Реферат: Электромагнитные волны

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИСибирский государственный университет телекоммуникацийи информатики.

Межрегиональный центр переподготовкиспециалистов

 ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯРАБОТА

по дисциплине

«Электромагнитные поля и волны»

Выполнил:

Проверил:

Лиманский В.Н.

Новосибирск, 2010

Излучениеэлектромагнитных волн. Электродинамические потенциалы. Элементарныйэлектрический излучатель. Поля излучателя в ближней и дальней зонах.

 

Возможность излученияэлектромагнитных волн, т.е. передачи электромагнитной энергии из некоторойзамкнутой области, содержащей сторонние источники, в окружающее пространство,непосредственно вытекает из уравнения баланса электромагнитной энергии.Излучение электромагнитных волн может иметь место только при переменных токах.Экспериментальное подтверждение возможности излучения электромагнитных волнвпервые осуществлено опытами Г.Герца. Определяющее значение в использованииэтой возможности для практической деятельности человека и, следовательно, длястановления современной радиотехники, имело изобретение радио А.С.Поповым в1895г.

Сформулируем задачу:пусть в среде, характеризуемой параметрами eа,mа и s<sub/>распределенсторонний ток jст. Требуется определить векторы /> и />, удовлетворяющиеуравнениям Максвелла (3.2[4]).

Для определения векторовполя по заданным источникам обычно применяют искусственный прием: сначаланаходят вспомогательные функции, а потом через них уже вычисляют векторы /> и />. Эти вспомогательныефункции принято называть электродинамическими потенциалами.

Выпишем уравненияМаксвелла в комплексной форме с учетом сторонних сил и введем вспомогательныефункции.

/> (4.1[4])

Используя материальныеуравнения, преобразуем первое уравнение Максвелла следующим образом:

/>.

Или окончательно:

/>,

где: /> - называется комплекснойдиэлектрической проницаемостью среды.

Для хороших диэлектриков,например воздуха, s » 0 и, соответственно, />.

Введем вспомогательнуюфункцию, которую впредь будем называть векторным электродинамическимпотенциалом />, следующим образом:

/> (4.2[4])

Отсюда:

/>. (4.3[4])

Подставим (4.2[4]) вовторое уравнение Максвелла:

/>,

отсюда:

/>. (4.4[4])

Из курса высшейматематики известно:

/>,

где /> - некоторая скалярнаявеличина.

Пользуясь этим, введемеще одну вспомогательную функцию – скалярный электродинамический потенциал />

/> (4.5[4])

Тогда из этого выраженияполучаем:

/>. (4.6[4])

Используя материальныеуравнения и выражения (4.3[4]), определяем вектор электрической индукции:

/> (4.7[4])

Таким образом, всевекторы, характеризующие электромагнитное поле (/> и/>), выражаются через двевспомогательные функции:/>.Следовательно, теперь задача состоит в том, чтобы определить эти две функции.Для этого подставим (4.3[4]) и (4.6[4]) в первое уравнение Максвелла.

/>,

/>.

Учитывая известное извысшей математики тождество />, где /> — любая векторная величина,преобразуем полученное выражение следующим образом:

/>.

/>.

Поскольку /> — произвольныевспомогательные функции, то зададим их таким образом, чтобы выполнялосьусловие:

/> . (4.8[4])

Условие (4.8[4]) получило название условие калибровкиЛоренца.

С учетом (4.8[4])окончательно получаем:

/>, (4.9[4])

где: /> – называют волновымчислом,

/> – оператор Лапласа.

Аналогичным образом,подставляя в третье уравнение Максвелла уравнение (4.7[4]), затем, учитываяусловие калибровки Лоренца и известное тождество />,где />– некая скалярная величина,после несложных преобразований получим:

/>. (4.10[4])

Таким образом, мыполучили два неоднородных дифференциальных уравнения второго порядка дляфункций />. Среди множества решенийвыбирается то, которое удовлетворяет условию калибровки (4.8[4]), и затем уже спомощью (4.2, 4.3, 4.6, 4.7 [4]) определяются векторы электромагнитного поля.

