Реферат: Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
Министерство науки и образования Украины
Днепропетровский Национальный Университет
Радиофизический факультет
Кафедра физики СВЧ
Рефератпо курсу
электродинамики:
“Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия”
Выполнил:
Студент
группыРЭ–01-1 А. Л. Бузмаков
Проверил:
Доцент
Кафедры оптоэлектроники
Физическогоф-та: В.Д. Гладуш
Днепропетровск2003
СодержаниеУравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме. Граничные условия. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики. Пример. Приложение. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Список используемой литературы.
1. УравненияМаксвелла в дифференциальной и интегральной форме
Система уравнений,состоящая из уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютонадля частиц, представляет собой единую систему уравнений, описывающую всеявления, обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учётарелятивистских и квантовых эффектов). Поэтому, строго говоря, их необходиморешать совместно в задачах электродинамики. Однако в такой наиболее общейпостановке решать задачи о взаимодействии электромагнитного поля с веществомчрезвычайно трудно. Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоитиз громадного количества частиц, движение которых каждой в отдельностиневозможно описать. С такой проблемой сталкиваются в классической механике припопытках описать механическое движение газов, жидкостей и твёрдых тел. Чтобыобойти эту трудность физикам приходилось строить определённые моделимеханических систем: модель абсолютно твёрдого тела, модель сплошной среды идр. При изучении взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полемтакже приходится вводить некоторые модели. Одной из таких широко употребляемых,является модель сплошной среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель электрического диполя играет очень важную роль в физике, так какатомы и молекулы представляют собой системы заряженных частиц, которые в целомнейтральны, но могут обладать отличным от нуля дипольным моментом и поэтомусоздавать электрическое поле.
Открытие тока смещенияпозволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений.Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты ипредсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилосьвпоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вывод о существованииэлектромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.
Основу теории образуютуравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такуюже роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) втермодинамике. Ниже приведена полная система уравнений Максвелла классическойэлектродинамики в сплошной среде.
Первую пару уравненийМаксвелла образуют уравнения:
/> (1)
/> (2)
Здесь вектор /> - вектор напряжённостиэлектрического поля, /> - вектор индукциимагнитного поля.
Первое из этих уравнений связывает значение /> сизменениями вектора /> во времени иявляется по существу выражением закона электромагнитной индукции. Онопоказывает, что источником вихревого поля вектора /> являетсяменяющееся со временем вихревое магнитное поле. Второе уравнение указывает наотсутствие источников магнитного поля, т.е. магнитных зарядов,как в вакууме, так и в намагниченном веществе.
Вторую пару уравненийМаксвелла образуют уравнения:
/> (3)
/> (4)
Где /> — вектор электрическогосмещения, /> — напряжённость магнитногополя, /> — намагниченность вещества, /> - поляризованность, /> — вектор плотности тока, /> - объёмная плотностьзаряда.
Первое уравнениеустанавливает связь между токами проводимости и токами смещения, и порождаемымими магнитным полем. Второе показывает, что источниками вектора /> служат сторонние заряды.
Вышеперечисленныеуравнения представляют собой дифференциальную форму уравнений Максвелла. Можноотметить, что в первую пару уравнений входят только основные характеристикиполя — /> и />. Во второй паре фигурируюттолько вспомогательные величины /> и />.
Можно отметить, что видуравнений (2) и (4) не зависит от наличия среды, в то время как векторы /> и />, а также величины /> и />, входящие в уравнения (3) и(4), зависят от свойств вещества и условий, в которых оно находится. Любоемакроскопическое тело, рассматриваемое как сплошная среда, состоит иззаряженных частиц – электронов и ядер, обладающих также и магнитными моментами,и поэтому взаимодействующих с электромагнитным полем, являясь в то же время иего источниками. Таким образом, величины />,/>, /> и /> следует определять, исходяиз электрических и магнитных свойств вещества.
Выводя формулу (1),Максвелл предположил, что изменяющегося со временем магнитное поле обусловливаетпоявление в пространстве поля />,независимо от присутствия в пространстве проволочного контура. Наличие контуралишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного токасуществование в соответствующих точках пространства электрического поля.
