Реферат: Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

--PAGE_BREAK--

ЧАСТЬ ВТОРАЯ.

БЕСКОНЕЧНАЯ ГАРМОНИЯ ПОДОБИЯ
Глава 1

БЕССИЛИЕ ПРЯМОЙ
В качестве введения ко второй части мне бы хотелось привести слова Фриденсрайха Хундертвассера, одного из тех замечательных людей силами которых современная наука становится все ближе к искусству, а искусство получает возможность использовать весь арсенал средств, предоставляемых сегодняшней наукой для выражения идей и художественных замыслов:

В 1953 году я понял, что прямая линия  ведет  человечество  к упадку. Тирания прямой стала абсолютной. Прямая линия -  это нечто трусливое, прочерченное по линейке, без эмоций и  размышлений; это линия, не существующая в природе. И на  этом  насквозь  прогнившем фундаменте построена наша обреченная цивилизация. Если даже и воз­никает где-то мысль, что прямая линия напрямик ведет к  гибели, ее курсу все равно продолжают следовать дальше… Любой дизайн, осно­ванный на прямой линии, будет мертворожденным. Сегодня мы являемся свидетелями триумфа рационалистических знаний и одновременно обна­руживаем, что оказались в пустоте.  Эстетический  вакуум,  пустыня однообразия, преступное бесплодие, утрата созидательных возможнос­тей.

Стандартизируется даже творчество. Мы стали  бессильными.  Мы больше не способны творить. В этом наше невежество.

Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилис­той линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меня­ются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то вре­мя как другие, подобно деревьям  или  нашим  сосудистым  системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе  эволюции. Человеку, не связанному с наукой, может показаться странным  то,  что  такие привычные всем вещи с недавних пор оказались в  фокусе интенсивных научных исследований. Но привычность какого-либо явления совсем не означает, что ученые могут правильно его объяснить.  Ребенку  тоже привычны и его голубая колыбель, и голубое небо задолго  до  того, как он осознает, что голубой цвет есть общее качество  совсем раз­ных вещей. В его познавательном развитии наступит момент, когда он уже сможет воспринять понятие цвета; он слышит, что  небо является голубым и вдруг “открывает”, что и некоторые другие вещи  тоже яв­ляются голубыми.

Развитие нашего научного понимания мира происходит  по  такой же схеме. Да, многие фракталы нам знакомы, но до самого последнего времени в нашем научном представлении о мире им не находилось мес­та. Это представление восходит еще к  Галилео  Галилею,  чье маст­ерство владения абстракцией, вступающей в противоречие  с интуици­ей, дает пример  современного  научного  рассуждения.  Его  кредо, сформулированное им самим в 1623 году, гласит:

Вся наука записана а этой великой книге — я имею в  виду Все­ленную, — которая всегда открыта для нас,  но  которую  нельзя по­нять, не научившись понимать язык, на котором она написана.  А на­писана она на языке математики, и ее буквами  являются треугольни­ки, окружности и другие геометрические фигуры, без которых челове­ку невозможно разобрать ни одного ее слова;  без  них  он  подобен блуждающему во тьме. Понадобилось почти 350 лет,  чтобы  выйти  за рамки галилеевского представления — до тех  пор,  пока  Бенуа Ман­дельброт не разработал понятие фрактала. Бросая взгляд  в прошлое, он размышлял в 1984 году:

Почему геометрию часто называют холодной  и  сухой?  Одна  из причин заключается в ее неспособности описать форму  облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, горы — это не кону­сы, линии берега — это не окружности, и кора не  является гладкой, и молния не распространяется по  прямой...  Природа  демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень слож­ности. Число различных масштабов длин в  структурах  всегда беско­нечно.

Математическое понятие фрактала выделяет  объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых,  и, та­ким образом, отражает иерархический принцип организации.  В основе этого понятия содержится одна важная идеализация действительности: фрактальные объекты самоподобны, т. е. их вид не  претерпевает су­щественных изменений при разглядывании их через микроскоп  с любым увеличением.  Хотя  эта  идеализация  и  может  оказаться  слишком большим упрощением действительности, она  на  порядок  увеличивает глубину нашего математического описания природы. Исследования Ман­дельброта получили широкую известность после открытия  им  в  1980 году множества, носящего теперь его имя. Он обнаружил  принцип,  с помощью которого несколько неожиданным путем образуется  целый мир самоподобных структур.

Эта причудливая форма (см. рис.1) может  оказаться  одним  из ключевых элементов некоторой новой “натуральной”  математики,  так же, как прямая линия является одним из основных элементов евклидо­вой геометрии.

Возможно, наиболее убедительный аргумент  в  пользу  изучения фракталов — это их бросающаяся в глаза красота.
Глава 2

МЫШЛЕНИЕ В ОБРАЗАХ
Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физичес­ких и математических задачах. Все они имеют одно обшее -  это кон­куренцию нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате такого  соперничества воз­никают редко. Чаше имеет место нескончаемое филигранное переплете­ние и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки.

Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагни­ченного состояния к ненамагниченному в зависимости  от интерпрета­ции тех сущностей, которые примыкают к границе. Пограничные облас­ти в большей или меньшей мере замысловато зависят от  условий, характеризующих изучаемый процесс. Порой возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и насаждает  свою об­ласть влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоск­ость, но и его власть имеет “границы” в виде  изолированных точек, которые неподвластны его притяжению. Это,  так  сказать, “диссиден­ты”, не желающие “принадлежать”.


Рисунки представляют процессы,  являющиеся,  конечно,  весьма упрошенной идеализацией действительности. Они преувеличивают неко­торые свойства, чтобы сделать их более ясными.  Например,  нет  ни одной реальной структуры, которую можно  было  бы  последовательно увеличивать бесконечное число раз и которая выглядела бы  при этом неизменной. Тем не менее принцип самоподобия в  приближенном  виде имеется в природе: в линиях берегов морей и рек, в  очертаниях об­лаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в иерархической организации живых систем. А открыл нам глаза  на  эту  фрактальную геометрию природы Бенуа Б. Мандельброт. На  самом  деле  процессы, порождающие такие структуры, довольно давно изучаются в математике и физике. Это обычные процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция выполняется снова и снова,  когда  результат  одной итерации является начальным значением для следующей:






Единственное, что при этом требуется — нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е.  динамический закон <img width=«85» height=«20» src=«ref-1_702238394-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028"> должен быть более сложным, чем простая пропорциональность <img width=«72» height=«20» src=«ref-1_702238659-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">. Схематическая диаграмма указывает  на  то,  что  правило<img width=«64» height=«19» src=«ref-1_702238908-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030"> зависит от параметра c, влияние которого  будет обсуждаться ниже.

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_702239156-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">, то  его  результатом  будет последова­тельность<img width=«75» height=«20» src=«ref-1_702239357-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">, поведение которой по  истечении  достаточно большого периода времени и будет составлять предмет нашего интереса. Будет ли последовательность сходиться к некоторому предельному значению Х, стремясь к состоянию покоя? Придет ли она к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь?  Или  эта последовательность все время ведет себя беспорядочно, хотя и опре­делена динамическим законом и конкретным начальным  значением,  но тем не менее непредсказуема?

Процессы указанного вида обнаруживаются в любой точной науке. Так, описание явлений природы с  помощью  дифференциальных уравне­ний, которое ввели около 300 лет назад Исаак Ньютон и  Готтфрид В. Лейбниц, основано на принципе обратной связи.  Динамический  закон определяет положение и скорость частицы в  данный  момент  времени через их значения в предыдущий момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона. Несущественно, будет ли процесс диск­ретным, т. е. осуществляемым по шагам, либо  непрерывным.  Физикам нравится мыслить  в  терминах  инфинитезимальных  единиц  времени: Natura non facit saltus (“Природа  не  делает  скачков”). Биологи, напротив, часто предпочитают рассматривать изменения от года к го­ду или от поколения к поколению.  Очевидно,  допустимы  обе  точки зрения, а выбор подходящего описания  определяется обстоятельства­ми.
Глава 3

СЦЕНАРИЙ ПРОНИКНОВЕНИЯ В ХАОС
Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за  несколько лет обычно описывают при помощи коэффициента прироста, т. е. отношения ежегодного прироста численности популяции к ее  общей численности. Если эта величина остается постоянной в течение всего периода вре­мени, то говорят, что закон роста является линейным,  а  сам  рост называют экспоненциальным. Например, при коэффициенте  прироста  в 5% популяция удваивает свою численность каждые 14 лет.  Законы та­кого типа, однако, применимы только  на  ограниченных  промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на  это  внимание  П.  Ф.  Ферхюльст, сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение  на  рост. Он объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить существование популяции только определенного максимального размера Х и что коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры попу­ляции приближаются к Х. Таким образом, он пришел  к  необходимости рассматривать переменный коэффициент прироста. В  результате этого процесс становился нелинейным, что коренным образом  изменило  его динамическое поведение.

Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ни­чего особенного не произойдет: численность популяции  будет просто регулироваться так, чтобы достичь оптимального значения  Х, увели­чиваясь когда она меньше его, и уменьшаясь, когда  больше. Однако, как только коэффициент превысит 200%, нас ожидают сюрпризы.

Существуют ли в природе такие большие  коэффициенты прироста? Конечно, человеческая популяция так быстро не растет, но для опре­деленных видов насекомых такой коэффициент не  является необычным. Важно то, что в последние 20 лет закон Ферхюльста нашел применение для значительно более широкого круга явлений, чем представлял себе сам Ферхюльст.

Эдвард Н. Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологичес­кого института, обнаружил в 1963 году, что именно этот  закон опи­сывает некоторые свойства турбулентного потока, в  частности когда коэффициент велик. Затем теоретические  исследования  по  лазерной физике, гидродинамике и кинотике химических  реакций продемонстри­ровали принципиальный характер этого закона,  и  предсказанные  им сценарии были обнаружены в экспериментах.

Но как же ведет себя процесс  Ферхюльста,  когда  коэффициент становится большим? Подробный анализ очень сложен.

