Реферат: Колебания
Содержание
Введение
Свободные одномерные колебания
Вынужденные колебания
Колебания систем со многими степенямисвободы
Затухающие колебания
Вынужденные колебания при наличиитрения
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Работапосвящена изучению различных колебаний. В механике и акустике, в радиофизике иоптике, в квантовой физике и физике твердого тела — всюду мы сталкиваемся сколебаниями. Единый подход к изучению колебаний основанный на общностиуравнений, описывающих колебательные закономерности, позволяет выявить глубокиесвязи между различными, на первый взгляд, явлениями. Таким образом, изучаяколебания, мы будем обращать внимание не только на то, что «волнуется» и что«колеблется», а главным образом на то, как и почему происходят колебания.
Свободные одномерные колебания
Оченьраспространенный тип движения механических систем представляют собой, так называемыемалые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивогоравновесия. Рассмотрение этих движений мы начнем с наиболее простого случая,когда система имеет всего одну степень свободы.
Устойчивомуравновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальнаяэнергия U(q) имеетминимум; отклонение от такого положения приводит к возникновению силы — dU / dq, стремящейсявернуть систему обратно. Обозначим соответствующее значение обобщеннойкоординаты посредством q0. При малых отклонениях от положенияравновесия в разложении разности U(q)—U(q0) по степеням q — q0 достаточно сохранить первый неисчезающий член. В общемслучае таковым является член второго порядка
/>
где k — положительный коэффициент (значение второй производной U" (q) при q = q0). Будемв дальнейшем отсчитывать потенциальную энергию от ее минимального значения (т.е. положим U(q0) = 0) и введем обозначение
x= q– q (1, 1)
дляотклонения координаты от ее равновесного значения. Таким образом,
U(x) = kx2/2. (1,2)
Кинетическаяэнергия системы с одной степенью свободы имеет в общем случае вид
/>
В том жеприближении достаточно заменить функцию a(q) просто ее значением при q = q0. Вводядля краткости обозначение
/>
получимокончательно следующее выражение для лагранжевой функции системы, совершающейодномерные малые колебания:
/> (1,3)
Соответствующееэтой функции уравнение движения гласит:
/> (1,4) или
/> (1,5)
гдевведено обозначение
/> (1,6)
Дванезависимых решения линейного дифференциального уравнения
(1,5): cos ωt и sin ωt, такчто его общее решение
/> (1,7)
Этовыражение может быть написано также и в виде
/> (1,8)
Посколькуcos (ωt + α) = cos ωt cos α — sin ωt sin α, то сравнение с (1,7) показывает, что произвольныепостоянные /> связаныс постоянными
/> соотношениями
/> (1.9)
Такимобразом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершаетгармоническое колебательное движение. Коэффициент а при периодическоммножителе в (1,8) называется амплитудойколебаний, а аргументкосинуса — их фазой; а есть начальное значение фазы,зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина ωназывается циклической частотойколебаний; в теоретическойфизике, впрочем, ее называют обычно просто частотой, что мы ибудем делать в дальнейшем.
Частотаявляется основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условийдвижения. Согласно формуле (1,6) она всецело определяется свойствамимеханической системы как таковой. Подчеркнем, однако, что это свойство частотысвязано с предполагаемой малостью колебаний и исчезает при переходе к болеевысоким приближениям. С математической точки зрения оно связано с квадратичнойзависимостью потенциальной энергии от координаты.
Энергиясистемы, совершающей малые колебания, есть
/>
или,подставив сюда (21,8):
/> (1,10)
Онапропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
Зависимостькоординаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобнымпредставлять в виде вещественной части комплексного выражения
/> (1,11)
где А— комплексная постоянная; написав ее в виде
A= aeia, (1,12)
мывернемся к выражению (1,8). Постоянную А называют комплекснойамплитудой; ее модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент — сначальной фазой.
Оперированиес экспоненциальными множителями в математическом отношении проще, чем стригонометрическими, так как дифференцирование не меняет их вида. При этом покамы производим лишь линейные операции (сложение, умножение на постоянныекоэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знаквзятия вещественной части, переходя к последней лишь в окончательном результатевычислений.
