Реферат: Законы сохранения в механике

 ЗМІСТ

ВСТУП2

ЗАКОНЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ СИСТЕМИ. 3

1.1.Потенціальна енергія системи. 3

1.2.Кінетична енергія системи. 6

1.3.Класифікація сил. 7

1.4.Закон збереження енергії. 8

II.ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ. 12

2.1.Імпульс частинки. 12

2.2.Імпульс системи. 12

2.3.Закон збереження імпульсу. 14

III.ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ 18

3.1.Момент імпульсу частинки. 18

3.2.Рівняння моментів. 19

3.3.Момент імпульсу і момент сили відносно осі. 21

3.4.Закон збереження моменту імпульсу. 23

ВИСНОВОК29

ЛІТЕРАТУРА31

ВСТУП

Законизбереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу відносяться до числа тихнайбільш фундаментальних принципів фізики, значення яких важко переоцінити.Роль цих законів особливо зросла після того, як вияснилось, що вони далековиходять за рамки механіки і представляють собою універсальні закони природи.До цих пір не було виявлено жодного явища, де б порушувались ці закони. Вонибезпомилково “діють” і в області елементарних частинок, і в області космічнихоб’єктів, у фізиці атома і фізиці твердого тіла та являються одними з тихнебагатьох загальних законів, які лежать в основі сучасної фізики.

Відкрившиможливість іншого підходу до розгляду класичних механічних явищ, законизбереження стали потужним інструментом дослідження, яким кожного днякористуються фізики. Ця найважливіша роль законів збереження як інструментадослідження обумовлена рядом причин. Закони збереження не залежать ні відтраєкторій частинок, ні від характеру діючих сил. Тому вони дозволяють отриматиряд досить загальних і важливих висновків про властивості різних механічнихпроцесів, не занурюючись в їх детальний розгляд за допомогою рівнянь руху.Якщо, наприклад, виявляється, що якийсь процес суперечить законам збереження,то одразу можна стверджувати: цей процес неможливий і безглуздо намагатися йогоздійснити. Той факт, що закони збереження не залежать від характеру діючих сил,дозволяє використовувати їх навіть тоді, коли сили взагалі невідомі. В цихвипадках закони збереження є єдиним і незамінним інструментом дослідження. Так,наприклад, відбувається у фізиці елементарних частинок. Навіть в тих випадках,коли сили відомі, закони збереження допомагають розв’язувати багато задач прорух частинок. Всі ці задачі можуть бути розв’язані за допомогою рівнянь руху,але застосування законів збереження дуже часто дозволяє отримувати розв’язокбільш простим шляхом.

ЗАКОНЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ СИСТЕМИ.

3Потенціальна енергія системи.

Розглянемозамкнуту систему, між частинками якої діють тільки центральні сили, тобто сили,які залежать лише від відстані між частинками і напрямлені по прямій, що їхз’єднує.

Покажемо,що в довільній системі відліку робота всіх цих сил при переході системичастинок із одного стану в інший може бути представлена як спадання деякоїфункції, що залежить тільки від конфігурації самої системи або від відносногорозташування її частинок. Цю функцію назвемо власною потенціальною енергієюсистеми (на відміну від потенціальної енергії, яка характеризується взаємодієюданої системи з іншими тілами).

Спочаткувізьмемо систему з двох частинок. Обчислимо елементарну роботу сил, з якими цічастинки взаємодіють між собою. Нехай в довільній системі відліку в деякиймомент часу розташування частинок визначається радіус векторами [pic] і [pic].Якщо за час [pic] частинки здійснили переміщення [pic] і [pic], то робота силвзаємодії [pic] і [pic] буде дорівнювати:

[pic].

Тепервраховуємо, що згідно третього закону Ньютона [pic], тому попередній виразможна записати у вигляді:

[pic].

Введемовектор [pic], який характеризує положення 1-ї частинки відносно 2-ї. Тоді [pic]і після підстановки в вираз для роботи отримаємо:

[pic].

Сила[pic] – центральна, тому робота цієї сили дорівнює спаданню потенціальноїенергії взаємодії даної пари частинок, тобто:

[pic].

Оскількифункція [pic] залежить лише від відстані [pic] між частинками, то зрозуміло, щоробота [pic] не залежить від вибору системи відліку.

Теперзвернемось до системи з трьох частинок. Елементарна робота, яку здійснюють всісили взаємодії при елементарному переміщенні всіх частинок, може бутипредставлена як сума елементарних робіт всіх трьох пар взаємодій, тобто [pic].Але для кожної пари взаємодій, як було показано, [pic], тому:

[pic],де функція [pic] є власною потенціальною енергією даної системи частинок:

[pic].

Оскількикожний доданок цієї суми залежить від відстані між відповідними частинками, тоочевидно, що власна потенціальна енергія [pic] даної системи залежить відвідносного розміщення частинок (в один і той же момент), або, іншими словами,від конфігурації системи.

Зрозуміло,що подібні роздуми справедливі і для системи з довільного числа частинок. Томуможна стверджувати, що кожній конфігурації довільної системи частинок властивасвоя власна потенціальна енергія [pic], і робота всіх внутрішніх центральнихсил при зміні цієї конфігурації дорівнює спаду власної потенціальної енергіїсистеми, тобто:

[pic],а при скінченному переміщенні всіх частинок системи

[pic],де [pic] і [pic] – значення потенціальної енергії системи в початковому ікінцевому станах.

