Реферат: Новый взгляд на основы мироздания

О размерности пространства

Климец Александр Павлович

Введение

Внешнийхарактер пространственных измерений наложил отпечаток на формированиесоответствующих естественно-математических понятий. В частности, это выразилосьв представлении о трехмерности пространства. Реальные вещи, тела и процессы, скоторыми сталкивается человек в практической деятельности, объемны. Посуществу, объемность (или емкость) и представляет собой реальнуюпространственную протяженность.

Пространствоне может быть чем-то иным, нежели совокупностью кубических метров. Однаковыражение реального объема именно в кубических метрах (см, км и т.п.) явилосьрезультатом длительного развития прежде всего хозяйственной, но вместе с тем инаучной практики. Потребность в измерении посевных площадей, расстояний ипривели к тому, что исходной основой пространственных измерений явилась длина иее абстрактное выражение — линия.

Почемутрехмерен объем в геометрии Евклида? Потому что в его основе лежит линия,взятая одномерно; линии образуют двумерную плоскость, а из плоскостей строитсятрехмерный объем. Хотя такой путь оптимален и в наибольшей степениудовлетворяет потребностям практики, он все же не является единственновозможным. Данные археологии подтверждают, что единицы измерения объема(емкости) исторически являются столь же древними, как и естественные измерениявремени и длины (день, месяц, ступня и т.п.). Можно предположить, что если быпрактические потребности первобытных людей выдвинули на передний план неизмерения площадей и расстояний, а измерения объемов, то развитие геометриимогло бы пойти по пути, отличному от проложенного Евклидом.

Говорят,к примеру: такая-то комната больше, чем другая; новый прибор (машина) болеекомпактен и занимает меньше места (меньшее пространство), чем прежняя модель.При всей приблизительности приведенных сравнений реальная пространственнаяобъемность выражена здесь в одном измерении: в отношении «больше — меньше». Если на основе подобных или аналогичных сравнений выработатьединицы измерения одномерных объемов и положить их в основу некоторойвоображаемой геометрии, то понятие линии в ней могло бы быть совершенно иным:например, выраженным в трех измерениях, скажем, как корень третьей степени изединицы одномерного объема.

Хотяподобное представление на первый взгляд и кажется вычурным, в действительностив нем нет ничего необычного. Разве при измерении линейкой поверхности столаодномерная линия получается не при помощи операций с двумя объемами (посколькуобъемны и линейка и стол, поверхность которого как сторона реальной объемностиподвергается измерению)? Полученная линия и измеренная длина, а также ихчисленные величины и являются результатом определенного сопоставления реальныхобъемных предметов.

Изсказанного следует, что ни двух-, ни трех-, ни четырехмерность, ни какая-либодругая многомерность не тождественна реальной пространственной протяженности, аотображает определенные аспекты тех объективных отношений, в которых она можетнаходиться. Материальный мир — это и мир Евклида, и мир Лобачевского, и мирРимана, и мир Минковского, ибо в понятиях любой из геометрий, связанной сименами этих выдающихся ученых, можно описать и отразить реальнуюпространственную протяженность, как всеобщий атрибут материальнойдействительности [1].

Модель многомерного пространства

Рассмотримтрехмерное пространство — пространство, каждая точка которого характеризуетсятремя числами по отношению к декартовой системе координат. В нем справедливатеорема Пифагора

R2 = X 2 + Y 2 + Z 2………………………………… (1)

ЗдесьR — расстояние между двумя точками. По сути дела, всю трехмерную евклидовуюгеометрию можно вывести из соотношения (1).Рассмотрим теперь множества,состоящие из точек (рис.1).Здесь точки символы, элементы множества.

/>

Поставимв соответствие множеству размерностей пространства множество точек. Тогда3-мерное пространство соответствует множеству из трех точек, 2-мерное — множеству из двух точек, 1- мерное — множеству из одной точки, 0- мерное — пустому множеству точек. Рассмотрим пересечения подмножеств точек в множествеиз трех точек (рис.2).

/>

Напомним,что пересечением называется подмножество, принадлежащее обоим пересекающимсяподмножествам. На рис.2 пересекаются подмножества, каждое из которых состоит издвух точек. Как видим, подмножества из двух точек могут пересекаться по однойточке. В 3-мерном пространстве это соответствует пересечению двух 2-мерныхплоскостей, пересекающихся по 1-мерной прямой. Рассмотрим рис.3.

/>

Здесьпересечение двух подмножеств из двух точек и одной точки происходит по пустомумножеству точек. В 3-мерном пространстве это соответствует пересечению прямой иплоскости в одной точке. Аналогично можно рассмотреть пересечения в 2-мерномпространстве и 1-мерном. Соответствие между множеством точек и множествомразмерностей будет полное. Рассмотрим теперь множество из четырех точек, чтосоответствует 4-мерному пространству (рис.4).

