Реферат: Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения
В.Кинетические Свойства
§ 6. Кинетическое уравнение
Носители заряда в металле или полупроводнике могутподвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они такжеиспытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должныбыть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электронускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этойглаве мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложениипостоянных полей.
Общий метод решения этой задачи основан на кинетическомуравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk(r) — локальнуюконцентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r.Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистыхраспределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширнаялитература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппаратуквантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.
Посмотрим теперь, какими способами функция fk(r) может изменяться вовремени. Возможны процессы трех типов:
1. Носители заряда приходят в область пространствавблизи точки rи уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервалавремени tносители заряда в этом состоянии пройдут путь tvk. Следовательно, наосновании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы числоносителей в окрестности точки r в момент времени tравно числу их вокрестности точки r – tvkв момент времени 0:
fk(r, t) = fk(r – tvk,0). (35)
Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть
¶fk/¶t]diff = – vk׶fk/¶r = – vk×Ñfk. (36)
2. Внешние поля вызывают изменение волновоговектора kкаждого носителя, согласно равенству
/> (37)
Величину /> можнорассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что поаналогии с равенством (35) имеем
/> (38)
следовательно, под действием полей функцияраспределения меняется со скоростью
/> (39)
(мы использовали здесь обозначение ¶fk/¶k для градиента в k-пространстве — оператора Ñk).
3. Влияние процессов рассеяния оказывается болеесложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со скоростью
¶fk/¶t]scatt = ∫{ fk' (1 – fk) – fk (l – fk')}Q(k, k')dk'. (40)
Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению fk. Вероятность этогопроцесса зависит от величины fk — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – fk') — числа свободных мест вконечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет кувеличению функции fk; он пропорционален величине fk'(1 – fk). Очевидно, надопросуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значенийk и k' существует, однако,«собственная» вероятность перехода Q(k, k'), равная скоростиперехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопическойобратимости, та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интеграломпоявляется общий множитель.
Кинетическое уравнение выражает следующее: длялюбой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции fk(r) равна нулю, т. е.
¶fk/¶t]scatt + ¶fk/¶t]field + ¶fk/¶t]diff =0. (41)
Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но необязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределенияобозначается через f0k, оно осуществляется только в отсутствие полей иградиентов температуры.
Допустим, однако, что рассматриваемоестационарное распределениене слишком сильно отличается от равновесного.
Положим
gk = fk – f0k. (42)
где
f0k = 1/{exp[(E<sub/>k – z)/kT] +1} (43)
Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, какопределить функцию f0k в случае, когда температура зависит от координат?Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальнуютемпературу T(r),и положим
gk(r)=fk(r)– f0k{3T(r)}. (44)
Если введение локальной температуры вызывает затруднения,можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либодополнительному условию, например
ògk(r)dk = 0. (45)
Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) ииспользуя равенства (7.2) и (7.5), получаем
– vk׶fk /¶r – e<sub/>/ħ(E +1/c[vk ´ H]) ׶fk /¶k = – ¶fk /¶t]scatt, (46)
или
– vk׶fk<sub/>/¶T ÑT – e<sub/>/ħ(E + 1/c[vk ´ H]) ׶ f0k<sub/>/¶k = – ¶fk<sub/>/¶t]scatt + vk׶gk<sub/>/¶r + e<sub/>/ħ(E + 1/c[vk ´ H]) ׶gk<sub/>/¶k. (47)
С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать ввиде
(¶f0<sub/>/¶E)vk×{( E<sub/>(k) – z)<sub/>/<sub/>T×ÑT + e<sub/>(E – 1/e×Ñz)} = – ¶fk /¶t]scatt + vk׶gk /¶r + e<sub/>/ħc[vk ´ H] ׶gk /¶k. (48)
Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В немопущен член (E׶gk<sub/>/¶k) порядка E2, соответствующийотклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk [vk ´ H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.
Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можноубедиться, что мы получили линейноеинтегро-дифференциальное уравнениеотносительно «добавки» gk(r) к функции распределения. Функция gk(r)определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры,входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскиватьрешения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличениясложности.
