Реферат: Понятие устойчивости

Реферат

По физике

УСТОЙЧИВОСТЬ

Лекция 14.

Будем называтьравновесное состояние устойчивым, если оно мало изменяется при малыхвозмущениях.

Приведём некоторыепримеры.

1. Тяжелый шар наповерхности, имеющей вершины, впадины и горизонтальные участки.

Устойчивое

равновесное состояние

Безразличное состояние

Неустойчивое

равновесное состояние

В том случае, когда шарикнаходится на вершине, составляющая силы тяжести Т, возникающая при егоотклонении, уводит его от первоначального состояния, для шарика, находящегосяво впадине сила Т будет возвращать отклонённый шарик в первоначальное состояниеи он будет колебаться в окрестности наиболее низкой точки впадины, т.е. прималых отклонениях состояние шарика будет также меняться мало. Случай шарика,находящегося на горизонтальной поверхности, будет случаем разграничивающимрассмотренные выше не устойчивые и устойчивые равновесные состояния. Такоесостояние называется безразличным.

2. Хорошо знакомуюкартину разрушение образца при растяжении с образованием шейки можно трактовать,как потерю устойчивости цилиндрической формы образца.

По мере приближениясостояния образца становится неустойчивой, образуется шейка и малым изменениямсилы соответствуют значительные изменения конфигурации системы.

Рис. 98

3. Центрально сжатыйгибкий стержень

Предполагается, чтостержень идеально прямой, а сила прилаженная строго по оси (что, конечно,практически невозможно).

Для того, чтобы судитьустойчиво ли данное равновесное состояние, надо приложить горизонтальную возмущающуюсилу, которая вызовет прогиб. Если сила Р невелика, то прогиб окажется малым,равновесное состояние (прямолинейное) фактически не изменится. Однако еслисила Р превысит некоторое значение называется критическим (F кр ), торавновесное состояние становится неустойчивым, т. е. любые малые возмущенияприведут к значительным прогибам. Зависимость между прогибом и силой показанадействительное поведение стержня, которое можно обнаружить с помощью нелинейныхрешений, сплошной чертой показано грубое, линейное решение задачи.

Задача Эйлера

Рассмотрим центральносжатый шарнирно закрепленный с обоих концов стержень. Эта задача была решена Л.Эйлером.

Существо задачи состоит втом, что задача об устойчивости по отношению к заданному возмущению подменяетсязадачей о возможности существования двух различных форм равновесия при одном итом же значении силы F. Очевидно, что прямолинейная равновесная форма возможна(y = 0). Допустим, что наряду с прямолинейной равновесной формой возможна и криволинейнаяравновесная форма, показанная на рисунке.

Кривизна стержня наосновании закономерности известной из теории изгиба выразится />

Будем полагать, что уголповорота y’ – величина малая по сравнению сединицей и тем более мал квадрат этой величины по сравнению с единицей

Изгибающий момент впроизвольном сечении с координатой Z: /> (знак минус увязываетпрогиба и кривизны).

Дифференциальноеуравнение изогнутой оси выглядит

/> или /> /> (1)

Решение этогодифференциального уравнения хорошо известно

Из граничных условийпопробуем найти произвольные постоянные

C1 и С2

1) при Z=0: />

2) при Z=/>: />

Возможны две ситуации

C1=0, откуда y/>0, т. е. получаем прямолинейнуюравновесную форму,

Sin K/> (n/>N) подставим в (1) выражение R2 =/>

/> откуда найдем значение силы, прикоторой помимо прямолинейной равновесной формы появляется смежная криволинейнаяравновесная форма

реальный смысл имеетнаименьшее значение силы при n=1 эйлерова сила – критическая сила.

Fкр=/>/>

Очевидно, что Ix – минимальный момент инерции.

Потери устойчивости будетпроисходить по синусоиде y = C1Sin/>

однако произвольную C1мы так и не смогли найти.

Дело в том, что задача опотере устойчивости задача существенно нелинейно, а мы поступилинепоследовательно. С одной стороны мы подошли к задаче как нелинейной, отойдяот принципа начальных размеров, и определив изгибающий момент с учетом изгибастержня. С другой стороны, приняв приближенное выражение для кривизны, мылинеаризовали задачу. Для того, чтобы определить прогибы в закритической стадиинадо исходить из нелинейного дифференциального уравнения.

Однако главная цель –определение критической силы для стержня нами достигнута.

