Реферат: Лекции по физике

Тема 1

Введение в аэрогазодинамику

1. Предмет, задачи и методыаэрогидромеханики. Задачи аэрогидро­динамического расчёта.

2. Классификация видов и режимовдвижения жидкости.

3. Сравнение экспериментального,теоретического и вычислительного подходов.

4. Вычислительная аэродинамика иэтапы её развития.

1. Предмет, задачи и методыаэрогидромеханики

Одним из основных разделовсовременной физики является учение об аэрогидромеханике. Аэрогидромеханикаимеет дело с жидкими и газообразными средами. Жидкости ещё часто называюткапельными или несжимаемыми жидкостями, а вторые — газами или сжимаемымижидкостями.

Гидроаэромеханика исследуетвопросы, связанные с покоем жидкости (гидростатика) и с её движением(гидродинамика).

Главное внимание уделяетсярешению двух основных связанных между собой задач: определения распределенияскоростей и давлений внутри жидкости и определения силового взаимодействиямежду жидкостью и окружающими её твёрдыми телами.

Теория и эксперимент являютсядвумя основными подходами к решению задач гидроаэродинамики.

Теоретическая гидроаэродинамикабазируется в основном на невязкой (или так называемой идеальной) жидкости,внутри которой отсутствует внутреннее трение.

Экспериментальная гидромеханикапоставила своей целью установить закономерности течения вязкой (реальной)жидкости.

Возникновение                двух  ветвей   гидромеханики   объяснялось

отсутствием   достаточных  представлений   о  механизме  течения

жидкости   и   трудностями  решения  уравнений  движения  вязкой

жидкости.

В связи с влиянием… эффектовпоток вязкой жидкости делят на две области: пограничный слой, где преобладаютсилы трения и используются уравнения движения вязкой жидкости, и внешний поток,к которому можно применять закономерности динамики невязкой жидкости.

На основе решения задачгидродинамики удаётся получить теоретические зависимости, раскрывающиезакономерности сопротивлений, возникающий при обтекании тел (крыла и фюзеляжасамолёта, лопасти турбины, кораблей различных форм и т.д.) жидкостью.

Задачи аэродинамического расчёта

Процесс проектирования иконструирования ЛА начинается с проведения аэродинамического расчёта, в основукоторого положены две взаимозависимые задачи :

1) выбор аэродинамической компоновки ЛА,

2) расчёт аэродинамическиххарактеристик ЛА.

При выборе аэродинамическойкомпоновки ЛА решаются задачи отбора формы, размеров и взаимного расположенияэлементов ЛА.

В задачу расчёта АДХ ЛА входит:

1) расчёт распределения давленияна поверхности ЛА,

2) расчёт составляющих аэродинамическихсил и моментов,

3) расчёт аэродинамическиххарактеристик органов управления,

4) расчёт температуры и тепловыхпотоков на поверхности ЛА. Аэродинамический  расчёт  обеспечивает  исходные данные для

проведения других работ впроцессе проектирования ЛА.

1) расчёт тепловых режимовэлементов конструкций,

2) расчёт траектории полёта,

3) расчёт динамических нагрузок,

4) расчёт управляемости иустойчивости.

2. Классификация видов движенияжидкости

Проведём классификацию видовдвижения жидкости.

1. Классификация по признакузависимости движения жидкости от времени.

1.1. Установившееся(стационарное).

1.2. Неустановившееся(стационарное).

2. Классификация по признакуучёта сил трения, вязкости и теплопроводности.

2.1. Идеальная невязкая жидкость.

2.2. Вязкая жидкость.

3. Классификация по виду движенияжидкости (поступательное или вращательного движение).

3.1. Безвихревое (потенциальное)(движение, когда вращение отсутствует).

3.2. Вихревое движение.

4. Классификация по характеруизменения плотности в потоке.

4.1. Несжимаемая (жидкость),

4.2. Сжимаемая (газ),

5. Классификация по скорости и еёотношению к скорости расши­ряющихся возмущений (скорости звука).

5.1. Дозвуковое ()

а — скорость звука

5.2. Трансзвуковое ()

5.3. Сверхзвуковое ()

6. Классификация по режимутечения.

6.1. Ламинарный режим, ()

6.2. Турбулентный режим ()

7. Вид течения.

7.1. Свободное.

7.2. Вынужденное.

3. Сравнение экспериментального,теоретического и вычислительного методов

Метод Преимущества Недостатки Эксперимент 1. Получение наиболее близких к реальным результатов

1. Сложное оборудование

2. Проблемы моделирова­ния

3. Обработка полученной информации. Кор. измер. значений

4. Сложность измерений

5. Стоимость

Теоретический 1. Получение информа­ции в виде формул

1. Ограниченность про­стейшими конфигураци­ями

2. Обычно применим толь­ко к линейным задачам

Численный

1. Нет ограничений, связанных с нели­нейностью

2. Описание сложных физических процес­сов

3. Описание эволюции течения

1. Погрешность округле­ния

2. Проблемы задания ГУ

3. Стоимость ЭВМ

Основные этапы математичкескогомоделирования

Рис.

Структурные элементыматематического моделирования вместе со связями показаны на рисунке.

Математическая постановка задачибазируется на физической модели рассматриваемых течений, которая строится на основеимею­щихся данных об объекте исследования.

Характеризующие математическуюмодель исходные уравнения и граничные условия с помощью конечно-разностныхметодов преобразу­ются в дискретную модель.

В результате реализациидискретной модели на одном из… программирования программу для ЭВМ. Решениетестовых задач и ана­лиз результатов позволяет убедиться в работоспособностиразрабо­танных алгоритмов и программ.

Решение конкретных задач и анализполученных результатов позволяет судить об эффективности и применимостиразработанных алгоритмов.

Если обнаружится несоответствиерасчётных и эксперименталь­ных данных — это значит, что физическая модель,математическая модель или дискретная модель не адекватны изучаемому объекту. Вэтом случае проводятся дополнительные исследования. Процесс ис­следованияпродолжается до момента устранения.

4. Три этапа развитиявычислительной аэрогидродинамики

Этап

(урав.)

Результ.расчёт. Год расчёта ЭВМ

Время

рас-

чёта

профиль реальн.ком.

I

Ур.потен.

1. Распр. давл.

2. Индук. сопр.

1930 1968

IBM 360

CDC 6600

5 м

II

Ур.Эйлера

1. Трансзвук

2. Гиперзвук

1971 1976

370

7600

5

III

Ур. Н.-С.

1. Отр. потока

2. Турб.

1975 1985 CRAV 5

Рис.                                                                              Рис.

Рис.                                      Методырасчета параметров течения

Тема 2

Физические свойства жидкостей игазов

1. Различные состояния вещества.Твёрдые тела, жидкости и газы. Силы, действующие на жидкости.

2. Основные свойства реальныхжидкостей.

3. Поверхностное натяжение.

4. Уравнение состояния. АдиабатаТэйда.

1. Различные состояния вещества.Твёрдые тела, жидкости и газы

В природе различают четыреагрегатных состояния вещества: твёрдое, жидкое, газообразное и плазменное.Жидкость занимает про­межуточное положение между твёрдыми телами и газами.Свойства жид­костей при низкой температуре и высоком давлении близки к свойст­вамтвёрдых тел, а при высокой температуре и низком давлении — к свойствам газов.

Жидкость, как всякое тело, имеетмолекулярное строение, т.е. состоит из молекул, объём пустот между атомаминамного превосходит объём самих молекул. Причём в жидкостях и твёрдых телахобъём пус­тот между молекулами меньше, а межмолекулярные силы больше, чем вгазах. Виду бесконечной малости молекул и пустот между ними по сравнению срассматриваемыми объёмами жидкости можно рассматривать жидкости и газы в виде… сплошной среды, придавая ей свойства непрерывности.

Жидкость — это физическое тело,обладающее лёгкой подвижнос­тью частиц, текучестью и способное изменять своюформу под воздей­ствием внешних сил.

Жидкости разделяют на сжимаемые(газообразные) и несжимаемые или весьма малосжимаемые (капельные).

Для облегчения изучения законовдвижения жидкости вводят по­нятия идеальной и реальной жидкости.

Идеальные — невязкие жидкости,обладающие абсолютной подвиж­ностью, т.е. отсутствием сил трения и касательныхнапряжений и аб­солютной неизменностью а объёме под воздействием внешних сил.

Реальные — вязкие жидкости,обладающие сжимаемостью, сопро­тивлением растягивающим и сдвигающим усилиям идостаточной подвиж­ностью, т.е. наличием сил трения и касательных напряжений.

Реальные жидкости могут бытьньютоновскими и неньютоновскими (бингамовскими). В ньютоновских жидкостях придвижении одного слоя жидкости относительно другого величина касательногонапряжения пропорциональна скорости сдвига. При относительном покое эти на­пряженияравны нулю. Такая закономерность была установлена Ньюто­ном в 1686 году,поэтому эти жидкости (вода, масло, бензин, керо­син, глицерин и др.) называютньютоновскими жидкостями.

Неньютоновские жидкости необладают большой подвижностью и отличаются от ньютоновских жидкостей наличиемкасательных напря­жений (внутреннего трения) в состоянии покоя. Эта особенностьбы­ла подмечена Ф.Н.Шведовым (1889), а затем Бингемом (1916), поэтому такиежидкости (битум, гидросмеси, глинистый раствор, коллоиды, нефтепродукты притемпературе, близкой к температуре застывания) получили и другое название — бингемовские.

Силы, действующие в жидкости,принято делить на внутренние и внешние.

Внутренние силы представляютсобой силы взаимодействия частиц жидкости, внешние силы делятся на силыповерхностные и объёмные.

Поверхностные силы (сжатие,давление, растяжение, силы тре­ния) приложены к поверхностям, ограничивающимобъём жидкости.

Объёмные силы (например, силатяжести, сила инерции, электро­магнитная сила) распределяются по всему объёмужидкости.

С термодинамической точки зрениясостояние жидкости или пара характеризуется тремя параметрами: давлением ...,плотностью… и температурой Т, связанными между собой уравнением состояния.

Исходной единицей давления вМеждународной системе единиц СИ является паскаль:

...

На практике используют болеекрупные единицы — гектапаскаль (1гПа =… Па), килопаскаль (1кПа =… Па),бар (1бар =… Па) и метапаскаль (1МПа =… Па).

В технической литературе частовстречается другая единица из­мерения давления — техническая атмосфера (ат).

...

Плотность выражается в единицахмассы, приходящихся на едини­цу объёма.

Исходной единицей массы в СИслужит

1 кг

Размерность плотности

...

Основные гипотезы и понятиясплошной среды

Классическая гидромеханикаоснована на трёх утверждениях:

1) справедлива классическаямеханика — механика Ньютона

2) справедлива классическаятермодинамика

3) справедлива гипотезасплошности.

Первое утверждение предполагает,что изучаются движения со скоростями, малыми по сравнению со скоростями света ирассматри­ваются объекты, размеры которых существенно превосходят размерымикромира.

Второе утверждение предполагает,что в окрестности каждой точки жидкость находится в состояниитермодинамического равнове­сия, вследствие чего можно пользоватьсятермодинамическими зако­нами.

Третье утверждение предполагаетзамену реальной жидкости с

её дискретным молекулярнымстроением моделью сплошного распределе­ния вещества по рассматриваемому объёму.Возможность такой замены и носит название гипотезы сплошности.

Плотность жидкости в данной точкеопределяется как предел: ...

В системе СИ единица плотности ...

В технических приложениях частоиспользуется такая единица

СИ — вес единицы объёма илиудельный вес:

...

Объёмные и поверхностные силы

Поверхностные силы (сжатие,давление, растяжение, силы тре­ния) приложены к поверхностям, ограничивающимобъём жидкости.

Объёмные силы (например, силытяжести, сила инерции, электро­магнитная сила) распределяются по всему объёмужидкости.

Пусть… — главный векторобъёмных сил, действующих в объёме…. Тогда вводится понятие плотностираспределения

объёмных сил в виде предела

...

Рассмотрим поверхностные силы.Пусть… — главный вектор силы, приложенной с одной стороны, к площадке….Индекс "..."

означает не проекцию силы, ауказание на то, что сила действует на

площадке…, произвольноориентированной в пространстве. Введём

в рассмотрение вместо силынапряжение

...

Рассмотрим тетраэдр, три граникоторого параллельны коорди­натным плоскостям, а четвёртая ориентированапроизвольным образом.

...

...

Обозначим площади граней                                                         ...

Ориентация площади определяетсяединичной нормалью… с направля­ющими косинусами ...             . Тогдасправедливы соотношения

...

Пусть высота тетраэдра равна…. Тогда его объём равен

...                                      .Воспользуемся вторым законом Ньютона и со-

ставим уравнение движениятетраэдра:

...

...

где… — ускорение центра масстетраэдра.

Переходя к пределу (устремляя...  ), получим

...

Получим формулу Коши,утверждающую, что напряжения на гранях образуют систему взаимно уравновешенныхнапряжений.

Проектируя векторное уравнение наоси координат, получим три скалярных уравнения:

...

...

...

Напряжённое состояние впроизвольной точке сплошной среды ха­рактеризуется девятью компонентами,образующими тензор второго ранга или диаду:

…

Тензор напряжений в произвольнойточке пространства обладает свойством симметрии (теорема Коши о взаимностикасательных напряже­ний)

...

Он содержит лишь шестьнезависимых компонент.

Рассмотрим равенство Коши дляслучая отсутствия касательных напряжений, т.е. полагая   ...= 0. Посколькувязкость по гипотезе Ньютона проявляется только при наличии неоднородного поляскорос­тей, сделанное предположение будет соответствовать либо покою жид­кости,либо её движению как твёрдого тела6 либо равенству нулю вязкости (… = 0).

Итак

...

С другой стороны,

...

Сравнивая равенства, находим

...

Введём понятие давления Рсогласно равенствам

...

Таким образом, в случаеотсутствия касательных напряжений давление в точке является скалярнойвеличиной, т.е. оно не зави­сит от ориентации площадки, проходящей черезрассматриваемую точ­ку. Знак минус означает, что давление рассматривается каксжимаю­щее напряжение.

Температура жидкости выражается вединицах градусов абсолют­ной шкалы

…

2. Основные свойства реальныхжидкостей

Сжимаемость. При сжатии реальныежидкости незначительно умень­шаются в объёме. Свойство жидкостей изменять объёмпри изменении давления характеризуется коэффициентом объёмного сжатия  …,представляющим собой относительное изменение объёма жидкости… при изменениидавления Р на единицу

...

где … — первоначальный объёмжидкости, ...

