>

%R рассчитывается по похожей формуле:

/> />

Смысл индексов % K и % R состоит в том, что при росте ценцена закрытия бывает ближе к максимальной цене, а при падении ближе кминимальной. Они показывают, куда больше тяготеет цена закрытия. При расчете %Кразность между ценой закрытия текущего дня Pt и минимальной ценой за 5 днейсравнивают с размахом цен за эти же 5 дней. В случае расчета %R с размахом сравнивают разность междумаксимальной ценой за 5 дней и ценой закрытия.

% D рассчитывается аналогично % К,с той лишь разницей, что при его построении оперируют с трехдневной суммой.

Задание 3

Задача 3.1

Банк выдал ссуду,размером 4 млн. руб. Дата выдачи ссуды 10 января 2002, возврата 20 марта 2002.День выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются попростой процентной ставке 45% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты сточным числом дней ссуды

3.1.2) обыкновенныепроценты с точным числом дней ссуды

3.1.3) обыкновенныепроценты с приближенным числом дней ссуды

Дано: Р = 4000000 руб.; i = 0,45; tн – 10.01.02.; tк – 20.03.02.

Найти:I —?

Решение:

Формула процентов за весьсрок ссуды имеет вид:

/>,

где Р –первоначальная сумма долга;

t – срок ссуды в днях;

K – временная база (число дней вгоду);

i – ставка простых процентов 3.1.1)

Точные проценты с точнымчислом дней ссуды. Продолжительность года K (временная база) равна 365 (366) дням. Точное числодней ссуды t определяется путем подсчета числадней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения.

10.01.02. – 20.03.02.

10.01. – 31.01. 22 дня

1.02. – 28.02. 28дней

1.03. – 20.03. 20 дней

ВСЕГО 22 + 28 + 20 = 70дня

Поскольку дата выдачиссуды и дата погашения считается за 1 день, то t = 69 дней. К = 365 дней (2002 год – невисокосный)

Ответ: точные проценты с точным числом днейссуды составили 340273,97 руб.

3.1.2.) Обыкновенные (коммерческие) процентыс точным числом дней ссуды; величина t рассчитывается как в предыдущем случае, а временнаябаза принимается равной K=360дням.

Ответ:обыкновенные проценты с точным числом дней ссудысоставили 345 тыс. руб.

3.1.3.) Обыкновенные проценты с приближеннымчислом дней ссуды. В этом случае год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждоми временная база K = 360 дням.

10.01.02. – 20.03.02.

10.01. – 30.01. 21день

1.02. – 30.02. 30дней

1.03. – 20.03. 20дней

ВСЕГО: 21 + 30 + 20 = 71день

Поскольку дата выдачиссуды и дата погашения считается за 1 день, то t = 70 дней.

Ответ:обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссудысоставили 350 тыс. руб.

Задача 3.2

Через 90 дней послеподписания договора должник уплатит 4 млн. рублей. Кредит выдан под 45% годовых(проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Дано:S= 4 млн. руб.; i = 0,45; К = 360 дней; t = 90 дней

Найти:Р —? D — ?

Решение:

Процесс расчетапервоначальной суммы долга, когда известна наращенная сумма долга называетсядисконтированием.

Математическоедисконтирование представляет собой решение задачи обратной наращению

Формула математическогодисконтирования:

/>,

гдеР –первоначальная сумма долга;

S – наращенная сумма долга;

t – срок ссуды в днях;

К – временная база;

i – годовая ставка простых процентов.

/> — множительдисконтирования, показывающий какую часть от будущей суммы составляет еесегодняшняя стоимость.

Поскольку процентыобыкновенные, то К = 360.

Дисконт D рассчитывается как разница междунаращенной суммой долга и первоначальной:

D= S– P = 4000000 – 3595505,62 = 404494,38 руб.

Ответ: первоначальная сумма 3595505,62руб., а дисконт 404494,38 руб.

Задача 3.3

Через 90 дней предприятиедолжно получить по векселю 4 млн. руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом.Банк учел этот вексель по учетной ставке 45% годовых (год равен 360 дням).Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Дано:S = 4000000 руб.; d= 0,45; К = 360 дней; t= 90 дней

Найти:Р —? D — ?

Решение:

При учете векселейприменяют банковский (коммерческий) учет, а для начисления процентовиспользуется учетная ставка d.

Формула определениятекущей стоимости при банковском учете:

/>,

где Р – текущаясумма долга;

S – сумма векселя;

t – период времени от момента учетавекселя до даты погашения (в днях);

К – временная база;

d – годовая учетная ставка;

/> - дисконтный множитель.

Дисконт составит:

D= S– P = 4000000 – 3550000,00 = 45000,00 руб.

Ответ: предприятие получило 3550 тыс. руб.,а дисконт составил 450 тыс. руб.

Задача 3.4

В кредитном договоре насумму 4 млн. руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов,равная 45% годовых. Определить наращенную сумму.

Дано:Р = 4 млн. руб.; n = 5; iсл = 0,45

Найти:S — ?

Решение

Сложные процентыприменяются в долгосрочных финансово – кредитных операциях (сроком более одногогода), если проценты не выплачиваются периодически, сразу после их начисленияза прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.

Формула наращения посложным процентам имеет вид:

/>,

где Р –первоначальная сумма кредита;

S – наращенная сумма;

n– срок наращения;

iсл – годовая ставка сложных процентов

Для выполнения расчетов вExcel по формулам можно воспользоватьсяфункцией БС (находится в категории «Финансовые»).

