Реферат: Финансовая математика

вариант 1

1. В чемзаключается принцип неравноценности денег?

Суммаденег независимо от их происхождения и назначения в финансовых операцияхобязательно связываются с некоторыми моментами или интервалами времени. Факторвремени, особенно в долгосрочных финансовых операциях, играет не менее важнуюроль, чем размеры самих денежных сумм.

Необходимостьучета этого фактора выражается в виде принципа неравноценности денежных сумм,относящихся к различным моментам времени, даже если эти суммы одинаковы.Неравноценность двух одинаковых денежных сумм, относящихся к разным моментамвремени, определяются тем, что любую сумму денег можно инвестировать и получитьдоход от этих инвестиций. Полученный доход можно реинвестировать и т.д. Внаиболее общем виде принцип неравноценности денег можно сформулировать так:сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чемсовременные.

2. Вкаких случаях используются простые проценты?

Простые проценты чащевсего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях.Проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

В банковских договорахпроцентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужноперевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентовследующую формулу:

Fv = Sv * ( 1+ R * (Td / Ty) ), где

Fv — итоговая сумма;

Sv — начальная сумма;

R — годовая процентная ставка;

Td — срок вклада в днях;

Ty — количество дней в году.

3. Опишитедисконтирование по сложным процентам. Приведите примеры.

Дисконтирование стоимости (discounting) — процесс приведениябудущей стоимости денежных средств (вклада) к их настоящей стоимости путемисключения из будущей суммы соответствующей величины процента (дисконта).Посредством такой финансовой операции достигают сопоставимости текущейстоимости предстоящих денежных потоков.

Сложный процент — сумма дохода, начисляемого вкаждом интервале, которую не выплачивают, а присоединяют к основной суммекапитала (вклада) в последующем платежном периоде.

Современная величина ипроцентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратнойзависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньшесовременная величина.

В той же обратнойзависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем вышесрок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современнаявеличина.

Итак, рассмотримиспользование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:

/> (1)

Если проценты будутначисляться m раз в году, то формула (1) примет вид:

/> (2)

Пример 1

Банк производитначисление процентов на внесенную сумму по сложной процентной ставке, равной 20% в год. Какую сумму следует положить на депозит при условии, что вкладчикрассчитывает получить 10 000 тыс. руб. через 10 лет? Требуется рассмотреть дваварианта начисления процентов — ежегодное и ежеквартальное.

При ежегодном начислениипроцентов по формуле (1):

PV = 10 000 / (1 + 0,2)10= 1615,1 тыс. руб.

При ежеквартальномначислении процентов по формуле (2):

PV = 10 000 / (1 + 0,2 / 4)40= 1420,5 тыс. руб.

Использование сложнойучетной ставки

Для расчета операциидисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:

PVn = FVn(1– d)n. (3)

Пример 2

Владелец векселяноминальной стоимостью 500 тыс. руб. и периодом обращения 1,5 годапредложил его банку сразу для учета, то есть за 1,5 года до погашения. Банксогласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20 % годовых. Требуетсяопределить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.

Используя формулу (3),находим:

PV = 500 (1 – 0,2)1,5= 357,77 тыс. руб.

Дисконт банка составит:500 – 357,77 = 142,23 тыс. руб.

Для данных условийопределим сумму, которую получил бы владелец векселя, если бы банк произвелучет векселя по простой учетной ставке 20 %. Для этого используем формулу (5):

PV = 500 (1 – 0,2 ×1,5) = 350 тыс. руб.

Дисконт банка составит500 – 350 = 150 тыс. руб.

Таким образом, банкувыгоднее учитывать вексель по простой учетной ставке.

Если дисконтирование посложной учетной ставке производится m раз в году, расчетная формула будет иметьследующий вид:

/> (4)

Пример 3

Сохраним условияпредыдущего примера, но пусть расчет дисконтирования производится ежеквартально,то есть m = 4.

По формуле (4) получим:

PV = 500 (1 – 0,2 / 4)6 = 367,55 тыс. руб.

Дисконт банка составит:500 – 367,55 = 132,45 тыс. руб.

Доход банка приежеквартальном дисконтировании будет меньше, чем при ежегодном дисконтировании,на: 142,23 – 132,45 = 9,78 тыс. руб.

При дисконтировании сначислением процентов за периоды менее года может использоваться понятие«эффективная сложная учетная ставка». Эффективная сложная учетная ставка,эквивалентная сложной учетной ставке при заданном значении m, определяется поформуле:

dэф = 1 – (1 –d / m)m. (5)

Пример 4

Долговое обязательствономинальной стоимостью 500 тыс. руб. должно быть погашено через пять лет.Сложная учетная ставка равна 20 % годовых. Начисление процентов ежеквартальное.Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективнуюучетную ставку.

Используя формулы (4) и (5),получим:

PV = 500 (1 – 0,2/ 4)20 = 179,243 тыс. руб.

dэф= 1– (1 – 0,2 / 4)4 = 0,18549, или 18,549 %.

Подставив значение 18,549% в формулу (24), получим:

PV = 500 (1 – 0,18549)5= 179,247 тыс. руб.

Расхождение междувеличинами настоящей суммы, рассчитанными по этим формулам, находятся впределах точности расчета.

4. Какопределяется наращенная сумма ренты пренумерандо?

Рента пренумерандоотличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтомунаращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной рентыв (1 + i) раз.

Такая рентареализуются сразу же после заключения контракта, т.е. первый платежпроизводится немедленно, а последующие платежи производятся через равныеинтервалы. Такие ренты (пренумерандо) также называются авансовыми, илипричитающимися аннуитетами. Сумма членов такой ренты определяется по формуле:

/> (1)

То есть суммачленов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в /> раз,поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:

/> (2)

где S — наращенная сумма постнумерандо.

5. Какопределить номинальную процентную ставку, обеспечивающую наращение реальнойценности денежных средств?

Реальнаясумма (ценность) денежных средств — это оценка этой суммы с учетом измененияпокупательной способности денег в связи с процессом инфляции.

Корректировканаращенной стоимости с учетом инфляции производится по формуле:

/> (1)

где />— реальнаябудущая стоимость денег,

Fn — номинальная будущая стоимостьденег с учетом инфляции.

Здесьпредполагается, что темп инфляции сохраняется по годам.

Если r— номинальная ставка процента, которая учитывает инфляцию, то расчет реальнойсуммы денег производится по формуле:

/>, (2)

то естьноминальная сумма денежных средств снижается в (1+Т)n раза всоответствии со снижением покупательной способности денег.

В общемслучае при анализе соотношения номинальной ставки процента с темпом инфляциивозможны три случая:

1. r = T: наращение реальной стоимостиденежных средств не происходит, так как прирост их будущей стоимостиПОГЛОЩАЕТСЯ инфляцией

2. r > T: реальная будущая стоимость денежныхсредств возрастает несмотря на инфляцию

3. r < T: реальная будущая стоимость денежныхсредств снижается, то есть процесс инвестирования становится УБЫТОЧНЫМ.

Практические задания:

1. Клиент поместил вбанк 1000$ по ставке простого процента 12,5% на 9 лет и 5 месяцев. Вычислитеобщую сумму процентного дохода.

Дано:

PV=1000$

r=12,5%=0,125

n=9,5

I=?

Решение:

I = FV-PV = PV× r ×n

I=1000$*0,125*9,5=1187,5$

Ответ:

Общая сумма процентногодохода за 9 лет 5 месяцев составит 1187,5$.

2. Вычислитеставку процента в годовом исчислении (EPR), если 11,5 % в год с начислениемпроцентов каждые 6 месяцев.

Дано:

r=11,5%=11,5/100

m=2, то есть 2 раза в год

EPR=?

Решение:

EPR= (1+0,115/2)^2 -1 = 0,1183=11,83%

Ответ:

Доходность вклада(эффективная ставка), если проценты начисляются каждые 6 месяцев 11,83%, тоесть выше номинальной процентной ставкой на 0,33%.

3. Найдитегодовую норму амортизации, первоначальная стоимость 2000 $, стоимость черезчетыре года 500$.

Дано:

Фп=2000$

Фл=500$

Тп=4

На-?

Решение:

Годовая норма амортизациидолжна рассчитываться по формуле:

/>,

где На – годовая нормаамортизации, %;

Фп – первоначальная(восстановительная) стоимость основных фондов, $;

Фл – ликвидационнаястоимость основных фондов, $;

Тп – срок полезногоиспользования (или амортизационный период), лет.

НА=(2000-500/4*2000)*100%=18,75%

Ответ: годовая нормаамортизации составила 18,75%.

4. Найдитестоимость инвестиции в конце трех лет. Первоначальная разовая сумма 30 000$. Втечение 3 лет изымается 500$ в месяц. Ежегодно начисляется процентный доход израсчета 11% годовых.

Решение:

500$*12 месяцев=6000$изымается за год

(-6000$)*(1+0,11)^3-(-6000$)=2205,786$

30000$(1+0,11)^3+(-2205,786$)=41028,93$-2205,786$=38823,144$

Ответ:

Стоимость инвестиции вконце трех лет составит 38823,144$.

5. Определитесумму каждой выплаты, необходимой для погашения следующего кредита: 40 000$ под 19% годовых, выплаты ежемесячно в течение 4 лет. Рассмотреть 2 типакредита: а) все проценты по сложной процентной ставке начисляются на всю сумму,затем одинаковые ежемесячные выплаты; б) ежемесячные выплаты по аннуитету.

Дано:

S=40000$

i= 1,583 (19%/12мес)=0,01583

n=48 (4 года/12 мес)

размер выплат по кредиту- ?

Решение:

А) Формула вычислениябудущей стоимости ссуды со сложными процентами определяется так:

FV – будущая стоимость ссуды (Future Value).

PV – текущая стоимость ссуды (Present Value).

r – процентная ставка.

T – период ссуды в днях

Ty – количество дней в году

FV=40000$*(1+0,19)^4= 80213,568$

Следовательно ежемесячныеплатежи будут составлять 80213,568$/(4*12)=1671,116$

Б) Формула аннуитетных платежей

Коэффициент аннуитета рассчитывается по следующей формуле:

где i — месячная процентная ставка покредиту (= годовая ставка / 12),

n — количество периодов, в течение которых выплачивается кредит.

K=0,01583*(1+0,01583)^48 = 0,0336463 = 0,0299

(1+0,01583)^48-1 1,125248

A=K*S=0,0299*40000$=1196$

Ответ:

А) Ежемесячные выплаты попогашению кредита составят 1671,116$. А переплата по процентам за 4 годасоставит 40213,568$.

Б) Ежемесячные выплаты попогашению кредита составят 1196$. А переплата по процентам за 4 года составит17408$.

Можно сделать вывод, что аннуитетные платежи будут выгоднее и могутсэкономить за 4 года 22805,568$.

6. Суммы 30, 40, 80тыс. руб. нужно было уплатить через 1 год и 6 месяцев, 2 и 4 годасоответственно, применяется сложная процентная ставка 24% годовых. Найтивеличину консолидированного платежа, который нужно оплатить через 3 года и 5месяцев? Как изменится результат при ежеквартальном начислении процентов?

Решение:

По сложной ставкепроцента консолидированный платеж определяется по формуле:

S0=30000(1+(3,5-1,6)*0,24)1,6+40000(1+(3,5-2)*0,24)2+80000(1+(3,5-4)*0,24)4=30000*1,82414+40000*1,8496+80000*0,5996953=54724,2+73984+47975,624=176683,82руб.

2) Ежеквартально

S0=30000(1+(3,5-1,6)*(0,24/4))1,6*4+40000(1+(3,5-2)*(0,24/4))2*4+80000(1+(3,5-4)*(0,24/4))4*4=30000*1,995562+40000*1,992563+80000*0,614254=5472459866,86+79702,524+49140,32=188709,7руб.

Ответ: 1) величина консолидированногоплатежа, который нужно оплатить через 3 года и 5 месяцев составляет 176683,82руб.

2) приежеквартальном начислении процентов величина консолидированного платежа,который нужно оплатить через 3 года и 5 месяцев составляет 188709,7 руб.

7. Банквыдал клиенту кредит на один год в размере 30 тыс. руб. по ставке 16% годовых.Уровень инфляции за год составил 18%. Определить с учетом инфляции реальнуюставку процентов по кредиту, реальную погашаемую сумму и реальную суммупроцентов за кредит. Что получит банк от данной финансовой операции доход илиубыток?

Дано:

PV=30000 руб.

I = 16%

Инфляция = 18%

n=1

iτ =?, FV= ?, I=?, Iτ=?.

Решение:

Номинальная наращеннаясумма

FV= PV(1 + ni)= 30000 (1 + 0,16) = 34800 руб.

Номинальные начисленныепроценты

I= FV— PV = 34800 — 30000 = 4800 руб.

Реальная наращенная сумма