Реферат: Дифракція світла

ДИФРАКЦІЯ СВІТЛА

1. Принцип Гюйгенса-Френеля

Під дифракцією світла розуміютьбудь-яке відхилення світлових променів від прямих ліній, що виникають у результатіобмеження чи перекручування хвильового фронту. Найпростішим дифракційнимприкладом є відсутність чітких границь світла і тіні при висвітленні отвору внепрозорому екрані (рис. 1). Якби світло поширювалося строго прямолінійно,то тінь за екраном мала б чітку межу. Однак на практиці перехід від світла дотіні в площині спостереження відбувається поступово, а при використанніквазімонохроматичних джерел можливе спостереження біля геометричної границісвітла і тіні, що чергуються, світлих і темних смуг. Дифракція є прямимнаслідком хвильової природи світла і має місце для будь-яких інших хвиль,наприклад акустичних. Основна задача, що виникає при розгляді дифракційнихявищ, складається в обчисленні розподілу інтенсивності світла в областідифракції. Ця задача в багатьох практично важливих випадках може бутирозв’язана на базі принципу Гюйгенса-Френеля. Пояснимо цей принцип на прикладіобчислення світлового збурювання в деякій точці М, вилученої від точковогоджерела монохроматичного випромінювання (рис. 2). Оточимо джерелоуявлюваною замкнутою поверхнею s, за яку можна взяти будь-яку хвильову поверхню. Кут y між нормаллю до хвильовоїповерхні сг і напрямком на точку спостереження (точку М) називають кутомдифракції. Принцип Гюйгенса-Френеля зводиться до наступного: 1. Кожна точкауявлюваної замкнутої поверхні є джерелом вторинної хвилі, амплітуда і фаза якоїзадаються реальним джерелом. 2. Усі вторинні хвилі когерентні і їхні комплексніамплітуди в будь-якій точці спостереження М можна складати (інтерференціявторинних хвиль). 3. Амплітуда вторинних хвиль убуває при збільшенні кутадифракції y і максимальна при y = 0.

/>

Рисунок 1- Дифракція світлана отворі в непрозорому екрані: 1- джерело світла; 2- непрозорий екран зотвором; 3- площина спостереження

/>

Рис. 2- До пояснення принципуГюйгенса-Френеля

Запишемо названі положення,математично охарактеризувавши залежність амплітуди вторинних хвиль від кута коефіцієнтомнахилу К(y).

Комплексна амплітуда світловогоколивання dU, створюваного в точці Модним довільним елементом ds, виразиться співвідношенням:

dU = K(y)/>,(1)

де А- амплітуда хвилі, створюваноїреальним точковим джерелом на одиничній відстані від нього; r- відстань відточкового джерела до обраної точки на поверхні; k = 2p/l; s- відстань від точки наповерхні s до точки спостереження М.

Другий співмножник виразу (1) описуєсферичну хвилю від реального джерела на відстані м від нього, а третійспівмножник — вторинну хвилю від ділянки поверхні ds на відстані s від цієїділянки. Результуюче світлове збурювання в точці М визначається підсумовуваннямусіх вторинних хвиль, що йдуть від різних точок поверхні s. Математично підсумовуваннявторинних хвиль означає інтегрування виразу (1). У результаті маємо

U(M) = A/>,(2)

де s- площа поверхні, що оточуєджерело.

Якщо на шляху поширення світла єнепрозорі екрани з отворами, то інтегрування у формулі (2) виконують по площіотворів. У кожну точку спостереження (точку М) від кожної точки отворівнаправляється своя вторинна хвиля. Ці хвилі часто називають дифрагованими, авідповідні їм хвильові нормалі- дифрагованими променями. Спочатку принципГюйгенса-Френеля був сформульований як гіпотеза, причому точний вираз длякоефіцієнта КР, був невідомим. Більш пізній, наприкінці XIX в., він бувдоведений Кірхгофом шляхом рішення хвильового розв’язання (1.4) при задачізначень комплексної, амплітуди і її першої похідної у всіх точках замкнутоїповерхні, що оточує досліджувану точку. Це розв’язання може бути записане увидгляі (2), причому для К(y) справедливий такий вираз:

K(y) = (-i/2l)(1 + cos y).(3)

Наявність у формулі (3) комплексноїодиниці i показує, що вторинні хвилі мають фазу, відмінну на 90° від фази падаючої хвилі. Цеговорить про те, що вторинні хвилі не мають прямого фізичного змісту, і їхнійнеобхідно розглядати лише як зручну модель для чисельного розв’язаннядифракційних задач.