Рассмотрим случайэлектромагнитной индукции, когда проволочный контур, в котором индуцируетсяток, неподвижен, а изменения магнитного потока обусловлены изменениямимагнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, чтоизменения магнитного поля вызывают появление в контуре сторонних сил,действующих на носители тока. Эти сторонние силы не связаны ни с химическими,ни с тепловыми процессами в проводе; они также не могут быть магнитными силами,потому что такие силы над зарядами работы не совершают. Остаётся заключить, чтоиндукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем.Обозначим напряжённость этого поля /> (этообозначение является вспомогательным так же как и/>).Электродвижущая сила равна циркуляции вектора />поданному контуру:
/> (1.1)
Подстановка в формулу /> выражения (1.1) для />и выражения /> для /> приводит к соотношению
/>
(интегралв правой части берётся по произвольной поверхности, опирающейся на контур).Поскольку контур и поверхность неподвижны, операции дифференцирования повремени и по поверхности можно поменять местами:
/> (1.2)
В связи с тем, что вектор /> зависит, вообще говоря, какот времени, так и от координат, то можно написать под знаком интеграла символчастной производной по времени (интеграл /> являетсяфункцией только времени).
Левую часть равенства (1.2) преобразуем по теоремеСтокса. В результате получится:
/>.
Ввиду произвольности выбораповерхности интегрирования должно выполняться равенство
/>.
Ротор поля />в каждой точке пространстваравен взятой с обратным знаком производной по времени от вектора />.
Это поле />, порождающееся изменениеммагнитного поля, существенно отличается от порождаемого электрическими зарядамиэлектрического поля />.Электростатическое поле потенциально, его линии начинаются и заканчиваютсяна зарядах. Ротор вектора /> в любой
точке равен нулю:
/>=0.
Согласно (1.2) ротор вектора /> отличен от нуля.Следовательно, поле /> так же, как имагнитное является вихревым. Линии напряжённости /> замкнуты.
Таким образом,электрическое поле может быть как потенциальным (/>)так и вихревым (/>). В общем случаеэлектрическое поле слагается из этих двух полей. Сложив вместе /> и />, получим следующееуравнение:
/>. (1.3)
Существование взаимосвязи между электрическим имагнитным полями служит причиной того, что раздельное рассмотрениеэлектрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл.Действительно, электростатическое поле создаётся системой неподвижных зарядов водной системе координат, однако они могут двигаться относительно другойинерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второй системе подвижными,следовательно, будут создавать магнитное поле. Таким образом, поле, котороеотносительно некоторой системы отсчёта оказывается «чисто» электрическим или«чисто» магнитным, относительно других систем отсчёта будет представлять собойсовокупность электрического и магнитных полей, образующих единоеэлектромагнитное поле.
Выводя формулу (3), Максвелл пересмотрелуравнения для ротора вектора /> дляслучая стационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, гдеротор вектора /> равен в каждойточке плотности тока проводимости:
/>, (3.1)
где вектор /> связан сплотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности:
/> (3.2)
Электромагнитное полеможет быть стационарным лишь при условии, что плотность заряда /> и плотность тока /> не зависят от времени. Вэтом случае согласно (3.2) дивергенция /> равнанулю.
Поэтому можно выяснить, являетсяли справедливым уравнение (3.2) справедливым в случае изменяющихся со временемполей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядкеконденсатора от источника постоянного напряжения U (рис. 1).
/> />Этот ток непостоянен во времени (в момент, когда напряжение наконденсаторе становится равным U, токпрекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке междуобкладками конденсатора.
Возьмём круговой контурГ, охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируемсоотношение (3.1) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:
/>.
