Реферат: Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения по гипотезам прочности

Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия

Кафедра: " Детали машин"

Методическое пособие и задачи для самостоятельного решения по курсу «ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА»

Раздел: «Сопротивление материалов»

Тема: РАСЧЕТ ВАЛА ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПО ГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ.

Составил: доцент Комаров Н.В.

Кострома 2003

Для решения задания необходимо усвоить тему: «Гипотезы прочности и их применение», т.к в задачах рассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится с применением гипотез прочности.

Условие прочности в этом случае имеет вид

sэк в = Мэк в / Wz £[s]

Мэк в — так называемый эквивалентный момент

По гипотезе наибольших касательных напряжений (III — гипотеза прочности)

Мэк в III = (Ми2 + Тк2 ) 1/2

По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (V — гипотезе прочности)

Мэк в V = (Ми2 + 0.75 Тк2 ) 1/2

В обеих формулах Т — наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала Ми — наибольший суммарный изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями в вертикальных и горизонтальных плоскостях

2. По. заданной мощности Р и угловой скорости w определить вращающие моменты действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F1, Fr1, F2, Fr2 приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Построить эпюру изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры Mz и My) .

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

Мэк в III = (Мz2 + My2 + Тк2 ) 1/2 или

Мэк в V = (Мz2 + My2 + 0.75 Тк2 ) 1/2

8. Приняв sэк в = [s] определить требуемый осевой момент сопротивления

Wz = Мэк в /[s]

9. Учитывая, что для бруса сплошного круглого сечения

Wи = p*dв3/ 32 » 0.1* dв3

определяем диаметр его d по следующей формуле:

d³ (32* Мэк в / p*[s]) 1/3 » (Мэк / 0.1 [s]) 1/3

Пример: Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего мощность Р = 15 кВт при угловой скорости w =30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам:.

а) Используя, III-гипотезу прочности

б) Используя, V — гипотезу прочности

Принять [s] =160МПа, Fr1 = 0.4 F1, Fr2 = 0.4 F2

Составляем расчетную схему вала: Т1 =Т5, где Т1 и Т2 — скручивающие пары, которые добавляются при параллельном переносе сил F1 и F2 на ось вала

Определяем вращающий момент действующий на вал:

Т1 = Т2 = Р/w = 0,5*103 Нм = 0,5 кНм

Вычисляем нагрузку приложенную к валу

F1 = 2*T1/ d1 = 2*0.5*103/ 0.1 = 104 H = 10kH

F2 = 2*T2/ d2 = 2*0.5*103/ 0.25 = 4*103 H = 4kH

Fr1 = 0.4*103 = 4 kH Fr2 = 0.4*4 = 1.6 kH

Определяем реакции опор в вертикальной плоскости YOX (рис б)

åMa = — Fr1 AC — Fr2 AD + RBY *AB = 0

RBY = Fr1 AC + Fr2 AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH

åMB = — RAY *AB + Fr1 *BC + Fr2 *DB = 0

RAY = Fr1 *BC + Fr2 *DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH

Проверка:

åY = RAY — Fr1 — Fr2 + RBY = 2-4-1.6+3.6 = 0

åY = 0, следовательно RAY и RBY найдены правильно

Определим реакции опор в горизонтальной плоскости ХОZ (рис б)

åMA = F1 AC — F2 AD — RBz *AB = 0

RBz = F1 AC — F2 AD / AB = 10*0.05 — 4*0.25/0.3 = — 1.66 kH

Знак минус указывает, что истинное направление реакции RBz противоположно выбранному (см. рис. б)

åMB = RAz *AB — F1 *CB + F2 *DB = 0

RAz = F1 *CB — F2 *DB / AB = 10*0.25 — 4*0.05/0.3 = 7.66 kH

Проверка:

åZ = RAz — F1 + F2 — RBz = 7.66-10+4-1.66 = 0

åZ = 0, следовательно реакции RAz и RBz найдены верно.

Строим эпюру крутящих моментов Т (рис в).

Определяем ординаты и строим эпюры изгибающих моментов Mz в вертикальной плоскости (рис. г и д) и Мy — в горизонтальной плоскости.

МCz = RAy *AC = 3.6*0.05 = 0.18 kHм

МDz = RAy *AD — Fr1 *CD = 3.6*0.25 — 4*0.2 = 0.1 kHм

МCy = RAz *AC = 7.66*0.05 = 0.383 kHм

МDy = RAz *AD — F1 *CD = 7.66*0.25 — 10*0.2 = — 0.085 kHм

Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным координатам так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечений С больше, чем в сечении D, то сечение С и является опасным. Определяем наибольший суммарный изгибающий момент в сечении С.

Ми С = (МСz2 + MCy2 ) 1/2 = (0.182 + 0.3832 ) 1/2 = 0.423 kHм

[МиD = (МDz2 + MDy2 ) 1/2 = (0.12 + 0.0852 ) 1/2 = 0.13 kHм]

Эквивалентный момент в сечении C по III и V гипотезе прочности

Мэк в III = (Мz2 + My2 + Тк2 ) 1/2 = (0182 + 0.3832 +0.52 ) 1/2 =

= 0.665 kHм

Мэк в V = (Мz2 + My2 + 0.75 Тк2 ) 1/2 =

= (0.182 +0.3832 +0.75*0.52 ) 1/2 = 0.605 kHм

Определяем требуемые размеры вала по вариантам III и V гипотез прочности.

dIII = (Мэк в III / 0.1*[s]) 1/2 = (0.655*103/ 0.1*160*106 ) 1/2 =

= 3.45*10-2 (м) = 34.5 (мм)

dVI = (Мэк в V / 0.1*[s]) 1/2 = (0.605*103/ 0.1*160*106 ) 1/2 =

= 3.36*10-2 (м) = 33.6 (мм)

Принимаем диаметр вала согласно стандартного ряда значений d=34 мм

Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала постоянного поперечного сечения, с двумя зубчатыми колёсами, предающего мощность Р, при заданной угловой скорости.

Принять [s] =160МПа, Fr1 = 0.4 F1, Fr2 = 0.4 F2 (Все размеры указаны на рисунках)