Вынужденные колебания
Перейдемк рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменноевнешнее поле; такие колебания называют вынужденнымив отличие отрассмотренных так называемых свободных колебаний. Поскольку колебанияпредполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнееполе достаточно слабое, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большоесмещение х.
В этомслучае наряду с собственной потенциальной энергией ½kx2система обладает еще потенциальной энергией Ue(x,t), связанной с действием внешнего поля.Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины х, получим:
/>
Первыйчлен является функцией только от времени и потому может быть опущен влагранжевой функции (как полная производная по tот некоторой другой функции времени). Во втором члене —dUe/dxесть внешняя «сила», действующая насистему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени;обозначим ее как F(t). Такимобразом, в потенциальной энергии появляется член — xF(t), так что функция Лагранжа системы будет:
/> (2,1)
Соответствующееуравнение движения есть
/>
или
/> (2,2)
где мыснова ввели частоту со свободных колебаний.
Какизвестно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения спостоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: х =х0+ х1, где х0—общее решение однородного уравнения, a х1—частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае х0представляетсобой рассмотренные свободные колебания.
Рассмотримпредставляющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже являетсяпростой периодической функцией времени с некоторой частотой у:
F(f) = fcos(yt+ β). (2,3)
Частныйинтеграл уравнения (2,2) ищем в виде х1 = bcos(yt+β)стем же периодическим множителем. Подстановкав уравнение дает: b=f/m(ω²-y²); прибавляя решение однородногоуравнения, получим общий интеграл в виде
/> (2,4)
Произвольныепостоянные а и α определяются из начальных условий.
Такимобразом, под действием периодической вынуждающей силы система совершаетдвижение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственнойчастотой системы ω и с частотой вынуждающей силы у.
Решение(2,4) неприменимо в случае так называемого резонанса, когдачастота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Длянахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение,(2,4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде
/>
При у→ ω и второй член дает неопределенность вида 0/0.Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим:
/> (2,5)
Такимобразом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (дотех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теорияперестанет быть применимой).
Выяснимеще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса, когда
у= ω + ε, где ε—малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как
/> (2,6)
Так каквеличина /> маломеняется в течение периода 2π/ω множителя />,тодвижение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но спеременной амплитудой
Обозначивпоследнюю через С, имеем:
/>
ПредставивАи Всоответственно в виде /> и /> получим:
/> (2,7)
Такимобразом, амплитуда колеблется периодически с частотой ε, меняясьмежду двумя пределами
/>
Этоявление носит название биений.
Уравнениедвижения (2,2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольнойвынуждающей силе F(t), Это легкосделать, переписав его предварительно в виде
/> или
/> (2,8)
гдевведена комплексная величина
/> (2,9)
Уравнение(2,8) уже не второго, а первого порядка. Без правой части его решением было бы
/>
спостоянной А. Следуя общему правилу, ищем решениенеоднородного уравнения в виде
/>
и дляфункции A(t)получаем уравнение
/>
Интегрируяего, получим решение уравнения (2,8) в виде
/> (2, 10)
гдепостоянная интегрирования ε0представляет собой значение εв момент времени t=0. Это и есть искомое общее решение; функция x(t)дается мнимой частью выражения (2,10).
Энергиясистемы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется; системаприобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию,передаваемую системе за все время действия силы (от — ∞ до + ∞),предполагая начальную энергию равной нулю. Согласно формуле (2,10) (с нижнимпределом интегрирования — ∞ вместо нуля и с
ξ(-∞) = 0) имеем при t → ∞:
/>
С другойстороны, энергия системы как таковой дается выражением
/> (2,11)
Подставивсюда | ξ (∞) |2, получим искомую передачуэнергии
в виде
/> (2,12)
она определяетсяквадратом модуля компоненты Фурье силы F(t)с частотой, равной собственной частоте системы.
Вчастности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежуткавремени (малого по сравнению с 1/ω), то можно положить />.
Тогда
/>
Этотрезультат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременнаясила сообщает системе импульс ∫Fdt, не успев за это время произвести заметного смещения.