Преобразовав левуючасть по теореме Стокса, получим циркуляцию вектора />по контуру Г:
/> (3.3)
(I – сила тока заряжающего конденсатор). Проделав такие жевычисления для поверхности S2, придёмк явно неверному соотношению:
/> (3.4)
Полученный результатуказывает на то, что в случае изменяющихся со временем полей уравнение (3.1)перестаёт быть справедливым. Напрашивается вывод, что в этом уравненииотсутствует слагаемое, зависящее от произвольных полей во времени. Длястационарных полей это слагаемое обращается в нуль.
На неправомерностьуравнения (3.1) в случае нестационарных полей указывает также, следующиесоображения. Возьмём дивергенцию от обеих частей соотношения (3.1):
/>
Дивергенция ротора должна бытьобязательно равна нулю. Таки образом, можно прийти к выводу, что дивергенциявектора /> также должна быть всегдаравной нулю. Однако этот вывод
противоречит уравнениюнепрерывности, где /> отлична от нуля.
Чтобы согласоватьуравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в правую часть уравнения (3.1)дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должно иметьразмерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью тока смещения.Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (3.1) должно иметь вид:
/> (3.5)
Сумму тока проводимости и тока смещения принятоназывать полным током. Плотность полного тока равна:
/> (3.6)
Если положить дивергенцию тока смещения равнойдивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком,
/> (3.7)
то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как идивергенция левой части, всегда будет равна нулю.
Заменив в (3.7) /> согласно (3.2) через />, получим следующеевыражение для дивергенции тока смещения:
/>. (3.8)
Чтобы связать ток смещения с величинами,характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемсясоотношением:
/>
Продифференцировав это соотношение по времени,получим:
/>
Теперь поменяем в левой части порядокдифференцирования по времени и по координа -там. В результате придём кследующему выражения для производной /> по />.
/>.
Подстановка этого выражения в формулу (3.8) даёт:
/>.
Отсюда
/> (3.9)
Подставив выражение (3.9) в формулу (3.6), придём куравнению
/>.
Каждое из векторныхуравнений (1) и (3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающимкомпоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств.Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальных операторов, можнозаписать их в следующем виде:
/>; />; /> (5)
/> (6)
для первой пары уравнений, и:
/>; />; /> (7)
/> (8)
для второй.
Всего получилось 8уравнений, в которых входят 12 функций (по три компоненты векторов />, />, />, />.) Поскольку число уравненийменьше числа известных функций, уравнений (1) — (4) недостаточно для нахожденияполей по заданным распределениям зарядов и токов. Чтобы осуществить расчётполей, нужно дополнить уравнения Максвелла уравнениями, связывающими /> и /> с />, а также /> с />. Эти уравнения имеют вид.
/> (9)
/> (10)
/> (11)
Совокупностьуравнений (1) – (11) образуют основу электродинамики покоящихся сред.
Уравнения:
/> (12)
/> (13)
(первая пара) и
/> (14)
/> (15)
(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла винтегральной форме.
Уравнение (12)получается путём интегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теоремеСтокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Уравнение (14) получается таким же способом изсоотношения (3). Уравнения (13) и (15) получаются из соотношений (2) и (4)путём интегрирования по произвольному объёму V споследующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса винтеграл по замкнутой поверхности S,ограничивающей объём V.
2. Граничныеусловия
При решении задачэлектродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограниченыповерхностями. При переходе через эти поверхности физические свойствамакроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могутизменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словамивекторные функции /> и /> являются кусочно-непрерывнымифункциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутрикаждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах разделадвух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1)- (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, азатем полученные решения объединять с помощью граничных условий.
При нахождении граничныхусловий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласноуравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:
/>, (16)
где Q – полный заряд внутриобъёма интегрирования.
Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндрас высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).
/> Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:
/> (17)
здесь /> - нормаль к границераздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Знак «минус» вовтором слагаемом обусловлен тем, что внешняя нормаль /> поверхности интегрирования в среде 2 направлена противоположно нормали /> всреде 1. Пусть основание цилиндра стремится к границе раздела двух сред. Таккак площадь боковой стремится к нулю, то />,и поэтому (17) приобретёт вид:
/> (18)
где /> и/> - значения нормальныхсоставляющих вектора /> по разные стороныповерхности раздела; /> — поверхностнаяплотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.Если поверхность раздела не заряжена, то в формуле (18) необходимо положить />=0. Пользоваться понятиемповерхностной плотности удобно тогда, когда избыточные (сторонние) зарядырасположены в очень тонком слое вещества d, а полерассматривается на расстояниях от поверхности r>>d. Тогда из определения объёмной плотности заряда /> следует:
/> = />d = />.