Опуская ввиду громоздкости строгий вывод решения неоднородныхдифференциальных уравнений (4.9[4]) и (4.10[4]), приведем лишь конечный результатрешения этих уравнений:

/>, (4.11[4])

/>, (4.12[4])

где: V – область пространства, содержащаясторонние источники;

r – расстояние от источника до точкинаблюдения (см. рис.1).

/>

Рис.1. К пояснениювыражений для электродинамических потенциалов

Рассмотрим простейшийизлучатель электромагнитных волн в виде короткого отрезка провода. Дадимопределение:

Элементарным электрическимизлучателем (ток Iст вибратором) называют отрезокпровода, вдоль которого течет переменный ток с постоянной амплитудой Iстm = const,причем длина l этого проводника значительно меньшеизлучаемой длины волны l.

Представим ток Iст<sup/>в комплексной форме:

/>.

Применим к отрезкупровода, по которому протекает ток Iст, законсохранения заряда (см. ур. 1.26[4])

/>,

или:Iстm = –jwQm, т.е. амплитуда изменения заряда в проводе пропорциональна изменению внем амплитуды тока. Поскольку, по условию, амплитуда тока вдоль проводапостоянна, то изменение будет происходить лишь на концах этого провода.Следовательно, элементарный электрический вибратор по своей сути представляетэлектрический колеблющийся диполь (см.рис.2).

/>/>

Рис. 2. Эквивалентностьэлементарного электрического излучателя и колеблющегося диполя

Малость длины l излучателя по сравнению с длинойволны l позволяет рассматривать его какточечный источник электромагнитных волн. Отметим, что первый искусственныйизлучатель, который использовал в своих опытах Герц, представлял собой дваметаллических шара, перезаряжаемых с высокой частотой индукционной катушкой(см. рис.3), т.е. являлся ничем иным, как колеблющимся диполем. Данныйизлучатель получил название диполя Герца.

/>

Рис.3. Диполь Герца

Перейдем теперь к анализуэлементарного электрического вибратора. Определим векторы напряженностиэлектрического и магнитного полей /> призаданном источнике сторонних сил />. Дляэтого вычислим вначале вспомога-тельную функцию – векторныйэлектродинами-ческий потенциал />, используя(4.11[4]):

/> (4.13[4])

Расположим элементарныйэлектрический вибратор в сферической системе координат (см. рис.4). Теперь спомощью (4.3[4]) определим напряженность магнитного поля электрическогоизлучателя:

/>

Рис. 4. Расположениевибратора в сферической системе координат

· Из векторной математики. Операция rot в сферической системе координатнекой векторной величины />:

/>

где:/>– единичные векторы

/>

Вычисление операции rotпроводим в сферической системе координат. Обратив внимание в (4.13[4]) на то,что /> зависит только от r (и не зависит от j и q), в результате получим:

/> (4.14[4])

Величину напряженностиэлектрического поля вне области, содержащей источники сто-ронних сил, прощевсего определить из первого уравнения Максвелла (причем будем полагать, чтосреда в этой области хороший диэлектрик, s »0):

/>,

отсюда: />. Раскрывая операцию rot в сферической системе координат,получим:

/> (4.15[4])

Из полученных уравнений(4.14[4]) и (4.15[4]) несложно заметить, что составляющие электромагнитногополя электрического излучателя зависят от расстояния r. Вследствие этого принято различать ближнюю и дальнюю зоны излучателя.

Рассмотрим поле в ближнейзоне:

Этот случайхарактеризуется тем, что расстояние r от излучателя значительно меньше длины излучаемой волны l, т.е. r << l.

Поскольку:

/>,

где: />– скорость света;

e, m – относительная диэлектрическая и магнитная проницаемостивоздуха (равные единице),

то условие r << l означает что:

/>

Тогда из (4.14[4]) и(4.15[4]) получаем следующие комплексные значения составляющихэлектромагнитного поля в ближней зоне:

/> (4.16[4])

Перейдем от комплексныхзначений к мгновенным, (т.е. возьмем вещественную часть от приведенныхвыражений)

/> (4.17[4])

На основании (4.17[4])можно отметить следующие основные свойства электромагнитного поля элементарногоэлектрического излучателя в ближней зоне:

1. Составляющиеэлектромагнитного поля убывают в зависимости от расстояния r по разному: амплитуда электрическогополя по закону 1/r3, амплитуда магнитного – по закону 1/r2.

2. Поскольку sin(wt) = cos(wt — p/2),то это означает, что электрическое и магнитное поля сдвинуты во времени по фазена 900.

3. Определим векторПойнтинга в ближней зоне (т.е. плотность потока мощности, выходящего сквозьзамкнутую поверхность S вокруг вибратора). Из (4.17[4]) следует, что векторПойнтинга будет иметь две составляющие:

/> и />.

Мгновенные значения:

/>

Отсюда видно, что обесоставляющие вектора Пойнтинга изменяются во времени по закону sin(2wt), т.е. принимает как положительные,так и отрицательные мгновенные значения. Очевидно, что среднее значениесоставляющих вектора />за периодколебаний Т будет равно нулю. Это означает, что движение энергии ближнего поляимеет колебательный характер – в течение четверти периода Т (поскольку 2w) энергия движется в одномнаправлении, в течение следующей четверти периода энергия движется впротивоположном направлении.

Вывод: Таким образом,ближнее электромагнитное поле не участвует в процессе излучения и имеетхарактер квазистационарного поля. Поясним сказанное рис.5 на примере струны,закрепленной на бесконечности.

/>

Рис.5 Пример, поясняющийхарактер процесса в «ближней» и «дальней» зоне. Видно, чтоотносительно распространения волны (ось z) в «ближней» зоне преобладает колебательныйхарактер, тогда как в " дальней" зоне – волновой характер

Ближнюю зону называюттакже зоной индукции.

Рассмотрим теперь поле вдальней зоне. Этот случай характеризуется тем, что r >> l, и соответственно, kr >> 1. Используя это, можно записать:

/>

Тогда из (4.14[4]) и(4.15[4]) получаем следующие комплексные значения составляющихэлектромагнитного поля в дальней зоне:

/> (4.18[4])

Перейдем от комплексныхзначений к мгновенным:

/> (4.19[4])

Исходя из (4.19[4])отметим следующие основные свойства электромагнитного поля элементарногоэлектрического излучателя в дальней зоне:

1. Амплитудыэлектрического и магнитного полей убывают одинаково по закону 1/r.

2. Электрическое имагнитное поля изменяются в одинаковой фазе:

(wt–kr) = w(t – r/>) = w(t – r/>) = w(t – r/>) = w(t –/>), (4.20[4])

где: /> - называют фазовойскоростью.

3. Вектор Пойнтингав дальней зоне имеет только одну составляющую:/>.

Мгновенное значение:

Re/> = Еqm cos(wt – kr)Hjm cos(wt – kr) = EqmHjm cos2(wt – kr).

Таким образом, мгновенноезначение вектора Пойнтинга всегда оказывается положительным. Это, в своюочередь, означает, что энергия движется только в одном направлении – отизлучателя и поэтому представляет собой энергию излученной электромагнитной волны.

4. Вернемся к фазесоставляющих электромагнитного поля излучателя (wt – kr) = w(t – r/v). Заметим, что она зависит как отвремени t, так и от расстояния r. Из курса общей физики известно, чтолюбой процесс, описываемый уравнением вида: А = Аmcos(х), есть волновой процесс. Следовательно, исходя из(4.19[4]), заключаем, что электромагнитное поле в дальней зоне представляетсобой электромагнитную волну, изменяющуюся во времени и в пространстве. Причемвекторы /> и /> лежат перпендикулярно кнаправлению распространения r(т.к. у них индексы q и j) находятся в фазе и взаимноперпендикулярны друг к другу.

К основным параметрамэлементарного электрического излучателя обычно относят:

- диаграммунаправленности;

- мощность исопротивление излучения.

На практике, как правило,основной интерес представляет дальняя зона излучения, поэтому данные параметрыбудут рассматриваться лишь применительно к этой зоне.

Диаграммой направленностиназывают зависимость нормированной амплитуды напряженности поля излучателя вдальней зоне от направления (т.е. от угловых сферических координат q и j) при постоянном расстоянии от излучателя (т.е. при r = const):

/>,

где: Еmmax,<sub/>Нmmax – максимальное амплитудное значениеЕm(q,j) и Нm(q,j), соответственно.

