Реферат: Общая гидродинамика
Реферат по курсу ‘’
· Тензор скоростей деформации.
· Связь тензоров напряжений и скоростей деформации.
· Реологическое соотношение. Ньютоновская жидкость.
· Уравнения Навье-Стокса.
· Задача о стекании слоя вязкой жидкости по наклонной плоскости.
Основныеуравнения. Уравнения сохранения массы
/>, (1)
количества движения
/>, (2)
энергии
/> (3)
пригодны для различныхтечений жидкости и газа, но их не достаточно для решения конкретных задач. Делов том, что число неизвестных величин в этих уравнениях больше числа уравнений.Наряду с гидродинамическими величинами />,характеризующими поля течений, в них входят другие величины, в частностинапряжения поверхностных сил />, потокитепла через поверхность />.Необходимо ввести некоторые дополнительные соотношения, описывающие физическиесвойства среды, движение которой изучается на основе законов механики. Иначеговоря, необходимо построить теоретическую модель изучаемой среды, котораяописывается замкнутой системой уравнений.
Тензорнапряжений. Напряженное состояние впроизвольной точке в поле определяется тройкой векторов />, которые представляютнапряжения, действующие на площадках, перпендикулярных координатным осям x, y,z. Каждому из этих векторов соответствуют три проекции, например,
/> (4)
Систему координат с началом вданной точке можно выбрать многими способами, и, следовательно, можно ввести врассмотрение бесконечное множество троек векторов напряжений. Выясним связьмежду векторами напряжений в двух системах координат.
Для сокращениязаписи формул координатные оси будем помечать индексами 1, 2, 3. Пусть /> и /> - единичные векторы двухсистем координат с общим началом, а /> и /> - векторы напряжений,действующие в этих системах на площадках, нормали к которым ориентированы покоординатным осям.
Положение однойсистемы координат относительно другой задается таблицей направляющих косинусов
/>
Применим формулу Коши ккаждому из штрихованных векторов
/> (5)
Тройка векторов />, определенных в любойдекартовой ортогональной системе координат таким образом, что при переходе отодной системы к другой векторы /> преобразуютсяпо формулам (5), называется тензором. Таким образом, векторы /> образуют тензор напряжений.Так как каждый из векторов /> определяетсяпо (4) своими тремя проекциями />, то вматричной форме этот тензор имеет следующий вид:
/> (6)
Тензор напряженийявляется симметричным. Это свойство тензора напряжений вытекает из уравнениймоментов количества движения в классическом случае, когда отсутствуютвнутренние моменты количества движения и внешние массовые и поверхностныераспределенные пары взаимодействия. Уравнение моментов количества движения приэтих условиях записывается следующим образом:
/> (7)
Интеграл по поверхностипреобразуется в объемный:
/>
Теперь уравнение (7) можнопереписать так:
/> (8)
В силу уравнения количествадвижения (2) левая часть (8) обращается в нуль, следовательно, в силупроизвольности /> должно обращатьсяв нуль подынтегральное выражение в правой части
/> (9)
Из (9) следуют равенства
/>
или в сокращенной записи, />.
С симметричнымтензором второго ранга /> связанасимметрическая квадратичная форма
/> (10)
В этой записи предполагается,что по повторяющимся индексам производится суммирование. Как известно,существует главная система координат />, вкоторой квадратичная форма (10) имеет простейший вид
/>
Тензор напряжений в этойсистеме содержит только диагональные члены
/>
Приведениеквадратичной формы (10), записанной в произвольной ортогональной декартовойсистеме координат, к главным осям (/>)осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Величины /> называются главныминапряжениями, они находятся как корни уравнения
/>
Вещественность корней следуетиз симметричности тензора. Это уравнение эквивалентно следующему:
/> (11)
Отсюда следует, что величины /> не изменяются при заменеосей координат. Таким образом, получаем три инварианта тензора напряжений:линейный />, квадратичный />, кубический />. Их можно выразить черезкоэффициенты /> или через корни уравнения(11):
/> (12)
Тензорскоростей деформаций. Выберем малуючастицу жидкости и точку />,принадлежащую этой частице. Для любой точки />,бесконечно близкой к />, можно записатьразложение Тейлора в линейном приближении
/> (13)
Здесь /> — координаты точки /> относительно точки />, так что
/>
Введем в рассмотрение матрицуиз девяти элементов
/>
Тогда (13) можнопереписать следующим образом:
/>
Полученное равенство независит от системы координат и в любой системе координат вектору /> ставит в соответствиевектор />. Это свойство равенстваявляется необходимым и достаточным условием того, что входящая в него матрица /> определяет тензор.