Если учесть, что />, а /> - поверхностная плотностьполяризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:
/>
где />,а величина />, которая входит вграничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных поотношению к связанным зарядам самого вещества.
Используя уравнение(2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора />:
/> (19)
/>
Выражения (18) и (19) –граничные условия для нормальных составляющих векторов /> и />. Чтобы получить условия для тангенциальных составляющих можно использовать уравнения (1) и (3).Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль /> к поверхности S, ограниченной контуром L,имеющим вид прямоугольника (рис. 3).
Используя теорему Стокса, получим:
/>
Перепишем это уравнение в виде:
/>
/> (20)
Здесь /> и /> — значения вектора /> соответственно в средах 1 и2, /> - единичный вектор,касательный к поверхности раздела, /> -нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.
Пусть теперь /> прималом, но фиксированном l. Тогда />, /> и соотношение (20) приметвид:
/>
и после сокращения на lимеем:
/>
здесь />. Вектор />, как следует из рисунка 2,можно записать как в виде />. Тогда
предыдущее выражение можно записать, как
/>.
Поскольку эта формула справедлива для любой ориентацииповерхности, а следовательно, и
вектора />, тоимеем
/> (21)
В граничном условии(21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению ктокам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить />=0. Учитывая, что />, а /> есть поверхностнаяплотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:
/>
где />.
Используя уравнение (1) и проводя аналогичныерассуждения, получаем граничные условия для вектора />:
/> (22)
Таким образом,уравнения Максвелла (1) — (4) должны быть дополнены граничными условиями (18),(19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальныхсоставляющих вектора /> (22) и нормальнойсоставляющей вектора /> (19) при переходечерез границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора /> при переходе через границураздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора />, если имеются поверхностныетоки (21).
Ещё одно граничное условие можно получить,используя уравнение непрерывности (/>0) иуравнение (4), из которых следует:
/>
Так как граничное условие (19) является следствием уравнения(2), то по аналогии находим:
/> (23)
Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностнаяплотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывностьнормальных составляющих плотности тока:
/>.
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух средимеют вид:
/>; />
(24)
/>; />
где /> - нормаль кгранице раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться влюбой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.
3. УравненияМаксвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
Так как на практике почти всегда приходитсярешать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничныеусловия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла(1) – (4).
В случае стационарныхэлектрических и магнитных полей (/> и/>) система уравненийМаксвелла (1) – (4) распадается на систему
уравнений электростатики:
/>, />, /> (25)
и уравнений магнитостатики:
/>, />, />, (26)
а граничные условия остаются те же.
4. Пример
В качестве примерарешения электростатических задач можно вычислить электрическое поле,создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R,находящемся в однородном электрическом поле />.Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при />=0имеют вид:
/>, />, /> (27)
Из этих уравнений следует, сто потенциалэлектростатического поля удовлетворяет уравнению
/> (28)
причём />= -/>, />-/>.В однородном диэлектрике />=const, поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнениеЛапласа />=0.
Граничное условия (24), выражающее непрерывностьвектора индукции, записывается следующим образом:
/> при r=R (29)
Здесь />– решениеуравнения вне сферы, а />– внутри сферы.Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющихэлектрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывностипотенциала
/>=/> (30)
Это условие можно получить, рассматривая интеграл />по контуру, изображенномуна рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением />, находим
/>
Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, тоэто значит, что функция /> непрерывна,откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что
/>
где элемент /> направленкасательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальныекомпоненты вектора /> такженепрерывны.
