Реферат: Термодинамика

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА  1

ОСНОВНЫЕ  ПОНЯТИЯ  И  ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ  ТЕРМОДИНАМИКИ

1.1.Закрытые иоткрытые термодинамические системы.

1.2.Нулевое началотермодинамики.

1.3.Первое началотермодинамики.

1.4.Второе началотермодинамики.

1.4.1.Обратимые инеобратимые процессы.

1.4.2. Энтропия.

1.5.Третье началотермодинамики.

ГЛАВА  2

ОСНОВНЫЕ  ПОНЯТИЯ  И  ПОЛОЖЕНИЯ СИНЕРГЕТИКИ.

САМООРГАНИЗАЦИЯ  РАЗЛИЧНЫХ  СИСТЕМ.

2.1.Общаяхарактеристика открытых систем.

2.1.1.Диссипативныеструктуры.

2.2.Самоорганизацияразличных систем и синергетики.

2.3.Примерысамоорганизации различных систем.

2.3.1.Физическиесистемы.

2.3.2.Химическиесистемы.

2.3.3.Биологическиесистемы.

2.3.4.Социальныесистемы.

Постановка задачи.

ГЛАВА  3

АНАЛИТИЧЕСКИЕ  И  ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ  САМООРГАНИЗАЦИИ  РАЗЛИЧНЫХ  СИСТЕМ.

3.1.Ячейки Бенара.

3.2.Лазер, каксамоорганизованная система.

3.3.Биологическаясистема.

3.3.1.Динамикапопуляций. Экология.

3.3.2.Система «Жертва — Хищник».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

ЛИТЕРАТУРА.

/>

                                                          ВВЕДЕНИЕ.

       Наука зародилась очень давно,на Древнем Востоке, и затем интенсивно развивалась в Европе. В научныхтрадициях долгое время  оставался  недостаточно  изученным  вопрос  о

взаимоотношениях  целого и части. Как стало  ясно  в середине

20 века часть может преобразоватьцелое радикальным и неожиданным образом.

       Из классической термодинамикиизвестно, что изолированные термодинамические системы в соответствии со вторымначалом термодинамики для необратимых процессов энтропия системы  S  возрастает до тех пор, пока недостигнет своего максимального значения в состоянии термодинамическогоравновесия. Возрастание энтропии сопровождается потерей информации о системе.

       Со временем открытия второгозакона термодинамики встал вопрос о том, как можно согласовать возрастание современем энтропии в замкнутых системах с процессами самоорганизации в живой ине живой природе. Долгое время казалось, что существует противоречие междувыводом второго закона термодинамики и выводами эволюционной теории Дарвина,согласно которой в живой природе благодаря принципу отбора непрерывнопроисходит процесс самоорганизации.

       Противоречие между вторымначалом термодинамики и примерами высокоорганизованного окружающего нас мирабыло разрешено с появлением более пятидесяти лет назад и последующим естественнымразвитием нелинейной неравновесной термодинамики. Ее еще называюттермодинамикой открытых систем. Большой вклад в становление этой новой наукивнесли И.Р.Пригожин, П.Гленсдорф, Г.Хакен. Бельгийский физик русскогопроисхождения Илья Романович Пригожин за работы в этой области в 1977 году былудостоен Нобелевской премии.

       Как итог развития нелинейнойнеравновесной термодинамики появилась совершенно новая научная дисциплинасинергетика — наука о самоорганизации и устойчивости структур различных сложныхнеравновесных систем: физических, химических, биологических и социальных.

       В настоящей работе исследуетсясамоорганизация различных систем аналитическими и численными методами.

                                         ГЛАВА  1

       ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ИСХОДНЫЕПОЛОЖЕНИЯ          

                                 ТЕРМОДИНАМИКИ.    

1.1. ЗАКРЫТЫЕИ ОТКРЫТЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ       

       СИСТЕМЫ.

   Всякий материальный объект, всякоетело, состоящее из большого числа частиц, называется  макроскопическойсистемой. Размеры макроскопических систем значительно больше размероватомов и молекул. Все макроскопические признаки, характеризующие такую системуи ее отношение к окружающим телам, называются  макроскопическимипараметрами .  К их числу относятся такие, например, как плотность,объем, упругость, концентрация, поляризованность, намогниченность и т.д.Макроскопические параметры разделяются на внешние и внутренние .

   Величины, определяемые положениемне входящих в нашу систему внешних тел, называются  внешними параметрами, напримернапряженность силового поля ( так как зависят от положения источников поля — зарядов и токов, не входящих в нашу систему ), объем системы ( так какопределяется расположением внешних тел ) и т.д. Следовательно внешниепоараметры являются функциями координат внешних тел. Величины, определяемыесовокупным движением и распределением в пространстве входящих в систему частиц, называются  внутренними параметрами , например энергия, давление,плотность, намогниченность, поляризованность и т.д. ( так как их значениязависят от движения и положения частиц системы и входящих в них зарядов ).

   Совокупность независимыхмакроскопических параметров определяет состояние системы, т.е. форму ее бытия. Величины не зивисящие от предыстории системы и полностью определяемые еесостоянием в данный момент ( т.е. совокупностью независимых параметров ),называются  функциями состояния.

   Состояние называется  стационарным, если параметры системы с течением времени не изменяются.

   Если, кроме того, в системе нетолько все параметры постоянны во времени, но и нет никаких стационарныхпотоков за счет действия каких-либо внешних источников, то такое состояниесистемы называется  равновесным ( состояние термодинамическогоравновесия ). Термодинамическими системами обычно называют не всякие, а толькоте макроскопические системы, которые находятся в термодинамическом равновесии.Аналогично, термодинамическими параметрами называются те параметры, которыехарактеризуют систему в термодинамическом равновесии.

   Внутренние параметры системыразделяются на интенсивные и экстенсивные. Параметры не зависящие от массы ичисла частиц в системе, называются  интенсивными  ( давление,температура и др.). Параметры пропорциональные массе или числу частиц всистеме, называются  аддитивными  или  экстенсивными ( энергия,энтропия и др. ). Экстенсивные параметры характеризуют систему как целое, вто время как интенсивные могут принимать определенные значения в каждой точкесистемы .

   По способу передачи энергии,вещества и информации между рассматриваемой системы и окружающей средойтермодинамические системы классифицируются :

1. Замкнутая  ( изолированная )  система - это система вкоторой нет обмена с внешними телами ни энергией, ни веществом ( в том числе иизлучением ), ни информацией .

2. Закрытая система  -  система в которой есть обментолько с энергией .

3. Адиабатно изолированная система  -  это система в которой есть обменэнергией только в форме теплоты .

4. Открытая система  - это система, которая обмениваетсяи энергией, и веществом, и информацией .

1.2.НУЛЕВОЕ  НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ .

Нулевое началотермодинамики сформулированное всего около 50 лет назад, по существупредставляет собой полученное «задним числом» логическое оправдание длявведения понятия температуры физических тел. Температура  -  одно из самыхглубоких понятий термодинамики. Температура играет столь же важную роль втермодинамике, как, например процессы. Впервые центральное место в физикезанял совершенно абстрактное понятие; оно пришло на смену введенному еще во времена Ньютона ( 17 век) понятиюсилы — на первый взгляд более конкретному и  «осязаемому» и к тому же успешно «математезированному» Ньютоном.

   Первое начало термодинамикиустанавливает  внутренняя энергия системы является однозначная функция еесостояния и изменяется только под влиянием внешних воздействий.

   В термодинамике рассматриваютсядва типа внешних взаимодействий: воздействие, связанное с изменением внешних параметров системы ( система совершает работу W ), и воздействие не связанные сизменением внешних параметров и обусловленные изменением внутренних параметровили температуры ( системе сообщается некоторое количество теплоты  Q ).

   Поэтому, согласно первому началу, изменение внутренней энергии  U2-U1 системы при ее переходе под влиянием этих воздействийиз первого состояния во второе равно алгебраической сумме   Q и W , что для конечного процесса запишется в виде уравнения 

              U2  -  U1 =  Q  -  W       или     Q  =  U2 -  U1  +  W      (1.1)

   Первое начало формируется какпостулат и является обобщением большого количества опытных данных .

   Для элементарного процесса уравнениепервого начала  такого :

                                       dQ = dU + dW    (1.2)

   dQ  и  dW  не являются полным дифференциалом, так как зависят от пути следования.

   Зависимость Q и W от пути видна на простейшем примере расширение газа. Работасовершенная системой при переходе ее из состояния 1 в 2 ( рис. 1) по пути а изображается площадью, ограниченной контуром   А1а2ВА:

                          Wа =     p(V,T) dV ;

а работа при переходе  по пути  в — площадью ограниченную контуром   А1в2ВА:

                          Wb  =      p(V,T) dV.

/>

Рис. 1

   Поскольку давление зависит не толькоот объема, но и от температуры, то при различных изменениях температуры напути   а  и   в   при переходе одного и того же начального состояния (p1,V1) в одно и тоже конечное (p2,V2)  работаполучается разной. Отсюда видно, что при замкнутом процессе (цикле) 1а2в1 система совершает работу не равную нулю. На этом основана работа всех тепловыхдвигателей.