§ 7. Электропроводность
Пусть на систему наложено только электрическоеполе E, и в «бесконечной» среде поддерживается постояннаятемпература. С учетом выражения (40) получаем
(– ¶f0<sub/>/¶E)vk×eE = – (¶f0<sub/>/¶t)]scatt = ò(fk– fk¢)Q(k,k¢)dk¢= ò(gk– gk¢)Q(k,k¢)dk¢ (49)
Это есть простое интегральное уравнение длянеизвестной функции gk.
Вместо того чтобы, непосредственно решать его,сделаем феноменологическое предположение:
– ¶fk /¶t]scatt = gk/t (50)
Тем самым мы вводим время релаксации t. При выключении поля любоеотклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону
– ¶gk /¶t = gk/t, (51)
или
gk(t) = gk(0)e– t / t. (52)
Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим
gk = (– ¶f0<sub/>/¶E) tvk×eE (53)
Чтобы найтиэлектропроводность, вычислим соответствующую плотность тока
/> (54)
Здесь при переходе от первойстроки ко второй принято во внимание, что
òf0kevk(r)dk º 0,
использованытакже формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл поизоэнергетическим поверхностям и по энергии.
В металле функция (– ¶f0<sub/>/¶E) ведет себя как d-функция от (E – z), поэтому остается толькопроинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом,
/> (55)
Сравним это выражение с обычной макроскопическойформулой
J = s×E, (56)
где s – тензор. Получим
/> (57)
Обычно имеют дело скристаллами кубической симметрии, при этом тензорэлектропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когдаоба вектора E и Jнаправлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть
(vkvk × E) = v2xE, (58)
что дает 1/3вклада от квадрата скорости, v2E. Поэтому
/> (59)
где мы ввели длину свободного пробега
L = tv. (60)
Это есть основная формула для электропроводности.
Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядитфункция распределения fk, заданная выражением (7.8). Как видно изравенства (53), функция gk велика только вблизи поверхности Ферми.
/>
Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенноераспределение Ферми.
Небольшая добавка появляется с той стороны, где vk×eE>0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величинавычитается с противоположной стороны.
Фактически по теореме Тейлора можно написать
/> (61)
Это выглядит так, как будто вся сфера Фермисдвинулась в k-пpoстранстве на величину (et/ħ)E. Это несколько неверная интерпретация. Вдействительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубинесферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам втаких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.
Отметим, однако, что электропроводность не зависитот температуры (если не считать возможнойтемпературной зависимости t). Эта же формула справедлива при T= 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую границу.Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение жесткойповерхности Ферми.
Заметим также, что выражение (61) можнопредставить в виде
fk= f0(Ek + etvkE), (62)
как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина
dEk = etvkE. (63)
Это в точности соответствуетклассической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон соскоростью vk двигался в поле E в течение интервалавремени t. Это замечание лежит в основе кинетическогометода решения подобных задач. Добавочнаяэнергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовойскорости dv внаправлении поля; именно
dv(¶E/¶v) = evEt, (64)
или дляклассической частицы массы m
dv(¶E/¶v) = evEt /mv. (65)
Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотностьтока равна
J = nedv, (66)
и, сравнивая формулы (65),(66) и (56), находим
s = ne2t/m. (7.33)
Легко показать, что в случае свободногоэлектронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формулапринципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровнеФерми, а не от полной концентрации их. Большую электропроводность металловследует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов навершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрациисвободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.
Основная формула (59) показывает также, чтопроисходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результатевзаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки,ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхностиФерми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлахтипа Bi.
С другой стороны, формулакинетической теории (67) удобна для полупроводников. При этом под п следуетпонимать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут
s = n|е|m (68)
где
m = |e|t/m (69)
есть подвижность носителей.В более общем случае считают, что электроны и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством
s = nh |е| mh + ne |е| me . (70)
Нетрудно вывести формулу(68), скажем, из (54), принимая в качестве f° классическую функцию распределения. При этом мы допускаем,что время релаксации t может зависеть от энергии; в формулу (69) надоподставить его среднее значение
/> (71)
где N(E) естьплотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,
me= |e|te /me (7.38)
где те — эффективная массаэлектронов. Аналогичная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно,что подвижность может зависеть оттемпературы. С ростом Tраспределение размазывается и среднее время релаксацииизменяется. Вслучае металла то обстоятельство, что т зависит от энергии, не играет большойроли, ибо существенно только значение t(EF).