Реферат: Электрон в слое
Министерство Образования, Молодежи иСпорта
Республики Молдова
Государственный университет Молдовы
Физический
факультет
Кафедра
теоретической
физики
КурсоваяРабота
Тема: Электронв слое.
Руководитель работы:
Климин С.Н.
Работу выполнил
студент 3-го курса:
Радченко Андрей
Кишинёв1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, котораясейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробноразобрана путём введения некоторых упрощений.
Она состоит в следующем:
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x,и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
ì -ћ2/(2m)׶2/¶x2+ U0 , x < -a
Ù ï
H = í -ћ2/(2m0)׶2/¶x2 , -a < x < a
ï
î -ћ2/(2m)׶2/¶x2+ U0 , x > a
Где m - эффективнаямасса электрона в областях I, III ;
m0- эффективная масса электрона вобласти II.
Запишемуравнение Шрёдингера для каждой области :
ì ¶2YI/¶x2+ 2m/ћ2×(E — U0)YI = 0 , x £ -a
ï
í ¶2YII/¶x2+ 2m0/ћ2×E×YI = 0 , -a£ x £ a
ï
î ¶2YIII/¶x2 +2m/ћ2×(E — U0)×YI = 0 , x ³ a
/>
Область I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ойобласти записывается сразу :
YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Используя свойство ограниченности волновойфункции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
YI(x) = A×exp(n×x).
Волноваяфункция для второй области тоже элементарно определяется :
YII(x) = C×exp(i×k×x) + D×exp(-i×k×x).
Функциясостояния для третьей области выглядит так :
YIII(x) = F×exp(-n×x).
Где
k = (2m0×E/ћ2)1/2
n= (2m×(U0-E)/ћ2)1/2.
Стратегиянаших дальнейших действий будет состоять в следующем :
¨ ¨ Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничнымусловиям.
¨ ¨ В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,Dи F. Мысоставим линейную однородную систему относительно них.
¨ ¨ Ясно, что существованиенетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системыравен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мыизвлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е.запишем условия сшивания волновых функций :
YI(x=-a) = YII(x=-a)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI¢(x=-a)/m = YII¢(x=-a)/m0
YII¢(x=a)/m0= YIII¢(x=a)/m
Ав наших определениях этих функций это выглядит так :
A×exp(-n×a) = C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)
m-1×A× n×exp(-n×a) = i×k×/m0×(C×exp(-i×k×a) — D×exp(i×k×a))
C×exp(i×k×a) + D×exp(-i×k×a) = F×exp(-n×a)
i×k×/m0×(C×exp(i×k×a) — D×exp(-i×k×a)) = — n/m×F×exp(-n×a).
Теперьсоставим определитель :
|exp(-n×a) -exp(-i×k×a) -exp(i×k×a) 0 |
|m-1×n×exp(-n×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m0×i×k×exp(i×k×a) 0 |
|0 exp(i×k×a) exp(-i×k×a) -exp(-n×a) |
|0 1/m0×i×k×exp(i×k×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)|
Если теперь раскрыть этот определитель пообычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение дляуровней энергии:
((n/m)2-(k/m0)2)×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0)×Cos(2×k×a) = 0.
Это уравнение решается численным методом, аименно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описанияволновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которыенепосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C= F×exp(-n×a)×{exp(i×k×a) + exp(-3×i×k×a)×(i×k/m0 — n/m)/(n/m + i×k/m0)}
D= C×exp(-2×i×k×a)×(i×k/m0-n/m)/(n/m + i×k/m0)
A= exp(n×a)×(C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, тоцелесообразно ввести обозначения :
A = RA×F
C = RC×F
D = RD×F.
RA, RC, RD — известныепостоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаемконстанту F,то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.
Действительно :
YI(x) = F×RA×exp(n×x)
YII(x) = F×( RC×exp(i×k×x) + RD×exp(-i×k×x)).
YIII(x) = F×exp(-n×x).