   Из первого начала термодинамикиследует, что работа может совершаться или за счет изменения внутренней энергии, или за счет сообщения системе количества теплоты. В случае если процесскруговой, начальное и конечное состояние совпадают  U2 — U1 = 0  и W = Q , то есть работа при круговом процессе можетсовершаться только за счет получения системой теплоты от внешних тел .

   Первое начало можно сформулироватьв нескольких видах:

1. Невозможно возникновение иуничтожение энергии .

2. Любая форма движения способна идолжна превращаться в любую другую форму движения .

3. Внутренняя энергия являетсяоднозначной формой состояния .

4. Вечный двигатель первого роданевозможен .

5. Бесконечно малое изменение внутреннейэнергии является полным дифференциалом.

6. Сумма количества теплоты и работы независит от пути процесса.

   Первый закон термодинамики , постулируя   закон    сохранения 

энергии для термодинамическойсистемы. не указывает направление происходящих  в природе процессов.Направление термодинамических процессов устанавливает второе началотермодинамики.

1.4.ВТОРОЕ  НАЧАЛОТЕРМОДИНАМИКИ.

   Второе начало термодинамикиустанавливает наличие в природе фундаментальной асимметрии, т.е.однонаправленности всех происходящих в ней самопроизвольных процессов .

   Второй основной постулаттермодинамики связан так же с другими свойствами термодинамического равновесиякак особого вида теплового движения. Опыт показывает, что если две равновесныесистемы А и В привести в тепловой контакт, то независимо от различия илиравенства у них внешних параметров они или остаются по прежнему в состояниитермодинамического равновесия, или равновесие у них нарушается и спустянекоторое время в процессе теплообмена ( обмена энергией ) обе системы приходятв другое равновесное состояние. Кроме того, если имеются три  равновесныесистемы А, В и С и если системы А и В поразнь находятся в равновесии с системойС, то системы А и В находятся в термодинамическом равновесии и между собой(свойства транзитивности термодинамического равновесия ).

   Пусть имеются две системы. Длятого, чтобы убедится в том, что они находятся в состоянии термодинамическогоравновесия надо измерить независимо все внутренние параметры этих систем иубедиться в том, что они постоянны во времени. Эта задача черезвычайно трудная.

   Оказывается однако, что имеетсятакая физическая величина, которая позволяет сравнить термодинамическиесостояния двух систем и двух частей одной системы без подробного исследования ивнутренних параметров. Эта величина, выражающая состояние внутреннего движенияравновесной системы, имеющая одно и то же значение у всех частей сложнойравновесной системы независимо от числа частиц в них и определяемое внешнимипараметрами и энергией называется  температурой  .

   Температура является интенсивнымпараметром и служит мерой интенсивности теплового движения молекул.

   Изложенное положение о существованиитемпературы как особой функции состояния равновесной системы представляетвторой постулат термодинамики.

   Иначе говоря, состояниетермодинамического равновесия определяется совокупностью внешних параметров итемпературы.

   Р.Фаулер и Э.Гуггенгейм назвалиего нулевым началом, так как оно подобно первому и второму началу определяющимсуществование некоторых функций состояния, устанавливает существованиетемпературы у равновесных систем. Об этом упоминалось выше.

   Итак, все внутренние параметрыравновесной системы являются функциями внешних параметров и температур .(Второйпостулат термодинамики).

   Выражая температуру через внешниепараметры и энергию, второй постулат можно сформулировать в таком виде :при термодинамическом равновесии всевнутренние параметры являются функциями внешних параметров и энергии.

   Второй постулат позволяетопределить изменение температуры тела по изменению какого либо его параметра,на чем основано устройство различных термометров.

1.4.1.ОБРАТИМЫЕ  И НЕОБРАТИМЫЕ  ПРОЦЕССЫ.

   Процесс перехода системы изсостояния 1 в 2 называется  обратимым , если возвращением этой системы висходное состояние из 2 в 1 можно осуществить без каких бы то ни было измененийокружающих внешних телах.

   Процесс же перехода системы изсостояния 1 в 2 называется  необратимым , если обратный переход системыиз 2 в 1 нельзя осуществить без изменения в окружающих телах .

   Мерой необратимости процесса взамкнутой системе является изменением новой функции состояния — энтропии,существование которой у равновесной системы устанавливает первое положениевторого начала о невозможности вечного двигателя второго рода. Однозначностьэтой функции состояния приводит к тому, что всякий необратимый процессявляется неравновесным.

   Из второго начала следует, что  S  является однозначной функциейсостояния. Это означает, что  dQ/T  длялюбого кругового равновесного процесса равен нулю. Если бы это не выполнялось,т.е. если бы энтропия была неоднозначной функцией состояния то, можно было быосуществить вечный двигатель второго рода.

   Положение о существовании у всякойтермодинамической системы новой однозначной функцией состояния энтропии  S , которая при адиабатныхравновесных процессах не изменяется и состовляет содержание второго началатермодинамики для равновесных процессов.

   Математически второе началотермодинамики для равновесных процессов записывается уравнением:

                  dQ/T = dS     или      dQ = TdS          (1.3)

   Интегральным уравнением второгоначала для равновесных круговых процессов является равенство Клаузиуса :

                                              dQ/T = 0           (1.4)

   Для неравновесного кругового процессанеравенство Клаузиуса имеет следующий вид :

                                             dQ/T  <  0            (1.5)

   Теперь можно записать основноеуравнение термодинамики для простейшей системы находящейся под всестороннимдавлением :

                                TdS = dU + pdV             (1.6)

   Обсудим вопрос о физическом смысле энтропии.

   1.4.2. ЭНТРОПИЯ.

   Второй закон термодинамикипостулирует существование функции состояния, называемой «энтропией» ( чтоозначает от греческого «эволюция» ) и обладающей следующими свойствами :

   а) Энтропия системы являетсяэкстенсивным свойством. Если система состоит из нескольких частей, то полнаяэнтропия системы равна сумме энтропии каждой части .

   в)  Изменение энтропии  d S  состоит из двух частей. Обозначимчерез  dе<sub/>S  поток энтропии, обусловленный взаимодействием сокружающей средой, а через  di S — часть энтропии, обусловленную изменениями внутри системы, имеем

                                 d S  =  de S  +  di S                (1.7)

   Приращение энтропии  di S  обусловленное изменением внутрисистемы, никогда  не  имеет  отрицательное  значение .  Величина  di S = 0, только тогда, когда системапретерпевает обратимые изменения, но она всегда положительна, если в системеидут такие же необратимые процессы.

   Таким образом

                                       di S  =  0                        (1.8)

( обратимые процессы );

                                       di S  >  0                        (1.9)

( необратимые процессы );

   Для изолированной системы потокэнтропии равен нулю и выражения (1.8) и (1.9) сводятся к следующему виду :

                                 d S  =  di S  >  0                   (1.10)

( изолированная система ).

   Для изолированной системы этосоотношение равноценно классической формулировке, что энтропия никогда неможет уменьшаться, так что в этом случае свойства энтропийной функции даюткритерий, позволяющий обнаружить наличие необратимых процессов. Подобныекритерии существуют и для некоторых других частных случаев .

   Предположим, что система,которую мы будем обозначать символом 1, находится внутри системы 2большего размера и что общая система, состоящая системы  1 и2,является изолированной.

   Классическая формулировка второгозакона термодинамики тогда имеет вид :

                              d S = d S1  +  d S2 ³ 0          (1.11)

   Прилагая уравнения (1.8) и (1.9) вотдельности каждой части этого выражения, постулирует, что            di S1³0, di S2³0  

Ситуация при которой   di S1 >0  и  di S2< 0 , а  d( S1+ S2 )>0, физически неосуществима. Поэтому можно утверждать, что уменьшениеэнтропии в отдельной части системы, компенсируемое достаточным возрастаниемэнтропии в другой части системы, является запрещенным процессом. Из такойформулировки вытекает, что в любом макроскопическом участке системы приращениеэнтропии, обусловленное течением необратимых процессов, является положительным. Под понятием « макроскопический участок » системыподразумевается любой участок системы, в котором содержится достаточноебольшое число молекул, чтобы можно было принебреч микроскопическимифлуктуакциями. Взаимодействие необратимых процессов возможно лишь тогда, когдаэти процессы происходят в тех же самых участках системы.

   Такую формулировку второго законаможно было бы назвать « локальной » формулировка в противоположность «глобальной » формулировка классической термодинамики. Значение подобной новойформулировке состоит в том, что на ее основе возможен гораздо более глубокийанализ необратимых процессов .

1.5ТРЕТЬЕ  НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.

   Открытие третьего начала термодинамики связано снахождением химического средства — величины, характеризующих способностьразличных веществ химически реагировать друг с другом. Эта величинаопределяется работой  W химических сил при реакции. Первое и второе начало термодинамики позволяютвычислить химическое средство  W только с точностью до некоторой неопределенной функции. Чтобы определить этуфункцию нужны в дополнении к обоим началам термодинамики новые опытные данные освойствах тел. Поэтому Нернстоном были предприняты широкие экспериментальныеисследования поведение веществ при низкой температуре .

   В результате этих исследований ибыло сформулировано третье начало термодинамики :  по мере  приближения  температуры к  0 К  энтропия всякой равновесной системы при изотермических процессахперестает зависить от каких-либо термодинамических параметров состояния и впределе ( Т= 0 К) принимает одну и туже для всех систем универсальнуюпостоянную величину, которую можно принять равной нулю .