… — изменение объёма… приувеличении давления на

величину ...

Модулем объёмной упругостижидкости… называется величина, обратная коэффициенту объёмного сжатия….Для воды при атмосферном давлении он составляет около 2000 МПа.

При повышении давления на 0.1 МПаобъём воды уменьшается всего лишь на   ...       первоначального объёма.

Коэффициент объёмного сжатия длядругих капельных жидкостей такого же порядка, поэтому в большинстве случаевсжимаемостью капельных жидкостей можно пренебречь.

Температурное расширение

Это свойство жидкостей изменятьсвой объём. Характеризуется ко­эффициентом температурного расширения ... ,представляющим собой относительное изменение объёма жидкости… при изменениитемпера­туры… на 1 С и постоянном давлении

...

Коэффициент температурногорасширения ...  при… = 20 С и давлении ...  Па:

для воды                  0.00015С

для спирта  0.00110 С

для нефти   0.00060 С

Вязкость — это способностьжидкости оказывать сопротивление скольжению одного слоя относительно другого.Силы, возниающие при скольжении слоёв, называют силами внутреннего трения илисилами вязкости. Появление их обусловлено наличием межмолекулярных связей междудвижущимися слоями. Вязкость характеризует степень подвиж­ности частиц жидкостиили текучести.

Согласно гипотезе, высказаннойвпервые Ньютоном в 1686 году, а затем экспериментально обоснованной профессоромН.И.Петровым в 1863 году, силы внутреннего трения, возникающие между соседнимидви­жущимися слоями жидкости, прямо пропорциональны градиенту скорос­ти,площади трущихся слоёв и зависит от свойств жидкости, т.е.

...

или

...

где  Т   — сила трения

… — площадь поверхноститрущихся слоёв

… — динамический коэффициентвязкости

… — касательное напряжение

… — градиент скорости

Из соотношения для силы тренияможно определить динамическую вязкость

...

В гидравлических расчётах частоиспользуется кинематическая вязкость, равная отношению динамической вязкости… к плотности… жидкости:

...

Вязкость жидкостей зависит оттемпературы. С увеличением тем­пературы вязкость капельной жидкостиуменьшается, а вязкость га­зов, наоборот, возрастает.

Кинематическая вязкость воды

при … = 20   имеет значение 101 ...

при … = 40   имеет значение  66 ...

при … = 60   имеет значение  48 ...

Вязкость жидкостей измеряют спомощью приборов — вискозимет­ров.

Для неньютоновских (бингемовских)жидкостей соотношение между касательными наряжениями… и градиентом скорости… имеет вид

...

… — касательное напряжение всостоянии покоя.

Движение вязкопластическихжидкостей начинается лишь после то­го, как внешней силой преодоленосопротивление сдвига… .

3. Поверхностное натяжение

Молекулы жидкости, находящиеся насвободной поверхности (тре­ние, раздела жидкость — газ или жидкость — пар),испытывают одно­стороннее воздействие со стороны соседних молекул. Поэтому накри­волниейной поверхности должны возникать растягивающие усилия. Дляколичественного описания этого явления ещё в 1805 году Юнгом была проведенаклассическая аналогия с упругой плёнкой. Натяжение этой плёнки, т.е. усилие,приходящееся на единицу длины поперечного разреза плёнки, характеризуетсякоэффициентом поверхностного натя­жения

...

Сила поверхностного натяжениястремится сократить площадь свободной поверхности. Их действие впервыеобнаружено в капилярах, поэтому эти силы до сих пор часто называют капилярными.

Величина… зависит прежде всегоот природы контактирующих сред. Числовые значения его для некоторых парприведены в таблице.

Таблица

Вещество Контактирующая среда Температура, К Коэф. пов. натяжения ...

| Вода            |         Воздух        |         293          |               72,8                           |

|                                                  |                         |                                                 |

| Жидкий   |  Пар. вещест-|                  373          |               58,8                           |

| водород  |                ва              |                         |                                                 |

|                     |                             |                         |                                                 |

| Жидкий   |                                |           21          |                 2,0                           |

| кислород |   то же                    |           91          |               13,0                           |

-----------------------------------------------------------------

Коэффициент поверхностногонатяжения… падает с ростом тем­пературы и практически не зависит отдавления. Поверхностное натя­жение может быть существенно снижено с помощьюповерхностно-актив­ных веществ, к числу которых относятся моющие средства.

Величина… может служить меройсвободной энергии, которой обладает граница раздела:

...

где… — площадь свободнойповерхности.

В этом случае

...

что согласуется с ранее указаннойразмерностью.

Существование поверхностногонатяжения должно приводить к возникновению на криволинейной поверхностиперепада давлений, ко­торые будут зависеть от конкретной геометрии поверхности.

Для объяснения этого фактарассмотрим равновесие элемента не­плоской поверхности с линейными размерами…и… и главными ра­диусами кривизны… и… соответственно.

...

...

Равнодействующие силповерхностного натяжения, действующих на границе выделенного контура, равны…и ..., а возникающая вслед­ствие этого сила, действующая по нормали квыделенной площадке, в первом приближении равна

...

С учётом того, что

...

имеем выражение для силы

...

Эта величина, очевидно, и естьскачок давления на поверхности раздела двух сред, обусловленный поверхностнымнатяжением.

Обозначив теперь через… и…давление в средах на границе раздела из условия равновесия элементарнойплощадки, запишем соот­ношение

...

которое называется формулойЛапласа.

Для цилиндрических поверхностей скруговым поперечным сечени­ем радиуса… имеем… = ...,… =… и формулаЛапласа прини­мает вид:

...

В случае сферических поверхностей… =… =… и тогда получаем:

...

Если радиус сферической полостимал, то давления, развиваемое поверхностным натяжением, могут статьзначительными.

...

...

Весьма характерной являетсясистема газ — жидкость — твёрдая стенка. В этом случае вводят значение краевогоугла (угла   … или угла смачивания).

Характерные значения краевыхуглов приведены в таблице

Таблица

| Тв. вещества| Жидкость |   Кр. угол, град     |             |                           |                      |

|

|

|

|

Сталь | | |

Сталь |

Вода

Жидкий водород

Жидкий кислород

Ртуть

|      70 — 90         |

|         0            |

|         0            |

|     128...148        |

Если                   ...  ,жидкость называется смачивающей, если ...

— несмачивающей.

Высота подъёма или опусканияжидкости в капиляре определяется с помощью соотношения

...

где… — диаметр капиляра, а…- угол смачивания.

Уравнение состояния воды.Адиабата Тэйда

Опыт показывает, что междуосновными параметрами, характери­зующими состояние газа (давление, плотность,температура) сущес­твует определённая зависимость.

Уравнение

...

устанавливающее связь между этимипараметрами, называется уравнением состояния.

Поэтому состояние любого газаопределяется двумя параметрами (например, плотностью и температурой), так кактретий параметр (давление) можно найти из уравнения состояния.

Для идеального газа уравнениесостояния можно представить в виде

...

где ...                                              — газовая постоянная, зависящая от

относительной молекулярной массы…. Для воздуха… = 29,

… = 287… .

Существенное отклонение свойстввоздуха от свойств идеального газа наблюдается при высоких давления и низкихтемпературах. На состояние газа влияют такие процессы, как диссоциация и… .

Уравнение состояния воды

Пусть в равновесном состояниисправедливо уравнение

. Тогда при малых отклоненияхпараметров Р и Т от… и… уравнение состояния воды в линейном приближенииможно записать в форме, предложенной Буссинеском:

...

где                                                        — коэффициент изотермической сжимае-

мости

— коэффициент тепловогорасширения При температуре 293 К

...

Зависимость… от давлениявесьма стойкая.

Адиабатические процессы,характеризующиеся отсутствием внеш­него подвода или отвода тепла, протекают вводе практически при постоянной температуре. Это объясняется особенностьюмолекулярно­го строения жидкости. Ввиду большой плотности упаковки молекулыжидкости помимо обмена импульсами в ...           движении испы­тываютдополнительные силы отталкивания. При сжатии жидкости даже без нагреванияразвивается большое внутреннее давление нетеплово­го происхождения. Изменениедавления происходит только в результа­те давления происходит только врезультате изменения его механи­ческой компоненты.

В случае значительных измененийдавления связь между плот­ностью и давлением становится существенно нелинейной.Наиболее широкое распространение получило эмпирическое уравнение ...

, которое носит названиеуравнения Тэйда:

...

где С и… — константы ( С…3200… Па,… = 7.15).

Уравнение Тэйда устанавливаетзависимость плотности только от давления. Это означает, что оно описываетбаротропный процесс.

Тема 3

Кинематика течений жидкости

1. Два подхода к описаниюдвижения сплошной среды.

Переменные Эйлера и Лагранжа.

2. Траектория. Линия(поверхность) тока.

3. Кинематика вихрей. Циркуляцияскорости.

Кинематикой называется разделмеханики, изучающий движение материальных тел в пространстве с геометрическойточки зрения без выяснения причин его возникновения. Все кинематическиевеличины, характеризующие движение твёрдого тела и движение отдельных точек(расстояния, скорости, ускорения и т.д.), рассматриваются как фун­кции времени.

1. Два подхода к описаниюдвижения сплошной среды.

Переменные Эйлера и Лагранжа

Для описания движения сплошнойсреды возможны два подхода. Один из них называется лагранжевым, другой — эйлеровым.

Лагранжев метод описания движенияотносится к типу отсчётных. В некоторый (начальный) момент времени… каждаяиз жидких частиц маркируется путём присвоения ей значения координат в данныймомент времени.

В трёхмерном пространстве введёмобозначения

...

В дальнейшем прослеживаетсядвижение каждой частицы индивиду­ально. При таком подходе положение частицы вкаждый момент времени

...                   будетзависеть от параметров а, б, с и ..., которые назы-

ваются переменными Лагранжа.Можно записать, что вектор положения

жидкой частицы равен

...

Скорость жидкой частицы выразитсячерез производную ради­ус-вектора

...

а ускорение через производнуюскорости

...

В последних двух формулах придифференцировании параметры а, б, с являются постоянными,… и… являютсятолько функционала­ми времени и в этом случае энергии дифференцирования… и… тождественны.

Эйлеров метод описания движенияотносится к типу простран­ственных. В каждой точке пространства с координатами… изучаются параметры движения в различные моменты времени…. Такимобразом, скорость жидкости в различных точках пространства должна быть функциейчетырёх переменных ...    , называемых переменными Эйлера,

...

а её дифференциал

...

В движущейся среде приращения ...                                        не...

независимыми, а соответственноравны

...

Поэтому справедливо равенство

...

где

...

Это означает, что полноеускорение… индивидуальной жид­кой частицы, находящейся в момент времени…в точке пространства

с координатами ...            ,состоит из двух частей: локального ускоре-

ния ... , обусловленногоизменением скорости во времени в данной

точке, и конвективного ускорения... , обусловленного неоднород­ностью поля скоростей в окрестности даннойточки и связанного с этим обстоятельством конвективного переноса.

Производная ...  носит названиеиндивидуальной или субстан­циональной производной.

Если ...                        ,поле скоростей стационарно, однако это ещё

не означает, что в жидкостиотсутствуют ускорения. Стационарность

или нестационарность поляскоростей зависит от выбора системы ко­ординат.

Если ...                         =0, поле скоростей однородно.

2. Траектория. Линия(поверхность) тока

Траекторией жидкой частицыназывается геометрическое место точек пространства, через которое частицапоследовательно проходит во времени.

В переменных Лагранжа траекториюопределяет уравнение

...

Если задача решена в переменныхЭйлера, то известно поле ско­ростей ...           и траекторию следует находитьпутём решения дифференциального уравнения

...

с начальным условием:                   при...                      .

Линией тока называется линия, вкаждой точке которой в каждый момент времени скорость направлена по касательнойк этой линии.

В векторной форме условиетангенциальности можно записать в виде

...

В проекциях на оси координатполучим систему уравнений

...

которую можно переписать также ввиде

...

Время здесь являетсяфиксированным параметром.

В стационарном случае траекторияи линия тока совпадают. В нестационарных течениях траектории отличаются отлиний тока.

Поверхность тока определяется какповерхность, в каждой точке которой в фиксированный момент времени векторскорости лежит в ка­сательной плоскости. Такую поверхность можно образовать,например, путём проведения через замкнутую кривую непрерывной совокупностилиний тока. В этом случае говорят о трубке тока.

2. Кинематика вихрей

Рассмотрим вектор вихря скорости,который определяется соот­ношением

...

называемый иногда векторомзавихренности.

Линии в потоке жидкости, в каждойточке которой вектор вихря скорости является касательным к данной линии,называются вихревыми линиями.

...

...

Обобщение данного понятия наповерхность (вектор вихря в каж­дой точке поверхности должен лежать вкасательной плоскости) даёт понятие вихревой поверхности или вихревого слоя.

Совокупность вихревыхлиний, проведенных через замкнутый кон­тур, образует вихревую поверхность, ажидкость, заключённая внутри вихревой поверхности, — вихревую трубку.

Интенсивность вихревой трубкиудобнее выразить через циркуля­цию вектора скорости Г.

В общем случае Г определяется как

...

где… — вектор перемещениявдоль произвольного контура, со­единяющего точки А и Б.

Если контур замкнут, то

...

Тема 4

Система уравнений гидростатики.

Динамика течений невязкой(идеальной) жидкости

1. Уравнение неразрывности.

2. Уравнение Эйлера.

3. Уравнение адиабатическогодвижения жидкости.

4. Уравнения Эйлера в формеГромеки.

5. Гидростатика.

6. Уравнение Бернулли.

Система уравнений, описывающихтечение жидкостей и газов, ос­новывается на фундаментальных законах сохранения.К ним относятся законы сохранения массы, количества движения, энергии.

Уравнения записываются винтегральной или дифференциальной форме в зависимости от типа решаемой задачи.

Рассмотрим систему уравнений,которая описывает динамику те­чений невязкой (идеальной ) жидкости.

Идеальной называется жидкость, укоторой нет трения, т.е. жидкие элементы, могут свободно перемещаться вкасательном направ­лении один относительно другого. В такой жидкостиотсутствует теп­лообмен между различными её участками, а тангенциальные инормаль­ные силы внутреннего трения не возникают.

В идеальной жидкости существуютсилы только нормального да­вления, однозначно определяемые её плотностью итемпературой. Иде­альная жидкость — абстракция, которой можно пользоваться напрак­тике, если скорости изменения деформации в жидкости малы. Посколь­кукасательные напряжения связаны с понятием вязкости, можно ут­верждать, чтоидеальная жидкость — это невязкая жидкость.