Власнапотенціальна енергія системи [pic] – величина неадитивна, тобто вона недорівнює в загальному випадку сумі власних потенціальних енергій її частин.Необхідно врахувати ще й потенціальну енергію взаємодії [pic] окремих частинсистеми:

[pic],де [pic] – власна потенціальна енергія [pic]-ї частинки системи.

Слідтакож мати на увазі, що власна потенціальна енергія системи, як і потенціальнаенергія взаємодії кожної пари частинок, визначає з точністю до додаваннядовільної сталої, яка тут є зовсім несуттєвою.

Запишемоформули для розрахунку власної потенціальної енергії системи. Перш за всепокажемо, що ця енергія може бути представлена як:

[pic],(1) де [pic] – потенціальна енергія взаємодії [pic]-ї частинки з усіма іншимичастинками системи. Тут сума береться по всім частинам системи.

Переконаємосяу справедливості цієї формули спочатку для системи з трьох частинок. Вище булопоказано, що власна потенціальна енергія даної системи [pic]. Перетворимо цюсуму наступним чином. Представимо кожний доданок [pic] в симетричному виді:

[pic],або зрозуміло, що [pic]. Тоді:

[pic].

Згрупуємочлени з однаковим першим індексом:

[pic].

Кожнасума в круглих дужках представляє собою потенціальну енергію [pic] взаємодії[pic]-ї частинки з іншими двома. Тому останній вираз можна переписати так:

[pic],що повністю відповідає формулі (1).

Узагальненняотриманого результату на довільну систему очевидне, оскільки зрозуміло, щоподібні міркування зовсім не залежать від числа частинок, які складаютьсистему.

Длясистеми, взаємодія між частинками якої носить гравітаційний або кулонівськийхарактер, формулу (1) можна перетворити і надати їй іншого вигляду,скориставшись поняттям потенціалу. Замінимо в (1) потенціальну енергію [pic]-їчастинки виразом [pic], де [pic] – маса (заряд) [pic]-тої частинки, а [pic] –потенціал, що утворюють всі інші частинки системи в точці знаходження [pic]-тоїчастинки. Тоді:

[pic].

Якщорозподілення маси (заряду) в системі неперервне, то додавання зводиться доінтегрування:

[pic],де [pic] – об’ємна густина маси (заряду), [pic] – елемент об’єму.

Тутінтегрування проводиться по всьому об’єму, що займають маси (заряди).

Кінетичнаенергія системи.

Розглянемов деякій системі відліку довільну систему частинок. Нехай [pic]-та частинкасистеми має в даний момент кінетичну енергію [pic]. Приріст кінетичної енергіїкожної частинки дорівнює роботі всіх сил, що діють на цю частинку: [pic].Знайдемо елементарну роботу, яку здійснюють всі сили, що діють на всі частинкисистеми:

[pic],де [pic] – сумарна кінетична енергія системи. Зауважимо, що кінетична енергіясистеми – величина адитивна: вона дорівнює сумі кінетичних енергій окремихчастин системи незалежно від того, взаємодіють вони між собою чи ні.

Отже,приріст кінетичної енергії системи дорівнює роботі, яку виконують всі сили, щодіють на всі частинки системи. При елементарному переміщенні всіх частинок:

[pic],(2) а при кінцевому переміщенні:

[pic].(3)

Рівняння(2) можна представити і в іншій формі поділивши обидві частинки його навідповідний проміжок часу [pic]. Маючи при цьому на увазі, що [pic], отримаємо:

[pic],(4) тобто похідна кінетичної енергії системи по часу дорівнює сумарнійпотужності всіх сил, які діють на всі частинки системи.

Рівняння(2)-(4) справедливі як в інерціальних, так і в неінерціальних системах відліку.Слід тільки розуміти, що в неінерціальних системах крім роботи сил взаємодіїнеобхідно враховувати і роботу сил інерції.

Класифікаціясил.

Відомо,що частинки системи, яка розглядається, можуть взаємодіяти як між собою, так із тілами, що не входять в дану систему. У зв’язку з цим дані сили взаємодії міжчастинками системи називають внутрішніми, а сили, які зумовлені дією інших тіл,що не входять в дану систему – зовнішніми. В неінерційній системі відліку доостанніх відносять і сили інерції.

Крімтого, всі сили поділяють на потенціальні і непотенціальні. Потенціальниминазивають сили, які залежать при даному характері взаємодії лише відконфігурації механічної системи. Робота цих сил, як було показано, дорівнюєспаду потенціальної енергії системи.

Донепотенціальних сил відносять так звані дисипативні сили – це сили тертя іопору. Важливою особливістю даних сил є те, що сумарна робота внутрішніхдисипативних сил системи, яка розглядається, від’ємна, причому в будь-якійсистемі відліку. Доведемо це.

Довільнадисипативна сила може бути представлена у вигляді:

[pic],де [pic] – швидкість даного тіла відносно іншого тіла (або середовища), з якимвоно взаємодіє; [pic] – додатній коефіцієнт, який залежить в загальному випадкувід швидкості [pic]. Сила [pic] завжди напрямлена протилежно до вектора [pic].У залежності від вибору системи відліку робота цієї сили може бути як додатною,так і від’ємною. Сумарна ж робота всіх внутрішніх дисипативних сил – величиназавжди від’ємна.

Переходячидо доведення цього, відмітимо перш за все, що внутрішні дисипативні сили вданій системі будуть зустрічатися попарно, причому в кожній парі, відповідно дотретього закону Ньютона, вони однакові по модулю і протилежні за напрямом.Знайдемо елементарну роботу довільної пари дисипативних сил взаємодії міжтілами 1 і 2 в системі відліку, де швидкості цих тіл в даний момент дорівнюють[pic] і [pic]:

[pic].