Колебания систем со многими степенями свободы
Теориясвободных колебаний систем с несколькими (s) степенями свободы строится аналогично тому, как былорассмотрено в одномерных колебаниях.
Пустьпотенциальная энергия системы Uкак функция обобщенных координат qi(i= 1, 2, .,., s)имеет минимум при qi=qi. Вводя малые смещения
xi=qi– qi (3,1)
иразлагая по ним Uсточностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в видеположительно определенной квадратичной формы
/> (3, 2)
где мыснова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Посколькукоэффициенты kikи kkiвходят в (3, 2) умноженными на одну иту же величину xixk, то ясно, что их можно всегда считатьсимметричными по своим индексам
/>
Вкинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид
/>
полагаемв коэффициентах qi= qiи, обозначая постоянные aik(qo)посредством mik, получаемее в виде положительно определенной квадратичной формы
/> (3,3)
Коэффициентыmlkтоже можно всегда считатьсимметричными по индексам
mik = mki
Такимобразом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:
/> (3, 4)
Составимтеперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишемполный дифференциал функции Лагранжа
/>
Посколькувеличина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования,меняем в первом и третьем членах в скобках iна k, a kна i; учитывая при этом симметричность коэффициентов mikи kik, получим:
/>
Отсюдавидно, что
/>
Поэтомууравнения Лагранжа
/> (3,5)
Онипредставляют собой систему s(i = l, 2, …, s)линейных однородных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами.
По общимправилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций xk(t)в виде
/> (3,6)
где Аk— некоторые, пока неопределенные,постоянные. Подставляя (3,6) в систему (3,5), получаем по сокращении на /> системулинейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворятьпостоянные Аk:
/> (3,7)
Для тогочтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ееопределитель
/> (3,8)
Уравнение(3,8)—так называемое характеристическоеуравнение —представляет собой уравнение степени s относительно ω2. Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительныхкорней ω²a,
а=1, 2, …, s (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать).Определенные таким образом величины ωа называются собственнымичастотамисистемы.
Вещественностьи положительность корней уравнения (3,8) заранее очевидны уже из физическихсоображений. Действительно, наличие у ω мнимой части означало бы наличиево временной зависимости координат хk(3,6) (а с ними и скоростей xk)экспоненциально убывающего илиэкспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данномслучае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергииE=U+T системы впротиворечии с законом ее сохранения.
В том жесамом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (3,7) на /> ипросуммировав затем по i, получим:
/>
откуда
/>
Квадратичныеформы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силувещественности и симметричности коэффициентов kik и mik, действительно,
/>
Онитакже существенно положительны, а потому положительно и ω2.
Послетого как частоты ωанайдены, подставляя каждое из них вуравнения (3,7), можно найти соответствующие значения коэффициентов Аk. Если все корни ωахарактеристическогоуравнения различны, то, как известно, коэффициенты Ak пропорциональны минорам определителя(3,8), в котором ω заменена соответствующим значением ωа, обозначим эти миноры через ∆ka. Частное решение системыдифференциальных уравнений (3,5) имеет, следовательно, вид
/>
где Са—произвольная (комплексная) постоянная.
Общее жерешение дается суммой всех sчастных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде
/> (3,9)
Где мыввели обозначение
/> (3,10)
Такимобразом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собойналожение s простых периодических колебаний
Θ1,Θ2, …, Θs с произвольнымиамплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.
Естественновозникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобыкаждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общегоинтеграла (3,9) указывает путь к решению этой задачи.
В самомделе, рассматривая s соотношений(3,9) как систему уравнений с sнеизвестными величинами Θа, мы можем, разрешив эту систему,выразить величины Θ1, Θ2, …, Θs через координаты x1, x2, ..., xs. Следовательно,величины Θа можно рассматривать как новые обобщенныекоординаты. Эти координаты называют нормальными(илиглавными), а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальнымиколебаниями системы.
Нормальныекоординаты Θа удовлетворяют, как это явствует из ихопределения, уравнениям
/> (3,11)
Это значит,что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на sнезависимых друг от друга уравнений.Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой жекоординаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальныезначения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами,нормальные колебания системы полностью независимы.
Изсказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальныекоординаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствуетодномерному колебанию с одной из частот ωа, т. е. имеетвид
/> (3,12)
где та— положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, чтопреобразованием (3,9) обе квадратичные формы — кинетическая энергия (3,3) ипотенциальная (3,2) — одновременно приводятся к диагональному виду.
Обычнонормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратахскоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определитьнормальные координаты (обозначим их теперь Qa ) равенствами
/> (3.13)
Тогда
/>
Всеизложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристическогоуравнения имеются кратные корни. Общий вид (3,9), (3,10) интеграла уравненийдвижений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотамкоэффициенты ∆kа уже неявляются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случаев нуль.
Каждойкратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столькоразличных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этихнормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальнуюэнергии нормальные координаты (с одинаковым ωа)входятв виде одинаково преобразующихся сумм /> можно подвергнуть любомулинейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.
Весьмапросто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний однойматериальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая началодекартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии U(x,y,z), мы получим последнюю в виде квадратичной формыпеременных х, у, z, акинетическая энергия
/>
(т — масса частиц) не зависит от выборанаправления координатных осей.
Поэтомусоответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному видупотенциальную энергию. Тогда
/> (3,14)
иколебания вдоль осей х, у, zявляютсяглавными с частотами
/>
Вчастном случае центрально-симметричного поля (k1=k2=k3=k, U=kr²/2) эти три частоты совпадают.
Использованиенормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебанияхсистемы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденныхколебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменныхвнешних сил имеет вид
/> (3,15)
где L0 — лагранжева функция свободных колебаний.Вводя вместо координат хk нормальныекоординаты, получим:
/> (3.16)
гдевведено обозначение
/>
Соответственноуравнения движения
/>
будутсодержать лишь по одной неизвестной функции Qa(t).
Затухающие колебания
До сихпор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или чтовлиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движениитела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение.Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, какговорят, диссипируется.
Процессдвижения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а егорассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего тепловогосостояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в общемслучае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координати скорости в данный момент времени, т. е. не существует уравнений движения втом смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о движении тела всреде уже не является задачей механики.
Существует,однако, определенная категория явлений, когда движение в среде может бытьприближенно описано с помощью механических уравнений движения путем введения вних некоторых дополнительных членов. Сюда относятся колебания с частотами,малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативныхпроцессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на телодействует сила трения, зависящая (для заданной однородной среды) толькоот его скорости.
Если ктому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по еестепеням. Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело недействует никакой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционаленскорости. Таким образом, обобщенную силу трения fтр, действующую на систему, совершающую одномерные малыеколебания с обобщенной координатой х, можно написать в виде
/>
где а— положительный коэффициент, а знак минус показывает, что сила действует всторону, противоположную скорости. Добавляя эту силу в правую сторону уравнениядвижения, получим :
/> (4.1)
Разделимего на mи введем обозначения
/> (4.2)
ω0есть частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Величина λназывается коэффициентом затухания. Таким образом, имеем уравнение
/> (4.3)
Следуяобщим правилам решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами,полагаем х — ertи находим характеристическое уравнение
/>
Общеерешение уравнения (4.3) есть
/>
Здесьследует различать два случая.
Если λ< ω0, то мы имеем два комплексно сопряженных значения r. Общее решение уравнения движенияможет быть представлено в этом случае, как
/>
где А— произвольная комплексная постоянная. Иначе можно написать:
/> (4.4)
где аи α— вещественные постоянные. Выражаемое этими формуламидвижение представляет собой так называемые затухающие колебания. Егоможно рассматривать как гармонические колебания с экспоненциально убывающейамплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем λ, а“частота’’ ω колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствиетрения; при λ<<ω0 разница между ω и ω0— второгопорядка малости. Уменьшение частоты при трении следовало ожидать заранее,поскольку трение вообще задерживает движение.
Если λ<<ω0, то за время одного периода 2π/ω амплитуда затухающего колебанияпочти не меняется. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период)значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усреднении изменениеммножителя е-λt. Эти средние квадраты, очевидно, пропорциональные-2λt. Поэтому и энергия системы в среднемубывает по закону
/> (4.5)
где Е0— начальное значение энергии.