   Общность этого утверждения состоитв том, что, во-первых, оно относится к любой равновесной системе и,во-вторых, что при  Т стремящемуся к  0 К  энтропия не зависит от значениялюбого параметра системы. Таким образом по третьему началу,

                  lin [ S (T,X2) — S (T,X1) ] =0              (1.12)

или

                  lim [dS/dX ]T = 0      при   Т ® 0      (1.13)

где  Х — любой термодинамическийпараметр (аi или Аi).

   Предельно значение энтропии,поскольку оно одно и тоже для всех систем, не имеет никакого физическогосмысла и поэтому полагается равным нулю (постулат Планка). Как показываетстатическое рассмотрение этого вопроса, энтропия по своему существу определенас точностью до некоторой постоянной (подобно, например, электростатическомупотенциалу системы зарядов в какой либо точке поля). Таким образом, нет смыславводить некую «абсолютную энтропию», как это делал Планк и некоторые другиеученые.

ГЛАВА 2

  ОСНОВНЫЕ  ПОНЯТИЯ  И  ПОЛОЖЕНИЯ СИНЕРГЕТИКИ.

         САМООРГАНИЗАЦИЯ  РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.

        Около 50 лет назад врезультате развития термодинамики возникла новая дисциплина — синергетика.Являясь наукой о самоорганизации самых различных систем — физических,химических, биологических и социальных — синергетика показывает возможностьхотя бы частичного снятия междисциплинных барьеров не только внутри естественнонаучной отросли знания, но так же и между естественно научной и гумонитарнойкультурами.

   Синергетика занимается изучениемсистем, состоящих из многих подсистем самой различной природы, таких, какэлектроны, атомы, молекулы, клетки, нейтроны, механические элементы,фотоны, органы, животные и даже люди.

   При выборе математическогоаппарата необходимо иметь ввиду, что он должен быть применим к проблемам, скоторыми сталкиваются физик, химик, биолог, электротехник и инженер механик.Не менее безотказно он должен действовать и в области экономики, экологии исоциологии .

   Во всех этих случаях нам придетсярассматривать системы, состоящие из очень большого числа подсистем,относительно которых мы можем не располагать всей полной информацией. Дляописания таких систем не редко используют подходы, основанные на термодинамикии теории информации.

   Во всех системах, представляющихинтерес для синергетики, решающую роль играет динамика. Как и какиемакроскопические состояния образуются,  определяются скоростью роста (илираспада) коллективных «мод». Можно сказать что в определенном смысле мыприходим к своего рода обобщенному дарвенизму, действие которого распознаетсяне только на органический, но и на неорганический мир: возникновение макроскопических структур обусловленныхрождением коллективных мод под воздействием флуктуаций, их конкуренцией и,наконец, отбором «наиболее приспособленной» моды или комбинации таких мод.

   Ясно, что решающую роль играетпараметр «время». Следовательно, мы должны исследовать эволюцию систем вовремени. Именно поэтому интересующие нас уравнения иногда называют«эволюционными».

2.1.ОБЩАЯХАРАКТЕРИСТИКА ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ.

   Открытые системы — это термодинамические системы,которые обмениваются с окружающими телами ( средой ), веществом, энергией иимпульсом. Если отклонение открытой системы от состояния равновесия невелико,то неравновесное состояние можно описать теми же параметрами (температура,химический потенциал и другие), что и равновесное. Однако отклонениепараметров от равновесных значений вызывают потоки вещества и энергии в системе. Такие процессы переноса приводят к производству энтропии. Примерами открытыхсистем являются: биологическиесистемы, включая клетку, системы обработки информации в кибернетике, системыэнергоснабжения и другие. Для поддержания жизни в системах от клетки дочеловека необходим постоянный обмен энергией и веществом с окружающей средой.Следовательно живые организмы являются системами открытыми, аналогично и сдругими приведенными параметрами. Пригожиным в 1945 году был сформулированрасширенный вариант термодинамики.

   В открытой системе изменениеэнтропии можно разбить на сумму двух вкладов :

d S = d Se + dSi              (2.1)

   Здесь  d Se  -  поток энтропии, обусловленныйобменом энергией и веществом с окружающей средой ,  d Si  -  производство энтропии внутрисистемы  (рис. 2.1).

/>

            Рис. 2.1.  Схематическоепредставление открытых

            систем :производство и поток энтропии.

                Х — набор характеристик:

                С — состав системы ивнешней среды;

                Р — давление ;       Т — температура.

   Итак, открытая система отличается от изолированнойналичием члена в выражении для изменения энтропии, соответствующего обмену.При этом знак члена  d Se  можетбыть любым в отличии от  d Si .

   Для неравновесного состояния :

S < Smax

   Неравновесное состояние более высокоорганизованно, чем равновесное, для которого

S = Smax

   Таким образом эволюцию к болеевысокому порядку можно представить как процесс, в котором система достигаетсостояния с более низкой энтропией по сравнению с начальной .

   Фундаментальная теорема опроизводстве энтропии в открытой системе с независимыми от времени краевымиусловиями была сформулирована Пригожиным:  в линейной области система эволюционирует кстационарному состоянию, характеризуемому минимальным производством энтропии,совместимым с наложенными граничными условиями .

   Итак состояние всякой линейной открытой системы снезависящими от времени краевыми условиями всегда изменяется в направленииуменьшения производства энтропии  P = d S / d t  пока не будет достигнуто состояние текущего равновесия, прикотором производство энтропии минимально :

d P < 0             (условие эволюции)

P = min  ,  d P = 0          (условие текущегоравновесия)

d P/ d t <0                     (2.2)

2.1.1.ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ.

   Каждая система состоит изэлементов (подсистем). Эти элементы находятся в определенном порядке и связаныопределенными отношениями. Структуру системы можно назвать организациюэлементов и характер связи между ними.

   В реальных физических системахимеются пространственные и временные структуры .

   Формирование структуры - это возникновение новых свойств и отношений в множестве элементов системы. Впроцессах формирования структур играют важную роль понятия и принципы :

1. Постоянный отрицательный потокэнтропии .

2. Состояние системы в дали отравновесия .

3. Нелинейность уравнений описывающихпроцессы .

4. Коллективное (кооперативное)поведение подсистем .

5. Универсальный критерий эволюцииПригожина — Гленсдорфа.

   Формирование структурпри необратимых процессах должно сопровождаться качественным скачком (фазовымпереходом) при достижении в системе критических значений параметров. В открытыхсистемах внешний вклад в энтропию (2.1)  d S  в принципе можно выбрать произвольно, изменяя соответствующим образом параметры системы и свойства окружающей среды. В частности энтропия может уменьшаться за счет отдачи энтропии во внешнююсреду, т.е. когда  d S  <  0.Это может происходить, если изъятие из системы в единицу времени превышаетпроизводство энтропии внутри системы, то есть

                    dS                           dSe        dSi

                     ¾    <   0,  если      ¾    >   ¾   >  0       (2.3)

                     dt                             dt          dt

   Чтобы начать формированиеструктуры, отдача энтропии должна превысить некоторое критическое значение. Всильно неравновесном расстоянии переменные системы удовлетворяют нелинейнымуравнениям .

   Таким образом, можно выделить дваосновных класса необратимых процессов :

1. Уничтожение структуры вблизиположения равновесия. Это универсальное свойство систем при произвольныхусловиях .

2. Рождение структуры вдали отравновесия в открытой системе при особых критических внешних условиях и принелинейной внутренней динамики. Это свойство не универсально .

   Пространственные, временныеили пространственно-временные структуры, которые могут возникать вдали отравновесия в нелинейной области при критических значениях параметров системыназываются  диссипативными структурами.

   В этих структурах взаимосвязанытри аспекта :

1. Функция состояния, выражаемаяуравнениями .

2. Пространственно — временная структура, возникающая из-за неустойчивости .

3. Флуктуации, ответственные занеустойчивости ./>

/>

Рис. 1.  Три аспекта диссипативныхструктур.

   Взаимодействия между этимиаспектами приводит к неожиданным явлениям — к возникновению порядка черезфлуктуации, формированию высокоорганизованной структуры из хаоса.

   Таким образом, в диссипативныхструктурах происходит становление  из бытия, формируется возникающее изсуществующего.

2.2.САМООРГАНИЗАЦИЯРАЗЛИЧНЫХ СТСТЕМ И

       СЕНЕРГЕТИКА.

   Переход от хаоса к порядку, происходящий приизменении значений параметров от до критических к сверхкритическим, изменяетсимметрию системы. По этому такой переход аналогичен термодинамическим фазовымпереходам. Переходы в неравновесных процессах называются кинетическимифазовыми переходами . В близи неравновесных фазовых переходов несуществует  непротиворечивого макроскопического описания. Флуктуации столь жеважны, как и среднее значении. Например, макроскопические флуктуации могутприводить к новым типам не устойчивостей.