Влияние условийзакрепления концов стержня на величину критической силы

Формула (2) даётвозможность определить критическую силу только в том случае шарнирного опиранияобоих концов стержня. Обобщим полученный результат на некоторые другие частовстречающиеся случаи закрепления.

а). Стержень,закреплённый жёстко одним концом и свободный от закрепления на другом. Очевидноизгиб стержня в этом случае будет таким же, как и в случае шарнирно опертогостержня, но имеющего длину в 2 раза большую.

Критическая сила в этом случаебудет равна критической силе шарнирно опёртого стержня, имеющего длину 2/>.

Введём понятиекоэффициента привидения длины — /> , т. е.числа показывающего во сколько раз нужно увеличить длину шарнирно опёртогостержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержнядлиной /> при заданном закреплении.

Очевидно, что в нашемслучае коэффициент /> можно трактовать, как число показывающее сколько раз длина стержня укладывается в длинеполуволны синусоиды, по которой происходит потеря устойчивости.

Обобщим формулу Эйлера

/> (3)

Для некоторых другихслучаев закрепления коэффициент приведения длины равен:

Рис. 102

Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера выведена впредположении, что материал линейно упруг, и, естественно, применила, в техслучаях пока справедлив закон Гука.

Придадим формуле (3) инойвид.

Введём понятиекритического напряжения, т. е. напряжения соответствующего критической силе.

/>; /> (4)

но /> где /> - минимальный радиусинерции сечения.

Введём ещё одну величину– гибкость стержня.

/>, тогда />

Тогда можно оказать, чтоформула Эйлера справедлива, если критические напряжения не превышают пределапропорциональности при сжатии.

Выясним при какихгибкостях можно использовать формулу Эйлера .

Приравняем в (4)

/> =/>

Если />, то можно использоватьформулу (3)

Для малоуглеродистыхсталей, особенно часто используемых для сжатых элементов: />МПа, E = 2*105 МПатогда,

/> т.е. для малоуглеродистых сталей формулу Эйлера можноиспользовать при гибкостях больших 100.

Коэффициент запаса на устойчивость

Представляет собойотношение критической силы для стержня к силе, действующей на него.

Коэффициент запаса наустойчивость может выступать, некоторая заданная нормативная величина, тогда /> , где />Fadm<sub/>– нагрузка допускаемая из условияустойчивости.

Пример.

Для заданного сжатогостержня определить допускаемую силу

/> = 50 см; материал Ст. 3

E = 2 105 МПа; /> = 210 МПа

ny=2

Ix= Imin = 4 см2; A = 2*6 = 12 см2;

/>/> = 2*50 = 100 см;

Fkp =/>

/>МПа; />kp/>МПа/>МПа/>pr

формула Эйлера применима

Fadm= /> кН

Расчет сжатых стержней наустойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений

Приведенное выше решениепригодно только для сравнительно длинных и тонких стержней. В случае коротких ижестких стержней потеря устойчивости происходит при возникновении пластическихдеформаций и задача требует специального рассмотрения. Существует решения (Т.Карман, Энгессер) об устойчивости стержня за пределами упругости. Иногдаприбегают к эмпирическим формулам типа формулы Ясинского.

/>, где a и b-константы зависящие отсвойств материала.

Изложим методику расчётана устойчивость, предложенную русским инженером Ясинского в конце прошлоговека. Суть этой методики состоит в том, что расчёт на устойчивость подменяетсярасчетом на обыкновенное сжатие, но допускаемые напряжения при этом полагаютсяпеременными, зависящими от гибкости. Допускаемое напряжение на устойчивостьполагается равным

/> — допускаемое напряжение при сжатии;

/> - коэффициент снижения допускаемыхнапряжений. Он может трактоваться, как следующее отношение.

Коэффициент снижениедопускаемых напряжений зависит от гибкости />

С увеличением гибкостивеличины его уменьшается.

Разумеется, что/> зависит не только отгибкости, но и от свойств материала. Для наиболее употребительных материалов онвычислен и приведён в таблицах. Приведем такую таблицу для ст. 3 материаланаиболее часто применяемого для сжатых элементов.

1,00 110 0,52 10 0,99 120 0,45 20 0,96 130 0,40 30 0,94 140 0,36 40 0,92 150 0,32 50 0,89 160 0,29 60 0,86 170 0,26 70 0,81 180 0,23 80 0,75 190 0,21 90 0,69 200 0,19 100 0,60 --- ---

Для промежуточныхзначений /> соответствующие значенияопределяются путем линейной интерполяции.