Из (4.19[4]) имеем, чтомаксимальное значение, например Еm(q,j),при изменении q и j соответствует:

/>.

Следовательно, диаграмманаправленности элементарного электрического излучателя:

/>, (4.21[4])

и не зависит от угла j. Максимум излучения лежит вэкваториальной плоскости вибратора (q=900); вдоль его оси излучения нет. В сферическойсистеме координат диаграмма направленности представляет собой пространственнуюфигуру в виде тора (см. рис.6).

/>

Рис. 7. Диаграмманаправленности элементарного электрического излучателя

Определим теперь среднеезначение вектора Пойнтинга элементарного элек-трического вибратора впредположении, что по излучателю длиной l протекает переменный ток I с частотой w. Для переменных (т.е. гармонических) полей Пср определяетсявыражением (3.18[4]):

/>.

Для дальней зоны из (4.18[4]) получаем:

/>. (4.22[4])

Для того, чтобыопределить мощность, излучаемую вибратором, мысленно окружим излучательповерхностью S. Напомним, что вектор Пойнтингахарактеризует плотность потока мощности, проходящей через единичнуюповерхность. Следовательно, проинтегрировав /> повсей поверхности S, мы определиммощность излучения излучателя:

/>.

Поверхность S удобно взять в виде сферы, тогда,учитывая, что элементарная площадка dS выражается через угловые сферические координаты dq и dj как dS = r2sinq dq dj и расположена по нормали к вектору />, получим:

/> (4.23[4])

Согласно полученномувыражению мощность излучения пропорциональна квадрату амплитуды переменноготока, протекающего по излучателю. В этом смысле имеется прямая аналогия междувыражением (4.23[4]) и обычным выражением для мощности переменного тока, выделяемойна некотором активном сопротивлении: />.Поэтому (4.23[4]) можно представить в следующем виде:

/>,

где: /> - называют сопротивлениемизлучения. (4.24[4])

Сопротивление излученияимеет очень важное значение в теории антенн, поскольку, как несложно заметитьиз (4.24[4]), оно характеризует излучательную способность антенной системы.

Преобразуем выражение дляRизл учитывая, что />:

/> (4.25[4])

где /> — имеет размерность [Ом] иназывается характеристическим (волновым) сопротивлением среды. Zс определяется только параметрами eа, mа среды, окружающейэлементарный излучатель.

Задача 1

 

Плоскаяэлектромагнитная волна распространяется в однородной немагнитной среде сотносительной диэлектрической проницаемостью />= 4 и удельной проводимостью />. Частотаэлектромагнитной волны f = 5,5 МГц. Определить:

1.Фазовуюпостоянную.

2.Длину волныв среде.

3.Расстояние,на котором амплитуда волны убывает на 100 дБ.

4.Отношениемодуля плотности тока проводимости к модулю плотности тока смещения.

/>

Рис.9 Плоская электромагнитнаяволна в реальной среде.

Дано: />=0,3/>; />=4; />=5,5 МГц = />Гц;

Решение.

1. Определимфазовую постоянную.

Дляначала, найдем тангенс угла потерь:

/>;(2.12 [2]), где

/>удельная проводимость среды;

/> круговая частота гармоническихколебаний;

/> абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.

Круговаячастота гармонических колебаний равна:

/> рад/с. (стр.30[1]), где

/>частота плоской электромагнитнойволны.

Абсолютная диэлектрическаяпроницаемость среды равна:

/> Ф/м. (1.36[2]),

где

/>электрическая постоянная,равная:

/> Ф/м. (1.11[3]).

Подставивчисловые значения в (2.12 [2]), вычислим />:

/>

Далее, определимфазовую постоянную по формуле:

/>; (6.7 [1]), где

/>абсолютная магнитная проницаемость среды.

Относительнаямагнитная проницаемость всех диамагнитных и большинства парамагнитных веществвесьма мало отличается от единицы, поэтому в расчетах данной задачи эффектамидиа- и парамагнетизма пренебрежем, считая, что />. Отсюда:

/> Гн/м. (1.63[3]).

Подставив числовые значения в (6.7 [1]), получим:

/>

2. Определим длину волны в среде.