Движение идеальной жидкости будемрассматривать в поле сил, характеризуемых объёмной плотностью на единицу объёмажидкости.

1. Уравнение неразрывности

Вывод основных гидродинамическихуравнений начнём с вывода уравнения неразрывности, выражающего закон сохраненияв гидродина­мике.

Математическое описание состояниядвижущейся жидкости осуще­ствляется с помощью функций, определяющихраспределение скоростей… и каких-либо двух термодинамических вели­чин,например,… — давления и… — плотности.

Скорость, давление и плотностьжидкости будем относить к дан­ным точкам пространства,  а не к определённымчастицам жидкости, передвигающимся во времени и в пространстве. То есть будемпользо­ваться переменными Эйлера.

...

...

Рассмотрим некоторый объём…пространства. Количество (мас­са) жидкости в этом объёме есть

...

Через элемент поверхности ...,ограничивающей рассматриваемый объём, в единицу времени протекает количество… жидкости.

Вектор… по абсолютной величинеравен площади элемента по­верхности и направлен по внешней нормали к ней. Тогда… положительно, если жидкость вытекает из объёма, и отрицательно, ес­лижидкость втекает в него.

Полное количество жидкости,вытекающей в единицу времени из объёма ...

...

где… — поверхность,ограничивающая выделенный объём… .

С другой стороны, уменьшениеколичества жидкости в объёме… можно записать в виде

...

Приравнивая оба выражения,получаем:

...

Интеграл по поверхностипреобразуем в интеграл по объёму

...

Таким образом,

...

Поскольку это равенство должноиметь место для любого выде­ленного объёма, то должно быть равным нулюподынтегральное выраже­ние, т.е.

...

Получили уравнение неразрывности.

...                      выражение...   можно записать

...

В декартовых координатах

...

Вектор

...

называют плотностью потокажидкости.

Его направление совпадает снаправлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количествожидкости, протекающей в единице времени через единицу площади, расположеннойперпендику­лярно к скорости.

2. Уравнения Эйлера

Выделим в жидкости конечныйобъём. Полная сила, действующая на выделенный объём жидкости, равна интегралу

...

взятому по поверхностирассматриваемого объёма. Преобразуем его в интеграл по объёму, имеем

...

Отсюда видно, что на каждыйэлемент объёма… жидкости дей­ствует со стороны окружающей его жидкости сила-…. Тогда на единицу объёма жидкости действует сила… .

Мы можем теперь написатьуравнение движения элемента объёма жидкости, приравняв силу ...         произведению массы… еди­ницы объёма жидкости на её ускорение

...                                                                                              (1)

Стоящая здесь производная… определяетне изменение скорос­ти жидкости в данной неподвижной точке пространства, аизменение скорости определённой передвигающейся в пространстве частицы жид­кости.Эту величину необходимо выразить через величины, относящи­еся к неподвижным впространстве точкам.

Изменение скорости… даннойжидкой частицы в течение време­ни… складывается из двух частей:

— из изменения скорости в даннойточке пространства в течение времени ...

— и из разности скоростей (в одини тот же момент времени) в двух точках, разделённых расстоянием ..., пройденнымрас­сматриваемой частицей в течение времени… .

Первая из этих частей равна

...

где производная берётся ...  припостоянных                                             ...,

т.е. в заданной точкепространства.

Вторая часть изменения скоростиравна

...

Таким образом,

...

или, разделив обе скоростиравенства на ...

...

Подставив полученное соотношениев (1), получим

...

Полученное уравнение движенияжидкости — уравнение Эйлера (1755), и является одним из основных вгидродинамике.

Если жидкость находится в поле тяжести,то на каждую единицу её объёма действует ещё сила ... , где… есть ускорениесилы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне уравне­ния иуравнение принимает вид:

...

При выводе уравнений движения мысовершенно не учитывали про­цессов диссоциации энергии, которые могут иметьместо в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости итеплообмена между различными её участками.

Отсутствие теплообмена междуотдельными участками жидкости означает, что движение происходит адиабатически.Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать какадиабатичес­кое.

При адиабатическом движенииэнтропия каждого участка жидкости остаётся постоянной при перемещениипоследнего в пространстве. Обозначая… энтропию, отнесённую к единице массыжидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением

...

полная производная по времениозначает изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Этупроизводную можно записать в виде

...

Это есть общее уравнение,выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости. С помощьюуравнения неразрывности его можно написать в виде уравнения неразрывности дляэнтропии.

...

где ...   — плотность потокаэнтропии.

Иногда это условие используют вболее простой форме. Если в некоторый момент времени энтропия одинакова во всехточках объёма жидкости, то она остаётся везде одинаковой и неизменной современем и при дальнейшем движении жидкости.

В этих случаях уравнениеадиабатичности записывается в виде

...

Изэнтропичностью движения можновоспользоваться и предста­вить уравнения Эйлера в другом виде. Изтермодинамических соотно­шений известно

...

… — тепловая функция единицымассы жидкости,

...   — удельный объём, Т — температура.

Поскольку  ...., имеем просто

...

и поэтому

...

Уравнения Эйлера можно записать ввиде

...

Воспользуемся известной формулойвекторного анализа

...

уравнение Эйлера можно записать вдругом виде

...

К уравнениям движения необходимодобавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающихжидкость границах. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собойпросто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твёрдую поверхность.

На неподвижных стенках этоозначает, что должна обращаться в нуль нормальная к стенке компонента вектораскорости:

...

3. Гидростатика

Для покоящейся жидкости,находящейся в однородном поле тяжес­ти, уравнение Эйлера принимает вид

...

Это уравнение описываетмеханическое равновесие жидкости.

Если внешние силы вообщеотсутствуют, то уравнения равновесия дают

...

т.е.   ...                                    .

— давление одинаково во всехточках жидкости.

Притом плоскость жидкостипостоянна во всём объёме. Направим ось… вертикально вверх, имеем

...

Откуда

...

Если покоящаяся жидкость имеетсвободную поверхность (на высоте ...), к которой приложено одинаковое во всехточках внешнее давление ..., то эта поверхность должна быть горизонтальной плос­костью...  .

...

...

Из условия ...  при ...  имеем

...

так что

...

4. Уравнение Бернулли

Уравнения гидродинамики заметноупрощаются в случае стацио­нарного течения жидкости. Под стационарным (илиустановившимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точкепростран­ства, занятого жидкостью, скорость течения остаётся постоянной вовремени. Скорость… остаётся функцией только координат

...

...

Рассмотрим некоторые сведения олиниях тока. Линии тока это линии, касательные к которым указывают направлениевектора скорос­ти в точке касания в данный момент времени. Уравнения линий токаопределяются системой дифференциальных уравнений

...

При стационарном движениижидкости линии тока остаются неиз­менными во времени и совпадают с траекториямичастиц жидкости.

При нестационарном течении такоесовпадение не имеет места:

— касательные к линии тока даютнаправление скорости разных частиц жидкости в последовательных точкахпространства в определённый момент времени

— касательные к траектории даютнаправление скорости опреде­лённых частиц в последовательные моменты времени.

Умножим уравнение Эйлера длястационарного потока жидкости на единичный вектор касательной к линии тока вкаждой её точке… .

Проекция градиента на некотороенаправление равна производ­ной, взятой по этому направлению. Поэтому

...

Вектор                 ... перпендикулярен вектору скорости, и поэтому

его проекция на направление…равна нулю

...

Таким образом получаем

...

Откуда следует, что величина ... постоянна вдоль линии тока

...

Значение…, вообще говоря,различно для разных линий то­ка. Это уравнение называют уравнением Бернулли.

Если течение жидкости происходитв поле сил тяжести, то в правой части уравнений Эйлера есть ускорение силытяжести… .

Выберем направление силы тяжестив качестве направления оси ..., причём положительные значения… отсчитываютсявверх. Тогда проекция… на… есть

...

Соответственно этому будем иметь

...

Таким образом, уравнение Бернуллигласит, что вдоль линий тока остаётся постоянной длина

...

Тема 5

Потенциальные и несжимаемыетечения

1. Сохранение циркуляции.

2. Потенциальное движение.

3. Несжимаемая жидкость.

1. Сохранение циркуляции скорости

Интеграл

...

взятый вдоль замкнутого контура,называют циркуляцией ско­рости вдоль этого контура.

Рассмотрим некоторый замкнутыйконтур, проведенный в жидкос­ти в некоторый момент времени. Будем рассматриватьего как «жид­кий», составленный из находящихся на нём частицжидкости. С тече­нием времени контур перемещается.

Вычислим производную по времениот циркуляции скорости с учё­том подвижности контура. Временноедифференцирование по координа­там обозначим знаком ..., знак… — дифференцирование по времени. Будем учитывать, что меняются скорость и самконтур.

...

По определению скорость… этопроизводная радиус-вектора ...

...

Интеграл по замкнутому контуру отполного дифференциала ра­вен нулю и остаётся

...

Из уравнений Эйлера имеем

...

Применим формулу Стокса, получаемтогда (поскольку ........)

...

Таким образом, переходя к прежнимобозначениям, находим око­нчательно:

...                                                                или            ...

Мы приходим к результату, что видеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остаётсянеизменной со временем.

Это утверждение называетсятеоремой Томсона или законом со­хранения циркуляции скорости. Соотношениеполучено путём использо­вания уравнений Эйлера с использованием предположенияоб изэнтро­пичности движения жидкости.

Применим теорему Томсона кбесконечно малому замкнутому кон­туру… и преобразовав интеграл по теоремеСтокса, получим:

...

где… — элемент поверхности,опирающейся на контур… Вектор… часто называется завихренностьютечения жидкости в данной её точке. Постоянство произведения…...      можно использовать, сказав, что завихренность переносит­ся вместе сдвижущейся жидкостью.

2. Потенциальное движение

Движение жидкости, при котором вовсём пространстве

...

называется потенциальным (илибезвихревым) в противополож­ность вихревому движению, при котором роторскорости отличен от нуля.

Таким образом, мы пришли бы квыводу, что стационарное обте­кание взятого тела натекающим из бесконечностиоднородным потоком

должно быть потенциальным.Поскольку на бесконечности натекающий

поток однороден, его скорость ...                    ,так что… = 0 на всех

линиях тока.

Однако, ввиду наличия стенкинельзя провести в жидкости за­мкнутый контур, который охватывал бы такую линиютока.

...

...

В результате возникает картинатечения, характеризующаяся наличием отходящей от тела «поверхноститангенциального разрыва», на которой скорость жидкости терпит разрывнепрерывности.

Как и всякое векторное поле сравным нулю ротором, скорость потенциально движущейся жидкости может бытьвыражена в виде гра­диента от некоторого скаляра, называемого потенциаломскорости ...

...

Напишем уравнения Эйлера в виде

...

и подставив в него ........,получаем

...

Откуда находим следующе равенство

...

где… произвольная функциявремени. Это равенство представ­ляет собой первый интеграл уравненийпотенциального движения.

При стационарном движении имеем… = 0,… и интеграл переходит в уравнение Бернулли

...

Отметим существенные отличиямежду уравнениями Бернулли в случае потенциального и непотенциального движения.… в правой части этого уравнения есть величина, постоянная вдоль каждойлинии тока, но вообще говоря, различная для разных линий тока.

При потенциальном же движении…в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всём объёме жидкости.

3. Несжимаемые жидкости

Для плоских течений жидкостей ихплотность можно считать по­стоянной вдоль всего объёма жидкости в течение всеговремени движе­ния. Такое движение называется движением несжимаемой жидкости.

Общие уравнения гидродинамики длянесжимаемой жидкости упро­щаются. Уравнение неразрывности при…принимает простой вид

...

уравнения Эйлера не меняют своеговида, запишем их в виде

...

Для несжимаемой жидкости тепловаяфункция записывается следу­ющим образом

...

Тогда уравнение Бернулли для несжимаемойжидкости имеет вид

...

Особенно упрощается уравнение дляпотенциального течения не­сжимаемой жидкости.

При подстановке… вуравнение неразрывности… = 0, получим

...

то есть уравнение Лапласа дляпотенциала… .

Граничные условия. К этомууравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхностисоприкосновения жидкости с твёр­дыми телами:

— на неподвижных твёрдыхповерхностях нормальная к поверхнос­ти компонента… скорости жидкости должнабыть равна нулю, для движущихся тел… должна быть равна проекции скоростидвижения те­ла на направление той же нормали.

С другой стороны, скорость…равна производной от потенциала… по направлению нормали

...

Таким образом, граничные условиягласят в общем случае, что… является на границах заданной функциейкоординат и времени.

При потенциальном движениискорость связана с давлением для несжимаемой жидкости соотношением

...

Если движение жидкости являетсяпотенциальным и вызвано дви­жением некоторого тела то уравнение Лапласа несодержит явно вре­мени, время входит в решение через граничные условия.

Из уравнения Бернулли… видно, что при стационарном движении несжимаемой жидкостивне поля тяжести на­ибольшее значение давления достигается в точках, гдескорость обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обте­каемогожидкостью тела (точка О) и называется критической точкой. Если… — скоростьнабегающего на тело потока жидкости (скорость на бесконечности), а… — давление в критической точке равно

...

Если распределение скоростей вдвижущейся жидкости зависит только от двух координат, то о таком теченииговорят как о двумер­ном или плоском. Для решения задач о двумерном течениинесжимаемой жидкости иногда удобнее использовать функцию тока. Из уравнения не­разрывности

...

видно, что компоненты скоростимогут быть записаны в виде про­изводных

...

от некоторой функции ... ,называемой функцией тока. Урав­нение неразрывности при этом удовлетворяетсяавтоматически.

...

Зная функцию тока, можнонепосредственно определить форму ли­ний тока для стационарного движенияжидкости. Дифференциальное уравнение линий тока

...

или

...

оно выражает условиепараллельности касательной к линии тока и направления вектора скорости.

Подставляя сюда выражение дляскоростей через функцию тока

...

откуда                               …Таким образом, линии тока представ-

ляют собой семейство кривых,получающихся приравниванием функции

тока ...             постоянной.

Если между точками 1 и 2 вплоскости… провести кривую,

то поток жидкости… через этукривую определится разностью зна­чений функции тока в этих точках независимо отформы кривой.

Действительно, если… — проекция скорости на нормаль к кри­вой в данной точке, то

...

или

...

Мощные методы решения задач опростом потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилейсвязаны с применением к ним теории функций комплексной переменной.

Тема 6

ГИДРОСТАТИКА

1. Силы, действующие на жидкость.Давление.

Единицы измерения давления.

2. Закон Паскаля.

3. Дифференциальное уравнениеравновесия жидкости.

4. Виды давления (барометрическое, абсолютное, избыточное, манометрическое ).