Пустьтеперь λ > ω0. Тогда оба значения r вещественны, причем оба отрицательны. Общий видрешения
/> (4.6)
Мывидим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движениесостоит в убывании |x|, т. е. васимптотическом (при t → ∞)приближении к положению равновесия. Этот тип движения называют апериодическимзатуханием.
Наконец,в особом случае, когда λ = ω0, характеристическое уравнение имеетвсего один (двойной) корень r= ― λ. Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этомслучае вид
/> (4.7)
Это —особый случай апериодического затухания, Оно тоже не имеет колебательногохарактера.
Длясистемы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующиекоординатам xi, являются линейными функциямискоростей вида
/> (4.8)
Из чистомеханических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствахсимметрии коэффициентов аik по индексам iиk. Методами же статистической физики можно показать, чтовсегда
aik= aki. (4.9)
Поэтомувыражения (4.8) могут быть написаны в виде производных
/>(4.10)
отквадратичной формы
/> (4.11)
называемойдиссипативной функцией.
Силы (4.10)должны быть добавлены к правой стороне уравнений Лагранжа
/> (4.12)
Диссипативнаяфункция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяетсяинтенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычисливпроизводную по времени от механической энергии системы. Имеем:
/>
ПосколькуF— квадратичная функция скоростей, тов силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой стороне равенстваравна 2F. Таким образом,
/> (4.13)
т е.скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Таккак диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегдаF> 0, т. е. квадратичная форма (4.11)существенно положительна.
Уравнениямалых колебаний при наличии трения получаются добавлением сил (4.8) в правуюсторону уравнений (3.5):
/> (4.14)
Положивв этих уравнениях
xk= Akert,
получимпо сокращении на ertсистемулинейных алгебраических уравнений для постоянных Ak
/> (4.15)
Приравнявнулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение,определяющее значения r:
/> (4.16)
Это —уравнение степени 2s относительно r. Поскольку все его коэффициентывещественны, то его корни либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены.При этом вещественные корни непременно отрицательны, а комплексные имеютотрицательную вещественную часть. В противном случае координаты и скорости, а сними и энергия системы экспоненциально возрастали бы со временем, между тем какналичие диссипативных сил должно приводить к уменьшению энергии.
Вынужденные колебания при наличии трения
Исследованиевынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному в п.1.2 вынужденные колебания. Мы остановимся здесь подробно на представляющемсамостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы.
Прибавивв правой стороне уравнения (4.1) внешнюю силу fcosytи разделив на т, получим уравнение движения ввиде
/> (5.1)
Решениеэтого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правойчасти eiγtвместо cos yt:
/>
Частныйинтеграл ищем в виде x= Beiγtи находим для В:
/> (5.2)
ПредставивВ в виде beiδ, имеем для bиδ:
/> (5.3)
Наконец,отделив вещественную часть от выражения Beiγt= bei(γt+δ), получим частный интеграл уравнения(5.1), а прибавив к нему общее решение уравнения без правой части (которое мынапишем для определенности для случая ω0>λ), получим окончательно:
х= ае-λtcos (ωt+ a)+ b cos (γt+ δ). (5.4)
Первоеслагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большойпромежуток времени остается только второй член:
x= bcos(γt+ δ). (5.5)
Выражение(5.3) для амплитуды bвынужденногоколебания хотя и возрастает при приближении частоты γ к ω0,но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствиетрения. При заданной амплитуде силы fамплитуда колебания максимальна при частоте
/>
при λ<<<ω0это значение отличается от ω0лишь на величину второго порядкамалости.