2. Дифракція Фраунгофера

Застосування формули (2) длярозв’язання обчислювальних дифракційних задач досить трудомістке. Спростимо цюформулу щодо практично важливого випадку нормального висвітлення отворумаленьких розмірів плоскою хвилею і спостереженням дифракційного ефекту привеликому відлучені від отвору (рис. 3). Початок координат помістимоусередині отвору, оси Х і У розташуємо в площині отвору, а вісь Z, направимо усторону поширення пучка, що висвітлює. Обчислимо світлове збурювання в точці М,розташованої на невеликій відстані від осі Z. При зазначених умовах К(y) » const, l/s = const і формулу(2) можна записати у такому вигляді:

U(M) = C1/>,(4)

де C1 — постійна комплекснавеличина; s = /> — відстань віддовільної точки отвору (x, y, O) до точки спостереження (xm, ym,z) .

Якщо ds проходить весь отвір О,відстань s у загальному випадку змінюється на велике число довжин хвиль l, -тому множникехр (ikr) буде багаторазово осцилирований. Розкладемо змінну величину s у статечний ряд щодо координат точкиотвору (точки N) і запишемо результат у такому вигляді:

/>(5)

де />-відстань від початку координат О до точки спостереження М.

/>

Рисунок 3- До виведеннядифракційного інтеграла Фраунгофера

Якщо площина спостереженнядифракційної картини досить вилучена від отвору, то в розкладанні (5) можнаобмежитися тільки двома першими доданками. У цьому випадку говорять продифракцію в далекій зоні, чи дифракції Фраунгофера. Підставивши перші дварозкладання, що складаються, (5) у формулу (4), одержимо, що

/>.

Вхідні в круглі дужки відношення xM/s¢ = соs α = р і yM/s¢ = соs b = q є направляючимикосинусами по осях координат Х і У вектора, проведеного з початку координат уточку спостереження (рис. 4). З обліком уведених направляючих косинусівпредставимо останнє співвідношення у вигляді наступного виразу, що називаютьдифракційним інтегралом Фраунгофера:

/>,(6)

де С = С1 ехр (iks¢).

Можна показати, що коефіцієнт Cзалежить від довжини світлової хвилі, площі отвору і сповненої енергіївипромінювання, що падає на отвір.

Дифракційну картину Фраунгофераназивають просторовим спектром. Дифракційний інтеграл Фраунгофера справедливий,строго кажучи, тільки в граничному випадку при s' ®¥, тобто якщо точкаспостереження знаходиться в нескінченності (рис. 5, а). Практично цейінтеграл можна використовувати, якщо

s'>> (x2 + y2)max/l,

де х, у — координати точок отвору.

/>

Рисунок 4- Кути з осямикоординат вектора на точку спостереження

Якщо за отвором на відстані d від нього помістити високоякіснийоб'єктив О, то йдуть під пазними кутами рівнобіжні пучки дифрагованихпроменів, що будуть збиратися у відповідні точки фокальної площини об'єктива(рис. 5, б). Отже, дифракційна картина Фраунгофера з нескінченновилученої площини переноситься у фокальну площину об'єктива; при цьомудифракційний інтеграл Фраунгофера точно описує розподіл комплексної амплітуди уфокальній площині об'єктива при його висвітленні рівнобіжним пучком променів.Введемо у фокальній площині об'єктива систему координат x, h. Дифрагований пучок знаправляючими косинусами р, q фокусується об'єктивом у точку фокальної площини з координатами x » pf', h » qf', де f'- фокусна відстаньоб'єктива.

/>

Рисунок 5- ДифракціяФраунгофера у нескінченності; у фокальній площині об'єктива

У формулі (6) зручніше записатинескінченні границі інтегрування, а кінцеву площу отвору а врахувати так називаноюфункцією зіниці Р (х, у), рівній одиниці усередині отвору і рівної нулю позаними. З обліком сказаного можна записати наступний вираз для дифракційногоінтеграла щодо фокальної площини об'єктива:

/>.(7)

Коефіцієнт, що стоїть передінтегралом, С в загальному випадку залежить від координат x, h. Однак при розташуванніекрана з отвором у передній фокальній площині об'єктива коефіцієнт С єпостійною величиною для всіх точок задньої фокальної площини. Допустимо, що вплощину отвору введений плоский предмет з амплітудним коефіцієнтом пропущення t (х, у) (рис. 6). Такий предметзмінює амплітуди вторинних хвиль t (х, у) разів, і тому у формулі (7) функціюзіниці Р (х, у) можна замінити на t(х, у):

/>.(8)

Ця формула збігається з двовимірнимперетворенням Фур'є функції t (х, у), що позначимо />(х,у).