5. Приборы для измерениядавления.

6. Сила давления жидкости наплоскую стенку.

7. Простейшие гидравлическиемашины.

8. Закон Архимеда.

9. Равновесие и остойчивость тел,полностью погруженных в жидкость.

1. Силы, действующие на жидкость.Давление.

Единицы измерения давления

Рассечем жидкость, находящуюся вобъеме… (например, сосуде) некоторой поверхностью на две части I и II.

Рассмотрим жидкость в объеме I.Все, что окружает этот объем, отбросим (дно, боковые стенки и т.д.) и действиеотброшенного заменим соответствующими силами. Эти силы называютсяповерхностными.

Кроме них на жидкость действуютеще массовые силы (силы тяжести и инерции), которые пропорциональны массе тела.

Выделим из жидкости некоторыйобъем. Возьмем на поверхности этого объема бесконечно малую площадку…. Hаэту площадку действует поверхностная сила…. Разложим эту силу на нормальную… и касательную ...

Hормальная сила, приходящаяся наединицу площади, называется давлением и обозначается буквой…, т.е.

...

Измеряется давление в ....

Сила трения (касательная сила),приходящаяся на единицу площади, обозначается буквой ..., т.е.

...

Сила трения обычнопропорциональна градиенту скорости…. Для жидкости, находящейся в равновесии(в покое), сила трения равна нулю, так как в этом случае… .

2. Закон Паскаля

Если в жидкости взять любуюточку, то на основании основного уравнения гидростатики

...

давление в этой точке равнодавлению, приложенному к

свободной поверхности, плюс ...,где… — глубина точки.

Таким образом

Закон Паскаля

Давление, приложенное к свободнойповерхности, передается во все точки жидкости без изменения.

3. Дифференциальное уравнениеравновесия жидкости

Запишем уравнение Эйлера

...

Если жидкость покоится

...

Дифференциальные уравненияравновесия жидкости в проекции на оси декартовой системы координат могут бытьзаписаны так

...

Здесь… — проекции на оси…сил, действующих на единицу массы рассматриваемой жидкости.

Умножая давления соответственнона… и складывая их, получаем

...

Левая часть уравненияпредставляет полный дифференциал

...

следовательно, и правая частьдолжна быть также полным дифференциалом, для этого необходимо и достаточно, припостоянном ..., чтобы существовала функция… такая что

...

Имеем

...

Проинтегрировав, получим

...

где С — постояннаяинтегрирования.

Если в какой-либо точке известнодавление… и постоянная функция ..., то ...

из интеграла имеем

...

В частности, когда жидкостьнаходится в поле сил тяжести

...

Следовательно,

...

Уравнение для давления принимаетвид

...

Свободная поверхность жидкостиплоская…. При равновесии жидкости в поле земного тяготения поверхностиуровня представляют собой горизонтальные плоскости.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Определить уравнение свободнойповерхности жидкости в сосуде, движущемся горизонтально с ускорением а.

Решение. Из нескольких сил нажидкость действуют сила тяжести и сила инерции, т.е.

...

Имеем

...

откуда

...

— уравнение прямой.

Следовательно, свободнаяповерхность представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом..., который определяется из равенства

...

Пример 2. Определить уравнениесвободной поверхности жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси сугловой скоростью ...

Решение.

Вследствие трения о стенки сосудажидкость будет вращаться с такой же угловой скоростью. Жидкость будетнаходиться в относительном покое. Поэтому при решении задачи применимыуравнения равновесия.

Из массовых сил на жидкостьдействует центробежная сила и сила тяжести. Центробежная сила, действующая намассу ..., находится на расстоянии… от оси вращения

...

Проекции силы на оси, отнесенныек единице массы, будут

...

Тогда

...

Откуда

...

т.е. свободная поверхность — параболоид вращения.

4. Виды давления (барометрическое, абсолютное, избыточное, манометрическое )

Различают следующие видыдавления: барометрическое, абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое.

Барометрическое (или атмосферное)давление… зависит от места над уровнем моря и от погоды. За нормальноебарометрическое давление принимают давление, равное 760 мм рт. ст., чтосоответствует 101325… С высотой барометрическое давление убывает. В глубокихшахтах барометрическое давление значительно больше, чем на уровне моря.

Давление, вычисляемое посоотношению

...

называется абсолютным.

Аналогичное давление в точкеравно сумме внешнего поверхностного и весового давления.

Если к свободной поверхностиприложено барометрическое давление ..., то есть… и основное уравнениегидростатики перепишем так

...

Давление

...

носит название манометрическогоили избыточного. Таким образом, манометрическим давлением называется разностьмежду абсолютным давлением… и барометрическим ..., если ...

Если в данной точке жидкостиабсолютное давление меньше барометрического, то разность между барометрическими абсолютным давлениями называется вакуумметрическим давлением ...

Итак, если…, то

...

Абсолютное давление…отрицательным быть не может, поэтому вакуумметрическое давление не может бытьбольше барометрического.

5. Приборы для измерения давления

Приборами для измерениябарометрического давления служат барометры различных конструкций.

Для измерения манометрическогодавления служит манометр. Манометрическое давление можно измерить высотойстолба жидкости. Сосуд наполнен жидкостью с плотностью…. Давление насвободной поверхности ...

Пусть необходимо измеритьдавление на уровне 1-1. Если на этом уровне сделать отверстие и присоединить кнему стеклянную трубку П, то жидкость в этой трубе поднимется под действиемдавления на некоторую высоту… По основному уравнению гидростатики

...

откуда

...

Этой высотой… поднятияжидкости в трубке П можно измерять манометрическое давление. Трубка Пназывается пьезометром.

Hайдем соотношение между 1 ..., 1м вод. ст. и 1 мм рт. ст.

При высоте вод. столба… = 1 мдавление

...

При высоте ртутного столба… =1 мм давление

...

Для измерения вакуумметрическогодавления применяется вакуумметр. Допустим, что требуется измеритьвакуумметрическое давление воздуха в сосуде ..., т.е. величину ..., где… — абсолютное давление в сосуде.

Присоединим к сосуду изогнутуютрубку, опущенную в жидкость. Применяя основное уравнение гидростатики дляточки, расположенной в трубке на уровне свободной поверхности жидкости врезервуаре, получим

...

Так как

..., то

...

Вакуумметрическому давлению будетсоответствовать высота подъема… жидкости в изогнутой трубке над уровнем врезервуаре.

6. Сила давления жидкости наплоскую стенку

Гидростатическое давлениепредставляет собой систему параллельных сил, действующих в одну сторону иперпендикулярных к плоскости стенок.

Такая система приводится к однойсиле — равнодействующей, равной арифметической сумме всех сил и приложенной вцентре параллельных сил. Для определения равнодействующей давлений, приложенныхк площадке ..., плоскость которой… наклонена к горизонту под углом ...,возьмем начало координат в плоскости приведенного уровня на линии пересечения сплоскостью площадки, приняв линию пересечения за ось… на направив ось…вертикально вниз, кроме того в плоскости площадки возьмем вспомогательные оси… и ..., совместив… и… .

...

Последний интеграл равен площадиплощадки ..., умноженной на координату центра тяжести… .

...

Произведение… выражает объемцилиндрического столба с основанием… и высотой… и мы приходим к выводу,что давление тяжелой жидкости на плоскую площадку измеряется весомцилиндрического столба этой жидкости, который был бы расположен над площадкой,если бы она лежала горизонтально на глубине своего цента… .

Сосуды различной формы, но содинаковой площадью дна, наполненные жидкостью на одну и ту же высоту H, имеютодинаковую силу давления на дно.

7. Простейшие гидравлическиемашины

Жидкости практически несжимаемы иравномерно передают давление по всему объему. Это свойство широко используетсяв различных отраслях техники (гидроприводы, гидроавтоматика, гидравлическиетормоза, усилители и т.д.).

Принцип их работы основан наследующем: имеются два соотносящиеся между собой цилиндра разного диаметра.

Приложим к поршню меньшего изцилиндров какую-то внешнюю силу ..., мы тем самым создаем на поверхностижидкости давление

...

Это давление равномернопередается во все точки пространства, заполненного жидкостью. Тогда на поршеньбольшего цилиндра будет действовать сила

...

Таким образом, чем большеразняться между собой площади поперечного сечения цилиндров, тем большую силумы будем получать в таких гидравлических устройствах.

8. Закон Архимеда

Определим силу давления жидкостина погруженное тело А объемом ...

Представим, что в жидкостивыделен объем, точно такой же, как и тело А. Этот объем жидкости находится вравновесии под действием двух сил:

1) силы давления жидкости… наповерхность выделенного объема,

2) силы тяжести жидкости, равной… и направленной вертикально вниз.

Следовательно, сила… равнасиле тяжести выделенного объема жидкости, направленная в обратную сторону, тоесть вертикально вверх, и приложена в центре объема, т.е. в той же точке, вкоторой приложена сила тяжести выделенного объема жидкости.

Точка… называется центромводоизмещения.

Закон Архимеда.

Сила давления жидкости напогруженное в нее тело приложена в центре водоизмещения, направлена вертикальновверх и равна силе тяжести жидкости, вытесненной телом.

...

Сила… называется архимедовойсилой,… — объемным водоизмещением, а… — водоизмещением.

9. Равновесие и остойчивость тел,полностью погруженных в жидкость

Если сила тяжести… тела Абольше архимедовой силы ..., то равнодействующая этих сил (… и… )направлена вниз и заставляет тело опускаться на дно. Таким образом, если ...,тело тонет.

Если сила тяжести… тела меньшеархимедовой силы ..., то равнодествующая этих сил (… и...) направленавертикально вверх и заставляет тело подняться на поверхность. При выходе частитела из жидкости сила давления на оставшуюся погруженную часть теласоответственно уменьшается, благодаря чему уменьшается и величина направленнойвверх равнодействующей, заставляющей тело всплывать, в результате при некоторомчастичном погружении тела устанавливается равновесие и тело оказываетсяплавающим на поверхности жидкости.

Таким образом при… теловсплывает на поверхность жидкости.

Для того, чтобы тело неопускалось на дно и не всплывало, необходимо, чтобы… .

Остойчивостью плавающего тела называетсяего способность возвращаться в первоначальное положение равновесия послеприращения силы, вызвавшей крен.

Возможны три случая

1) центр тяжести С лежит нижецентра водоизмещения ...,

2) центр тяжести С находится вышецентра водоизмещения ...,

3) центр тяжести С совпадает сцентром водоизмещения ....

В первом случае равновесиеостойчивое, так как при… возникает пара сил, стремящаяся вернуть тело впервоначальное положение.

Во втором случае равновесиенеустойчивое, в третьем -

Тема 7

Анализ и применение уравненияБернулли

1. Уравнение неразрывности вгидравлике. Расход.

2. Анализ уравнения Бернулли.

3. Энергетический смысл уравненияБернулли.

4. Предел применимости уравненияБернулии.

5. Примеры применения уравненияБернулли.

5.1. Расходомер Вентури.

5.2. Измерение скорости (ТрубкаПито).

5.3. Кавитация.

5.4. Формула Торичелли.

6. Уравнение неразрывности вгидравлике. Расход.

1. Расход. Уравнениенеразрывности в гидравлике

Рассмотрим установившийся потокмежду живыми сечениями 1,2.

Живым сечением называетсяповерхность в пределах потока, проведенная параллельно к направлению струек. Заединицу времени через живое сечение 1 в рассматриваемый объем жидкости

…

где… — площадь живого сечения,… — средняя скорость в сечении.

Через живое сечение 2 за этовремя вытекает объем жидкости ...

где… — площадь живого сечения2,… — средняя скорость в

сечении 2.

Поскольку форма объема 1-2 стечением времени не изменяется, жидкость несжимаемая, объем жидкости… долженравняться объему вытекающему ...

Поэтому можно записать

…

Это уравнение называетсяуравнением неразрывности

Из уравнения неразрывностиследует, что

…

Средние скорости обратнопропорциональны площадям соответствующих сечений.

2. Анализ уравнения Бернулли

Запишем уравнение Бернулли дляустановившегося движения идеальной сжимаемой жидкости при условии еебаротропности (...) в поле массовых сил

…

проинтегрировав

…

Для потенциального теченияконстанта уравнения Бернулли постоянна для всей области течения. При вихревомдвижении идеальной жидкости константа С в интеграле Бернулли сохраняетпоследнее значение только для данной вихревой линии, а не для всегопространства, как при безвихревом течении.

Уравнение Бернулли является однимиз основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основныхпараметров течения — давления, скорости и высоты положения жидкости.

Проинтегрируем дифференциальноеуравнение Бернулли для конечного участка струйки 1-2

...

Интеграл… выражает работу…т.е. работу сил давления по перемещению килограмма жидкости из области 1 сдавлением… в область 2 с давлением… .

а) ...                                                                  б)

изохорный процесс

В зависимости от типа процесса(термодинамического) который совершает жидкость, то есть от вида зависимости...

Рассмотрим изобарный ....

...

изохорный процесс                      ...

...

Для несжимаемой жидкости притечении без обмена механической работой с внешней средой, получим, при… изуравнения Бернулли

...

или умножив на ...

...

или разделив на ...

...

где константы имеют следующийфизический смысл:

С — полная механическая энергиямассы жидкости объемом в кубический метр или полный напор,

… или Па,

… — полная механическая энергия...,… жидкости или полный напор в метрах столба данной жидкости.

Все три величины имеют одинаковыйфизический смысл, поэтому в учебной и технической литературе можно встретитьсяс тем, что любой из них присваивают название полного напора.

Составляющие полной механическойэнергии жидкости наиболее наглядно изображаются и измеряются в метрах столбажидкости,

… — потенциальная энергия положенияжидкости,

отсчитываемая от произвольновыбранной… плоскости, или

геометрический напор, ..., Па, м;

… — потенциальная энергия илигидростатический напор, ..., Па, м;

… — кинетическая энергияжидкости или скоростной (для жидкостей) напор, ..., Па, м.

Пьезометрический напор… можетизмеряться от полного вакуума… или, например, от давления окружающей среды.В обеих частях равенств должно подставляться абсолютное или избыточноедавление.

Hачало отсчета энергиипроизвольно, но должно быть одинаково для обеих частей равенств.

...

3. Энергетический смысл уравненияБернулли

Заключается в утверждении законасохранения полной механической энергии единицы массы несжимаемой жидкости.

а) при потенциальном течении длялюбой точки пространства,

б) при вихревом — только вдольвихревой линии тока и элементарной струйки.

