Реферат: Уравнение равновесия. Проекция скорости точки

Задача1

Груз силой тяжести G=350 Н удерживается тросом, перекинутым через блок А, ось которого укреплена на стержнях АВ и АС. Определить силы реакции в стержнях, если углы на рис.8.1 равны, соответственно: α=60º, β=15º, γ=30º. Рисунок не выдержан в масштабе.

Дано:

G=350 Н

α=60º

β=15º

γ=30

RA, RB — ?

T=G, т.к. трение в блоке отсутствует

Запишем уравнение равновесия для стержней. В качестве объекта равновесия примем точку А. Изобразим действующие на нее силы.

ΣFx =0

Tsin30-RC sin60-RB sin75=0

ΣFy =0

G+Tcos30-RB cos75-RC cos60=0

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Для упрощения процесса решения подставим числовее значения известных величин.

350sin30-RС sin60-RB sin75=-175-0,866RС -0.966RB =0

49,6-0,259RB -0.5 (-202,1-1,1RB ) =51,9+0,291RB =0

RB =-51,9/0.291=-178,35 Н

RC =-202,1-1,1 (-178,35) =-5,92 Н

Знак "-" указывает на то, что силы направлены в сторону противоположную указанной на схеме.

Ответ: RB =-178,35 Н

RC =-5,92 Н

Задача 2

По заданному графику проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, построить графики ее перемещения и ускорения. Какой путь прошла точка? На каком максимальном расстоянии от исходного положения она находилась в процессе движения? На каком расстоянии от исходного положения она находится в конце движения?

Для построения графиков перемещения и ускорения необходимо записать уравнения скорости на каждом участке представленного графика.

Участок 1. t от 0 до 10 с

V1 =const=10 м/с

Участок 2. t от 10 до 20 с

V2 =2t-10

Участок 3. t от 20 до 30 с

V3 =const=30 м/с

Участок 4. t от 30 до 40 с

V4 =120-3t м/с

Для построения графиков перемещений проинтегрируем уравнения полученные выше

Найдем константу С. S (0) =0=10·0+C → C=0, S1 =10t

S1 (10) =10·10=100

S2 (10) =102 -10·10+C → C=100

S2 (20) =202 -20·10+100=300

S3 (20) =20·30+C=300 → C=-300

S3 (30) =30·30-300=600

S4 (30) =120·3-302 +C=600 → C=-1590

Для построения графиков ускорений продифференцируем уравнения скоростей на разных участках

a1 =

a2 =2 м/с2

a3 =0

a4 =-3 м/с2

График зависимости перемещения от времени м/с2

График зависимости ускорения от времени

Путь пройденный точкой численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени

S=10·10+ (10·10+0,5·10·20) +10·30+0,5·10·30=750 v

В данном случае максимальное расстояние от исходного положения составит 750 м, точка в конце движения будет находится также на расстоянии 750 м.

Задача 8.3 В механизме качающегося грохота (рис.8.3) определить угловую скорость кривошипа О2 В=3r и скорость ползуна D при вертикальном положении кривошипа O1 A, если АВ=CD=2r. Отношение BC/CO2 =3/5, угловая скорость кривошипа О1 А равна ω=6 рад/с, углы α=60º, β=45º. Длина кривошипа O1 A равна r=0.1м.

Дано:

O1 A=r=0,1 м

AB=CD=2r=0,2 м

O2 B=3r=0,3 м

ωOA1 =6 рад/с

α=60º

β=45º

ωO2B, VD — ?

Построим положение механизма в соответствии с данными условиями задачи.

Для определения необходимых нам скоростей необходимо провести ряд промежуточных вычислений.

Определим скорость VA

VA =ωO1A ·r/2=6·0,1=0,6м. с (VA ┴O1 A)

Скорость VA определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую соединяющую эти точки (прямая АВ).

VA =VB cos30 → VB =0.6/cos30=0,69м/c2

Построим мгновенный центр скоростей (МЦС) — точка лежащая на пересечении перпендикуляров к векторам VA и VB

ωO2B =рад/с

Определяем VD. Точка D принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно и стержню CD. Поэтому чтобы найти ее скорость достаточно знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление VD .

Величину VC найдем из пропорции

VC =(VC ┴СМЦС)

Скорость VD определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня CD) на прямую соединяющую эти точки (прямая CD).

VD cos45=VC cos15 → VD =0,5·cos15/cos45=0,68 м/c2

Ответ: ωO2B =рад/с; VD =0,68 м/c2

Задача 3

Доска длиной l =6м, свободно положенная на две разновысокие опоры А и В, получив начальную скорость v=0.5м/с, соскальзывает с опор вниз. Упадет ли доска с них, если коэффициент трения между доской и опорами f =0.6, а размеры на рис.8.4: a=0.3 l, b=0.5 l, h=0.14 l.

Дано:

l=6м

v0=0.5м/с

f=0.6

a=0.3l

b=0.5l

h=0.14l

s — ?

Запишем сразу уравнение равновесия для доски находящейся в покое

ΣF x =0-F трА +Q cosα-F трB =0

F трА =F трВ =f ·N =f ·Q sinα (Ra=Rb=N)

отсюда

Q cosα-2f ·Qsinα=0

Запишем 3-й закон Ньютона для доски начавшей движение

m =mg (cosα-2f sinα)

=g (cosα-2f sinα)

Проинтегрируем полученное уравнение

=Vx =g (cosα-2f sinα) t+C1

x =g (cosα-2f sinα) t+C1 t+C2

Найдем неизвестные cosα и sinα

sin2 α+cos2 α=1

Найдем постоянные С1 и С2

При t=0 Vx (0) =0.5 м/с → С1 =0,5

При t=0 x (0) =0 → С2 =0

Окончательно уравнение движения доски примет вид

V=9.8 (0.28-2·0.6·0.96) t+0,5=-8,55t+0,5

x=-4.27t2 +0.5t

Найдем время, когда доска остановится

V=0 → t=0.5/8.55=0.06 c

Путь пройденный доской за это время

x=-4.27·0.062 +0.5·0.06=0.015 м

Для того чтобы доска упала она должна пройти путь равный длине его верхней части а=0,3·6=1,8 м. В нашем случае это не происходит, следовательно доска не упадет.

Задача 4

На однородной балке массой m=3т (рис.8.5) установлена лебедка силой тяжести G=25кН, поднимающая на тросе, наматывающемся на барабан d=0.1 l, груз силой тяжести Q=12кН с ускорением а=3м/с2. Определить нагрузки на опоры А и В, если b=0.4 l, c=0.2 l. Массу троса не учитывать.

Дано:

m=3т

G=25кН

d=0.1 l

Q=12кН

а=3м/с2

b=0.4 l

c=0.2 l

RA, RB — ?

Запишем уравнения равновесия

ΣF x =0 RAx =0

ΣF y =0 RAy -G-Q--Mg+RBy =0