   Итак, в дали от равновесия междухимической, кинетической и пространственно-временной структурой реагирующихсистем существует неожиданная связь. Правда, взаимодействие, определяющиевзаимодействие констант скоростей и коэффициентов переноса, обусловленыкороткодействующими силами ( силами валентности, водородными связями и силамиВан-Дер-Вальса). Однако решения соответствующих уравнений зависят, кроме того, от глобальных характеристик. Для возникновения диссипативных структур обычнотребуется, чтобы размеры системы превышали некоторое критическое значение — сложную функцию параметров, описывающих реакционно-диффузионные процессы. Мыможем по этому утверждать, что химические неустойчивости задают дальнейшийпорядок, посредством которого система действует как целое.

   Если учесть диффузию, томатематическая формулировка проблем, связанных с диссипативными структурами,потребует изучении дифференциальных уравнений в частных производных.Действительно, эволюция/> концентрациикомпонент  Х  со временем определяется уравнением вида 

/>             (2.4)

где первый член дает вклад химическихреакций в изменении концентрации  Хi  и обычно имеет простой полиноминальный вид, авторой член означает диффузию вдоль оси  r.

   По истине поразительно, как многоразнообразных явлений описывает реакционно-диффузное уравнение (2.4 ), поэтому интересно рассмотреть  ² основное решение ², которое бы соответствовала термодинамической ветви. Другие решенияможно было бы получать при последовательных не устойчивостях, возникающих помере удаления от состояния равновесия. Неустойчивости такого типа удобноизучать методами теории бифуркации [ Николис и Пригожин, 1977]. Впринципе, бифуркация есть нечто иное, как возникновение при некоторомкритическом значении параметра нового решенияуравнений. Предположим, что мы имеем химическую реакцию, соответствующуюкинетическому уравнению  [Маклейн и Уолис, 1974] .

                                d X

                                 ¾   =  a X (X-R)              (2.5)

                                 d t

   Ясно что при  R < 0 существует только одно решение,независящее от времени, X = 0.В точке R = 0 происходит бифуркация, и появляетсяновое решениеX = R .

/>

   Рис. 2.3.   Бифуркационнаядиограмма для уравнения ( 2.5.) .

                     Сплошная линиясоответствует устойчивой ветви ,

                     точки — неустойчивой ветви .

   Анализ устойчивости в линейном приближении позволяетпроверить, что решение  X = 0 припереходе через  R = 0 становится неустойчивым, а решение  X = R — устойчивым. В общем случаи привозрастании некоторого характеристического параметра  р  происходятпоследовательные бифуркации. На рисунке  2.4. показано единственное решениепри  р = р1,но при 

 р = р2 единственность уступает местомножественным решения .

   Интересно отметить, чтобифуркация в некотором смысле вводит в физику  и в химию, историю — элемент,который прежде считался прерогативой наук занимающихся изучением биологическим, общественных и культурных явлений .

/>

         Рис. 2.4.   Последовательныебифуркации :

                         А и А1— точки первичных бифуркаций из

                        термодинамической ветви ,

                         В и В1— точки вторичной бифуркации .

   Известно, что при измененииуправляющих параметров в системе наблюдаются разнообразные переходные явления.Выделим теперь из этих наблюдений определенные общие черты, характерные длябольшого числа других переходов в физико химических системах .

   С этой целью представим графически(рис. 2.5) зависимость вертикальной компоненты скорости течения жидкости внекоторой определенной точке от внешнего ограничения, или, в более общем виде, зависимость переменной состояние системы  Х  (или  х = Х — Хs ) от управляющего параметра l. Таким образом мы получим график,известный под названием бифуркационной диаграммы .

/>

   Рис. 2.5. Бифуркационнаядиаграмма :

             а — устойчивая частьтермодинамической ветви ,

              а1 — не устойчивая частьтермодинамической ветви ,

              в1, в2 — диссипативные структуры, рожденные в

                      сверхкритической области .

   При малых значения l возможно лишь одно решение,соответствующее состоянию покоя в бенаровском эксперименте.Оно представляетсобой непосредственную экстрополяцию термодинамического равновесия, и подобноравновесно, характеризующейся важным свойством — асимптотической устойчивостью, поскольку в этой области система способна гасить внутренние флуктуации иливнешнее возмущения. По этой причине такую ветвь состояний мы будем называтьтермодинамической ветвью. При переходе критического значения параметра l, обозначенного lc на рисунке 2.5., состоящие на этойветви становится неустойчивыми, так как флуктуации или малые внешниевозмущение уже не гасятся. Действуя подобно усилителю, система отклоняется отстационарного состояния и переходит к новому режиму, в случае бенаровскогоэксперимента соответствующему состоянию стационарной конвекции. Оба этихрежима сливаются при l = lc и различаются при l > lc. Это явление называется бифуркацией . Легко понять причины, по которымэто явление следует ассоциировать с катастрофическими изменениями иконфликтами. В самом деле, в решающий момент перехода система должна совершитькритический выбор ( в окрестности l = lc), что в задаче Бенара связано с возникновением право- или левовращательныхячеек в определенной области пространства ( рис. 2.5., ветви в1 или в2 ) .

   В близи равновесного состояниястационарное состояние асимптотических устойчивы (по теореме о минимальномпроизводстве энтропии ), по этому в силу непрерывности эта термодинамическаяветвь простирается во всей докритической области. При достижении критическогозначения термодинамическая ветвь может стать неустойчивой, так что любое,даже малое возмущение, переводит систему с термодинамической ветви в новоеустойчивое состояние, которое может быть упорядоченным. Итак, прикритическом значении параметром произошла бифуркация и возникла новая ветвьрешений и, соответственно, новое состояние. В критической области, таким образом, событие развивается по такой схеме :

                  Флуктуация ®Бифуркация ®

                  неравновесныйфазовый переход ®

                  Рождениеупорядоченной структуры.

   Бифуркация в широком понимании — приобретении новогокачества движениями динамической системы при малом изменении ее параметров (возникновение при некотором критическом значении параметра нового решенияуравнений ). Отметим, что при бифуркации выбор следующего состояния носитсугубо случайный характер, так что переход от одного необходимого устойчивогосостояния к другому необходимому устойчивому состоянию проходит через случайное(диалектика необходимого и случайного). Любое описание системы,претерпевающей бифуркацию, включает как детерминистический, так ивероятностный элементы, от бифуркации до бифуркации поведении системыдетерминировано, а в окрестности точек бифуркации выбор последующего путислучаен. Проводя аналогию с биологической эволюцией можно сказать, чтомутации — это флуктуации, а поиск новой устойчивости играет роль естественногоотбора. Бифуркация в некотором смысле вводит в физику и химию элементисторизма — анализ состояния  в1, например, подразумевает знание истории системы,прошедшей бифуркацию.

   Общая теория процессовсамоорганизации открытых сильно не равновесных системах развивается на основеуниверсального критерия эволюции Пригожина — Гленсдорфа. Этот критерийявляется обобщением теоремы Пригожина о минимальном производстве энтропии. Скоростьпроизводства энтропии, обусловленная изменением термодинамических сил  Х,согласно этому критерию подчиняется условию

                                  dx P / t  £  0              (2.6)

   Это неравенство не зависит не откаких предположений о характере связей между потоками и силами в условияхлокального равновесия и носит по этому универсальный характер. В линейнойобласти неравенство (2.6. ) переходит в теорему Пригожина о минимальномпроизводстве энтропии. Итак, в неравновестной системе процессы идут так,т.е. система эволюционирует таким образом, что скорость производства энтропиипри изменении термодинамических сил уменьшается ( или равна нулю в стационарномсостоянии ).

   Упорядоченные структуры, которыерождаются вдали от равновесия, в соответствии с критерием  (2.6.) и естьдиссипативные структуры .

   Эволюция бифуркации и последующейсамоорганизации обусловлено, таким образом, соответствующими не равновеснымиограничениями .

   Эволюция переменных  Х будетописываться системой уравнений  

                            />         (2.7)

где функции  F как угодно сложным образом могут зависить от самихпеременных  Х и их пространственных производных координат r и времени t. Кроме того, эти функции буду зависить от управляющихпараметров, т.е. тех изменяющихся характеристик, которые могут сильноизменить систему. На первый взгляд кажется очевидным, что структура функции { F } будет сильно определятся типомсоответствующей рассматриваемой системы. Однако, можно выделить некоторыеосновные универсальные черты, независящие от типа систем.

   Решение уравнения (2.7), если нетвнешних ограничений, должны соответствовать равновесию при любом виде функции F. Поскольку равновесное состояниестационарно, то

Fi ({Xрав},lрав  ) = 0               (2.8)

   В более общем случае длянеравновесного состояния можно аналогично написать условие

Fi ({X},l) = 0                  (2.9)

   Эти условия налагают определенныеограничения универсального характера, например, законы эволюции системы должныбыть такими, чтобы выполнялось требование положительности температуры илихимической концентрации, получаемых как решения соответствующих уравнений.

   Другой универсальной чертойявляется нелинейным. Пусть, например некоторая единственная характеристикасистемы

удовлетворяет уравнению

/>                                    />        (2.10)

где  k — некоторый параметр, l — внешние управляющие ограничения.Тогда стационарное состояние определяется из следующего алгебраическогоуравнения

                                   l — kX = 0              (2.11)

откуда

                                   Xs = l / k                (2.12)

   В стационарном состоянии, такимобразом, значении характеристики, например, концентрации, линейноизменяется в зависимости от значений управляющего ограничения l, и имеется для каждого l единственное состояние  Хs. Совершенно однозначно можнопредсказать стационарное значение  Х при любом l, если иметь хотя бы два экспериментальных значения  Х

(l ).Управляющий параметр может, в частности,соответствовать степени удаленности системы от равновесия. Поведение в этомслучае системы очень похожи на равновесии даже при наличии сильно неравновесныхограничений .