Для решенияпоставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная оськоторой (ось z) совпадает с направлениемнапряжённости однородного внешнего электрического поля />.
Поскольку на достаточно большом удалении отдиэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, топотенциал /> долженудовлетворять условию
/> /> при />.
Из соображений симметрииясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решениеуравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра />:
/> />,
/> />.
Здесь потенциал нормирован так, чтобы /> при />. Так как />, то из условия набесконечности находим />.
Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и(30):
/>
/>
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра,получаем
/> />=0 при (l=0),
/> /> при (l=1),
/> /> при (l>1).
Из этих уравнений находим
/>, />.
Все остальные коэффициенты равны нуля, если />.
Таким образом, решение задачи имеет вид:
/>
/> (30)
/>
Используя формулу />,вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы
/>
С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать ввиде:
/> (31)
/> (32)
где /> - объёмсферы.
Первые два слагаемых в(31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля,создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля,создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – этопотенциал диполя с дипольным моментом />.Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле снапряжённостью
/> (33)
Полная напряжённость внутри шара
/> (34)
Таким образом, электрическое полевнутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля />, которое называетсядеполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случайявления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.
5. Приложение.
1. Формула Остроградского – Гаусса.
Пусть f (x, y, z)- некоторая функция, а S — замкнутаяповерхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4),параллельном оси X, f — является функцией одного аргумента x.Интегрируя вдоль этого отрезка получим:
/>
где /> и/> - значения функции fна концах рассматриваемого промежутка.
Построим теперьбесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2.Пусть dσ — площадьпоперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущеесоотношение на dσ. Так как dσdx есть элементарный объёмdV, заштрихованный на рисунке, то врезультате получится:
/>
/>,
где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS1 и dS2 эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а />1 и />2–
единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:
dσ = d/>2/>2х = — d/>1/>1х,
а поэтому: />
или короче: /> где поверхностный интегралраспространён на сумму площадок dS1 иdS2. Весь объём Vможно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать длякаждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:
/> (35)
Интеграл справараспространён по всему объёму V, справа – поповерхности S, ограничивающей этот объём.Аналогичные соотношения можно написать для осей Yи Z.
Возьмём теперь произвольный вектор /> и применим к егокомпонентам соотношение (35). Получим:
/>
и аналогично для компонент Ay и Az. Складывая эти соотношения,найдём:
/>
или:
/>
Эту формулу Остроградского – Гаусса можно такжезаписать в виде:
/>
Смысл её заключается втом, что полный поток вектора /> черезнекоторую поверхность S равен суммарнойалгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.
Если объём V бесконечно мал, то величина div/> внутри него может считатьсяпостоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V→ 0, получим:
/>
Предельный переход надопонимать в том смысле, что область V должнастягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшатьсяпо всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая вправой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можнопринять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладаетпреимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выборомкоординат.
2. Формула Стокса.
По определению ротор (вихрь) некоторого вектора />:
/> (36)
Зная ротор вектора /> в каждой точке некоторой(не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислитьциркуляцию этого вектора по контуру />,ограничивающему S, (контур также может быть неплоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы />. Ввиду их малости этиэлементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляциявектора /> по контуру, ограничивающему/>, может быть представлена ввиде.
/> (37)
где /> - положительнаянормаль к элементу поверхности/>.
Зная, что циркуляцияпо некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся вданном, можно просуммировать выражение (37) по всем />,и тогда получим циркуляцию вектора /> поконтуру />, ограничивающему S:
/> />.
Осуществив предельный переход,при котором все /> стремиться к нулю(число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:
/> (38)
Соотношение (38) носит названиетеоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора /> по произвольному контуру /> равна потоку вектора /> через произвольнуюповерхность S, ограниченную данным контуром.
6. Списокиспользованной литературы
Федорченко А. М. Классическая электродинамика. – К.: Вища школа, 1988. – 280 с. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество. – М.: Наука, 1983. – 688 с. Савельев И. В. Курс обшей физики. 3 том. – М.: Наука, 1988. – 496 с.