Этот закон иногда формулируется ввиде теоремы трех высот — в приведенных условиях сумма трех высот — геометрической,

пьезометрической и динамическойсохраняет неизменное значение. При этом составляющие полной энергии могут

взаимопревращаться.

Следует иметь в виду, чтоизменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль элементарной струйки… не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывностиэто изменение однозначно определяется изменением площади поперечного сеченияканала

...

Течение в горизонтальной струйкеимеет большое практическое значение, оно реализуется в… двигателей,уравнение Бернулли при ...

...

Итак, увеличение скоростинесжимаемой жидкости в горизонтальной элементарной струйке всегдасопровождается уменьшением давления, а уменьшение скорости — увеличениемдавления вплоть до… при… Поэтому скоростной напор широко используется,например, для подачи воды в систему охлаждения, разрушения горных пород и т.д.

В связи с тем, что скоростьнесжимаемой жидкости может уменьшаться только вследствие изменения площадисечения, приходим к важному выводу о том, что картина линий тока при течениинесжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение скорости, но истатического давления: при сгущении линий тока давление уменьшается, прирасширении — увеличивается. Это правило широко используется при анализедвижения жидкости и ее взаимодействии с телами.

4. Предел применимости уравненийнеразрывности и

Бернулли.

При течении жидкости по каналупри постоянстве ..., и при произвольно изменяемой площади 2. Казалось бы, что

...

Однако по уравнению Бернулли при...

...

давление… должно было быпринять значение минус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление неможет быть меньше нуля.

Таким образом уравнениянеразрывности и Бернулли справедливы лишь до тех пор, пока минимальное давлениев потоке остается большим нуля.

5. Примеры применения уравненияБернулли.

Рассмотрим примеры примененияуравнения Бернулли.

1. Расходомер Вентури.

Для определения скорости ирасхода жидкости часто используется расходомер Вентури. Измерим статическоедавление… и… в поперечных сечениях с различными площадями.

Интеграл Бернулли для сечений 1 и2 принимает вид

...

Из уравнения равенства расходовдля двух сечений 1 и 2 имеем

...

Для вычисления показаниядифференциального манометра запишем условие равновесия

...

Собирая все результаты, получаем

...

Формула используется дляопределения скорости в трубе. Hа практике для повышения точности иногда вводятэмпирический коэффициент, учитывающий гидравлические… в трубке Вентури.

2. Измерение скорости.

Для измерения кинетическойэнергии используется трубка полного давления, которая устанавливается в точкеизмерения открытым концом против потока жидкости.

Струйка жидкости, подтекающая коткрытому концу трубки, полностью замораживается (...=0) и весь скоростнойнапор превращается в давление, которое в сумме со статическим достигаетдавления торможения… в данной точке, которое называется полным

...

откуда

...

Таким образом измерение скоростижидкости или «несжимаемого» газа (...) основано на сопоставлениидавления торможения с давлением в невозмущенном потоке. Последнее ещеназывается статистическим давлением… Приемником давления служит Г-образнаятрубка, или трубка Пито. Давление обычно измеряют с помощью ...-образнойтрубки, куда залита жидкость манометрическая (спирт, вода, ртуть).

Приемное отверстие статическогодавления должно находится не слишком далеко от входа в трубку Пито, чтобы неслучилось рассеивание механической энергии за счет вязкости, и не слишкомблизко, чтобы присутствие трубки Пито не искажало статическое давление.

3. Кавитация.

Hа практике оказывается, что вжидкости давление, равное нулю, недостижимо. Если давление ..., снижаясь,достигает давления паров этой жидкости, насыщающих пространство при даннойтемпературе ..., то начинается процесс образования пузырьков пара (кипение), инеразрывность течения капельной жидкости нарушится.

...

...

Далее смесь капельной жидкости ипузырьков пара попадает в расширяющийся канал, давление возрастает и пузырькипара начинают конденсироваться.

Кавитацией называетсясовокупность процессов образования пузырьков пара и их конденсация.

Кавитация может возникать нетолько в трубопроводах, но и при внешнем обтекании тел в областях, гдевозрастают местные скорости и уменьшается давление. Кавитации подверженыбыстроходные колеса насосов и турбин, гребные винты.

Конденсация пузырьков парапроисходит на твердых поверхностях очень быстро и завершается гидравлическимударом, при котором развивается местное ударное давление на твердыхповерхностях, достигающее сотен и даже тысяч атмосфер. Поэтому кавитациясопровождается тряской, шумом, снижением КПД насосов и турбин, эрозией твердыхповерхностей, а иногда и выходом из строя агрегатов.

Обычно работа гидравлическихсистем в условиях кавитации не достигаются. Для предотвращения кавитацииминимальное давление жидкости в системе должно быть больше давления паров,насыщающих пространство.

Одним из способов предотвращениякавитации является снижение температуры жидкости. Это приводит к снижениюдавления паров, насыщающих пространство.

Hапример, вода при 373 К кипитпри давлении… Па, а при

193 К — … Па. При кавитациимногокомпонентных жидкостей

(керосин, бензин и т.д.) вначалевскипают легкие фракции, а затем

тяжелые. Конденсация происходит вобратном порядке.

Для оценки возможностивозникновения кавитации используется безразмерный критерий — число кавитации

...

Значение, числа кавитации прикотором она возникает, называется критическим… .

Явление используется вкавитационных регуляторах расхода.

4. Формула Торичелли

Применим интеграл Бернулли дляопределения скорости истечения несжимаемой тяжелой жидкости из большогооткрытого сосуда через малое отверстие.

Здесь… — площадь свободнойповерхности,… — площадь отверстия,… и… — скорости на поверхности и вотверстии.

Уравнение неразрывности принимаетвид

...

Считая движение жидкостиустановившимся и безвихревым применим интеграл Бернулли

...

Откуда

...

Из уравнения неразрывности

...  или ...

Если отношение… мало, топренебрегая членом ..., получаем для скорости истечения приближенную формулуТоричелли.

Пример.Определить форму сосудавращения, употребляемого для водяных часов.

...

Используя уравнение Бернуллиможно объяснить принцип действия

1) работы струйного насоса, вкотором высоконапорный поток.… используется для подачи жидкости… изрезервуара.

2) принцип наддува топливногосамолетного бака для предотвращения кавитации в топливной системе при полетахна большой высоте.

...

3) причину повышения подъемнойсилы крыла при заданной картине линий тока

...

Уменьшение давления в точках, гдескорость потока больше, положено в основу водоструйного насоса. Струя водыподается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе их трубкидавление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет сбольшой скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньшеатмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камеренасоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой частитрубки. Подсоединив к камере насоса откачиваемый объект, из него можно откачатьвоздух (или какой-либо другой газ) до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей воды и уносится в атмосферу.

…

Тема 8

Потери напора

1. Классификация потерь напора.Задачи гидродинамического расчета.

2. Потери напора по длине.

2.1. Основное уравнениеравномерного движения.

2.2. Два режима течения жидкости.

2.3. Профиль скорости приламинарном и турбулентном режимах течения.

2.4. Критерии режима теченияжидкости.

2.5. Определение потерь напора натрение.

3. Местные гидравлическиесопротивления. Формула Вейсбаха.

3.1. Внезапное расширениетрубопровода.

4. Гидравлический расчёт напорныхтрубопроводов.

4.1. Классификация трубопроводов.Задачи гидравлического расчёта трубопроводов.

4.2. Расчёт короткихтрубопроводов.

4.3. Расчёт длинных трубопроводовпри последовательном соединении труб.

4.4. Расчёт трубопровода припараллельном соединении труб.

1. Классификация потерь напора изадач гидродинамического расчёта

Потери напора делятся на двавида: потери по длине и местные потери.

Потерями напора по длиненазываются потери удельной энергии потока на преодоление сопротивления движениянапора на участке рассматриваемой длины без учёта влияния местныхсопротивлений.

Местными потерями напора называютпотери удельной энергии потока на преодоление сопротивлений движению потока,вызванных каким-либо местным препятствием (расширение, сужение потока,задвижка, шейка, клапан, колено и т.д.).

Потери напора обозначаются буквой… с индексом, определяющим их вид.

Задачи гидродинамическогорасчёта:

1. Определение потерь напора.

2. Определение расхода.

2. Потери напора по длине

2.1. Основное уравнениеравномерного движения

Рассмотрим прямолинейноеравномерное движение жидкости. Живые сечения в этом случае могут бытьпроизвольной формы, но не должны изменяться по всей длине рассматриваемогоучастка. В таком потоке потери напора определяются лишь потерями по длине.

Выделим из потока участокжидкости длиной… и запишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2

...

...  — ординаты центра тяжестисечений 1,2

...  — давление в центрах тяжестиэтих сечений

...  — средние скорости в этихсечениях

...  — потери напора по длине.

Так как давление равномерное, то… и уравнение можно переписать так:

...

в случае равномерного движенияразность удельных потенциальных

энергий равна потере напора подлине.

Для вычисления этой разностинапишем сумму проекций на ось А-А всех сил, действующих на участке 1-2. Этисилы следующие:

1) сила тяжести жидкости

...

2) силы давления на плоскиесечения

...

3) сила трения

...

где … — сила трения на единицуплощади смачиваемой поверхности

русла,

… — смоченный периметр,

4) силы давления стенок русла нажидкость, эти силы не подсчи­тываем, так как они параллельны оси А-А и,следовательно, их проекции на ось А-А равны нулю.

Спроектируем все эти силы на осьА-А:

...

Из рисунка

...

Подставим выражение для сил вуравнение

...

Разделим обе части этогоравенства на ..., имеем

...

Сравнивая выражения (1) и (2),находим

...

откуда

...

Отношение площади живого сечения… к смоченному периметру… называется гидравлическим радиусом

...

Величина… обозначается через...

Получаем

...

Это уравнение называется основнымуравнением равномерного движения.

Величина… имеет размерностьквадрата скорости

...

Выражение… — называетсядинамической скоростью, обозначается ...

…

2.2. Два режима течения жидкости

Величина коэффициента трениязависит от режима течения жидкости.

Опытами было установлено, что притечении жидкости возможны два режима: ламинарный и турбулентный.

При ламинарном режиме жидкостьтечёт слоями, не перемеши­ваясь.

При турбулентном частицы жидкостиинтенсивно перемешиваются.

Ламинарное и турбулентное течениежидкости можно наблюдать в стеклянной трубе В.

Питание трубы производится избака, а скорость течения регулируется краном С. Для наблюдения за характеромдвижения жидкости по толстой трубе… в трубу В подводится подкрашен­наяжидкость такой же плотности, как и движущаяся жидкость (например, чернило).

При малых скоростях в трубе Вструйка продолжает двигаться, не перемешиваясь с остальной жидкостью, чтоуказывает на лами­нарный режим течения.

При больших скоростях в трубеструйка очень сильно перемешивается со всей жидкостью, что указывает натурбулентный режим.

2.3. Критерии режима теченияжидкости

В 1883 году английским учёнымОсборном Рейнольдсом (1842-1912 гг.) было установлено, что критерием режиматечения жидкости является безразмерная величина, представляющая собой отношениепроизведения средней скорости потока   и линейного размера, характерного дляживого сечения, к кинематической вязкости жидкости ...

...

Критерий режим течения жидкостиназывается числом Рейнольдса.

При… течении жидкости вкруглых трубах за характерный размер… объёма принимается внутренний диаметртрубы ..., тогда

...

Пример.

Установить, какой режим будет втрубе диаметра ...=20 см, если средняя скорость ...   , а кинематическаявязкость ...

...

Опытные данные Рейнольдсапоказывают наличие трёх областей:

АК — ламинарной,

ВК — переходной или

ВС — турбулентной.

Точки К и В называютсякритическими точками, точками, в которых происходит смена режима течения.

Ниже точки К режим всегдаламинарный, выше точки В — турбулентный.

В зависимости от измененияскорости от малых значений к большим и от больших к малым ламинарный режимудерживается до точки В при увеличении скорости, или при уменьшении до точки К.

Значение числа Рейнольдса,соответствующее нижней крити­ческой точке К, называется нижним критическимчислом Рейнольдса, число… соответствует верхней критической точке — верхнимкритическим числом Рейнольдса.

Нижнее число Рейнольдса ...= 956.

Переход к турбулентному режимузависит (помимо скорости течения, вязкости и характерного размера) от рядафакторов — источников питания трубопровода, шероховатости труб, местныхсопротивлений и т.д.). Верхнее число Рейнольдса обычно принимают равным ...=5000.

На практике ламинарный режимвстречается

1) при движении очень вязкихжидкостей

2) при движении жидкости в…трубах

3) при движении воды в грунтах.

Турбулентный режим наблюдаетсязначительно чаще: при движении в каналах, трубах и т.д.

Профиль скорости при ламинарном итурбулентном режиме течения

При ламинарном режиме движенияжидкости движение жидкости как бы разделяется на бесконечно большое числотонких… ...

относительно оси трубопроводаслоёв.

Распределение скоростей посечению имеет вид параболы. Скорость у стены равна нулю. При удалении от стенкискорости возрастают и достигают максимума на оси трубы.

Определим закон распределенияскорости. Выделим объём жид­кости в виде цилиндра радиуса    … и длиной…и составим уравнение равновесия

...

Движение установившееся, скоростина одном радиусе одинаковы.

...

С учётом гидравлического закона

...

имеем

...

Проинтегрируем по сечению трубы,учитывая, что при ... … =0, получим закон распределения скоростей в сечении

...

Минимум скорости при ...=0

...

Определим расход жидкости черезтрубу

...

Средняя скорость

...

Соотношение между ...  и среднейскоростью

...

Турбулентный режим движенияжидкости характеризуется… движением частиц. При этом режиме частицы жидкостидвижутся по произвольным траекториям и с различной скоростью. Скоростьизменяется по величине и направлению около среднего значения.

Такое изменение скоростиназывается пульсацией скорости. Среднюю по времени скорость называютосреднённой скоростью. Связь между осреднённой и мгновенной скоростью можетбыть выражена зависимостью

...

где Т — период наблюдения.

Распределение скоростей течения вэтом случае выглядит иначе, чем при ламинарном режиме.

В ламинарной пленке и переходномслое скорости течения изменяются так же, как при ламинарном режиме течения.

В переходной зоне зарождаютсявихри, обусловленные увеличением скорости движения, влиянием выступовшероховатости.

Если выступы шероховатостиламинарной пленки, стенка будет гидравлически гладкой. При величине выступоввыше толщины

ламинарной пленки, неровностистенок будут увеличивать ...

движения и стенка будетгидравлически шероховатой.

Возникающие в пограничном слоевихри проникают в центральную часть потока и образуют ядро турбулентноготечения. В ядре потока происходит интенсивное и непрерывное перемешиваниечастиц жидкости.