/>

Рис. 2.6. Иллюстрация универсальнойчерты нелинейности в самоорганизации структур .

   Если же стационарное значениехарактеристики  Х не линейно зависит от управляющего ограничения при некоторыхзначениях, то при одном и том же значении имеется несколько различных решений. Например, при ограничениях система имеет три стационарных решения, рисунок2.6.в. Такое универсальное отличие от линейного поведения наступает придостижении управляющим параметром некоторого критического значения  l — проявляется бифуркация. При этом внелинейной области небольшое увеличение может привести к неодекватно сильномуэффекту — система может совершить скачок на устойчивую ветвь при небольшомизменении вблизи критического значения  l, рисунок 2.6.в. Кроме того из состояний на ветви  А1В могут происходить переходы  АВ1 ( или наоборот ) даже раньше, чембудут достигнуты состояния  В или А, если возмущения накладываемые настационарное состояние, больше значение, соответствующего промежуточнойветви  А В. Возмущениями могут служить либо внешнее воздействие либо внутренниефлуктуации в самой системе. Таким образом, системе с множественнымистационарными состояниями присуще универсально свойствам внутренне возбудимостьи изменчивости скачкам .

   Выполнение теоремы по минимальнопроизводстве энтропии в линейной области, а, как обобщение этой теоремы,выполнение универсального критерия (2.6.) и в линейной, и в нелинейной областигарантируют устойчивость стационарных неравновесных состояний. В областилинейности необратимых процессов производство энтропии играет такую же роль,как термодинамические потенциалы в равновесной термодинамике. В нелинейнойобласти величина  dP / dt  не имееткакого либо общего свойства, однако, величина  dx P/dt  удовлетворяет неравенству общегохарактера (2.6. ), которая является обобщением теоремы о минимальномпроизводстве энтропии .

2.3 ПРИМЕРЫ САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ

      СИСТЕМ.

    Рассмотрим в качестве иллюстрации некоторые примерысамоорганизации систем в физике, химии, биологии и социуме.

2.3.1.ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.

   В принципе даже втермодинамическом равновесии можно указать примеры самоорганизации, какрезультаты коллективного поведения. Это, например, все фазовые переходы вфизических системах, такие как переход жидкость — газ, ферромагнитный переходили возникновение сверхпроводимости. В неравновесном состоянии можно назватьпримеры высокой организации в гидродинамике, в лазерах различных типов, вфизике твердого тела — осциллятор Ганна, туннельные диоды, рост кристаллов.

   В открытых системах, меняя потоквещества и энергии из вне, можно контролировать процессы и направлять эволюциюсистем к состояниям, все более далеким от равновесия. В ходе неравновесныхпроцессов при некотором критическом значении внешнего потока из неупорядоченныхи хаотических состояний за счет потери их устойчивости могут возникатьупорядоченные состояния, создаваться диссипативные структуры .

           2.3.1а.  ЯЧЕЙКИ БЕНАРА.

   Классическим примеромвозникновения структуры из полностью хаотической фазы являются конвективныеячейки Бенара. В 1900 году была опубликована статья Х.Бенара с фотографиейструктуры, по виду напоминавшей пчелиные соты (рис. 2.7).

/>

      Рис. 2.7.        Ячейки  Бенара:

                        а) — общийвид структуры

                        б) — отдельная ячейка.

   Эта структура образовалась в ртути, налитой в плоский широкий сосуд, подогреваемый снизу, после того кактемпературный градиент превысил некоторое критическое значение. Весь слойртути (или другой вязкой жидкости) распадался на одинаковые вертикальныешестигранные призмы с определенным соотношением между стороной и высотой(ячейки Бенара). В центральной области призмы жидкость поднимается, а вблизивертикальных граней — опускается. Возникает разность температур   Т  междунижней и верхней поверхностью   DТ = Т2 — Т1 > 0.Для малых до критическихразностей  DТ < DТkp  жидкость остается в покое, тепло снизу вверх передается путемтеплопроводности. При  достижении  температуры  подогрева  критическогозначения Т2 = Тkp (соответственно DТ = DТkp ) начинается конвекция. При достижении критического значения параметра Т, рождается, таким образом, пространственная диссипативная структура. Приравновесии температуры равны   Т2 =Т1 ,  DТ = 0. При кратковременном подогреве(подводе тепла) нижней плоскости, то есть при кратковременном внешнемвозмущении температура быстро станет однородной и равной ее первоначальномузначению. Возмущение затухает, а состояние — асимптотически устойчиво. Придлительном, но до критическом подогреве ( DТ <DТkp ) в системе снова установитсяпростое и единственное состояние, в котором происходит перенос к верхнейповерхности и передачи его во внешнюю среду (теплопроводность), рис. 2.8,участок а . Отличие этого состояния от равновесного состояния состоит втом, что температура, плотность, давление станут неоднородными. Они будутприблизительно линейно изменяться от теплой области к холодной .

/>

     Рис. 2.8.  Поток тепла втонком слое жидкости.

   Увеличение разности температур  DТ, то есть дальнейшее отклонениесистемы от равновесия, приводит к тому, что состояние неподвижнойтеплопроводящей жидкости становится неустойчивым участок  б  на рисунке2.8. Это состояние сменяется устойчивым состоянием (участок  в  на  рис.2.8), характеризующимся образованием ячеек. При больших разностях температурпокоящаяся жидкость не обеспечивает большой перенос тепла, жидкость ²вынуждена² двигаться, причем кооперативнымколлективным согласованном образом.

   Далее этот вопрос рассматриваетсяв 3 главе.

             2.3.1в.  ЛАЗЕР, КАКСАМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ

                          СИСТЕМА.

   Итак, в качестве примера физической системы,упорядоченность которой есть следствие внешнего воздействия, рассмотрим лазер.

   При самом грубом описании лазер — это некая стеклянная трубка, в которую поступает свет от некогерентногоисточника (обычной лампы), а выходит из нее узконаправленный когерентныйсветовой пучок, при этом выделяется некоторое количества тепла.

/>

   При малой мощности накачки этиэлектромагнитные волны, которые испускает лазер, некоррелированные, иизлучение подобно излучению обычной лампы. Такое некогерентное излучение — этошум, хаос. При повышении внешнего воздействия в виде накачки до пороговогокритического значения некогерентный шум преобразуется в  ²чистый тон², то есть испускает числосинусоидальная волна — отдельные атомы ведут себя строго коррелированнымобразом, самоорганизуются.

                            Лампа  ®  Лазер

                              Хаос   ®  Порядок

                              Шум   ®  Когерентное излучение

   В сверхкритической области режим ²обычной лампы² оказывается не стабильным, алазерный режим стабильным, рисунок 2.9.

/>

Рис. 2.9.  Излучение лазера в докритической (а) и

                        сверхкритической (б) области.

   Видно, что образование структуры вжидкости и в лазере формально описывается весьма сходным образом. Аналогиясвязана с наличием тех же самых типов бифуркаций в соответствующих динамическихуровнях.

   Подробнее этот вопрос рассмотрим впрактической части, в 3 главе.

2.3.2. ХИМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ .

   В этой области синергетикасосредотачивает свое внимание на тех явлениях, которые сопровождаютсяобразованием макроскопических структур. Обычно если дать реагентам провзаимодействовать, интенсивно перемешивая реакционную смесь, то конечныйпродукт получается однородный. Но в некоторых реакциях могут возникатьвременные, пространственные или смешанные ( пространственные — временные)структуры. Наиболее известным примером может служить реакция Белоусова — Жаботинского.

      2.3.2а.  РЕАКЦИЯ  БЕЛАУСОВА- ЖАБОТИНСКОГО.

    Рассмотрим реакцию Белоусова-Жаботинского. В колбу сливают в определенных пропорциях Ce2(SO4), KBrO3, CH2(COOH)2, H2SO4, добавляют несколько капель индикатораокисления — восстановления — ферроина и перемешивают. Более конкретно — исследуются окислительно — восстановительные реакции

                         Ce 3+_ _ _ Ce 4+ ;  Ce 4+_ _ _ Ce 3+

в растворе сульфата церия, бромидакалия, малоковой кислоты и серной кислоты. Добавление феррогена позволяетследить за ходом реакции по изменению цвета ( по спектральному поглащению ).При высокой концентрации реагирующих веществ, превышающих критическое значениесродства, наблюдаются необычные явления.

При составе

              сульфат церия — 0,12ммоль/л

              бромида калия — 0,60ммоль/л

              малоковой кислоты — 48ммоль/л

              3-нормальная сернаякислота ,

               немного ферроина

При 60 С изменение концентрации ионовцерия приобретает характер релаксационных колебании — цвет раствора со временемпериодически изменяется от красного (при избытке Се3+ ) до синего ( при избытке Се 4+), рисунок 2.10а .

