Реферат: Концепция современного естествознания
ФИЗИКА НЕПРЕРЫВНОГО
15.ФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
15.1.Описание физических полей.
В восьмой главе было введено понятие поля, сформулированаконцепция близкодействия, принятая в современной физике, и рассмотрены четыревида взаимодействия, т.е. четыре вида полей. В настоящем разделе мы рассмотрим,что такое принцип суперпозиции, чем описание поля отличается от описаниявещества, какие параметры вводятся для описания всех видов полей.
Согласно концепции близкодействия, взаимодействие междутелами на расстоянии осуществляется посредством особого состояния материи — поля. Тела или частицы, участвующие в взаимодействии, создают в окружающем их пространстве особое состояние — поле.
Основное отличие поля от рассматриваемых нами ранее тел иличастиц заключается в том, что оно локализовано во всем пространстве. Дляописания состояния частицы требовалось задать ограниченное число параметровравное числу степеней свободы. (Для материальной точки это радиус-вектор r, задаваемый тремя проекциями на оси координат). Поскольку, число точек в пространстве бесконечно,бесконечно и число степеней свободы, а значит, и число параметров, которыенужно задать для описания поля. Это не означает, что в действительности нужнозадавать бесконечное число параметров. Достаточно задать закон, по которомуменяется поле в пространстве и начальные параметры, чтобы знать параметры поляв любой точке пространства.
Поле проявляется в силовом воздействии на тела или частицы, внего помещенные. Т.е. на частицу или тело в любой точке пространства, гдеимеется поле, действует сила F. Одной изважнейших количественных характеристик поля, является напряженность.Напряженность поля определяется как отношение силы, действующей на тело, квеличине той количественной характеристики, которая участвует в создании поля иопределяется полем, поэтому напряженность называют силовой характеристикойполя. Существенно, что напряженность поля является векторной величиной, так жекак и сила, через которую она определяется.
Чтобы понять сказанное, рассмотрим примеры. Электрическоеполе создается зарядами Q. Значит, напряженностьэлектрического поля равна отношению силы, действующей на заряд q, квеличине этого заряда. Напряженность электрического поля обозначается как Еи она равна: E=F/q.Напряженность гравитационного поля определяется как E = F/m. Магнитное поле создаетсядвижущимися зарядами (или токами); в природе отсутствуют магнитные заряды. Сточностью до констант, определяемых выбором системы единиц, напряженностьмагнитного поля H можно определить какотношение силы, действующей на проводник с током c длиной,равной единице к величине тока I, протекающегочерез проводник: H = F/ I.
В чем же состоит преимущество описания полей на языкенапряженностей? Может было бы проще и удобнее просто задать силу, действующуюна тело в каждой точке? Дело в том, что сила зависит как от характеристик поля,так и от характеристик объекта, в него помещенного (его электрического заряда,массы, протекающего тока и т.п.). Напряженность же поля зависит только отсвойств поля.
Таким образом, поле задано, если в каждой точке пространстваизвестна его напряженность. На рисунках удобно изображать поле при помощисиловых линий. Силовыми линиями поля называются такие линии, касательные ккоторым в каждой точке совпадают с вектором напряженности поля. Другимисловами, силовая линия определяет направлена напряженности поля в каждойточке, через которую она проходит. Силовые линии позволяют определять также ивеличину напряженности поля. Силовые линии рисуют таким образом, чтобы числоих, пересекающих единичную площадку численно равнялось напряженности поля вданной точке. На рис. 15.1.а изображены силовые линии поля, создаваемогоположительным электрическим зарядом Q. Они гуще вблизи заряда, гденапряженность поля больше, и реже вдали от заряда. На больших расстояниях отзаряда соседние силовые линии идут практически параллельно друг — другу. Такоеполе называется однородным (рис.15.1.б).
Рис.15.1
Введем еще одно важное понятие — поток векторанапряженности поля. Поток вектора напряженности поля — F через площадь Sопределяется числом силовых линий, пересекающих через эту площадь. Отметим, чтопоток вектора напряженности — скалярная величина. Существуют более строгиеопределения этого понятия, но на данный момент вполне достаточно, что потокчисленно равен числу силовых линий пересекающих рассматриваемую поверхность.
Очевидно, что величина потока вектора определяется взаимнымнаправлением силовых линий и площади S. На рис.15.1бизображены две площади S1 и S2.Площади различны, но количество силовых линий, их пересекающих, одинаково,следовательно потоки вектора напряженности одинаковы. Введем вектор S, численно равный площади S, и направленный перпендикулярно ей. Тогда поток векторанапряженности FЕоднородного поля Е будет равен скалярному произведению векторов Еи S:
/>, где a — угол между векторами Е è S. Из этого определения следует, чтопоток вектора через площадку, параллельную силовым линиям поля, равен нулю.
Другой важнейшей характеристикой поля может быть его потенциал.Это понятие можно ввести лишь для полей консервативных сил (см. раздел 11).Потенциал поля — j определяется какотношение потенциальной энергии тела в поле, к величине той количественной характеристики,которая участвует в создании поля и определяется полем, поэтому потенциалназывают энергетической характеристикой поля. Существенно, что потенциал поля- скалярная величина.
Снова зададим себе вопрос, чем же удобно описание полей наязыке потенциалов? Может было бы проще и удобнее вместо потенциала простозадать величину потенциальной энергии тела в каждой точке? Ответ на этот вопросбудет почти таким же, как и для напряженности поля. Дело в том, чтопотенциальная энергия зависит как от характеристик поля, так и от характеристикобъекта, в него помещенного (его электрического заряда, массы, протекающеготока и т.п.). В то время, как потенциал зависит только от свойств поля.
Потенциал принято графически изображатьэквипотенциаламиили эквипотенциальными поверхностями, т.е. поверхностями равногопотенциала. При перемещении по такой поверхности потенциальная энергия телаостается неизменной, следовательно, силы поля в этом случае работы несовершают. Вспомним определение механической работы: />, где a — угол между направлением силы Fи перемещения l. Эта работа может быть равной нулю лишь в томслучае, еслиF^l,т.е. угол Ða =90О. Поскольку напряженность поля совпадает по направлению с силой,перемещение лежит на эквипотенциальной поверхности, сказанное обозначает, чтолинии напряженности всегда ортогональны эквипотенциальным поверхностям.
Чем ближе друг к другу расположены эквипотенциальныеповерхности, тем больше напряженность поля. На рис.15.2.б приведен примерэквипотенциальных поверхностей.
Вспомним связь силы с потенциальной энергией — формулу(11.12). Если левую и правую часть этого равенства разделить на величину тойколичественной характеристики, которая участвует в создании поля, то получитсяформула, выражающая связь напряженности поля с его потенциалом:
/>.
Аналогичным образом из (11.8) получим формулу для связипотенциала поля с его напряженностью:
/>.
Эти формулы позволяют по заданному в каждой точке потенциалуполя восстановит его напряженность и наоборот.