Рассмотримобласть вблизи резонанса. Положим γ= ω0 + ε,где ε — малая величина; будем также считать, что λ<<ω0.Тогда в (5.2) можно приближенно заменить:
/>
так что
/>(5.6)
или
/>(5.7)
Отметимхарактерную особенность хода изменения разности фаз δ между колебанием ивынуждающей силой при изменении частоты последней. Эта разность всегдаотрицательна, т. е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали отрезонанса, со стороны γ< ω0, δ стремится кнулю, а со стороны γ > ω0 — к значению — π. Изменение δот нуля до — π происходит в узкой (ширины ~ λ) области частот,близких к ω0; через значение -π/2 разность фаз проходит при γ= ω0. Отметим в этой связи, что в отсутствие трения изменение фазывынужденного колебания на величину π происходит скачком при γ = ω0(второй член в (2.4) меняет знак); учет трения «размазывает» этот скачок.
Приустановившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания (5.5),ее энергия остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает (отисточника внешней силы) энергию, которая диссипируется благодаря наличиютрения. Обозначим посредством I(γ)количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функциючастоты внешней силы. Согласно (4.13) имеем: I(γ) = 2F,
где F— среднее (по периоду колебания)значение диссипативной функции. Для одномерного движения выражение (4.11)диссипативной функции сводится к
/>
Подставивсюда (5.5), получим:
/>
Среднеепо времени значение квадрата синуса равно ½, поэтому
I(γ) = λmb²γ². (5.8)
Вблизирезонанса, подставляя амплитуду колебания из (5.7), имеем:
/>(5.9)
Такойвид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полуширинойрезонансной кривой (рис. 1)
/>
называютзначение |ε|, при котором величина I(ε) уменьшается вдвое по сравнению с еемаксимальным значением при ε = 0.Из формулы (5.9) видно, что в данном случаеэта полуширина совпадает с показателем затухания λ. Высота же максимума
I(0) = f² / 4mλ
обратнопропорциональна λ. Таким образом, при уменьшении показателя затухания резонанснаякривая становится уже и выше, т. е. ее максимум становится более острым.Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной. Последняядается интегралом
/>
ПосколькуI(ε) быстро убывает приувеличении |ε|, так что область больших |ε| все равно не существенна,можно при интегрировании писать I(ε) в виде (5.9), а нижний предел заменить на — ∞. Тогда
/>(5.10)
Заключение
Колебание— более или менее регулярно повторяющийся процесс.Таково очень нестрогое,«качественное» определение понятия «колебание». Можно привести множествопримеров колебательных процессов, относящихся к различным областям физики (и нетолько физики). Колеблется маятник часов; колеблется груз, подвешенный напружине. Колеблется взволнованная поверхность воды и гитарная струна.Колеблется заряд на пластинах конденсатора и магнитное поле в катушке индуктивностиколебательного контура; периодически изменяется температура воздуха (зимойхолоднее — летом теплее) и количество автомобилей на улицах города (больше вчасы пик — меньше поздней ночью). Периодически меняется экономическая ситуацияв жизни общества: кризисные явления сменяются подъемом экономики. Колеблетсядавление (или плотность воздуха), вызывая колебания ушной мембраны — и мыслышим голос певца на оперной сцене. Таких примеров можно привести как угодномного. Ознакомились с колебаниями в той или иной физической системе. Здесь жепознакомились с наиболее часто встречающимися простейшими видами колебательныхдвижений, основными характеристиками колебательных процессов, с математическимспособом описания колебаний.
В результате проделаннойработы было рассмотрено следующее:
― свободныеодномерные колебания;
― вынужденныеколебания;
― колебания системсо многими степенями свободы;
― затухающиеколебания;
― вынужденныеколебания при наличии трения.
Список использованной литературы:
1. Ландау Л.Д.,Лифшнц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. — Т.I. Механика. — 4-е изд., испр. — М.: Наука. 1988.— 216 с.
2. Кингсеп А.С,Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основы физики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 1. Механика,электричество и магнетизм, колебания и волны, волновая оптика — М.: ФИЗИАТЛИТ,2001. ― 560 с.
3. Матвеев А.Н.,Механика и теория относительности: Учеб. для студентов вузов / А.Н. Матвеев. —3-е изд. — М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: 000 «Издательство «Мир иОбразование», 2003. — 432 с.
4. И.В.Савельев,Курс общей физики, том I.Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М.: Издательство «Наука», 1970г.― 517с.
5. Зоммерфельд А.,Механика. ― Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ―368 с.