/>

              Рис. 2.10.  Временные (а) ипространственные (б)

                              периодические структуры в реакции

                               Белоусова — Жаботинского.

… Такая система и эффект получилиназвание химические часы. Если на реакцию Белоусова — Жаботинского накладыватьвозмущение — концентрационный или температурный импульс, то есть вводянесколько миллимолей бромата калия или прикасаясь к колбе в течении несколькихсекунд, то после некоторого переходного режима будут снова совершатьсяколебания с такой же амплитудой и периодом, что и до возмущения.Диссипативная

Белоусова — Жаботинского, такимобразом, является ассимптотически устойчивой. Рождение и существованиенезатухающих колебаний в такой системе свидетельствует о том, что отдельныечасти системы действуют согласованно с поддержанием определенных соотношениймежду фазами. При составе

                   сульфата церия — 4,0 ммоль/л,

                   бромида калия — 0,35 ммоль/л,

                   малоковой кислоты- 1,20 моль/л,

                   серной кислоты — 1,50 моль/л,

                   немного ферроина

при 20 С в системе происходятпериодические изменения цвета с периодом около 4 минут. После нескольких такихколебаний спонтанно возникают неоднородности концентрации и образуются нанекоторое время ( 30 минут ), если не подводить новые вещества, устойчивыепространственные структуры, рисунок 2.10б. Если непрерывно подводить реагентыи отводить конечные продукты, то структура сохраняется неограниченно долго.

2.3.3. БИОЛОГИЧЕСКИЕ  СИСТЕМЫ .

   Животный мир демонстрирует множествовысокоупорядоченных структур и великолепно функционирующих. Организм как целоенепрерывно получает потоки энергии ( солнечная энергия, например, у растений) и веществ ( питательных ) и выделяет в окружающую среду отходыжизнедеятельности. Живой организм — это система открытая. Живые системы приэтом функционируют определенно в дали от равновесия. В биологических системах, процессы самоорганизации позволяют биологическим системам ²трансформировать² энергию с молекулярного уровня намакроскопический. Такие процессы, например, проявляются в мышечномсокращении, приводящим к всевозможным движениям, в образовании заряда уэлектрических рыб, в распознавании образов, речи и в других процессах в живыхсистемах. Сложнейшие биологические системы являются одним из главных объектовисследования в синергетике. Возможность полного объяснения особенностейбиологических систем, например, их эволюции с помощью понятий открытыхтермодинамических систем и синергетики в настоящее время окончательно неясна.Однако можно указать несколько примеров явной связи между понятийным иматематическим аппаратом открытых систем и биологической упорядоченностью.

   Более конкретно биологическиесистемы мы рассмотрим в 3 главе, посмотрим динамику популяций одного вида  исистему ²жертва — хищник² .

2.3.4. СОЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ .

   Социальная система  представляетсобой определенное целостное образование, где основными элементами являютсялюди, их нормы и связи. Как целое система образует новое качество, котороене сводится к сумме качеств ее элементов. В этом наблюдается некотораяаналогия с изменением свойств при переходе от малого к    очень большому числучастиц в статической физике — переход от динамических к статическим закономерностям. При этом весьма очевидно, что всякие аналогии с физико — химическими ибиологическими системами весьма условны, поэтому проводить аналогию междучеловеком и молекулой или даже нечто подобное было бы не допустимымзаблуждением. Однако, понятийный и математический аппарат нелинейнойнеравновесной термодинамики и синергетики оказываются полезными в описании ианализе элементов самоорганизации в человеческом обществе.

   Социальная самоорганизация — одноиз проявлений спонтанных или вынужденных процессов в обществе, направленная наупорядочение жизни социальной системы, на большее саморегулирование.Социальная система является системой открытой способная, даже вынужденнаяобмениватся с внешним миром информацией, веществом, энергией. Социальнаясамоорганизация возникает как результат целеноправленных индивидуальныхдействий ее составляющих.

   Рассмотрим самоорганизацию всоциальной системы напримере урбанизации зоны. Проводя анализ урбанизациигеографических зон можно предположить, что рост локальной заселенности даннойтерритории будет обусловлен наличием в этой зоне рабочих мест. Однако, здесьсуществует некоторая зависимость:состояние рынка, определяющего потребность в товарах и услугах и занятости.Отсюда возникает механизм нелинейной обратной связи в процессе роста плотностинаселения. Такая задача решается на основе логистического уравнения, где зонахарактеризуется ростом ее производительности  N, новых экономических функций  S — функция в локальной области  i  города. Логистическое уравнение описывает эволюциючисленности населения и может быть тогда представлена в виде

                      dni

¾    =   Кni(N+ å Rk Sik — ni) — dni         (2.13 )

dt                        k

где  Rk<sub/>  вес данной к — ой  функции, еезначимость. Экономическая функция изменяется с ростом численности: определяется спросом на к — й продукт в  i — й  области в зависимости отувеличения численности населения и конкуренции предприятий в других зонахгорода. Появление новой экономической функции играет роль социальноэкономической флуктуации и нарушает равномерное распределение плотностинаселения. Такие численные расчеты по логистическим уравнениям могут бытьполезны прогнозировании многих проблем.

ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ.

   В рассмотренных примерах в литературе имеются лишьобщие выводы и заключения, не приведены конкретные аналитические расчеты иличисленные .

   Целью настоящей дипломной работыявляется аналитические и численные исследования самоорганизации различныхсистем .

ГЛАВА 3

   АНАЛИТИЧЕСКИЕ  И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 

   САМООРГАНИЗАЦИИ  РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.

3.1.       ЯЧЕЙКИ  БЕНАРА .

   Для того, чтобы экспериментальноизучить структуры, достаточно иметь сковороду, немного масла и какой ни будьмелкий порошок, чтобы было заметно движение жидкости. Нальем в сковородумасло с размешанным в нем порошком и будем подогревать ее снизу (рис. 3.1)

/>

Рис. 3.1. Конвективные ячейки Бенара.

   Если дно сковороды плоское инагреваем мы ее равномерно, то можно считать, что у дна и на поверхностиподдерживаются постоянные температуры, снизу -  Т1, сверху -  Т2. Пока разность температуры  DТ = Т1 — Т2 невелика, частички порошка неподвижны, а следовательно,неподвижна и жидкость .

   Будем плавно увеличиватьтемпературу Т1. С ростомразности температур до значения  DТc наблюдается все та же картина, но когда  DТ >DТc, вся среда разбивается на правильные шестигранныеячейки (см. Рис. 3.1) в центре каждой из которых жидкость движется вверх, покроям вниз. Если взять другую сковороду, то можно убедиться, что величинавозникающих ячеек практически не зависит от ее формы и размеров. Этотзамечательный опыт впервые был проделан Бенаром в начале нашего века, а самиячейки получили название ячеек Бенара .

   Элементарное качественноеобъяснения причины движения жидкости заключается в следующем. Из-за тепловогорасширения жидкость расслаивается, и в более нижнем слое плотность жидкости  r1  меньше, чем в верхнем  r2 . Возникает инверсный градиентплотности, направленный противоположно силе тяжести. Если выделитьэлементарный объем  V, которыйнемного смещается вверх в следствии возмущения, то в соседнем слое архимедовасила станет больше силы тяжести, так как  r2  >  r1. В верхней части малый объем,смещаясь вниз, поподает в облость пониженной плотности, и архимедова силабудет меньше силы тяжести  FA< FT , возникает нисходящее движениежидкости. Направление движения нисходящего и восходящего потоков в даннойячейке случайно, движение же потоков в соседних ячейках, после выборанаправлений в данной ячейке детерминировано. Полный поток энтропии черезграницы системы отрицателен, то есть система отдает энтропию, причем встационарном состоянии отдает столько, сколько энтропии производится внутрисистемы (за счет потерь на трение).

                     dSe       q        q                  T1 — T2

¾   =   ¾  -   ¾    = q *    ¾¾¾    < 0      (3.1)

dt          T2       T1               T1 * T2

   Образование именно сотовой ячеистойструктуры объясняется минимальными затратами энергии в системе на созданиеименно такой формы пространственной структуры. При этом в центральной частиячейки жидкость движется вверх, а на ее периферии — вниз.

   Дальнейшее сверхкритическоенагревание жидкости приводит к разрушению пространственной структуры — возникает хаотический турбулентный режим.

/>

       Рис. 3.2.   Иллюстрациявозникновения тепловой

                         конвекции вжидкости .

   К этому вопросу прикладывается наглядная иллюстрациявозникновения тепловой конвекции в жидкости .

3.2ЛАЗЕР, КАКСАМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ СИСТЕМА.

   Во второй главе этот вопрос мы ужерассматривали. Здесь же, рассмотрим простую модель лазера .

   Лазер — этоустройство, в котором в процессе стимулированного излучения порождаются фотоны.

   Изменение со временем числафотонов  n , или другими словами, скоростьпорождения фотонов, определяется уравнением вида:

                   dn / dt  =  «Прирост» — «Потери»          (3.2)

   Прирост обусловлен так называемымстимулированном излучением. Он пропорционален числу уже имеющихся фотонов ичислу возбужденных атомов  N.Таким образом :

Прирост  =  G N n             (3.3)

    Здесь  G  -  коэффициент усиления, который может быть получен измикроскопической теории. Член, описывающий потери, обусловлен уходом фотоновчерез торцы лазера. Единственное допущение, которое мы принимаем, — это то,что скорость ухода пропорциональна числу имеющихся фотонов. Следовательно,

Потери  =  2cn          (3.4)

2c  =  1/ t0, где  t0 — время жизни фотона в лазере .

