Реферат: Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса

Оглавление

А.Введение…………………………………………………………………………..2

§1.Локальноеполе…………………………………………………………………2

§2.Общая теория магнитногопоглощения………………………………………2

Б. Уширение, вызванноевзаимодействием между одинаковыми спинами…….5

§3.Диполь-дипольноевзаимодействие…………………………………………...5

§4.Определениемоментов…………………………………………………………6

§5.Метод вычислениямоментов………………………………………………….7

В. Кинетическиесвойства….………………………………………………………10

§6.Кинетическоеуравнение………………………………………………………10

§7.Электропроводность…………………………………………………………...11

А. ВВЕДЕНИЕ

Линия магнитного резонансногопоглощения системы спинов, находящихся внеоднородном магнитном поле, обладает некоторой шириной, обусловленнойразбросом ларморовских частот. Аналогичное уширение может иметь место в неидеальныхкристаллах благодаря взаимодействию ядерных квадрупольных моментов с малыми градиентами электрического поля, значения которыхизменяются от одного узла решетки к другому случайным образом. В обоихслучаях ширина линии обусловливается различием резонансных частот отдельныхспинов, а не взаимодействиями между ними. Соответствующее уширение линииназывается неоднородным уширением.

Положение существенно изменяется, если уширение линииобусловлено взаимодействием между соседними спинами. Эта задача и рассматриваетсяв настоящей работе.

§ 1. ЛОКАЛЬНОЕ ПОЛЕ

Энергия взаимодействиямежду двумя ядерными спинами зависит от величины и ориентации их магнитныхмоментов, а также от длины и направления вектора, описывающего их относительноерасположение. Влияние такого взаимодействия на ширину линии поглощения существеннымобразом зависит от того, зафиксирован ли этот вектор в пространстве или егоположение быстро меняется со временем вследствие относительного движения ядер.

Последний случай, какправило, встречающийся в жидкостях и газах, будет рассмотрен позднее. В этойглаве мы ограничимся случаем жесткой решетки, в которой ядра можно считатьнеподвижными. Такое приближение разумно для многих твердых тел при комнатнойтемпературе, в частности для ионных кристаллов.

Энергиядиполь-дипольного взаимодействия двух магнитных моментов m1=g1ћI1 иm2=g2ћI2 описывается хорошоизвестным выражением

/> (1)

которое можно переписать ввиде

W12 = – m2 ∙H12 = – g2ћI2∙H12 ,

гдеH12— локальное поле, созданное первым спином в месте расположения второгоспина. (Введение в рассмотрение понятия локального поля очень удобно.)Поскольку ядерные магнитные моменты имеют порядок 10-3 магнетонаБора, или 10-23 CGS, а между ядерныерасстояния порядка нескольких ангстрем, то локальные поля в жесткой решетке вобщем случае имеют порядок нескольких эрстед.

Взаимодействие двуходинаковых диполей в сильном полеН0может быть описано склассической точки зрения следующим образом. Первый диполь m1 прецессирует с ларморовскойчастотой вокруг поля Н0и, следовательно, обладает постояннойсоставляющей вдоль этого поля и составляющей, которая вращается в плоскости,перпендикулярной полю. Постоянная составляющая m1создает в месте расположения диполяm2слабое постоянное поле, ориентация которого относительноН0зависит от взаимного расположения спинов. Если поле Н0сильное,то на него заметно влияет только параллельная или антипараллельная емусоставляющая слабого поля. Так как каждый спин в решетке имеет несколькососедей с различными относительными положениями и ориентациями, постояннаясоставляющая локального поля имеет разные значения в различных местах, чтоприводит к разбросу ларморовских частот и уширению линии.

Вращающаяся составляющаяm1 создает в месте расположенияm2 локальное магнитноеполе, вращающееся с ларморовской частотойm1,которая совпадает с ларморовской частотой дляm2. В свою очередь онаимеет составляющую в плоскости, перпендикулярнойН0и,следовательно, может заметно изменять ориентациюm2 благодаря явлению резонанса. Соответствующаяширина линии должна быть порядка величины вращающегося поля. В рассматриваемомслучае оно того же порядка величины, что и локальное постоянное поле и,следовательно, вносит в уширение вклад сравнимой величины.