/>

Рисунок 6- Схема виконанняперетворення Фур'є за допомогою об'єктив

Таким чином, якщо в переднійфокальній площині об'єктива розташувати плоский транспарант із функцієюкоефіцієнта пропущення t (х, у) і освітити транспарант плоскоюмонохроматичною хвилею, то в задній фокальній площині об'єктива утворитьсярозподіл комплексної амплітуди світлового збурювання, зв'язаний з t (х, у)перетворенням Фур'є /> {t (х, у)}.Ця важлива властивість об'єктива широко використовується в багатьох сучаснихпристроях оптичної обробки інформації.

3. Дифракція на отворахрізної форми

Досліджуємо картини дифракціїФраунгофера від отворів різної форми, що спостерігаються при нормальномувисвітленні отворів монохроматичним світлом. Відносний розподіл інтенсивності вдифракційних картинах обчислимо за допомогою дифракційного інтегралаФраунгофера (6). Розглянемо спочатку випадок дифракції на прямокутному отворі(рис. 7, а). Якщо початок координат розташувати в центрі прямокутника, аосі Х і Y направити паралельно йогосторонам, то дифракційний інтеграл Фраунгофера (6) приймає вигляд:

/>.

Обидва одномірних інтеграла розв¢язуються однотипно. Запишемо,наприклад, розв’язання першого інтеграла:

/>.

/>

Рисунок 7- Дифракція напрямокутному отворі: а- форма отвору, б- просторовий спектр

Остаточне вираження для розподілуінтенсивності в дифракційній картині від прямокутного отвору можна записати утакому вигляді:

/>,

де I0 — інтенсивність світла, що йде внапрямки пучка, що висвітлює, (недифраговане світло).

Співмножники, що входять у формулу(9), типу функції />мають головниймаксимум у = 1 при х = 0 і мінімуми, рівні нулю, при х = ±/>, ±2/>, ±З/>, …. Розподілінтенсивності в дифракційній картині на прямокутному отворі представлене нарис. 7, б. Інтенсивність світла I (р, q) дорівнює нулю уздовж двохрядів ліній, рівнобіжних сторонам прямокутника. Положення цих ліній знаходитьсяприрівнюванням нулю чисельників у квадратних дужках формули (9) і визначаєтьсязі співвідношень:

р = ± ml/а;q = ± nl/b,

де m, n = 1, 2, 3, ...

Усередині кожного прямокутника,утвореного сусідніми парами темних смуг, інтенсивність досягає максимумів, що,однак, складають лише маленьку частину інтенсивності центрального максимуму ішвидко зменшуються в міру вилучення від центра. Більшому розміру отворувідповідають менші ефективні розміри дифракційної картини.

Якщо а >> b, то прямокутний отвір називаютьщілиною. Просторовий спектр при а ®¥ по координаті р(рис. 7, б) стискується до нуля. Тому розподіл інтенсивності вдифракційній картині від щілини може бути представлений одномірною залежністю(рис. 8):

/>,

де b- ширина щілини.

Очевидно, що q = соs (90° - y) = sin (y), де y- кут дифракції, відлічуванийвід осі z. Перший дифракційний мінімум має місце при кутах дифракції,обумовлених з рівності

sin(y) =±l/b.

Основна частина потоку зосереджена вмежах кута y = ± arcsin (l/b). Відношення інтенсивностей першого максимуму до наступного задаєтьсяпослідовністю чисел І0: І1: І2:… = 1000:47: 17: ...

/>

Рисунок 7- Дифракція нащілині

/>

Рисунок Дифракція на кругломуотворі: а- форма отвору, б- дифракційна картина Эйри; в- графік відносногорозподілу інтенсивності в дифракційній картині

Аналогічно можна досліджуватидифракцію Фраунгофера на круглому отворі (рис. 9). У фокальній площиніоб'єктива (див. рис. 5, б) спостерігається центральний світлий диск,оточений концентричними світлими і темними дифракційними кільцями. Точнийрозподіл інтенсивності в дифракційній картині можна одержати за допомогоюдифракційного інтеграла Фраунгофера (6) у полярній системі координат. Графікперетинання цього розподілу представлений на рис. 9, в. Перший мінімумосвітленості (радіус першого темного кільця) спостерігається при кутідифракції, обумовленої за формулою:

sin(y) = 1,22l/D,(10)

де D- діаметр отвору.