I1+ I2 + I3 = 1
Где
I1 = |F|2×|RA|2×òQexp(2×n×x)×dx = |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(2×n×x) =
= |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)
I2 = |F|2×{ òL|RC|2×dx + òL|RD|2×dx + RC×RD*×òLexp(2×i×k×x)×dx +
+ RC*×RD×òLexp(-2×i×k×x)×dx } = |F|2×{ 2×a×(|RC|2 + |RD|2) +
((exp(2×i×k×a) — exp(-2×i×k×a))×RC×RD*/(2×i×k) +
+ i×((exp(-2×i×k×a) — exp(2×i×k×a))×RC*×RD/(2×k) }
I3 = |F|2×òWexp(-2×n×x)×dx = |F|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)
|F|2 = { |RA|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a) + 2×a×(|RC|2 + |RD|2) +
((exp(2×i×k×a) — exp(-2×i×k×a))×RC×RD*/(2×i×k) +
+ i×((exp(-2×i×k×a) — exp(2×i×k×a))×RC*×RD/(2×k) + (2×n)-1×exp(-2×n×a) }-1.
Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определитькоэффициенты A, C, D, а значити волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана,характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью.Схематически это изображается так.
/>
То есть, это ни что иное как одномерное движениеэлектрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить сериейпотенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциалазаписывается весьма просто:
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении,что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциальногобарьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующиеобластям I,III,удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:
¶2Y/¶x2+ 2m/ћ2×(E — U0)Y = 0
следовательно эти функции отличаются толькопостоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначатьследующим образом:
r = exp(i2ak)
Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm , где m=0,±1,±2,... (2)
Оказывается, что достаточным для определениядискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0)и волновой функцииявляется рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясьсоотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.
Рассмотрим область I:
Уравнение Шредингера для нее записывается ввиде:
¶2YI/¶x2 + 2m2/ћ2×(E — U0)YI = 0 , 0 >x > -a
егорешение выглядит просто:
YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Где n = (2m2(U0-E)/ћ2)1/2
Рассмотрим область II:
Уравнение Шредингера для нее записывается ввиде:
¶2YII/¶x2 + 2m1/ћ2×E YII = 0 , a ³ x ³ 0
егорешение выглядит просто:
YII(x) = C×exp(i×p×x) + D×exp(-i×p×x).
Где p = (2m1E/ћ2)1/2
Рассмотрим область III:
¶2YIII/¶x2 + 2m2/ћ2×(E — U0)YIII = 0 , 2a >x > a
егорешение выглядит просто:
YIII(x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).
Запишем граничные условия:
YI(x=0) =YII(x=0)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI¢(x=0)/m = YII¢(x=0)/m0
YII¢(x=a)/m0= YIII¢(x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту системууравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:
A+B=C+D
C exp(i pa)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2= (C-D) i p / m1
(C exp(i pa)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2(A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мысоставим определитель :
|1 1 -1 -1 |
|exp(i×k×2a+n×a) exp(i×k×2a-n×a) -exp(i×p×a) -exp(-i×p×a) |
|n/m2 -n/m2 -i×p/m1 i×p/m1 |
|n/m2exp(i×k×2a+n×a) -n/m2×exp(i×k×2a-n×a) -i×p/m1×exp(i×p×a) i×p/m1×exp(-i×p×a) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьмагромоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различныхэффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1=4; m2=1
0.1135703312666857 0.6186359585387896 0.2019199605676639 0.3155348518478819 0.05047267055441365 1.263391478912778 0.4544326758658974 2.137353840637548 0.808172718170137 2.479933076698526 0.4544326758658974 6.168062551132728 5.611693924351967 1.820461802850339 1.529165865668653 1.023077302091622
a=10 U=10 m1=2 m2=1
0.1032788024178655 0.2324238959628721 0.41331603936642 0.6460490460448886 0.930750939555283 1.26759057783714 1.656787195799296 2.098624192369327 2.593469359607937 3.141805331837109 3.744277072860902 5.887485640841992
a=10 U=10 m1=1 m2=1
0.05408120469105441 0.2163802958297131 0.4870681554965061 0.86644533469418 1.354969224117534 1.953300729714778 2.662383817919513 4.418966218448088 7.961581805911094
a=10 U=10 m1=0.5 m2=1
0.118992095909544 4.249561710930034 1.068004282376146 0.4754473139332004 5.78216724725356 2.955345679469631 1.895012565781256a=10 U=10 m1=.25 m2=1
0.2898665804439349 4.30026851446248 2.479039415645616 1.132264393019809