   Теперь следует учесть одно важноеобстоятельство, которое делает (2.1) нелинейным уравнением вида :

/>             (3.5)

   Число возбужденных атомовуменьшается за счет испускания фотонов. Это уменьшение  DN  пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов, посколькуэти фотоны постоянно заставляют атомы возвращаться в основное состояние .

DN = an              (3.6)

   Таким образом, число возбужденныхатомов равно

N = N0 — DN                (3.7)

где  N0 — число возбужденных атомов,поддерживаемое внешней

              накачкой, в отсутствиилазерной генерации.

   Подставляя (3.3) — (3.7) в (3.2),получаем основное уравнение нашей упрощенной лазерной модели :

/>            (3.8)

где постоянная   k   даетвыражение :

k1  =  aG         

k  =  2c — GN0  ><  0     (3.9)

   Если число возбужденных атомов  N0  (создаваемых накачкой) невелико, то  k  положительно, в то время как придостаточно больших  N0  k — может стать отрицательным. Изменение знака происходит когда

GN0  =  2c               (3.10)

   Это условие есть условие порогалазерной генерации .

   Из теории бифуркации следует, чтопри  k > 0  лазернойгенерации нет, в то время как при   k <   лазер испускает фотоны.

   Ниже или выше порога лазерработает в совершено разных режимах .

   Решим уравнение (3.8) ипроанализируем его аналитически :

-  это уравнение одномодового лазера .

   Запишем уравнение (3.8) вследующем виде :

/>

   Разделим исходное уравнение на  n2.

/>

и введем новую функцию   Z :

1/n = n-1 =Z    Þ   Z1 = — n-2    следовательно уравнение примет вид :

/>

перепишем его в следующем виде :

/>

разделим обе части данного уравненияна  -1, получим

/>           (3.11)

   Уравнение  (3.11)  — этоуравнение  Бернулли, поэтому сделаем следующую замену   Z = U×V  , где  U  и  V неизвестные пока функции  n , тогда     Z1 = U1 V + U V1 .

   Уравнение (3.11) , после заменыпеременных, принимает вид

U1 V + UV1 — k UV  =  k1

преобразуем, получим

U1 V + U(V1 — k V) = k1              (3.12)

   Решим уравнение (3.12)

V1 — k V = 0   ®   dV/dt = k V 

сделаем разделение переменных        dV/V =kdt    ®   ln V = k t

результат  V = ekt    (3.13)

   Отсюда мы можем уравнение (3.12)переписать в виде :

U1 ekt  =k1

  — это то же самое, что        dU/dt = k1e-kt     ,  dU = k1e -kt dt       выразим отсюда  U , получим

/>      (3.14)

По уравнению Бернулли мы делализамену  Z = U V   подставляя уравнения (3.13) и (3.14) в эту замену, получим

/>

   Ранее вводили функцию        Z = n-1<sup/>   , следовательно

/>        (3.15)

   Начальное условие      n0=1/(c-k1/k) , из этого условия мыможем определить константу   с  следующим образом

/>

   Подставляя, найденную намиконстанту в уравнение (3.15), получим

/>       (3.16)

   Исследуем функцию (3.16) при  k= 0, k<0, k>0 .

   При  k®0; ekt ® 0 ;  (ekt — 1)®0 , то есть  (ekt — 1)×k1/k®0×¥ (неопределенность), раскроем эту неопределенность поправилу Лопиталя. Эту неопределенность вида   0×¥   следует привести к виду   />  . При этом, как и всегдапри применении правила Лопиталя, по ходу вычислений рекомендуется упрощатьполучившиеся выражения, следующим образом :

/>

n(k)при  k®0 ® 0 , следовательно   />

   Перепишем  (3.16) в следующем виде

/>

   Линеаризуем нелинейное уравнение,получим

/>

/>ln n = — kt + c   Þ   />

   Построим график для этих условий

/>

      Рис. 3.3    Ксамоорганизации в одномодовом лазере :

кривая 1:k < 0 ,режим лазерной генерации

кривая 2: k = 0 ,точка бифуркации, порог

кривая 3: k > 0 , режим лампы.

   При  k = 0  уравнение (3.8)  примет вид

/>

решая его, получим

/>

/>            (3.8)

   При условии  /> ; n(t) =const  , функция(3.8) приближается к стационарному состоянию, не зависимо от начальногозначения  n0, но в зависимости отзнаков  k и k1 (смотри рисунок 3.3).  

   Таким образом, функция (3.8)принимает стационарное решение

/>

3.3.      ДИНАМИКА  ПОПУЛЯЦИИ .

   О распространении и численностивидов была собрана обширная информация. Макроскопической характеристикой,описывающей популяцию, может быть число особей в популяции. Это число играетроль параметра порядка. Если различные виды поддерживаются общим пищевымресурсом, то начинается межвидовая борьба, и тогда применим принцип Дарвина: выживает наиболее приспособленный вид . ( Нельзя не отметить сильнейшуюаналогию, существующую между конкуренцией лазерных мод и межвидовой борьбой ).Если имеются однотипные пищевые ресурсы, то становится возможнымсосуществование видов. Численность видов может быть подвержена временнымколебаниям.

ОДИН  ВИД.

   Рассмотрим сначала одну популяциюс числом особей в ней  n.При наличии пищевых ресурсов  А особи размножаются со скоростью :

/>

и гибнут со скоростью :

/>

   Здесь   k  и  d -некоторые коэффициенты рождаемости и смертности, в общем случае зависящее отпараметров внешней среды обитания. Если бы количество пищи было неограниченно, то эволюционное уравнение выглядело бы так :

/>

   Введем обозначение       a= kA — d

   Оно было бы линейным и описывалобы неограниченный экспериментальный рост (при  kA > d), либо экспериментальную гибель(при  kA <d) популяции.

/>

   Рис. 3.4     Кривая 1:  Экспоненциальный рост ;a>0, kA>d

                   Кривая 2:  Экспоненциальная гибель ; a>0, kA>d.

/>

    В общем случае, однако, пищевыересурсы ограничены, так что скорость потребления пищи

/>

   Вместе с тем в общем случаевозможно восстановление пищевых ресурсов со скоростью :

/>

   Здесь, конечно, рассмотренпридельный случай сохранения полного количества органического вещества

A + n = N = const ,

N — способность среды обитанияподдерживать популяцию.

   Тогда с учетом  A = N — n  получится следующее уравнениеэволюции популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) :

/>     (3.17)

   Решим уравнение (3.17)аналитически, перепишем его следующим образом

/>  , обозначим   kN — d = k1

   Получим :

/>

   Воспользуемся />табличным интегралом, /> , полученное уравнениепримет вид :

/>/>

решим это уравнение, преобразуя

/>

/>

сократим полученное выражение на  k , и перенесем переменную  k1  в правую часть, получим

/>

отсюда    n(t)  ®  />

/>

   Начальные условия :

/>

откуда

/>

   Подставляя   с   в решение,получим уравнение в следующем виде

/>

ранее мы обозначали, что  /> , подставляем и преобразуем

/>

сократим на   k — коэффициент рождаемости,окончательно получим решение уравнения (3.17)

/>

   Итак, получено аналитическоерешение логистического уравнения   -   это решение указывает на то, что ростпопуляции останавливается на некотором конечном стационарном уровне:

/>

то есть параметр   n1  указывает высоту плато насыщения, ккоторому стремится  n(t)  с течениемвремени .

   Параметр  n0 указывает начальное значениечисленности одного вида популяции: n0= n(t0). Действительно, />  , тоесть  n1 — предельная численность вида вданной среде обитания. Иначе говоря, параметр  n1 характеризует емкость среды поотношению к данной популяции. И наконец, параметр (kN — d)  задаеткрутизну начального роста.

   Отметим, что при малой исходнойчисленности  n0  (начальное число особи) начальныйрост популяций будет почти экспоненциальным

/>

Рис. 3.5.          Логистическаякривая.

               (эволюция популяцииодного вида)

   Решение уравнения (3.17) можно представить с помощьюлогистической кривой (рис. 3.5). Эволюция полностью детерминирована.Популяция перестает расти, когда ресурс среды оказывается исчерпанным.

   Самоорганизация — при ограниченномпищевом ресурсе. Система самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции(рис. 3.4  Кривая 1) сменяется кривой с насыщением .

   Подчеркнем, что при описанииданной биологической системы используют понятийный и физико-математическийаппарат из нелинейной неравновесной термодинамики.

   Может случится, однако, чтовсегда за событиями, не управляемыми в рамках модели, в той же среде появится, первоначально в малых количествах, новые виды (характеризуемые другимиэкологическими параметрами  k,N и d). В связи с такой экологическойфлуктуацией возникает вопрос о структурной устойчивости: новые виды могут либо исчезнуть,либо вытеснить первоначальных обитателей. Пользуясь линейным анализомустойчивости, не трудно показать, что новые виды вытесняют старые только втом случае, если 

/>

   Последовательность, в которой виды заполняютэкологическую нишу, представлена на рисунке 3.6.