Тепервраховуємо, що [pic], [pic] – швидкість тіла 1 відносно тіла 2, а також те, що[pic]. Тоді вираз для роботи перетвориться так:

[pic].

Звідсивидно, що робота довільної пари внутрішніх дисипативних сил взаємодії завждивід’ємна, а отже і сумарна робота всіх пар внутрішніх дисипативних сил такожзавжди від’ємна. Таким чином дійсно:

[pic].

Законзбереження енергії.

Вищебуло показано, що приріст кінетичної енергії системи дорівнює роботі, якуздійснюють всі сили, що діють на всі частинки системи. Поділивши ці сили назовнішні та внутрішні, а внутрішні – на потенціальні і дисипативні, запишемопопереднє твердження так:

[pic].

Теперврахуємо, що робота внутрішніх потенціальних сил дорівнює спаду власноїпотенціальної енергії системи, тобто [pic]. Тоді попередній вираз приймаєвигляд:

[pic].(5) введемо поняття повної механічної енергії системи або просто механічноїенергії, як суму кінетичної та потенціальної енергії:

[pic].(6) очевидно, енергія [pic] залежить від швидкості частинок системи, характерувзаємодії між ними та конфігурації системи. Крім того, енергія [pic], як іпотенціальна енергія [pic], визначається з точністю до приросту несуттєвоїдовільної сталої і є величиною неадитивною, тобто енергія [pic] системи недорівнює в загальному випадку сумі енергій її окремих частин. Тоді:

[pic],де [pic] – механічна енергія [pic]-тої частини системи, [pic] – потенціальнаенергія взаємодії її окремих частин.

Повернемосядо формули (5). Перепишемо її з врахуванням (6) у вигляді:

[pic].(7)

Цейвираз справедливий при нескінченно малій зміні конфігурації системи. Прискінченній зміні матимемо:

[pic],(8) тобто приріст механічної енергії системи дорівнює алгебраїчній сумі робітвсіх зовнішніх сил і всіх внутрішніх дисипативних сил.

Рівняння(7) можна представити і в іншій формі, поділивши обидві частини на відповіднийпроміжок часу [pic]. Тоді:

[pic],(9) тобто похідна механічної енергії системи по часу дорівнює алгебраїчній суміпотужностей всіх зовнішніх сил і всіх внутрішніх дисипативних сил.

Рівняння(7)-(9) справедливі як в інерціальній, так і в неінерціальній системах відліку.Слід тільки мати на увазі, що в неінерціальній системі відліку необхідноврахувати роботу (потужність) і сил інерції, які відіграють роль зовнішніх сил,тобто під [pic] слід розуміти алгебраїчну суму робіт зовнішніх сил взаємодії[pic] і роботу сил інерції [pic]. Щоб підкреслити цю обстановку, перепишеморівняння (8) у вигляді:

[pic].(10)

Отже,ми прийшли до важливого висновку: механічна енергія системи може змінюватисяпід дією як зовнішніх сил, так і внутрішніх дисипативних сил (тобто під дієюалгебраїчної суми робіт всіх цих сил). Звідси, безпосередньо, випливає і другийважливий висновок – закон збереження механічної енергії: в інерціальній системівідліку механічна енергія замкнутої системи частинок, в якій немає дисипативнихсил, зберігається в процесі руху, тобто:

[pic].(11)

Такусистему називають консервативною. Зауважимо, що при русі замкнутоїконсервативної системи зберігається саме повна механічна енергія, а кінетична іпотенціальна в загальному випадку змінюються. Однак ці зміни відбуваютьсязавжди так, що приріст однієї з них дорівнює спаду іншої, тобто [pic].Зрозуміло, що це положення справедливе в інерціальних системах відліку.

Далі,з рівняння (8) випливає, що якщо замкнута система неконсервативна, тобто в нійприсутні дисипативні сили, то механічна енергія такої системи спадає:

[pic].(12)

Можнасказати: зменшення механічної енергії зумовлене тим, що вона витрачається нароботу проти дисипативних сил, які діють в системі. Однак таке пояснення єформальним, оскільки воно не розкриває фізичної природи дисипативних сил.

Більшглибоке осмислення цього питання привело до фундаментального висновку проіснування в природі універсального закону збереження енергії: енергія ніколи невиникає і не зникає, вона може лише переходити з однієї форми в іншу, абообмінюватися між окремими частинами матерії.

Прицьому поняття енергії довелось розширити введенням нових форм її – енергіяелектромагнітного поля, хімічна енергія, ядерна енергія та ін.

Універсальнийзакон збереження енергії охоплює, таким чином, і ті фізичні явища, на якізакони Ньютона не поширюються, Тому він не може бути виведеним із цих законів,а повинен розглядатися як самостійний закон, який представляє собою одне ізнайбільш широких узагальнень дослідних фактів.

Повертаючисьдо рівняння (12), можна сказати: при зменшенні механічної енергії замкнутоїсистеми завжди виникає еквівалентна кількість енергії інших видів, які непов’язані з видимим рухом, в цьому розумінні рівняння (7)-(9) можна розглядатияк більш загальне формування закону збереження енергії, в якому вказана причиназміни механічної енергії в незамкнутій системі.

Механічнаенергія може зберігатися й у незамкнутих системах, але це відбувається лише втих випадках, коли згідно з рівнянням (8) зменшення цієї енергії за рахунокроботи проти внутрішніх дисипативних сил компенсується надходженням енергії зарахунок роботи зовнішніх сил.

ЗАКОНЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ.

8Імпульс частинки.

Досвіді відповідний аналіз механічних уявлень показують, що для характеристикимеханічного руху тіл крім кінетичної енергії [pic] необхідно ввести ще однувеличину – імпульс [pic]. Ці дві величини є основними вимірами механічного рухутіл: перша – скалярна, друга – векторна. Обидві вони відіграють центральну рольпри побудові механіки.

Перейдемодо більш детального вивчення імпульсу. Перш за все запишемо основне рівняннядинаміки Ньютона через імпульс:

[pic],(13) тобто похідна імпульсу матеріальної точки по часу дорівнює діючій на неїсилі. В частинному випадку, коли [pic], то [pic].

Зауважимо,що в неінерціальній системі відліку сила [pic] включає в себе не тільки силивзаємодії даної частинки з іншими тілами, але і сили інерції.

Рівняння(13) дозволяє знайти приріст імпульсу частинки за довільний проміжок часу, якщовідома залежність сили [pic] від часу. Дійсно, з (13) випливає, що елементарнийприріст імпульсу частинки за проміжок часу [pic] є [pic]. Проінтегрувавши цейвираз по часу, знайдемо приріст імпульсу частинки за скінченний проміжок часу[pic]:

[pic].

Якщосила [pic], то вектор [pic] можна винести з-під інтеграла і тоді [pic].Величину, яка стоїть в правій частині цього рівняння, називають імпульсом сили.Таким чином, приріст імпульсу частинки за довільний проміжок часу дорівнює імпульсусили за той же час.

Імпульссистеми.

Розглянемодовільну систему частинок. Введемо поняття імпульсу системи як векторну сумуімпульсів її окремих частинок:

[pic],(14) де [pic] – імпульс [pic]-тої частинки. Зазначимо, що імпульс системи –величина адитивна, тобто імпульс системи дорівнює сумі імпульсів її окремихчастин незалежно від того, взаємодіють вони між собою чи ні.

Знайдемофізичну величину, яка визначає зміну імпульсу системи. Для цьогопродиференціюємо рівняння (14) по часу:

[pic],але [pic], де [pic] – сила, що діє на матеріальну точку. Тоді:

[pic],де [pic] — сили, що діють на [pic]-ту частинку збоку інших частинок системи(внутрішні сили); [pic] – сила, що діє на цю ж частинку збоку інших тіл, які невходять в розглядувану систему (зовнішні сили). Підставивши останній вираз впопередній, отримаємо:

[pic].

Подвійнасума справа – це сума всіх внутрішніх сил. Відповідно до третього законуНьютона сили взаємодії між частинками системи попарно однакові по модулю іпротилежні за напрямком. Тому результуюча сила в кожній парі взаємодії дорівнюєнулю, а тому дорівнює нулю і векторна сума всіх внутрішніх сил. В результатірівняння прийме вигляд:

[pic],(15) де [pic] – результуюча всіх зовнішніх сил, [pic].

Рівняння(15) означає: похідна імпульсу системи по часу дорівнює векторній сумі всіхзовнішніх сил, що діють на частинки системи.

Ізрівняння (15) випливає, що приріст імпульсу системи за скінчений проміжок часу[pic] буде:

[pic],(16) тобто приріст імпульсу системи дорівнює імпульсу результуючої всіхзовнішніх сил за відповідний проміжок часу. І тут [pic] – результуюча всіхзовнішніх сил.

Рівняння(15) і (16) справедливі як в інерціальній, так і в неінерціальній системівідліку. Слід тільки мати на увазі, що в неінерціальній системі відліку необхідновраховувати і дію сил інерції, що відіграють роль зовнішніх сил.

Законзбереження імпульсу.

Застосуваннядругого та третього законів динаміки до системи, яка складається із декількохвзаємодіючих тіл, приводить до дуже важливих висновків, з яких випливає законзбереження імпульсу.

Розглянемосистему, яка складається з [pic] частинок (матеріальних точок). Позначимо через[pic] силу, з якою [pic]-та частинка діє на [pic]- ту (перший індекс вказує наномер частинки, на яку діє сила, другий індекс – номер частинки, взаємодієюякої обумовлена ця сила). Символом [pic] позначимо результуючу всіх зовнішніхсил, що діють на [pic]-ту частинку. Напишемо рівняння руху всіх [pic] частинок:

[pic],

[pic],

...

[pic][pic],

...

[pic][pic],

([pic]– імпульс [pic]-тої частинки).

Додамовсі ці рівняння. Зліва отримаємо похідну по часу від сумарного імпульсусистеми:

[pic].

Справавідмінною від нуля буде лише сума зовнішніх сил [pic]. Дійсно, суму зовнішніхсил можна представити у вигляді:

[pic].

Згідноз третім законом Ньютона кожна із дужок буде дорівнювати нулю. Відповідно, сумавнутрішніх сил, що діють на тіла системи, завжди дорівнює нулю:

[pic].

Тодіотримаємо:

[pic].

Такимчином, похідна по часу від сумарного імпульсу системи дорівнює сумі зовнішніхсил, які діють на тіла системи.

Якщосистема замкнута, зовнішні сили відсутні і права частина останнього рівняннядорівнює нулю. Тому відповідно [pic], а звідси випливає, що [pic].

Такимчином, ми прийшли до важливого висновку, а саме – закону збереження імпульсу: вінерціальній системі відліку імпульс замкнутої системи частинок залишаєтьсяпостійним, тобто не змінюється з часом.