Ответ: наращенная сумма 25638936,25 руб.

Задача 3.5

Сумма размером 4 млн.руб. предоставлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 45% годовых. Процентыначисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Дано: Р = 4 млн. руб.; n = 5; j = 0,45; m = 4

Найти: S —?

Решение

Номинальная ставка –годовая ставка процентов, которая является базой для расчета ставки,начисляемой за каждый период года. Начисление происходит m раз в году.

Формула наращения пономинальной ставки:

/>,

где Р –первоначальная сумма долга;

S – наращенная сумма долга;

n– срок ссуды в годах;

j – годовая номинальная ставка сложныхпроцентов;

m – число периодов начислений в год;

j/m – процентная ставка за период.

Синтаксис функции БС(ставка, кпре; плт; пс; тип).

Ее аргументами являются:

Ставка – процентнаяставка за период;

Кпер – обще числопериодов платежей по аннуитету;

Плт – выплата,производимая в каждом период;

Пс – приведенная ктекущему моменту стоимость;

Тип – число 0 или 1,обозначающая когда должна производиться выплата (0 – в конце периода; 1 – вначале периода).

Ответ:наращенная сумма составит 33733420,84 руб.

Задача 3.6

Вычислить эффективнуюставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в году, исходя изноминальной ставки 45 % годовых.

Дано:j= 0,45 m = 4

Найти:iэф — ?

Решение

Эффективная ставка –годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что иначисление по номинальной ставки jmраз в году.

Связь между эффективной иноминальной ставкой:

/> />

Поскольку суммы икапиталы равны, то равны и коэффициенты наращения:

/> = />

Из равенства выразимэффективную ставку:

Для выполнения расчетовпо формулам в Excel можно воспользоваться функцией ЭФФЕКТ(находится в категории «Финансовые»). Данная функция возвращает эффективную(фактическую) процентную ставку при заданной номинальной ставки процента иколичестве периодов, за которые начисляются сложные проценты.

Синтаксис функции ЭФФЕКТ(номинальная_ставка; кол_пер).

Аргументы функции:

Номинальная_ставка –значение номинальной процентной ставки;

Кол_пер – количествопериодов начисления.

Ответ: эффективная ставка процента составит 53,2%.

Задача 3.7

Определить какой должнабыть номинальная ставка при начислении процента 4 раза в году. Чтобы обеспечитьэффективную ставку 45% годовых.

Дано:iэф = 0,45 m = 4

Найти:j — ?

Решение

/> = />

Из равенства выразимноминальную ставку:

Для выполнения расчетовпо формулам в Excel можно воспользоваться функцией НОМИНАЛ(находится в категории «Финансовые»). Данная функция возвращает номинальнуюпроцентную ставку при заданной эффективной ставки процента и количествепериодов, за которые начисляются проценты.

Синтаксис функции НОМИНАЛ(эффект_ставка; кол_пер).

Аргументы функции:

Эффект_ставка – значениеэффективной процентной ставки;

Кол_пер – количествопериодов начисления.

Ответ: номинальная ставка составит 38,9%

Задача 3.8

Через 5 лет предприятиюбудет выплачена сумма 5 млн. руб. Определить ее современную стоимость приусловии, что применяется сложная процентная ставка 45% годовых.

Дано:S = 4 млн. руб. n = 5 iсл<sub/>= 0,45

Найти:Р — ?

математическоедисконтирование мультипликативная модель

Решение

Применяем формулуматематического дисконтирования по сложным процентам:

Для выполнения расчетовпо формулам в Excel можно воспользоваться функцией ПС(находится в категории «Финансовые»). Данная функция возвращает приведеннуюстоимость инвестиции при условии периодических равных по величине платежей ипостоянной процентной ставки.

Синтаксис функции ПС(ставка, кпре; плт; бс; тип).

Ее аргументами являются:

Ставка – процентнаяставка за период;

Кпер – количествопериодов начисления;

Плт – величина платежа;

бс – задает будущуюстоимость (необязательный аргумент);

Тип – число 0 или 1,обозначающая когда должно производиться начисление (0 – в конце периода; 1 – вначале периода).

Ответ:современная стоимость равна 624050,85 руб.

Задача 3.9

Через 5 лет по векселюдолжна быть выплачена сумма 4 млн. руб. Банк учел этот вексель по сложнойучетной ставке 45% годовых. Определить дисконт.

Дано:S = 4 млн. руб. n = 5 dсл = 0,45

Найти:D — ?

Решение

Рассчитаем текущуюстоимость по формуле банковского (коммерческого) учета по сложным процентам:

Готовые финансовыефункции для решения подобных задач в Excel не найдены.

Дисконт составит:

D= S– P = 4000000 – 20313,75 = 3798686,25 руб.

Ответ: дисконт составит 3798686,25 руб.

Задача 3.10

В течении 5 лет нарасчетный счет в конце каждого месяца поступает по 4 млн. рублей, на которые 4раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 45%. Определитьсумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано:R/р = 4 млн.руб.; j= 0,45; m = 4; n = 5;

Найти:S — ?

Решение

Формула р – срочнойренты:

/>,

гдеS – наращенная сумма;

R/p – размер отдельного платежа;

n– срок ренты;

j – годовая номинальная ставка сложныхпроцентов;

m – число периодов начислений в год;

Ответ: на расчетном счете будет сумма вразмере 55911644,615 руб.

еще рефераты