Реферат: Лекции по физике

Раздел4.Основы специальной теории относительности ирелятивистская механика.                            

4.1. Краткие исторические сведения.

Механика,сформулированная Ньютоном в 1687 году в его знаменитых ‘Принципах’и существенно развитая в 18 веке Эйлером (1707-1783), Клеро (1713-1765) иДаламбером(1717-1783), а в конце 18 века — начале19 века -Лагранжем(1736-1813), Лапласом (1749-1827) и Пуассоном (1781-1840) и, наконец, в 19 веке- Гамильтоном (1805-1865), Якоби (1804-1851) и Пуанкаре (1854-1912), достигластоль выдающихся успехов и получила столь широкое признание, что долгое время,вплоть до последней четверти 19 века, ее основы никем не подвергались никакойкритике.

Механикастала первой наукой современного естествознания, которая получила мощное изаконченное развитие на основе того экспериментально-математического методапознания природы, который от Галилея еще в 17 веке приняло современноеестествознание и благодаря которому оно достигло столь поразительных ивыдающихся успехов.

Красивоездание механики было столь совершенным, что и все остальные физические науки (об электрических, магнитных, оптических, тепловых и др. физических явлениях )долгое время, особенно весь 18 век и даже до последней четверти 19 века,пытались строить по образу и подобию механики.

Возниклодаже особое течение в натурфилософии — механистическое мировоззрение, которогопридерживались многие, можно сказать, подавляющее большинство, ученых конца 19века. Это мировоззрение ставило своей целью сведение всех физических явлений кпроявлению простых механических законов.

Вместес тем, очень большие успехи, достигнутые в 19 веке электродинамикой — открытиезакона электромагнитной индукции, электрического мотора и трансформатора,электромагнитной природы света, электромагнитных волн радио- и СВЧ-диапазона — и термодинамикой — открытие общефизического закона сохранения энергии, паровоймашины и двигатель внутреннего сгорания, ракетного двигатель, а такжефантастические успехи атомно-молекулярного учения о строении физическоговещества — открытие электрона в самом конце 19 века, а также структуры атома,открытие атомного ядра, ядерной физики и физики элементарных частиц — все этоуже к 1926-27 гг., как снежный ком, смело механистическую философию природы изаменило ее правильным пониманием хотя и существенной, но все же в целомограниченной роли механики в физической науке, которая в 20 в. Нам всемизвестна со школы.

Ноэто произошло в 20 в., а мы хотим заняться сейчас историей исследований конца19 в. — начала 20 в., зародившихся на основе критики фундаментальных основньютоновской механики, связанных с появлением теории относительности ирелятивистской механики.

А.Проблема ньютонова абсолютного пространства и существования в природе классаинерциальных систем отсчета.

Начинаяс 1872г. Э.Мах первым в истории науки не побоялся публично выступить с критикойсамых фундаментальных основ механики Ньютона — в то время прочно утвердившейсяи незыблемой теории.

Махсправедливо указал на отсутствие у Ньютона четких определений понятий массы исилы, на очевидную логическую зависимость первого закона от второго закона, нанеясности представлений Ньютона об абсолютном движении и связанных с ним егопредставлений об абсолютном пространстве и абсолютном времени.

/>

Фундаментальнаяидея механики Ньютона о том, что в природе существует «абсолютное движение»- действительно у Ньютона сформулировано очень нечетко. В этих представленияхНьютона, однако, получил отражение в его механике тот важный экспериментальныйфакт, что в природе по какой-то причине существуют привилегированные, т.е.выделенные в отношении механических явлений, но полностью эквивалентные другдругу — так называемые инерциальные системы отсчета, движущиеся относительнодруг друга прямолинейно и равномерно, с постоянными скоростями. Одна из этихсистем, по Ньютону, фактически и является той самой абсолютной системойотсчета, относительно которой Ньютон и отсчитывал свое абсолютное движение.

Такимобразом, инерциальной системой отсчета в механике Ньютона, строго говоря,называется система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно, с некоторой постоянной скоростью, относительно абсолютной системы, хотя самой абсолютнойсистеме строгого определения и не дается.

Следует,однако, заметить, что хотя сам Ньютон четко абсолютное пространство и связаннуюс ним абсолютную систему отсчета и не определил, но если внимательно проследитьисторию предваряющих исследования Ньютона исследований Галилея и Гюйгенса подвижению земных тел в поле тяжести Земли и Коперника и Кеплера по движениюосновных небесных тел — Солнца, Луны, и пяти главных планет,, из которых,собственно говоря, непосредственно и возникла механика Ньютона, в частности,его решение самой основной задачи небесной механики — так называемой задачиКеплера о движении планеты вокруг Солнца по эллиптической орбите, — то нетруднопрактически безошибочно установить, что под абсолютной системой отсчета Ньютонфактически понимал коперниковскую гелиоцентрическую систему отсчета, а подабсолютным пространством — межпланетное пространство Солнечной системы. Именноэта система была принята Ньютоном во всех его успешно решенных механическихзадачах — о движении Землм, Луны и планет, об океанских приливах и отливах наповерхности Земли и т.д.

Историческийвопрос о существовании истинной системы отсчета, самой естественной дляматематического описания механических движений небесных тел — Солнца, Луны ипяти главных планет был поставлен в 16-17 вв., на заре становления современногонаучного мировоззрения, И вопрос этот был окончательно решен уже основателемсовременного естествознания Н. Коперником (1473-1543) в 1520-30 гг. И в егознаменитом сочинении «Об обращениях небесных сфер», которое начало печататьсяза несколько дней до его смерти в 1543 г.

ФактическиКоперник решил основную кинематическую задачу нашей Солнечной планетнойсистемы, — нашел самую удобную систему координат, жестко связанную смежпланетным пространством, для описания видимого нами достаточно сложногодвижения Солнца, Луны и главных планет среди неподвижных звезд.

Именноэта «абсолютная» система отсчета и была принята неявно Ньютоном в его«Принципах» при формулировке основ механике, при решении им задачи Кеплера идругих астрономических задач, а также при решении задач о движении тел наЗемле.

Ньютонсвой выбор указанной абсолютной системы отсчета не формулировал, однако, явно,заявив без должных пояснений довольно туманно, что в природе существует абсолютноевремя, абсолютное пространство и абсолютное движение, что именно абсолютноедвижение тел и является истинным предметом изучения созданной им механики с еетремя законами.

Здесьследует подчеркнуть, что особенно удивительно то обстоятельство, что специальная,выделенная по своим механическим свойствам, инерциальная система отсчета вприроде имеется не одна, а существует целый класс — бесконечное множествоподобных систем, по своим механическим свойствам действительно полностьюэквивалентных друг другу, Все они движется поступательно равномерно ипрямолинейно, с постоянными скоростями друг относительно друга. Помеханическому поведению движущихся в них тел все эти инерциальные системы отсчета принципиальным образом отличаются отостальных систем отсчета — так называемых неинерциальных систем.

Чтосуществует множество эквивалентных особенных систем отсчета, — знал ужеГалилей, на экспериментальные исследования которого опирался Ньютон в своих«Принципах». Именно Галилей открыл механический принцип относительности,согласно которому, производя чисто механические эксперименты в рамкахкакой-нибудь одной инерциальной системы отсчета, невозможно определить фактдвижения этой системы отсчета относительно других инерциальных систем. Винерциальных системах отсчета идентичные по постановке механические опытывсегда одинаковые результаты.

Галилейсформулированный им механический принцип относительности использовал, какизвестно, для снятия наивных возражений против системы Коперника, исходящих отперпатетиков, сторонников Аристотеля, утверждающих, что если бы Землядвигалась, то находящиеся на ней тела оторвались бы от ее поверхности и отсталибы от нее. Галилей справедливо заявил, что никакие механические эксперименты,производимые на поверхности Земли, движущейся в межпланетном пространствевокруг Солнца равномерно и прямолинейно, не могут установить факт движенияЗемли.

Впрочем,не совсем правильно утверждать, что Земли движется прямолинейно и равномерно.Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 0.000073 1/с; кроме того,ее движение по примерно круговой орбите вокруг Солнца совершается со среднейлинейной скоростью          30 км/с,что соответствует угловой скорости 0.0000002 1/с, Само Солнце движется со скоростью 220 км/с обращаясь вокруг центра нашей галактики, чтосоответствует угловой скорости 0.00000000000000088 1/с. Вводу исключительной малости всех этих угловыхскоростей, в очень хорошем приближении можно считать, что Земля движется черезпространство поступательно равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью 30км/с.

Вотличии от Ньютона Э. Мах пытался объяснить физическую природу наличия вприроде особых механических свойств у инерциальных систем отсчета — онсправедливо заметил, что одна из инерциальных систем — самая главная, фактическии определяющая ньютоново абсолютное пространство — это действительно физическивыделенная для нас, как людей на Земле, система отсчета, — связанная с небомнеподвижных звезд, т.е. с межпланетным пространством, от которой мы никогда ини при каких обстоятельствах не можем абстрагироваться.

Такоеразъяснение Махом загадки природы об инерциальных системах отсчета, кажетсядостаточно убедительным, хотя и порождает вопросы. Не ясно, в частности, почемустоль удаленные от нас объекты — звезды могут столь существенно влиять надвижение тел на Земле и Земли вокруг Солнца в нашей Солнечной системе.

В.Проблема светоносного эфира и существования на Земле эфирного ветра.

Вопроссуществования в природе целого класса механически эквивалентных инерциальныхсистем отсчета и о наличии среди них одной, самой главной — абсолютной системы,или, как мы объяснили, коперниковской системы, жестко связанной с межпланетнымпространством и небом неподвижных звезд, по Маху воплощающим в себе абсолютноепространство Ньютона, в котором движется Земля, Солнце, Луна, планеты и ихспутники, нельзя ограничить исключительно механическими рамками, как впрочем мыпока что это делали.

Это,разумеется, общефизический вопрос: ведьна Солнечную систему нельзя смотреть просто как на чисто механическую системуматериальных точек, подчиняющуюся исключительно законам ньютоновской механики.Кроме механических, существует огромное число других чистофизических явлений,немеханической  природы,  постоянно происходящих в Солнечной системе. Во всякомслучае, даже в рамках чистой небесной механики мы не можем абстрагироваться отсвета, так как посредством  света, приходящего к нам от Солнца, Луны, планет иих спутников, мы вообще можем судить о существовании этих небесных тел и делатьзаключения об их механическом движении.

Какраспространяется свет в межпланетном пространстве, как он доходит  от Солнца донас, — ведь межпланетное пространство практически совершенно пусто, в нем нетвещества, которое нас окружает здесь на Земле, — это очень существенный вопрос.

Смомента зарождения физической оптики, т.е. еще 17 века, когда зародилась имеханика, сразу возникли две взаимоисключающие теории света. С именем Ньютонасвязывают корпускулярную теорию, в которой свет мыслится как поток быстролетящих маленьких телец — корпускул, причем считается, что все корпускулы впотоке имеют одинаковую скорость с — скорость света. С именем  Х. Гюйгенсасвязывают волновую теорию, в которой свет представляется в виле волн, наподобиезвуковых  волн в воздухе, являющихся возбуждениями некоторой упругой очньтонкой сплошной среды — эфира, при этом скорость света  с  считается скоростьюраспространения волн в этой среде.

Практическис самого начала оптических исследований по волновой теории света было принято,что световые волны определенно не являются колебаниями или возмущениями обычной материальной среды, как звуковые волны — колебаниями воздуха. В отличиеот звуковых волн световые волны могут распространяться и в сильно разреженныхматериальных средах и даже в пустоте. Свет от Солнца до Земли проходит черезпустое межпланетное пространство между Солнцем и Землей и другими планетами.

Различиезвуковых и световых волн легко проиллюстрировать следующим простымэкспериментом

                     

Звонящийбудильник помещают под стеклянный колокол, из которого нсосом выкачиваютвоздух. По мере удаления воздуха из — под колокола звук от будильникастановится все слабее и слабее, пока не пропадет совсем. Если открыть кран ивпустить обратно под колокол воздух, то громкий звук будильника будет сноваслышен. При всех этих манипуляциях, однако, мы все время видим  будильник через стенки колокола, а следовательно, световые волны в  отличие от звуковыхмогут распространяться и в пустом пространстве под колоколом, фактическилишенном воздуха.

 Скоростьсвета в пустоте /впрочем, как и в других прозрачных средах — в воздухе, воде,стекле и т.д./ огромна. Она равна 300.000 км/с. О. Ремером, который определилее из наблюдений вариаций времен последовательно наблюдаемых затмений спутникаЮпитера, и в начале 18 века  в 1728 г. Дж. Д. Брэдли, который нашел ее изизмерения угла аберрации для нескольких звезд, расположенных вблизи полюсаэклиптики. Оба измерения — астрономические, т. е. В них определялась скоростьсвета в межпланетном пространстве. Оба они дали примерно 300.000 км/с.

Таккак свет, по представлениям волновой теории, является колебаниями, т. е.Возмущениями неподвижно покоящегося эфира, то естественно было считать, чтофактически и было сделано, что абсолютная система отсчета Ньютона  — это какраз та самая система, в который невозмущённый световой эфир покоится.

  Естественно было предполагать, что эфир заполняет всё пространство между Солнцеми планетами, а так как с этим пространством уже была связана абсолютная системаотсчёта  Ньютона, относительно которой Ньютон отсчитывал абсолютное движение, топредставлялось вполне естественным предположение, что эфир покоится в этойсистеме отсчёта.

   Представление об эфире как об особой тонкой  гипотетической среде, заполняющейвсю нашу Солнечную систему и всё межпланетное пространство в ней, существеннообогащало  нью-

тоновучисто механическую небесную механику, изложенную в его “Принципах”, в которойинтерес проявился только к механическим, а точнее-геометрическим характеристикамдвижения

планети их спутников, под действием сил всемирного тяготения, в ньютоновой абсолютнойсистеме отсчёта.

   Одновременно с представлением о покоящемся эфире в межпланетном пространствевозникал вопрос о возможности измерения немеханическим способом скорости Земли, движущейся

равномернопрямолинейно с постоянной скоростью в неподвижном эфире, т.е. с помощью немеханических, а оптических экспериментов.Согласно принципу относительностиГалилея, ме-

ханическиеэксперименты не позволяют этого сделать.Возникла, однако, теперь надежда, чтооптические эксперименты как раз и позволят какие-нибудь эффекты, в которыхпроявлялась бы

указаннаяскорость.Всё дело только в том, чтобы изобрести какой-нибудь такого родаэксперимент.

  Вся эта проблема об измерении скорости Земли с помощью чисто оптических, апозднее также и электродинамических экспериментов, производимых на поверхностиЗемли, известна в ис-

ториинауки под названием проблемы измерения “эфирного ветра”.

  В теории этого ветра, с самого начала, приходилось выбирать одну из двух гипотез, известныхпод именами гипотез Френеля и Стокса.

ГИПОТЕЗАФРЕНЕЛЯ (1818 г.)

  Земля движется сквозь неподвижный эфир, который вовсе не увлекается ею илиувлекается очень слабо, и поэтому наблюдатель на Земле должен ощущать ирегистрировать натекание

эфирана Землю, т.е. “эфирный ветер”, измеряя скорость которого можно определить“абсолютную скорость” Земли в ньютоновом абсолютном пространстве.

 ГИПОТЕЗАСТОКСА (1845 г.)

  Земля практически полностью увлекает с собой премыкающий к ней эфир, подобношару, движущемуся с постоянной скоростью в вязкой неподвижной жидкости, которыйувлекает при-

мыкающуюк его поверхности часть жидкости, и никакого “эфирного ветра”, по крайней мере насамой поверхности Земли, а скажем, не высоко в горах, наблюдаться не должно.

  Обе гипотезы-Стокса и Френеля-о взаимодействии эфира с движущимся в нёмтелом-оказались в состоянии количественно объяснить явление астрономическойаберрации звёзд и отри-

цательныерезультаты оптических экспериментов, произведённых на Земле с целью измеренияскорости Земли в межпланетном пространстве.Оптические же явления, наблюдаемые вдвижу-

щихсяпрозрачных телах на Земле, смогла объяснить только гипотеза Френеля.

  Первую попытку измерить скорость эфирного ветра предпринял Араго в 1810 г. Онрешил обнаружить влияние движения Земли на преломление света, идущего отзвезды.С этой целью

онизмерял разности зенитных углов одной и той же звезды.наблюдаемой в телескопнепосредственно и через призму, т.е. попытался наблюдать изменение углапреломления луча света от

звездык призме, когда Земля (а значит, и призма) двигалась к звезде и (через полгода)-от звезды.Араго ожидал измерить угол отклонения, равный, по его оценке,2’.Ноопыты дали отрица-

тельныйрезультат.И тогда Араго обратился к Френелю с просьбой объяснить этотнеожиданный для него факт.В 1818 г. было опубликовано письмо Френеля к Араго, вкотором Френель

сединых позиций нашёл объяснение и отрицательного результата опыта Араго, иобъяснение астрономической аберрации.

  Хотя Френель понимал, что допущение полного увлечения эфира движущейся Землёйлегко объясняет отрицательный результат опыта Араго, он его не принял, так какдолжен был объяс-

нитьтакже и результат опыта Брэдли по наблюдению аберрации звёзд.ПоэтомуФренель, следуя предложению Юнга 1804 г., в основу своей теории взял допущение онеподвижном, прак-

тическине увлекаемом движущейся Землёй эфире (так как показатель преломления n воздухаочень близок к единице). Стеклянная призма Араго  (показатель преломлениястекла n» 1,3),

однако, попредположению Френеля частично увлекала эфир.Френель теоретически вывелзначение коэффициента увлечения, равное   1-1/n2, где n-показательпреломления стекла призмы.