Примеры.

Если известно сечениесжатого элемента, то нагрузку которую может воспринять стержень из условияустойчивости определяется.

Nadm = />/>

1. Определить величину допускаемойнагрузки на ферму из условия устойчивости поясов АВ и ВД.

Материал – Ст. 3, />= 160МПа

Рис.104

Площадь сечения А = 2АL = 2*4,8 = 9,6 см2 ;

Минимальный моментинерции сечения будет

Ix<sub/>= 2ILx

Минимальный радиусинерции

По сортаменту определяем />=1,53см

Приведенная длинаверхнего пояса

/>/>см

Гибкость /> />по таблице

Допускаемое усилие изусловия устойчивости для стержня AB:

/>/>

Свяжем между собой силу,действующую на ферму F и усилие NAB

Рис. 105

Допускаемая нагрузка наферму

Fadm=48.5кн

Другим типом задачиявляется подбор размером сечения заданного типа. Можно записать

A=/>

Однако /> зависит от размеров и формы сечения,таким образом круг замыкается и задача может быть решена только методомпопыток. По сути задача подбора сечения сводится к некоторой последовательностизадач первого типа.

2. Подобрать размеры квадратногопоперечного сечения для сжатого стержня. F=280кн. Материал Ст.3 /> =160МПа:/>=1м. Разберемся сгеометрическими характеристиками

Рис. 106

A=a2; Ix=/> ; />

1) /> />см

a=/>см; />см2;

Нагрузка, которую можетвоспринять сечение при заданных размерах

Размеры сечения слишкомвелики

2)/> />см

a=/>см;A=24см2;

Размеры сечения слишкоммалы

3) Т. к. в обоихслучаях мы оказались далеки от истины, то попробуем в качестве следующегозначения /> среднее арифметическое изпервых двух

/> />

/>см; a =/>см; A=36см2;

/>кн

Обычно считается, чторезультат достигнут, если сила, которую воспринимает сечение отличается отдействующей силы не более чем на 5% в ту или другую сторону т. е.

0,95F />

В нашем случае этоусловие выполнено.

Принимает размер сечения a = 6см

Лекция 15

Энергетический способ определениякритических сил

В сколь-нибуть сложных случаях, получитькритическую силу из решения дифференциального уравнения изогнутой оси сжатогостержня затруднительно.

Поэтому в подобной ситуации прощеполучить приближённое решение, например, энергетическим методом.

Рассмотрим стержень центрально сжатыйсилой F. Условно на рисунке стержень показаншарнирно опёртым, но вопрос о граничных условиях пока оставим открытым

Рис. 106

Пусть сила F меньшеэйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую поперечнуюнагрузку Fп, то стержень изогнётся, но будет находиться вустойчивом равновесном состоянии. Сжимающая сила совершит при этом работу наперемещении ▲, которое можно найти следующим образом.

Укорочение малогоэлемента длиной dz будет равно

/>▲= />

учтём, что />= y'

Тогда ▲=/>

Потенциальная энергиядеформации изогнутого стержня

U=/>

Здесь учтено, что M = EIxy”

Изменение полной энергиипри малом изгибе будет

Если />, то стержень устойчив,если же /> , т.е. F/> производит работу большую, чем можетна копиться в стержне в виде энергии упругой деформации, избыточная работа идётна сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибаетсядальше. Т.е. он не устойчив. Очевидно, что когда сила достигает критическогозначения, то Fкр/>или

/> откуда

Для получения значениякритической силы необходимо задаться формой изогнутой оси. Функцию y = y(z)надо подбирать таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям.

Примеры

1) Вначале попробуем решитьрассмотренную ранее задачу о критической силе для шарнирно опёртого по обоимконцам стержня. Точное решение известно.

Fkp =/>

Форма изогнутой оси вэтом случае известна

y = CSin/>

но предположим, что этонам не известно и аппроксимируем изогнутую ось полиномом четвёртой степени

Граничные условияследующие

А) при Z = 0: y=0 (1);y”=0 (2) прогиб равен нулю и момент равен нулю,

Б) при Z = />: y = 0 (3) ;y”=0 (4)

Возьмём производные

y’ = 4Az3+3Bz2+2Cz+D;

y” = 12 Az2+6Bz+2C