Прицьому імпульси окремих частинок замкнутої системи можуть змінюватися. Однак цізміни завжди відбуваються так, що приріст імпульсу однієї частини системидорівнює спаданню імпульсу частини системи, що залишилась. Іншими словами,окремі частини замкнутої системи можуть лише обмінюватися імпульсами.Спостерігаючи в деякій системі приріст імпульсу, ми можемо стверджувати, що цейприріст відбувся за рахунок спаду імпульсу в оточуючих тілах.

Вцьому розумінні рівняння (15) і (16) слід розглядати як більш загальнеформулювання закону збереження імпульсу, в якому вказана причина зміни імпульсув незамкнутій системі – дія інших тіл (зовнішніх сил). Вище сказане, зрозуміло,справедливе по відношенню до інерціальних систем відліку.

Імпульсможе зберігатися і в незамкненій системі при умові, що результуюча всіхзовнішніх сил дорівнює нулю. Це безпосередньо витікає з рівнянь (15) і (16). Упрактичному відношенні збереження імпульсу в цих випадках являє особливийінтерес, тому що дає можливість отримувати досить простим шляхом ряд свідченьпро поведінку системи, не заглиблюючись в детальний розгляд процесу.

Унезамкнутій систему може зберігатися не сам імпульс, а його проекція [pic] надеякий напрям [pic]. Це буває тоді, коли проекція результуючої зовнішньої сили[pic] на напрямок [pic] дорівнює нулю, тобто вектор [pic] перпендикулярниййому. Дійсно, спроектувавши рівняння (15), отримаємо:

[pic],звідки випливає, що якщо [pic], то [pic].

Воснові закону збереження імпульсу лежить однорідність простору, тобтооднаковість властивостей простору в усіх точках. Паралельне перенесеннязамкнутої системи з одного місця в інше без зміни взаємного розташування ішвидкостей частинок не змінює механічних властивостей системи. Поведінкасистеми на новому місці буде такою ж, якою вона була на минулому місці.

Роздуми,які привели нас до закону збереження імпульсу, цілком спиралися насправедливість законів Ньютона. Вважалося, що матеріальні точки замкнутоїсистеми взаємодіють між собою попарно і ця взаємодія підкоряється третьомузакону Ньютона.

Ащо відбувається у випадку систем, які не підкоряються законам Ньютона,наприклад в системах з електромагнітним випромінюванням?

Відповідьна це запитання дає досвід, який показує, що закон збереження імпульсувиявляється справедливим і для таких систем. Однак в цих випадках в загальномубалансі імпульсу необхідно враховувати не лише імпульси частинок, але йімпульс, яким володіє саме поле випромінювання.

Такимчином, досвід показує, що закон збереження імпульсу являє собою фундаментальнийзакон природи, який не знає жодних винятків. Але в такому широкому розуміннівін вже не є наслідком законів Ньютона, а повинен розглядатися як самостійнийзагальний принцип, що є узагальненням фактів.

ЗАКОНЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ

12Момент імпульсу частинки.

Аналізповедінки систем показує, що крім енергії та імпульсу існує ще одна механічнавеличина, з якою також пов’язаний закон збереження – це момент імпульсу. що цеза величина і які її властивості? |[pic] |[pic] | |Рис. 1 |Рис. 2 |

Візьмемоспочатку одну частинку. Нехай [pic][pic] – радіус-вектор, який характеризує їїположення відносно деякої точки [pic] вибраної системи відліку, а [pic] – їїімпульс в цій системі (рис. 1). Момент імпульсу [pic] матеріальної точкивідносно деякої точки [pic] називається векторний добуток радіус-вектора [pic]на її імпульс [pic]:

[pic].(17)

Модульцієї величини, що дорівнює [pic], можна представити у вигляді добутку плеча[pic] імпульсу на модуль вектора [pic]:

[pic].

Частинкаволодіє моментом імпульсу незалежно від форми траєкторії, по якій вонарухається. Розглянемо два випадки. |[pic] | |Рис. 3 |

Частинкарухається вздовж прямолінійної траєкторії (рис. 3). Модуль моменту імпульсу[pic] може змінюватися тільки за рахунок зміни модуля швидкості. |[pic] | |Рис.4 |

Частинкарухається по колу радіуса [pic] (рис. 4). Модуль моменту імпульсу відносноцентру кола дорівнює [pic] і так само, як і в попередньому випадку, можезмінюватися лише за рахунок зміни модуля швидкості. Не дивлячись на неперервнузміну напряму вектора [pic], напрям вектора [pic] залишається постійним.

Рівняннямоментів.

З’ясуємояка механічна величина відповідає за зміну вектора [pic] в даній системівідліку. Для цього продиференціюємо рівняння (17) по часу:

[pic].

Оскількиточка [pic] є нерухомою, то вектор [pic] дорівнює швидкості [pic] частинки,тобто співпадає за напрямком з вектором [pic], тому:

[pic].

Далі,згідно з другим законом Ньютона, [pic], де [pic] – рівнодійна всіх сил, якіприкладені до частинки. Відповідно:

[pic].

Величину,що стоїть в правій частині цього рівняння, називають моментом сили [pic]відносно точки [pic] (рис. 2). Позначивши його буквою [pic], запишемо:

[pic].

Модульцього вектора дорівнює:

[pic],де [pic] – довжина перпендикулярна, опущеного з точки [pic] на пряму, вздовжякої напрямлений імпульс частинки. Ця відстань називається плечем вектора [pic]відносно точки [pic].