Упомянем только наиболее важные результаты.  Когда  параметры роста превысят 200%, становится невозможным достижение оптимальной численности X. Когда популяция  мала,  энергичный  рост  неизменно приводит к превышению оптимального размера, что  вызывает ответную реакцию, в результате которого популяция уменьшается  до размеров, значительно меньших X. После этого появляются устойчивые колебания между двумя размерами, большим и меньшим.

Когда параметр роста превысит 245%, происходит дальнейшее ус­ложнение поведения. Колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16 различными величинами численности популяции и  так далее, до тех пор пока для параметров, больших 257%, не возникает хаос.

Что мы понимаем под хаосом? Попросту говоря,  система выходит из под контроля. Не существует способа предсказать ее  поведение на длительное время. Беспорядочные скачки вверх и вниз упорно продол­жаются  и  никогда  не  превратятся  в упорядоченную  последова­тельность. Чтобы понять удивление, которое испытал Лоренц при этом открытии, напомним, что никакой неопределенности  не предполагает­ся. Процесс по-прежнему описывается законом Ферхюльста, последова­тельность определена своим начальным значением — и все же ее пове­дение невозможно предсказать, остается предоставить  процессу раз­виваться самому по себе.

Эта очень тонкая ситуация требует некоторого более подробного объяснения. Утверждение о том, что  последовательность  определена своим начальным значением, подразумевает  возможность  определения последующих значений с бесконечной точностью. Это  является верным только “в принципе”. Любое реальное описание  начальной  величины, например ее представление в компьютере можно получить только с ко­нечной точностью. Изучаемый процесс можно  сравнить  с  получением информации: чем дольше мы его будем  наблюдать,  тем  лучше  будем знать в ретроспективе точную величину начального значения.

И все же наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому  порядок превращается в хаос. Имеет ли смысл точно определять значения параметров роста, при которых происходят бифуркации от колебаний периода <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_702239613-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">  к коле­баниям периода <img width=«29» height=«19» src=«ref-1_702239812-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">? Кому это нужно?

Но педантичность часто стояла у колыбели важных открытий. Ио­ганн Кеплер не открыл бы эллиптической формы  орбит  движения пла­нет, если бы не был обеспокоен небольшим отклонением в  8  угловых минут  орбиты  Марса  от  предсказаний  теории  Птоломея.  Фридрих Вильгельм Бессель не смог бы определить расстояние  от  Солнца  до ближайших неподвижных звезд, не научившись  точнейшему использова­нию чисел и таблиц во время своего ученичества  у  одного  из бре­менских торговцев. Научная работа всегда зависит от самого скрупу­лезного внимания к деталям даже тогда, когда становится  ясной ка­чественная сторона. А как известно всем, кому  приходилось  искать ошибки в какой-либо программе, для этого нет  лучшего инструмента, чем компьютер.

При точном анализе точек бифуркации в процессе Ферхюльста об­наруживается закономерность, имеющая исключительное значение в ми­ре нелинейных явлений.  Закономерность  касается  длин  интервалов значений параметра, при которых устойчивым  является периодическое движение с некоторым определенным периодом. Эти интервалы сокраща­ются при каждом удвоении периода, причем  множитель, характеризую­щий сокращение, приближается к универсальному значению

 <img width=«12» height=«17» src=«ref-1_702240024-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">= 4.669201660910...,

когда период растет.

Это число, первые  десятичные  знаки  которого  были  впервые опубликованы Гроссманном и Томэ в 1977 году,  появляется  снова  и снова во многих других процессах. Оно является  такой  же характе­ристикой для сценариев удвоения периодов, как число <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_702240219-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">  для отно­шения длины окружности к ее диаметру. Это  число  называют  теперь “числом Фейгенбаума”. Митчел  Фейгенбаум  проделал  вычисления  на своем калькуляторе в Лос Аламосе для целого ряда различных процес­сов и получил в каждом случае один и тот же множитель.  Он  открыл универсальность этого числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых  во многих областях науки. Было поставлено огромное число  экспериментов, по­казавших, что сценарий удвоения периода  действительно наблюдается во многих естественных системах. Это и начало турбулентности в по­токе жидкости, и нелинейные колебания в химических или электричес­ких сетях, и даже переход нормального ритма  сердца  в  угрожающую жизни фибрилляцию. И мы просто  не  в  состоянии  перечислить  все группы в США, Франции, ФРГ или где-либо еще, продемонстрировавшие, что существенные аспекты динамики сложных систем  можно  свести  к поведению, пример которого дает уравнение Ферхюльста.

На теорию это оказало не менее сильное воздействие. Математи­ки все  еще  пытаются  до  конца  понять  эту  неожиданную универ­сальность. Но, по-видимому, более важно, что она  породила  надежду на то, что нелинейные явления не лежат за пределами систематизации и научной классификации.

Одним из первых, кто осознал важность изучения  процесса Фер­хюльста, был биолог Роберт М. Мэй. Еще в 1976 году он писал:

    продолжение
--PAGE_BREAK--