Для описания профиля скорости вядре течения турбулентного состояния используется логарифмический законраспределения скоростей

…

2.4. Определение потерь напора натрение по длине.

Формула Дарси-Вейсбаха

Теоретические и экспериментальныеисследования показывают, что потери напора на трение по длине вычисляются поформуле Дарси-Вейсбаха

...

где… — расстояние междурассматриваемыми сечениями, т.е.

длина трубы,

… — скорость течения,

… — внутренний диаметр трубы,

… — коэффициент гидравлическихпотерь на трение по

длине,

… — относительнаяшероховатость.

Для ламинарного режима движенияжидкости

...

Основные два вопроса, которыеинтересуют инженера при рассмотрении турбулентного движения жидкости в трубах:

1) определение потерь напора,

2) распределение скоростей попоперечному сечению трубы.

Потери напора и распределениескоростей могут сильно меняться в зависимости от диаметра трубы, скоростидвижения, вязкости жидкости и шероховатости стенок труб.

Для учета шероховатости используютпонятие относительной шероховатости

...

Cистематические опыты длявыяснения характера зависимости коэффициента гидравлического трения от числа… Рейнольдса и шероховатости… были проведены H.Hикурадзе в 1933 в гладкихтрубах с искусственной равномерно-зернистой шероховатостью из кварцевого песка

от… = 0.00197 до 0.066.

При различных расходах измеряласьпотеря напора и вычислялся коэффициент… по формуле Дарси-Вейсбаха.

Результаты опытов Hикурадзепредставлены в виде графика зависимости величины… от числа ...

...

При ламинарном режиме… 2000,или… 3.3… точки, независимо от шероховатости стенок, ложатся на прямуюлинию… При ламинарном режиме движения шероховатость не оказывает влияния насопротивление.

При турбулентном режиме (… 2000,… 3.6)… данные ложатся на линию ..., полученную при испытании гладких труббез искусственной шероховатости.Малые шероховатости не оказывают влияния насопротивление трубы при турбулентном движении.

При больших числах Рейнольдсакоэффициент гидродинамического трения перестает зависеть от числа Рейнолдса (тоесть от вязкости жидкости) и для данного значения… сохраняет постояннуювеличину.

Полученные результаты могут иметьследующее физическое истолкование. При малых числах Рейнольдса жидкость обтекаетвыступы шероховатости без образования и отрыва вихрей благодаря значительномувлиянию вязкости жидкости, свойства поверхности стенок труб не оказывают приэтом влияния на сопротивление и кривые… совпадают с прямой.

С увеличением скорости (т.е.числа Рейнольдса) от бугорков шероховатости начинают отрываться вихри, свойстваповерхности уже оказывают влияние на сопротивление и кривые… отклоняются отлинии… трения.

В результате многочисленныхисследований были предложены различные эмпирические формулы для определениякоэффициента гидравлического трения.

Для гидравлически гладких трубширокое распространение получили формулы Блазиуса

...

а для вполне шероховатых труб — формулы Шифринсона

…

3. Местные гидравлическиесопротивления.

В гидросистемах часто встречаютсяповороты, краны, вентили, сужения, расширения и т.д. В этих местах потокдеформируется, возникают интенсивные перемешивания жидкости, поперечные потоки,образуются застойные зоны. Все это приводит к дополнительным потерям напора,которые называются потерями напора на местных сопротивлениях.

Рассмотрим гидросистему

...

1           -   вход в трубу,

2           -   внезапноерасширение,

3           -  … сетка,

4           -   внезапноесужение,

5           -   диффузор,

6           -   диафрагма,

7           -   конфузор,

8           -   поворот,

9           -   тройник,

10 — колено,

11 — вентили, задвижки,

12 — поворот,

13 — вход в резервуар.

Потери напора, затраченные напреодоление местного сопротивления, принято оценивать в долях скоростногонапора, соответствующего скорости непосредственно за рассмотренным местнымсопротивлением и определять по формуле Вейсбаха

...

… — коэффициент местногосопротивления.

Коэффициенты местныхсопротивлений находят, обычно, опытным путем. Таблицы и эмпирические формулыдля них содержатся во всех инженерных справочниках по гидравлике.

Для некоторых практически важныхслучаев значения коэффициента местного сопротивления удалось получитьтеоретически.

3.1. Внезапное расширениетрубопровода

Рассмотрим потерю напора привнезапном расширении потока. Пусть поток несжимаемой жидкости течет вгоризонтальной трубе, претерпевающей резкое увеличение площади поперечногосечения от величины… до… .

Пусть скорость теченияуменьшается при этом от… до… .

Массовый расход остаетсяодинаковым в обоих сечениях

...

Секундное количество движения всечении 1, ограничивающем рассматриваемый элемент потока слева, равен

...

где… — поправка к количествудвижения на неравномерное распределение скоростей в сечении.

Сечение 2, ограничивающее элементпотока справа, выбираем в таком удалении от внезапного расширения, гдевозмущение течения, вызванные в потоке расширением русла, можно полагатьуспокоенным. В этом сечении секундное количество движения равно

...

Сила давления, действующая навыделенный элемент потока, равна:

...

где…,… — давления всечениях 1 и 2.

В проекции на ось трубы будетиметь следующее равенство

...

или

...

откуда

...

Уравнение Бернулли для двухсечений имеет следующий вид

...

или

...

Hа основании (...) имеем

...

Если положить ...=1, что вернодля большинства турбулентных потоков, то

...

Это положение, известное подназвание теоремы Борда, формулируется так

Теорема Борда.

Потеря напора при внезапномрасширении потока равна скоростному напору, вычисленному по… скорости.

...

Для других видов местныхсопротивлений потеря напора определяется по формуле, аналогичной внезапномурасширению

...

Безразмерный коэффициент ...,входящий в формулу, называется коэффициентом местного сопротивления.

Значение этого коэффициентазависит от конструкции местного сопротивления, которая определяет характеротрыва потока от обтекаемых внутренних полостей и интенсивность возникающих приэтом вихреобразований.

Часто при определении потерьнапора на местные сопротивления оказывается удобным введение так называемойэквивалентной длины детали трубопровода.

Эквивалентной длиной данногоместного сопротивления называют такую длину прямого отрезка трубы, котораясоздает гидравлическое сопротивление, равное сопротивлению детали трубопровода,обусловившей потери напора.

Пусть… — эквивалентная длинаданного местного сопротивления, потеря напора на прямом участке трубы длиной… по формуле равна

...

По условию эквивалентности должнобыть ..., откуда ..., следовательно

...

Таким образом, эквивалентнаядлина местного сопротивления выражается через диаметр трубы, поэтому, например,говорят, что сопротивление углового вентиля эквивалентно сопротивлению участкатрубы того же диаметра длиной, равной 200 диаметрам трубы.

Пусть требуется определить потерюнапора в трубопроводе, состоящем из прямых отрезков труб, соединенных междусобой с помощью всевозможных… частей, с включением различного рода задвижек,вентилей, клапанов и т.д. Эту задачу можно решить, определяя по формулам итаблицам из справочников, коэффициенты местных сопротивлений… или вычисливпредварительно эквивалентные длины местных сопротивлений.

В первом случае потеря напораможет быть определена по формуле

...

а во втором — по формуле

...

Исследованию местныхкоэффициентов сопротивлений посвящается обширная литература, проделано огромноеколичество опытов, однако до сих пор задача о местных сопротивлениях остаетсяразрешенной еще не полностью.

Можно считать доказанным, чтовеличина местного сопротивления при ламинарном течении меняется в зависимостиот числа ..., при турбулентном режиме она остается почти постоянной при любых...

…

4. Гидравлический расчет напорныхтрубопроводов.

4.1. Классификация трубопроводов.Задача гидравлического расчета трубопроводов.

Трубопроводы широко применяютсядля перемещения различных жидкостей (вода, нефть, бензин, различные растворы ит.д.) и изготавливаются из металла, бетона, дерева, пластмасс.

По степени заполнения поперечногосечения жидкостью различают напорные и безнапорные трубопроводы. В напорныхтрубопроводах жидкостью заполнено полностью все поперечное сечение, а вбезнапорных — часть поперечного сечения и имеется свободная поверхность.

По виду потерь напора бываюткороткие и длинные трубопроводы.

Короткие трубопроводы — это такиетрубопроводы, у которых местные потери напора соизмеримы с потерями напора подлине.

Длинные трубопроводы — этотрубопроводы, у которых местные потери напора незначительны и не превышают 10%от потерь по длине.

В свою очередь, длинныетрубопроводы разделяются на простые и сложные.

Простые трубопроводы выполняютбез ответвлений, сложные изготавливают с отверстиями, переменной длины идиаметра и могут соединяться как последовательно, так и параллельно.

Задача гидравлического расчетатрубопровода заключается в определении для заданной длины по двум величинамтретьей неизвестной величины: расхода жидкости ..., потери напора ..., диаметратрубопровода ...

4.2. Расчет короткихтрубопроводов.

Рассмотрим короткий трубопровод сместным сопротивлением, присоединенным к резервуару, заполненному жидкостью.Истечение жидкости в атмосферу из трубопровода длиной… и диаметром…происходит под постоянным напором H.

При заданных длине и диаметретрубопровода… необходимо определить скорость движения жидкости… и расход… .

Составим уравнение Бернулли длясечений 1 и 2. При этом считаем, что… и ...

...

или

...

где… — суммарные (местные и подлине) потери напора между сечениями 1 и 2, которые можно представить в видезависимости

...

где

...

Формулу можно записать вследующем виде

...

Отсюда найдем скорость истечения

...

где… — коэффициент скорости.

Расход, пропускаемый короткимтрубопроводом

…

4.3. Расчет длинных трубопроводовпри последовательном соединении труб.

Рассмотрим трубопровод, состоящийиз последовательных длинных труб разного диаметра… и длины… припостоянном расходе жидкости по длине трубопровода.

Расчет сводится к определениюсуммарных потерь напора по длине трубопровода, так как местными потерямипренебрегают.

...

Преобразуем выражение для потеринапора по длине

...

где… — расходнаяхарактеристика.

Тогда

...

Формула показывает, что трубопровод,составленный из последовательно соединенных труб разного диаметра и длины,можно рассматривать как простой трубопровод, суммарные потери напора в которомравны сумме потерь напора составляющих его труб.

Формула позволяет решить иобратную задачу, т.е. при заданных напоре, диаметре труб вычислить расход ...

…

4.4. Расчет трубопровода припараллельном соединении труб.

Особенность гидравлической схемыработы трубопровода при параллельном соединении труб состоит в том, что всетрубы работают под действием напора ..., который необходим для преодоленияпотерь напора по длине… При этом следует иметь в виду, что во всехответвлениях параллельных труб потери напора будут одинаковыми.

...

Расчет трубопровода припараллельном соединении труб сводится к составлению для каждого ответвленияуравнения

...

и общего уравнения для расходажидкости в трубопроводе

Тема 9

Неустановившееся движениежидкости

1. Гидравлический удар в трубах.

2. Вытекание жидкости припеременном уровне.

Неустановившимся движением жидкостиназывается такое движе­ние, при котором скорости в точках пространства,занятого жидкос­тью, изменяются со временем.

С неустановившимся движением водычасто сталкиваются при про­ектрировании трубопроводов, расчёте каналов,водопроводных сетей, истечении жидкости при переменном уровне, расчётегидравлического удара в трубах.

В рассматриваемом курсе дляпримера выполним исследование гид­равлического удара в трубах и истеченияжидкостей при переменном уровне.

1. Гидравлический удар в трубах

Если при напорном движениижидкости в трубе мгновенно закрыть кран, то движущаяся жидкость остановится,кинетическая энергия по­тока израсходуется на сжатие жидкости и расширениестенок трубы.

Вследствие сжатия жидкости ирасширения стенок трубы любое сечение А-А, взятое в жидкости, сместится понаправлению движения в положение В-В.

...

...

Аналогичные явления произойдут исо всеми остальными сечения­ми. Таким образом, вся жидкость в трубе поокончанию деформации окажется сжатой, а поэтому обладающей большей энергией, чемжид­кость в баке.

В результате этого начинаетсяобратное движение жидкости и сечение В-В, пройдя своё первоначальное положениеА-А, займёт мес­то С-С.

Аналогичное движение совершают ивсе остальные сечения, вследствие чего в трубе создаётся пониженное давление ижидкость двинется от сосуда к крану. Затем все явление повторяется и будетповторяться снова, пока под влиянием сопротивления оно постепенно непрекратится.

Частицы жидкости будут совершатьзатухающие колебания, одно­временно с которыми будет изменяться и давление.Изменение давле­ния в жидкости при напорном движении, вызываемое резкимизменением скорости течения за весьма малый промежуток времени, называетсягидравлическим ударом.

Увеличение давления пригидравлическом ударе может привести к разрыву стенок трубы. Это увеличениедавления в первый момент про­исходит непосредственно к крана, а затем онопередаётся через со­седние слои по всей длине l трубы до её начала с некоторойскорос­тью С. Эта скорость носит название скорости распространения удар­нойволны.

По истечении времени ...                              ударнаяволна дойдёт до нача-

ла трубы и вся жидкость в трубеостановится.

Определим величину повышениядавления в трубе при гидравли­ческом ударе.

Пусть давление в горизонтальнойтрубе в сечении 1 равно ...,

а в сечении 2 — ..., площадьпоперечного сечения трубы ..., рассто­яние между сечениями 1-1 и 2-2 — … .

Воспользуемся теоремой обизменении количества движения, со­гласно которой приращение количества движениясистемы за некоторый промежуток времени равно сумме проекций импульсов сил нанаправле­ние движения.

Применим теорему к массежидкости, заключённой между сечения­ми 1-1 и 2-2. В момент закрытия кранаколичество движения жидкости равнялось…, где… — масса жидкости, равная…,… — скорость. Через промежуток времени…, т. е. когда вся

жидкость в трубе остановится искорость будет равна нулю, коли­чество движения также будет равно нулю.

Следовательно, за время ...                               приращениеколичества дви-

жения равно ...

В течении этого времени нажидкость действовали следующие си­лы, не считая сил трения, которымипренебрегаем:

1) в сечении 1-1 сила ...

2) в сечении 2-2 сила ...

3) сила тяжести жидкости ...

Первые две силы горизонтальны,третья вертикальна.

Сума проекций импульсов этих силна направление движения, т.е. на горизонтальную ось равна

...

Согласно теореме об измененииколичества движения получаем

...

Сокращая на ...  , имеем

...

Откуда

...

Обозначив повышение давления...-… буквой Р, находим

...