Притаком значении коэффициента увлечения Френель смог оьъяснить и отрицательный результатопыта Араго, и опыта Брэдли по аберрации.

  Физо в 1856 г. удалось измерить в земных условиях не только скорость света ввоздухе (практически совпадающую  со скоростью в пустоте), но и скорость света вводе, движущейся с не-

которойзаданной скоростью V.Эксперимент состоял в изменении смещения интерференционныхполос в интерферометре, в плечи которого были помещены две трубы с прозрачнымиторцами и с текущей по ним в противоположных направлениях со скоростью V водой.

/>

  Эксперимент Физо показал, что наблюдаемый сдвиг интерференционных полоссоответствовал скорости света в движущейся воде относительно неподвижных стеноктруб, равной

Ccp.=c/n±v(1-1/n2),

гдезнак плюс соответствует движению светового луча и воды в одинаковомнаправлении, минус-в противоположных,n-показатель преломления воды.

  Попытками измерить скорость эфирного ветра на движущейся Земле занималисьмногие крупные физики в последней четверти XIX в., проводившие для этогоразличные оптические и

электродинамическиеэксперименты.

  Скорость света в пустоте равнв 300 000 км/c. Скорость движения Земли по своейорбите равна 30 км/с.Следовательно, v/c=0,0001, v2/c2=0,00000001; речь идёт об очень малых эффектах.

  В 1871 г. Майкельсон, а в 1878 г. Майкельсон и Морли произвели первый, ставшийвпоследствии знаменитым эксперимент второго порядка малости по v/c — эксперимент Майкельсона, который потом неоднократно был повторен другимиисследоватлями.

/>

  Оптический прибор-знаменитый интерферометр Майкельсона — размещался на тяжёлойкаменной плите, которая плавала на ртути в бассейне в подвале здания.Ориентируяэтот прибор либо плечом L1 либо плечом L2 вдоль направления движения Земли, неудалось наблюдать какого-либо различия в его показаниях (это различие должнобыло выразиться в смещении

интерференционныхполос, наблюдаемых в зрительную трубу),.т.е. не удалось измерить скорость Vдвижения Земли в межпланетном пространстве.

C.ПРОБЛЕМА ПРАВИЛЬНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ПРЕОБРАЗОВНИЙ ЛОРЕНЦА.

  Проблема измерения скорости эфирного ветра  в оптических экспериментах получилановое своё развитие в последней четверти XIX в., когда было открыто, что светимеет электромаг-

нитнуюфизическую природу, что оптика является только частью другой болеефундаментальной и более глубокой физической науки-электродинамики.

  Основы электродинамики сформулировал Максвелл в своём знаменитом “Трактате” в1873 г., играющем такую же основополагающую роль в электродинамике, как“Принципы” Ньютона в механике.В этом труде были сформулированы знаменитыеуравнения Максвелла и была высказана гипотеза об электромагнитной природесвета-что свет является электромаг-

нитнымиволнами,-которая в 1888 г. была подтверждена Г.Герцем, экспериментальнооткрывшим электромагнитные волны радио- и СВЧ- диапазона.

  В теории Максвелла впервые в истории науки связывались между собойэлектрические и магнитные явления с оптическими явлениями.Упругий эфир Френеляпревратился, таким обра-

зом,в носителя электромагнитных возмущений и электромагнитных волн, т.е. сталэлектромагнитным эфиром, а элекрические и магнитные поля напряжённости ииндукции стали рассмат-

риватьсякак показатели напряжений и деформаций этого эфира.

  Максвелл представлял себе электрические и магнитные поля и электромагнитныеволны механически-как возмущения гипотетической, хотя и очень своеобразной, новсё же чисто механи-

ческойсплошной среды, наделённой особыми механическими св-вами; при этом он считал, чтоэфир в пустоте и эфир в веществе имеют различные мех. св-ва.

  Сам Максвелл считал, что его уравнения справедливы только для покоящегосяэфира, возмущениями которого являлись, по его представлениям, рассматриваемые имэлектромагнитные

поляи волны.Систему отсчёта, в которой эфир покоится Максвелл связывал с абсолютнойсистемой отсчёта Ньютона.

  Ур-ия Максвелла составлены для четырёх векторных ф-ий: E(x,y,z,t), D(x,y,z,t) — напряжённости и индукции электрического поля, H(x,y,z,t), B(x,y,z,t) — напряжённости и индукции маг-

нитногополя.Эти ф-ии характеризуют возмущение неподвижного электромагнитногоэфира.Изменяющиеся со временем электрическое и магнитное поля не могутсуществовать по

отдельности- они образуют единое электромагнитное поле, представляющее собойэлектромагнитные, в частности оптические волны.

УравненияМаксвелла имеют следующий вид:

rotE = -дB / дt   ,  rot H = j + дD / дt   ,   div D = р   ,   div B = 0,

гдеj=j(x,y,z,t) — объёмная плотностьэлекрического заряда.

  Как видим, уравнения Максвелла предполагают, что координаты x,y,z и время tописываются в некоторой системе отсчёта, которая, по предположению Максвеллаявляется системой отсчёта, в которой невозмущённый электромагнитый эфирпокоится.

   Попытками распространить уравнения Максвелла на произвольно движущиесяматериальные прозрачнные среды, которые как предполагалось в соответствии сгипотезой Френеля

каким-тообразом увлекали с собой эфир, занимались многие крупные физики последнейчетверти XIX в., но, пожалуй, больше всех Г.А. Лоренц.

  Исследуя выведенные им на основе его электронной теории уравнения Максвелла длядвижущейся среды, Лоренц в 1895 г. пришёл к удивительному результату,-что сточностью до членов первого порядка малости по v/c, где v-скорость движениясистемы отсчёта,c-скорость движения электромагнитных волн, эти уравненияМаксвелла можно строго математически

преобразоватьк виду уравнений Максвелла для неподвижной среды, т.е. он строго доказал, чтоуравнения Максвелла “не чувствуют”  поступательного движения системыотсчёта, если

толькоона движется с постоянной скоростью.

  Лоренц получил тем самым объяснение отрицательных результатов проведённых ктому времени экспериментов, показывающих, что с помощью оптических иэлектродинамических

эффектовпервого порядка по v/c, производимых с земными источниками света, невозможноопределить скорость движения Земли относительно межпланетного пространстваНьютона.

  Чтобы объяснить остающийся, однако, необъяснённым отрицательный результатэксперимента Майкельсона-Морли второго порядка малости по v/c Лоренц инезависимо Фицдже-

ральдвыдвинули знаменитую гипотезу о сокращении всех тел, движущихся в абсолютномпространстве вдоль направления движения в отношении, зависящем от скоростидвижения .

ЕслиLо- длина покоящегося тела,L-дли-

надвижущегося тело вдоль направления движения, то, согласно этой “гипотезесокращения”,/>/>

гдеb=, v/c v -скорость движения тела.

     Чтобы  объяснить  невозможность  определения скорости  v тела, равномернои прямолинейно движущегося относительно абсолютного пространствав оптических

иэлектродинамических экспериментах, не только первого, но и второго, и болеевысоких порядков по v/c, Лоренц доказал в своей работе по электродинамикедвижущихся сред  (1904 г.) строгую математическую теорему, чтоуравнения Макселла в покоящейся и движущейся инерциальных системах отсчетаимеют математически совершенно одинаковый вид, с точностью дочленов и первого, и второго, и более высоких порядков по v/c включительно.Он установил, что они инвариантны.При этом Лоренц при преобразовании уравненийМаксвелла от одной инерциальной системы отсчета к другой преобразовывал также ивремя t,

вводяматематически совершенно формально так называемое “локальное время”:      t¢=t- />x,   гдеx,t -координата и время в покоящейся системе отсчета.

   В результате теоретических исследований Лоренца и проведённог Майкельсоном иМорли эксперимента естественно возникал электродинамический принциптносительности,сформулированный Галлилемещё в XVII в.

 Правда сам Лоренц этот принцип не провозгласил.Это сделали на основе его работи в особенности егоработы 1904 г. сначала Пуанкаре, а немного позже инезависимо Эйнштейн в 1905 г.

   Согласно механическому принципу относительности, проводя различныемеханические эксперименты в лаборатории, движущейся с постоянной скоростьюотьносительно покоящейся абсолютной лаборатории, невозможно измерить еескорость движения. (Все механические явления в обеих лабораториях происходятсовершенно одинаково).

    Согласно электродинамическому принцину относительности, нельзя опрелитьскорость движения указанной движущейся лаборатории, производя в ней также ивсевозможжные электродинамические, в том числе оптические эксперименты. (Всеэлектродинамические явления в обеих лабораториях происходят совершенноодинаково).

     Как мы уже сказали, очень четко обобщенный общефизический принципотносильтельности, об инерциальных системах отсчета, впервые сформулировалПуакаре в 1904 г. за год до формулировки этого принципа Эйнштейном в 1905 г. ипоявления основополагающей в специальной теории относительности его знаменитойработы 1905 г. Пуанкаре ещё с начала 90-х годов XIX в. интересовался теориейЛоренца и работал над её развитием.

    Основные преобразования инвариантности-так называемые преобразования Лоренца:  />

былиопубликованы Лоренцем в 1904 г. в упомянутой работе.

/>

   Пуанкаре понял, что преобразования, найденные Лоренцем, составляют группу преобразований инвариантности четырехмерногопространства-времени, координатнымиосями которого являются являются пространственные оси x,y,z  и осьвремени t. Он же назвал преобразования,  найденныеЛоренцем,”преобразованиями Лоренца”.

     В знаменитой работе 1905 г. Эйнштейн сформулировал независимо от Пуанкаре общефизическийпринцип относительности для инерциальных систем отсчёта и, как он самутверждал и как это часто утверждают другие, дал физически единственноправильную интерпретацию формулам преобразования Лоренца.

    Эйнштейн заявил. что преставление о времени. которое существовало в физике совремён Галилея и Ньютона,ошибочно, что его надо исправить, т.е. строгимфомальным образом определить, что такое “время”. Это его утверждениеосновывалось на предложенном им в работе 1905 г. кинематическом, т.е. вотличие от работ Лоренца никак не связаны с электродинамикой,  выводе формулпреобразований Лоренца,  выведенных, как Эйнштейн считал, только изправильного, предложенного им в этой работе понимания понятия времени.

    Родившаяся с появлением  работы Эйнштейна 1905 г. так называемая  специальнаятеория относительности оказалась исключительно полезной в физике микромираи стала широко использоваться в бурно развивавшихся в XX в. атомной физике,ядерной физике и физике элементарных частиц, т.е. в микрофизике.

    Вообще считается, что в физике XX в. имеется только два главных фундаментальныхтеоретических достижения: теория относительности и квантовая механика.

154.2  Понятия абсолютного и относительного механического  движения у Ньютона

Внастоящее время в классической механике и во всех технических науках без какаихлибо особых оговорок широко используется введённое Ньютоном в “Принципах” в1687 г. представление об абсолютном движение,т.е. о движение тела илисистемы тел в абсолютно пустом пространстве , т.е. относительно этогопространства при течении абсолютного времени.Считется, что природасостоит из тел, движущихся или покоящихся в пустом пространстве.Самопространство неподвижно.о его движении говорить просто бессмысленно.Этисовершенно чёткие представления об абсолютном  времени требуют, однако, серьёзных физических разъяснеий.

   Необходимо хорошо понимать, что при непосредственно экспериментальном исследованиимеханического движения или состояния покоя тела мы всегда подразумеваем(неявно, неосознано) достаточно массивные твёрдые тела, относительнокоторых отсчитываем положение частей тела, системы тел, малого тела в различныемоменты времени, мы подразуемые  и некоторый

определённыйконкретный измеритель времени ,

т.еючасыю

   Другими словами.при экспериментальном изучении механического движения

мывсегда имеем некоторую вполне определённую “систему отсчета “, под которой

понимаютсякак все массивные тела, относительно которых мы отсчитываем  положение нашегодвижущегося или покоящегося тела, так и и конкретный используемый вэкспериментах измеритель времени.

  Эту мысль чаасто выражают словами:движение относительно, или движение поприроде своей относительно.

Пример: 1)Космонавты в космическом корабле в качествеестественной для себя системы отсчета используют систему, жёстко связанную состенками космического корабля, и обычные, механические или электронныечасы, имеющиеся на борту.

2)Длянас, людей на Земле, имеется естественная сис.отсчета ,-жёстко связанная

снеподвижными телами на поверхности Земли, или, что тоже самое, жёстко связанныесо стенами лабораториию.Это так называемая лабораторная система отсчета.Вкчестве измерителя времени используют лабораторные часы.

  Отмечая относительный характер механического движения и необходимостьфиксации определённой системы отсчёта, обязательно надо давать себе отсчет в том, чторазличные сис.отсчёта физически и механически вовсе не равноправны.

Другимисловами, механические движения тел в различных сис.отсчёта происходятпо-разному, по разным математическим и физическим законам.

 16Эксперименты, однако, показывают, что среди всех возможных сис.отсчета в природесуществуют всё-таки такие сис.отсчёта, относительно которых движение илисистемы тел или малых частей тела являются наиболее простым и естественным.

 Этисистемы определяются как сис.отсчета, в которых выполняются абсолютно строго тризакона Ньютона(в частности первый закон, соглано которому поступательнодвижущееся тело, не подверженное никаким внешним воздействиям, движетсяравномерно и прямолинейно).Такие сис.отсчёта называют инерциальнами.Ихбесконечно много.Всеони движутся друг относительно друга

прямолинейнои равномерно.Одну из этих систем мы можем назвать абсолютной исчитать, что это кака раз та система, которую использует классическая механикаНьютона.

  С другой стороны, может быть и на самом деле в природе существует одна.действительно абсолютная физ. сис.отсчета, скажем, связанная скосмическим просранством, простирающимя между Солнцем и Землёй и другими планетами.

 Инерциальная сис.отсчёта является идеализацией, абстракцией,так каклюбая конкретная сис.отсчёта всегда, строго говоря, не инерциальна.Вмесе с тем эоочень полезная абстракция, так как всегда можно указать (и использовать вэкспериментах) сис.отсчёта, сколь угодно близкую к инерциальной.Например, длябольшинства механческих экспериментов, проводимых в лаборатории такойприближённо инерциальной системой является сама лабораторная сис.отсчёта, хотяона и участвует во вращательном движении Земли(в частности чтобы убедиться в еёнеинерциальности, в ней можно произвести известный опыт Фуко с маятнком, плоскостькачания которого едленно поворачивается).

 Намног более инерциальна не так называемая “геоцентрическая”, а рассматриваемаяв небесной механике “гелиоцентрическая”система, центр которой помещён в центрмасс Солнечной системы и оси которой направлены на три неподвижные звезды.Этагелиоцентрическая система, однако, тоже, строго говоря,

неинерциальна, так как Солнце с планетами совершает вращательное движениеотносительно ядра нашей галактики-”Млечног пути”.

    Эксперименты, вообще, не могут указать ни одной по-настоящему инерциальнойсис.отсчёта.

 Однако это не важно, так как ма всегда можем найти достаточно инерциальнуюсистему для наших конкретных целей и представить себе абстрактно  дажецелый класс инерциальных сис.отсчёта, движущихся относительно друг другапоступательно с постоянными скоростями.

17Это-полезная абстракция.Из того что в природе нет идеальныхгеометрических прямых линий или идеальных геометрических плоскостей, вовсе неследует, чо абстракции бесконечной прямой линии и бесконечной плоскости неявляются полезными; они даже очень полезны для нас.

  Таким образом, говоря об относительном характре ддвижения, нельзя встатьна наивную точку зрения-считать, что все сис.отсчёта равноправны,что”всёна свете относительно”.

 И тем не менее на такую точку зрения, к сожалению часто встают.

Так, с появлением теории относительности в XX в. некоторые её не очень образованныеадепты стали утверждать, что бессмыслен был спор Коперника

сГалилея с католической церковью (а фактически с Аристотелем и Птолемеем)

отом, вращается ли Земля вокруг Солнца или Солнце вокруг Земли.

/>     Чтобы объяснить идею абсолютного характерадвижения, Ньютон в “Принципах”

(1687г.) приводит описание знаменитого эксперимента с подвешенным ведром (“ведёркоНьютона”).Возьмём ведро, или бадью, и подвесим его на верёвке к потолку, закрутимверёвку и ведро, чтобы верёвка стала совсем тугой, а потом отпустим ведро.Ведропридёт тогда через некоторое время в равномерное вращение, при этом свободнаяповерхность воды примет форму параболоида вращения(“параболическиймениск”).

18Вода относительно нас будет вращаться, т.е. будет происходить движение водыотносительно лабораторной системы отсчёта.Представим теперь себе, что мы всталина боьшую вращающуюся платформу, расположимся точно на её оси и будем рассматрииватьсвободно подвешенное ведро на незакрученной верёвке, идущей точно вдоль осиплатформы.Вода в ведре относительно нас вращается.Тепрь, однако, свободнаяповерхность воды будет горизонтальной.

    Две рассмотренные системы отсчёта, таким образом,неравномерны, хотяотносительное движение нас и ведра одинаково в обеих системах.

       4.3.Неирциальныесистемы отсчёта и силы инерции

   Механика Ньютона справедлива в инерциальных системах отсчёта.

Вкачестве такой системы с достаточным приближеием можно взять стены лаборатории-лабораторнуюсистему отсчёта.