Отже,похідна по часу від моменту імпульсу [pic] частинки відносно деякої точки [pic]вибраної системи відліку дорівнює моменту [pic] рівнодійної сили [pic] відноснотієї ж точки [pic]:

[pic].(18)

Церівняння називається рівнянням моментів. Зауважимо, що якщо система відліку єнеінерціальною, то момент сили [pic] включає в себе як момент сил взаємодії,так і момент сил інерції (відносно тієї ж точки [pic]).

Ізрівняння моментів (18) слідує, що якщо [pic], то [pic]. Іншими словами, якщовідносно деякої точки [pic] вибраної системи відліку момент усіх сил, що діютьна частинку, дорівнює нулю протягом певного проміжку часу, який нас цікавить,то відносно цієї точки момент імпульсу частинки залишається постійним протягомцього часу. Рівняння моментів (18) дозволяє отримати відповідь на два питання:знайти момент сили [pic] відносно довільної точки [pic] в будь-який проміжокчасу [pic], якщо відома залежність від часу моменту імпульсу [pic] частинкивідносно тієї ж точки; визначити приріст моменту імпульсу частинки відносноточки [pic] за довільний проміжок часу, якщо відома залежність від часу моментусили [pic], що діє на цю частинку (відносно тієї ж точки [pic]).

Вирішенняпершого питання зводиться до знаходження похідної по часу від моменту імпульсу,тобто [pic], яка і дорівнює шуканому моменту сили [pic].

Вирішеннядругого питання зводиться до інтегрування рівняння (18). Помноживши обидвічастини цього рівняння на [pic], отримаємо [pic] – вираз, який визначаєелементарний приріст вектора [pic]. Проінтегрувавши цей вираз по часу, знайдемоприріст вектора [pic] за скінчений проміжок часу [pic]:

[pic].

Величину,яка стоїть в правій частині цього рівняння, називають імпульсом моменту сили.Таким чином, приріст моменту імпульсу частинки за довільний проміжок часудорівнює імпульсу моменту сили за той же час.

Моментімпульсу і момент сили відносно осі.

Візьмемов деякій системі відліку довільну нерухому вісь [pic]. Нехай відносно деякоїточки [pic] на осі [pic] момент імпульсу частинки [pic] дорівнює [pic], амомент сили, що діє на частинку, [pic].

Моментомімпульсу відносно осі [pic] називають проекцію на цю вісь вектора [pic],визначеного відносно довільної точки [pic] даної осі (рис. 5). |[pic] | |Рис. 5|

Аналогічновводиться і поняття моменту сили відносно осі. Їх позначають відповідно [pic] і[pic]. Далі ми побачимо, що [pic] та [pic] не залежать від вибору точки [pic]на осі [pic].

З’ясуємовластивості цих величин. Спроектувавши (18) на вісь [pic], отримаємо:

[pic],тобто похідна по часу від моменту імпульсу частинки відносно осі [pic] дорівнюємоменту сили відносно цієї осі. Якщо [pic], то [pic]. Іншими словами, якщомомент сили відносно деякої нерухомої осі [pic] дорівнює нулю, то моментімпульсу частинки відносно цієї осі залишається постійним. При цьому сам вектор[pic] може і змінюватися.

Знайдемотепер аналітичний вираз для [pic] і [pic]. Неважко побачити, що ця задачазводиться до знаходження проекцій нам вісь [pic] векторних добутків [pic] і[pic].

Скористуємосьциліндричною системою координат [pic], [pic], [pic], пов’язавши з частинкою[pic] (рис. 6) орти [pic], [pic], [pic], які напрямлені в бік зростаннявідповідних координат. |[pic] | |Рис. 6 |

Вцій системі координат радіус-вектор [pic] та імпульс [pic] частинки записуютьтак:

[pic],[pic], де [pic], [pic], [pic] – проекції вектора [pic] на відповідні орти. Звекторної алгебри відомо, що векторний добуток [pic] можна представитивизначником:

[pic].

Звідсиодразу видно, що моменти імпульсу частинки відносно осі [pic]:

[pic],де [pic] – відстань частинки від осі [pic]. Перетворимо цей вираз до виду, якийбільш зручніший для практичного застосування. Маючи на увазі, що [pic],отримаємо:

[pic],де [pic] – проекція кутової швидкості [pic], з якою обертається радіус- векторчастинки.

Запишемомомент сили відносно осі [pic]:

[pic],де [pic] – проекція вектора сили [pic] на орт [pic].

Звернемоувагу, що проекція [pic] і [pic] дійсно не залежать від вибору точки [pic] наосі [pic], відносно якої визначені вектори [pic] і [pic]. Крім того, [pic] і[pic] – величини алгебраїчні, їх знаки відповідають знакам проекції [pic] і[pic].

Законзбереження моменту імпульсу.

Виберемодовільну систему частинок. Введемо поняття моменту імпульсу даної системи яквекторну суму моментів імпульсів її окремих частин:

[pic],(19) де всі вектори визначені відносно однієї і тієї ж точки [pic] заданоїсистеми відліку. Зауважимо, що момент імпульсу системи – величина адитивна:момент імпульсу системи дорівнює сумі моментів імпульсів її окремих частиннезалежно від того, взаємодіють вони між собою, чи ні.

З’ясуємо,яка величина визнає зміну моменту імпульсу системи. Для цього продиференціюємо(19) по часу:

[pic].

Апохідна [pic] дорівнює моменту всіх сил, що діють на [pic]-ту частинку.Представимо цей момент у вигляді суми моментів внутрішніх і зовнішніх сил,тобто [pic]. Тоді:

[pic].