Обратимся к очень важному в теории поля принципу — принципусуперпозиции. В общем случае, принцип суперпозиции — это допущение, согласнокоторому результирующий эффект сложного процесса воздействия эквивалентен суммеэффектов от каждого воздействия в отдельности. Разумеется это определениепредполагает, что эффекты не влияют друг на друга. С принципом суперпозиции мысталкивались в школьном курсе механики и электростатики. Если на частицу, илитело действует несколько сил, то их можно заменить одной — векторной суммойвсех сил.
Сформулированный принцип не является фундаментальным, или универсальным. Он справедлив, если система описывается линейными уравнениями. Ксистеме, описываемой нелинейными уравнениями, т.е. меняющейся под действиемвнешних эффектов, принцип суперпозиции неприменим.
Поясним вышесказанное примером. Пусть в пространстве имеетсяравновесное распределение электрических зарядов, создающих всюду вокруг себяэлектрическое поле. Что случится, если в это поле внести еще один электрическийзаряд? Если внесенный заряд будет очень мал, то принцип суперпозиции длярезультирующего поля будет иметь место. Однако, если этот заряд велик, то онможет привести в движение и переместить все имеющиеся заряды. Вследствие этогоокажется, что первоначальное поле сильно исказится, и это изменение не будетописываться в рамках принципа суперпозиции.
В общем случае можно утверждать, что принцип суперпозициисправедлив, если наложение полей не приводит к перемещению в пространствеисточников этих поле.
Электромагнитное поле в вакууме удовлетворяет принципусуперпозиции. В силу этого принципа электрическое или магнитное поле,создаваемое системой зарядов или токов, равно сумме полей, создаваемых этимизарядами или токами в отдельности. Для электромагнитного поля в веществе,принцип суперпозиции может нарушаться, например, если постоянные, описывающиесвойства среды (диэлектрическая или магнитная) зависят от величины поля.
Примером нарушения принципа суперпозиции может служитьмагнитное поле в ферромагнетике. Другой пример — свет (сильное световое поле) всреде. Такое поле может генерировать в среде за счет нелинейного взаимодействияс ней свет на длине волны в два, три или более раз меньшей. Слабое гравитационноеполе с хорошей точностью подчиняется принципу суперпозиции. Сильное жегравитационное поле не подчиняется принципу суперпозиции, поскольку оноописывается нелинейными уравнениями Эйнштейна.
Разделы физики, которые изучают явления, в которых нарушаетсяпринцип суперпозиции, обычно называют нелинейными. Например, нелинейная оптика.В дальнейшем ограничимся рассмотрением слабых полей (гравитационных иэлектромагнитных), к которым принцип суперпозиции применим.
15.2 .Поля центральных сил.
В этом разделе, мы рассмотрим так называемые поляцентральных сил. Это поля, силы взаимодействия для которых зависят только отрасстояния между взаимодействующими телами и направлены вдоль линиивзаимодействия. Мы будем рассматривать квазистационарные поля, т.е. такие поля,которые либо не меняются со временем, либо меняются, но медленно по сравнению срассматриваемыми явлениями. К рассматриваемым поля в первую очередь относятсягравитационные и электростатические поля.
Поведение гравитационных и электростатических полей похожедруг на друга. То объясняется тем, что в основе описания обеих полей лежатсхожие законы: çàêîíâñåìèðíîãîòÿãîòåíèÿ Ньютонаи закон Кулона. В векторном виде мы записывали их следующим образом:
Fтяг = ( -g) ( M m / r2) (r/r) (15.4)
Fкул= (1/4pe0) (Qq/r2) (r/r) (15.5)
Если не считать коэффициентов перед формулами (-g) и (1/4pe0) (которыемогут иметь другой вид в других системах единиц), законы похожи. Сила тяготенияFтяг (сила притяжения между двумятелами) прямо пропорциональна массам M и m тел, обратно пропорциональна квадрату расстояния ìåæäó телами rи направлена вдоль линии, соединяющей тела (r/r). Кулоновская сила Fкул(сила взаимодействия между зарядами ) прямо пропорциональна зарядам Q и q, обратно пропорциональнаквадрату расстояния ìåæäóзарядами r и направлена вдоль линии, соединяющей заряды (r/r).
В дальнейшем нам будет удобно остановится подробнее на одномвиде взаимодействия ( электростатическом или гравитационном), подразумевая, чтовсе наши выводы будут справедливы и для другого взаимодействия (поля).
В электродинамике при описании электрических полей используютдругую форму записи закона Кулона. На называется теоремойОстроградского-Гаусса. Рассмотрим ее. Напряженность электрического поляточечного заряда Q на расстоянии r отнего определяется из закона Кулона и равна:
E= F/q = (1/4pe0)(Q/r )(r/r) (15.6)
Найдем поток вектора напряженности электрического поля черезповерхность, внутри которой находится заряд Q, — ФЕ. Окружим поверхность сферой радиусом R.Площадь сферы 4pR. Поток вектора напряженности черезэту сферу численно равен количеству силовых линий, проходящих через нее.Силовые линии перпендикулярны поверхности сферы, cos(SE)=1и, значит, их число равно произведению площади сферы на напряженность поля наповерхности сферы:
ФЕ = (4pR2) (1/4pe0) (Q/R2) = Q/ e0 (15.7)
Если вместо сферической, мы возьмем произвольную замкнутуюповерхность, через нее будет проходить столько же силовых линий, сколько ичерез сферу. В силу принципа суперпозиции теорема применима и к произвольномучислу зарядов внутри поверхности. Чтобы найти поток вектора напряженности припроизвольном числе зарядов внутри поверхности, надо просуммировать зарядывнутри ее. Другими словами: Потоквектора напряженности через произвольную поверхность равен алгебраической суммезарядов внутри этой поверхности, деленной на диэлектрическую проницаемостьвакуума.
Теорема Остроградского-Гаусса имеет наглядный физическийсмысл. Она утверждает, что силовые линии электростатического поля начинаются изаканчиваются на зарядах. Если внутри рассматриваемой поверхности зарядов нет,то число входящих в нее силовых линий равно числу выходящих и суммарный потоквектора напряженности равен нулю.
Эта теорема используется в электростатике для решения многихзадач. Рассмотрим, как с ее помощью определить напряженность электрическогополя вблизи равномерно заряженной поверхности. Пусть у нас есть бесконечнобольшая равномерно заряженная плоскость. Если заряды положительны, то силовыелинии выходят из плоскости и расположены перпендикулярно ей (см.рис.15.2).
Рис.15.2
Обозначим через s=q/s поверхностную плотность заряда, т.е. заряд,приходящийся на единицу площади. Выделим на плоскости окружность Ds и построим на ней как на основании два цилиндрапо обе стороны поверхности. Высота цилиндров равна r.Боковые стенки цилиндров перпендикулярны поверхности и совпадают с линияминапряженности электрического поля. Значит поток вектора напряженности через нихравен нулю. Применим теперь к цилиндру теорему Остроградского-Гаусса. Полныйпоток вектора напряженности электрического поля равен: ФЕ= Q/e0=sDs /e0. С другой стороны, чтобы найтиего, надо просуммировать потоки вектора напряженности через все стенкицилиндра. Черезбоковые стенки он равен нулю. Поток вектора напряженности черезторцевые стенки равен: Е Ds= sDs/e0. Отсюда находим, что напряженность поля независит от расстояния до поверхности и равна: E = s/e0.
Эту же задачу можно, в принципе, решить, используя формулу15.6. Но, для решения задачи с ее помощью потребовалось бы применение разделавысшей математики, связанного с векторным анализом и поверхностнымиинтегралами.
Электростатическое и гравитационное поле являются полямицентральных сил, т.е. сил, величина которых зависит только от расстояния междувзаимодействующими телами и направлены вдоль линии, соединяющей тела. Такиеполя являются полями консервативных сил. Покажем это на примере гравитационногополя вблизи поверхности Земли. Силовые линии гравитационного поля вблизиповерхности Земли параллельны друг другу. Найдем работу, совершаемую приперемещении тела, массой m из точки 1 в точку 2 (см.рис. 15.3).
Рис.15.3
Расстояние между точками будем считать пренебрежимо малым посравнению с расстоянием до центра земли. В этом случае сила тяготения одинаковаво всех точках траектории, равна весу тела Р и направлена вертикально вниз: F = P=mg = m (g M / R 2 )e, где R радиус Земли, e -единичный вектор e= -r/r.
Направим ось координат OZ вдольсиловых линий гравитационного поля âåртикальновниз. По определению, работа, совершаемая при перемещении тела массой m из точки 1 в точку 2, ( где точка1 расположена на высоте H1 , а точка 2 на высоте H2 )равна:
A12 = F dr = F drcos(Fdr) = F dZ = F(H1-H2)=P(H1-H2) (15.8).
Работа не зависит от траектории пути, а определяетсяначальным и конечным положением тела. Тем самым мы доказали, чторассматриваемые поля являются полями консервативных сил. Работа этих полей назамкнутой траектории равна нулю.
Для поля консервативных сил можно ввести потенциальнуюэнергию. В каждой точке поля консервативных сил она равна работе, которую нужнозатратить на перемещение тела из бесконечности в данную точку. В случаеэлектрического поля перемещаемым телом является заряд. При описанииэлектрических полей вместо потенциальной энергии точки чаще используют понятиепотенциала в точке r: j(r). Потенциал определяется как отношениепотенциальной энергии (Eпот) заряда q в точке к величине самого заряда:
j(r) = Eпот(r) / q =Ar /q (15.9)
Из этого определения следует, что потенциал являетсяскалярной функцией. Причем, у этой функции аргументом служит точка в пространстве,которая может задаваться вектором.
Свяжем между собой потенциалы и работу по перемещению заряда.Пусть мы перемещаем заряд q из точки 1 в точку 2 вэлектрическом поле. Работа по перемещению такого заряда равна разностипотенциальных энергий поля в точках 1 и 2:
A 12= Eпот(2) — Eпот(1) = [j(2) — j(1)] q=U q (15.10)
Здесь разность потенциалов мы обозначили как U , которую обычно называют просто напряжением. С другойстороны, работа по определению равна :
A 12= Fdr=qEdr=q Edr=q[j(2)-j(1)] (15.11)
Òåìñàìûì ìûñâÿçàëè напряженностьэлектрического поля с разностью потенциалов. Величину Edr называют циркуляцией вектора напряженностиэлектрического поля на участке кривой 1-2. Если заряд перемещается по замкнутойкривой, т.е. вышел из точки 1 и вернулся в точку 1, то работа по егоперемещению равна нулю. Электростатическое поле- поле консервативных сил. Ноэто означает, что циркуляция вектора напряженности электрического поля назамкнутой кривой равна нулю. Тем самым мы доказали еще одну важную теоремуэлектростатики о циркуляции вектора напряженности электрического поля.
В качестве примера рассмотрим потенциал точечного заряда +Q на расстоянии r0 от него. Пустьпробный заряд +q двигается по прямой, проходяшей череззаряд Q, из бесконечности в точку r0. Работу, затраченную на перемещение заряда можно определить по формуле 15.5 сучетом того, что заряд двигается вдоль силовой линии, т.е. скалярноепроизведение Fdr =Fdr: A r = Fdr = (1/4pe0) Qq (1/r)dr = (1/4pe0)Qq(1/r), откуда потенциал точечного заряда j(r) =1/4pe0Q/r.
При графическом описании электрических полей частопользуются эквипотенциальными линиями или поверхностями, которые определяютповерхность с одинаковым потенциалом j.Для точечного заряда линии эквипотенциальной поверхности на плоскости — простоконцентрические окружности, как это показано на рис.15.1. При движении зарядапо эквипотенциальной поверхности работа не совершается, как это следует изформулы 15.11. Для того, чтобы работа при перемещении заряда в электрическомполе равнялась бы нулю, требуется, чтобы заряд двигался перпендикулярно силовымлиниям электрического поля (тогда cos(Fdr)=0 иработа равна 0). Т.е. в общем случае линииэквипотенциальной поверхности перпендикулярны в каждой точке линиямнапряженности электрического поля.
Предположим, мы сообщили некоторый заряд проводнику. Чтобудет происходить? Одноименные заряды будутотталкиваться и стремится расположится на поверхности проводника. Но заряды немогут двигаться бесконечно долго в проводнике, иначе мы получили бы вечныйдвигатель, т.е. нарушился бы закон сохранения энергии. Заряды расположатсятаким образом, чтобы напряженность электрического поля, направленная вдолькаждой точки поверхности по касательной стала бы равной нулю. Линиинапряженности электрического поля в каждой точке поверхности будутперпендикулярны ей. Тогда движение зарядов по поверхности прекратится. Такойпроцесс произойдет очень быстро. Поверхность проводника станетэквипотенциальной, поскольку в каждой точке поверхности линии напряженностиэлектрического поля будут перепендикулярны ей.
15.3 Вихревые поля.
Наряду с описанными выше полями (электростатическими игравитационными) существует другой вид полей, силовые линии которых нигде неначинаются и нигде не заканчиваются, они замыкаются сами на себя. Такие поляназываются вихревыми. Они названы так из-за сходства силовых линий в видеконцентрических окружностей с вихрем. Рассмотрим особенности этих полей. Начнемс простейшего — магнитного поля. Стационарное магнитное поле создаетсядвижущимися зарядами.
Из школьного курса хорошо известны силовые линии естественныхмагнитов. Их вид изображен на рис.15.4а. Такой же вид полей можно получить,используя замкнутый проводник, по которому течет ток. Поле кругового витка стоком изображено на рис.15.4б. Силовые лини поля
Рис.15.4
образуют замкнутые кривые. Их направление определяется поправилу правого буравчика. Если ручку буравчика вращать по направлению тока ввитке, то острие показывает направление силовых линий. Стационарное магнитноеполе создается движущимися зарядами. На рис.15.5 показаны силовые линиибесконечно длинного проводника с током. Они представляют концентрическиеокружности. Направление силовых линий также можно определить с помощью правилабуравчика. Для этого надо направить острие буравчика по направлению тока, тогданаправление вращения ручки буравчика совпадет с направлением силовых линий.