    В некоторых случаях, однако, удобно, и даже очень удобно, изучать движениетела, системы тел, малых частей тела в неинерциальной  сис.отсчёта.Иногдаэто даже обязательно нужно сделать, так как используемая инерциальнаясис.отсчёта всегда в какой-то мере неирциальна и это порою необходимоучитывать.

   Можно привеси примеры механических движений в падающем, оторвавшимся лифте, навращающейся платформе на карусели, в купе железнодорожного вагона, движущегося сускорением или замедлением, в кабине космического корабля при выводе его наорбиту или кувыркающегося в пространстве и т.д. Все такие движения приходитьсярассматривать в существенно неинерциальных сис.отсчёта.

   В этих существенно неинерциальных системах уравнения механикиневерны, т.е. неправильно и уравнене второго закона Ньютона:/> где F — сумма реальныхфизических сил, действующих на тело со стороны других физических тел.

   В случаях, когда всё-таки удобно или необходимо рассматривать механическуюсистему в неинерциальной сис.отсчёта, нужно поэтому иметь какое-то исходное

основноемеханическое уравнение вместо уравненя второго закона Ньютона.

    Такое уравнение можно, разумеется, получить специальным математическим персчётомиз уравнения второго закона Ньютона, составленного для какой-нибудь инерциальнойсистемы отсчёта, в данную удобную неинерциальную систему.

Результатыпересчета представляют, однако, снова в форме уравнения второго законаНьютона,  который теперь  записывается  следующим образом: />/>,где Fин. обозначают возникающие при пересчете дополнительныематематические члены ,  которые называют силами инерции. Это название,однако, не должно вводить нас в заблуждение: силы инерции никоим образом не являются настоящими физическими силами,  так как нельзя указать никакогореального тела, или тел, действиями которых обусловлены указанные«мифические» силы.  Они целиком определяются механическими свойствамирассматриваемой  конкретной  неинерциальной  системы отсчета, характером еедвижения.

/>

    Следует хорошо усвоить,  что силы инерции действительно мифические, так как онине связаны ни с какими физическими взаимодействиями реальных физических тел.

Ксилам инерции относятся,  в частности,  так называемые центробежные силы исилы Кориолиса.

    Пример 1.  Определим силу F, стремящуюся растянуть, а потом иразорвать круговой обруч радиуса R массы M ,  равномерновращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью w .

/>

Рассмотрениепроведем в неинерциальной системе отсчета,  вращающейся вместе с обручем сугловой скоростью w, в которой обруч покоится. В этой системе любаямалая часть обруча тоже покоится. Рассмотрим бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом da. Кроме реальныхфизических сил, действующих на этот элемент обруча (к которым относятся силы F, действующие со

/>

стороныпримыкающих к обоим концам элемента остальных частей обруча и стремящиеся растянуть этот элемент обруча),  надо рассмотреть теперь также и мифическуюцентробежную силу Fцб. ,  действующую на элемент нашегообруча.  При этом, согласно закону центробежной силы, на бесконечно малыйэлемент обруча, стягиваемый центральным углом da, действует сила

/>,

гдеk — масса в расчете на  единицу  длины  обруча,  или  линейнаяплотность массы, т.е.  k=M/2pR .

/>

Сумматрех векторов сил,  действующих на рассматриваемый  бесконечно малый элемент,должна равняться нулю, так как этот элемент обруча в рассматриваемойнеинерциальной системе отсчета покоится. Другими словами,

/> или />

 иокончательно получаем  />

/>

Пример2. Найти угол наклона к горизонталисвободной поверхности жидкости, налитой в сосуд прямоугольной формы, скатывающийся с наклонной плоскости, имеющей угол наклона к горизонту a .

Рассмотрениеснова  удобно вести в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной ссосудом с жидкостью, в которой жидкость покоится. Эта неинерциальнаясистема равномерно ускоренно движется вниз вдоль наклонной  плоскости сускорением a=g sin a.

Такимобразом,  на каждую малуюжидкую частицу массы m в этой инер циальнойсистеме  действует  не только сила тяжести F=mg, направленнаявертикально вниз,  но и сила инерции Fин.=ma,направленная в противоположную сторону движения,  т.е.  вверх вдоль наклоннойплоскости.

Жидкостьв  прямоугольном  сосуде  как бы находится в однородном поле новых силтяжести,  имеющих ускорение g’ ,  которое составляет некоторый угол  b  с вертикалью.  Следовательно,  свободная поверхность жидкости вскатывающемся сосуде,  перпендикулярная направлению нового ускорения  g’ ,будет составлять такой же угол b сгоризонтальной плоскостью. Найдем угол b. Имеемкосоугольный треугольник

Применимк нему теорему синусов />, />,

sinb(1-sin2a)=cos b sin a cos a,   sin b cos a =cos b sin a,  tg b=tg a.

Следовательно,искомый угол b  равен углу a,  т.е. свободная по верхность жидкости в скатывающемся по наклонной плоскости сосудебудет параллельна наклонной плоскости.

4.4.Астрономические и земные измерения скорости света

Впервыескорость света была измерена в конце XVII в.  в 1675  г. датским астрономомО.Ремером (1644-1710), который смог найти ее значение из наблюдений заспутниками Юпитера -  четырьмя  «медичейскими звездами», открытымиГалилеем в 1610 г. В настоящее время открыто 11 спутников Юпитера.

/>

Периодыобращений  этих  спутников порядка нескольких дней; они малы по сравнению спериодом обращения Юпитера (12 лет) и  Земли  (1 год) вокруг Солнца. Ремернаблюдал за первым спутников Юпитера с периодом обращения 42 час 28 мин. Онзаметил,  что когда Земля двигалась по своей орбите, удаляясь от Юпитера,период обращения спутника становился длиннее. Когда Земля, наоборот,приближалась к Юпитеру, период обращения спутника становился короче. Ремер из этих наблюдений сделал правильный вывод, — что разность максимальногои минимального периодов обращений спутника равна времени, необходимогосвету для прохождения расстояния равного диаметру земной орбиты.

ОрбитаЮпитера,  как и других  планет,  лежит  приблизительно  в плоскости орбитыЗемли — в плоскости эклиптики; все планеты вращаются в одну сторону.

Нарисунке L обозначает расстояние между  Землей  и  спутником Юпитера втот момент,  когда он входит в тень Юпитера. Момент затмения наблюдается наЗемле с запаздыванием,  равным  Dt=L/c, где c — скорость распространения света вмежзвездной среде — эфире. Очевидно время запаздывания минимально илимаксимально,  когда расстояние между Юпитером и Землей,  соответственно,минимально или максимально.

Рассмотримсначала наблюдаемый с Земли интервал времени T между двумя последовательнымизатмениями спутника,  т.е. период обращения спутника вокруг Юпитера.  Обозначимчерез T0 истинный  интервал времени между двумяпоследовательными затмениями, или истинный период обращения спутника вокругЮпитера.

Рассмотрим,например,  для  определенности  случай,  когда Земля движется по направлению кЮпитеру со скоростью v.  Тогда  первое затмение спутника  мы зафиксируем на Земле с запаздыванием,  равным  l/c, где l — расстояние от Земли до Юпитера в момент первого затмения, c — скоростьсвета. Второе затмение спутника мы зафиксируем на Земле немного с другимзапаздыванием, равным (l-Dl)/c, где Dl — расстояние, пройденное Землей к Юпитеру за время T0, прошедшее между двумя последовательными затмениями. Таким образом, отличиенаблюдаемого  периода T между двумя затмениями и истинного периода T-0между ними равно />;    но очевидно />, а потому  />, т.е. наблюдаемый с Землипериод обращения T оказывается меньше истинного периода T0.

Еслитеперь Земля удаляется от Юпитера со скоростью v, то отличиенаблюдаемого периода T обращение спутника от истинного периода T0будет равно />,     т.е. наблюдаемый сЗемли  период  обращения  спутника T окажется больше истинногопериода T0.

    Предположим теперь,  что мы будем  наблюдать  затмения  спутника Юпитера втечение полугода,  когда Земля перемещается из точки A в точку C.

Еслинаблюдать два последовательных затмения с Земли, находящейся в некоторойпромежуточной точке M на своей орбите, то очевидно  />  где f — угол ASM, который равен f=2pt/T3, где t — время, протекающее с момента,  когда Земля находилась  в точке  A своей орбиты, T3 — период обращения Земливокруг своей орбиты. В течение полугода,  когда Земля перемещается вдоль пути ABC,изменение периода варьируется от DT=0  в точке A до максимального значения DT=T0v/c в точке B  и  вновь  до  значения DT=0   вточке C .

Возьмемсумму изменений периода DT за полгода:                           />гдеk-номер наблюдаемого  периода.

/>

/>

Очевидносумму />можнорассматривать как интегральную сумму для следующего интеграла/>
так как tk=kT0, Dtk=T0.Вычисляя приведенный интеграл, находим />Следовательно приходим к формуле
/>т.е.сумма изменений наблюдаемых с Земли периодов обращения спутника за полгодаравна времени, которое требуется свету для прохождения диаметра земной орбиты.Если в первую половину года, когда Земля двигалась по пути ABC, т.е. удаляясьот Юпитера, наблюдаемые с Земли периоды Tk обращения спутника были  больше истинного периода T0, то во вторую половину года,когда Земля будет двигаться по пути CDA, т.е. приближаясь к Юпитеру,наблюдаемые периоды Tk  обращения спутника будут меньше истинногопериода T0  причем для второй половины года/>

Такимобразом, истинное значение периода T0 обращенияспутника вокруг Юпитера можно определить,составив сумму наблюдаемых периодов TК обращения спутника за год иразделив её на полное число Nнаблюдаемых за год периодов:/>Сам Ремер получил заниженное значение скорости света,равное приблизительно с=214000км/с, при этом его ошибка в основном объясняласьнеточным знанием значения диаметра земной орбиты. Фактически Ремер привел незначение для скорости света, а значение для времени требующемуся для свету напрохождение расстояния от Солнца до Земли, которое он считал равным 11 мин=660сек (на самом деле это время равно примерно 8 мин 20 сек=500 сек). Позднее,уже в 18 и 19 веках Деламбр (1790 г.)дал значение времени 493,2 сек. и Глазенап(1874 г.) — значение  500,8сек. Сэмпсон в 1909 г.приводит значение 498,79/>0,02 сек. Неровности поверхностиЮпитера ведут к неизбежным ошибкам времени наблюдений затмений спутника.

Следующее,тоже астрономическое измерение скорости света было произведено английскимастрономом Дж.Д.Брэдли (1692-1762). В 1728 г. он нашел правильное объяснениеувиденного им необычного явления в движении звезд, которое было названо вскореаберацией.

Однойиз важнейших задач наблюдательной астрономии последних десятилетий XVII в. и первых десятилетий XVIII в. было обнаружение параллаксов звёзд, необходимостьнаблюдений которых непосредственно вытекала из коперниковой системы мироздания,а их отсутствие служило существенным доводом против этой системы; здесь речь идет, конечно, не о суточных, а о такназываемых годичных параллаксах (“суточный” — это угол, под которым виден радиус Земли снебесного тела; “годичный” — это угол, под которым виден с небесного тела радиусорбиты Земли вокруг Солнца). Брэдли как раз и стремился обнаружить эти такназываемые “годичные параллаксы”,то есть углы растворов конусов, отбрасываемых на небесную сферу линиямивизирования, направленными на звезду с различных точек земной орбиты. Однаковместо параллаксов (которые вследствие их чрезвычайной малости из-за огромнойудаленности звезд от Земли впервые были измерены только в конце XIX в. Бесселем, то есть через 100 лет после Брэдли ),Брэдли открыл не параллакс, а аберрацию.

Нарисунке показано, как образуются звездой круговые траектории на небесной сфередля звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики. На левом рисункепроиллюстрировано явление годичного параллакса, на правом — явление аберрации.Видим, что положения звезды на круге при параллаксе и при аберрации дляфиксированного положения Земли на орбите разные; они различаются поворотом на 900.

/>

Брэдлинаблюдал за ежесуточными проходами через меридиан звезды g в голове созвездия Дракона, находящейся вблизи полюсаэклиптик. Начав наблюдения в декабре 1725 г., Брэдли заметил, что эта звездавсё более отклонялась к югу. Её смещение достигло 20`` к началу марта. Затем звезда на несколько днейостановилась, а затем стала снова двигаться, но теперь в обратную сторону — ксеверу. К июню звезда заняла свое прежнее положение, какое у неё было вдекабре, прошла его и в течение второго полугодия проделала точно такой же путьна север и обратно. Это движение звезды нельзя было объяснить как результатпараллакса (если бы это было годовое параллактическое движение, то движениезвезды к югу должно начаться не в декабре, а в марте, а движение её к северу нев июне, — а в сентябре) и Брэдли догадался, что наблюдаемый им эффект обязанконечности скорости распространения света и годичному движению Земли по своейорбите.

Брэдлипишет: “Наконец ядогадался, что если свет распространяется во времени, то кажущееся положениенеподвижного предмета, когда глаз находится в покое, будет иное, чем когда глаздвижется в направлении, уклоняющемся от линии, соединяющей предмет с глазом, ичто когда глаз движется в различных направлениях, то и кажущееся положениеобъекта будет различным”.

ОбъяснениеБрэдли эффекта аберрации было следующее.

Пустьпрямая CA — путь луча света, идущего от источника C, по которому движется световая корпускула. Пусть глазнаблюдателя движется вдоль прямой BA со скоростью v,которая относится к скорости света c, как BA относится к CA. Корпускула света, которая обеспечивает видение глазом источника C в точке A, должна была быть испущена источником C в тот момент, когда глаз находился в точке B.

Трубутелескопа, которую Брэдли мысленно представил себе движущейся параллельно самойсебе вдоль прямой BA надонаправить вдоль прямой BC,чтобы получить свет от источника C.Трубу телескопа, Брэдли взял такого диаметра, чтобы она пропускала только однусветовую корпускулу. Угол BCA = a характеризует уголнаклона линии визирования на источник к линии, вдоль которой движется глаз.Очевидно sin a = (v/c)sinj, при j = 900, то есть для звезды в полюсеэклиптики, имеем sin a = v/c; при j = 00, то есть для звезды на эклиптике,имеем sin a = 0.

Скоростьv — это скорость движения Земли на орбите. Она Брэдлибыла известна, так как радиус земной орбиты был уже к тому времени давно точноизмерен. Зная длину пути, пройденного Землей за год, можно было вычислить, что v = 30 км/с. Зная эту скорость и угол аберрации a, по приведенной формуле можно было легко рассчитатьскорость света c. Создавтеорию для g Дракона, Брэдли перешел к её подтверждению путемнаблюдений за другими звездами. В 1726-28 гг. он наблюдал аберрацию ещё для 7звёзд вблизи полюса эклиптики и для всех них полная амплитуда углового смещенияна небе составила величину 40``-41`` (среднее40``,4). Таким образом, угол аберрации a оказался равным 20``,2.Этот угол даёт значение скорости света 301000 км/с, но Брэдли на самом деле приводит не это значение, а значение длявремени распространения света от Солнца до Земли, которое он считал равным 8мин 12 сек.

Брэдлиобъяснил открытую им в 1728 г. аберрацию неподвижных звёзд на основекорпускулярной теории света. В 1804 г. Юнг показал, однако что аберрацию можнообъяснить и на основе волновой теории света. При этом Юнг сделал следующеепредположение. Земля и все тела на Земле пронизаны, пропитаны эфиром, но придвижении Земли и тел на её поверхности они не могут этот эфир увлечь за собойили сколь-либо существенным образом его возмутить. Поэтому возникает “эфирный ветер”,пронизывающий все тела на движущейся Земле. Тела не способны задерживать эфир,как “неспособны удерживать ветер кроны деревьев”, как писал Юнг.

Такимобразом, световые волны, идущие от звезды, не будут принимать участия вдвижении телескопа, и если считать что телескоп направлен на истинное положениезвезды, а Земля, для простоты, пусть движется перпендикулярно направлению назвезду, то изображение звезды будет смещено от центрального перекрестья вфокусе на расстояние, равное тому, которое пройдет Земля за время, пока светбудет идти через трубу телескопа.

/>

Нарисунке MN = ct, KN = vt, где t — время, требующееся свету, чтобы пройти через трубу телескопа. Такимобразом, угол аберрации/>

Здесьрассматривается для простоты случай, когда направление движения Землисоставляет точно прямой угол с направлением на звезду.

Вземных условиях скорость света сумели измерить только в середине XIX в. Это сделали Физо (1849 г.) и Фуко (1865 г.) двумяразличными методами (с использованием быстро вращающегося зубчатого колеса и сиспользованием быстро вращающегося многогранного зеркала), при этом былоподтверждено значение скорости света c = 300000 км/с, полученное астрономическим методом.

4.5.  Теория Френеля частичногоувлечения эфира движущимся телом и его теория аберрации. Опыты Араго и Физо.

Аберрационнойконстантой называется отношение v/c, скорости v Земли на орбите (v=30км/с) к скорости c света впустоте (c=300000км/с).Она очень мала: />

Вопросо том, преломляются ли по-разному стеклянной призмой лучи, идущие от звезды иот земного источника, был поставлен в первой четверти XIX в. Араго. Рассуждения его были следующие. Так какЗемля движется в неподвижном эфире со скоростью v, то скорость света, идущего от звезды, в стеклепризмы при приближении к звезде будет cv, а при удалении от звезды (через полгода) будет c+v. Таким образом, показательпреломления nпризмы, через которую наблюдается звезда, для светазвезды должен в течение года периодически изменяться от значения n( cv) до значения n( c+v), а потому луч от звезды должен периодическиотклоняться от своего начального положения и по прошествии года долженвозвращаться в свое начальное положение.

