Реферат: Плоская задача теории упругости
Нижегородскийгосударственный
архитектурно-строительныйуниверситет.
Кафедрасопротивления материалов и теории упругости.
Расчетно-проектировочная работа
Плоская задачатеории упругости
Выполнил: Студент гр. 163 А.В.Троханов
Проверила: Т.П. Виноградова
Н.Новгород 2002 г.
Изтела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщинакоторой 1 см, размеры в плане 20х20 см.
Схема закрепленияпластины.
/>
Задаваясь функцией напряжений, общий видкоторой
Ф (х, у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3
Принять двакоэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентовпринять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е икоэффициента Пуассона для материала пластины.
Найти общие выражения для напряжений sх, sу, tху (объемные силы неучитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(намиллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определивкомпоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Длянаглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чеммасштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.
Расчет.
Дано: а3=1/3, а4= 1
Е=0,69*106 кг/см2
n=0,33
Решение:
1.Проверим, удовлетворяет ли функциянапряжений бигармоническому уравнению.
Ф(х, у)=/>
Посколькупроизводные/>
-бигармоническоеуравнение удовлетворяется.
2.Определяем компоненты по формулам Эри,принимая объемные силы равными нулю.
sх=/>
sу=/>
tху=/>
3.Строимэпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическимнапряжениям.
/>
4.Проверяем равновесие пластины
/>
Уравненения равновесия:
Sх=0 -Т5+Т6=0 > 0=0
Sy=0 Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0
SM=0 M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0
удовлетворяется, т.е. пластинанаходится в равновесии.
5.Для точки А с координатами (5,-5)найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.
В этой точке напряжения в основныхплощадках. sх=0, sу=-1,33, tху=3,33,
Найдем главное напряжение по формуле:
/>=-0,665±3,396 кгс/см2/>
smax=sI=2,731 МПа
smin=sII= -4,061 МПа
Находим направление главных осей.
/>
/> aI=39,36o
/> aII=-50,64o
6.Определяем компоненты деформации
/>
7.Находим компоненты перемещений
/>
Интегрируем полученные выражения
/>
j(у), y(х)–некоторые функции интегрирования
/>
/>
или
/>
После интегрирования получим
/>
где с1 и с2 –постоянные интегрирования
С учетом получения выражений для j(у) и y(х) компоненты перемещений имеет вид
/>
Постоянные с1,с2, и с определяем из условий закрепления пластины:
/>1) />v =0 или />
/>
/>/>2) v =0 или />
/>/>3) u =0 или />
Окончательные выражения для функцийперемещений u и v
/>
Покажем деформированное состояниепластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 координаты Х(см) -10 10 10 10 -10 -10 У(см) 10 10 10 -10 -10 -10V*10-4
3,8 0,77 0,58 -0,19 0,19 3,2 3,1U*10-4
-3,1 -3,5 -3,9 -1,9 -0,23 -0,45 -1,8 -1,9/>
Масштаб
ü длин:в 1см – 2см
ü перемещений:в 1см - 1*10-4см