Рис.15.5
Правило буравчика — мнемоническое правило, позволяющее простоопределять направление силовых линий магнитного поля. Существуют строгиезаконы, позволяющие определять величину и направление силовых линийпроизвольного по форме проводника с током.
Напряженность магнитного поля определяется закономБио-Саварра-Лапласа. Мы не будем рассматривать в явном виде этот закон. Впринципе, с его помощью можно рассчитать напряженность магнитного поля,создаваемую любым проводником с током. Так напряженность магнитного полябесконечно длинного проводника с током на расстоянии rот него равна: H=I/2pr.
На достаточно удаленном расстоянии от проводника с токоммагнитное поле можно считать однородным. Т.е. силовые линии такого полярасположены параллельно друг от друга. На проводник с током, помещенный воднородное магнитное поле действует сила. Величина силы определяется по законуАмпера. Для участка проводника с током, длиной L егоможно записать в векторном виде в системе единиц СИ как:
F= m0I [ H L ] (15.12)
Çäåñüm0 - постоянная,обусловленная выбором системы единиц (СИ), L-проводник с током I, который задается в векторномвиде, так как имеет направление в пространстве. Его направление совпадает снаправлением движения тока, т.е. положительных зарядов.
Из 15.12 следует, что на проводник с током в однородноммагнитном поле действует сила, направленная перпендикулярно векторунапряженности магнитного поля Hи направлению движения тока (проводника с током L). В этом заключается принципиальное отличие силового воздействия вихревогомагнитного поля на пробный элемент от поля консервативных сил.
Вихревыми бывают не только магнитные, но и электрическиеполя. Действительно, возьмем проводник с током в виде кольца и поставим внутрьнего батарейку. Заряды (носителями зарядов в проводниках являются электроны)будут двигаться по кольцу, создавая ток. Величина тока I определяетсяизвестным вам законом Ома:
I = E/ (rе+R) (15.13),
где Е — электродвижущая сила (ЭДС) батареи, R и rе — сопротивление проводника и внутренне сопротивление источника ЭДС.
Рассмотрим, что происходит в проводнике. Как мы знаем,электроны двигаются вдоль силовых линий электрического поля. В рассматриваемомнами проводнике электроны двигаются по замкнутой кривой, образуемойпроводником. Значит в проводнике реализуется такое электрическое поле, котороезаставляет двигаться электроны по замкнутой кривой.
Следовательно, и силовые линии электрического поля тожепредставляют из себя замкнутые кривые. Т.е. электрическое поле в проводникетакже является вихревым полем. Электростатическое поле способно перемещатьзаряды, но только до того момента, пока перераспределение зарядов нескомпенсирует поле. После этого заряды будут оставаться неподвижными. Поле впроводнике с током стационарно и вызывает стационарное движение зарядов. Значитэто не электростатические поля, а какие-то другие. Такие поля, способныесоздавать стационарное движение зарядов, в отличие от электростатических,обычно называют электрическими полями, создаваемыми сторонними силами.Сторонними, потому, что электрические заряды сами не способны создать такиеполя. Соответственно, силы, вызывающие стационарное движение зарядов — сторонними силами. Электрическое поле сторонних сил совершает работу припередвижении зарядов по замкнутому контуру. Она равна произведению тока вконтуре на ЭДС и на время, в течении которого шел ток:А=IEDt.
Электрические поля сторонних сил могу быть созданы за счетразличных видов энергий. Механической, тепловой, химической, ядерной идругих. Механическая энергия, вращающая генераторы с током превращается вэлектрическую. Батарейки или аккумуляторы работают за счет химических реакций.Ядерные батарейки работают за счет ядерной энергии, высвобождаемой при распадеили превращении одних ядер в другие.
Возвратимся теперь назад и дадим определение ЭДС. ЭДС,действующая в контуре с током, численно равна работе А, совершаемой приперемещении единичного заряда q0 по контуру :
E=A/q0 (5.14)
Ìîæíîäàòü åùåîäíî, определение ЭДС. Электрическое поле,создаваемое сторонними силами, можно обозначить как Ест. Работа,совершаемая при перемещении заряда по контуру А равна:
A= Fdr = q0 Eст dr= q0 Eст dr.
Здесь интегрирование берется по контуру, по которому течетток.
В соответствии с определениемЭДС (15.14.), ЭДС Е равна:
E = A/q0 = Ест dr .
Другими словами, ЭДС равна циркуляции вектора напряженностиэлектрического поля сторонних сил. В отличие от электростатического поля, онане равна нулю на замкнутом контуре, а равна ЭДС, действующей на данном контуре.Поскольку циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю,добавления 0 в дальнейшем мы не бу
Мы увидели, что работа, совершаемая электрическим полем неравна нулю на замкнутом контуре, если в нем действуют сторонние силы, задающие ЭДС. Таким образом, электрические поля сторонних сил, которые являютсявихревыми полями - неконсервативные поля.
То же самое можно сказать и о магнитных полях. Еслирасположить провод с током в магнитном поле так, чтобы сила, действующая нанего со стороны магнитного поля совпадала бы с направлением перемещения, торабота по перемещению такого проводника, совершалась бы неконсервативнымисилами.
Вихревые электрические поля могут реализовываться за счетдругих полей — магнитных. Английский ученый М.Фарадей в 1831 году и независимоот него американский ученый Дж.Генри в 1832 году открыли закон электромагнитнойиндукции. Сейчас его называют законом электромагнитной индукции Фарадея.Сформулируем его в том виде, который нам удобен в дальнейшем. Если менять потокиндукции магнитного поля ФН, проходящего через проводник, то в проводникевозникает ЭДС, которую принято называть ЭДС индукции. Математическаяформулировка его такова:
E = — m0dФН / dt = Edr = - m0 dФН / dt (15.15)
ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения потокаиндукции магнитного поля, взятой с обратным знаком. С другой стороны, ЭДС равнациркуляции вектора напряженности электрического поля и мы можем написать: E= Edr = — m0dФН/ dt. Эта форма записи закона электромагнитной индукцииФарадея была введена Д.К. Максвеллом и входит в систему уравнений Максвелла,описывающих электромагнитные поля.
Закон электромагнитной индукции не говорит о том, за счетчего меняется поток индукции магнитного поля. Он может менятся как за счетвеличины магнитного поля, так и за счет изменения площадки, через которуюпроходит магнитный поток.
Поясним вышесказанное примерами. На рис.15.6 нарисован витокпровода, помещенный в магнитное поле. Виток присоединен к токосъемникам. Еслимы будем вращать виток, то в зависимости от его положения, поток индукциимагнитного поля будет меняться и в нем генерируется ЭДС. Эта ЭДС снимается стокосъемников и мы получаем генератор переменного тока.