Арагов 1810 г. произвёл такой эксперимент со стеклянной призмой, направленной наопределенную звезду. Он наблюдал преломление луча света звезды в призме, когдаЗемля двигалась к звезде (через полгода), когда Земля удалялась от звезды.Араго ожидал получить угловое смещение 2`.Но получил отрицательный результат — никакого смещения не было. Так он пришёл кзаключению, что преломление в движущейся призме идентично преломлению впокоящейся призме.

Получивтакой результат, Араго обратился к Френелю с просьбой объяснить его. В письме кАраго от 1818 г., опубликованном во французском научном журнале в том же 1818г., Френель не только нашел объяснение отрицательного результата опыта Араго,но и сделал принципиально новый шаг в теории аберрации. Фактически с этогописьма Френеля начинается вся оптика движущихся сред. Френель поставил болееширокий вопрос — как влияет движение Земли на оптические явления на Земле?Аберрация, таким образом, у Френеля перестала быть изолированнымастрономическим оптическим явлением, требующим для своего объяснения особыхрассуждений.

Френельсразу отказался от объяснения опыта Араго тем, что эфир полностью увлекаетсяЗемлёй, так как тогда, как пишет Френель, невозможно объяснить явлениеаберрации, ибо её объяснение он видел, следуя Юнгу, в том, что эфир неувлекается движущейся Землёй.

     Вотличие от Юнга Френель, однако, предположил, что Земля сообщает пропитывающемуи окружающему её эфиру очень малую часть своей скорости (очень “пористая” Земля“частично” увлекает эфир). С помощью этого предположения Френель объяснилудовлетворительным образом не только аберрацию звёзд, но также и опыт Араго ивсе другие оптические явления, связанные с движением Земли.

     Френельпринял фактически две следующие гипотезы:

     1)Различие скоростей света в стекле призмы и в окружающем её неподвижном эфирепроисходит исключительно из-за различия плотности эфира /> , пронизывающего телопризмы, и плотности эфира />,находящегося вне призмы, так что/>где />-показатель преломлениястекла призмы. Упругость эфира вне призмы и внутри неё Френель посчиталодинаковой. Таким образом, он пришёл к соотношению/>

     2)Далее Френель посчитал, что движущаяся в неподвижном эфире призма увлекает ссобой не весь эфир, её пропитывающий, а только его часть, которая является избыткомплотности эфира над плотностью эфира в пустом пространстве, т.е. плотностьэфира, переносимого призмой равна/>

     Френельпредположил, что когда движется только часть такой комбинированнойсреды, а другая её часть покоится, скорость /> волныв среде, распространяющейся в направлении движения среды, увеличиваетсяна скорость движения центра масс комбинированной системы, составленнойиз покоящейся и движущейся частей среды, т.е. в нашем случае увеличивается навеличину />таким образом, имеем формулуувеличения:/>Коэффициент/>в этой формуле называется“коэффициентом увеличения”.

     Здесь/>-это скорость движенияэфира, заключённого в объёме движущегося со скоростью /> тела; скорость эфира в теле />, как было бы, если бы эфирсовсем не увлекался движущимся, и скорость эфира в теле />, как было бы, если бы эфир полностью увлекался движущимся телом.

     Френельубедился в справедливости своей формулы в частных предельных случаях. Этаформула очевидно верна, когда плотность увлекаемой части эфира равна нулю, — тогда />, так как по формуле/>

        Формула очевидно также верна и тогда, когда весь эфир увлекается; тогда />, так как по формуле/>

     Фактически,как мы видим, Френель попросту угадал свою формулу увлечения, предположивпростую экстраполяционную линейную зависимость для увеличения скорости />  волны в среде от степени увлечения среды.

     Стоксв 1846 г. вывел формулу увлечения Френеля из следующей физически разумноймодели. Он предположил, что при движении прозрачного тела через неподвижныйэфир, входящий в тело эфир, при проходе через переднюю границу движущегосятела, скачком увеличивает свою плотность от плотности />  в пустом пространстве до плотности />  внутри тела, причём в системе отсчёта, в которой телопокоится, на переднюю границу тела, которая считается для простотыплоской, в единицу времени на единицу площади натекает масса эфира />  , а вытекает из неё масса эфира />, где /> -относительная скорость движения эфира относительнотела (если /> -абсолютная скорость движения тела, /> -абсолютная скорость движения эфира, заключённого втеле, то />

/>

     Таккак эфир на рассматриваемой границе тела не накапливается и не исчезает стечением времени, то/>а следовательно,/>

/>

     Возвратимсяк рассуждению Френеля. Следуя Френелю, рассмотрим теперь стеклянную призму />  на поверхности Земли с прямым углом при вершине />  и углом />  при вершине  />.Пусть эта призма движется вместе с Землёй в неподвижном эфире с постояннойскоростью />  в направлении слева направо. Пусть на её грань />  нормально падает плоская световая волна сфронтом />, идущая от далёкой звезды,расположенной на горизонте. На передней грани />  призмы, входя в стекло, волна не преломляется, таккак падает на эту грань нормально. Она преломляется при выходе из стекла назадней грани />  призмы.

     Нарисунке изображено два положения призмы />  и />  в два разных момента времени, скажем, в нулевоймомент времени и в момент времени />  за которое фронт волны как раз продвинулся изположения />  в положение />,изображенное на рисунке.

     Обозначимчерез /> - скорость световой волны в неподвижном эфире ичерез /> - скорость световой волны в неподвижной призме.Тогда, согласно волновой теории света, показатель преломления стекла призмыравен/>

/>

Согласногипотезе Френеля о частичном увлечении эфира, скорость света в движущейсяпризме равна />

     Найдемзначение угла />, на которыйотклоняется фронт (или луч) света от звезды, проходя через движущуюся призму />.

     Рассматриваяпрямоугольные />  и />  с общей гипотенузой />,для отрезков />  и />  получаем очевидные соотношения:/>/>Таким образом,/>

     Вычислимтеперь отрезки />  и />  по-другому. Очевидно из рисунка, что имеем следующиепростые соотношения:/>/>/>Из приведённого чертежа имеем, кроме того, такжеследующие соотношения:/>/> где /> - угол поворота фронта волны после прохождения егочерез призму. Таким образом,/>Учтёмтеперь, что/>и что при малых />  имеем приближённое равенство/>при этом, считая отношение />  малым, мы заменили угол />,на угол />, его значение при />. Учтём, кроме того, что прималой разности />  имеем приближённое равенство/>          Приходим, такимобразом, к следующему приближённому уравнению для определения угла />:/>При/>  и />  очевидно отсюда имеем соотношение/>справедливое для неподвижнойпризмы, которое позволяет сократить в вышеприведённом уравнении члены нулевогопорядка в обеих частях приведённого равенства. Тогда окончательно придём куравнению/>Преобразуем выражение,стоящее в правой части. Очевидно, что/>/>/>Такимобразом, приходим к уравнению/>котороепозволяет вычислить угол отклонения />  луча от звезды, движущейся со скоростью />, призмой, если известен угол отклонения />  для этого луча покоящейся призмой.

     Вкачестве луча, отклонение которого мы рассмотрим, возьмём луч />, изображённый на рисунке.Как видим, угол преломления />  в движущейся призме всегда несколько меньше углапреломления />  в покоящейся призме.

/>

     Проследимтеперь за дальнейшей судьбой луча />  после выхода его из призмы. Этот луч света, вышедшийиз призмы, движущейся вместе с Землёй, из-за движения Земли, попадёт на экране,тоже движущемся, как и призма, со скоростью />,не в точку />, а в точку />, которая определяется изусловия, что за время, пока свет распространится от точки />  до точки />,двигаясь со скоростью />, точка />  попадёт в точку />,двигаясь со скоростью />.            Такимобразом, если /> -время распространения света от точки />  до точки />, то />

Рассмотримтеперь косоугольный />C1KN иприменим к нему теорему синусов. Получим соотношение:

/>

следовательно:

/>

Учитывая,что />, получаем:

/>.

Каквидим, для определения угла /> получилив точности такое же уравнение, как и уравнение для определения />. Сл-но мы должны заключить,что />.

Итак,мы рассчитали положение точки Kнаэкране, в которую падает луч света от звезды, учитывая и эффектчастичного увлечения эфира движущейся призмой и эффект аберрации. Обаэти эффекта в точности скомпенсировали друг друга, т.к., как этонепосредственно видно из чертежа, в точку K наш луч отзвезды попадет и в том случае, когда призма и экран покоятся. Действительно,отрезок C1K перпендикулярен “мнимому” фронту волны, отклоняющемусяв призме на угол />.

Видим,что движение Земли в первом порядке по константе аберрации />не оказывает никакоговлияния на преломление света от звезды.

 

Френельиз своей формулы частичного увлечения эфира вывел еще одно интересноеследствие. Если трубу телескопа наполнить водой, то наличие воды в телескопеникак не будет влиять на величину  аберрации.

Произвестиизмерение угла  аберрации с помощью телескопа, труба которого наполнена водой,предложил Бошкович (1711-1787), горячий сторонник идей Ньютона и их неустанныйпроповедник в Италии. Такой опыт был произведен, однако, только в 1871 г.Эйри(1801-1892). Опыт подтвердил, в согласии с теорией Френеля, что уголаберрации для наполненной трубы остается таким же, как и для пустой.

Каксвидетельствует Майкельсон, “внимание физиков впервые было обращено на влияниедействия среды на скорость света в связи с опытом Эйри”.

Изложимтеперь, следуя Лоренцу, рассуждение Френеля, объясняющее, почему заполнениетрубы телескопа водой не изменяет значения угла аберрации.

Телескопдля простоты заменим примитивным оптическим прибором без линз, позволяющим, темне менее, определить направление на звезду. Этот прибор пусть состоит из экранаab с отверстием AB и расположенного за нимпараллельно экрана ef. По взаимному расположению светлого пятна EFна экране ef  и отверстия AB можно судить онаправлении на звезду.

/>

Обаэтих экрана, разумеется, неподвижны относительно друг друга. Пусть приборнаходится на Земле, движущейся с постоянной скоростью />, скажем, в направлениислева направо.

Френельпредполагает, что эфир неподвижен в межпланетном пространстве и что Земля иприбор никак не увлекают его своим движением. Это значит, что в системе отсчета,жестко связанной с Землей и прибором, эфир натекает на прибор однороднымсплошным потоком с постоянной скоростью /> справаналево и сносит своим движением любое имеющееся в нем световое возмущение.

Ограничимсярассмотрением звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики. Свет от такойзвезды представляет собой у поверхности Земли практически неограниченнуюплоскую волну, которая падает перпендикулярно на отверстие AB,вырезающее ограниченно малую часть волнового фронта.

Втечение времени />, покаобразованный отверстием AB фронт ограниченных размеров (изображаемый нарисунке отрезком AB) распространится в эфире по вертикальному направлениювниз и достигнет экрана ef, он будет постоянно сносится движением эфирав горизонтальном направлении, справа налево, так что в конце интервала времени /> фронт AB попадет наместо EF экрана. При этом вырезанный экраном пучок света ABEFокажется наклоненным к вертикальному направлению на некоторый угол />, который и является угломаберрации. При этом />, где /> —  скорость света внеподвижном эфире, />, где /> — скорость движенияЗемли, так что

/>

Отношение/>  очень мало, примерно 10-4.

Обратимвнимание, что кажущееся направление на звезду (которое только инаблюдается с помощью телескопа или описанного примитивного прибора)определяется не направлением волновой нормали, которая перпендикулярнафронту волны и направлена перпендикулярно вниз по прямой />, а направлением луча,т.е. направлением прямой /> ихарактеризует наклон образованного отверстием светового пучка />, по отношению квертикальному направлению.

Лоренцопределяет лучи, как прямые, которые показывают, каким образом световыепучки ограничены  сбоку (дифракцией полностью пренебрегается).

/>

Изменимтеперь немного конструкцию нашего примитивного оптического прибора, используемогодля определения направления на звезду. Возьмем снова два параллельных экрана /> и />, верхний снова с отверстием/>, но теперь заполним нижнюючасть прибора — между плоскостями /> и /> — плоско-параллельным слоемнекоторой прозрачной среды, например, водой, с покзателем преломления /> , где /> — скорость света веподвижном эфире, />— скорость света внеподвижном стекле.  Снова возьмем свет, приходящий на Землю от звезды,расположенной точно в полюсе эклиптики, и снова все рассмотрение будем всистеме отсчета, жастко связанной с Землей и прибором, в которой эфироднороодным сплошным потоком натекает на прибор справа налево со скоростью />.

Изпрактически бесконечного фронта плоской световой волны, приходящей на Землю отрассматриваемой звезды, отверстие /> вырежетмалую часть />. Ограниченное в первыймомент времени краями отверстия световое возмущение />дальше,— между экраном /> и поверхностьюсреды />, — распространяется вэфире, движущемся справа налево однородным сплошным потоком со скоростью />. Поэтому образуетсясветовой пучок />, наклоненный квертикали под очень малым углом аберрации

/>

какмы это объяснили выше.

Определимтеперь наклон  светового пучка /> впрозрачной среде, который образуется из светового пучка />. Если бы движение эфирачерез прозрачную среду отчутствовало, то мы имели бы пучок />, имеющий угол /> наклона  к вертикали,определяемый из закона Снеллиуса:

/>;

считая,что угол />, а следовательно и угол /> очень малы. Таким образом, длядлины отрезка /> имеем выражение

/>

еслипредположить, что /> — толщина слояпрозрачной среды в приборе. Движение эфира через прозрачную среду, однако,происходит. Согласно гипотезе частичного увлечения эфира прозрачным телом, эфирпротекает через плоскопараллельный слой />прозрачнойсреды справа налево горизонтальным непрерывным сплошным потоком, движущемся со скоростью

/>;

онаменьше скорости  /> движения Земли,которую эфир имел бы, если бы он не увлекался прозрачной средой. Вследствие переносногодвижения, фронт волны />,распространяющийся в прозрачной среде вертикально вниз  до экрана /> со скоростью  /> — скоростью света в среде —за время

/>,

припопадании на экран /> будет снесен вгоризонтальном направлении влево на расстояние

/>

Получилидля отрезка />тот же результат, что ивыше, когда делали предположение, что движение эфира отсутствует.

Такимобразом мы должны сделать вывод, что движение рассматриваемого  оптическогоприбора вместе с Землей со скоростью /> сквозьнеподвижный эфир никак не сказывается на ходе лучей в нем; закон преломленияостается таким же. Луч, приходящий от звезды, ведет себя в точности так же, каки луч такого же направления, идущий от земного источника.

4.6. Геометрическая оптика неоднородной прозрачной среды,пронизываемой движущимся через нее эфиром. Теорема Лоренца.

Своюоптико-геометрическую теорию движущихся вместе с Землей оптических приборовЛоренц развил в 1886 г. с целью объяснения следующих трех к тому времени ужетвердо установленных опытных фактов:

1)    существует яалениеастрономической аберрации положенийзвезд, заключающееся в том, что звезды в течение года описывают на небемаленькие эллипсы (переходящие в окружности для звезд, находящихся вблизиполюса эклиптики, и дважды покрытые отрезки для звезд, находящихся вблизиэкватора эклиптики);

2)    свет от любой звезды, фиксируемый на Земле как свет,приходящий по определенному направлению и определенной частоты, будучииспользованным в любых оптических экспериментах — по отражению, по преломлению,по интерференции и т.д.,  ведет себя в точности так же, как и свет от земногоисточника, распространяющийся по тому же направлению и обладающий той жечастотой;

3)    ни в одном оптическом эксперименте, который можнопроизвести с земным источником света, нельзя неблюдать никакого эффекта,связанного со скоростью /> движенияЗемли на ее орбите вокруг Солнца, если ограничиться членами первого порядкамалости по />, где /> — скорость света в пустоте.

Любойкак угодно сложный оптический прибор, содержащий линзы, призмы, щели, диафрагмыи т.д., можно считать кусочно однородной средой (т.е. средой, состоящей изпространственных областей с разными показателями преломления). Будем, однако,следуя Гамильтону, полагать, что имеем дело не с такой специфической кусочно-однородной,а с произвольной оптически неоднородной  средой, оптические свойства которойхарактеризуются заданной функцией локального показателя преломления />, где /> — показатель преломления вточке среды с координатами />.

Средубудем считать твердой, прозрачной, неподвижной и жестко связанной с Землей,движущейся сквозь эфир, покоящийся в мировом пространстве.

Лоренцпроводит рассуждение в декартовой прямоугольной системе координат />, жестко связанной со средойи с Землей. При этом он предполягает, что Землю и прозрачную среду пронизывает“эфирный ветер”, характеризующийся стационарным (не зависящим от времени) полемскоростей />.

Такимобразом Лоренц берет развитую им самим обобщенную формулировку принципаГюйгенса, учитывающую, что эфир движется относительно прозрачной среды, вкоторой мы исследуем распространение световых волн, т.е. что в среде имеется эфирныйветер.

Какпри формулировке обычного принципа Гюйгенса, для непо-

движногоэфира, возьмем два бесконечно близких положения волнового фронта, или фронтаволны, распространяюшейся в покоящейся относительно Земли, но движущейсяотносительно мирового пространства среде, увлекающей с собой частично эфир, вдва бесконечно близких момента времени t и t+dt. Пусть этиположения характеризуются двумя геометрическими поверхностями S и S1,см. рис.

/>

Чтобыисходя из поверхности волнового фронта S построить поверхность волновогофронта S1, надо взять каждую точку P на поверхности Sи мысленно испустить из этой точки в момент времени t т.е. взятьбесконечно малую поверхность около точки P, до которой к моменту времениt+dt это возмущение дошло. Такую поверхность назовем фронтом элементарнойволны. На приведенном рисунке кривая ab изображает часть поверхностифронта элементарной волны, испущенной из точки P, рассматриваемой вмомент времени t+dt.

Согласнопринципу Гюйгенса, поверхность S1, будет геометрической огибающейповерхностью фронтов всех элементарных волн, построенных для всех точек Pповерхности S.

Одновременнос построением положения последующего фронта волны мы узнаем и дальнейшийход всех лучей. Прямой отрезок, проведенный из точки P на поверхности P,являющестя центром испускания элементарной волны, в точку P1,расположенную на поверхности S1 и являющуюся точкойкасания этой элементарной волной огибающей поверхности S, является элементомлуча. Один из элементов луча изображен отрезком PP1 нарисунке.

ТочкиP и P1, принажлежащие соответственно поверхностям Sи S1 и являющиеся началом и концом одного и того жеэлемента луча, называются сопряженными точками.

Припомощи геометрического построения Гюйгенса можно найти послетовательныеположения S, S1,S11,… фронта распространяющейсяволны и последовательные элементы PP1,P1P11,P11P111,…любого луча. Каждый такой луч проходит через ряд сопряженных точек,следующих одна за другой через бесконечно малые расстояния.

/>

Вслучае отсутствия в среде эфирного ветра кажная из рассмотренныхбесконечно малых элементарных волн представляет собой бесконечно малую сферурадиуса c1t, с центром, расположенным в соответствующей точкеP, где c1 — локальная скорость света в точке Pсреды. Для неоднородной среды скорость света является заданной функцией с1=с1(x,y,z)точки среды и поэтому различные элементарные волны будут иметь разные радиусы,см. рис.

Вслучае наличия в среде эфирного ветра элементарные волны тоже являютсябесконечно малыми сферическими поверхностями, но эти поверхности теперьнепрерывно сносятся движением эфира, и поэтому центры их в момент времени t+dtрасполагаются не в точках P испускания волн, а в бесконечно малосдвинутых точках Q, которые находятся на бесконечно малых, прямолинейныхотрезках PR, вдоль точки P эфира перемещаются при его движении заинтервал времени t, t+dt. Отрезок PR имеет длину v·dt, гдеv — скорость эфира в точке P и он направлен вдоль вектораскорости v эфирного ветра в этой точке P. Радиусы сферэлементарных волн, однако, все равно равны c1·dt, как внеподвижной среде, см. рис.

ТочкаQ может находиться и в начале (Q=P), и в конце (Q=R)отрезка PQ, а также может лежать и внутри этого отрезка. СоответственноЛоренц пользуется одной из следующих гипотез.

а)Если Q=P, то эфир не увлекается движущейся средой.

б)Если Q=P, то эфир полностью увлекается движущейся средой.

в)Если PQ=(1/n2)PR, то эфир частично увлекаетсядвижущейся средой; здесь n — локальный показатель преломления для неподвижнойсреды в точке P.

Рассмотримтеперь важный частный случай движения Земли и прозрачной Среды, когда онидвижутся в мировом пространстве поступательно равномерно прямолинейновдоль некоторого направления снекоторой постоянной скоростью v.

Длинаотрезка PQ теперь равна/>причемнаправления отрезков PR и скорости v во всех точках Pбудут одинаковы.

Длячастного случая поступательного равномерного прямолинейного движения Земли иприбора сквозь мировой эфир Лоренц доказал следующую замечательную теорему.

ТеоремаЛоренца. С точностью до членовпервого порядка включительно по отношению скоростей v/c, где v — поступательноравномерного прямолинейного движения оптического прибора через неподвижныйэфир, с — скорость света в пустоте, геометрический ход лучей в оптическомприборе не зависит от движения среды.

/>

Приступимк доказательству сформулированной теоремы. Рассмотрим ход лучей в прибореотносительно декартовых прямоугольных осей координат Oxyz, жестко связанных сним. Прибор движется равномерно прямолинейно поступательно с постояннойскоростью v через неподвижный эфир.

Обратмсяеще раз к рассмотренному выше рисунку. Обозначим ÐP1PQ между направление светового луча, исходящего из точкиP, и направлением движения среды — через q, см. рис.

Нарисунке полупрямая QP направлена вдель направления эфирного ветра.Согласно теореме косинусов, примененной к DP1PQ, имеем следующее соотношение/>. Отрезок P1Q,согласно лоренцеву принципу Гюйгенса, равен c1·dt, где c1 — локальная скорость света в точке P. Отрезок PQ, согласно томуже принципу, равен k·v·dt, где k=1/n2, n — локальный показатель преломления в точке P, v — скорость эфирноговетра. Отрезок PP1 равен с1дв·dt, где с1дв — локальная скорость света в точке P для Среды с эфирным ветром. Такимобразом, приведенное соотношение можно представить в седующем виде:

/>илив виде квадратного уравнения />изкоторого можно определить скорость с1дв. Решая этоквадратное уравнение получим/>очевидноперед корнем надо взять знак плюс, иначе получили бы отрицательное значение дляскорости с1дв. Считая скорость v движения среды черезнеподвижный эфир или, что то же самое, скорость эфирного ветра малой посравнению со скоростью света с и разлагая корень в ряд по малости v2,имеем/>Следовательно, с точностьюдо членов третьего порядка малости по v/c получаем приближенную формулу/>. Из этой формулы сразувыведем еще одну приближенную формулу, которая нам понадобится в дальнейшем: />или />справедливо с точностью лочленов порядка малости v3/c31.

Определив,с помощью лоренцева обобщенного принципа Гюйгенса, скорость с1двраспространения света по лучу для поступательно равномерно прямолинейнодвижущейся прозрачной среды, воспользуемся теперь принципом Ферма дляопределения хода лучей в оптическом приборе, жестко связанном с движущейсяЗемлей и перемещающимся вместе с ней. Согласно принципу Ферма, для истинногопути L светового луча, выходящего из какой-то фиксированной точки А иприходящего в другую фиксированную точку В, криволинейный интеграл />представляющий собой времяраспространения света по лучу, должен принять минимальное значение.Здесь ds — длина элемента дуги кривой ALB.

Пренебрегаячленами второго порядка малости v2/c21в выше вриведенной формуле для 1/ с1дв, получаемследующую простую формулу для времени t для любого мысленновоображаемого  пути ALB: />

Множительv мы вынесли из-под знака интеграла, так как скорость движения среды — постоянна. Учтем далее, что показатель преломления Среды определяется формулой />из которой сразу получаем с1n=c,где с — скорость света в пустоте, — некоторая универсальная константа. Таки мобразом, множитель />имеет постоянноезначение, и его тоже можно вынести из-под знака интеграла. Так приходим кформуле для времени распространения света по лучу ALB />Легко видеть, что второйинтеграл не зависит от формы пути ALB, так как он равем длине проекциипрямолинейного отрезка АВ на направление эфирного ветра в нашей прозрачнойсреде. Первый интеграл не зависит от скорости движения среды, так как с1 — это линейная скорость света в неподвижной среде.

Приотыскании минимума времени t для различных путейALB, соединяющих фиксированные точки А и В, второй интеграл, независящий от формы пути ALB, можно поэтому игнорировать. А так какпервый интергал не зависит от скорости движения нашей среды, т.е. оптическогоприбора, то мы видим, что форма пути истинного луча между точками А и В вдвижущемся оптическом приборе будет в точности токой же, как и в покоящемсяприборе.

Темсамым теорема Лоренца доказана.

4.7.Теория абберации Стокса.

В1845 г. Стокс опубликовал знаменитую работу “Об абберации света”, в которойизложил свою теорию абберации. В момент написания этой работы Стокс не знал ещеработы Френеля 1818 г. по теории абберации, о чем свидетельствует отсутствиессылок на работу Френеля в его работе 1845 г. и его статья, появившаяся черезнесколько месяцев, уже в 1846 г., в которой Стокс подробно излагает по-своемутеорию Френеля, называет ее “замечательной” и дает ей инетерсное дальнейшееразвитие. Однако здесь же, в этой статье 1846г. Стокс отмечает, что теперь “мыстолкнулись с любопытным случаем существования двух совершенно различныхтеорий, одинаково хорошо объясняющих явление”. И здесь же говорит о том, что неможет проверить “без хорошего доказательства”, что эфир может свободнопроходить через твердую массу Земли.

Вработе 1845 г. Стокс пишет упоминает только об известном элементарномобъяснении абберации с помощью корпускулярной теории

света,говорили о больших успехах волновой теории света, которая “просто и красивообъяснила многие сложные явления”, об отсутствии объяснения  аберрации в рамкахволновой теории.

Приступимк изложению содержания работы Стокса 1845 г. Однако несколько формализуемрассуждения Стокса, для лучшего понимания их сути.

Стокспредполагает, что Земля, двигаясь с постоянной скоростью в межпланетномпространстве переносит какую-то часть эфира с собой, вследствие того, что эфирвблизи её поверхности покоится относительно её поверхности, как бы “прилипает”к ней, причём скорость эфира нарастает при удалении от поверхности Земли, покана не очень большом расстоянии, она не станет равной скорости эфира,покоящегося в межпланетном пространстве, относительно Земли. Таким образом,можно предположить, что в системе отсчёта, жёстко связанной с Землёй, эфирнатекает на Землю стационарным сплошным потоком, обтекая её со всехсторон, с некоторым полем скоростей />,  независящим от времени t.

Предположим,что положение фронта световой волны, распространяющейся в стационарнодвижущемся эфире, в момент времени t, даётся уравнением вида />составим дифференциальноеуравнение,  которое позволило бы определить последовательные положения фронтасветовой волны в различные моменты времени, т.е. определить эволюцию волновогофронта. Для этого надо найти функцию ¦.

Возмущениеэфира, каковым является световая волна,  в случае покоящегося эфираперемещается за интервал времени t, t+dt  из точки x,y,z  в точкус координатами />где с — скоростьсвета в покоящемся эфире и где /> считаем,что возмущение распространяется по нормали к поверхности ¦=0, взятой в точке x,y,z. Возмущение в движущемся эфире, сзаданным полем скоростей, по определению  Стокса, за интервал времени t,t+dt  из точки x,y,z перемещается в точку с координатами /> т.е. Стокс считает, чтораспространяющееся в эфире возмущение просто сносится движением эфира. Такимобразом, положение фронта в движущемся эфире в момент времени t+dt даётсяуравнением />. Разлагая последнееуравнение по малости dt, получаем искомое уравнение, описывающее эволюциюволнового фронта оптической волны, распространяющейся в движущемся эфире: /> или />;

Хотяэтого рассуждения Стокс и не приводит, но оно неявно содержится в егорассуждениях.  Знак ± соответствует неопределённости направления нормали,задаваемой вектором с компонентами />

Будемтеперь считать, что скорость эфира, т.е. величины u, u, w  малы по сравнению со скоростью света с  ипостроим частное приближённое решение дифференциального уравнения,которое Стокс фактически и рассматривает в своей работе 1845 г. по теорииаберрации.

Нулевоеприближение. Положим u = u = w = 0  в приведённом уравнении для ¦, т.е. рассмотрим покоящийся эфир. Тогда легко убедиться, что уравнениенулевого приближения имеет следующее частное решение: />, это решение описываетоптическую плоскую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси z.Действительно, уравнение нулевого приближения имеет вид />  здесь мы взяли знак минусперед корнем, причём для приведенной нулевой функции справедливы соотношения: /> перед корнем мы берёмзнак   “-”.

Первоеприближение. Считая теперь скорости u,u, w  малыми величинами, первого порядка малости, найдёмприближённое решение приведённого полного уравнения, со знаком “-” перед корнем,  переходящее при пренебрежении величинами u, u, w  в решение ¦0, ввиде функции /> где /> является малой величинойпервого порядка малости по u, u, w . СледуяСтоксу, считаем, что поправочная функция z зависит только откоординат x, y  и не зависит от координаты z. Это предположение,разумеется, несколько ограничивает  произвол отыскиваемого решения. Но если намудастся  его построить, то всё в порядке. Из полного уравнения, которомуудовлетворяет функция ¦, со знаком “-” перед корнем,имеем следующее приближённое уравнение для определение функции z: /> из которого непосредственнополучаем приближённое уравнение /> дляопределения функции z. Интегрируя полученное уравнение по t,приходим к соотношению />

Такимобразом, окончательно приходим к следующему приближённому уравнению дляопределения положения фронта рассматриваемой волны в момент времени t: />

Составимвыражения для компонент ненормированной нормали к этой поверхности волновогофронта в точке x,y,z = — ct в момент времени t. Имеем />

Обозначимчерез /> направляющие косинусы длянормали, взятой к найденной приближённо волновой поверхности. Так как величина w /c  мала, тоуглы /> так что приближённо можноположить />.

Вэтом месте своих рассуждений Стокс прибегает к гипотезе о потенциальности поляскоростей эфира.

ГипотезаСтокса. Поле скоростей эфирапотенциально, т.е. существует такая функция j(x,y,z),что />

Согласногипотезе Стокса имеем следующие очевидные простые соотношения для компонентполя скоростей: /> используякоторые, выведенные приближённые формулы для углов a  иb  можно записать ввиде />

Следовательнодля изменения углов иb отмомента времени t=t1  до момента времени t=t2имеем следующие очень простые формулы: />

Изэтих формул нетрудно получить общеизвестный закон аберрации. Пусть светот звезды идёт  по направлению, строго перпендикулярному направлению движенияЗемли. Первый момент времени t=t1 возьмём таким, чтобы фронтсветовой волны находился на столь большом удалении от Земли, чтобы для скоростиэфира в точках этого фронта можно было считать, что /> предполагаем,что Земля движется в положительном направлении оси x с постояннойскоростью u. Второй момент времени t=t2возьмём в тот самый момент, когда волновой фронт дошёл до Земли, тогда /> 

Следовательно,фронт, идущий от звезды плоской волны, поворачивается по приближению к Землетаким образом, что угол, составленной его нормалью с осью х, станетравным /> где u — скорость движения Земли, с — скорость света в покоящемся эфире.См. рис.

/>

Наблюдателюна Земле будет казаться, что звезда сместилась на небе в сторону направлениядвижения Земли на угол аберрации равный />.

В1880 г. Стокс опубликовал важное дополнение к изложенной нами сейчас работе1845 г. Он обратил внимание на то, что в работе 1845 г. он проследил лишь заизменениями направления нормали к фронту волны, по мере распространенияволны от звезды до Земли. Когда эфир покоится, траектории волновыхнормалей совпадают с траекториями лучей. Когда эфир движется, сзаданным полем скоростей, траектории волновых нормалей и траектории лучейперестают совпадать.

Обозначимчерез n — единичный вектор нормали в некоторой точке фронта волны вмомент времени t и через s — единичный вектор направления луча вэтой точке волнового фронта, рассматриваемого в момент времени t.  Пустьa, b —  углы вектора нормали n с осями x, y, причёмвсе эти углы мало отличаются от прямых />

Стокссчитает, что /> где v(u,u,w) — поле скоростей эфира в рассматриваемой точкеволнового фронта в момент времени t. Следовательно: /> или /> окончательно /> Приращение этих углов заинтервал времени t, t+dt, когда dz= — cdt, таким образом равно />

Вышемы показали, что />  />

такчто окончательно/>  />

 Принимая гипотезу Стокса о потенциальности поля скоростей эфира, таким образом,заключаем, что правые части приведенных равенств равны нулю.

 Итак, изменение направления лучапо мере распространенияравно нулю; лучи света в увлекаемом Землей эфире — приближенно прямолинейные.

4.8.Механический принцип относительности. Инвариантность относительнопреобразований Галилея.

 

 Галилей еще в XVII в. сформулировал принцип относительности в механике, илимеханический принцип относительности.

  Механическийпринцип относительности. Механические явления во всех инерциальных системахотсчета происходят совершенно одинаково. Нельзя с помощью механическихэкспериментов, производимых в движущейся инерциальной системе отсчета,определить скорость ее движения (если не производить наблюдений тел из системыотсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения).

/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> /> /> /> />

 Покажем, что уравнения механики математически записываются совершенно одинаковово всех инерциальных системах отсчета. Для простоты рассмотрим движение материальнойточки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемойситуации. Пусть это движение описывается в двух каких-нибудь инерциальных системах- в “покоящейся” системе K и в “движущейся” системе K'.Пусть в начальный момент времени декартовы оси этих систем совпадали и пустьсистема K движется вдоль оси x с постояннойскоростью v.

 Координаты точки M, отсчитываемые относительно движущейся иотносительно покоящейся систем отсчета K и K'связаны следующими формулами преобразования:

/>которыеназывают формулами преобразования Галилея. Время припреобразованиях Галилея никак не преобразуем, так что следует положить, что />.

Этуформулу тоже будем относить к формулам преобразования Галилея.

 Рассмотрим движение материальной точки M массы mотносительно той и другой систем, происходящее, к примеру, вдоль оси x,под действием некоторой заданной силы F (действующей только вдольоси x). Тогда в системах K и K' имеемследующие уравнения движения: />   />

которыематематически совершенно одинаковы (инвариантны). При этом одно уравнениеполучается из другого с помощью преобразований Галилея. Действительно, согласноэтим преобразованиям:

/>

таккак очевидно dv/dt = 0  (скорость v постоянна).

 Самыми фундаментальными объектами в физике являются точки и волны.Поэтому интересно посмотреть, а будет ли инвариантно относительнопреобразований Галилея волновое уравнение, скажем, для простоты, одномерноеволновое уравнение (уравнение Даламбера) для плоских волн, распространяющихсявдоль оси x. Пусть u = u(x,t) — волновая функция и c — скорость волны. Тогда имеем уравнение />

Совершимв нем преобразование Галилея, другими словами — перейдем от независимыхпеременных x,t к переменным x',t', считая, чтонеизвестная волновая функция u теперь выражена в переменных x',t',т.е. />

где/>  />

Такимобразом,

/>

Следовательно,/>

Далее,/>

Следовательно,/>

Подставимполученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение.Тогда получим, что/>

или/>

Каквидим, получили совсем не Даламбера, а другое уравнение (в которое входит v).

 Таким образом, мы доказали, что одномерное волновое уравнение неинвариантно относительно преобразований Галилея.

 Остановимся на выяснении физического смысла полученного результата. Дляопределенности представим себе обычные звуковые волны в воздухе. Они являютсямалыми возмущениями плотности и давления малых частиц воздуха, и в такназываемом акустическом приближении (когдаамплитуды этих возмущений малы) описываются волновым уравнением Даламбера />

когдаречь идет о плоских волнах, распространяющихся вдоль оси x.

 Это уравнение, однако, математически описывает звуковую волну только в покоящемсявоздухе. Если мы хотим описать звуковую волну в движущемся воздухе(движущемся равномерно прямолинейно со скоростью v вдоль оси xв отрицательном направлении оси x в лабораторной системеотсчета), то мы должны использовать не приведенное волновое уравнение, а толькочто выведенное более сложное уравнение

/>

 Таким образом, волновое уравнение для звука в движущейся средеотличается по виду от волнового уравнения для звука в покоящейсясреде. И нет ничего удивительного в том, что волновое уравнение не инвариантноотносительно преобразований Галилея. Мы неявно предположили, что исходнаясистема K — это система отсчета, в которой среда (воздух)покоится.

 Поясним сказанное подробнее. Пусть у нас имеется тело, движущееся со скоростью vвдоль оси x и пусть в этом теле распространяется волна вположительном или отрицательном направлении оси x.

/>


 Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x.Относительно взятой системы отсчета она имеет скорость cдв= c + v. Таким образом, если форма волны в нулевой момент временидается функцией f(x), которая может быть взята произвольной, то вмомент времени t она будет описываться функцией

/>

 Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

/> />

Поэтомуфункция u удовлетворяет следующему уравнению />

котороеможно представить в виде />

Подействуемна это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

/>

иполучим уравнение />

Следовательно,раскрывая скобки, имеем уравнение

/>

членысо смешанной производной, пропорциональные c, взаимносокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим куравнению

/>

котороев точности совпадет с уравнением, полученным выше.

 Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси x.Относительно нашей системы отсчета волна будет двигаться со скоростью cдв= c — v.

 Если форма волны в нулевой момент времени t = 0 дается функцией g(x),которая может быть совершенно произвольной, то в момент времени tона будет описываться функцией />

 Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

/> />

/>


Поэтомуимеем уравнение />

котороеможно записать в следующем виде />

Подействуемна это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

/>

иполучим уравнение/>

Следовательно,раскрывая скобки, имеем уравнение

/>

членысо смешанной производной, пропорциональные c, взаимносокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим куравнению

/>

т.е.в точности к такому уравнению, которое мы получили для волны,распространяющейся в положительном направлении оси x.

                 4.9. Электродинамический принцип относительности.

               Инвариантность относительно преобразований Лоренца.

/>

       Оказывается, одномерное волновоеуравнение все же остается инвариантным при переходе от системы отсчета К ксистеме отсчёта К’, но если воспользоваться  не преобразованиями   Галилея, атак называемыми преобразованиями Лоренца , которые имеют вид:

Теперьне только координата Х, но и время Т преобразуются.Докажем инвариантность.Снова рассмотрим функцию

гдеb=V/C. Тогда, дифференцируя её по t, получим

Следовательно,

Далее, дифференцируя по t, получаем

Следовательно,

Подставимполученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнениеДаламбера

/>

Получимтогда уравнение

Такимобразом, приходим к уравнению

слагаемыесо смешанным вторым производным в обеих частях равенства сокращаются.Окончательно получаем уравнение

Следовательно, приходим к уравнению

т.е.в точности к исходному одномерному волновому уравнению Даламбера.

      Итак, приходим к заключению, что волновое уравнение Даламбера инвариантноотносительно преобразований Лоренца. Это важное математическое открытие в своёвремя сделал Лоренц, который, однако, рассматривал не просто одноиерноеволновое уравнение, а уравнения Максвелла, которые можно считать усложненнымтрехмерным “волновым уравнением”- для поперечных электромагнитных волн. Именноэто математическое открытие позволило Лоренцу в 1904 г. Объяснить отрицательныйрезультат экспериментов первого и второго порядков по V/C по обнаружениюскорости V поступательного движения относительно эфира.

      Отметим здесь ещё одну интересную возможную физическую интерпретациюполученного математического результата — с инвариантостью волнового уравненияотносительно преобразований Лоренца.

       Для большей определённости снова рассмотрим звуковые волны в воздухе вакустическом приближении. Эти волны можно рассматривать как самостоятельныефизические объекты, ника не связанные со средой — воздухом, колебаниямикоторого они на самом деле являются. Среда теперь — совершенно другойфизический объект, даже иной физической природы. Звуковые волны существуютсами по себе, безо всякой среды. И этот новый физический объект -“ волны“ — поэтому совершенно естественно должен одинаково описываться во всехинерциальных системах отсчета, так как инерциальные системы отсчета не толькомеханически, но и физически должны быть полностью равноправными.

        В отношении звуковых волн в воздухе такая физическая интерпретация вполневозможна, но только о рамках акустического приближения, т.е. для волн оченьмалой (даже бесконечно малой) амплитуды. В случае звуковых волн конечной ибольшой амплитуды такая, казалось бы, самая простая и естественнаяинтерпретация, разумеется, неправильна.

       В специальной теории относительности обсуждаются не звуковые, аэлектромагнитные волны. Средой, подобной воздуху, для звуковых волн здесьявляется, правда, пока ещё экспериментально не открытая особая гипотетическаясреда, называемая эфиром. Но эфир экспериментально не обнаружен, и вообще внастоящее время в современной фундаментальной физике электромагнитного поля ещёмногое остаётся неясным. Поэтому можно считать, как это делают в настоящеевремя, описанную физическую интерпретацию единственно приемлемой, как этопровозгласил Эйнштейн в 1905 г., что эфира в природе не существует.

          Как выше отмечалось, оптические и электродинамические эксперименты,проведённые на Земле с целью обнаружения и измерения поступательной скорости VЗемли первого и второго порядков малости по величине V/C=10^-4, далиотрицательный результат. В частности, отрицательный результат дал и экспериментМайкельсона-Морли с двухплечевым интерферометром. Никаких эффектов влиянияпоступательной скорости движения Земли  все эти эксперименты не выявили.Скорость Земли в указанных эксперпиментах измерить не удалось.

          Таким образом, к концу Х|Х века в результате всех этих экспериментальныхнеудач удалосьобобщить механический принцип относительности Галилея наэлектромагнитные ( в том числе и оптические ) явления и провозгласитьобщефизический принцип относительности, который иногда называют принципомотносительности Эйнштейна.

         Электродинамический принцип относительности .

Всефизические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково.Нельзя с помощью каких-либо физических экспериментов в движущейся инерциальной системетосчета определить скорость ее движения, если не производить наблюдений тел изсистемы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения.

          Математическое свойство инвариантности относительно преобразований Лоренца основныхуравнений электродинамики — уравнений Максвелла использовалось Лоренцем в 1895г. И в 1904 г. Для объяснения, почему с помощью электродинамическихэкспериментов нельзя определить скорость поступательного   движенияЗемли в эффектах первого и второго порядков малости ( 1895 г.) и вообще во всехэффектах (1904 г. ).

    

                                 4.10. Обсуждение понятия скорости тела и

           построения полей времени в покоящейся и движущейся системах отсчета.

           Казалось бы, понятие скорости тела, как пройденного пути за определенныйпромежуток времени :

настолькоясно, что не требует вообще никаких пояснений. Конечно, если тело движетсянеравномерно, то надо вводить в рассмотрение мгновенную скорость

ноне об этом сейчас речь. Вместе с тем в связи с данным определением скоростинеобходимо, однако, обсудить весьма существенный физический вопрос.

            

            Чтобы лучше представиь себе ситуацию, рассмотрим конкретный эксперимент,проводимый для измерения скорости тела. Пусть имеется движущееся тело и пустьоно в какой-то момент времени проходит или пролетает через то место N, где мысами сейчас находимся. Засечём этот момент  t1  на имеющемся у нас измерителевремени — часам.

            Предположим, что мы находимся в месте  N и наблюдаем из этого места за нашимдвижущимся телом. Через некоторое время, скажем в момент времени  t2 ,зарегистрованным по нашим часам, тело проходит через другое место  M,расстояние до которого S2-S1 от нашего места  N ,  мы можем измерить заранее.Тогда скоростью тела мы назовем отношение

         Вроде бы всё совершенно ясно. Но это не так. Мы должны учесть, что  когда мыувидели, что тело проходит через место M, мы на самом деле простозарегистрировали световой сигнал, приходящий к нам из места  M,свидетельствующий о совпадении тела и места  M. Так как сигнал распространяетсяс некоторой конечной скоростью С, то мы должны это учесть и ввести поправку навремя распространения сигнала от места M до места N, т.е. поправку  на времязапаздывания .

         Таким образом, мы  должны в формуле для скорости  V взять не момент  t2,непосредственно экспериментально наблюдаемый и зафиксированный по нашим часам,а момент

искоростью тела должны на самом деле назвать величину

котораялишь незначительно больше величины V, если тело движется не слишком быстро.

         Так как скорость света C очень большая ( С=300000 км /c ), то рассматриваемаяпоправка, конечно, будет для реально наблюдаемых движениий тел на Землечрезвычайно малой .

         Однако она становится тем больше, чем дальше удалено  место М от места N и чемскорее движется тело. Если скорость V тела будет близка к скорости света, топоправка будет очень большой .

         Именно эта поправка  в определении скорости тела и учитывается в специальнойтеории относительности .

            Здесь следует сказать, что наше субъективное ощущение об окружающем нас мире внекоторый данный момент времени, действительно субъективно и неправильно.Дело в том, что удаленные предметы мы видим такими, какими они были в болееранние моменты времени, чем видимые нами близкие от нас предметы .

            Скажем, мы видим на улице  “одновременно” идущих людей, здания , Солнце.Новедь, на самом деле, Солнце мы видим не в тот момент, в который мы на негосмотрим, а в момент примерно на 8,5 минут раньше (так как времяраспространения света от Солнца до Земли составляет примерно 8 мин. 20 сек. ).А если мы  “одновременно” взглянем в телескоп на удаленные от нас звезды игалактики, то галактики на саммом деле сейчас мы видим в такие моменты, когдамы ещё и сами не родились, и даже ещё не появилась наша Земля и наша Солнечнаясистема .

            Таким образом, обсуждая понятие скорости  движущегося тела, нам надообязательно разобраться, что мы понимаем  под временем в различных местахпространства. Чтобы  экспериментально исследовать перемещение тела  впространстве с течением времени, лучше всего иметь локальные согласованныедруг с другом измерители времени — часы, расставленные во всех точкахпространства. Тогда совсем не нужно будет думать о поправках в отсчётахвремени, скоростях световых сигналов и т.д. Множество локальных времен вразличных точках системы отсчета образует то, что мы будем называть полемвремени.

            Построим сначала поле времени в  “ покоящейся “ системе отсчета К. Для этого вначале отсчета О организуем  “ производство ”  совершенно одинаковых,идентичных, измерителей времени — часов, ход которых, по возможности,одинаков. Затем эти измерители времени достаточно осторожно разнесём поразличным точкам пространства M, N ,… .

            Если бы все эти часы мы сначали синхронизовали ( выставили бы на них одинаковыепоказания времени ), а затем разнесли по различным точкам пространства, топоказания часов, помещенных в различных

точках,мы могли бы и назвать временем в системе отсчета К.

            Такпоступать, однако, нельзя. Чтобы перенести часы, например из точки «О» вточку М, мы должны сначала эти часы в точке О ускорить, затемпередвинуть, а затем замедлить для остановки в точке М. При ускоренном изамедленном движениях при этом ход часов обязательно нарушится и в показаниявремени будет введена неконтролируемая ошибка.

            Поэтомупоступим так, как поступил Эйнштейн в работе 1905 г. Будем все часы синхронизироватьне в начале координат, до их разнесения, а лишь после того, как мы уже ихразнесли и установили в разных точках пространства системы отсчета К.

            Синхронизациюпроведем при помощи бесконечно коротких световых сигналов, которые будемиспускать из начала координат О. В момент времени t= 0, фиксируемый по часам в точке О, мы испустимиз точки О сигнал по направлению к точке М, и зарегистрируеммомент прихода этого сигнала в точку М по часам в этой точке М и,наконец, выставим на часах в точке М время />,

гдеr — расстояние между точками N и M.Величиной скорости  c при этом мы просто зададимся, т.е. возьмем вкачестве нее любое положительное число.

            Очевидно,что если теперь, с помощью синхронизированных описанным способом локальныхчасов, мы будем измерять скорость используемых для синхронизации импульсныхсветовых сигналов, то получим естественно значение  c, причем эта скорость окажется изотропной, т.е.не зависящей от выбора направления в пространстве.

            Однаконадо отчетливо понимать, что это не измерение скорости света, так каксамо понятие времени мы установили с помощью световых сигналов и значениемскорости света с мы просто задались.

            Вместес тем, для краткости, будем называть величину с — «скоростьюсвета»(более точно, скоростью света в системе отсчета К).

            Теперьв точности таким же образом, с помощью импульсных световых сигналов, установим полевремени в «движущейся системе отсчета К'.

            Конечно,можно было бы построить поле времени в системе отсчета К' и другимспособом. Мы могли бы, например, рассудить следующим образом. Гипотетическаяэлектромагнитная среда — эфир, колебаниями которой является свет,покоится в системе отсчета К, поэтому в системе отсчета К мыимеем свет в покоящейся среде. В системе отсчета К'имеем свет в движущейся среде, а поэтому скорость светового импульса,испущенного, например, в положительном направлении оси x'в системе отсчета К' равна не с, а  c-u, а в отрицательном направлении оси x'равна  c+u, где u — скорость движения системы К'относительно системы К. Но так сейчас мы поступать не будем, а просто примем,что в системе отсчета К' световые импульсы распространяются  в точноститак же, как в системе К. В этом заключено однако серьезное физическоепредположение. При построении поля времени в системе отсчета К'используем то же самое число с, что и в системеотсчета К. Последнее по существу условное допущение, следуяработе Эйнштейна 1905 г., иногда неправильно называют «законом постоянстваскорости света в инерциальных системах отсчета». Как мы видим, это вовсе незакон, а говоря словами Пуанкаре, «плод совершаемого неосознанного условногосоглашения».

4.11. Кинематический вывод преобразований Лоренца

 

            Приступимтеперь к кинематическому выводу преобразований Лоренца. Объектом нашегорассмотрения будет так называемое мгновенное точечное событие,т.е. событие, происходящее в  очень малом месте пространства и за оченькороткий промежуток времени. Например, из некоторой точки N в фиксированный момент времени t= t<sub/> испустим импульснуюсферическую бесконечно тонкую световую волну.

/>

            Уточняем- испускаем не периодическую гармоническую волну, а очень короткийсветовой импульс. Испускание светового импульса в момент времени t= t<sub/>в точке N и есть пример мгновенного точечного события.Разумеется, мгновенные точечные события могут быть какие — угодно.

            Приведемеще один пример. Твердый стержень AB пусть движется в положительном направлении оси x.

/>

            Мгновеннымточечным событием теперь можно считать событие, заключающееся в совпадении,например, левого конца Aстержня с фиксированной точкой N оси x.Другим мгновенным точечным событием является совпадение в какой-то моментвремени правого конца Bс фиксированной точкой Mна оси x.

/>

            Теперь,одно и то же какое-нибудь мгновенное точечное событие будем изучать с помощьюнаблюдений его в двух инерциальных системах отсчета K и K', или вдвух системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно другдруга — «покоящейся» системы К и «движущейся» системы K', — движущейся со скоростью u вдоль оси x относительно покоящейся системы отсчета, причем вобеих этих системах координат размещены локальные часы, синхронизированные так,как мы разъяснили выше.

            Пустьx, y, z, t  — координаты и время нашего мгновенного точечногособытия, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x', y', z', t' — координатыи время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К'.

            Радипростоты дальше будем рассматривать только координаты x и x', считая чтовсегда y'= yи z'= z. Тогда в системах отсчета К и К'координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, t и x', t'соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время — x, t.

            Таккак эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе внезависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К'), тоочевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида  x'= j(x, t),  t'y(x, t).

Формулыуказанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенноготочечного события (любого) от системы отсчета K  системе отсчета К'.

            Нашаконечная цель — найти вид функций  j и y  в приведенных формулах преобразования. Чтобы этосделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям,которые мы сейчас сформулируем.