Тутперша сума – це сумарний момент всіх внутрішніх сил відносно точки [pic], другасума – сумарний момент всіх зовнішніх сил відносно тієї ж точки [pic].

Покажемо,що сумарний момент всіх внутрішніх сил відносно довільної точки дорівнює нулю.Дійсно, внутрішні сили – це сили взаємодії між частинками даної системи. Затретім законом Ньютона, ці сили попарно однакові по модулю, протилежні занапрямком і лежать на одній прямій, тобто мають однакове плече. Тому моментисил кожної пари взаємодії рівні по модулю і протилежні за напрямком, тобтозрівноважують одна одну, а значить, сумарний момент всіх внутрішніх сил завждидорівнює нулю.

Врезультаті останнє рівняння приймає вигляд:

[pic],(20) де [pic] – сумарний момент всіх зовнішніх сил, [pic].

Рівняння(20) стверджує: похідна моменту імпульсу системи по часу дорівнює сумарномумоменту всіх зовнішніх сил.

Які у випадку однієї частинки, з рівняння (20) випливає, що приріст моментуімпульсу системи за скінчений проміжок часу [pic]:

[pic],(21) тобто приріст моменту імпульсу системи дорівнює імпульсу сумарного моментувсіх зовнішніх сил за відповідний проміжок часу. І тут обидва моменти, [pic] і[pic], визначені відносно однієї і тієї ж точки [pic] вибраної системи відліку.

Рівняння(20) і (21) справедливі як в інерційній, так і в неінерційній системах відліку.Тільки в неінерціальній системі відліку потрібно враховувати і дію сил інерції,які відіграють роль зовнішніх сил, тобто за [pic] в цих рівняннях приймати суму[pic], де [pic] – сумарний момент зовнішніх сил взаємодії, [pic] – сумарниймомент сил інерції (відносно однієї і тієї ж точки [pic] системи відліку).

Отже,ми прийшли до важливого висновку: згідно з рівнянням (20), момент імпульсусистеми може змінюватися під дією лише сумарного моменту всіх зовнішніх сил.Звідси безпосередньо випливає і інший важливий висновок – закон збереженнямоменту імпульсу: в інерціальній системі відліку момент імпульсу замкнутоїсистеми частинок залишається постійним, тобто не змінюється з часом.

Причомуце справедливо для моменту імпульсу, взятого відносно будь- якої точкиінерціальної системи відліку.

Такимчином, в інерціальній системі відліку момент імпульсу замкнутої системичастинок:

[pic].

Якіснимпідтвердженням закону збереження моменту імпульсу може бути дослід з лавкоюЖуковського. Демонстраційна лавка, яку запропонував Жуковський, являє собоюметалевий круг, який обертається з досить малим тертям навколо вертикальноїосі. Людина з гантелями в руках сідає на лавку, Момент зовнішніх сил дорівнюєнулю (моментом сил тертя можна знехтувати, оскільки сили невеликі; центртяжіння системи людина – площадка лежить на осі обертання, тобто момент силитяжіння дорівнює нулю). Лавку приводять в обертання з кутовою швидкістю [pic],коли людина тримає гантелі на витягнутих в сторони руках. Якщо людина піднесегантелі до грудей, кутова швидкість помірно зросте; при розведенні рук – зновузменшиться. Змінюючи положення гантелей, людина знімає момент інерції.

Законзбереження моменту кількості руху справедливий і для системи твердих тіл. Придодаванні рівнянь руху і рівнянь моментів внутрішні сили і моменти внутрішніхсил взаємно знищуються. Тому якщо момент зовнішніх сил, що діють на систему,дорівнює нулю, то загальний момент кількості руху системи залишаєтьсянезмінним.

Таксила тяжіння, що діє з боку Сонця, не може змінити швидкості обертання Землінавколо осі. Її вплив на швидкість обертання Місяця навколо Землі дуже малий.Тому сума моментів обертання Місяця навколо Землі і обертання Землі навколо осіпідкоряються закону збереження моментів. Тертя приливів в земному океані іземній корі, які виникають під дією притягання Місяця, постійно сповільнюютьобертання Землі. Дія закону збереження моментів обумовлює збільшення швидкостіобертання Місяця навколо Землі. Прискорення руху Місяця на орбітісупроводжується деяким віддаленням його від Землі (біля 1,5 км у століття).Колись, в далекому майбутньому, періоди обертання Місяця навколо Землі і Землінавколо осі стануть однаковими.

Ужез цього прикладу видно, що застосовуючи закон збереження моменту імпульсу досистеми тіл, потрібно пам’ятати, що при цьому тіла часто розглядати якматеріальні точки. Тверде тіло може обертатися навколо осі, що проходить черезнього і, розглядаючи тіло як точку, ми не враховуємо момент імпульсу.

Іззакону збереження моменту імпульсу випливає, що внутрішні сили не можутьзмінити момент імпульсу тіла або системи тіл, однак це не означає, що внутрішнісили не можуть змінити момент імпульсу тіла або системи тіл. Однак це неозначає, що внутрішні сили не можуть визвати обертання частин всерединісистеми. Якщо деяка частина системи починає обертатися в одному напрямі, тоінша, еквівалентна її частина почне обертатися в протилежному напрямі так, що вцілому для системи закон збереження моменту імпульсу буде виконуватися.

Законзбереження моменту імпульсу відіграє таку ж важливу роль, як і законизбереження енергії та імпульсу. Уже сам по собі від дозволяє зробити в деякихвипадках ряд суттєвих висновків про властивості тих чи інших процесів, зовсімне вникаючи в їх детальний розгляд.