Второй пример. Пусть мы имеем в пространстве переменноемагнитное поле H=H0coswt.Это поле генерирует вокруг себя переменное электрическое поле E =E0coswt.Переменное электрическое поле также вихревое. Его силовые линии образуюткольца, как это показано на рис.15.7. В свою очередь, как мы рассмотримнесколько позднее, переменное электрическое поле генерирует переменное жемагнитное поле и эта цепочка продолжается в пространстве. Образуется новый видполя- электромагнитное поле, которое распространяется в пространстве какэлектромагнитные волны.
Рис.15.6 Рис.15.7
В заключении этого раздела рассмотрим систему уравненийМаксвелла, которая описывает единым образом все электрические и магнитныеявления. Эта система была получена Д.К. Максвеллом в 60 годах прошлого столетияна основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений иидей М.Фарадея, что взаимодействие между зарядами осуществляется посредствомэлектромагнитных полей. Фактически мы уже рассмотрели большую часть уравнений.
Первыми двумя уравнениями являются рассмотренные намиуравнения о потоках индукции электрического и магнитного поля. Поток индукцииэлектрического поля через замкнутую поверхность равен заряду внутри этойповерхности, деленному на диэлектрическую постоянную вакуума. Поток индукциимагнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю. Эти уравнения былиобобщены Д.Максвеллом на случай переменных полей. Т.е. они справедливы и могутбыть применены как к постоянным, так и к переменным поля. Физический смыслэтих уравнений достаточно нагляден. Электрические поля могут начинаться изаканчиваться только на зарядах. Электрическое поле может быть центральным ивихревым. Магнитные поля всегда начинаются и заканчиваются сами на себе. Онивсегда вихревые.
Третье уравнение Максвелла — обобщение законаэлектромагнитной индукции Фарадея. Оно связывает магнитное и электрическоеполе. Его следствием является возникновение вихревого переменногоэлектрического поля при наличие меняющегося потока индукции магнитного поля.
Четвертое уравнение Максвелла базируется на рассмотреннойнами теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля: циркуляция вектора напряженности магнитного поля позамкнутому контуру равна току (току проводимости), проходящему через этотконтур. Теорема справедлива как для постоянных, так и для переменных магнитныхполей. Однако, в случае переменных магнитных полей, Максвелл ввел наряду стоком проводимости ток смещения. Ток смещения пропорционален скорости измененияпотока индукции электрического поля. Фактически это означает, что, еслиимеется переменное электрическое поле, то оно генерирует переменное магнитноеполе. Те самым третье и четвертое уравнения Максвелла связывают между собойпеременные электрические и магнитные поля.
Система уравнений Максвелла лежит в основе ряда разделовфизики. В первую очередь — классической электродинамики. Электродинамикаописывает поведение и взаимодействие постоянных и переменных токов и зарядов,распространение полей ( электрических, магнитных и электромагнитных) впространстве.
Среди всех известных видов взаимодействия электромагнитное занимает первое место по широте и разнообразию. Это связано с тем, что всетела состоят из положительно и отрицательно заряженных частиц,электромагнитное взаимодействие между которыми на много порядков сильнеегравитационного, и именно оно ответственно за многообразие физических ихимических процессов между атомами и молекулами.
16.КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
16.1. Колебания, виды колебательныхпроцессов.
В природе и в более сложных структурах, таких как общество,мы часто встречаемся с процессом изменения какого либо параметра во времени. Мынаблюдаем смену дня и ночи, сезонов в году, периодических изменений стоимостиакций и так далее. Если изменения какого-либо параметра повторяются во времени,их принято называть колебательными процессами. Имеющиеся у нас чувства — зрениеи слух также связаны с колебаниями. Более 90%информации человек получает при помощи зрения и слуха, т.е. при помощивосприятия колебаний электромагнитного поля — света и колебаний давлениявоздуха — звука.
Перейдем к более строгим качественным и количественнымформулировкам колебаний. Колебательным называется такой процесс, прикотором состояние системы, изменяясь, многократно повторяется во времени.Наиболее распространены и детально изучены периодические колебательныепроцессы. В этих процессах система через определенный промежуток времени,называемым периодом колебаний (Т), возвращается в исходное состояние.Примером периодического колебательного процесса могут служить движениямаятника, качелей, прыгающего мяча и т.д.
В общем случае колебание может совершать материальное тело, физическийпараметр, характеризующий поле или среду, а также, любой параметр, описывающийсложную систему, например, общество.
Если физическая величина X изменяется по закону:
/> где A — амплитуда, w0=2p/Т — круговая частота колебаний, j0 — начальная фаза, то такие колебания называются гармоническими.
Рассмотрим элементы динамики гармонических колебаний. Дляпростоты сначала остановимся на механических колебаниях, для которых Химеет смысл смещения материальной точки из положения равновесия. Из (18.1)дифференцированием найдем скорость и ускорение этой материальной точки.
/>
Найдем силу, под действием которой совершаются гармонические колебания.Второй закон Ньютона, описывающий движение точки вдоль оси (ох),принимает вид:
/> Здесь k = m×w2 — коэффициент пропорциональности междуприложенной силой и вызываемым ею смещением. Для упругих систем он называетсяжесткостью или коэффициентом упругости, для других систем, подчиняющихся этомуже уравнению — коэффициентом квазиупругости. Таким образом, гармоническиеколебания совершаются силой, пропорциональной отклонению тела от положенияравновесия и направленной к положению равновесия. Коэффициент kопределяет собственную частоту и период колебаний: />
Упругие и квазиупругие силы всегда являются центральными, таккак зависят только величины смещения тела. Следовательно, эти силы являютсяконсервативными. Для них оказывается возможным ввести потенциальную энергию,которая равна потенциальной энергии упругой (квазиупругой) деформации.
/>. Запишемвыражение для кинетической энергии колеблющегося тела.
/>
Обратим внимание на то, что оба вида энергии изменяются впределах от нуля до максимального значения, причем максимальные значениякинетической и потенциальной энергий тела одинаковы. Кинетическая ипотенциальная энергия меняются в противофазе. В моменты времени, когда телопроходит положение равновесия, вся его энергия определяется кинетическойэнергией. В моменты времени, когда амплитуда тела становится максимальной, егоэнергия определяется потенциальной энергией. Полная механическая энергия равна:
/>
Полная механическая энергия, как и следовало ожидать,оказалась постоянной.
Кроме консервативных сил, в реальной системе могутдействовать и неконсервативные силы, например силы трения. При их наличиимеханическая энергия системы переходит во внутреннюю энергию, т.е. идет нанагрев тела. Полная механическая энергия в этом случае не сохраняется, онаубывает со временем. Значит, должна уменьшатся и амплитуда колебаний системы A.Если силы трения прямо пропорциональны скорости тела Fтр=b×u (вязкое трение), амплитуда колебаний A(t)зависит от времени следующим образом:
/>.