/>

Рассмотримтри следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системеотсчета К. Пусть в точке x1 оси xв момент t1 мгновенно был испущен короткий световой импульс вположительном направлении оси x.Пусть в момент времени t2 этот импульс оказался в точке x2 оси x,в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направленииоси x. Пусть, наконец, в момент времени t3 этот световой импульс снова оказался в исходнойточке, так что x3 = x1.

            Посмотримтеперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системыотсчета K'.Мы увидим, что в точке x1'  в момент времени t'был испущен в положительном направлении оси x'короткий световой импульс, который в момент времени t2'достиг точки x2', отразилсяв ней и в момент времени t3'оказался в точке x3', причемтеперьx3'¹ x1'.

            Согласноописанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K' имеемследующие очевидные соотношения в системе отсчета K:  />  />  x3 = x1

ив системе отсчета K':  />   />   />

            Точкаx1 = x3 на оси x системы отсчета K движется со скоростью u в отрицательном направлении оси x', если еенаблюдать в системе отсчета K'.

            Мысформулировали шесть основных соотношений, исходя изкоторых мы теперь найдем вид функций jи y.

            Нахождениефункции j. Составимфункциональное уравнение для определения функции j. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде:   />

Вычитаяпервое соотношение из третьего, получаем  />

Используявторое соотношение, отсюда приходим к равенству/>

Следовательно, />

или/>

Такимобразом, видим, что функция j удовлетворяет следующемуфункциональному уравнению: />

            Вэтом уравнении величины x1, t1, x2, t2, x3, t3, однако, не независимы, а связаны нашими основнымисоотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставимнезависимыми только следующие три величины: x1, x2 и t1. Величины x3, t2 и t3 можно выразить через указанные независимые величины.Действительно, из первого соотношения получаем  />

следовательно,/>

Далее,из второго соотношения имеем/>

аследовательно,/>

мывоспользовались выражением для t2 и условием x3 = x1.

            Такимобразом, получаем следующее окончательное функциональное уравнениедля определения функции j:

/>

котороедолжно выполняться для произвольных значений x1, x2 и t1.

            Приступимк решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, чтопродифференцируем это уравнение по x2. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированным функциональным уравнением   />

наобщую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего,третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как ононе зависит от 

/>  ). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь  />  и />  . Тогда придем кследующему дифференциальному уравнению:

/>

/>

Общеерешение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти,если перейти к переменным  />   и  />  и показать, что в новыхпеременных это уравнение имеет вид

/>

Такполучаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеетвид

/>

гдеF — пока произвольная функция.

            Найдемвид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для />       в нашедифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующеефункциональное уравнение:

/>

Послеэлементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что

/>

или

/>

                                                                                                                                                  .

Таккак при произвольных />      аргументыфункций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершеннопроизвольные значения, то приходим к заключению, что

/>

аследовательно,

F/>

где />      — некоторыепостоянные, которые нам еще предстоит найти.

            Итак,мы показали, что исходная функция  />        имеет следующий  вид:

/>/>

где />     — некоторые  пока неопределенные постоянные.

            Нахождениефункции />     . Найдем теперьаналогичным образом функцию  />    . Триосновных соотношения для системы отсчета  />  представимв виде:

/>

Вычитываяпервое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением,получаем уравнение

/>

т.е.уравнение

/>

Видим,что функция   />       удовлетворяетследующему функциональному уравнению:

/>

вкотором величины  />          ненезависимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К.Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины  />   и/>  . Величины />     и />   выразим через указанныевеличины:

/>

Такимобразом, приходим к следующему основному функциональному уравнению дляискомой функции:

/>

котороевыполняется при произвольных значениях   />   и/> .

            Приступимк решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, чтопродифференцируем его по   />:

/>

производнаяпоследнего, третьего слагаемого в  исходном функциональном уравнении равнанулю, так как оно не зависит от  />   . Положим теперь в выведенном уравнении        ,      

 итогда придем к дифференциальному уравнению

/>

илиуравнение

/>

            Легконайти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надоперейти только к новым независимым переменным

/>

ипоказать, что в новых переменных уравнение имеет вид

/>

Такимобразом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:

/>

вкотором />     —  пока произвольнаяфункция.

            Найдемвид этой функции. Подставим полученное выражение для функции />    в продифференцированноефункциональное уравнение. Получим тогда соотношение

/>

илисоотношение

/>

Таккак аргументы у фукций       в правой и левой частях равенства при произвольныхзначениях 

  />   и/>    совершенно произвольны,то получаем, что

/>

аследовательно,

/>

где  />  —  пока неопределенные постоянные.

            Определениеконстант     />  />      . Мы получили, чтоформулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечногособытияв инерциальных системах отсчета      и      имеют вид

/>

/>

Длянахождения констант />  />        привлечемдополнительное требование.

            Требование1.  Предположим, что общие начала отсчета координат и времени всистемах отсчета   K    и  />      согласованытаким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системеотсчета   K   имеет в системе отсчета  />     координаты 0,0  ( тоже нулевые координаты),         

инаоборот.

 

            Применяявышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что />  и поэтому формулыпреобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид:

/>

/>

Теперьнеопределенными остались только константы />   и /> .

            Учтемтеперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствиянаших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простыеформулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения назначения констант />/>    и  />    . Имеем:

/>

Такимобразом, приходим к заключению, что константы     />   и    />    равны друг другу:

/>=/>/>

 

ипоэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеютследующий вид:

/>

где />      — пока чтонеопределенная постоянная.

Разрешимтеперь эти формулы преобразования относительно   />   и   /> . Имеем уравнения

/>

Следовательно,

/>

ипоэтому

/>

Полученныеформулы сопоставим с формулами преобразования:

/>

которыеполучаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведеннымвыше, но с заменой систем отсчета  K   и  />    другна друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета  K  движетсяотносительно системы отсчета   />      нев положительном, а в отрицательном направлении оси   />     с некоторойположительной  скоростью   />       (положительной),определенной в системе отсчета  K   . Здесь  />     —некоторое пока неизвестное нам число.

           

Сравниваядруг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим кзаключению, что имеют место следующие четыре равенства:

/>

/>

изкоторых непосредственно заключаем, что

u’   =   u

ичто величины  a  и  a’  удовлетворяютсоотношению

/>

Такимобразом, мы показали, что имеются следующие формулы преобразований координат x,t  и  x’, t‘ мгновенного точечного события в системах отсчета  K и  K’:

/>

и

/>

гдевеличины  a’  и a  связанывышеуказанным соотношением.

     Чтобы найти числа a  и  a, выставим ещё одно требование.  Обратим внимание, чтопока мы до конца не условились о выборе основных единиц измерения длинны ивремени в системах отсчета  K  и  K ’.  Разумеется, отчастиэтот выбор уже был выше ограничен требованием, чтобы скорость света в обеихсистемах отсчёта давалась одним и тем же числом c, которое мы учли, т.е.мы уже согласовали отчасти единицы измерения скоростей в системах K и  K’. Но единица скорости есть толькоотношение единиц длины ивремени. Поэтому остаётся произвол в выборе единицы измерения либо длины, либовремени. Фиксируем теперь окончательно этот произвол с помощью следующеготребования.

 

Требование2.  Длины  и  l’  двух покоящихся в системах отсчёта  K  и  K’стержней одинаковой собственной длинны l0  (измеренной  в этих системах отсчёта, в которых каждыйиз этих стержней покоится), измеренные, соответственно, в системах отсчёта  K и  K’ , относительно которых эти стержни движутся одинаковы.

     Возьмём стержень длинны l0 , покоящийсяв “движущейся” системе отсчёта  K’.  Пусть он лежит на оси x’ иего левый конец пусть имеет координату   x’A   , а правый  -  координатуx’B 

x’A  x’B  =  l0 .

Измерим длину этого стержня в “покоящейся” системе отсчёта  K.  Пусть в одинаковыемоменты времени   tA   и  tB  ( tA  = tB ) левый и правый концы стержня, движущегося в системе отсчёта K, имеликоординаты   xA   и  xB.  (События  A  и  B  соответственно). Нам надо составить разность   xA  xB  =  l ,  чтобы найти длину движущегося со скоростью  u  стержня, длина которого равна l0  в покоящейся системе координат.

/>

Согласноуже выведенным формулам преобразований координат и времён мгновенныхточечных событий, имеем соотношения:

x’B   =  a  (x’B  — u tB),

x’A   =  a  (x’A  — u tA).

Вычтем  x’A  из   x’B   и  учтём условие  tA  = tB.  Тогдаполучим

l0 =  x’B  -  x’A=a  (xB  — xA)a l.

 

Такимобразом, имеем соотношение

l =  l0  /a.

    Если теперь, наоборот, взять стержень длины    l0 ,  расположенный в “неподвижной” системе отсчёта K,  и измерить его длину   l   в “движущейся” системеотсчёта  K’, то для этой длины, рассуждая аналогично, получаемсоотношение

ll0  /a’.

    Потребуем теперь, чтобы   l l. Тогда мы придём к равенству  aa ,  а следовательно, с учётом выведенного соотношения

/>

кравенствам

/>

Знакминус перед корнем не подходит, так как не удовлетворяет очевидному требованию,что   a= 1  при  u = 0 ,  когда мы имеем формулытождественных преобразований.

    Длина движущегося стержня, как видим, меньше его собственной длины   l0 .  Движущийся стержень как бы сокращается вдольнаправления своего движения.  Однако  это не истинное, а кажущеесясокращение, более точно, это исключительно кинематический эффект, целикомобязанный принятому определению локального поля времени в движущейся системеотсчёта.

    Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассужденийследующие формулы преобразований:

/>

которыеназывают формулами преобразований Лоренца.

    В заключение заметим, что кроме кажущегося, чисто кинематического сокращениядлинны движущегося стержня в рассматриваемой кинематике, основанной наописаных выше процедурах построения полей времени в системах отсчёта  K и  K’, имеется ещё и эффект кажущегося замедления ходадвижущихся часов.

    Пусть мы имеем часы, неподвижные в “движущейся” системе K’ , находящиеся в точке   x’A  =  x’B .  Пусть в них произошел одинпериод колебаний, начавшийся в момент времени t’A  (событие A) иокончившийся в момент времени t’B  (событие B), так что   t’B — t’A = t0, где  t0 — период колебанийчасов в “собственной” системе отсчёта

/>

(гдеони покоятся). Обозначив через  xA , xB, tA  и  tB координаты событий  A  и  B  в системе отсчёта  K , получаем

/>

Вычитаявторое равенство из первого для кажущегося периода колебаний  t часов, определённого в “движущейся” системе  K’  имеем следующуюформулу

/>

таккак  x’A  =  x’B .  Следовательно, окончательно получаем формулу

/>

длякажущегося,  т.е. кинематического, замедления хода движущихся часов.

4.12Кинематический вывод преобразований Галилея.

    Введём теперь, рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали привыводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея,изменив процедуры построения полей времени в инерциальных системах отсчета  K и  K ’.

    Построение полей времени в системах отсчета  K  и  K ’. Будем теперь считать, что в системе отсчёта  K  среда, возбуждениями которойявляется свет, покоится.  Тогда относительно системы отсчёта K’ этаСреда будет двигаться со скоростью  u  в отрицательномнаправлении оси x’.

    Процедуру построения локальных времён и синхронизации часов в системе отсчёта K  оставим прежней.  Но процедуру построения локальных времён в системе отсчётаK’ изменим. При синхронизации часов, помещённых в точке M но осиx’ скоординатой x’M>0, с помощью короткого импульсного световогосигнала, выпущенного из начала координат  x’ = 0  в начальный моментвремени  t = 0, в момент прихода сигнала в точку M, на часах в точке Mтеперь поставим не время r/c ,  где  r -  расстояние между O и M, а время

     r    .

c+u

 

Аналогичнопоступим с точкой M на осиx’ с координатой x’M<0.  В ней начасах в момент прихода сигнала поставим время

     r    .

c-u

 

Основныесоотношения. Рассмотрим снова тримгновенных точечных события. В системе отсчёта K они выглядят следующимобразом. В точке  x1  на оси  x  в момент t’1 пустьиспускается короткий световой импульс в положительном направлении оси  x. В момент t’2 пусть он приходит в точку x2  на оси  x, отражается в ней и в момент t’3 возвращается в точку x1, так чтоx1 =  x3.

    Согласно принятым процедурам построения полей времени в системах отсчета  K и  K ’ ,  имеем теперь следующие шесть основных соотношений:

 

/>

 

Нахождениефункций jи y.  Составим сначала функциональное уравнение дляфункции j. Имеем

/>

Вычтемпервое соотношение из третьего и результат сравним со вторым соотношением.Получим тогда уравнение

/>

или

/>

тоесть

/>

Сучётом соотношений

/>

отсюдаприходим к следующему окончательному функциональному уравнению дляопределения вида функции j:

/>

котороеудовлетворяется при любых значениях независимых переменных и x1 , x2 и  t1 .  Чтобы разрешить это функциональное уравнение, продифференцируемего по x2 и получим из него продифференцированное функциональноеуравнение:

 

/>

Положимв этом уравнении. x1 = x2 = x & t1 = t. Придем к уравнению

/>

такчто имеем очень простое дифференциальное уравнение

/>

или

/>

дляопределения вида функции />.

  Общеерешение последнего уравнения имеет вид

/>/>/>/>

гдеF — произвольная функция. Подставим эту формулу вприведенное

вышепродифференцированное функциональное уравнение.      Учтем ,

что/>/>

       />

ипоэтому получим соотношение

/>

Таккак

 />                 

топриходим к следующему уравнению

   />

справедливомупри любых значениях x1,x2,t1. Аргументы функций

вправой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных

x1,x2,t1. Следовательно ,

                               />

апотому, игнорируя получаем

                                />

где    - некоторые пока не определенные постоянные.

  Составим теперь функциональное уравнение для функции    . Имеем

/>

гдеG — произвольная функция. Вычитая первое уравнение изтретьего

уравненияи сравнивая полученный результат со вторым уравнением ,

получаемсоотношение  />Следовательно,

/>

или

/>

Отсюданепосредственно приходим к следующему основному функциональному

уравнениюдля функции  /> :

/>  Разрешим это уравнение, для чего сначала продифференцируем его

поx2. Тогда получим уравнение

/>Полагаяв этом последнем уравнении />и/>, приходим к

дифференциальномууравнению

/>

илисовсем простому уравнению

                            />

Следовательно,

/>

Подставивэту формулу для   в приведенное выше продифференцированное

функциональноеуравнение. Получим

/>Следовательно,

/>

Таккак величины /> совершенно произвольны, то аргументы

функцийG  в правой и левой частях могут принимать совершеннопроизвольные значения. Поэтому

/>

аследовательно ,

/>

где /> - пока произвольныепостоянные .

  Определение констант />    Мыполучили следующие формулы

преобразованиякоординат и времен мгновенного точечного события :

/>

Найдемконстанты   />

  начнем с того, что выставим требование о согласовании начал отчетов

координати времени в обеих системах отсчета /> и  /> .

  Требование 1.  Событие, имеющеекоординаты 0, 0 в системе отсчета /> ,

имееткоординаты 0, 0 в системе отсчета    /> ,и наоборот .

   Следовательно, в приведенных формулах />  ,и формулы

преобразованияприобретают следующий вид:

/>

Приведенныеформулы преобразования мы получили как следствия

нашихшести основных соотношений. В них входят пока не определенные

намивеличины />и/>.

   Подставив эти формулы преобразования обратно в исходные шесть

соотношений, мы можем найти ограничения на константы />и/>. Так

собственноговоря и получается. Действительно, имеем равенства

/>

Каквидим, чтобы эти равенства выполнялись, необходимо потребовать ,

чтобыконстанты   />и/> былиравны друг другу:

/>

   Таким образом, искомые формулы преобразования координат мгновенного

точечногособытия имеют вид

                                              />

где />  - пока не определеннаяконстанта .

   Как и в случае преобразований Лоренца, воспользуемся тем, что

унас имеется произвол в выборе единиц измерения либо длинны , либо

временив обеих системах отсчета  /> и  />.Чтобы фиксировать указанный произвол, выставим дополнительное требование .

   Требование 2.   Длина  l  движущегося в системе /> стержня, покоящегося

всистеме   />   , ориентированноговдоль оси  />и имеющего в этой системедлину />, т.е. />.

    Рассмотрим движущийся стержень, все время покоящийся в системе отсчета

  />   между точками от  />   с координатами   />   и  />.

    Пусть  в одинаковые локальные моменты времени  />в системе отсчета />

K левый конец стержня совпал с точкой оси x, с координатой/>(событиеA), />(событие B). Тогда

                                        />

Вычитаявторое равенство из первого, с учетом условия />получаем

/>

итак как/> согласно требованию 2, то приходим к заключению ,

что                                   />

    Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений ,

аналогичныхиспользованным Эйнштейном при выводе формул преобразований Лоренца ,  формулыпреобразований Галилея :

/>/>/>/>

4.13.  Гипотеза эфира и гипотезачетырехмерного мира .

    

    Подведем итог нашим рассуждениям. Исходя из условных в принципепроцедур построения полей времени в «неподвижной» и «движущейся» системахотсчета, используя очевидные дополнительные требования о согласовании единицизмерения длинны и времени в обеих рассматриваемых системах отсчета, мы вывеликак преобразования Лоренца , так и преобразования Галилея .

    При этом мы следовали основным идеямкинематического рассуждения из работы Эйнштейна 1905 г. ( усилив их толькорассмотрением функциональных уравнений).

    Таким образом, вывод Эйнштейна, сделанный им в работе 1905 г., оложностиньютоновской концепции абсолютного времени Ньютона следует считатьнеобоснованным. Также не обосновано и утверждение, что он якобы доказал, чтосветоносного эфира не существует, что электромагнитные волны существуютсами по себе без какой-либо среды (в отличие от всех других известныхнам физических волн).