Преобразуемразложение (13) так, чтобы привести его к виду
/> (14)
В силу линейности (13) по /> функция /> должна быть квадратичнойотносительно переменных, и ее можно записать следующим образом:
/>
Спроектируем (14)на оси координат:
/> (15)
Сравнивая (15) с (13),находим коэффициенты квадратичной формы /> ипроекции векторов />:
/> (16)
Эти величины определяютсяединственным образом. Разберем смысл формул (14). Предварительно отметим, чтодля абсолютно твердого тела имеем />, где /> — скорость полюса /> - вектор мгновенной угловойскорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси,проходящей через />. Из (14) следует,что скорость в некоторой точке сплошной среды складывается из скорости полюса />, скорости /> этой точки во вращательномдвижении затвердевшей частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс />, скорости деформации />. Угловая скорость вращениячастицы равна
/>
скорость деформации частицы
/>
На основании соотношений (16)тензор /> можно представить в видесуммы симметричного и антисимметричного тензоров:
/> (17)
Симметричныйтензор /> определяет скоростидеформации частицы и называется тензором скоростей деформации. С этим тензоромсвязана симметрическая квадратичная форма />.Как и в случае тензора напряжений, существуют главные координатные оси />, в которых квадратичнаяформа принимает простейшую форму
/>
Переход от произвольнойсистемы координат к главным осям осуществляется невырожденным линейнымпреобразованием. Главные скорости деформации /> находятсякак корни векового уравнения
/>
Имеются триинварианта тензора скоростей деформации — линейный />,квадратичный />, кубический />. В частности, для линейногоинварианта имеем выражения
/> (18)
Связь тензоровнапряжений и скоростей деформации. Ньютоновская жидкость. Тензоры /> и /> характеризуют напряжение идеформированное состояние в данной точке сплошной среды. Для конкретной средыдолжна быть определена связь между этими тензорами. В случае вязкой жидкоститакая связь устанавливается законом Навье-Стокса.
В основу моделивязкой жидкости положены следующие предположения:
1. в жидкости наблюдаются тольконормальные напряжения, если жидкость покоится или движется как твердое тело;
2. жидкость изотропна — свойства ееодинаковы по всем направлениям;
3. компоненты тензора напряжений естьлинейные функции компонент тензора скоростей деформации.
Наиболее общийвид связи между тензорами /> и />, удовлетворяющий этимусловиям, есть
/> (19)
Здесь /> — единичный тензор, /> и /> - скалярные величины. Еслидвижение отсутствует, отсюда получаем />.Это означает, что в этом случае в жидкости действительно существуют тольконормальные напряжения, одинаковые в силу изотропии жидкости. Так как вязкостьпроявляется лишь при движении, то естественно считать, что напряженноесостояние в вязкой жидкости будет таким же, как в покоящейся идеальнойжидкости, — на каждой площадке будет действовать по нормали к нейгидростатическое давление />.Значение /> выражается через первыйинвариант тензора />:
/>
Обобщая это соотношение,определим давление в движущейся вязкой жидкости соотношением
/>
Равенство (19)означает, что будут равны также инварианты тензоров, стоящих в левой и правойчастях. Приравниваем линейные инварианты этих тензоров, которые находим спомощью формул (12), (18):
/>
Отсюда находим
/>
Выразим теперь /> через давление />,
/>
тогда из (19) получаемследующий закон для вязкой жидкости (М.Навье, 1843 г.; Г.Стокс, 1845 г.):
/> (20)
Величина /> называется коэффициентомдинамической вязкости, а /> -коэффициентом второй вязкости. Коэффициент динамической вязкости характеризуетвнутреннее трение слоев жидкости в их отдельном движении. Смысл этогокоэффициента ясно виден на простейшем примере слоистого течения />, />, />, в котором возникает силатрения
/>
Это выражение для силы трениябыло предложено Ньютоном. На этом основании формулу (20) называют обобщеннымзаконом вязкости Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называютсяньютоновскими.