/>

             Рис. 3.6.    Последовательное заполнение экологической

                                ниширазличными видами .

   Эта модель позволяет придать точным количественныйсмысл утверждению о том, что «выживает наиболее приспособленный», в рамкахзадачи о заполнении заданной экологической ниши .

3.3.2. СИСТЕМА  «ЖЕРТВА — ХИЩНИК».

   Рассмотрим систему, состоящую из двух видов — это«жертва» и «хищник» (например, зайцы и лисицы), то эволюция системы и еесамоорганизация выглядят иначе, чем в предыдущем случае.

   Пусть в биологической системеимеются две популяции — «жертв» — кролики (К), и «хищников» — лисиц (Л),численностью К и Л .

   Проведем теперь рассуждение,которое позволит нам объяснить существование диссипативных структур .

   Кролики (К) поедают траву (Т).Предположим, что запас травы постоянен и неисчерпаем. Тогда, одновременноеналичие травы и кроликов способствуют неограниченному росту кроличьей популяции. Этот процесс можно символически изобразить так :

Кролики + Трава ® Больше кроликов

К + Т ® 2К

   Тот факт, что в стране кроликоввсегда имеется в достатке травы, вполне аналогичен непрерывному подводутепловой энергии в задаче с ячейками Бенара. Вскоре процесс, в целом, будетвыглядеть как диссипативный (во многом аналогично процессу Бенара ).

   Реакция « Кролики  -  Трава »происходит спонтанно в направлении увеличения популяции кроликов, что являетсяпрямым следствием второго начала термодинамики .

   Но вот в нашу картину, где мирнорезвятся кролики, прокрались хищные лисицы (Л), для которых кролики являютсядобычей. Подобно тому, как по мере поедания травы кроликов становится больше, за счет поедания кроликов возрастает число лисиц:

Лисицы + Кролики ® Больше лисиц

Л + К ® 2Л

   В свою очередь лисицы, как икролики являются жертвами — на этот раз человека, точнее говоря происходитпроцесс

Лисицы ® Меха

   Конечный продукт — Меха, неиграет непосредственной роли в дальнейшем ходе процесса. Этот конечный продуктможно, однако, рассматривать как носитель энергии, выводимой из системы, ккоторой она была в начале подведена (например, в виде травы ).

   Таким образом, в экологическойсистеме также существует поток энергии — аналогично тому, как это имеет местов химической пробирке или биологической клетке.

   Совершенно ясно, что вдействительности происходят периодические колебания численности популяциикроликов и лисиц, причем за нарастании численности кроликов следует нарастаниечисленности лисиц, которые сменяются уменьшением численности кроликов,сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц, затем повышеннымподъемом численности кроликов и так далее (рис. 3.7).

/>

Рис. 3.7.   Изменение численностипопуляций кроликов и лисиц

                  со временем.Наличие периодичности означает 

                  возникновениеэкологической структуры.

   С течением времени численность обеих популяцийменяется в соответствии с последовательным прохождением точек графика. Черезнекоторое время (конкретное значение зависит от быстроты поедания лисицамикроликов, а так же от скорости размножения обоих видов) весь цикл начинаетсявновь.

   Поведение популяций при различныхстепенях плодовитости, а так же различных способностях избегать истребленияможно изучить количественно с помощью программы: ПОПУЛЯЦИЯ (в приложении).

   Эта программа реализует решениеуравнений для диссипативной структуры «кролики — лисицы». Результат решенияизображается графически. Решается система дифференциальных уравнений

/>

   Здесь буквы  К, Л, Т — означаютсоответственно количество кроликов, лисиц, травы; коэффициенты  k1, k2, k3 — обозначают соответственно скоростьрождения кроликов, скорость поедания кроликов лисицами и скорость гибелилисиц.

   В программе понадобится уточнитьзначение отношений (примерно равное 1), постоянное количество травы (также принимаемое обычно равным 1), начальные значения популяциикроликов и лисиц (обычно 0,4), продолжительность цикла (типичноезначение 700) и шаг по оси времени (обычно равный 1).

   Программа популяции — это график.Он показывает поведение популяций при различных степенях плодовитости, а также различных способностях избегать истребление.

   Совершенно ясно, что вдействительности происходят периодические колебания численности популяциикроликов и лисиц, причем за нарастании численности кроликов следует нарастаниечисленности лисиц, которые сменяются уменьшением численности кроликов, сопровождающимсястоль же резким снижением численности лисиц, затем повышенным подъемомчисленности кроликов и так далее, то есть видно, что система самоорганизуется.

   Программа прилагается.

/>

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

   Мы видели, что необратимостьвремени тесно связана с неустойчивостями в открытых системах. И.Р. Пригожинопределяет два времени. Одно — динамическое, позволяющее задать описаниедвижения точки в классической механике или изменение волновой функции вквантовой механике. Другое время — новое внутренние время, которое существуеттолько для неустойчивых динамических систем. Оно характеризует состояниесистемы, связанное с энтропией .

   Процессы биологического илиобщественного развития не имеют конечного состояния. Эти процессынеограниченны. Здесь, с одной стороны, как мы видели, нет какого-либопротиворечия со вторым началом термодинамики, а с другой стороны — четко виденпоступательный характер развития (прогресса) в открытой системе. Развитиесвязано, вообще говоря, с углублением неравновесности, а значит, в принципес усовершенствованием структуры. Однако с усложнением структуры возрастаетчисло и глубина неустойчивостей, вероятность бифуркации.

   Успехи решения многих задачпозволили выделить в них общие закономерности, ввести новые понятия и на этойоснове сформулировать новую систему взглядов — синергетику. Она изучаетвопросы самоорганизации и поэтому должна давать картину развития и принципысамоорганизации сложных систем, чтобы применять их в управлении. Эта задачаимеет огромное значение, и, по нашему мнению, успехи в ее исследовании будутозначать продвижение в решении глобальных задач: проблемы управляемого термоядерного синтеза, экологическихпроблем, задач управления и других.

   Мы понимаем, что все приведенныев работе примеры относятся к модельным задачам, и многим профессионалам,работающим в соответствующих областях науки, они могут показаться слишкомпростыми. В одном они правы:использование идей и представлений синергетики не должно подменять глубокогоанализа конкретной ситуации. Выяснить, каким может быть путь от модельныхзадач и общих принципов к реальной проблеме — дело специалистов. Кратко можносказать так: если в изучаемой системе можновыделить один самый важный процесс (или небольшое их число), топроанализировать его поможет синергетика. Она указывает направление, вкотором нужно двигаться. И, по-видимому, это уже много.

   Исследование большинства реальныхнелинейных задач было невозможно без вычислительного эксперимента, безпостроения приближенных и качественных моделей изучаемых процессов (синергетикаиграет важную роль в их создании). Оба подхода дополняют друг друга.Эффективность применения одного зачастую определяется успешным использованиемдругого. Поэтому будущее синергетики тесно связано с развитием и широкимиспользованием вычислительного эксперимента.

   Изученные в последние годыпростейшие нелинейные среды обладают сложными и интересными свойствами.Структуры в таких средах могут развиваться независимо и быть локализованы,могут размножаться и взаимодействовать. Эти модели могут оказаться полезнымипри изучении широкого круга явлений.

   Известно, что имеется некотораяразобщенность естественно научной и гуманитарной культур. Сближение, а вдальнейшем, возможно, гармоническое взаимообогащение этих культур может бытьосуществлено на фундаменте нового диалога с природой на языке термодинамикиоткрытых систем и синергетики .

/>

/>

ЛИТЕРАТУРА :

1. Базаров И.П.  Термодинамика. — М.: Высшая школа, 1991 г.

2. Гленсдорф П., Пригожин И.  Термодинамическаятеория структуры, устойчивости и флуктуаций. — М.: Мир, 1973 г.

3. Карери Д.  Порядок и беспорядок вструктуре материи. — М.: Мир,1995 г.

4. Курдюшов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика — теория самоорганизации. Идеи, методы перспективы. — М.: Знание, 1983 г.

5. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. — М.: Мир, 1979 г.

6. Николис Г., Пригожин И.  Познаниесложного. — М.: Мир, 1990 г.

7. Перовский И.Г.  Лекции по теориидифференциальных уравнений. — М.: МГУ,1980 г.

8. Попов Д.Е.  Междисциплинарные связи исинергетика. — КГПУ, 1996 г.

9. Пригожин И.  Введение в термодинамикунеобратимых процессов. — М.: Иностраннаялитература, 1960 г.

10. Пригожин И.  От существующего квозникающему. — М.: Наука, 1985 г.

11. Синергетика, сборник статей. — М.: Мир, 1984 г.

12. Хакен Г.  Синергетика. — М.: Мир, 1980 г.

13. Хакен Г.  Синергетика. Иерархиянеустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. — М.: Мир, 1985 г.

14. Шелепин Л.А.  В дали от равновесия. — М.: Знание, 1987 г.

15. Эйген М., Шустер П.  Гиперцикл.Принципы самоорганизации макромолекул. — М.: Мир, 1982 г.

16. Эткинс П.  Порядок и беспорядок вприроде. — М.: Мир, 1987 г

                                      />