Амплитуда колебаний убывает по экспоненте, параметры которойопределяются начальной скоростью и силами трения. Получившиеся колебанияназываются затухающими. Отметим, что затухающие колебания протекают медленнее,чем колебания в той же системе без трения. Их частота немного меньше, а период,соответственно, немного больше.
/>.
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> /> /> /> /> />Рис.18.1 Рис.18.2
Для того, чтобы амплитуда колебаний не уменьшалась подвследствие потерь энергии, в систему необходимо добавлять энергию извне.Добавляемая энергия должна компенсировать потери. Существуют разные способыпередачи энергии в систему. Чаще всего в технике инициируют так называемыевынужденные колебания. Вынужденные колебания возникают под действием внешнейпериодической силы с частотой W. Этачастота может не совпадать с частотой собственных (w) или затухающих (w¢) колебаний. Колебания начинаются сразуна двух частотах: вынужденные на частоте Wи затухающие на частоте w¢. Затухающие колебания быстро затухают,и остаются только незатухающие вынужденные колебания. Амплитуда вынужденныхколебаний является функцией частоты вынуждающей силы W. Эта зависимость приведена на рис.18.2 для систем с большим(1) и малым трением (2). Если частота вынуждающих колебаний — W близка к частоте собственных колебанийсистемы — w, то наступает так называемоеявление резонанса. При резонансе амплитуда колебаний системы максимальна.
Если потери, вызванные силами трения, достаточно малы, тоамплитуда колебаний может стать такой большой, что система может дажеразрушится. Известен случай разрушения моста под действием ветра, вызвавшегосильные колебания. В авиации известен термин, называемый флаттером, когдаамплитуда колебаний деталей самолетов становится настолько большой, чтосамолеты разрушаются в воздухе.
Существуют и другие способы передачи энергии системе дляосуществления периодических незатухающих колебаний. В простейшем случае,который имеет место в механических часах, энергия механической пружиныпериодически с частотой 1 Гц подводится к маятнику.
Интересен случай возбуждения незатухающих колебаний в системе,с помощью энергии, подводимой непрерывно. Примером возникновения такихколебаний — автоколебаний могут служить трубы органов и других музыкальныхинструмент иов. Поток воздуха проходит с постоянной скоростью черезорганную трубу и передает ей энергию, за счет которой труба издает звукиопределенной тональности. Как можно в этом случае объяснить процесс возникновенияпериодических колебаний?Àâòîêîëåáàíèÿвозможны только тогда, когда энергия, передаваемая системе нелинейно зависит откакого-то параметра, например от скорости системы. В разные моменты временискорость стенок трубы, с которой соприкасается поток воздуха, различна. И потоквоздуха с разной силой «трется» остенки, т.е. передает ей разную энергию. Колебания стенок трубы описываютсяобычными уравнениями колебаний (18.1-18.3) Следовательно, энергия, передаваемаяпотоком воздуха органной трубе также будет меняться по закону гармоническогоколебания. В конечном счете процесс передачи энергии от потока воздуха кстенкам трубы также будет носить периодический характер. Период этого процессаопределяется собственными частотами колебаний трубы. Имеет место явлениерезонанса, при котором амплитуда колебаний становится очень большой присравнительно небольших затратах энергии. Именно этим явлением объясняется «флаттер» è разрушение мостасильным потоком воздуха.
18.2 Распространение колебаний, звуковыеи электромагнитные волны.
Упругой называется среда, которая может сопротивлятьсядеформации. Возьмем, например, металлическую линейку. Закрепим один ее конец, ана второй подействуем с некоторой силой. Для того, чтобы согнуть линейкутребуется прикладывать силу, которая уравновешивается силами, действующими состороны соседних участков линейки. Через некоторое время после прекращения действиявнешней силы линейка разогнется и перейдет в прямое состояние. Это примердействия упругих сил в твердых телах. В газах также существуют упругие силы.Возьмем поршень в цилиндре и попытаемся сжать газ в цилиндре. Упругие силы,возникающие из-за избыточного давления газа, будут стремиться вернуть поршень вположение равновесия. Жидкости тоже являются упругими средами, в них тожевозникают упругие силы.
Отличие упругих сил в твердых телах от упругих сил в жидкостяхи газах, заключаются в том, что, в твердых телах упругие силы действуют вовсех направлениях, независимо от того, куда мы стремимся приложить силу. Вгазах упругие силы возникают только тогда когда мы стремимся изменитьпервоначальный объем газа. Другими словами, твердое тело сопротивляетсяизменению своего объема и своей формы, а жидкости и газы — только изменениюобъема.
Если заставить колебаться участок упругой среды, то поддействием упругих сил эти колебания будут передаваться соседним участкам среды.Процесс распространения колебаний в упругой среде называют волнами. В общемслучае волна — это процесс распространения колебаний какого-то параметра(смещения атомов в теле, давления в газах, напряженности электрического поляили еще чего-нибудь) в пространстве. В жидкостях и газах колебания могут бытьнаправлены только вдоль направления распространения волны. Такие волныназываются продольными.
В твердых телах колебания могут совершатся как вдольнаправления распространения волны, так и поперек. Волны, у которых колебаниесовершается перпендикулярно направлению распространения называются поперечными.Примером продольных волн в газах является звук. Примером поперечных волнявляются электромагнитные волны, у которых колеблются напряженностиэлектрических и магнитных полей.
Рассмотрим процесс возникновения волн и найдем уравнение,описывающее волну. В качестве модели возьмем длинную натянутую струну иливеревку. В исходном состоянии она неподвижна. В начальный момент времени t0начнем колебать в поперечном направлении незакрепленный конец веревки. Пустьнекоторую точку смещают из положения равновесия и отпускают. Точка начинаетколебаться по гармоническому закону /> (рис.18.3).Через некоторое время точка отойдет от положения максимального отклонения истанет перемещаться к положению равновесия. Через четверть периода колебанийточка достигнет его, минует и станет двигаться дальше к максимальномуотклонению xmax=А, равному амплитуде. Спустянекоторое время все тоже самое случится с соседней точкой. С течением времениколебание может распространиться на всю веревку. Каждая точка веревки (еслипренебречь затуханием, т.е. силами сопротивления) будет колебаться по закону />. Фаза колебания каждогоучастка /> веревки будет своя. Поверевке будет распространяться колебание, т.е. возникнет так называемая бегущаяволна.
Введем параметры, характеризующие волну. Минимальное расстояниемежду двумя участками веревки, колеблющимися в одинаковой фазе назовемдлиной волны l, см.рис.18.3.Участки веревки с постоянной фазой колебания перемещаются слева направо.Скорость перемещения постоянной фазы колебания называют фазовой скоростью — u. За время, равное одному периодуколебаний — T, волнапоробегает расстояние, равное ее длине — l.
/>.
Поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе,называется волновой поверхностью. Геометрическое место точек, которых достигловозмущение от источника называется волновым фронтом. Эти понятия очень похожи,но не тождественны. Волновой фронт перемещается со скоростью волны, а волновыеповерхности неподвижны лишь в один момент времени они совпадают друг с другом.Если, например, колонна машин едет по дороге, то первую машину можно уподобитьволновому фронту, а встречающиеся на пути километровые столбы — волновымповерхностям. Пусть волна распространяется из точки О вдоль оси (oz).Найдем фазу волны в произвольной точке z (см.рис.18.4).
Рис.18.3 Рис.18.4
Колебание волны в точке z можно представить в виде: />, где t’ — время запаздывания колебаний в точке z посравнению с колебаниями в точке О. За это время волновой фронт проходитрасстояние от начала отсчета до точки z. Это время равно />. С учутом /> имеем:
/>Здесь k — волновоечисло, которое показывает сколько длин волн lукладывается на отрезке, длиной 2p.
Полученное выражение называется уравнением бегущей волны. Оноопределяет колебание волны в каждой точке пространства, являясь функциейкоординаты z и времени t.
Часто, кроме круговой частоты колебаний w=2p/T используют циклическую частоту n=1/T.Частота измеряется в Герцах, 1 Гц — это 1 колебание в секунду. В общем случаевместо смещения точки среды из положения равновесия можно ввести любой“колеблющийся” параметр. Для звуковых волн таким параметром является давлениегаза в данной точке пространства. Звуковые волны — продольные волны и физическисводятся к процессу распространения в газе колебаний давления. Эти колебанияобычно создают путем колебаний мембраны перпендикулярно ее плоскости.Возникающие перепады давления и представляют собой звуковую волну. Областьчастот, которые слышит человеческое ухо лежит в диапазоне 20-20000 Гц.
Другим чрезвычайно важным видом волн являютсяэлектромагнитные волны. Электромагнитные волны могут возникать ираспространятся в пустом пространстве, т.е. в вакууме. Из уравнений Максвелласледует, что переменное магнитное поле создает вокруг себя в пространствепеременное электрическое поле. В свою очередь, переменное электрическое полесоздает вокруг себя в пространстве переменное магнитное поле. Этот процессприводит к появлению в пространстве некоторой волны — электромагнитной волны.Эта волна является поперечной.
Напряженности электрического и магнитного полей волны перпендикулярныдруг другу и направлению распространения волны. На рис.18.5 показанынапряженности электрического и магнитного полей в бегущей волне.
Рис.18.5
Особенностью электромагнитных волн является то, что для ихраспространения не требуется никакой среды. Переменные электромагнитные поля могутраспространяться в вакууме.
Для количественного описания волн вводят два понятия: интенсивностьволны и объемную плотность энергии волны. Интенсивность волны — этосредняя по времени энергия, переносимая волнами через единичную площадь,параллельную волновому фронту, за единицу времени. Объемная плотность энергии — это энергия волн, приходящаяся на единицу объема. Волна — этопроцесс распространения колебаний в пространстве (в упругой среде, как этоимеет место для звуковых волн, или в вакууме, как это имеет место дляэлектромагнитных волн). Энергия колебаний определяется амплитудой и частотой.Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. В системе СИ интенсивностьволны выражается в Вт/м2.
Без вывода приведем выражения для интенсивности и скоростизвуковой и электромагнитной волн. Для звуковой волны:
/> гдеА — амплитуда колебаний среды, w- частота, u, u//,u^ — скорость волны, продольной и поперечной, r — плотность среды, в которой распространяется звуковая волна, E — коффициент Юнга, G — коэффициент сдвига.
Распространение звука в упругой среде связано с объемнойдеформацией. Поэтому давление в каждой точке среды непрерывно колеблется счастотой w вокруг некоторого среднегозначения. Давление, вызванное звуковой деформацией среды называется звуковымдавлением.
Наше ухо воспринимает звуковые давления неодинаково на разныхчастотах. Область частот, которые воспринимает ухо лежит в диапазоне 20 — 20000Гц. Наибольшей чувствительностью ухо обладает в диапазоне частот около 1000 Гц.На этих частотах ухо способно воспринимать звуки, звуковое давление в которыхотличается на 7 порядков.
Для интенсивности электромагнитной волны справедливо:
/>, где Eои Hо амплитуды напряженности электрического и магнитного полей, e и mдиэлектрическая и магнитная проницаемости среды, eо и mодиэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума — постоянные, введенные всистеме СИ. Скорость распространения электромагнитных волн в среде равна
/>, Ввакууме />, поэтому скоростьэлектромагнитной волны в вакууме будет равна
/>.
Как видно, она расна скорости света в вакууме — с, чтоне удивительно, поскольку свет является электромагнитными волнами.
18.3 Волновые явления: поляризация,интерференция, дифракция и дисперсия.
Распространение волн в пространстве и их взаимодействие сосредой приводит к появлению целого класса явлений, которых нет при механическомдвижении тел. Рассмотрим основные из них для звуковых и электромагнитных волн.
В поперечных волнах (к которым относятся электромагнитные)колебания происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Этиколебания могут быть как упорядоченными, так и неупорядоченными. Например,колебания могут происходить только в одном выделенном направлении. Волны, укоторых колебания совершаются в одной плоскости, называются плоскополяризованными.
В каждой точке пространства волна представляет собойколебание с определенной начальной фазой. Два колебания в выбранной точкепространства складываются друг с другом. Ограничимся случаем, когдаскладываются волны с одинаковыми частотами. Если складываются два колебания водинаковой фазе, то амплитуда результирующего колебания максимальна и равнасумме амплитуд. Если же складываются два колебания в противофазе, торезультирующая амплитуда будет минимальна и равна модулю разности амплитуд этихколебаний. При произвольной разности фаз складывающихся колебаний амплитударезультирующего колебания может меняться от нуля до максимума. Если, например,складываются два колебания с одинаковыми амплитудами и одинаковыми фазами, торезультирующая амплитуда удвоится, а интенсивность возрастет в четыре раза.Если же колебания с равными амплитудами сложатся в противофазе, то колебанияполностью погасят друг друга, и интенсивность результирующего колебанияокажется равной нулю. Интенсивность двух складывающихся волн не равна сумме ихинтенсивностей. Явление стационарного во времени увеличения интенсивности волнв одних точках пространства и уменьшения в других называется интерференцией.Еще раз подчеркнем, что для наблюдения интерференции необходимо, чтобы частотыколебаний были одинаковыми. Такие волны называются когерентными.
Наряду с плоскими волнами, которые мы рассматривали до сихпор, существуют и другие типы волн, например, сферические или цилиндрические.Напомним, что тип волны или форма волновой поверхности определяется формойисточника и законом его колебания. Сферический источник, как правило, создаетсферические волны. Такие волны не имеют выделенного направления ираспространяются во всех направлениях одинаково. Если в среде нетнеконсервативных сил, то амплитуда колебаний таких волн убывает обратнопропорционально расстоянию, а интенсивность, соответственно, обратнопропорционально квадрату расстояния.