/>

Каквидим, в 4-мерном пространстве две плоскости могут пересекаться в одной точке,чего не было в 3-мерном пространстве. Это нетрудно представить наглядно, еслиспроецировать 4-гранный угол на плоскость аналогично проецированию 3-гранногоугла на плоскость, воображая, что углы плоскостей при вершине 4-гранника такиеже прямые, как и в 3-граннике.

Вообще,если рассмотреть множество из n точек, что соответствует n-мерномупространству, то легко обнаружить, что выполняется следующее соотношение

l>= m + k — n ………………………………..(2)

гдеl подмножество точек в пересечении подмножеств m и k; n — все множество точек.

Втеории конечномерных векторных пространств существует аналогичное соотношение,т.е.

diml >= dim m + dim k — dim n …………………………..(3)

гдеdimension — размерность; dim l — размерность подпространства, получаемого врезультате пересечения подпространств m и k; dim n — размерность объемлющегопространства [2]. Пусть мы имеем бесконечномерное пространство. Тогда в нашеймодели это отобразится множеством из бесконечного числа точек (рис.5),

/>

т.е.сплошной непрерывной областью. Соотношения (2) и (3) будут иметь здесь вид

L>= M + K — N

Такимобразом мы видим, что в бесконечномерном пространстве понятие дискретнойразмерности неприменимо.

Рассмотримтеперь множество из 9 точек, что соответствует 9-мерному пространству (рис.6)

/>

Еслиэто множество разбить на подмножества по три точки — A, B, C, то нетрудновидеть, что пересечение подмножеств A, В, C аналогично пересечению подмножествиз трех точек. В 9-мерном пространстве это означает, что три его трехмерныхподпространства могут пересекаться в одной точке и быть взаимно ортогональными.Таким образом, 3-мерное подпространство в этом случае может играть ролькоординатной «оси». Тогда то, что соответствует 2-мерным плоскостям в3-мерном пространстве, здесь будет 6-мерным подпространством. Мы взяли по триточки в А, В, С только в качестве примера. Пусть в А, В, С будет по n точек.Тогда мы получим аналог 3n -мерного пространства. Куб, например, в такомпространстве будет выглядеть следующим образом (рис.7)

/>

Здеськаждое ребро n-мерно, каждая грань 2n-мерна, а сам куб 3n-мерен, но точечныхвершин все равно восемь. Если в качестве «линии» в 3n-мерномпространстве взять его n-мерное подпространство, то мы получим с такимопределением обычную 3-мерную геометрию, где каждая точка может бытьохарактеризована тремя числами по отношению к n-мерным координатным«осям». Единственное отличие будет состоять в том, что«длина» этой линии будет измеряться метрами в степени n (см, км ит.п.). Теорема Пифагора в этом случае будет иметь вид

R2 м n = X 2 м n + Y 2 м n + Z 2 м n

Такимобразом, эта трехмерная геометрия формально ничем не отличается от трехмернойгеометрии Евклида.

Впринципе n можно устремить к бесконечности и мы получим 3-мерную геометрию сбесконечным числом внутренних степеней свободы. Точки в этом пространстве (т.е. очень малые области) являются бесконечномерными. Применим ли к такомупространству физический анализ П. Эренфеста [3]. Нетрудно заметить, что в егоанализе существенную роль играло понятие силовой линии, которая предполагалась1-мерной. Однако, как мы видели выше, «линия» в 3-мерном пространствевнутренне может быть и n-мерной.Поэтому анализ Эренфеста, по-видимому,справедлив для внешней 3-мерной геометрии, но не для внутреннего пространстватаких «линий» (силовых?).

Мыприходим к выводу, что если наблюдатели пользуются формализмом 3-мернойгеометрии, то само пространство может быть не 3-мерным. Скорее всего, как этоследует из вышеизложенного, оно потенциально (внутренне) бесконечномерно. Накаком уровне проявляется эта многомерность — это уже вопрос физики. Здесьнапрашивается аналогия с потенциалом в теории калибровочных полей. Ведь сампотенциал ненаблюдаем. Наблюдаемой является разность потенциалов. Возможно, внашем случае, аналогом разности потенциалов является пересечениеподпространств. Пока же мы видим, что внешняя трехмерность сохраняется вбольшом интервале масштабов. Объяснение этому дано в моей статье [4] (нарусском языке).См. также статью «Почему пространство трехмерно».

Список литературы

ДеминВ.Н. «Основной принцип материализма», Москва, Политиздат,1983

АрхангельскийА.В. «Конечномерные векторные пространства», Москва, Изд-воМосковского университета,1982

ГореликГ.Е. «Размерность пространства», Москва, Изд-во Московскогоуниверситета,1983

Klimets A.P. «Geons — candidates for the role of the initialmicroblack holes and their importance for the planck physics», FIZIKA B (Zagreb)9 (2000) 1, 23-42 или по адресу:fizika.hfd.hr/fizika_b/bv00/b9p023.htm

Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.sciteclibrary.ru