Формула называется формулойН.Е.Жуковского, который первый дал теорию гидравлического удара.

Разделим последнее соотношение на... , получим

...                                                  или                          ...

Из формулы видно, что пригидравлическом ударе повышение напо­ра в трубопроводе равно ...    .

Численное значение величины Стакже выведено Н.Е.Жуковским и определяется по следующей формуле

...

где… — плотность жидкости,…- модуль упругости жидкости,… — модуль упругости стенок трубы,… — внутренний диаметр трубы,… — толщина стенки трубы.

Рассмотрим пример.

Пример. Определить повышениенапора при гидравлическом ударе в чугунной трубе диаметром ...      , еслитолщина стенки трубы… = 0.0105 мм, модуль упругости воды… = 2 ...      ,модуль упругости чугуна .....              , а скорость течения ...        .

Решение.

По формуле находим скоростьраспространения ударной волны

...

Найдём повышение напора

...

Гидравлический удар можетповредить трубы. Для предотвращения разрушения труб применяются следующие меры.

1. Из формулы ...                          видно,что увеличение давления пропор-

ционально скорости течения ...,поэтому в трубопроводах не следует

допускать больших скоростей безпринятия соответствующих предохра­нительных мер.

2. Причиной гидравлического удараявляется быстрое закрытие крана. При продолжительности закрытия…повышение давле­ния равно ...   (так называемый прямой гидравлический удар).При продолжительности… повышение давления меньше… (непрямойгидравлический удар).

Продолжительность закрытия… (всекундах) может быть под­считана по формуле Н.Е.Жуковского

.....                                        или...................,

где… — плотность жидкости,…- скорость течения,… — длина трубопровода,… — допустимое повышение напорастолба жид­кости (в метрах).

Время закрытия трубопровода…прямо пропорционально длине трубопровода…. Т.е. чем длинее трубопровод, темдлительнее должно быть закрытие кранов и задвижек.

3. Для уменьшения вредногодействия давления при гидравличес­ком ударе ставят предохранительные клапаны,которые, открываясь при определённом давлении, предохраняют провод отразрушения.

4. Кроме предохранительныхклапанов, для уменьшения давления применяют воздушные колпаки. В моментповышения давления жидкость входит в колпак и сжимает находящийся в нём воздух,что уменьшает повышение давления.

Пример. Определитьпродолжительность закрытия задвижки на трубопроводе, если длина трубопровода… = 800 м,… = 3 ..., допускаемое давление в трубопроводе 1 000 000 ..., агидростатическое давление Р = 200 000… .

Решение.

Допускаемое повышение давление отгидростатического удара

… = 1 000 000 — 200 000 = 800000 ...

Продолжительность закрытиязадвижки

…

2. Вытекание жидкости припеременном уровне

Рассмотрим случай истеченияжидкости из открытого сосуда в атмосферу через отверстие площадью… .

Струя при вытекании черезотверстие постепенно сжимается. Ближайшее к отверстию наименьшее живое сечениеС-С, в котором дви­жение можно рассматривать плавно изменяющимся, называетсясжатым сечением. Обозначим площадь сжатого сечения С-С ...

...

...

Отношение

...

(… = 0.64 для круглогоотверстия)

называется коэффициентом сжатия.

Обозначим через… высоту уровняжидкости над центром тяжес­ти отверстия,… — скорость в сжатом сечении.

Запишем уравнение Бернулли длясечений О-О и сжатого сечения С-С.

...

где… — скорость свободнойповерхности,

… — потери напора при вытеканиичерез отверстие, они

определяются из соотношения

...

Пренебрегая величиной… (ввидуеё малости по сравнению с Н), получаем

...

отсюда скорость истечения

...

где ...                        — коэффициент скорости (.....0.97).

Для определения расхода надоскорость умножить на площадь сжатого сечения:

...

по формуле ...                                      ,откуда

...

тогда расход, выраженный через...                                             равен

...

где… — коэффициент расхода(… = 0.62).

Рассмотрим вытекание жидкости изёмкости при переменном уров­не. Движение в данном случае являетсянеустановившимся. С доста­точной для практики точностью можно считать, что вкаждый момент времени скорость вытекания определяется соответствующим этому мо­ментунапором Н так же, как и при установившемся движении.

...

...

Определим время, в течениекоторого жидкость опустится на ...-...

Рассмотрим промежуточноеположение уровня с напором Н. За время… вытечет объём жидкости, равный

...

За это время… напор изменитсяна (-… Н). Объём жидкости, вытекшей из сосуда, равен

...

где… — площадь свободнойповерхности в сосуде.

Приравнивая выражения, получаем

...

откуда

...

Интегрируя, находим

...

При постоянной площади свободнойповерхности

...

Пример. Вычислитьпродолжительность опорожнения цистерны при её диаметре… = 2 м и длине… =5 м, если диаметр сливного отверстия… = 0.1 м, а коэффициент расхо­да… =0.62.

Решение. Продолжительностьопорожнения

...

...

… — переменная по высотегоризонтальная площадь сечения ци­стерны, причём

...

Имеем

…

Тема 10

Кинематика плоских движений жидкости

1. Сетка течения плоского потоканесжимаемой жидкости.

Функция тока.

2. Примеры плоских течений.

1. Однородный равномерный поток.

2. Источник и сток.

3. Вихрь.

4. Вихреисточник.

5. Диполь.

3. Бесциркуляционное обтеканиецилиндра.

1. Сетка течения плоского потоканесжимаемой жидкости.

Функция тока

В гидродинамике невязкой жидкостиособенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся)течений.

Пусть, например, плоскийбезграничный поток обтекает цилин­дрическое (или призматическое) тело,бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характертечения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных кобра­зующим тела.

Следовательно, для исследованиякинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу«обтекаемого» тела. В этом случае скорости и давления зависят толькоот двух коорди­нат, пусть, например, X и Y, также функциями этих двух координатявляются проекции… и… скорости течения.

Пусть определена функция ...                                          ,которая удовлет-

воряет следующим условиям

...

Такая функция называется вгидромеханике функцией тока.

Уравнение линий тока в случаеплоского течения имеет вид:

...

или

...

Подставляя сюда выраженияпроекций скорости через частные производные функции ..., найдём

...

При установившемся течении леваячасть этого выражения пред­ставляет собой полный дифференциал функции ...,напишем

...

Отсюда следует, что                      ...                ,таким образом, функция

тока на линии тока сохраняетпостоянное значение.

Предположим, что рассматриваемыйплоский поток является по­тенциальным, т.е. что во всех точках потока имеетместо условие

...

В соответствии с принятымипредположениями в этом случае

...

где… — потенциал скорости.

Из условия ...                          имеем

...

Подставляя сюда выражение дляфункции тока, получим

...

Поскольку мы рассматриваемнесжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности принимает вид

...

или через потенциал скорости

...

Дифференциальные уравнениявторого порядка, выражающее, что сумма вторых частных производных скалярнойфункции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа.

Таким образом, потенциал скоростии функция тока удовлетворя­ют уравнению Лапласа.

Это уравнение обладает следующимсвойством. Если имеются функции, например, ..., ..., ...  или ..., ..., ... такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то емубудут удовлетворять также их линейные комбинации

...

...

где ..., ..., ..., ..., ...  — постоянные.

Отсюда следует, что при наложенииодного плоского потенциаль­ного потока на другой потенциальный поток полученноедвижение бу­дет также потенциальным и его потенциал скорости и функция токабудут определяться путём суммирования значений потенциалов и функ­ций токаслагаемых потоков.

Если построить два семействакривых: кривые                         ...           = К,

представляющие собойэквипотенциальные линии (т.е. линии равного

потенциала) и кривые ...              =...   линии тока (здесь К и… -

параметры), то эти семействакривых образуют ортогональную сетку

плоского течения.

...

...

Это можно показать следующимобразом. Вектор скорости ..., совпадающий с направлением касательной к линиитока, образует с осью абсцисс угол ..., тангенс которого с учётом выражения дляскоростей равен

...

Из уравнения же эквипотенциальнойлинии следует

...

и отсюда тангенс угла ...,который образует касательная к эквипотенциальной линии с осью абсцисс, равен

...

Показать, что векторы ...                                     взаимноперпендикулярны,

можно так

...

...

В результате перемноженияполучаем

...

Этому условию отвечают условныекоэффициенты взаимно перпен­дикулярных линий.

Функция тока… имеет физическийсмысл. Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока… и… (т.е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которыхназванные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали кплоскости ...  будем предполагать равным единице.

...

где… — элемент живого сеченияструйки,… — ...,

… — единичный вектор по нормалик элементу ...                                       ,

… и… — границы сечения.

Обозначим через… угол,образуемый вектором… с осью ..., тогда… и… будут проекциями этоговектора на оси координат и, следовательно,

...

но ...

поэтому

...

...

Таким образом, разность значенийфункции тока на двух каких­нибудь линиях тока равна секундному объёмномурасходу сквозь сече­ние струйки тока, ограниченной соответствующимиповерхностями то­ка.

Из сопоставления

...

следует

...

Из теории функций комплексногопеременного следует, что если выполняются условия Коши-Римана, то линейнаякомбинация

...

функций… и… являетсяфункцией комплексного переменного ...           , т.е.

...

Функция ...  называетсякомплексным потенциалом, последний удовлетворяет уравнению Лапласа.

Найдём производную откомплексного потенциала

...

причём

...

...

где… и… — бесконечно малыевеличины высшего порядка. В пределе

...

Из этого выражения с учётомусловий Коши-Римана следует

...

— это выражение называетсякомплексной скоростью.

Модуль комплексной скорости даётвеличину скорости

...

Вводим комплексную скорость

...

сопряжённую скорость

...

Тогда

...

...

...

...

Рассмотрим

...

Тогда

...                                                                        — циркуляция

...                                                                        — расход.

2. Примеры плоских течений

1. Однородный равномерный поток.

Рассмотрим плоское прямолинейноеи равномерное установивше­еся течение несжимаемой жидкости с одинаковойскоростью во всём потоке скоростью…, параллельной оси…. В этом случае

...

Отсюда

...

Линии равных потенциалов ...                             представляютсобой пря-

мые, параллельные оси ординат.

Можно положить… = 0 и… = 0,тогда

...

Функцию тока найдём из условия

...

Сетка такого плоского теченияизображается семейством ортого­нальных прямых, параллельных осям координат, акомплексный потен­циал равен

...

Для прямолинейного течениясжимаемой невязкой жидкости со скоростью ..., наклонённой к оси абсцисс подуглом ..., будем иметь

...

откуда

...

и

...

Комплексный потенциал такоготечения будет иметь вид

...

…

2. Источник и сток

В качестве следующего примерарассмотрим течения, которые носят название источника и стока.

...

...

Пусть невязкая несжимаемаяжидкость непрерывно возникает в некоторой точке Р и вытекает в неограниченноепространство с по­стоянным расходом… и с одинаковой интенсивностью во всехна­правлениях.

Линии тока этого воображаемогоисточника будут представлять собой прямые, расходящиеся из точки Р. Этохарактеризует простран­ственный источник.

Если жидкость течёт изнеограниченного пространства в точку, где непрерывно исчезает, течениеназывается пространственным сто­ком.

Рассмотрим плоский источник ипроведём из него как из центра несколько концентрических окружностей различногорадиуса. Уравне­ние неразрывности — уравнение постоянства расхода через любуюкон­центрическую цилиндрическую поверхность, имеющую высоту, равную единице, вслучае несжимаемой жидкости будем считать

...

Отсюда скорость

...

и, следовательно,

…

Откуда

...

Интегрируя

...

где С -константа интегрирования,которая может быть принята равной нулю, если полагать, что на круге… = 1функция… = 0.

Для определения функции токавоспользуемся выражением

...

откуда полный дифференциал

...

После интегрирования имеем

...

...  и С = 0 при… = 0.

Следовательно

...

Потенциал скорости источника...(...) может быть интерпрети­рован в виде семейства концентрических круговразличного радиуса,

а функция тока ...(...) в видепучка прямых, исходящих из источни­ка.

3. Вихрь

Рассмотрим комплексный потенциал

...

Пусть А — действительное число

...

...

...

Линии тока лучи ...

Изопотенциальные линии — окружности.

Найдём расход

...

...

...

...

...                          — комплексный потенциал источника или стока мощнос-

ти ...

Пусть А — чисто мнимое.  В...,где В — действительное.

…

...

4. Вихреисточник

Рассмотрим случай комплексногокоэффициента при логарифме ...

Такой комплексный потенциал можнорассматривать как результат наложения двух потоков

...

...

… — комплексный потенциалвихреисточника.

5. Диполь

Рассмотрим комплексный потенциал...

...

...

Найдём семейство линий тока

...

...

Линии тока — окружности сцентрами на оси ...

Изопотенциальные линии — окружности с центрами на оси ...

Диполь

...

где… — момент диполя.

3. Бесциркуляционное обтеканиецилиндра.

Наложим плоский параллельный оси...  однородный поток со скоростью… и комплексным потенциалом

...

на скоростное поле диполя скомплексным потенциалом

…

...

...

… функции тока отделим…часть

...

Нулевая линия тока

...

Решение распадается на две кривые

1) окружность  ...

2) ось…… = 0.

Выберем произвольную до сих порвеличину момента диполя рав­ной

...

Получим нулевую линию тока в видесовокупности окружности радиуса а с центром в начале координат и оси… .

Остальные линии тока

...

Движение происходит в двухобластях — вне и внутри круга.

Течение вне круга можемрассматривать как обтекание круглого цилиндра а плоскопараллельным потоком,имеющим на бесконечности ско­рость ...

Такому потоку соответствуеткомплексный потенциал

...

Остановимся подробнее на внешнемтечении. Найдём распределе­ние скоростей в области ...

Найдём распределение скоростей наповерхности цилиндра

...

...

...

Найдём модуль скорости на контурекруга

...

Отсюда следует, что при плоскомбезвихревом обтекании круго­вого цилиндра идеальной жидкостью скоростьраспределена по закону синуса.

Максимальная скорость при ...

...

Используя уравнение Бернулли,можно найти распределение да­вления

...

...

… — коэффициент давления

...

...

Циркуляционное обтекание цилиндра

...

Определим ...

...

Найдём положение критическихточек

…

Тема 11

УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА

1. Тензорная запись уравненийЭйлера.

Тензор плотности потока импульса.

2. Тензор плотности потокаимпульса для вязких течений.

3. Уравнения Навье-Стокса вдекартовых координатах.

4. Течение в трубе.

1. Тензорная запись уравненийЭйлера.

Тензор плотности потока импульса.