Введение сферических волн необходимо для понимания еще одногочисто волнового явления — дифракции. Ïîäдифракцией понимают огибание волнами препятствия и их захождение в областьгеометрической тени. Представим себе следующую ситуацию. У нас есть закрытаякомната в одной из стен которой есть окно. Напротив стены с окном стоит стрелоки стреляет в него. Естественно, если пули не рикошетят, все они попадут встенку за окном и никогда не достигнут боковых стен. Если мы рассматриваемдвижение материальных тел, то эти тела (в отсутствие силовых воздействий) всоответствии с первым законом Ньютона двигаются прямолинейно. Если на их путивстречаются препятствия, тела не огибают их.
По иному ведут себя волны. Волна есть процесс распространенияколебаний в пространстве. Если в какой-то точке упругой среды возникнут колебания,то они за счет упругости среды передадутся в окрестные точки, т.е. возникнетсферическая волна. Как будет распространяться в пространстве волна спроизвольным фронтом? Ответ на этот вопрос дал в 17-мвеке Х.Гюйгенс (1629-1695), сформулировав принцип, названный его именем. Гюйгенспредложил считать каждую точку фронта волны источником сферических волн. Завремя />t сферические волныраспространятся на некоторое расстояние. Новым фронтом волны через время />t будет огибающаяэтих сферических фронтов.
Рассмотрим два примера, иллюстрирующих принцип Гюйгенса. Нарис.18.5 показано прохождение плоской волны через отверстие небольшого размера,соизмеримого с длиной волны. Слева на отверстие падает плоская волна. Какой онастанет после прохождения отверстия? Разобьем отверстиена зоны размерами порядка длины волны. Каждая такая зона может рассматриватьсякак источник сферических волн. Пусть за время />tсферическая волна распространится на расстояние />r,как это показано на рисунке. Огибающая сферических волн уже не будет плоскойволной. Продолжим этот процесс. Если взять достаточно большой промежутоквремени t, т.е. рассматривать волновые поверхности на большом посравнению с размерами отверстия расстоянии, то прошедшая через него плоскаяволна превратится в сферическую волну. Волна за отверстием будетраспространятся во все стороны, в том числе и в область геометрической тени.
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> /> /> /> /> />Рис.18.5
Рассмотрим другой пример, иллюстрирующий принцип Гюйгенса.Пусть плоская волна падает на границу раздела сред (1) и(2), как это показано на рис.18.6. Угол падения обозначим через j1.Скорость распространения волны в первой среде равна u1, во второй u2.Найдем, под каким углом j2 будет распространятся волна во второй среде.
В соответствии с принципом Гюйгенса каждую точку на границедвух сред мы можем считать источником вторичных сферических волн. Системасимметрична и нам достаточно взять две точки А и В, которые ограничивают фронтпадающей волны. Проведем из точки А прямую, перпендикулярную направлениюраспространения фронта волны AC. Этапрямая совпадает с фронтом волны в момент времени t.
/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />
V
/>
/>/>/> V В
/> С
D
/>/>/> А
1 2
Рис. 18.6
Точка С фронта волны достигнет точки B в момент времени tо. Время t- to=CB/V =AB sin( y 1 )/V1 . За время t - to из точки А распространится сферическая волна срадиусом AD = (t -to ) V. Фронт волны во второй средебудет проходить через точку В и будет касателен к сфере радиусом АD. Любая точка отрезка АВ может рассматриваться как источниквторичных сферических волн. За время t - t онираспространятся в среде 2 на некоторые расстояния. Касательные к окружностямэтих точек и дадут прямую ВD. Во второй среде такжераспространяется плоская волна.
Поскольку AD = AB sin =V(t — t ) содной стороны и с другой стороны АВ sin =V ( t - t ), приравнивая АВ из этих уравнений и сокращая на (t - t ), ïîëó÷àåìóðàâíåíèåпреломления волн на границе двух сред:
/>.
Скорость распространения световых волн в среде u определяется коэффициентом преломления nэтой среды и скоростью света в вакууме с:
/>.
Подставив это соотношение вуравнение (18.18), получим закон преломления света:
/>.
Закон преломления света был сформулирован в трудах Архимедаоколо двух с половиной тысяч лет назад. Наряду с законом прямолинейногораспространения света и законом невзаимодействия световых волн, он являетсяодним из основных законов оптики. Подавляющее большинство расчетов оптическихсистем (очков, биноклей, фотоаппаратов и т.д.) базируется на этих законах.
Значение показателя преломления n можно найтивоспользовавшись уравнениями (18.16) и (18.17).
/>.
В этой формуле eи m — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды,соответственно. Поскольку, для всех оптически прозрачных сред m » 1(с точностью до трех знаков после запятой), справедливо выражение: />.
В заключение раздела рассмотрим явление дисперсии.Проявление его известно с незапамятных времен. Все мы наблюдали радугу в небепосле дождя, любовались игрой света в драгоценных камнях. Все эти эффектысвязаны с явлением дисперсии. Под явлением дисперсии понимают зависимостьскорости распространения волн или коэффициента преломления среды от длины волныили частоты колебаний.
Рассмотрим опыт Ньютона по наблюдении дисперсии света (см.рис. 18.7). Он направлял параллельный пучок белого света на стеклянную призму Пи наблюдал его прохождение на стоящем вдали экране Э. Призма преломляет пучоксвета, но по разному для разных длин волн, и на экране Э наблюдается неодно белое пятно, а спектр, включающий все цвета радуги от синего до красного.
На гранях призмы в соответствии с законом преломления светпреломляется. Коэффициент преломления стекла n различендля разных длин волн, т.е. n = n(l). Показатель преломления длясинего света больше, чем для красного, поэтому, в соответствии с закономпреломления (18.20) синий свет преломляется сильнее, чем красный.
/>/>/>/> П Э
/>
/>/>/> К
С
/>
Рис.18.7.
Кроме красного и синего цветов в естественном светеприсутствуют все остальные цвета, и коэффициенты преломления для каждого из нихразличны. Каждый из этих лучей будет преломляться на разный угол. На экранебудут наблюдаться все цвета радуги, переходящие друг в друга от красного дофиолетового.
Этот же эффект мы наблюдается при прохождении света черезграни отшлифованного алмаза — бриллианта. Природный алмаз имеет очень высокуюдисперсию и большое значение коэффициента преломления n =2,4. Именно поэтому белый свет, преломляясь награнях алмаза, хорошо разделяется на все цвета радуги.
В заключение подчеркнем еще раз основное отличие движенияволн от движения материальных тел. Волна — это не материальное тело, а процессраспространения колебаний в пространстве. Она не локализована в какой-либоточке пространства и обладает бесконечным числом степеней свободы. Волна может обладатьхарактеристиками, не имеющими аналогов для материальных тел, например,поляризацией. Прохождение волн в среде или пространстве сопровождаетсяявлениями, отсутствующими при движении материальных тел:интерференцией, дифракцией, дисперсией.