Коэффициент /> характеризует объемнуювязкость, действие которой может проявляться только в сжимаемой жидкости.
Коэффициенты />, /> всегда положительны, онимогут быть функциями температуры, либо постоянными для данной среды. Наряду с /> используется коэффициенткинематической вязкости />.Значения /> заметно отличаются от нулятолько в особых случаях. В рамках классической гидродинамики эффект второйвязкости обычно не учитывается. Введем обозначение />,тогда из (20) получаем следующие уравнения модели вязкой жидкости, связывающиекомпоненты тензоров напряжений и скоростей деформации:
/> (21)
Запишем эти уравнения вобычных обозначениях декартовых ортогональных координат:
/> (22)
УравнениеНавье-Стокса. Если объединитьуравнения движения сплошной среды
/> (23)
с обобщенным законом Ньютона,иначе говоря, если подставить вместо тензора напряжений выражение его черезтензор скоростей деформации, то получим уравнение движения, пригодное толькодля частного класса сред — вязких ньютоновских жидкостей. Получаемое при этомвекторное уравнение называется уравнением Навье-Стокса (в скалярной форме — уравнениями Навье-Стокса).
Запишем уравненияНавье-Стокса в декартовой ортогональной системе координат x, y, z. Выражениядля компонент тензора напряжений дается формулами (22), выражающими обобщенныйзакон Ньютона в декартовой системе координат. Подставляя их в уравнениедвижения, получим
/> (24)
Если жидкость несжимаемая и /> = const, то система (24)упрощается, и ее удобно записать в векторной форме
/> (25)
Уравнения (24), (25) быливыведены первоначально на основе представлений о молекулярной структуре среды ио межмолекулярных силах (М.Навье, 1827 г.; С.Д.Пуассон, 1831 г.) На основефеноменологических представлений о линейной связи между тензорами скоростейдеформации и напряжений, обобщающих закон Ньютона, эти уравнения вывелиБ.Сен-Венан в 1843 г. и Г.Г.Стокс в 1845 г.
Воспользуемсятеперь формулами обобщенного закона Ньютона (22) для того, чтобы исключить /> из уравнения энергии:
/> (26)
Входящая в это равенствофункция /> называется диссипативнойфункцией. Очевидно, /> при />.
Уравнение энергиипереписывается в следующей эквивалентной форме:
/> (27)
Задача остекании слоя вязкой жидкости по наклонной плоскости. Слой жидкости (толщины h) ограничен сверху свободнойповерхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом /> к горизонту. Определитьдвижение жидкости, возникающие под влиянием поля тяжести.
Решение: Выберем неподвижную нижнюю плоскость в качествеплоскости xy, причем ось x выберем по направлению течения. Ось zперпендикулярна плоскости xy и дополняет систему координат до правойортогональной. Ищется решение, зависящее только от координаты z. УравнениеНавье-Стокса с /> при наличиигравитационного поля g имеет вид:
/>
На свободной поверхности ( z= h ) должны выполняться условия:
/>
где />-атмосферное давление, а /> -коэффициент динамической вязкости. При z = 0 должно быть />; удовлетворяющие этим условиям решение есть
/>
Количество жидкости,протекающие через поперечное сечение слоя на единицу длинны вдоль y равно
/>