Необходимо отчетливо понимать, чтомеханизмы, обусловливающие эти вклады в ширину линии, в действительностиразличны. Если два спина не являются одинаковыми, то вращающееся поле,созданное m1, не являетсярезонансным для m2 иоказывает на него пренебрежимо малое влияние, в то время как постоянное поле,созданное m1, в местерасположения m2 являетсястоль же эффективным, как и в случае одинаковых спинов. При прочих равныхусловиях одинаковые соседние спины оказывают более сильное влияние на уширениерезонансной линии, чем неодинаковые.

§ 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАГНИТНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ

Для количественного описания формылинии, обусловленной дипольным уширением, необходимо развить формализм.

Когда всеспины образца связаны друг с другом дипольным взаимодействием, представлениеоб отдельных независимых спинах, находящихся в стационарных состояниях,становится неверным. Этот вывод следует хотя бы из того факта, что вращающеесялокальное поле, созданное одним спином, приводит к переориентации его соседей.Поэтому образец приходится рассматривать как единую большую систему спинов, апереходы, вызванные радиочастотным полем, — как переходы между различнымиэнергетическими уровнями этой системы. Соответственно изменяется и статистическоеописание с использованием матрицы плотности. Вместо статистического ансамбляспинов, описываемых (2I +1)´ (2I +1) матрицей плотности, весьобразец, содержащий N спинов, теперь становится одним элементом статистическогоансамбля и описывается (2I +1)N ´ (2I +1)N матрицей плотности. Такоевидоизменение никоим образом не ограничивается ядерным магнетизмом, напротив,оно весьма часто встречается в статистической физике» а именно всякий раз,когда переходят от описания систем со слабыми взаимодействиями, например,таких, как молекулы газа при низком давлении, к описанию сильно взаимодействующихсистем, таких, как атомы Кристалла. Первый подход соответствует методуМаксвелла – Больцмана, а второй — методу Гиббса.

Стационарноесостояние, следуя методу Гиббса, можно описать следующим образом. Если ксистеме спинов приложено линейно поляризованное вдоль оси Охрадиочастотное поле Н1 cos wt, то при стационарных условиях система приобретаетнамагниченность, составляющая которой вдоль этой же оси равна

Мх= H1 {c' (w) cos wt +c'' (w) sin wt}. (la)

Условиелинейности или отсутствия насыщения предполагает, что c' и c'' не зависят от H0. c' и c''можно измерить отдельно, а c'' пропорционально скорости поглощения радиочастотной энергии образцом.

Выведемобщую формулу для c''(w). Выше былопоказано, что в линейной теории резонанса между c' (w) и c'' (w) существуют независимо от природырассматриваемой системы общие соотношения (соотношения Крамерса – Кронига),позволяющие вычислить одну из этих величин, когда для всех значений частотыизвестна другая.

Ниже,чтобы избежать путаницы, мы будем обозначать через М макроскопическое значениенамагниченности образца и через M— соответствующийквантовомеханический оператор. Между ними имеет место соотношение

М = <M> = Sp {rM}, (2)

где r – статистический оператор, или матрицаплотности, описывающая систему спинов. Пусть ħH — полный гамильтониан системы в отсутствие внешнегорадиочастотного поля. Если до приложения радиочастотного поля система находитсяв тепловом равновесии при температуре Т, то ее статистический операторопределяется выражением

/> (3)

которое просто означает, чтостатистическое поведение системы можно описать, если ее энергетическим уровням ħEn приписать населенности, пропорциональные exp(—ħEn/kT).

При наличии радиочастотногополя уравнение движения для r имеет вид

/> (4)

где V – объем образца. Чтобы решить (4)относительно r,сделаем подстановку

r* = ei Htr e– i H t , (5)

которая преобразует (4) в уравнение

/>. (6)

Предположим, что радиочастотноеполе было включено в момент, когда образец находился в тепловом равновесии и

r (–¥) = r = r* (–¥).

В момент t решение (6) в линейном приближенииотносительно Н1имеет вид

/> ( 7)

Поэтому, возвращаясь к r [см. (5)], находим

/> (8)