Определим скорость измененияимпульса единицы объема жидкости

...

Воспользуемся тензорнымиобозначениями

...

Из уравнения неразрывности имеем

...

Воспользуемся уравнениями Эйлера,записанными в тензорной форме

...

Таким образом получаем

...

Член с давлением запишем в виде

...

Уравнения количества движенияпринимают вид

...

где тензор ...  определяется как

...

Выясним физический смысл тензора…. Проинтегрируем уравнение количества движения по некоторому объему

...

Преобразуем интеграл в правойчасти в интеграл по поверхности

...

Слева стоит изменение в единицувремени i — той компоненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому интегралпо поверхности в правой части есть количество импульса, вытекающего в единицувремени через ограничивающую объем поверхность. Следовательно,  ...    есть i — я компонента импульса, протекающая через элемент… поверхности.

Тензор… называют тензоромплотности потока импульса.

2. Тензор плотности потокаимпульса для вязких течений

Плотность потока импульса,определяемая соотношением

...

представляет собой обратимыйпроцесс переноса импульса, связанный с механическим передвижением различныхучастков жидкости из одного места в другое и с действующими в жидкости силамидавления.

Вязкость ( внутреннее трение )жидкости проявляется в наличии еще дополнительного, необратимого, переносаимпульса из мест с большей в места с меньшей скоростью.

Поэтому уравнения движения вязкойжидкости можно получить, прибавив к «идеальному» потоку импульсадополнительный член…, определяемый необратимый, «вязкий» переносимпульса в жидкости.

Таким образом, мы будем писатьтензор плотности потока импульса в вязкой жидкости в виде

...

Тензор

...

называют тензором напряжений, а… — вязким тензором наряжений.

… определяет ту часть потокаимпульса, которая не связана

с непосредственным переносомимпульса вместе с массой

передвигающейся жидкости.

Процессы внутреннего трения вжидкости возникают только в тех случаях, когда различные участки жидкостидвижутся с различной скоростью, так что имеет место движение частей жидкостидруг относительно друга.

Поэтому… должно зависеть отпроизводных скорости по координатам. Если градиенты скорости по координатам неочень велики, то можно считать, что обусловленный вязкостью перенос импульсазависит только от первых производных скорости.

Зависимость… от производных… можно в том же приближении считать линейной. Не зависящие от… членыдолжны отсутствовать в выражении для…, поскольку… должно обращаться внуль при … = const.

… должно обращаться в нультакже в том случае, когда вся жидкость как целое совершает равномерноевращение, поскольку при таком движении внутреннее трение не происходит. При равномерномвращении с угловой скоростью… скорость… равна векторному произведению... . Линейными комбинациями производных…, обращающимися в нуль при…,являются суммы

...

Поэтому… должно содержатьименно эти симметричные комбинации производных… .

Наиболее общим видом тензоравторого ранга, удовлетворяющего этим требованиям, является

...

с не зависящими от скоростикоэффициентами… и…. Величины… и… называются коэффициентамивязкости ( причем… часто называют второй вязкостью ).

3. Уравнения Навье-Стокса вдекартовых координатах

Уравнения движения вязкойжидкости можно

теперь получить непосредственнопутем прибавления выражения… к

правой части уравнений Эйлера

...

Получаем,

...

Величины… и… являются вобщем случае функциями давления и температуры. Поэтому они не постоянные вобъеме и не могут быть вынесены из-под знака производной.

При постоянных значенияхкоэффициентов вязкости уравнения Навье-Стокса в векторной форме имеют вид

...

Уравнения были впервыесформулированы Навье в 1827 году, вывод уравнений близкий к современному, былдан Стоксом в 1845 году.

Если жидкость считатьнесжимаемой, то… = 0 и последний член исчезает

...

Тензор напряжений в несжимаемойжидкости принимает более простой вид

...

Отношение … =… называюткинематической вязкостью, ...

— динамической вязкостью.

Граничные условия.

Между поверхностью твердого телаи вязкой жидкостью существуют силы межмолекулярного сцепления, приводящие ктому, что прилегающие к твердой стенке слой жидкостью как бы прилипает к ней.

Граничные условия к уравнениямдвижения вязкой жидкости состоит в требовании обращения в нуль скоростижидкости на неподвижных твердых поверхностях

...

В общем случае движущейсяповерхности скорость… должна быть равна скорости этой поверхности.

4. Течение в трубе

Известно несколько точных решенийдля уравнений

Навье-Стокса. Рассмотрим одно изних — для случая стационарного течения жидкости в трубе произвольного сечения (одинакового вдоль всей длины трубы ).

Ось трубы выберем в качестве оси…. Очевидно, что скорость… жидкости направлена везде по оси… иявляется

функцией только от… и… .

Уравнение неразрывностиудовлетворяется тождественно, а проекции на оси… и… из системы уравненийНавье-Стокса дают

...

То есть давление постоянно вдольсечения трубы. Уравнение в проекции на ось… дает

...

Откуда имеем, что… = const,градиент давления можно записать в виде…, где… — разность давлений наконцах трубы, а… — ее длина.

Распределение скоростей в потокежидкости в трубе определяется двумерным уравнением типа

...

Уравнение должно быть решено приграничном условии ...= 0 на контуре сечения трубы.

Решим это уравнение для трубыкругового сечения. Выбирая начало координат в центре трубы кругового сечения ивводя полярные координаты, имеем в силу симметрии… .

Воспользуемся выражением дляоператора Лапласа в полярных координатах, имеем

...

Интегрируя, находим

...

Постоянную a надо положить равнойнулю, поскольку скорость должна оставаться конечной во всем сечении трубы,включая ее

центр.

Постоянную b определим изтребования… = 0, при r = R ( где R — радиус трубы ) и получаем

...

Таким образом, скоростьраспределена по сечению трубы по параболическому закону.

Определим расход жидкости в трубе- количество ( массу ) жидкости  Q, протекающей в 1 секунду, через поперечноесечение трубы.

Через кольцевой элемент…площади сечения трубы проходит в 1 секунду количество жидкости… .

Поэтому

...

Количество протекающей жидкостипропорционально четвертой

Тема 12.

Дозвуковое и сверхзвуковоетечения газов

(основы газодинамики)

1. Адиабатически установившеесятечение.

2. Уравнение состояния.

3. Удельные теплоемкости газа.

4. Первый закон термодинамики.Энтальпия. Энтропия.

5. Характеристики заторможенногопотока.

6. Сопло Лаваля.

7. Скачок уплотнения.

8. Теория Ньютона.

1. Адиабатическое установившеесятечение. Истечение из резервуара. Характеристики заторможенного газа

Изучение движения газов свысокими скоростями, достигающими скорости звука, является предметом газовойдинамики.

Одной из фундаментальных задачпоследней является исследова­ние течений без учёта сопротивлений и в отсутствиетеплообмена (т.е.) адиабатических. В этих условиях уравнение баланса удельнойэнергии имеет вид

...

Уравнение адиабаты идеальногогаза представим в виде

...

Будем отмечать в дальнейшеминдексом «о» величины, характери­зующие газ, находящийся в покое,или, как говорят в газодинамике, в заторможенном состоянии, подставим вуравнение неразрывности

...

и после интегрирования

...

…

При установившемся течениивесовой расход газа во всех сече­ниях по длине газопровода одинаков в течениевсего процесса движе­ния.

Следовательно при установившемсятечении

...

что является выражением условиянеразрывности при движении газа (и также сжимаемых жидкостей). В трубопроводепостоянного се­чения одинаковой по длине трубопровода будет также весовая ско­рость

...

Изменение в удельном весе(плотности) идеального газа при из­менении давления и температуры выражаютсязаконом Клайперона-Мен­делеева

...

где Т — абсолютная температурагаза,

… — газовая постоянная.

В технике имеют особое значениеизотермическое и адиабатичес­кое течения газа. При изотермическом (Т = ...  )течении идеально­го газа зависимость между давлением и плотностью получает вид

...

при адиабатическом

...

где… — показатель адиабаты,… — удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении,… — удельнаятеплоёмкость газа

при постоянном объёме.

Имея в виду последнеесоотношение, можно записать

...

получаем

...

Имея в виду, что… = 0 при ...                                 (состояниепокоя),

найдём:

...

или

...

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля

Запишем уравнение Бернулли вдифференциальной форме

...

Преобразуем уравнение Бернуллидля газа так, чтобы можно было ввести число Маха. Имеем

...

квадрат скорости звука                                   ...                        ,тогда

...

Поделим на…, получим

...

или в окончательном виде

...

где .....                              — число Маха.

Другим уравнением, необходимымдля анализа течений газа в трубе переменного сечения, является уравнениенеразрывности, или сохранения массы.

Будем рассматривать одномерное установившеесятечение

газа вдоль трубы переменногосечения, при этом предположим, что

параметры потока газа, такие, какскорость потока, давление и

плотность, одинаковы во всехточках каждого из конечных сечений,

перпендикулярных к оси трубы.

Это предположение довольно хорошосоответствует действи­тельности для элементарной трубки тока, но его применяюти для труб конечных размеров, используя средние величины по сечениям трубы.

Через каждое поперечное сечениетрубы в случае одномерного течения проходит за 1 с масса газа ..........., где… — площадь поперечного сечения трубы,… — скорость течения газа,… — плотность газа. ПРи установившемся течении через все по­перечные сечения должнапройти одна и та же масса газа, т.е.

...

Прологарифмируем это уравнениесохранения массы. Получим

...

Считая переменными величины.............., возьмём полные дифференциалы от обеих частей. Имеем

...

Это и есть уравнениенеразрывности для установившегося одно­мерного течения идеального газа в трубепеременного сечения.

Из уравнения неразрывности иуравнения Бернулли исключим величину ...  . Получим

...

Это уравнение носит названиеуравнения Гюгонио.

Используя уравнение Гюгонио,проанализируем характер воз­можных течений газа в трубе переменного сечения.

Из уравнений следует:

1) при… 1, что соответствуетдозвуковым течениям, знаки величин… и… противоположны, т.е. там, гдевозрастает

..., в направлении теченияскорость должна убывать, и на­оборот

2) для сверхзвуковых течений......1, знаки… и… оди­наковы, т.е. сверхзвуковой поток расширяетсяпротивополож-

но дозвуковому. Чтобы увеличитьего скорость, трубу следу­ет расширить

3) при… = 1 имеем… = 0,т.е. в этом случае… достига­ет максимума или минимума. Можно показать, что… = 1 может быть только в самом узком сечении трубы, где .......

Выводы о характере течений газа втрубах переменного сечения нашли применение в конструкциях сопел современныхракетных двига­телей и аэродинамических трубах больших скоростей. Для получениябольших сверхзвуковых скоростей выходящего из сопла газа следует сначала соплосужать, чтобы получить звуковую скорость газа в уз­ком сечении сопла, а затемсопло надо расширять для дальнейшего увеличения скорости выходящего из негогаза.

Наибольшая скорость, котораяможет быть получена на выходе из сопла, зависит от площади выходного сечения идолжна обеспечивать­ся необходимым для ...     скорости давлением на входе всопло.

1. Уравнение состояния.

Опыт показывает, что междуосновными параметрами, характери­зующими состояние газа (давлением, плотностьюи температурой), су­ществует определённая зависимость.

Уравнение… = 0,устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния.

Поэтому состояние любого газаопределяется двумя параметрами (например, плотностью и температурой), так кактретий параметр (давление) можно найти из уравнения состояния.

Для идеального газа уравнениесостояния можно записать в виде

...

где ...                      — газовая постоянная, зависящая от относительной

молекулярной массы газа…. Длявоздуха… = 29,… = 287 ...

Под идеальным газом принятопонимать газ, в котором взаимо­действие молекул между собой осуществляетсяпосредством упругих столкновений, а линейный размер молекулы по сравнению сосредним молекулярным расстоянием мал.

Существенное отличие свойстввоздуха от свойств идеального газа наблюдается при высоких давлениях и низкихтемпературах.

2. Уравнение теплоёмкости газа.

Рассмотрим некоторый произвольныйтермодинамический процесс. Количество теплоты ..., подведенное к 1 кг газа вэтом процессе, выразим через приращение температуры газа… :

...

Множитель С, представляющий собойколичество теплоты, необхо­димое для подогрева 1 кг газа на 1 град в данномпроцессе, называ­ется удельной теплоёмкостью.

Удельная теплоёмкость существеннозависит от характера про­цесса.

Рассмотрим теплоёмкости,соответствующие процессам, происхо­дящим при постоянном объёме… и давлении…. Зависимость между удельными теплоёмкостями идеального газа… и…определяется следующим соотношением.

...

В термодинамике и газодинамикеважное значение имеет отноше­ние теплоёмкостей… Величина… зависит отструктуры молеку­лы газа. Так, для идеальных одноатомных газов… = 1.66, длядвухатомных газов, в том числе и для воздуха,… = 1.4.

3. Первый закон термодинамики.

Пусть некоторое количество газанаходится в равновесии. Обозначим через… количество подведённой к газу извнетеплоты. В общем случае подвод теплоты приводит к изменению внутренней энергиигаза… и объёма. ПРи изменении объёма газ совершает внешнюю работу, равную...  . Поэтому

...

или, относя все величины к 1 кгмассы газа, получаем

...

где… — суммарная теплота,подведенная к 1 кг массы газа извне,… — изменение внутренней энергии 1 кгмассы газа,… — работа, затрачиваемая на расширение (… — объём, за­нимаемый1 кг массы газа).

При постоянном объёме… = 0,… = 0 или ......., т.е. вся теплота, подводимая к газу,… тратится наувеличение его вну­тренней энергии. Поэтому

...

Пренебрегая зависимостью… оттемпературы и имея в виду, что при .......0… = 0, имеем

...

Внутрення энергия является однойиз функций состояния газа. Используя формулы

...

Уравнение является математическимвыражением первого закона термодинамики.

Энтальпия. Введём ещё однуфункцию состояния ..., определяе­мую соотношением

...

Или, пренебрегая изменением ...,

...

Эта функция называетсяэнтальпией. Из определения энтальпии следует, что её приращение…представляет собой приращение те­плоты… в процессе ...  =… Имея это ввиду, из первого закона термодинамики (...........................), интегрируяего в предположении ..........., получим

...

Используя уравнение состояния(......) и соотношение ......., имеем

...

Энтропия. При изучении течениягаза часто используют понятие энтропии. Эта функция определяетсядифференциальным соотношением

...

Найдём связь между энтропией иэнтальпией

...

из первого закона термодинамики

...

следует

…

...

...

...

… — тензор плоскости импульса.

…

…

Течение в трубе.

...

Оператор Лапласа

...