Інтенсивність світлих кілець швидкозменшується зі збільшенням радіуса, і неозброєним оком можна спостерігати лишеодне чи два перших кільця. Ефективні розміри дифракційної картини оберненопропорційні діаметру отвору. У середині дифракційної картини, обмеженої другимтемним кільцем, концентрується більш 90 % світлової енергії, що проходить крізьотвір. Дифракційну картину Фраунгофера на круглому отворі часто називаютькартиною Ейрі.

/>

Рисунок 10- Дифракція на Nрівновіддалених щілинах: а- схема спостереження дифракційної картини; б- графіквідносного розподілу інтенсивності.

Важливу роль відіграє дифракціясвітла на правильній структурі з N рівнобіжних рівновіддалених щілин, називанимамплітудними дифракційними рішітками (рис. 10). При освітленні решіток плоскоюмонохроматичною хвилею має місце дифракція світла на кожній щілині. Крім того,всі дифраговані хвилі когерентні, вони інтерферують між собою, у результатічого утвориться сумарна дифракційна картина від усіх щілин. Розподілкомплексної амплітуди в дифракційній картині можна одержати, як і у випадкуоднієї щілини, за допомогою одномірного дифракційного інтеграла Фраунгофера,виконуючи інтегрування по N щілинах. Переходячи до інтенсивності світла, можнаодержати такий вираз:

/>,(10)

де b- ширина кожної щілини; d-відстань між щілинами (період дифракційних решіток).

Перший співмножник визначаєінтенсивність випромінювання в напрямки y = 0, тобто інтенсивністьнедифрагованого світла. Другий співмножник характеризує розподіл інтенсивностісвітла в дифракційній картині від однієї щілини, а третій співмножник враховуєвплив інтерференції між усіма дифрагованими пучками. При виконанні умови

dsin(y) = ml,(11)

де m = 0, ±1, ±2, ±3, ..., третійспівмножник у формулі (10) приймає максимальні значення.

Відповідні значення інтенсивності I(y) називають головнимимаксимумами. Утворення головних максимумів обумовлене тим, що дифрагованiхвилі, що випускаються двома еквівалентними точками сусідніх щілин, привиконанні умови (11) мають оптичну різницю ходу, кратну цілому числу довжинхвиль.

Графік відносного розподілуінтенсивності в дифракційній картині на N рівновіддалених щілинах представленийна рис. 10, б. Між сусідніми головними максимумами виникаютьN - 1 мінімумів, між якими знаходяться маленькі по інтенсивностіпобічні максимуми. У сучасних дифракційних ґратах число щілин N досягає великихзначень, наприклад 200 000, і головні максимуми стають дуже різкими ірозділяються широкими проміжками, де інтенсивність світла можна вважатипрактично рівної нулю. Обгинаюча головних максимумів є крива, що відповідаєвідносній інтенсивності світла в дифракційній картині від однієї щілини.Підставивши (11) у (10), одержимо такий вираз для інтенсивності світла вголовних максимумах:

/>.

Якщо mb/d- цілечисло, то Imax = 0. Це відповідає збігу умови утворення головних максимумів наN щілинах з умовою утворення дифракційного мінімуму на одній щілині. Наприклад,при b/d = 1/4 кожен четвертий головний максимум у дифракційнійкартині випадає.

Отримані результати справедливі длярешіток з рівномірним пропущенням по ширині щілини. Якщо коефіцієнт пропущенняв границях щілини перемінний, то формула (10) може мати інший вигляд. Так, присинусоїдальному коефіцієнті пропущення виникають тільки нульовий і два перших (m = ±1) порядки дифракційногоспектра. Сучасні дифракційні решітки являють собою систему профільованихштрихів, у яких відсутні плоскі проміжки. Такі решітки називають фазовими. В окремихелементах профільованого штриха створюються різні запізнювання по фазі. щодозволяє сконцентрувати велику частину енергії, що падає на граті, у спектріодного порядку. Дифракційні решітки, застосовувані у видимій областіелектромагнітного випромінювання, мають частоту штрихів більш 2400 лін/мм.