    Конечно, несмотря ни на что, мы можем принять утверждения Эйнштейна попростуза некую (пока, правда, существующими экспериментами еще не доказанную)научную гипотезу. Но одновременно мы должны считаться и с другой гипотезойклассической физики — что светоносная среда (эфир) существует, что электромагнитныеволны являются возмущениями эфира, что механическая абсолютная системаотсчета  — это система отсчета, в которой мировой эфир покоится.

    Выбор того или иного локального поля времени в  движущейся системеотсчета (ньютонова или эйнштейнова ) является, по-видимому, вообще полностьючисто условным и диктуется исключительно соображениями удобствапроведения тех или иных физических рассуждений. В классической механике удобно«ньютоново», а в теории элементарных частиц — «эйнштейново»  время.

    Выбор той или иной концепции количественного времени, как утверждалПуанкаре еще в 1898 г., т.е. за 7 лет до работы Эйнштейна 1905г., подобенвыбору той или иной системы геометрических координат в трехмерномпространстве, скажем, прямоугольной декартовой  или сферической. Только отконкретной задачи зависит, какая из этих систем координат удобнее и полезнее.

    Сформулируем таким образом, альтернативные фундаментальные физические гипотезы.

    Гипотеза эфира.  Существует особаяфизическая среда — эфир, заполняющая пространство, возмущенными колебаниямикоторого являются электромагнитные волны (включая оптические, радио,телевизионные и т.д. волны). Система отсчета, в которой эта среда покоится,является физической абсолютной системой отсчета. Она, разумеется,единственна и уникальна по всем физическим свойствам. Класс систем отсчета,движущимся относительно абсолютной равномерно прямолинейно с постояннымискоростями, образует класс инерциальных систем отсчета. В этом классесистем отсчета механические, электродинамические и др. физические явленияматематически и физически описываются наиболее просто.

    Гипотеза эфира была провозглашена в классической физической оптике иразделялась многими физиками и математиками 17,18,19 вв., в частности Френелемв первой четверти 19 в., а также и Лоренцем в конце 19 в. и до его смерти в1928г.

    Гипотеза четырехмерного мира. Ньютонова классическая механика ошибочна. Представления об абсолютномпространстве и времени ложны по существу. Пространство и время являютсягеометрическим, или точнее — физическим единым целым. Их нельзя разделять

сматриватьизолированно одно от другого, а надо объединять в “че-

тырёхмерныймир”, или “пространство-время”, в рамках которого   только и возможно датьправильное физическое описание явлений природы. Инерциальные системы отсчёта — отражение свойств сим-

метриичетырёхмерного мира, и ничего более.Другими словами, в

вопросе  об  инерциальных  системах   отсчёта   речь  идёт  о   чисто геометрическихсвойствах симметрии четырёхмерного пространства-времени.

 Существуют преоброзования — преоброзования симметрии четырёх

мерногопространства-времени, при которых оно переходит само в себя подобно тому, какнаше трёхмерное пространство переходит са-

мов себя при произвольных параллельных переносах и произвольных

поворотахвокруг любой оси на любой угол. Все декартовы системы

координатв трёхмерном пространстве, полученные параллельным переносом и(или)произвольным поворотом относительно произвольно

направленнойоси одна из другой,-равноправны.

 Обсуждаемую скорее геометрическую, чем физическую гипотезу

наиболеенаглядно сформулировал Минковский в работе 1909 г. Но

ранеенего её совершенно чётко сформулировал Пуанкаре, хотя в ма-

тематическоми намного более строгом, но не столь наглядном виде,

каку Минковского. Этой гипотезы по существу придерживался и Эин-

штейнв работе 1905 г.

 

4.14.Геометрическая симметрия четырёхмерного мира

 Соображения, опирающиеся на симметрию, играют важную роль в

физических,и не только физических исследованиях. Использование име-

ющихсясимметрий существенно упрощает анализ любой ситуации.

 Пространство, в котором разыгрываются физические события, -

нашеобычное трёхмерное пространство или четырёхмерный мир, или

пространство-время,рассматриваемые в специальной теории относи-

тельности,- тоже обладают определённой симметрией.

 Объясним, — Что это означает? Какой именно симметрией обладает

четырёхмерныймир?

 Идея симметрии пространства возникла из идеи симметрии геометри-

ческойфигуры, например, равностороннего треугольника или идеально

правильногокуба. В частности, куб определённо обладает очень высо-

койсимметрией, и под этим мы понимаем только то, что существуют

операции,отличные от тождественной, которые переводят куб сам в себя.

 Если представить себе, что мы распологаем двумя идентичными

экземплярамикуба, то можно представить себемысленно также и

“совмещение”этих двух кубов друг с другом при перемещениях и по-

воротахих в пространстве так, чтобы и вершины, и рёбра, и грани

кубовсовместились друг с другом. Легко видеть, что такое совмещение

можноосуществлять по-разному: повернув предварительно каким-либо определённымобразом второй куб перед совмещением его с пер-

вым.В частности, второй куб можно совместить с первым, вообще

неповёртывая его заранее. Такая операция совмещения называется

тождественной.Кроме этой тождественной операции,существуют

идругие операции, позволяющие совмещать по-разному повёрнутый

предварительноодин  экземпляр куба с другим его экземпляром.

 Наличие таких операций, которые называют  “операциями симметрии”

позволяющихсовмещать геометрическую фигуру саму с собой, свиде-

тельствуюто геометрической симметрии рассматриваемой фигуры.

Множествоопераций симметрии геометрической фигуры образуют то,

чтов математике называют группой симметрии этой фигуры.

 Чем больше число операций симметрии у геометрической фигуры, тем выше еёсимметрия. У куба, с учётом тождественной операции,

которойобладает любое даже и совсем не симметричное тело, их ока-

зывается48. У треугольника на плоскости их 3.

 Может случиться, что множество операций симметрии в группе сим-

метриифигуры бесконечно. Тогда имеем случай чрезвычайно высокой

симметрии.Так, шар в трёхмерном пространстве можно совместить с самим собой, повёртываяего на любой угол относительно любой оси,

проходящейчерез центр шара, число таких поворотов очевидно беско-

нечно.

 Вернёмся к симметрии бесконечного неограниченного пространства.

Здесьтоже следует рассматривать группу преобразований симметрии,

переводящихпространство само в себя. Что касается обычного трёх-

мерногопространства, то его группа симметрии состоит  из преобразо-

ванийпараллельных переносов пространства вдоль любой прямой на

любоерасстояние и из преобразований произвольных поворотов прос-

транствана любой угол вокруг любой оси, проходящей через любую

точкупространства.

 С указанной симметрией трёхмерного пространства очевидно связан-

наинвариантность всех его свойств относительно выбора любой пря-

моугольнойсистемы координат OXYZ , центр которой можно помес-

титьв любую точку и оси которой можно ориентировать как угодно.

 Что касается четырёхмерного мира, то его группа симметрии тоже

состоитиз бесконечного числа преоброзований, а имено-из преобро-

зованийпроизволььных параллельных переносов пространства вдоль

любой“прямой” в этом пространстве, включая и ось времени, и про-

извольных“поворотов” пространства на любой “угол” вокруг любой

“оси”в этом пространстве, включая и “повороты”, не затрагивающие

осейy и  z. Такие повороты какраз и являются рассматриваемыми нами

здесьпреобразованиями Лоренца.

 С указанной симметрией четырёхмерного мира неразрывно связана

инвариантность его геометрических свойств относительно выбора од-

нойиз систем отсчёта в классе систем отсчёта, получаемых друг из дру-

гаравномерным движением в произвольном направлении с произволь-

нойпостоянной скоростью. Этот класс “систем координат” в четырёх-

мерноммире или по-другому — систем отсчёта, отражающих внутрен-

нююсимметрию четырёхмерного мира, и является загадочным классом

инерциальныхсистем отсчёта классической механикиГалилея-Ньютона.

 Величины, не изменяющиеся при любых операциях симметрии прост-

ранства,являются его важнейшими характеристиками. Такие величины

называютинвариантными величинами, или просто инвариантами.

 В обычном трёхмерном пространстве основными величинами, инва-

риантнымиотносительно выбора декартовых осей координат, являются

длинапроизвольного отрезка и угол междудвумя произвольными отрез-

ками.Это самые важные количественные геометрические величины в на-

шемтрёхмерном пространстве.

 Если имеем две точки М1 и М2 с координатами x1,y1,z1и x2,y2,z2, в де-

картовойсистеме координат К , то квадрат длинны r отрезка между этими

точкамидаётся известным выражением

                           r2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.

Этовыражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат впространстве. Если x1’, y1’, z1’ и x2’, y2’, x2’ обозначают

координатывзятых точек относительно другой  декартовой системы К’ ,

тоимеем равенство

                       r’2 = (x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2=

                             = (x2 — x1 )2+(y2-y1  )2+(z2 -z1  )2= r2,

причёмштрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью формул преоброзованиякоординат.

 Так, если система К’ получается из системы К поворотом на уголФ, про-

изводимымпо правому винту вокруг оси z, то указанные формулы преоб-

разованияимеют вид:

                          x’ = x cos Ф — y sin Ф,

                          y’ = x cos Ф— y cos Ф,

                          z’ = z.

/>

  В четырёхмерном миретоже имеется геометрически естественная величина, подобная расстоянию междудвумя точками. Это — “расстоя-

ние”двух “точек” в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгно-

венныхточечных события М1 и М2 с координатами x1, y1,z1, t1 и x2, y2,

z2,t2 отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с

координатамиx1’,y1’,z1’,t1’ и x2’,y2’,z2’,t2’ отсчитанными относительно

другойинерциальной системы отсчёта К’. Тогда относительно преобразо-ваний Лоренца,т.е. выбора системы отсчёта К и К’, инвариантна величина

квадрататак называемого четырёхмерного , или релятивистского интер-

вала:

        s’2=(x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2-c2(t2’-t1’)2=

            =(x2  -x1  )2+(y2 -y1)2+(z2 -z1 )2-c2(t2-t1  )2= s2

Вчастности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действи-

тельноинвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые

мырассматривали выше:

                      x — vt                                         t- xv/c2

/>/>/>/>/>/>/>/>           x’=                    , y’=y,  z’=z,  t’=

                      1-v2/c2                                     1-v2/c2

Действительно,

                                                                    1

/>/>                s’2=(x2’-x1’)2-c2(t2’-t1’)2= *

                                                              1 — v2/c2

*{(x2-vt2-x1-vt1)2 — c2 (t2-x2 v/c2-t1-x1v/c)2}=

         1

/>=                   {(x2-x1)2 — 2v(x2-x1)(t2-t1)+v2(t2-t1)2}-

     1-v2/c2

         1

/>-                 {-c2(t2-t1)2+2v(x2-x1)(t2-t1)-v2/c2(x2-x1)2}=

    1-v2/c2

 

=(x2-x1)2 — c2(t2-t1)2=s2

  Как мы уже сказали,релятивистский интервал, вернее его квадрат s2

играетроль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырех-

мерномпространстве.

 В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном

трехмерномпространстве, который всегда положителен при несовпа-

дающихточках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат реляти-

вистскогоинтервала может быть как положительным, так и отрицательным. Вчетырехмерном мире имеются пары несовпадаю-

щихточек, “расстояния” между которыми  равно нулю. Например,

рассмотримгеометрическое место точек, лежащих на плоскости

xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеемусло-

вие                                        x2-c2t2= 0,

или

                                          (x-ct)(x+ct)=0.

Следовательно, искомымгеометрическим местом нескольких точек бу-

дутдве прямые, симметрично расположенные относительно оси вре-мени.                                      t

/>                        x=-ct                                      x=ct

/>


                                                                          x

/>                                               0

 Вчетырехмерном мире, или в прстранстве — времени множество точек,

удаленныхот начала координат на нулевое “расстояние”, образуют конус, осью которогоявляется ось времен. Конус называетсясветовым.

Точки,расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные

квадратырелятивистского интервала до начала координат.

Точки,расположенные вне светового конуса, имеют положительные

квадратырелятивистского интервала до начала координат.

  Множество точек, для которых квадрат интервала s2 от началакоорди-

нат0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид,

окружающийсветовой конус.

/> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>/>/>                               t

/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />

                                                              x                                                                     x

/> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>    y                                                                z

/>/>      z                                                                  y

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

  Рассматриваемое нами преобразование Лоренца- простейшее; оно

затрагиваеттолько две координаты, а именно x и t в четырехмерном

мире.Это преобразование можно рассматривать как некоторый “по-

ворот”, который называется “гиперболическим”, в плоскости xt.

  Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t

вчетырехмерном мире введем мнимую временную координату x4=ict.

Тогдапреобразования Лоренца можно записать с помощью следующих

формул:

                   1                         v/c

/>/>x1’ =                      x1 +i                         x4 ,

/>/>/>/>/>/>              1- v2/c2                                1-v2/c2

                        v/c                              1

/>/>      x1’ = i                          x1 +                       x4

/>/>/>/>/>/>                

                        1-v2/c2                                1-v2/c2

 

          x2’ = x2,    x3’=x3

                       

Здесьx1º x, x2ºy, x3ºz. Эти формулы можно сравнить сформулами обычного поворота в влоскости x0, x1наугол j, которые имеют

      

 

вид

                                                                   />

Притаком, сравнении получим, что

                                                   />

Очевидноне существует действительного угла />, который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, каклегко видеть, существует чисто мнимый угол />, для которого приведенныесоотношения будут выполняться. Действительно,

               />

                                                     />

Поэтому,как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы

                                                     />

Данныесоотношения разрешимы, так как, согласно им,

                                                      />

Каквидим, значение мнимого угла />, определяется значением отношения скоростей />. Введем теперь действительнуювременную координату />, для которой />  , или   />

Тогдаформулы преобразования Лоренца примут вид

                                                                                     />

Этоформулы так называемого гиперболического поворота- Пояснимгеометрию такого поворота. Рассмотрим плоскость />,  где

/> Тогдаимеем формулы преобразования

                                                                                     />

4.1.5. Релятивистская механика материальной точки

Принявгипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или четырехмерном мире,мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантнойне относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца.Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механикевыполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальнойточки.

Чтобыперейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественнымвеличинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат,как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерныхвекторов а, b и т.д. и операции над этими векторами, в частности длина вектора а равна /> и косинус угла /> между векторами а и b равен />, где /> — скалярное произведение векторов а в b.В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М скоординатами x,y,z, в некоторой декартовой системе координат, которыйимеет декартовы компоненты г(x, у, z), равен />

Вчетырехмерном мире для мгновенного точечного события М скоординатами x,y,z,t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести«4-радиус-вектор» cкомпонентами />  причем квадратдлины этого вектора равен />

Мгновеннойскорость материальной точки /> не является лоренц-инвариантной величиной, поэтомуМинковский вместо нее в

четырехмерноммире ввел релятивистски инвариантную «4-скорость», которая имееткомпоненты

                                                                  />

/>-интервал так называемого собственного времени материальной точки,связанный с ds — релятивистским интервалом между двумя близкимимгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близкихсостояния движения движущейся точки

/> и/>соотношением /> , т.е.

/>

гдеv — обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что />

Аналогичнымобразом релятивистски инвариантное «4-ускорение » Минковскийопределил следующим образом:

/> 

Основныеуравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механикеМинковский записал следующим образом: />/>/>/>

где/> — так называемая «массапокоя» материальной точки  /> — компоненты так называемой «4-силы „Минковского.

Покажемтеперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики материальной точкисвязаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной точки. Прежде всегоочевидно, что

                               />/>/>/>

такчто

                  />

т.е.4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю равную с.

Используянайденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для дифференциаласобственного времени, имеем следующие

уравнениядвижения:

/>/>

/>/>

Триуравнения, в которые входят /> легкосопоставить с уравнениями Ньютона. Нужно только предположить, что теперь масса m материальной точки зависит от скорости по закону />

аимпульс движущейся материальной точки определяется формулой />

гдеv — вектор мгновенной скорости материальной точки.

Четвертоеуравнение, в которое входит />, оказывается, выражает уравнение баланса кинетическойэнергии материальной точки. Чтобы в этом убедиться, умножим уравненияМинковского на /> и на -/>,соответственно и сложим. Получим тогда уравнение />

Отсюдаможно найти/>.Имеем />

где/> — мгновенная мощность,развиваемая силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Такимобразом,

                                                                        />

ипотому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид: />

Такимобразом, величину />

следуетсчитать энергией движущейся материальной точки. Если />, то приближенно получаем

/>

Второеслагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки  />

апервое слагаемое — так называемая “энергия покоя». Кинетическойэнергией материальной точки в релятивистской механике называют величину />

Приведемеще одно важное соотношение, связывающее импульс и энергию релятивистскойматериальной точки. Имеем

                                                     />

такчто имеем формулу

/>

Взаключение заметим, что описываемое релятивистское обобщение классическоймеханики материальной точки сказалось полезным при применении к электронам идругим элементарным частицам, и, как показали эксперименты, очень хорошоописывают механические движения.

Вместес тем, здесь следует отметить, что попытки релятивистского обобщения уравненийклассической механики Ньютона для системы даже двух материальных точек врелятивистской механике не увенчались успехом, здесь она столкнулись ссерьезными противоречиями и непреодолимыми трудностями.

Раздел4. Основы специальной теории относительности

и релятивистская механика.

еще рефераты
Еще работы по физике