Особливийінтерес викликають випадки, коли момент імпульсу [pic] зберігається длянезамкнутих систем, у яких, як відомо, імпульс [pic] змінюється з часом. Якщовідносно деякої точки [pic] вибраної системи відліку сумарний момент зовнішніхсил [pic] протягом певного проміжку часу, то момент імпульсу системи відносноточки [pic] зберігається за цей час. У незамкнутих системах, взагалі кажучи,такої точки може і не бути, що слід перш за все з’ясувати для кожногоконкретного випадку.

Убільш обмеженому випадку в незамкнутих системах може зберігатися не сам моментімпульсу [pic], а його проекція на деяку нерухому вісь [pic]. Це буває тоді,коли проекція сумарного моменту [pic] всіх зовнішніх сил на цю вісь дорівнюєнулю. Дійсно, спроектувати рівняння (20) на вісь [pic], сприймаємо:

[pic].(22) тут [pic] і [pic] – момент імпульсу і сумарний момент зовнішніх силвідносно осі [pic]:

[pic],[pic], де [pic] і [pic] – момент імпульсу і момент зовнішніх сил відносно осі[pic] для [pic]-тої частинки системи.

Ізрівняння (22) випливає, що якщо відносно деякої нерухомої в даній системівідліку осі [pic] проекція [pic], то момент імпульсу системи відносно цієї осізберігається:

[pic].

Прицьому сам вектор [pic], визначений відносно довільної точки [pic] на цій осі,може змінюватися. Наприклад, якщо система рухається в однорідному полі тяжіння,то сумарний момент всіх сил тяжіння відносно довільної нерухомої точки [pic]перпендикулярний до вертикалі, а значить, відносно довільної вертикальної осі[pic] і [pic], чого не можна сказати про вектор [pic].

Міркування,які приводять до закону збереження моменту імпульсу, цілком спираються насправедливість законів Ньютона.

Враховуючизначну роль, яку відіграє закон збереження моменту імпульсу в механіці, у фізиціпоняття моменту імпульсу поширюють на немеханічні системи (які не підкоряютьсязаконам Ньютона) і постулюють закон збереження моменту імпульсу для всіхфізичних процесів.

Такийрозширений закон збереження моменту імпульсу уже не є наслідком законів Ньютона,а являє собою самостійний загальний принцип, який є узагальненням досліднихфактів. Поряд із законами збереження енергії та імпульсу закон збереженнямоменту імпульсу є одним із найважливіших фундаментальних законів природи.

ВИСНОВОК

Коженіз розглянутих законів збереження є унікальним і являється є законом природи.Повна енергія (сума кінетичної і потенціальної енергії) ізольованої системи, вякій діють лише консервативні сили, є величиною сталою, які б механічні змінине відбувалися при цьому всередині системи. Це твердження називається закономзбереження і перетворення механічної енергії. У разі, коли в системі діє і силатертя, повна механічна енергія не залишається сталою. Дія сил тертя призводитьдо збільшення внутрішньої енергії. Точні експериментальні дослідження показали,що всі “втрати” механічної енергії дорівнюють збільшення внутрішньої енергії.Це підтверджує, що в природі діє закон збереження і перетворення будь-якоговиду енергії.

Енергіяніколи не виникає і не зникає. Вона лише переходить з одного виду в інший.

Законзбереження і перетворення енергій відкритий у 1840 р. Р. Майєром. Незважаючи нате, що вчений здійснив відкриття на основі медико- біологічних досліджень,відкритий ним закон виявився справедливим для усієї природи. Повний імпульсзамкнутої системи є величина стала. Це є закон збереження імпульсу. З ньоговипливає, що внутрішні сили, які діють в системі, не можуть змінити повнийімпульс системи, вони можуть зумовити тільки обмін імпульсами окремих тілсистеми. Оскільки закон збереження імпульсу є універсальним законом, то вінсправджується в усіх відомих взаємодіях. Імпульс можуть мати не тільки тіла, ай поля. Прикладом прояву імпульсу електромагнітного поля є тиск світла. Привідсутності моменту зовнішніх сил ([pic]). Момент імпульсу тіла залишаєтьсянезмінним. Це є закон збереження моменту імпульсу. Він охоплює більш широкеколо явищ, ніж закон збереження імпульсу. Цей закон дозволяє при вивченніконкретних видів руху повністю виключати із розгляду внутрішні сили, а відповіднимвибором осі моментів виключити і ряд зовнішніх сил, моменти, яких відносноданої осі дорівнюють нулю. Тому він широко застосовується не лише в теоретичнихдослідженнях, але й в технічних розрахунках.

Законизбереження розглядаються у шкільному курсі фізики в 9 класі. Вводяться поняттяенергії, імпульсу та відповідно закони збереження енергії та імпульсу, однакмомент імпульсу вивчається лише поверхнево. Оскільки ці закони є дуже важливимиі необхідними для кращого опанування матеріалу, то в школі слід детальнішевивчати дану тему.

ЛІТЕРАТУРА

1.Архангельський М.М. Курс физики. Механика. – М.: Просвещение,

1975.– с. 186-190

2.Иродов И.Е. Основные законы механики. – М.: Высшая школа, 1978.

–с. 62-64, 82-91, 100-105, 129-140

3.Савельев И.В. Курс физики. Механика. Молекулярная физика. – М.:

Наука,1989. – т. 1 – с. 57-60, 89-92

4.Стрелков С.П. Механика. – М.: Наука, 1975. – с. 95-96