Так как />,то потери происходят как в проводящих средах, соответветственно длина волны определяется по формуле:

/>; (6.28[1])

Подставив числовые значения в (6.28[1]), получим:

/>

3. Определимрасстояние, на котором длина волны убывает на 100 дБ.

/>

Рис.10 Уменьшение амплитудыплоской волны при распространениии в среде с потерями.

 

Расстояние Z, на котором амплитуда волны убывает (затухает) на 100 дБ, найдем, используязакон изменения амплитуды вдоль оси распространения, который можно записатькак:

/>; (3.8[2]), где

/>коэффициент ослабления плоской волныв среде, равный:

/>; (6.8[1])

Подставив числовые значения в (6.8 [1]), получим:

/>

Так как амплитудазатухает на 100 дБ, то отношение />, тогда:

/>

4. Определим отношение модуля плотности токапроводимости к модулю плотности тока смещения.

По условию задачи/>, соответветственно здесьплоская электромагнитная волна распространяется как в реальной среде, а в реальных средах, в отличии отсвободного пространства потери волны возникают по двум причинам. Во-первых,потери связаны с конечной проводимостью среды (потери на джоулевое тепло), вовторых, потери возникают из-за явления поляризации диэлектрика, которое в конечномсчете также приводит к тепловым потерям. Характер потерь можно оценить вычисливотношение модуляплотностей токапроводимости и тока смещения:

/>; (1.78[1])

Это отношениеназывается тангенсом угла потерь. В нашем случае, согласно вычислений по (2.12 [2]), />.

 

Задача 2

 

Цилиндрическийрезонатор имеет диаметр D = 0,06 м, длину 0,05 м, заполнен полиэтиленом(относительная проницаемость />= 2,5). Определить: 1.Резонанснуючастоту колебания E/>.

2.Резонанснуючастоту колебания H/>.

3.Добротностьколебания E/>при значении поверхностного сопротивления R/>Ом/м.

4.Полосупропускания резонатора на колебании E/>.

/>

Рис.10 Цилиндрический резонатор

 

Дано: D=0,06м; />=2,5; l=0,05м;

Решение.

1.Определим резонанснуючастоту колебания E010.

Резонанснаячастота /> определяется по формуле:

/> ; (11.18[5]), где

/> - фазовая скорость волны, равная:

/> (3.39[5]), где

/> — скорость света, (3.38)[5].

/> относительная магнитнаяпроницаемость среды =1

Подставляязначения в (3.39[5]) получаем:

/>;

/> корень функции Бесселя для волны Е010/> (табл.9.4 [5]);

a – радиус резонатора, a =/>;

р – индекс,для волны Е010 р=0, тогда /> будетравна:

/>

2.Определим резонанснуючастоту колебания H111.

Резонанснаячастота /> определяется по формуле:

/> , (11.18[5]), где

/> - корень функции Бесселя для волны Н111/> (табл.9.4 [5]);

для волны H111 р=1, тогда/> будет равна:

/>

3.Определим добротностьколебания E010 при значении поверхностного сопротивления RS= 10–3 Сим/м.

Формуладобротности для волны Е010 имеет вид:

/> , (11.32 [1]);

Подставляязначения в (11.32 [1]), получаем:

/>

4. Определим полосупропускания резонатора на колебании E010.

Полосапропускания П равна:

/> ; (стр.259 [5])

/>

Литература

1. Пименов Ю.В.,Вольман В.И., Муравцов А.Д. /Техническая электродинамика /Под ред. Ю.В.Пименова: Учеб. пособие для вузов.— М.: Радио и связь, 2000.— 536с.: ил.

2. Баскаков С.И.Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб.пособие для вузов по спец.«Радиотехника». —М.Высш.шк.,1992. —416с.: ил.

3. Федоров Н.Н.Основы электродинамики: Учеб. пособие для вузов.—М.: «Высш. школа»,1980.—399с., ил.

4. Андрусевич Л.К.,Беленький В.Г. Основы электродинамики. Учебное пособие., «СибГУТИ», 2005. 163с.

5. Семенов Н.А.Техническая электродинамика. Учебное пособие для вузов. М., «Связь», 1973.480с.