Реферат: Сложение колебаний
Реферат
На тему «Сложение колебаний»Студента I –го курса гр. 107
ШлыковичаСергея
Минск 2001
Векторная диаграмма
Колебанияминазываются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью вовремени.
Сложениенескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графическив виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторнойдиаграммой.
/>Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюсявеличину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий сосью угол α. Если привести этот вектор во вращение с угловойскоростью ω0,то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от —А до+A, причем координата этой проекции будет изменяться современем по закону
/>
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловойскорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемомувектором с осью в начальный момент времени.
Таким образом,гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равнаамплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равныйначальной фазе колебаний.
Рассмотрим сложение двухгармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.Результирующее колебаниебудет суммой колебаний х1и x2, которые определяются функциями
/>, /> (1)
Представим оба колебания спомощью векторов A1и А2. Построимпо правилам сложения векторов результирующий вектор А. Нарисунке видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:
/>
/>Поэтому, вектор Aпредставляет собой результирующее колебание. Этот векторвращается с той же угловой скоростью ω0,как и векторы А1и А2,так что сумма x1и х2является гармоническим колебанием счастотой (ω0, амплитудой A иначальной фазой α. Используя теорему косинусов получаем, что
/> (2)
Также, из рисунка видно, что
/> (3)
Представление гармонических колебаний спомощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.
Сложение колебаний во взаимноперпендикулярных направлениях.
Представим две взаимноперпендикулярные векторные величины xи y, изменяющиеся современем с одинаковой частотой ω по гармоническому закону, то
/> /> (1)
Где exи eу— орты координатныхосей x и y, А и B — амплитудыколебаний. Величинами x иу можетбыть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.
В случае колеблющейсячастицы величины
/>, /> (2)
определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, видкоторой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (2) представляютсобой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобыполучить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2)параметр t. Из первого уравненияследует, что
/> (3)Соответственно /> (4)
Развернем косинус во втором из уравнений (2) поформуле для косинуса суммы:
/>
Подставим вместо cos ωt и sinωt их значения (3) и (4):
/>
/>
Преобразуем это уравнение
/>
/>
/>
/> (5)
Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительнокоординатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуосизависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α.
Попробуем найти форму траектории для несколькихчастных случаев.
1. Разность фаз α равна нулю.В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:
/>
Отсюда получается уравнение прямой:
/>
Результирующее движение является гармоническимколебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой, равной /> (рис. 1 а).
2. Разность фаз α равна±π. Из уравнение (5) имеет вид
/>
Следовательно, результирующее движение представляетсобой гармоническое колебание вдоль прямой
/> (рис. 1 б)
/>
Рис.1/>3. При /> уравнение(5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:
/>
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудамколебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается вокружность.
Случаи />и /> отличаются направлением движения по эллипсу илиокружности.
Следовательно, равномерноедвижение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может бытьпредставлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
/>, />
(знак плюс в выражении для у соответствуетдвижению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).
Есличастоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траекториирезультирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурамиЛиссажу.