Реферат: Лекции по ТОЭ
Гипероглавление:Вращающееся магнитное поле
Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Резонансные явления в цепях несинусоидального тока
Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Способы составления характеристического уравнения
Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии и произвольным числом резисторов
Операторный метод расчета переходных процессов
Некоторые важные замечания к формуле разложения
Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля
Нелинейные цепи
Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора
Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках. Основные понятия и законы магнитных цепей
Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей
Нелинейные цепи переменного тока в стационарных режимах
Графический метод с использованием характеристик по первым гармоникам
Метод кусочно-линейной аппроксимации
Метод эквивалентных синусоид (метод расчета по действующим значениям)
Переходные процессы в нелинейных цепях
Графические методы анализа переходных процессов в нелинейных цепях
Цепи с распределенными параметрами
Линия без искажений
Входное сопротивление длинной линии
Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами к нулевым начальным условиям
--PAGE_BREAK-- продолжение
--PAGE_BREAK--Линейные электрические цепи при несинусоидальных
периодических токах
Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.
На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:
в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов; в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.
В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.
Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.
В качестве примера на рис. 1, а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1, б).
<img width=«597» height=«192» src=«ref-2_502124032-2968.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">
Характеристики несинусоидальных величин
Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):
Максимальное значение — <img width=«32» height=«25» src=«ref-2_502127000-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">. Действующее значение — <img width=«105» height=«65» src=«ref-2_502127354-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">. Среднее по модулю значение — <img width=«101» height=«60» src=«ref-2_502127994-599.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">. Среднее за период значение (постоянная составляющая) — <img width=«89» height=«60» src=«ref-2_502128593-559.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) — <img width=«76» height=«47» src=«ref-2_502129152-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) — <img width=«72» height=«55» src=«ref-2_502129606-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) — <img width=«63» height=«47» src=«ref-2_502130064-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) — <img width=«100» height=«73» src=«ref-2_502130491-610.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">.
Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье
Из математики известно, что всякая периодическая функция <img width=«113» height=«25» src=«ref-2_502131101-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">, где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.
При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:
<img width=«487» height=«55» src=«ref-2_502131607-1343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> .
(1)
Здесь <img width=«117» height=«60» src=«ref-2_502132950-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> - постоянная составляющая или нулевая гармоника; <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_502133579-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой <img width=«77» height=«25» src=«ref-2_502134103-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">, где Т – период несинусоидальной периодической функции.
В выражении (1) <img width=«239» height=«35» src=«ref-2_502134526-728.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">, где коэффициенты <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_502135254-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> и <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502135584-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> определяются по формулам
<img width=«173» height=«60» src=«ref-2_502135918-736.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">;
<img width=«169» height=«60» src=«ref-2_502136654-741.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">.
Свойства периодических кривых, обладающих симметрией
Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.
<img width=«274» height=«163» src=«ref-2_502137395-1451.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1030">Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.
К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству <img width=«141» height=«25» src=«ref-2_502138846-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. <img width=«184» height=«25» src=«ref-2_502139387-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">.
<img width=«273» height=«149» src=«ref-2_502139911-1759.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1031">Кривые, симметричные относительно оси ординат.
К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство <img width=«99» height=«25» src=«ref-2_502141670-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. <img width=«51» height=«25» src=«ref-2_502142143-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">.
<img width=«272» height=«150» src=«ref-2_502142524-1634.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1032">Кривые, симметричные относительно начала координат.
К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству <img width=«109» height=«25» src=«ref-2_502144158-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502144640-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">.
Действующее значение периодической несинусоидальной переменной
Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:
<img width=«105» height=«65» src=«ref-2_502127354-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">.
При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.
Пусть <img width=«199» height=«55» src=«ref-2_502145714-778.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">. Тогда
<img width=«643» height=«236» src=«ref-2_502146492-4551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">
Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,
<img width=«145» height=«55» src=«ref-2_502151043-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">
или
<img width=«91» height=«60» src=«ref-2_502151685-580.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">.
Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.
Мощность в цепях периодического несинусоидального тока
Пусть <img width=«209» height=«55» src=«ref-2_502152265-799.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"> и <img width=«201» height=«55» src=«ref-2_502153064-788.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">.
Тогда для активной мощности можно записать
<img width=«537» height=«55» src=«ref-2_502153852-1677.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">.
Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,
<img width=«464» height=«55» src=«ref-2_502155529-1272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">,
где <img width=«103» height=«25» src=«ref-2_502156801-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">.
Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:
<img width=«81» height=«55» src=«ref-2_502157255-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">.
Аналогично для реактивной мощности можно записать
<img width=«211» height=«55» src=«ref-2_502157756-800.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">.
Полная мощность
<img width=«415» height=«60» src=«ref-2_502158556-1226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">,
где Т –мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.
Методика расчета линейных цепей при периодических
несинусоидальных токах
<img width=«282» height=«125» src=«ref-2_502159782-1164.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1033">Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС
<img width=«205» height=«55» src=«ref-2_502160946-788.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">
(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.
<img width=«523» height=«128» src=«ref-2_502161734-1926.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">
Здесь <img width=«364» height=«31» src=«ref-2_502163660-863.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">.
Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем
<img width=«236» height=«51» src=«ref-2_502164523-820.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">,
где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры <img width=«69» height=«25» src=«ref-2_502165343-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> и С постоянны.
<img width=«105» height=«53» src=«ref-2_502165758-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">;
<img width=«317» height=«80» src=«ref-2_502166287-1085.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">.
Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.
Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:
ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях? Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные? Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат? Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях? Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье? Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.
Ответ: <img width=«172» height=«32» src=«ref-2_502167372-581.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">.
Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с <img width=«84» height=«24» src=«ref-2_502167953-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> и катушки индуктивности с <img width=«95» height=«24» src=«ref-2_502168392-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">, если ток в ней <img width=«335» height=«29» src=«ref-2_502168848-839.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">. Рассчитать активную мощность в ветви.
Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.
Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если <img width=«265» height=«25» src=«ref-2_502169687-727.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">; <img width=«243» height=«25» src=«ref-2_502170414-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">.
Ответ: I=5,5 A.
Лекция N 23
продолжение
--PAGE_BREAK--Резонансные явления в цепях несинусоидального тока
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">
В цепях несинусоидального тока резонансные режимы возможны для различных гармонических составляющих. Как и при синусоидальных токах, резонанс на к-й гармонике соответствует режиму работы, при котором к-е гармоники напряжения и тока на входе цепи совпадают по фазе, иначе говоря входное сопротивление (входная проводимость) цепи для к-й гармоники вещественно.
Пусть имеет место цепь на рис. 1, а, питающаяся от источника несинусоидальной ЭДС, в которой емкость конденсатора может плавно изменяться от нуля до бесконечности.
<img width=«507» height=«173» src=«ref-2_502171199-2050.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">
Для к-й гармоники тока можно записать
<img width=«215» height=«85» src=«ref-2_502173249-920.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">,
где <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502174169-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> - действующее значение к-й гармоники ЭДС.
Таким образом, при изменении С величина к-й гармоники тока будет изменяться от нуля при С=0 до <img width=«193» height=«33» src=«ref-2_502174508-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> при <img width=«51» height=«20» src=«ref-2_502175172-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">, достигая максимума <img width=«109» height=«25» src=«ref-2_502175536-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> при резонансе (см. рис. 1, б), определяемом величиной емкости
<img width=«101» height=«49» src=«ref-2_502176008-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">.
Следует отметить, что, несмотря на то, что обычно с ростом порядка гармонической ЭДС ее амплитуда уменьшается, в режиме резонанса для к-й гармонической ее значение <img width=«44» height=«25» src=«ref-2_502176524-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> может превышать величину первой гармоники тока.
Резонансные явления используются для выделения гармоник одних частот и подавления других. Пусть, например, в цепи на рис. 2 необходимо усилить q-ю гармонику тока на нагрузке и подавить р-ю.
<img width=«222» height=«155» src=«ref-2_502176896-1000.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">Для подавления р-й гармоники в режим резонанса токов настраивается контур <img width=«63» height=«25» src=«ref-2_502177896-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">:
<img width=«116» height=«52» src=«ref-2_502178280-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">.
Для выделения q-й гармоники вся цепь для нее настраивается в режим резонанса напряжений:
<img width=«248» height=«113» src=«ref-2_502178841-1249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">,
откуда при известных <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502180090-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> и <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502180420-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">
<img width=«153» height=«55» src=«ref-2_502180755-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">.
Отметим, что рассмотренные явления лежат в основе работы L-C -фильтров.
Особенности протекания несинусоидальных токов
через пассивные элементы цепи
<img width=«137» height=«104» src=«ref-2_502181376-583.coolpic» v:shapes="_x0000_s1035">1. Резистор.
При <img width=«208» height=«55» src=«ref-2_502181959-806.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> ток через резистор (см. рис. 3)
<img width=«247» height=«47» src=«ref-2_502182765-849.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">,
где <img width=«105» height=«25» src=«ref-2_502183614-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">.
Таким образом, на резистивном элементе несинусоидальные напряжение и ток совпадают по форме и подобны друг другу. Это позволяет на практике осциллографировать форму тока с помощью регистрации напряжения на шунте.
2. Конденсатор.
<img width=«135» height=«104» src=«ref-2_502184077-541.coolpic» v:shapes="_x0000_s1036">Пусть напряжение на конденсаторе (рис. 4) описывается гармоническим рядом <img width=«208» height=«55» src=«ref-2_502181959-806.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">.
Коэффициент искажения кривой напряжения
<img width=«148» height=«84» src=«ref-2_502185424-775.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">.
(1)
Ток через конденсатор
<img width=«316» height=«55» src=«ref-2_502186199-1064.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">.
Тогда соответствующий кривой тока коэффициент искажения
<img width=«173» height=«84» src=«ref-2_502187263-851.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">.
(2)
Сравнение (1) и (2) показывает, что <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502188114-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">, т.е. конденсатор искажает форму кривой тока по сравнению с напряжением, являясь сглаживающим элементом для последнего.
<img width=«247» height=«146» src=«ref-2_502188568-1390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">
Отмеченное наглядно иллюстрирует рис. 5, на котором форма кривой напряжения ближе к синусоиде, чем форма кривой тока.
3. Катушка индуктивности.
<img width=«158» height=«97» src=«ref-2_502189958-821.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1037">Принимая во внимание соотношение между напряжением и током для катушки индуктивности (рис. 6)
<img width=«105» height=«48» src=«ref-2_502190779-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">
совершенно аналогично можно показать, что в случае индуктивного элемента <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502191364-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">, т.е. кривая напряжения искажена больше, чем кривая тока. Этому случаю будет соответствовать рис. 5 при взаимной замене на нем кривых напряжения и тока. Таким образом, катушка индуктивности является сглаживающим элементом для тока.
С учетом вышесказанного на практике, например в силовой полупроводниковой технике, для сглаживания выпрямленного напряжения применяют конденсаторные фильтры, а для тока – дроссели.
Высшие гармоники в трехфазных цепях
Напряжения трехфазных источников энергии часто бывают существенно несинусоидальными (строго говоря, они несинусоидальны всегда). При этом напряжения на фазах В и С повторяют несинусоидальную кривую <img width=«76» height=«25» src=«ref-2_502191818-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> напряжения на фазе А со сдвигом на треть периода Т основной гармоники:
<img width=«263» height=«25» src=«ref-2_502192250-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">.
Пусть для фазы А к-я гармоника напряжения
<img width=«187» height=«25» src=«ref-2_502192955-613.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">.
Тогда с учетом, что <img width=«69» height=«20» src=«ref-2_502193568-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, для к-х гармонических напряжений фаз В и С соответственно можно записать:
<img width=«252» height=«105» src=«ref-2_502193967-1342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">
Всю совокупность гармоник к от 0 до <img width=«19» height=«15» src=«ref-2_502195309-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> можно распределить по трем группам:
1. <img width=«197» height=«25» src=«ref-2_502195630-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> - гармоники данной группы образуют симметричные системы напряжений, последовательность которых соответствует последовательности фаз первой гармоники, т.е. они образуют симметричные системы напряжений прямой последовательности.
Действительно,
<img width=«493» height=«52» src=«ref-2_502196213-1333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">
и
<img width=«493» height=«52» src=«ref-2_502197546-1348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">.
2. <img width=«80» height=«20» src=«ref-2_502198894-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">. Для этих гармоник имеют место соотношения:
<img width=«501» height=«105» src=«ref-2_502199300-2329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">
т.е. гармоники данной группы образуют симметричные системы напряжений обратной последовательности.
3. <img width=«53» height=«20» src=«ref-2_502201629-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">. Для этих гармоник справедливо
<img width=«415» height=«105» src=«ref-2_502201999-1922.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">
Таким образом, векторы напряжений данной группы во всех фазах в любой момент времени имеют одинаковые модули и направления, т.е. эти гармоники образуют системы нулевой последовательности.
Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, обусловленные наличием гармоник, кратных трем.
<img width=«129» height=«182» src=«ref-2_502203921-1077.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1038">1. Если фазы генератора соединены в треугольник, то при несинусоидальных фазных ЭДС сумма ЭДС, действующих в контуре (см. рис. 7) не равна нулю, а определяется гармониками, кратными трем. Эти гармоники вызывают в замкнутом треугольнике генератора ток, даже когда его внешняя цепь разомкнута:
<img width=«185» height=«35» src=«ref-2_502204998-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">,
где <img width=«367» height=«28» src=«ref-2_502205613-808.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">, а <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502206421-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> - сопротивление фазы генератора для i-й гармоники, кратной трем.
2. Если фазы генератора соединить в открытый треугольник (см. рис. 8), то на зажимах 1-2 будет иметь место напряжение, определяемое суммой ЭДС гармоник, кратных трем:
<img width=«140» height=«182» src=«ref-2_502206756-1251.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1039"><img width=«228» height=«55» src=«ref-2_502208007-811.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">.
Таким образом, показание вольтметра в цепи на рис. 8
<img width=«212» height=«35» src=«ref-2_502208818-675.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">.
3. Независимо от способа соединения – в звезду или в треугольник – линейные напряжения не содержат гармоник, кратных трем.
При соединении в звезду это объясняется тем, что гармоники, кратные трем, как указывалось, образуют нулевую последовательность, ввиду чего исчезают из линейных напряжений, равных разности фазных.
При соединении в треугольник составляющие фазных ЭДС, кратные трем, не выявляются в линейных (фазных) напряжениях, так как компенсируются падениями напряжений на собственных сопротивлениях фаз генератора.
Таким образом, при соединении в треугольник напряжение генератора
<img width=«328» height=«36» src=«ref-2_502209493-851.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">
и ток
<img width=«515» height=«36» src=«ref-2_502210344-1210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">.
В свою очередь при соединении в звезду
<img width=«567» height=«36» src=«ref-2_502211554-1299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">.
4. При симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе определяется гармоническими, кратными трем, поскольку они образуют нулевую последовательность:
<img width=«196» height=«35» src=«ref-2_502212853-638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">.
5. При соединении в звезду и отсутствии нейтрального провода фазные токи нагрузки не содержат гармоник, кратных трем (в соответствии с первым законом Кирхгофа сумма токов равна нулю, что невозможно при наличии этих гармоник). Соответственно нет этих гармоник и в фазных напряжениях нагрузки, связанных с токами законом Ома. Таким образом, при наличии гармоник, кратных трем, в фазных напряжениях генератора напряжение смещения нейтрали в симметричном режиме определяется этими гармониками
<img width=«221» height=«37» src=«ref-2_502213491-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">.
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
Какой характер: монотонный или колебательный – будет иметь зависимость действующего значения тока от величины индуктивности в цепи на рис. 1 при ее изменении от нуля до бесконечности? Почему на практике сигнал, пропорциональный току, получают с использованием резистивных шунтов? Какие гармоники и почему определяют характерные особенности режимов работы трехфазных цепей? Какие гармоники отсутствуют в линейных напряжениях и токах? Почему при несинусоидальных источниках питания, соединенных в треугольник, действующее значение фазной ЭДС может быть больше действующего значения фазного напряжения? При соединении трехфазного генератора и симметричной нагрузки по схеме «звезда-звезда» без нейтрального провода фазная ЭДС источника определяется выражением
<img width=«639» height=«29» src=«ref-2_502214185-1305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
Определить действующие значения линейного напряжения, фазных напряжений генератора и приемника, а также напряжение смещения нейтрали.
Ответ: <img width=«500» height=«28» src=«ref-2_502215490-1016.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">.
В предыдущей задаче нейтральные точки генератора и приемника соединены проводом с нулевым сопротивлением.
Определить ток в нейтральном проводе, если сопротивление фазы нагрузки R=10 Ом.
Ответ: <img width=«95» height=«25» src=«ref-2_502216506-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.
При соединении трехфазного генератора и симметричной нагрузки по схеме «треугольник-треугольник» фазная ЭДС источника содержит первую и третью гармоники с амплитудами <img width=«200» height=«25» src=«ref-2_502216952-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">. Сопротивление нагрузки для первой гармоники <img width=«132» height=«25» src=«ref-2_502217536-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">
Определить действующее значение линейного тока.
Ответ: <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_502218034-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">.
Лекция N 24
продолжение
--PAGE_BREAK--Переходные процессы в линейных электрических цепях
с сосредоточенными параметрами
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.
При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.
Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:
Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).
Классический метод расчета
Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.
В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.
Таблица 1.Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах
электрической цепи
Резистор (идеальное активное сопротивление)
Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)
Конденсатор
(идеальная емкость)
<img width=«72» height=«25» src=«ref-2_502218574-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">
<img width=«87» height=«48» src=«ref-2_502218991-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">;
при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502219486-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">,
<img width=«159» height=«48» src=«ref-2_502219827-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">
<img width=«91» height=«48» src=«ref-2_502220501-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">;
<img width=«105» height=«48» src=«ref-2_502221016-544.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">
<img width=«265» height=«124» src=«ref-2_502221560-963.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1040">Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать
<img width=«168» height=«48» src=«ref-2_502222523-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">.
(1)
Подставив в (1) значение тока через конденсатор
<img width=«79» height=«48» src=«ref-2_502223212-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">,
получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502223704-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">
<img width=«224» height=«55» src=«ref-2_502224043-799.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">.
В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:
<img width=«455» height=«53» src=«ref-2_502224842-1237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">,
(2)
где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502226079-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_502135254-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.
Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.
В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением
<img width=«164» height=«25» src=«ref-2_502226778-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">,
(3)
где <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502227287-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> и <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502227624-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502227961-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502228296-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).
Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.
Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение <img width=«28» height=«28» src=«ref-2_502228631-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">, соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для <img width=«51» height=«17» src=«ref-2_502228980-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">).
Частное решение <img width=«28» height=«28» src=«ref-2_502228631-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> уравнения (2) определяется видом функции <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502226079-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">, стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.
Вторая составляющая <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502230052-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь апосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502230389-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> - свободной составляющей.
В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид
<img width=«99» height=«28» src=«ref-2_502230728-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">
(4)
Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.
Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.
Начальные условия. Законы коммутации
В соответствии с определением свободной составляющей <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502230389-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> в ее выражении имеют место постоянные интегрирования <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502231514-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени <img width=«39» height=«20» src=«ref-2_502231856-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).
Таблица 2. Законы коммутации
Название закона
Формулировка закона
Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)
Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: <img width=«119» height=«25» src=«ref-2_502232206-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">.
Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)
Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: <img width=«113» height=«25» src=«ref-2_502232728-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">.
Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения <img width=«127» height=«25» src=«ref-2_502233234-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219"> и <img width=«117» height=«25» src=«ref-2_502233731-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">, что приводит к нарушению законов Кирхгофа.
На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:
первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент
коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: <img width=«124» height=«25» src=«ref-2_502234209-513.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">.
второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент
коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: <img width=«136» height=«25» src=«ref-2_502234722-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">.
Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).
<img width=«591» height=«176» src=«ref-2_502235261-2561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">
Действительно, при переводе в схеме на рис. 2, а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа <img width=«133» height=«25» src=«ref-2_502237822-566.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">. Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2, б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа <img width=«104» height=«25» src=«ref-2_502238388-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">. Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:
<img width=«509» height=«55» src=«ref-2_502238903-1773.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">
Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для <img width=«39» height=«20» src=«ref-2_502240676-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">. Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при <img width=«39» height=«20» src=«ref-2_502240676-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">.
<img width=«259» height=«184» src=«ref-2_502241374-1490.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1041">Пример. Определить токи и производные <img width=«53» height=«25» src=«ref-2_502242864-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> и <img width=«61» height=«25» src=«ref-2_502243272-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.
В соответствии с законами коммутации
<img width=«75» height=«25» src=«ref-2_502243693-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> и <img width=«120» height=«52» src=«ref-2_502244134-595.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">.
На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место
<img width=«307» height=«25» src=«ref-2_502244729-844.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">,
откуда
<img width=«155» height=«52» src=«ref-2_502245573-728.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">
и <img width=«144» height=«25» src=«ref-2_502246301-580.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">.
Для известных значений <img width=«39» height=«25» src=«ref-2_502246881-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> и <img width=«40» height=«25» src=«ref-2_502247263-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> из уравнения
<img width=«239» height=«55» src=«ref-2_502247648-884.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">
определяется <img width=«43» height=«55» src=«ref-2_502248532-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">.
Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)
<img width=«108» height=«55» src=«ref-2_502249005-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">.
Корни характеристического уравнения. Постоянная времени
Выражение свободной составляющей <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502230389-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).
Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения
Вид корней характеристического уравнения
Выражение свободной составляющей
Корни <img width=«101» height=«25» src=«ref-2_502249986-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> вещественные и различные
<img width=«121» height=«55» src=«ref-2_502250435-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">
Корни <img width=«101» height=«25» src=«ref-2_502249986-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> вещественные и <img width=«235» height=«25» src=«ref-2_502251470-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">
<img width=«243» height=«55» src=«ref-2_502252091-845.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">
Пары комплексно-сопряженных корней <img width=«148» height=«27» src=«ref-2_502252936-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">
<img width=«296» height=«63» src=«ref-2_502253467-1147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">
Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.
При вещественных корнях <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502230389-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).
Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением
<img width=«117» height=«52» src=«ref-2_502254953-616.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">,
которое называетсядекрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения
<img width=«128» height=«31» src=«ref-2_502255569-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">,
называемым логарифмическим декрементом колебания, где <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502256093-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">.
Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:
<img width=«105» height=«25» src=«ref-2_502256550-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">,
где р – корень характеристического уравнения.
Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при <img width=«89» height=«24» src=«ref-2_502257042-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">
.
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
Чем обусловлены переходные процессы? Как определяется порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс? Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов? Доказать законы коммутации: <img width=«124» height=«25» src=«ref-2_502234209-513.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> и <img width=«136» height=«25» src=«ref-2_502257998-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> - с энергетических позиций. В каких цепях и почему возможен колебательный процесс? Определить величину токов <img width=«119» height=«25» src=«ref-2_502258535-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> и напряжений <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_502259083-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> на конденсаторе и <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502259481-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> на катушке индуктивности в момент коммутации в цепи на рис. 4, если <img width=«327» height=«25» src=«ref-2_502259877-778.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">.
<img width=«256» height=«223» src=«ref-2_502260655-1708.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">
Ответ:
<img width=«233» height=«25» src=«ref-2_502262363-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"><img width=«111» height=«25» src=«ref-2_502263057-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">; <img width=«99» height=«25» src=«ref-2_502263555-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> .
Лекция N 25
продолжение
--PAGE_BREAK--Способы составления характеристического уравнения
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">
Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:
непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (2) (см. лекцию №24), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (2); путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе; на основе выражения главного определителя.
Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502223704-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> на конденсаторе для последовательной R-L-C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.
Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.
<img width=«269» height=«128» src=«ref-2_502264470-1432.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1042">Применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1.
Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:
записывается входное сопротивление цепи на переменном токе;
jw заменяется на оператор р;
полученное выражение <img width=«41» height=«25» src=«ref-2_502265902-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> приравнивается к нулю.
Уравнение
<img width=«69» height=«25» src=«ref-2_502266287-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">
совпадает с характеристическим.
Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание.
Для цепи на рис. 1 относительно зажимов источника
<img width=«277» height=«107» src=«ref-2_502266713-1277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">.
Заменив jw на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем
<img width=«277» height=«107» src=«ref-2_502267990-1225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">
или
<img width=«448» height=«29» src=«ref-2_502269215-1040.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">.
(1)
При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю. Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.
Для цепи на рис. 1 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид
<img width=«287» height=«84» src=«ref-2_502270255-1216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">
Отсюда выражение для главного определителя этой системы
<img width=«547» height=«76» src=«ref-2_502271471-1615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">.
Приравняв D к нулю, получим результат, аналогичный (1).
Общая методика расчета переходных процессов классическим методом
В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:
Запись выражения для искомой переменной в виде
<img width=«116» height=«28» src=«ref-2_502273086-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">.
(2)
Нахождение принужденной составляющей общего решения на основании расчета установившегося режима послекоммутационной цепи. Составление характеристического уравнения и определение его корней (для цепей, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, вместо корней можно находить постоянную времени t — см. лекцию №26). Запись выражения свободной составляющей в форме, определяемой типом найденных корней. Подстановка полученных выражений принужденной и свободной составляющих в соотношение (2). Определение начальных условий и на их основе – постоянных интегрирования.
Примеры расчета переходных процессов классическим методом
1. Переходные процессы в R-L цепи при ее подключении
к источнику напряжения
<img width=«217» height=«121» src=«ref-2_502273585-880.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1043">Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п.
Рассмотрим два случая:
а) <img width=«80» height=«25» src=«ref-2_502274465-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">
б) <img width=«173» height=«25» src=«ref-2_502274907-617.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">.
Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 2 можно записать
<img width=«85» height=«28» src=«ref-2_502275524-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">.
(3)
Тогда для первого случая принужденная составляющая тока
<img width=«71» height=«47» src=«ref-2_502275956-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">.
(4)
Характеристическое уравнение
<img width=«84» height=«24» src=«ref-2_502276418-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">,
откуда <img width=«80» height=«25» src=«ref-2_502276847-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> и постоянная времени <img width=«127» height=«28» src=«ref-2_502277265-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">.
Таким образом,
<img width=«85» height=«47» src=«ref-2_502277793-459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">.
(5)
Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем
<img width=«116» height=«56» src=«ref-2_502278252-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">.
В соответствии с первым законом коммутации <img width=«59» height=«24» src=«ref-2_502278800-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">. Тогда
<img width=«133» height=«47» src=«ref-2_502279201-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">,
откуда <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502279787-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">.
Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением
<img width=«148» height=«56» src=«ref-2_502280230-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">,
<img width=«312» height=«158» src=«ref-2_502280884-1860.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1044">а напряжение на катушке индуктивности – выражением
<img width=«163» height=«57» src=«ref-2_502282744-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">.
Качественный вид кривых <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> и <img width=«43» height=«25» src=«ref-2_502283781-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">, соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.
При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:
<img width=«399» height=«73» src=«ref-2_502284169-1251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">,
где <img width=«331» height=«33» src=«ref-2_502285420-898.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">.
Отсюда
<img width=«191» height=«28» src=«ref-2_502286318-633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">.
Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно,
<img width=«241» height=«47» src=«ref-2_502286951-746.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">.
Поскольку <img width=«59» height=«24» src=«ref-2_502278800-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">, то
<img width=«176» height=«25» src=«ref-2_502288098-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">.
Таким образом, окончательно получаем
<img width=«353» height=«47» src=«ref-2_502288684-979.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">.
(6)
Анализ полученного выражения (6) показывает:
При начальной фазе напряжения <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_502289663-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> постоянная интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса, и в цепи сразу возникнет установившийся режим. При <img width=«120» height=«25» src=«ref-2_502290102-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> свободная составляющая максимальна по модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины.
Если <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502290580-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается. В этом случае максимальная величина тока переходного процесса <img width=«32» height=«25» src=«ref-2_502127000-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> может существенно превышать амплитуду тока установившегося режима. Как видно из рис. 4, где
<img width=«308» height=«193» src=«ref-2_502291263-2291.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1045"><img width=«120» height=«25» src=«ref-2_502293554-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">, максимум тока имеет место примерно через <img width=«59» height=«25» src=«ref-2_502294023-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">. В пределе при <img width=«65» height=«25» src=«ref-2_502294412-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> <img width=«83» height=«25» src=«ref-2_502294792-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">.
Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока: <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502295216-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">.
Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502295658-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> цепи достаточно велика, то примерно через половину периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения <img width=«48» height=«25» src=«ref-2_502295990-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">, которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения: <img width=«112» height=«25» src=«ref-2_502296370-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">.
2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности
от источника питания
<img width=«247» height=«163» src=«ref-2_502296846-1347.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1046">При размыкании ключа в цепи на рис. 5 принужденная составляющая тока через катушку индуктивности <img width=«55» height=«28» src=«ref-2_502298193-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">.
Характеристическое уравнение
<img width=«123» height=«25» src=«ref-2_502298581-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">,
откуда <img width=«132» height=«25» src=«ref-2_502299064-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> и <img width=«124» height=«25» src=«ref-2_502299573-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">.
В соответствии с первым законом коммутации
<img width=«107» height=«52» src=«ref-2_502300076-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">.
Таким образом, выражение для тока в переходном режиме
<img width=«104» height=«61» src=«ref-2_502300640-573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">
и напряжение на катушке индуктивности
<img width=«200» height=«61» src=«ref-2_502301213-712.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">.
(7)
Анализ (7) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при <img width=«112» height=«25» src=«ref-2_502301925-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника: <img width=«96» height=«25» src=«ref-2_502302398-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">. При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.
<img width=«259» height=«152» src=«ref-2_502302877-1172.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1047">3. Заряд и разряд конденсатора
При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда конденсатора:
<img width=«155» height=«28» src=«ref-2_502304049-567.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">.
Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе <img width=«84» height=«28» src=«ref-2_502304616-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">.
Из характеристического уравнения
<img width=«95» height=«51» src=«ref-2_502305056-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">
определяется корень <img width=«107» height=«25» src=«ref-2_502305557-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">. Отсюда постоянная времени <img width=«83» height=«25» src=«ref-2_502306034-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">.
Таким образом,
<img width=«135» height=«47» src=«ref-2_502306456-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">.
При t=0 напряжение на конденсаторе равно <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_502259083-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е. <img width=«76» height=«25» src=«ref-2_502307404-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">). Тогда <img width=«116» height=«25» src=«ref-2_502307850-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> и
<img width=«232» height=«47» src=«ref-2_502308349-774.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">.
Соответственно для зарядного тока можно записать
<img width=«240» height=«61» src=«ref-2_502309123-874.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">.
В зависимости от величины <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_502259083-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">: 1 — <img width=«75» height=«25» src=«ref-2_502243693-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">; 2 — <img width=«115» height=«25» src=«ref-2_502310836-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">; 3 — <img width=«76» height=«25» src=«ref-2_502311342-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">; 4 — <img width=«87» height=«25» src=«ref-2_502311784-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334"> - возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7.
<img width=«474» height=«194» src=«ref-2_502312247-2102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">
При разряде конденсатора на резистор <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502314349-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> (ключ на рис.6 переводится в положение 2) <img width=«72» height=«28» src=«ref-2_502314689-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">. Постоянная времени <img width=«85» height=«25» src=«ref-2_502315107-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">.
Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения <img width=«53» height=«25» src=«ref-2_502315537-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> (в частном случае <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502315947-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать
<img width=«145» height=«47» src=«ref-2_502316419-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">.
Соответственно разрядный ток
<img width=«215» height=«61» src=«ref-2_502317048-828.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">.
(8)
Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502314349-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> должна быть достаточно большой.
В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный.
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
Составить характеристическое уравнение для цепи на рис. 1, используя выражение входного сопротивления относительно места разрыва ветви с резистором <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502318216-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">. Может ли в одной части линейной цепи протекать колебательный переходный процесс, а в другой – апериодический? Для чего в схеме на рис. 5 служит цепочка, состоящая из диода и резистора R? Почему можно разрывать ветвь с конденсатором и нельзя – ветвь с индуктивным элементом? Почему корни характеристического уравнения не зависят от того, относительно какой переменной было записано дифференциальное уравнение? Для цепи на рис. 8 составить характеристическое уравнение и определить, при каких значениях <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502314349-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> переходный процесс в ней будет носить апериодический характер, если <img width=«275» height=«25» src=«ref-2_502318895-699.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">.
<img width=«453» height=«187» src=«ref-2_502319594-2294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">
Ответ: <img width=«189» height=«25» src=«ref-2_502321888-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">.
Определить <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349"> в цепи на рис. 9, если <img width=«124» height=«25» src=«ref-2_502322857-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">, <img width=«91» height=«24» src=«ref-2_502323334-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">, <img width=«249» height=«29» src=«ref-2_502323774-733.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">, <img width=«63» height=«24» src=«ref-2_502324507-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">.
Ответ: <img width=«321» height=«29» src=«ref-2_502324894-830.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">.
Лекция N 26
продолжение
--PAGE_BREAK--Переходные процессы в цепи с одним накопителем
энергии и произвольным числом резисторов
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">
Как отмечалось в предыдущей лекции, линейная цепь охвачена единым переходным процессом. Поэтому в рассматриваемых цепях с одним накопителем энергии (катушкой индуктивности или конденсатором) – цепях первого порядка – постоянная времени будет одной и той же для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.
Общий подход к расчету переходных процессов в таких цепях основан на применении теоремы об активном двухполюснике: ветвь, содержащую накопитель, выделяют из цепи, а оставшуюся часть схемы рассматривают как активный двухполюсник А (эквивалентный генератор) (см. рис.1, а) со схемой замещения на рис. 1, б.
<img width=«638» height=«200» src=«ref-2_502325828-2873.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">
Совершенно очевидно, что постоянная времени здесь для цепей с индуктивным элементом определяется, как:
<img width=«103» height=«52» src=«ref-2_502328701-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">,
и с емкостным, как:
<img width=«125» height=«25» src=«ref-2_502329204-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">,
где <img width=«29» height=«25» src=«ref-2_502329708-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> - входное сопротивление цепи по отношению к зажимам 1-2 подключения ветви, содержащей накопитель энергии.
<img width=«266» height=«155» src=«ref-2_502330056-1242.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1048">Например, для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 2 можно записать
<img width=«288» height=«49» src=«ref-2_502331298-943.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">,
где в соответствии с вышесказанным
<img width=«176» height=«57» src=«ref-2_502332241-764.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">.
Переходные процессы при подключении последовательной
R-L-C-цепи к источнику напряжения
<img width=«264» height=«124» src=«ref-2_502333005-1066.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1049">Рассмотрим два случая:
а) <img width=«72» height=«25» src=«ref-2_502334071-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">;
б) <img width=«173» height=«25» src=«ref-2_502274907-617.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">.
Согласно изложенной в предыдущей лекции методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 3 можно записать
<img width=«155» height=«28» src=«ref-2_502304049-567.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">.
(1)
Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения
<img width=«84» height=«28» src=«ref-2_502304616-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">.
(2)
Характеристическое уравнение цепи
<img width=«155» height=«29» src=«ref-2_502336130-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">,
решая которое, получаем
<img width=«220» height=«61» src=«ref-2_502336685-845.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">.
В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:
1. <img width=«89» height=«51» src=«ref-2_502337530-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368"> или <img width=«124» height=«52» src=«ref-2_502338048-588.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">, где <img width=«31» height=«28» src=«ref-2_502338636-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> - критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.
В этом случае
<img width=«175» height=«33» src=«ref-2_502338994-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">.
(3)
2. <img width=«63» height=«28» src=«ref-2_502339591-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> - предельный случай апериодического режима.
В этом случае <img width=«181» height=«25» src=«ref-2_502339993-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> и
<img width=«160» height=«32» src=«ref-2_502340558-588.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">.
(4)
3. <img width=«63» height=«28» src=«ref-2_502341146-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375"> - периодический (колебательный) характер переходного процесса.
В этом случае <img width=«124» height=«27» src=«ref-2_502341558-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> и
<img width=«196» height=«32» src=«ref-2_502342055-660.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">,
(5)
где <img width=«88» height=«25» src=«ref-2_502342715-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> - коэффициент затухания; <img width=«200» height=«61» src=«ref-2_502343175-848.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> - угловая частота собственных колебаний; <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502344023-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> - период собственных колебаний.
Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (2) и (3) в соотношение (1) можно записать
<img width=«219» height=«31» src=«ref-2_502344359-691.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">.
Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае <img width=«76» height=«25» src=«ref-2_502307404-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> и в соответствии с первым законом коммутации <img width=«128» height=«55» src=«ref-2_502345496-670.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">, запишем для t=0 два уравнения:
<img width=«171» height=«55» src=«ref-2_502346166-796.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">
решая которые, получим
<img width=«201» height=«52» src=«ref-2_502346962-737.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">; <img width=«203» height=«52» src=«ref-2_502347699-739.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">.
Таким образом,
<img width=«428» height=«57» src=«ref-2_502348438-1230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">.
Тогда ток в цепи
<img width=«573» height=«56» src=«ref-2_502349668-1615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">
и напряжение на катушке индуктивности
<img width=«327» height=«57» src=«ref-2_502351283-1074.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">.
<img width=«294» height=«187» src=«ref-2_502352357-2021.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1050">На рис. 4 представлены качественные кривые <img width=«40» height=«21» src=«ref-2_502354378-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">, <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"> и <img width=«43» height=«25» src=«ref-2_502283781-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">, соответствующие апериодическому переходному процессу при <img width=«75» height=«25» src=«ref-2_502243693-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">.
Для критического режима на основании (2) и (4) можно записать
<img width=«204» height=«29» src=«ref-2_502355717-662.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">.
При <img width=«39» height=«20» src=«ref-2_502231856-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">
<img width=«132» height=«55» src=«ref-2_502356729-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">
Таким образом
<img width=«296» height=«52» src=«ref-2_502357423-990.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">
и
<img width=«559» height=«56» src=«ref-2_502358413-1439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">.
Для колебательного переходного процесса в соответствии с (2) и (5) имеем
<img width=«239» height=«29» src=«ref-2_502359852-728.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">.
Для нахождения постоянных интегрирования запишем <img width=«51» height=«24» src=«ref-2_502360580-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">
<img width=«200» height=«55» src=«ref-2_502360973-918.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">
откуда <img width=«175» height=«25» src=«ref-2_502361891-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> и <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502362512-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">.
Тогда
<img width=«629» height=«171» src=«ref-2_502362978-3726.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">
<img width=«565» height=«57» src=«ref-2_502366704-1546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">.
<img width=«297» height=«266» src=«ref-2_502368250-2723.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1051">На рис. 5представлены качественные кривые <img width=«44» height=«25» src=«ref-2_502370973-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406"> и <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">, соответствующие колебательному переходному процессу при <img width=«75» height=«25» src=«ref-2_502243693-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">.
При подключении R-L-C-цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым
<img width=«315» height=«76» src=«ref-2_502372163-1039.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">
и
<img width=«413» height=«57» src=«ref-2_502373202-1161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">,
где <img width=«237» height=«35» src=«ref-2_502374363-754.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">; <img width=«188» height=«25» src=«ref-2_502375117-633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">; <img width=«124» height=«25» src=«ref-2_502375750-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">.
Таким образом,
<img width=«211» height=«28» src=«ref-2_502376269-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> и <img width=«276» height=«52» src=«ref-2_502376958-913.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">.
Здесь также возможны три режима:
1. <img width=«63» height=«28» src=«ref-2_502377871-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">;
2. <img width=«71» height=«28» src=«ref-2_502378278-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">
3. <img width=«69» height=«28» src=«ref-2_502378696-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">
<img width=«64» height=«25» src=«ref-2_502379120-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">
<img width=«108» height=«25» src=«ref-2_502379520-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">
<img width=«125» height=«27» src=«ref-2_502379962-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">
Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502380456-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">. При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: 1 — <img width=«67» height=«25» src=«ref-2_502380797-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">; 2 — <img width=«68» height=«25» src=«ref-2_502381205-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">; 3 — <img width=«57» height=«25» src=«ref-2_502381612-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">, — которые представлены на рис. 6, а…6, в соответственно.
<img width=«600» height=«194» src=«ref-2_502381998-4380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
Как можно определить постоянную времени в цепи с одним накопителем энергии по осциллограмме тока или напряжения в какой-либо ветви? Определить, какой процесс: заряд или разряд конденсатора в цепи на рис. 2 – будет происходить быстрее?
Ответ: заряд.
Влияет ли на постоянную времени цепи тип питающего устройства: источник напряжения или источник тока? В цепи на рис. 2 <img width=«183» height=«25» src=«ref-2_502386378-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">, С=10 мкФ. Чему должна быть равна индуктивность L катушки, устанавливаемой на место конденсатора, чтобы постоянная времени не изменилась?
Ответ: L=0,225 Гн.
Как влияет на характер переходного процесса в R-L-C-контуре величина сопротивления R и почему? Определить ток <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> через катушку индуктивности в цепи на рис. 7, если <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502387304-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">; <img width=«133» height=«25» src=«ref-2_502387757-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">; <img width=«135» height=«25» src=«ref-2_502388252-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">; <img width=«84» height=«25» src=«ref-2_502388763-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">; <img width=«71» height=«24» src=«ref-2_502389201-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">.
Ответ: <img width=«157» height=«29» src=«ref-2_502389599-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">.
<img width=«569» height=«191» src=«ref-2_502390184-2908.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">
Определить ток <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436"> в ветви с конденсатором в цепи на рис. 8, если <img width=«81» height=«25» src=«ref-2_502393450-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">; <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502393885-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">; <img width=«135» height=«25» src=«ref-2_502394334-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">; <img width=«187» height=«24» src=«ref-2_502394837-567.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">.
Ответ: <img width=«216» height=«31» src=«ref-2_502395404-682.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">.
Лекция N 27
продолжение
--PAGE_BREAK--Операторный метод расчета переходных процессов
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">
Сущность операторного метода заключается в том, что функции <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502226079-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция <img width=«43» height=«25» src=«ref-2_502396559-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">комплексной переменной <img width=«87» height=«23» src=«ref-2_502396948-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">, которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.
Изображение <img width=«43» height=«25» src=«ref-2_502396559-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> заданной функции <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502226079-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447"> определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:
<img width=«151» height=«60» src=«ref-2_502398134-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">.
(1)
В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:
Следует отметить, что если оригинал <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502226079-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля <img width=«33» height=«25» src=«ref-2_502400263-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">. Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.
В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.
Таблица 1. Изображения типовых функций
Некоторые свойства изображений
Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:
<img width=«145» height=«55» src=«ref-2_502405845-727.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">.
При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:
<img width=«109» height=«47» src=«ref-2_502406572-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">.
С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что
<img width=«195» height=«52» src=«ref-2_502407156-748.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">.
Изображения производной и интеграла
В курсе математики доказывается, что если <img width=«88» height=«47» src=«ref-2_502407904-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">, то <img width=«161» height=«47» src=«ref-2_502408439-690.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">, где <img width=«39» height=«25» src=«ref-2_502409129-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471"> - начальное значение функции <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502226079-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">.
Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать
<img width=«219» height=«48» src=«ref-2_502409881-801.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">
или при нулевых начальных условиях
<img width=«163» height=«48» src=«ref-2_502410682-696.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">.
Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности
<img width=«81» height=«25» src=«ref-2_502411378-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">.
Аналогично для интеграла: если <img width=«89» height=«44» src=«ref-2_502411822-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">, то <img width=«117» height=«55» src=«ref-2_502412348-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">.
С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:
<img width=«172» height=«55» src=«ref-2_502413019-732.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">.
Тогда
<img width=«159» height=«53» src=«ref-2_502413751-754.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">
или при нулевых начальных условиях
<img width=«120» height=«52» src=«ref-2_502414505-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">,
откуда операторное сопротивление конденсатора
<img width=«85» height=«51» src=«ref-2_502415126-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">.
Закон Ома в операторной форме
Пусть имеем некоторую ветвь <img width=«45» height=«16» src=«ref-2_502415636-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482"> (см. рис. 1), выделенную из некоторой
<img width=«315» height=«110» src=«ref-2_502415992-1031.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">
сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.
Для мгновенных значений переменных можно записать:
<img width=«311» height=«55» src=«ref-2_502417023-1025.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">.
Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:
<img width=«401» height=«57» src=«ref-2_502418048-1210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">.
Отсюда
<img width=«291» height=«80» src=«ref-2_502419258-1095.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">,
(2)
где <img width=«155» height=«51» src=«ref-2_502420353-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487"> - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.
Следует обратить внимание, что операторное сопротивление <img width=«41» height=«25» src=«ref-2_502265902-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488"> соответствует комплексному сопротивлению <img width=«57» height=«25» src=«ref-2_502421368-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на <img width=«28» height=«23» src=«ref-2_502421774-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">.
Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.
<img width=«353» height=«129» src=«ref-2_502422121-1601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">
Законы Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю
<img width=«97» height=«55» src=«ref-2_502423722-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">.
Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура
<img width=«161» height=«55» src=«ref-2_502424283-756.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде
<img width=«423» height=«55» src=«ref-2_502425039-1398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">.
<img width=«258» height=«152» src=«ref-2_502426437-1112.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1052">В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 — <img width=«75» height=«25» src=«ref-2_502243693-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">; 2 — <img width=«76» height=«25» src=«ref-2_502427990-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">.
В первом случае в соответствии с законом Ома <img width=«361» height=«129» src=«ref-2_502428437-1545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">.
Тогда
<img width=«361» height=«52» src=«ref-2_502429982-1080.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">
и
<img width=«337» height=«52» src=«ref-2_502431062-1122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">.
<img width=«296» height=«147» src=«ref-2_502432184-2002.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1053">Во втором случае, т.е. при <img width=«76» height=«25» src=«ref-2_502427990-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">, для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:
<img width=«297» height=«111» src=«ref-2_502434633-1482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">
откуда <img width=«111» height=«25» src=«ref-2_502436115-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">; <img width=«179» height=«25» src=«ref-2_502436622-616.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503"> и <img width=«113» height=«25» src=«ref-2_502437238-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">.
Переход от изображений к оригиналам
Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:
1. Посредством обратного преобразования Лапласа
<img width=«188» height=«64» src=«ref-2_502437747-843.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">,
которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:
<img width=«129» height=«29» src=«ref-2_502438590-558.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">.
На практике этот способ применяется редко.
2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями
В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.
<img width=«218» height=«121» src=«ref-2_502439148-792.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1054">Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать
<img width=«353» height=«97» src=«ref-2_502439940-1431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">.
Тогда в соответствии с данными табл. 1
<img width=«153» height=«65» src=«ref-2_502441371-737.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">,
что соответствует известному результату.
3. С использованием формулы разложения
Пусть изображение <img width=«43» height=«25» src=«ref-2_502396559-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> искомой переменной определяется отношением двух полиномов
<img width=«364» height=«60» src=«ref-2_502442497-1351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">,
где <img width=«47» height=«16» src=«ref-2_502443848-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">.
Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
<img width=«204» height=«55» src=«ref-2_502444211-868.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">,
(3)
где <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502445079-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513"> - к-й корень уравнения <img width=«77» height=«25» src=«ref-2_502445419-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">.
Для определения коэффициентов <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502445857-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> умножим левую и правую части соотношения (3) на ( <img width=«53» height=«25» src=«ref-2_502446196-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516">):
<img width=«312» height=«75» src=«ref-2_502446573-1130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">.
При <img width=«64» height=«25» src=«ref-2_502447703-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">
<img width=«193» height=«52» src=«ref-2_502448095-803.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">.
Рассматривая полученную неопределенность типа <img width=«29» height=«25» src=«ref-2_502448898-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520"> по правилу Лапиталя, запишем
<img width=«311» height=«84» src=«ref-2_502449259-1265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">.
Таким образом,
<img width=«267» height=«60» src=«ref-2_502450524-1099.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">.
Поскольку отношение <img width=«65» height=«57» src=«ref-2_502451623-562.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523"> есть постоянный коэффициент, то учитывая, что <img width=«87» height=«52» src=«ref-2_502452185-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">, окончательно получаем
<img width=«171» height=«60» src=«ref-2_502452671-830.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">.
(4)
Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения <img width=«77» height=«25» src=«ref-2_502445419-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> равен нулю, т.е. <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_502453939-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">, то уравнение (4) сводится к виду
<img width=«245» height=«60» src=«ref-2_502454477-1072.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528">.
В заключение раздела отметим, что для нахождения начального <img width=«39» height=«25» src=«ref-2_502409129-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> и конечного <img width=«43» height=«25» src=«ref-2_502455932-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> значений оригинала можно использовать предельные соотношения
<img width=«147» height=«79» src=«ref-2_502456319-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">
которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом? Что такое операторная схема замещения? Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия? Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу? Для чего используются предельные соотношения? Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания? <img width=«234» height=«164» src=«ref-2_502457273-1206.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1055">С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.
Ответ: <img width=«227» height=«53» src=«ref-2_502458479-929.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">.
С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.
Ответ: <img width=«171» height=«47» src=«ref-2_502459408-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">.
Лекция N 28
продолжение
--PAGE_BREAK--Некоторые важные замечания к формуле разложения
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">
При наличии в цепи синусоидальной ЭДС <img width=«157» height=«25» src=«ref-2_502460193-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535"> для перехода от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения берется мнимая часть, т.е. выражение при j. Если при этом в цепи также имеют место другие источники, например, постоянной Е и экспоненциальной <img width=«55» height=«29» src=«ref-2_502460783-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"> ЭДС, и начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все введены в формулу предварительно умноженными на j, поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой части от формулы разложения, т.е.
<img width=«353» height=«83» src=«ref-2_502461176-1368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">.
Принужденной составляющей от действия источника синусоидальной ЭДС в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое корнем <img width=«60» height=«23» src=«ref-2_502462544-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">. Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким, в связи с чем принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять отдельно символическим методом, а свободную – операторным. Комплексно-сопряженным корням уравнения <img width=«77» height=«25» src=«ref-2_502445419-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> в формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексно-сопряженных корней имеет место
<img width=«204» height=«68» src=«ref-2_502463372-969.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">.
Последовательность расчета переходных процессов
операторным методом
1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного режима работы цепи.
2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями этот этап может быть опущен).
3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий.
4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.
5. <img width=«262» height=«127» src=«ref-2_502464341-983.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1056">Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.
В качестве примера использования операторного метода определим ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 1.
С учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока
<img width=«431» height=«76» src=«ref-2_502465324-1460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">.
Для нахождения оригинала <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542"> воспользуемся формулой разложения при нулевом корне
<img width=«191» height=«63» src=«ref-2_502467142-964.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">,
(1)
где <img width=«108» height=«25» src=«ref-2_502468106-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">, <img width=«219» height=«25» src=«ref-2_502468601-672.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">.
Корень уравнения <img width=«77» height=«25» src=«ref-2_502469273-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">
<img width=«141» height=«52» src=«ref-2_502469715-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">.
Тогда
<img width=«357» height=«52» src=«ref-2_502470350-1047.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">
и
<img width=«159» height=«52» src=«ref-2_502471397-800.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">.
Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим
<img width=«195» height=«64» src=«ref-2_502472197-841.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">.
Воспользовавшись предельными соотношениями, определим <img width=«31» height=«24» src=«ref-2_502473038-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551"> и <img width=«35» height=«24» src=«ref-2_502473404-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">:
<img width=«383» height=«108» src=«ref-2_502473778-2009.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">
Формулы включения
Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.
Формула включения на экспоненциальное напряжение <img width=«93» height=«29» src=«ref-2_502475787-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554">
<img width=«249» height=«57» src=«ref-2_502476266-1014.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">,
(2)
2. где <img width=«41» height=«25» src=«ref-2_502265902-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556"> - входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома); <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502445079-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"> - к-й корень уравнения <img width=«69» height=«25» src=«ref-2_502266287-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">.
Формула включения на постоянное напряжение <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502478431-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559"> (вытекает из (2) при <img width=«45» height=«20» src=«ref-2_502478775-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">)
<img width=«196» height=«57» src=«ref-2_502479135-895.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">.
Формула включения на синусоидальное напряжение <img width=«160» height=«25» src=«ref-2_502480030-599.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562"> (формально вытекает из (2) при <img width=«60» height=«23» src=«ref-2_502480629-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563"> и <img width=«97» height=«29» src=«ref-2_502481019-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">)
<img width=«367» height=«63» src=«ref-2_502481485-1370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">
.
<img width=«217» height=«120» src=«ref-2_502482855-825.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1057">В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис. 2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением <img width=«136» height=«29» src=«ref-2_502483680-544.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">; <img width=«84» height=«24» src=«ref-2_502167953-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">; <img width=«69» height=«24» src=«ref-2_502484663-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">.
В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (2). В ней <img width=«112» height=«25» src=«ref-2_502485058-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">. Тогда корень уравнения <img width=«247» height=«29» src=«ref-2_502485545-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">. Производная <img width=«129» height=«25» src=«ref-2_502486198-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> и <img width=«173» height=«25» src=«ref-2_502486688-575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">.
В результате
<img width=«381» height=«55» src=«ref-2_502487263-1119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">.
Сведение расчета переходного процесса к расчету
с нулевыми начальными условиями
Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.
Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 3, на котором исходная схема на рис. 3, а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3, б, где <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502488382-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">. Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы; при этом в схеме на рис. 3, в составляющая <img width=«15» height=«21» src=«ref-2_502488861-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575"> общего тока <img width=«11» height=«19» src=«ref-2_502489176-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"> равна нулю. Таким образом, полный ток <img width=«11» height=«19» src=«ref-2_502489176-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577"> равен составляющей тока <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_502489792-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578"> в цепи на рис. 3, г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД, т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.
Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 3, г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС <img width=«31» height=«24» src=«ref-2_502490111-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579"> к пассивному двухполюснику.
Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу ему.
<img width=«572» height=«300» src=«ref-2_502490474-4870.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">
Переходная проводимость
При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде
<img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502495344-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">,
где <img width=«33» height=«25» src=«ref-2_502495791-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582"> - собственная (к=m) или взаимная <img width=«59» height=«24» src=«ref-2_502496147-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583"> проводимость.
Это соотношение, трансформированное в уравнение
<img width=«127» height=«25» src=«ref-2_502496558-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">,
(3)
будет иметь силу и в переходном режиме, т.е. когда замыкание ключа в m-й ветви подключает к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного напряжения <img width=«29» height=«25» src=«ref-2_502497098-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">. При этом <img width=«52» height=«25» src=«ref-2_502497444-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> является функцией времени и называется переходной проводимостью.
В соответствии с (3) переходная проводимость численно равна току в ветви при подключении цепи к постоянному напряжению <img width=«75» height=«25» src=«ref-2_502497853-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">.
Переходная функция по напряжению
Переходная функция по напряжению наиболее часто используется при анализе четырехполюсников.
Если линейную электрическую цепь с нулевыми начальными условиями подключить к источнику постоянного напряжения <img width=«19» height=«20» src=«ref-2_502498263-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">, то между произвольными точками m и n цепи возникнет напряжение
<img width=«112» height=«25» src=«ref-2_502498586-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">,
где <img width=«32» height=«24» src=«ref-2_502499105-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590"> - переходная функция по напряжению, численно равная напряжению между точками m и n схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения <img width=«63» height=«24» src=«ref-2_502499473-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">.
Переходную проводимость <img width=«33» height=«25» src=«ref-2_502499863-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592"> и переходную функцию по напряжению <img width=«32» height=«24» src=«ref-2_502499105-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593"> можно найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями.
<img width=«227» height=«122» src=«ref-2_502500603-921.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1058">В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.
В этой схеме
<img width=«152» height=«56» src=«ref-2_502501524-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">,
где <img width=«59» height=«47» src=«ref-2_502502153-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">.
Тогда переходная проводимость
<img width=«192» height=«61» src=«ref-2_502502569-753.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">.
Переходная функция по напряжению
<img width=«277» height=«75» src=«ref-2_502503322-1047.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">.
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
Как в формуле разложения учитываются при наличии источника синусоидальной ЭДС источники других типов, а также ненулевые начальные условия? Как целесообразно проводить расчет переходных процессов операторным методом в сложных цепях при синусоидальном питании? Проведите сравнительный анализ классического и операторного методов. Какие этапы включает в себя операторный метод расчета переходных процессов? Из формулы включения на какое напряжение вытекают другие варианты ее записи? Запишите формулы включения. В каких случаях применяются формулы включения? Чему численно соответствуют переходная проводимость и переходная функция по напряжению? На основании решения задачи 7 в задании к лекции № 27 с использованием формулы разложения определить ток в ветви с индуктивным элементом, если параметры цепи: <img width=«304» height=«24» src=«ref-2_502504369-726.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598"> <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502505095-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">.
Ответ: <img width=«307» height=«31» src=«ref-2_502505545-793.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">.
С использованием формулы включения найти ток <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601"> в неразветвленной части цепи на рис. 5,
<img width=«176» height=«227» src=«ref-2_502506696-1274.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1059">
если :
<img width=«141» height=«29» src=«ref-2_502507970-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602"><img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502508526-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">;
<img width=«95» height=«25» src=«ref-2_502508977-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">;
<img width=«196» height=«24» src=«ref-2_502509433-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">.
Ответ:
<img width=«301» height=«29» src=«ref-2_502510016-761.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">.
Лекция N 29
продолжение
--PAGE_BREAK--Расчет переходных процессов с использованием
интеграла Дюамеля
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">
Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости <img width=«33» height=«25» src=«ref-2_502499863-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608"> или (и) переходную функцию по напряжению <img width=«32» height=«24» src=«ref-2_502499105-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">, можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.
При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как <img width=«14» height=«16» src=«ref-2_502511621-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">, а вторую — как t.
<img width=«505» height=«207» src=«ref-2_502511931-2479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">
Пусть в момент времени <img width=«39» height=«20» src=«ref-2_502231856-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612"> к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением <img width=«35» height=«24» src=«ref-2_502514760-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613"> произвольной формы. Для нахождения тока <img width=«11» height=«19» src=«ref-2_502489176-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614"> в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения <img width=«35» height=«24» src=«ref-2_502515442-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"> и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.
В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения <img width=«35» height=«24» src=«ref-2_502515442-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">, равна <img width=«64» height=«25» src=«ref-2_502516194-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">.
В момент времени <img width=«53» height=«20» src=«ref-2_502516641-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618"> имеет место скачок напряжения <img width=«103» height=«24» src=«ref-2_502517014-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">, который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока <img width=«157» height=«25» src=«ref-2_502517511-573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">.
Полный ток <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621"> в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом <img width=«64» height=«25» src=«ref-2_502516194-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">, т.е.
<img width=«295» height=«28» src=«ref-2_502518889-861.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">.
Заменяя конечный интервал приращения времени <img width=«27» height=«20» src=«ref-2_502519750-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624"> на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем
<img width=«243» height=«60» src=«ref-2_502520092-924.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">.
(1)
Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.
Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости <img width=«33» height=«25» src=«ref-2_502499863-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626"> будет входить переходная функция по напряжению.
Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля
Определение функции <img width=«33» height=«25» src=«ref-2_502499863-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627"> (или <img width=«32» height=«24» src=«ref-2_502499105-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">) для исследуемой цепи. Запись выражения <img width=«60» height=«25» src=«ref-2_502522128-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629"> (или <img width=«59» height=«24» src=«ref-2_502522533-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">) путем формальной замены t на <img width=«48» height=«24» src=«ref-2_502522940-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">. Определение производной <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502523320-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">. Подстановка найденных функций в (1) и интегрирование определенного интеграла.
<img width=«218» height=«121» src=«ref-2_502523703-825.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1060">В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.
Исходные данные для расчета: <img width=«133» height=«29» src=«ref-2_502524528-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">, <img width=«83» height=«24» src=«ref-2_502525074-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">, <img width=«67» height=«24» src=«ref-2_502525513-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">.
Переходная проводимость
<img width=«260» height=«53» src=«ref-2_502525909-829.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">.
<img width=«203» height=«29» src=«ref-2_502526738-648.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">. <img width=«136» height=«28» src=«ref-2_502527386-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">. <img width=«485» height=«60» src=«ref-2_502527924-1386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639"> <img width=«488» height=«87» src=«ref-2_502529310-1541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">
Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения.
Метод переменных состояния
Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.
Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.
Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.
К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:
-независимость уравнений;
-возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.
Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.
Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.
При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_502530851-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641"> и <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_502531397-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642"> с самими переменными <img width=«53» height=«25» src=«ref-2_502531949-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643"> и <img width=«56» height=«25» src=«ref-2_502532350-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644"> и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.
Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид
<img width=«121» height=«21» src=«ref-2_502532756-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">;
(2)
<img width=«112» height=«20» src=«ref-2_502533234-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">.
(3)
Здесь <img width=«21» height=«19» src=«ref-2_502533704-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647"> и <img width=«27» height=«20» src=«ref-2_502534032-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648"> - столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; <img width=«20» height=«20» src=«ref-2_502534370-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649"> - матрица-столбец источников внешних воздействий; <img width=«17» height=«19» src=«ref-2_502534699-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650"> - столбцовая матрица выходных (искомых) величин; <img width=«19» height=«19» src=«ref-2_502535020-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651"> - квадратная размерностью
n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; <img width=«19» height=«19» src=«ref-2_502535345-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652"> - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); <img width=«19» height=«20» src=«ref-2_502535669-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653"> - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); <img width=«20» height=«19» src=«ref-2_502535995-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654"> - прямоугольная размерностью к x m матрица связи входа с выходом.
Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений <img width=«21» height=«19» src=«ref-2_502533704-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">(0).
В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4, а, в которой требуется определить токи <img width=«16» height=«25» src=«ref-2_502536653-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656"> и <img width=«16» height=«25» src=«ref-2_502536976-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">.
<img width=«557» height=«158» src=«ref-2_502537297-2418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">
По законам Кирхгофа для данной цепи запишем
<img width=«153» height=«25» src=«ref-2_502539715-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659">;
(4)
<img width=«160» height=«48» src=«ref-2_502540198-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660">;
(5)
<img width=«105» height=«25» src=«ref-2_502540824-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661">.
(6)
Поскольку <img width=«104» height=«25» src=«ref-2_502541279-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662"> с учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в виде
<img width=«277» height=«103» src=«ref-2_502541755-1303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">
или в матричной форме записи
<img width=«333» height=«123» src=«ref-2_502543058-1818.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">.
Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):
<img width=«276» height=«127» src=«ref-2_502544876-1589.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">.
Вектор начальных значений <img width=«21» height=«19» src=«ref-2_502533704-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">(0)= <img width=«209» height=«31» src=«ref-2_502546793-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667">.
Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.
Методика составления уравнений состояния
Эта методика включает в себя следующие основные этапы:
1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4, б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.
2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4, б).
3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.
Таблица 1. Таблица соединений
11
22
u
33
-1
0
0
44
1
1
1
J
1
0
Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.
Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.
В рассматриваемом случае (равенство <img width=«61» height=«25» src=«ref-2_502547503-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668"> тривиально)
<img width=«141» height=«25» src=«ref-2_502547894-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669">,
откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи
<img width=«327» height=«57» src=«ref-2_502548377-1026.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">.
При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:
<img width=«157» height=«55» src=«ref-2_502549403-655.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">
(7)
Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).
Из (7) непосредственно вытекает
<img width=«187» height=«48» src=«ref-2_502550058-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">.
Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.
Литература
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов. 3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.
Контрольные вопросы и задачи
Какой принцип лежит в основе метода расчета переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля, и для каких цепей может быть использован данный метод? В каких случаях целесообразно использовать метод расчета с использованием интеграла Дюамеля? В цепи на рис. 3 при <img width=«65» height=«24» src=«ref-2_502550747-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673"> напряжение на входе цепи мгновенно спадает до нуля. Определить ток в цепи.
Ответ: <img width=«168» height=«29» src=«ref-2_502551142-589.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674"> при <img width=«64» height=«24» src=«ref-2_502551731-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">; <img width=«111» height=«29» src=«ref-2_502552132-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676"> при <img width=«64» height=«24» src=«ref-2_502552610-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677">.
Какие требования и почему выдвигаются к уравнениям состояния? Что включает в себя система уравнений при расчете переходного процесса в цепи методом переменных состояния? Перечислите основные этапы методики составления уравнений состояния. Записать матрицы А и В для цепи на рис. 5, если <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502553013-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">, <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_502553466-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">, <img width=«100» height=«25» src=«ref-2_502553922-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">, <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502554387-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">, <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502554831-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">, <img width=«103» height=«25» src=«ref-2_502555276-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683">.
<img width=«263» height=«177» src=«ref-2_502555745-1583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">
Ответ:
А
<img width=«224» height=«84» src=«ref-2_502557328-1137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">
;
В
<img width=«60» height=«84» src=«ref-2_502558465-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">
Лекция N 30
продолжение
--PAGE_BREAK--Нелинейные цепи
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">
Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент.
Нелинейными называются элементы, параметры которых зависят от величины и (или) направления связанных с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного потока, заряда, температуры, светового потока и др.). Нелинейные элементы описываются нелинейными характеристиками, которые не имеют строгого аналитического выражения, определяются экспериментально и задаются таблично или графиками.
Нелинейные элементы можно разделить надвух – и многополюсные. Последние содержат три (различные полупроводниковые и электронные триоды) и более (магнитные усилители, многообмоточные трансформаторы, тетроды, пентоды и др.) полюсов, с помощью которых они подсоединяются к электрической цепи. Характерной особенностью многополюсных элементов является то, что в общем случае их свойства определяются семейством характеристик, представляющих зависимости выходных характеристик от входных переменных и наоборот: входные характеристики строят для ряда фиксированных значений одного из выходных параметров, выходные – для ряда фиксированных значений одного из входных.
По другому признаку классификации нелинейные элементы можно разделить на инерционные и безынерционные. Инерционными называются элементы, характеристики которых зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические характеристики, определяющие зависимость между действующими значениями переменных, отличаются от динамических характеристик, устанавливающих взаимосвязь между мгновенными значениями переменных. Безынерционными называются элементы, характеристики которых не зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические и динамические характеристики совпадают.
Понятия инерционных и безынерционных элементов относительны: элемент может рассматриваться как безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных.
В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы координат: <img width=«116» height=«25» src=«ref-2_502559154-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688">. Для несимметричной характеристики это условие не выполняется, т.е. <img width=«116» height=«25» src=«ref-2_502559638-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689">. Наличие у нелинейного элемента симметричной характеристики позволяет в целом ряде случаев упростить анализ схемы, осуществляя его в пределах одного квадранта.
По типу характеристики можно также разделить все нелинейные элементы на элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками. Однозначной называется характеристика <img width=«68» height=«25» src=«ref-2_502560131-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690">, у которой каждому значению х соответствует единственное значение y и наоборот. В случае неоднозначной характеристики каким-то значениям х может соответствовать два или более значения y или наоборот. У нелинейных резисторов неоднозначность характеристики обычно связана с наличием падающего участка, для которого <img width=«73» height=«25» src=«ref-2_502560547-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">, а у нелинейных индуктивных и емкостных элементов – с гистерезисом.
Наконец, все нелинейные элементы можно разделить на управляемые и неуправляемые. В отличие от неуправляемых управляемые нелинейные элементы (обычно трех- и многополюсники) содержат управляющие каналы, изменяя напряжение, ток, световой поток и др. в которых, изменяют их основные характеристики: вольт-амперную, вебер-амперную или кулон-вольтную.
Нелинейные электрические цепи постоянного тока
Нелинейные свойства таких цепей определяет наличие в них нелинейных резисторов.
В связи с отсутствием у нелинейных резисторов прямой пропорциональности между напряжением и током их нельзя охарактеризовать одним параметром (одним значением <img width=«17» height=«19» src=«ref-2_502107888-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692">). Соотношение между этими величинами в общем случае зависит не только от их мгновенных значений, но и от производных и интегралов по времени.
Параметры нелинейных резисторов
В зависимости от условий работы нелинейного резистора и характера задачи различают статическое, дифференциальное и динамическое сопротивления.
Если нелинейный элемент является безынерционным, то он характеризуется первыми двумя из перечисленных параметров.
<img width=«249» height=«190» src=«ref-2_502561307-1642.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1061">Статическое сопротивление равно отношению напряжения на резистивном элементе к протекающему через него току. В частности для точки 1 ВАХ на рис. 1
<img width=«145» height=«52» src=«ref-2_502562949-618.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">.
Поддифференциальным сопротивлением понимается отношение бесконечно малого приращения напряжения к соответствующему приращению тока
<img width=«135» height=«48» src=«ref-2_502563567-618.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">.
Следует отметить, что у неуправляемого нелинейного резистора <img width=«61» height=«25» src=«ref-2_502564185-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695"> всегда, а <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502564586-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696"> может принимать и отрицательные значения (участок 2-3 ВАХ на рис. 1).
В случае инерционного нелинейного резистора вводится понятие динамического сопротивления
<img width=«79» height=«48» src=«ref-2_502564928-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">,
определяемого по динамической ВАХ. В зависимости от скорости изменения переменной, например тока, может меняться не только величина, но и знак <img width=«37» height=«25» src=«ref-2_502565426-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698">.
Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока
Электрическое состояние нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа, которые имеют общий характер. При этом следует помнить, что для нелинейных цепей принцип наложения неприменим. В этой связи методы расчета, разработанные для линейных схем на основе законов Кирхгофа и принципа наложения, в общем случае не распространяются на нелинейные цепи.
Общих методов расчета нелинейных цепей не существует. Известные приемы и способы имеют различные возможности и области применения. В общем случае при анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена следующими методами:
графическими; аналитическими; графо-аналитическими; итерационными.
Графические методы расчета
При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями.
а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов.
При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502565793-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699"> отдельных резисторов в системе декартовых координат <img width=«47» height=«20» src=«ref-2_502566182-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700"> строится результирующая зависимость <img width=«119» height=«28» src=«ref-2_502566536-530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701">. Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502567066-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">. Из точки пересечения перпендикуляра с кривой <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502567066-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703"> опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502565793-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704"> определяются напряжения <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502568213-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705"> на отдельных резистивных элементах.
Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2, б, соответствующие цепи на рис. 2, а.
<img width=«620» height=«246» src=«ref-2_502568548-6085.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">
<img width=«310» height=«211» src=«ref-2_502574633-1882.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1062">Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом –методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_502576515-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707"> на рис.2, а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения <img width=«139» height=«25» src=«ref-2_502576906-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708"> точка а (см. рис. 3) пересечения кривых <img width=«77» height=«25» src=«ref-2_502577444-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709"> и <img width=«48» height=«25» src=«ref-2_502577877-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710"> определяет режим работы цепи. Кривая <img width=«77» height=«25» src=«ref-2_502577444-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711"> строится путем вычитания абсцисс ВАХ <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_502576515-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712"> из ЭДС Е для различных значений тока.
Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.
б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.
При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502579095-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713"> отдельных резисторов в системе декартовых координат <img width=«47» height=«20» src=«ref-2_502566182-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714"> строится результирующая зависимость <img width=«119» height=«28» src=«ref-2_502579840-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">. Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502579095-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716">), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502580762-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">. Из точки пересечения перпендикуляра с кривой <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502580762-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718"> опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502579095-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719"> определяются токи <img width=«17» height=«25» src=«ref-2_502581911-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720"> в ветвях с отдельными резистивными элементами.
Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 4, б, соответствующие цепи на рис. 4, а.
<img width=«547» height=«272» src=«ref-2_502582233-3673.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">
в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов.
1. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности:
Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте б).
2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.
Метод двух узлов
Для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применять метод двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем:
Строятся графики зависимостей <img width=«63» height=«25» src=«ref-2_502585906-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722"> токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502586330-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723"> между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых <img width=«51» height=«25» src=«ref-2_502586690-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724"> смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_502587089-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725"> в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке.
Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа <img width=«111» height=«28» src=«ref-2_502587423-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">. Соответствующие данной точке токи являются решением задачи.
<img width=«310» height=«211» src=«ref-2_502574633-1882.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1063">Метод двух узлов может быть реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного выше меньшим числом графических построений.
В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 5. Для нее выражаем напряжения на резистивных элементах в функции <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502586330-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">:
<img width=«113» height=«25» src=«ref-2_502590175-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">;
(1)
<img width=«76» height=«25» src=«ref-2_502590633-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">;
(2)
<img width=«115» height=«25» src=«ref-2_502591049-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">.
(3)
Далее задаемся током, протекающим через один из резисторов, например во второй ветви <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502591512-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">, и рассчитываем <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502586330-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732">, а затем по <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502586330-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733"> с использованием (1) и (3) находим <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502592560-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734"> и <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502592898-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735"> и по зависимостям <img width=«54» height=«25» src=«ref-2_502593237-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736"> и <img width=«56» height=«25» src=«ref-2_502593642-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737"> - соответствующие им токи <img width=«19» height=«25» src=«ref-2_502594051-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738"> и <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502594376-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739"> и т.д. Результаты вычислений сводим в табл. 1, в последней колонке которой определяем сумму токов
<img width=«145» height=«28» src=«ref-2_502594705-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">.
Таблица 1. Таблица результатов расчета методом двух узлов
<img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502591512-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">
<img width=«76» height=«25» src=«ref-2_502590633-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742">
<img width=«113» height=«25» src=«ref-2_502590175-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743">
<img width=«19» height=«25» src=«ref-2_502594051-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744">
<img width=«115» height=«25» src=«ref-2_502591049-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745">
<img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502597202-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746">
<img width=«40» height=«28» src=«ref-2_502597530-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">
Алгебраическая сумма токов в соответствии с первым законом Кирхгофа должна равнять нулю, поэтому получающаяся в последней колонке табл. 1 величина <img width=«40» height=«25» src=«ref-2_502597899-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748"> указывает, каким значением <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502591512-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749"> следует задаваться на следующем шаге.
В осях <img width=«88» height=«28» src=«ref-2_502598590-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750"> строим кривую зависимости <img width=«84» height=«28» src=«ref-2_502599037-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751"> и по точке ее пересечения с осью напряжений определяем напряжение <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502586330-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752"> между точками m и n. Для найденного значения <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502586330-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753"> по (1)…(3) рассчитываем напряжения на резисторах, после чего по заданным зависимостям <img width=«51» height=«25» src=«ref-2_502586690-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754"> определяем токи в ветвях схемы.
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
Контрольные вопросы и задачи
Почему метод наложения неприменим к нелинейным цепям? Какие параметры характеризуют нелинейный резистор? Почему статическое сопротивление всегда больше нуля, а дифференциальное и динамическое могут иметь любой знак? Какие методы используют для анализа нелинейных резистивных цепей постоянного тока? Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с последовательным соединением резисторов? Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с параллельным соединением резисторов? Какой алгоритм анализа цепи со смешанным соединением нелинейных резисторов? В чем сущность метода двух узлов? В цепи на рис. 2, а ВАХ нелинейных резисторов <img width=«121» height=«29» src=«ref-2_502600628-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755"> и <img width=«133» height=«29» src=«ref-2_502601127-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">, где напряжение – в вольтах, а ток – в амперах; <img width=«72» height=«24» src=«ref-2_502601643-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757">. Графическим методом определить напряжения на резисторах.
Ответ: <img width=«179» height=«25» src=«ref-2_502602052-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758">.
В цепи на рис. 4, а ВАХ нелинейных резисторов <img width=«171» height=«29» src=«ref-2_502602600-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759"> и <img width=«171» height=«29» src=«ref-2_502603194-602.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">, где ток – в амперах, а напряжение – в вольтах; <img width=«60» height=«24» src=«ref-2_502603796-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761">. Графическим методом определить токи <img width=«19» height=«25» src=«ref-2_502594051-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762"> и <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502591512-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">.
Ответ: <img width=«179» height=«25» src=«ref-2_502604830-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">.
В цепи на рис. 5 <img width=«145» height=«29» src=«ref-2_502605373-572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765"> <img width=«129» height=«31» src=«ref-2_502605945-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">, где ток – в амперах, а напряжение – в вольтах; третий резистор линейный с <img width=«83» height=«24» src=«ref-2_502525074-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767">. Определить токи в ветвях методом двух узлов, если <img width=«117» height=«25» src=«ref-2_502606930-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768">.
Ответ: <img width=«263» height=«25» src=«ref-2_502607404-627.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769">.
Лекция N 31
продолжение
--PAGE_BREAK--Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770">
Если в сложной электрической цепи имеется одна ветвь с нелинейным резистором, то определение тока в ней можно проводить на основе теоремы об активном двухполюснике (методом эквивалентного генератора). Идея решения заключается в следующем. Ветвь, содержащая нелинейный резистор, выделяется из исходной цепи, а вся остальная, уже линейная, схема представляется в виде активного двухполюсника (АД). Согласно теореме об АД схему линейного АД по отношению к зажимам 1-2 выделенной ветви (см. рис. 1, а) можно представить эквивалентным генератором (см. рис. 1, б) с ЭДС, равной напряжению <img width=«55» height=«25» src=«ref-2_502608135-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771"> на зажимах 1-2 при разомкнутой ветви с нелинейным резистором, и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению линейного двухполюсника. Последняя схема рассчитывается, например, графическим методом как цепь с последовательным соединением элементов.
<img width=«534» height=«239» src=«ref-2_502608522-3128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">
Если необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи, то после расчета нелинейной схемы на рис. 1, б в соответствии с теоремой о компенсации нелинейный резистор заменяется источником ЭДС или тока, после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым известным методом.
Аналитические методы расчета
Исследования общих свойств нелинейных цепей удобно осуществлять на основе математического анализа, базирующегося на аналитическом выражении характеристик нелинейных элементов, т.е. их аппроксимации. На выбор аналитического метода влияют условия поставленной задачи, а также характер возможного перемещения рабочей точки по характеристике нелинейного элемента: по всей характеристике или в ее относительно небольшой области.
К аналитическим методам относятся:
метод аналитической аппроксимации; метод кусочно-линейной аппроксимации; метод линеаризации.
Метод аналитической аппроксимации основан на замене характеристики (или ее участка) нелинейного элемента общим аналитическим выражением. Применяются следующие виды аналитической аппроксимации:
степенным многочленом (см. рис. 2, а); трансцендентными (экспоненциальными, гиперболическими и др.) функциями (см. рис. 2, б).
Выбор коэффициентов (а,b,c,…) осуществляется исходя из наибольшего соответствия аналитического выражения рабочему участку нелинейной характеристики. При этом
<img width=«513» height=«172» src=«ref-2_502611650-2038.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773">
выбираются наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая. Число точек равно числу коэффициентов в аналитическом выражении, что позволяет однозначно определить последнее.
Необходимо помнить, что при получении нескольких корней нелинейного уравнения они должны быть проверены на удовлетворение задаче. Пусть, например, в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного R и нелинейного резисторов, ВАХ последнего может быть аппроксимирована выражением <img width=«119» height=«28» src=«ref-2_502613688-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774">. Определить ток в цепи, если источник ЭДС Е обеспечивает режим работы цепи в первом квадранте.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для данной цепи имеет место уравнение
<img width=«232» height=«29» src=«ref-2_502614197-666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775">
или
<img width=«157» height=«48» src=«ref-2_502614863-606.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776">.
Корни уравнения
<img width=«237» height=«59» src=«ref-2_502615469-879.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777">.
Решением задачи является <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_502616348-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778">, поскольку второе решение <img width=«49» height=«25» src=«ref-2_502616706-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779"> не удовлетворяет условиям исходя из физических соображений.
Метод кусочно-линейной аппроксимации основан на представлении характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий (см. рис. 3), в результате чего нелинейная цепь может быть описана линейными уравнениями с постоянными (в пределах каждого отрезка) коэффициентами.
<img width=«596» height=«295» src=«ref-2_502617083-3699.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780">
При наличии в цепи двух и более нелинейных резисторов реализация метода затруднена, так как в общем случае изначально неизвестно, на каких участках ломаных кривых находятся рабочие точки.
Кусочно-линейная аппроксимация может быть реализована методом секционных кусочно-линейных функций, позволяющим описать ломаную кривую общим аналитическим выражением. Например, для кривой, представленной на рис. 4 и определяемой коэффициентами <img width=«53» height=«25» src=«ref-2_502620782-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781"> и <img width=«32» height=«25» src=«ref-2_502621172-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782"> характеризующими наклон ее отдельных прямолинейных участков, и параметрами <img width=«199» height=«25» src=«ref-2_502621519-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783"><img width=«75» height=«25» src=«ref-2_502622150-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784"><img width=«65» height=«25» src=«ref-2_502622577-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785">, характеризующими координаты точек, где значения функции изменяются скачками, данное выражение будет иметь вид
<img width=«471» height=«43» src=«ref-2_502622996-1219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786">
<img width=«467» height=«97» src=«ref-2_502624215-1725.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787">
Здесь два первых слагаемых в правой части определяют первый наклонный участок аппроксимируемой кривой; три первых слагаемых — первый наклонный участок и участок первого скачка; четыре первых слагаемых — первый и второй наклонные участки с учетом участка первого скачка и т.д.
В общем случае аппроксимирующее выражение по методу секционных кусочно — линейных функций имеет вид
<img width=«453» height=«60» src=«ref-2_502625940-1301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788">
<img width=«299» height=«57» src=«ref-2_502627241-1029.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789">
Метод линеаризации применим для анализа нелинейных цепей при малых отклонениях рабочей точки Р (см. рис. 5) от исходного состояния.
<img width=«642» height=«149» src=«ref-2_502628270-2548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790">
В окрестности рабочей точки <img width=«17» height=«19» src=«ref-2_502630818-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791">(см. рис. 5)
<img width=«124» height=«28» src=«ref-2_502631138-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792">,
где <img width=«89» height=«25» src=«ref-2_502631664-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793"> (закон Ома для малых приращений);
<img width=«171» height=«48» src=«ref-2_502632112-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794">-дифференциальное сопротивление.
Идея метода заключается в замене нелинейного резистора линейным с сопротивлением, равным дифференциальному в заданной (или предполагаемой) рабочей точке, и либо последовательно включенным с ним источником ЭДС, либо параллельно включенным источником тока. Таким образом, линеаризованной ВАХ (см. прямую на рис. 5) соответствует последовательная (рис. 6, а) или параллельная (рис. 6, б) схема замещения нелинейного резистора.
Если исходный режим определен и требуется рассчитать лишь приращения токов и (или) напряжений, обусловленные изменением напряжения или тока источника, целесообразно использовать эквивалентные схемы для приращений, получаемые на основании законов Кирхгофа для малых приращений:
-первый закон Кирхгофа: <img width=«73» height=«28» src=«ref-2_502632791-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795">;
-второй закон Кирхгофа: <img width=«127» height=«28» src=«ref-2_502633220-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796">.
При составлении схемы для приращений:
1) все ЭДС и токи источников заменяются их приращениями;
2) нелинейные резисторы заменяются линейными с сопротивлениями, равными дифференциальным в рабочих точках.
Необходимо помнить, что полная величина какого-либо тока или напряжения в цепи равна алгебраической сумме исходного значения переменной и ее приращения, рассчитанного методом линеаризации.
Если исходный режим работы нелинейного резистора неизвестен, то следует задаться рабочей точкой на его ВАХ и, осуществив соответствующую линеаризацию, произвести расчет, по окончании которого необходимо проверить, соответствуют ли его результаты выбранной точке. В случае их несовпадения линеаризованный участок уточняется, расчет повторяется и так до получения требуемой сходимости
Итерационные методы расчета
Решение нелинейного уравнения (системы нелинейных уравнений), описывающего (описывающих) состояние электрической цепи, может быть реализовано приближенными численными методами. Решение находится следующим образом: на основе первой, достаточно грубой, оценки определяется начальное значение корня (корней), после чего производится уточнение по выбранному алгоритму до вхождения в область заданной погрешности.
Наиболее широкое применение в электротехнике для численного расчета нелинейных резистивных цепей получили метод простой итерации и метод Ньютона-Рафсона, основные сведения о которых приведены в табл. 1.
Таблица 1. Итерационные методы расчета
Последователь-ность расчета
Геометрическая иллюстрация алгоритма
Условие сходимости итерации
Примечание
Метод простой итерации
1.Исходное нелинейное уравнение электрической цепи <img width=«67» height=«25» src=«ref-2_502633757-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">, где <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502634175-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798">-искомая переменная, представляется в виде <img width=«63» height=«24» src=«ref-2_502634488-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799">.
2. Производится расчет по алгоритму <img width=«105» height=«25» src=«ref-2_502634904-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800"> где <img width=«93» height=«21» src=«ref-2_502635377-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">
— шаг итерации.
<img width=«153» height=«157» src=«ref-2_502635805-1485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802">Здесь <img width=«14» height=«15» src=«ref-2_502637290-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803">- заданная погрешность
На интервале между приближенным и точным значениями корня должно выполняться неравенство <img width=«107» height=«28» src=«ref-2_502637400-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">
1.Начальное приближение <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_502637935-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805"> обычно находится из уравнения <img width=«67» height=«25» src=«ref-2_502633757-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806"> при пренебрежении в нем нелинейными членами.
2. Метод распространим на систему нелинейных уравнений n-го порядка. Например, при решении системы 2-го порядка
<img width=«115» height=«55» src=«ref-2_502638685-691.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807">
итерационные формулы имеют вид <img width=«164» height=«28» src=«ref-2_502639376-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808">;
<img width=«167» height=«28» src=«ref-2_502639977-602.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809">.
3. При решении системы уравнений сходимость обычно проверяется в процессе итерации.
Метод Ньютона-
-Рафсона
1. На основании исходного нелинейного уравнения электрической цепи <img width=«67» height=«25» src=«ref-2_502633757-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810">, где <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502634175-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811">-искомая переменная, записывается итерационная формула <img width=«95» height=«25» src=«ref-2_502641310-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812"><img width=«137» height=«29» src=«ref-2_502641725-544.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813"> где <img width=«93» height=«21» src=«ref-2_502642269-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814">- шаг итерации.
2.По полученной формуле проводится итерационный расчет
<img width=«157» height=«160» src=«ref-2_502642696-1284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815"> Здесь <img width=«14» height=«15» src=«ref-2_502637290-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816">- заданная погрешность
На интервале между приближенным и точным значениями корня должны выполняться неравенства <img width=«128» height=«57» src=«ref-2_502644090-755.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817">
Примечания п. 1,2 и 3 к методу простой итерации распространимы на метод Ньютона-Рафсона. При этом при решении системы 2-го порядка <img width=«92» height=«55» src=«ref-2_502644845-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818">
итерационные формулы имеют вид
<img width=«163» height=«55» src=«ref-2_502645476-775.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819">
где
<img width=«153» height=«108» src=«ref-2_502646251-1057.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820"><img width=«153» height=«100» src=«ref-2_502647308-1035.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821">
<img width=«152» height=«108» src=«ref-2_502648343-1177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822">
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.: Учеб. для студ. электротехн. спец. вузов. 2-е изд., переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352с. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин.Машинный анализ электронных схем: алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. –М.: Энергия, 1980. – 640 с. Сборник задач и упражнений по теоретически основам электротехники: Учеб. пособие для вузов /Под ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с.
Контрольные вопросы и задачи
Как рассчитываются цепи с одним нелинейным резистором и произвольным числом линейных? В чем преимущества и недостатки аналитических методов расчета по сравнению с графическими? Какие аналитические методы используются для расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока? В чем сущность метода линеаризации? Для решения каких двух типов задач он применяется? Что такое эквивалентные схемы для приращений? Как они составляются? Какова последовательность расчета нелинейных цепей итерационными методами? В диагонали моста находится нелинейный резистор, ВАХ которого аппроксимирована выражением <img width=«65» height=«25» src=«ref-2_502649520-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823">, где <img width=«113» height=«29» src=«ref-2_502649910-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824">. Линейные сопротивления противоположных плеч моста попарно равны: <img width=«124» height=«25» src=«ref-2_502650407-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825">; <img width=«124» height=«25» src=«ref-2_502650892-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826">. Определить мощность, рассеиваемую нелинейным резистором, если схема питается от источника с ЭДС <img width=«71» height=«24» src=«ref-2_502651372-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827">.
Ответ: Р=2 Вт.
Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного <img width=«83» height=«24» src=«ref-2_502525074-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828"> и нелинейного резисторов, если кривая ВАХ последнего <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502580762-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829"> проходит через точки с координатами (15 В; 1,425 А) и (5 В; 0,325 А) и аппроксимирована выражением вида <img width=«135» height=«28» src=«ref-2_502652597-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830">. ЭДС на входе цепи <img width=«71» height=«24» src=«ref-2_502651372-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831">.
Ответ: <img width=«72» height=«24» src=«ref-2_502653537-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832">.
В схеме предыдущей задачи ВАХ нелинейного резистора описывается выражением (ток – в амперах, напряжение – в вольтах) <img width=«112» height=«28» src=«ref-2_502653952-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833">; <img width=«72» height=«24» src=«ref-2_502654468-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834">; <img width=«83» height=«24» src=«ref-2_502525074-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835">. Определить напряжение <img width=«19» height=«20» src=«ref-2_502498263-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836"> на нелинейном резисторе и ток <img width=«13» height=«19» src=«ref-2_502655639-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837">в нем методом Ньютона-Рафсона.
Ответ: <img width=«84» height=«24» src=«ref-2_502655947-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838">; <img width=«89» height=«24» src=«ref-2_502656378-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839">.
В цепи на рис. 1, б <img width=«69» height=«24» src=«ref-2_502656821-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840">, <img width=«96» height=«25» src=«ref-2_502657222-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841">. ВАХ нелинейного резистора аппроксимирована двумя прямолинейными отрезками, первый из которых проходит через точки с координатами (0 В; 0 А) и (9 В; 2 А), а второй – через точки с координатами (9 В; 2 А) и (12 В; 6 А). Определить ток в цепи.
Ответ: <img width=«59» height=«24» src=«ref-2_502657680-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">.
Лекция N 32
продолжение
--PAGE_BREAK--Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках.
Основные понятия и законы магнитных цепей
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843">
При решении электротехнических задач все вещества в магнитном отношении делятся на две группы:
ферромагнитные (относительная магнитная проницаемость <img width=«53» height=«24» src=«ref-2_502658166-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844">); неферромагнитные (относительная магнитная проницаемость <img width=«43» height=«24» src=«ref-2_502658544-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845">).
Для концентрации магнитного поля и придания ему желаемой конфигурации отдельные части электротехнических устройств выполняются из ферромагнитных материалов. Эти части называют магнитопроводами или сердечниками. Магнитный поток создается токами, протекающими по обмоткам электротехнических устройств, реже – постоянными магнитами. Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела и образующих замкнутую цепь, вдоль которой замыкаются линии магнитной индукции, называют магнитной цепью.
Магнитное поле характеризуется тремя векторными величинами, которые приведены в табл. 1.
Таблица 1. Векторные величины, характеризующие магнитное поле
Наименование
Обозначение
Единицы
измерения
Определение
Вектор магнитной индукции
<img width=«17» height=«23» src=«ref-2_502084921-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846">
Тл
(тесла)
Векторная величина, характеризующая силовое действие магнитного поля на ток по закону Ампера
Вектор намагниченности
<img width=«16» height=«24» src=«ref-2_502659237-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847">
А/м
Магнитный момент единицы объема вещества
Вектор напряженности магнитного поля
<img width=«21» height=«23» src=«ref-2_502659555-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848">
А/м
<img width=«12» height=«21» src=«ref-2_502659887-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849"><img width=«12» height=«21» src=«ref-2_502659887-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850"><img width=«176» height=«52» src=«ref-2_502660379-661.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851">,
где <img width=«115» height=«29» src=«ref-2_502661040-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852"><img width=«9» height=«24» src=«ref-2_502661523-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853">Гн/м- магнитная постоянная
Основные скалярные величины, используемые при расчете магнитных цепей, приведены в табл. 2.
Таблица 2. Основные скалярные величины, характеризующие магнитную цепь
Наименование
Обозначение
Единица
измерения
Определение
Магнитный поток
<img width=«19» height=«19» src=«ref-2_502661769-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854">
Вб
(вебер)
Поток вектора магнитной индукции через поперечное сечение<img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502662097-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855">магнитопровода
<img width=«81» height=«47» src=«ref-2_502662418-513.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856">
Магнитодвижущая (намагничивающая) сила МДС (НС)
<img width=«19» height=«19» src=«ref-2_502662931-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857">
A
<img width=«60» height=«21» src=«ref-2_502663251-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1858">где <img width=«13» height=«19» src=«ref-2_502655639-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1859">-ток в обмотке,<img width=«17» height=«16» src=«ref-2_502663938-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1860">-число витков обмотки
Магнитное напряжение
<img width=«32» height=«25» src=«ref-2_502664258-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1861">
А
Линейный интеграл от напряженности магнитного поля <img width=«97» height=«60» src=«ref-2_502664615-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1862">, где <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502665185-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1863">и <img width=«13» height=«20» src=«ref-2_502665500-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1864">-граничные точки участка магнитной цепи, для которого определяется<img width=«32» height=«25» src=«ref-2_502665817-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1865">
Характеристики ферромагнитных материалов
Свойства ферромагнитных материалов характеризуются зависимостью <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1866">магнитной индукции от напряженности магнитного поля. При этом различают кривые намагничивания, представляющие собой однозначные зависимости <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1867">, и гистерезисные петли — неоднозначные зависимости <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1868"> (см. рис. 1).
<img width=«334» height=«326» src=«ref-2_502667353-4164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1869">
Основные понятия, характеризующие зависимости <img width=«46» height=«24» src=«ref-2_502671517-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1870">, приведены в табл. 3.
Таблица 3.Основные понятия, характеризующие зависимости <img width=«46» height=«24» src=«ref-2_502671517-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1871">
Понятие
Определение
Магнитный гистерезис
Явление отставания изменения магнитной индукции B от изменения напряженности магнитного поля H
Статическая петля гистерезиса
Зависимость <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1872">, получаемая путем ряда повторных достаточно медленных изменений магнитной напряженности в пределах выбранного значения<img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502672700-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1873">(см. кривые 1 на рис. 1).
Площадь статической петли гистерезиса характеризует собой потери на магнитный гистерезис за один период изменения магнитной напряженности
Начальная кривая намагничивания
Кривая намагничивания предварительно размагниченного ферромагнетика (B=0;H=0) при плавном изменении магнитной напряженности H. Представляет собой однозначную зависимость<img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1874">и обычно близка к основной кривой намагничивания
Основная кривая намагничивания
Геометрическое место вершин петель магнитного гистерезиса (см. кривую 2 на рис. 1). Представляет собой однозначную зависимость<img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1875">
Предельная петля гистерезиса (предельный цикл)
Симметричная петля гистерезиса при максимально возможном насыщении
Коэрцитивная (задерживающая) сила
Напряженность магнитного поля Нс, необходимая для доведения магнитной индукции в предварительно намагниченном ферромагнетике до нуля. В справочной литературе обычно дается для предельной петли гистерезиса
Остаточная индукция
Значение индукции магнитного поля Вr при равной нулю напряженности магнитного поля. В справочной литературе обычно дается для предельного цикла
Магнитомягкие и магнитотвердые материалы
Перемагничивание ферромагнитного материала связано с расходом энергии на этот процесс. Как уже указывалось, площадь петли гистерезиса характеризует энергию, выделяемую в единице объема ферромагнетика за один цикл перемагничивания. В зависимости от величины этих потерь и соответственно формы петли гистерезиса ферромагнитные материалы подразделяются на магнитомягкие и магнитотвердые. Первые характеризуются относительно узкой петлей гистерезиса и круто поднимающейся основной кривой намагничивания; вторые обладают большой площадью гистерезисной петли и полого поднимающейся основной кривой намагничивания.
Магнитомягкие материалы (электротехнические стали, железоникелевые сплавы, ферриты) определяют малые потери в сердечнике и применяются в устройствах, предназначенных для работы при переменных магнитных потоках (трансформаторы, электродвигатели и др.). Магнитотвердые материалы (углеродистые стали, вольфрамовые сплавы и др.) используются для изготовления постоянных магнитов.
Статическая и дифференциальная магнитные проницаемости
Статическая магнитная проницаемость (в справочниках начальная и максимальная)
<img width=«193» height=«52» src=«ref-2_502673857-725.coolpic» v:shapes="_x0000_i1876">
(1)
<img width=«240» height=«165» src=«ref-2_502674582-2023.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1064">определяется по основной кривой намагничивания и в силу ее нелинейности не постоянна по величине (см. рис. 2).
Величина <img width=«37» height=«25» src=«ref-2_502676605-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1877"> определяется тангенсом угла наклона касательной в начале кривой <img width=«46» height=«24» src=«ref-2_502671517-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1878">.
Кроме статической вводится понятиедифференциальной магнитной проницаемости, устанавлива-ющей связь между бесконечно малыми приращениями индукции и напряженности
<img width=«193» height=«52» src=«ref-2_502677363-762.coolpic» v:shapes="_x0000_i1879">.
(2)
Кривые <img width=«63» height=«25» src=«ref-2_502678125-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1880"> и <img width=«55» height=«25» src=«ref-2_502678552-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1881"> имеют две общие точки: начальную и точку, соответствующую максимуму <img width=«33» height=«25» src=«ref-2_502678968-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1882"> (см. рис. 2).
При учете петли гистерезиса статическая магнитная проницаемость, определяемая согласно (1), теряет смысл. При этом значения <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502679325-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1883"> определяют по восходящей ветви петли при <img width=«59» height=«20» src=«ref-2_502679666-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1884"> и по нисходящей – при <img width=«59» height=«20» src=«ref-2_502680060-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1885">.
При переменном магнитном потоке вводится также понятие динамической магнитной проницаемости, определяемой соотношением, аналогичным (2), по динамической характеристике.
Основные законы магнитных цепей
В основе расчета магнитных цепей лежат два закона (см. табл. 4).
Таблица 4… Основные законы магнитной цепи
Наименование
закона
Аналитическое выражение закона
Формулировка закона
Закон (принцип) непрерывности магнитного потока
<img width=«76» height=«47» src=«ref-2_502680456-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1886">
Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю
Закон полного тока
<img width=«98» height=«47» src=«ref-2_502680968-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1887">
Циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром
При анализе магнитных цепей и, в первую очередь, при их синтезе обычно используют следующие допущения:
— магнитная напряженность, соответственно магнитная индукция, во всех точках поперечного сечения магнитопровода одинакова <img width=«87» height=«25» src=«ref-2_502681511-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1888">
— потоки рассеяния отсутствуют (магнитный поток через любое сечение неразветвленной части магнитопровода одинаков);
— сечение воздушного зазора равно сечению прилегающих участков магнитопровода.
Это позволяет использовать при расчетах законы Кирхгофа и Ома для магнитных цепей (см. табл. 5), вытекающие из законов, сформулированных в табл. 4.
Таблица 5. Законы Кирхгофа и Ома для магнитных цепей
Наименование закона
Аналитическое выражение закона
Формулировка закона
Первый закон Кирхгофа
<img width=«66» height=«28» src=«ref-2_502681973-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1889">
Алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитопровода равна нулю
Второй закон Кирхгофа
<img width=«172» height=«28» src=«ref-2_502682391-589.coolpic» v:shapes="_x0000_i1890">
Алгебраическая сумма падений магнитного напряжения вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме МДС, действующих в контуре
Закон Ома
<img width=«99» height=«25» src=«ref-2_502682980-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1891">
где<img width=«111» height=«25» src=«ref-2_502683444-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1892">
Падение магнитного напряжения на участке магнитопровода длиной <img width=«11» height=«20» src=«ref-2_502683939-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1893"> равно произведению магнитного потока и магнитного сопротивления <img width=«31» height=«25» src=«ref-2_502684247-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1894"> участка
Сформулированные законы и понятия магнитных цепей позволяют провести формальную аналогию между основными величинами и законами, соответствующими электрическим и магнитным цепям, которую иллюстрирует табл. 6.
Таблица 6.Аналогия величин и законов для электрических и магнитных цепей
Электрическая цепь
Магнитная цепь
Ток <img width=«33» height=«21» src=«ref-2_502684603-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1895">
Поток <img width=«48» height=«21» src=«ref-2_502684950-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1896">
ЭДС <img width=«38» height=«21» src=«ref-2_502685331-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1897">
МДС (НС) <img width=«37» height=«21» src=«ref-2_502685688-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1898">
Электрическое сопротивление <img width=«49» height=«21» src=«ref-2_502686042-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1899">
Магнитное сопротивление <img width=«74» height=«30» src=«ref-2_502686426-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1900">
Электрическое напряжение <img width=«37» height=«21» src=«ref-2_502686857-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1901">
Магнитное напряжение <img width=«53» height=«25» src=«ref-2_502687213-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1902">
Первый закон Кирхгофа: <img width=«59» height=«28» src=«ref-2_502687609-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1903">
Первый закон Кирхгофа: <img width=«66» height=«28» src=«ref-2_502681973-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1904">
Второй закон Кирхгофа:
<img width=«92» height=«28» src=«ref-2_502688429-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1905">
Второй закон Кирхгофа:
<img width=«108» height=«28» src=«ref-2_502688887-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1906">
Закон Ома: <img width=«57» height=«20» src=«ref-2_502689374-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1907">
Закон Ома: <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502689753-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1908">
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
Контрольные вопросы и задачи
Какие векторные величины характеризуют магнитное поле? Какие основные понятия связаны с петлей гистерезиса? Что характеризует площадь гистерезисной петли? Какие ферромагнитные материалы и почему используются для изготовления сердечников для машин переменного тока? Назовите основные законы магнитного поля? В чем заключаются основные допущения, принимаемые при расчете магнитных цепей? Проведите аналогию между электрическими и магнитными цепями? Магнитная индукция в сердечнике при напряженности Н=200 А/м составляет В=1,0 Тл. Определить относительную магнитную проницаемость.
Ответ: <img width=«73» height=«24» src=«ref-2_502690211-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1909">.
Определить магнитное сопротивление участка цепи длиной <img width=«73» height=«24» src=«ref-2_502690632-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1910"> и сечением <img width=«85» height=«29» src=«ref-2_502691053-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1911">, если <img width=«81» height=«29» src=«ref-2_502691497-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1912">.
Ответ: <img width=«136» height=«29» src=«ref-2_502691924-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1913">.
В условиях предыдущей задачи определить падение магнитного напряжения на участке, если индукция В=0,8 Тл.
Ответ: <img width=«101» height=«25» src=«ref-2_502692448-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1914">.
Лекция N 33
продолжение
--PAGE_BREAK--Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1915">
Указанная в предыдущей лекции формальная аналогия между электрическими и магнитными цепями позволяет распространить все методы и технику расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока на нелинейные магнитные цепи. При этом для наглядности можно составить эквивалентную электрическую схему замещения исходной магнитной цепи, с использованием которой выполняется расчет.
Нелинейность магнитных цепей определяется нелинейным характером зависимости <img width=«60» height=«25» src=«ref-2_502693009-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1916">, являющейся аналогом ВАХ <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502693434-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1917"> и определяемой характеристикой ферромагнитного материала <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1918">. При расчете магнитных цепей при постоянных потоках обычно используют основную кривую намагничивания. Петлеобразный характер зависимости <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1919"> учитывается при расчете постоянных магнитов и электротехнических устройств на их основе.
При расчете магнитных цепей на практике встречаются две типичные задачи:
-задача определения величины намагничивающей силы (НС), необходимой для создания заданного магнитного потока (заданной магнитной индукции) на каком — либо участке магнитопровода (задача синтеза или“прямая“ задача);
-задача нахождения потоков (магнитных индукций) на отдельных участках цепи по заданным значениям НС (задача анализа или “обратная” задача).
Следует отметить, что задачи второго типа являются обычно более сложными и трудоемкими в решении.
В общем случае в зависимости от типа решаемой задачи (“прямой” или “обратной”) решение может быть осуществлено следующими методами:
-регулярными;
-графическими;
-итерационными.
При этом при использовании каждого из этих методов первоначально необходимо указать на схеме направления НС, если известны направления токов в обмотках, или задаться их положительными направлениями, если их нужно определить. Затем задаются положительными направлениями магнитных потоков, после чего можно переходить к составлению эквивалентной схемы замещения и расчетам.
Магнитные цепи по своей конфигурации могут быть подразделены на неразветвленные и разветвленные. В неразветвленной магнитной цепи на всех ее участках имеет место один и тот же поток, т.е. различные участки цепи соединены между собой последовательно. Разветвленные магнитные цепи содержат два и более контура.
Регулярные методы расчета
Данными методами решаются задачи первого типа -”прямые” задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета заданы конфигурация и основные геометрические размеры магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания ферромагнитного материала и магнитный поток или магнитная индукция в каком-либо сечении магнитопровода. Требуется найти НС, токи обмоток или, при известных значениях последних, число витков.
1. Прямая” задача для неразветвленной магнитной цепи
Решение задач подобного типа осуществляется в следующей последовательности:
1. Намечается средняя линия (см. пунктирную линию на рис.1), которая затем делится на участки с одинаковым сечением магнитопровода.
2. Исходя из постоянства магнитного потока вдоль всей цепи, определяются значения индукции для каждого <img width=«11» height=«19» src=«ref-2_502489176-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1920">-го участка:
<img width=«305» height=«290» src=«ref-2_502694908-2620.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1065"><img width=«60» height=«52» src=«ref-2_502697528-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1921">.
3. По кривой намагничивания для каждого значения <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502697972-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1922"> находятся напряженности <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502698306-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1923"> на ферромагнитных участках; напряженность поля в воздушном зазоре определяется согласно
<img width=«203» height=«53» src=«ref-2_502698645-717.coolpic» v:shapes="_x0000_i1924">
4. По второму закону Кирхгофа для магнитной цепи определяется искомая НС путем суммирования падений магнитного напряжения вдоль контура:
<img width=«181» height=«28» src=«ref-2_502699362-598.coolpic» v:shapes="_x0000_i1925">,
где <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502699960-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1926">-длина воздушного зазора.
2. “Прямая” задача для разветвленной магнитной цепи
Расчет разветвленных магнитных цепей основан на совместном применении первого и второго законов Кирхгофа для магнитных цепей. Последовательность решения задач данного типа в целом соответствует рассмотренному выше алгоритму решения “прямой” задачи для неразветвленной цепи. При этом для определения магнитных потоков на участках магнитопровода, для которых магнитная напряженность известна или может быть вычислена на основании второго закона Кирхгофа, следует использовать алгоритм
В остальных случаях неизвестные магнитные потоки определяются на основании первого закона Кирхгофа для магнитных цепей.
<img width=«297» height=«252» src=«ref-2_502701515-2974.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1066">В качестве примера анализа разветвленной магнитной цепи при заданных геометрии магнитной цепи на рис. 2 и характеристике <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1930"> ферромагнитного сердечника определим НС <img width=«56» height=«20» src=«ref-2_502704882-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1931">, необходимую для создания в воздушном зазоре индукции <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502705256-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1932">.
Алгоритм решения задачи следующий:
1. Задаем положительные направления магнитных потоков в стержнях магнитопровода (см. рис. 2).
2. Определяем напряженность в воздушном зазоре <img width=«75» height=«52» src=«ref-2_502705600-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1933"> и по зависимости <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1934"> для <img width=«64» height=«25» src=«ref-2_502706476-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1935"> - значение <img width=«28» height=«25» src=«ref-2_502706875-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1936">.
3. По второму закону Кирхгофа для правого контура можно записать
<img width=«181» height=«25» src=«ref-2_502707219-589.coolpic» v:shapes="_x0000_i1937">
откуда находим <img width=«28» height=«25» src=«ref-2_502707808-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1938"> и по зависимости <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1939"> - <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502708545-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1940">.
4. В соответствии с первым законом Кирхгофа
<img width=«139» height=«25» src=«ref-2_502708885-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1941">.
Тогда <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_502709409-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1942">, и по зависимости <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1943"> определяем <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502710251-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1944">.
5. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для искомой НС имеет место уравнение
<img width=«141» height=«25» src=«ref-2_502710594-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1945">.
Графические методы расчета
Графическими методами решаются задачи второго типа — “обратные” задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета заданы конфигурация и геометрические размеры магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания ферромагнитного материала, а также НС обмоток. Требуется найти значения потоков (индукций) на отдельных участках магнитопровода.
Данные методы основаны на графическом представлении вебер-амперных характеристик <img width=«60» height=«25» src=«ref-2_502693009-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1946"> линейных и нелинейных участков магнитной цепи с последующим решением алгебраических уравнений, записанных по законам Кирхгофа, с помощью соответствующих графических построений на плоскости.
1. “Обратная” задача для неразветвленной магнитной цепи
Решение задач подобного типа осуществляется в следующей последовательности:
1. Задаются значениями потока и определяют для них НС <img width=«79» height=«28» src=«ref-2_502711541-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1947">, как при решении “прямой” задачи. При этом следует стремиться подобрать два достаточно близких значения потока, чтобы получить <img width=«47» height=«28» src=«ref-2_502711975-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1948">, несколько меньшую и несколько большую заданной величины НС.
2. По полученным данным строится часть характеристики <img width=«72» height=«28» src=«ref-2_502712370-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1949"> магнитной цепи (вблизи заданного значения НС), и по ней определяется поток, соответствующий заданной величине НС.
При расчете неразветвленных магнитных цепей, содержащих воздушные зазоры, удобно использовать метод пересечений, при котором искомое решение определяется точкой пересечения нелинейной вебер-амперной характеристики нелинейной части цепи и линейной характеристики линейного участка, строящейся на основании уравнения
<img width=«328» height=«25» src=«ref-2_502712830-818.coolpic» v:shapes="_x0000_i1950">
где <img width=«135» height=«25» src=«ref-2_502713648-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1951">-магнитное сопротивление воздушного зазора.
2. “Обратная” задача для разветвленной магнитной цепи
<img width=«254» height=«192» src=«ref-2_502714191-2304.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1067">Замена магнитной цепи эквивалентной электрической схемой замещения (см. рис. 3, на котором приведена схема замещения магнитной цепи на рис. 2) позволяет решать задачи данного типа с использованием всех графических методов и приемов, применяемых при анализе аналогичных нелинейных электрических цепей постоянного тока.
В этом случае при расчете магнитных цепей, содержащих два узла (такую конфигурацию имеет большое число используемых на практике магнитопроводов), широко используется метод двух узлов. Идея решения данным методом аналогична рассмотренной для нелинейных резистивных цепей постоянного тока и заключается в следующем:
1. Вычисляются зависимости <img width=«79» height=«25» src=«ref-2_502716495-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1952"> потоков во всех <img width=«11» height=«19» src=«ref-2_502489176-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1953">-х ветвях магнитной цепи в функции общей величины -магнитного напряжения <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502717268-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1954"> между узлами <img width=«19» height=«16» src=«ref-2_502717655-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1955"> и <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502717980-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1956">.
2. Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа <img width=«131» height=«28» src=«ref-2_502718296-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1957"> Соответствующие данной точке потоки являются решением задачи.
Итерационные методы расчета
Данные методы, сущность которых была рассмотрена при анализе нелинейных резистивных цепей постоянного тока, являются приближенными численными способами решения нелинейных алгебраических уравнений, описывающих состояние магнитной цепи. Как было отмечено выше, они хорошо поддаются машинной алгоритмизации и в настоящее время широко используются при исследовании сложных магнитных цепей на ЦВМ. При анализе относительно простых цепей, содержащих небольшое число узлов и нелинейных элементов в эквивалентной электрической схеме замещения (обычно до двух-трех), возможна реализация методов “вручную”.
В качестве примера приведем алгоритм расчета магнитной цепи на рис. 1, в которой при заданных геометрии магнитопровода, характеристике <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1958"> материала сердечника и величине НС F необходимо найти поток Ф.
В соответствии с пошаговым расчетом для данной цепи можно записать
<img width=«211» height=«25» src=«ref-2_502719244-665.coolpic» v:shapes="_x0000_i1959">,
(1)
где <img width=«105» height=«25» src=«ref-2_502719909-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1960">.
Задаемся значением <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502720391-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1961">, вычисляем для <img width=«11» height=«19» src=«ref-2_502489176-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1962">-х участков магнитопровода <img width=«95» height=«25» src=«ref-2_502721042-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1963">, по кривой намагничивания <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1964"> находим <img width=«31» height=«25» src=«ref-2_502721892-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1965">, подсчитываем <img width=«131» height=«25» src=«ref-2_502722243-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1966"> и по (1) определяем <img width=«41» height=«25» src=«ref-2_502722784-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1967"> для следующего приближения и т.д., пока с заданной погрешностью не будет выполняться равенство <img width=«81» height=«25» src=«ref-2_502723152-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1968">.
Статическая и дифференциальная индуктивности катушки
с ферромагнитным сердечником
Пусть имеем катушку с ферромагнитным сердечником, представленную на рис. 4.
<img width=«180» height=«179» src=«ref-2_502723576-1673.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1068">В соответствии с определением потокосцепления
<img width=«117» height=«24» src=«ref-2_502725249-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1969">,
(2)
и на основании закона полного тока <img width=«63» height=«20» src=«ref-2_502725733-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1970">, откуда
<img width=«65» height=«48» src=«ref-2_502726125-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1971">.
(3)
Из соотношений (2) и (3) вытекает, что функция <img width=«39» height=«25» src=«ref-2_502726560-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1972"> качественно имеет такой же вид, что и <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502666174-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1973">. Таким образом, зависимости относительной магнитной проницаемости <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502727338-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1974"> и индуктивности <img width=«85» height=«25» src=«ref-2_502727735-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1975"> также подобны, т.е. представленные в предыдущей лекции на рис. 2 кривые <img width=«63» height=«25» src=«ref-2_502728191-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1976"> и <img width=«55» height=«25» src=«ref-2_502728615-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1977"> качественно аналогичны кривым <img width=«53» height=«25» src=«ref-2_502729029-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1978"> и <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_502729432-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1979">.
Статическая индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником
<img width=«151» height=«56» src=«ref-2_502729820-657.coolpic» v:shapes="_x0000_i1980">;
дифференциальная индуктивность
<img width=«153» height=«48» src=«ref-2_502730477-661.coolpic» v:shapes="_x0000_i1981">.
Если магнитную проводимость сердечника на рис. 4 обозначить через <img width=«32» height=«25» src=«ref-2_502731138-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1982">, то <img width=«84» height=«25» src=«ref-2_502731496-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1983"> и <img width=«140» height=«29» src=«ref-2_502731936-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1984">, откуда
<img width=«205» height=«48» src=«ref-2_502732472-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1985">
(4)
Используя соотношение (4), покажем влияние воздушного зазора на индуктивность катушки.
Пусть катушка на рис. 4 имеет воздушный зазор <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502699960-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1986">. Тогда полное магнитное сопротивление контура
<img width=«216» height=«52» src=«ref-2_502733504-838.coolpic» v:shapes="_x0000_i1987">,
откуда
<img width=«152» height=«52» src=«ref-2_502734342-684.coolpic» v:shapes="_x0000_i1988">.
При <img width=«179» height=«25» src=«ref-2_502735026-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1989">, следовательно
<img width=«151» height=«48» src=«ref-2_502735620-612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1990">.
Таким образом, воздушный зазор линеаризует катушку с ферромагнитным сердечником. Зазор, для которого выполняется неравенство <img width=«63» height=«24» src=«ref-2_502736232-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1991">, называется большим зазором.
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
Контрольные вопросы и задачи
Какие два типа задач встречаются при расчете магнитных цепей? Дайте им характеристику. Какие существуют методы расчета магнитных цепей? Какими методами решаются «обратные» задачи? Как влияет воздушный зазор на индуктивность нелинейной катушки? Что такое большой зазор? В магнитной цепи на рис. 2 заданы <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502736638-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1992"> и <img width=«56» height=«20» src=«ref-2_502704882-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1993">. Составить алгоритм расчета длины воздушного зазора <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502699960-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1994">. Составить алгоритм итерационного расчета потока в воздушном зазоре магнитной цепи на рис. 2 при заданной НС <img width=«56» height=«20» src=«ref-2_502704882-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1995">. Запишите закон электромагнитной индукции с использованием статической <img width=«31» height=«25» src=«ref-2_502738051-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1996"> и дифференциальной <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502738398-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1997"> индуктивностей.
Лекция N 34
продолжение
--PAGE_BREAK--Нелинейные цепи переменного тока в стационарных режимах
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1998">
Особенности нелинейных цепей при переменных токах
Наиболее существенная особенность расчета нелинейных цепей при переменных токах заключается в необходимости учета в общем случае динамических свойств нелинейных элементов, т.е. их анализ следует осуществлять на основе динамических вольт-амперных, вебер-амперных, и кулон-вольтных характеристик.
Если нелинейный элемент является безынерционным, то его характеристики в динамических и статических режимах совпадают, что существенно упрощает расчет. Однако на практике идеально безынерционных элементов не существует. Отнесение нелинейного элемента к классу безынерционных определяется скоростью изменения входных воздействий: если период Т переменного воздействия достаточно мал по сравнению с постоянной времени <img width=«7» height=«8» src=«ref-2_502104894-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1999">, характеризующей динамические свойства нелинейного элемента, последний рассматривается как безынерционный; если это не выполняется, то необходимо учитывать инерционные свойства нелинейного элемента.
<img width=«590» height=«253» src=«ref-2_502738931-3389.coolpic» v:shapes="_x0000_i2000">
В качестве примера можно рассмотреть цепь на рис.1 с нелинейным резистором (термистором), имеющим вольт-амперную характеристику (ВАХ), представленную на рис. 2, и характеризующимся постоянной времени нагрева <img width=«7» height=«8» src=«ref-2_502104894-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2001">.
Если <img width=«120» height=«20» src=«ref-2_502742414-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i2002">, то изображающая точка <img width=«17» height=«19» src=«ref-2_502630818-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2003"> перемещается по прямой 1 и нелинейный резистор характеризуется сопротивлением <img width=«136» height=«25» src=«ref-2_502743198-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i2004"> <img width=«87» height=«25» src=«ref-2_502743722-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i2005">. При <img width=«53» height=«20» src=«ref-2_502744164-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i2006"> изображающая точка перемещается по кривой 2, и свойства нелинейного резистора определяются сопротивлением <img width=«139» height=«25» src=«ref-2_502744533-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i2007">. Когда постоянная времени нагрева t НР одного порядка с Т, соотношения между переменными составляюшими напряжения и тока являются более сложными, определяющими сдвиг по фазе между ними.
Другой важной особенностью нелинейных элементов в цепи переменного тока является вызываемое ими появление высших гармоник даже при наличии в цепи только источников синусоидального напряжения и (или) тока. На этом принципе строится, например, ряд умножителей частоты, а также преобразователей формы тока или напряжения.
Основные типы характеристик нелинейных элементов в цепях переменного тока
Использование динамических характеристик нелинейных элементов позволяет осуществлять расчет нелинейных цепей для мгновенных значений переменных, т.е. проводить принципиально ее наиболее точный и полный анализ. Однако в целом ряде случаев такой расчет может оказаться достаточно трудоемким или избыточным по своей глубине. Поэтому в зависимости от цели решаемой задачи, а также от требований к точности получаемых результатов, помимо динамической характеристики, могут использоваться нелинейные характеристики по первым гармоникам и для действующих значений (см. табл. 1).
Таблица 1. Определение основных типов характеристик нелинейных элементов
Графические методы расчета
Графические методы расчета позволяют проводить анализ нелинейных цепей переменного тока для частных значений параметров с использованием характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений, по первым гармоникам и действующим значениям (см. табл. 1).
Графический метод с использованием характеристик для мгновенных значений
В общем случае методика анализа нелинейной цепи данным методом включает в себя следующие этапы:
-исходя из физических соображений находят (если он не задан) закон изменения одной из величин, определяющих характеристику <img width=«43» height=«24» src=«ref-2_502746614-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2009"> нелинейного элемента;
-по нелинейной характеристике <img width=«43» height=«24» src=«ref-2_502746614-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2010"> для известного закона изменения переменной <img width=«37» height=«24» src=«ref-2_502747368-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i2011">путем графических построений определяют кривую <img width=«39» height=«24» src=«ref-2_502747737-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i2012"> (или наоборот);
-с использованием полученной зависимости <img width=«39» height=«24» src=«ref-2_502747737-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i2013"> проводят анализ остальной (линейной) части цепи.
В качестве примера построим при синусоидальной ЭДС <img width=«121» height=«26» src=«ref-2_502748483-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i2014"> кривую тока в цепи на рис. 3, ВАХ <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_502749011-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i2015"> диода в которой представлена на рис. 4.
Решение
1. Строим результирующую ВАХ <img width=«30» height=«24» src=«ref-2_502752398-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i2018"> цепи (см. рис. 4) согласно соотношению
<img width=«232» height=«25» src=«ref-2_502752764-672.coolpic» v:shapes="_x0000_i2019">
2. Находя для различных значений <img width=«36» height=«24» src=«ref-2_502753436-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i2020"> с использованием полученной кривой соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 5) кривую искомой зависимости <img width=«34» height=«24» src=«ref-2_502753802-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i2021">.
К полученному результату необходимо сделать следующий комментарий. Использование при анализе подобных цепей ВАХ идеального вентиля (обратный ток отсутствует, в проводящем направлении падение напряжения на диоде равно нулю) корректно при достаточно больших значениях амплитуд приложенного к диоду напряжения, определяющих значительное превышение током, протекающим через вентиль в прямом направлении, его обратного тока, вследствие чего последним можно пренебречь. При снижении величин напряжения, когда эти токи становятся сопоставимыми по величине, следует использовать ВАХ реального диода, представленную на рис. 4 и учитывающую наличие обратного тока.
<img width=«670» height=«497» src=«ref-2_502754161-5006.coolpic» v:shapes="_x0000_i2022">
Важнейшим элементом в цепях переменного тока является катушка с ферромагнитным сердечником. В общем случае кривая зависимости <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502759167-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2023"> имеет вид гистерезисной петли, но, поскольку в устройствах, работающих при переменном напряжении, используются магнитные материалы с узкой петлей гистерезиса, в большинстве практических случаев допустимо при расчетах использовать основную (или начальную) кривую намагничивания.
<img width=«269» height=«217» src=«ref-2_502759544-2470.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1069">Условное изображение нелинейной катушки индуктивности приведено на рис. 6. Здесь <img width=«19» height=«19» src=«ref-2_502661769-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i2024">– основной поток, замыкающийся по сердечнику, <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502762342-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i2025"> - поток рассеяния, которому в первом приближении можно поставить в соответствие потокосцепление рассеяния <img width=«71» height=«25» src=«ref-2_502762690-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i2026">, где индуктивность рассеяния <img width=«84» height=«25» src=«ref-2_502763104-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i2027">в силу прохождения потоком <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502762342-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i2028"> части пути по воздуху.
Для схемы на рис. 6 справедливо уравнение
<img width=«156» height=«48» src=«ref-2_502763880-667.coolpic» v:shapes="_x0000_i2029">,
(1)
где <img width=«185» height=«25» src=«ref-2_502764547-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i2030">.
В общем случае в силу нелинейности зависимости <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502759167-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2031"> определить на основании (1) несинусоидальные зависимости <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_502283423-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i2032"> и <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502765852-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2033"> достаточно непросто. Вместе с тем для реальных катушек индуктивности падением напряжения <img width=«23» height=«20» src=«ref-2_502766229-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2034"> и ЭДС, обусловленной потоками рассеивания, вследствие их малости, часто можно пренебречь. При этом из (1) получаем <img width=«83» height=«25» src=«ref-2_502766566-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i2035">, откуда
<img width=«337» height=«48» src=«ref-2_502767015-919.coolpic» v:shapes="_x0000_i2036">,
где <img width=«145» height=«25» src=«ref-2_502767934-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i2037"> постоянная интегрирования.
Так как характеристика <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502768443-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2038"> катушки (см. рис. 7) симметрична относительно начала координат, а напряжение <img width=«37» height=«24» src=«ref-2_502768821-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i2039"> симметрично относительно оси абсцисс (оси времени), то кривая <img width=«41» height=«24» src=«ref-2_502769195-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i2040"> также должна быть симметричной относительно последней, откуда следует, что <img width=«45» height=«20» src=«ref-2_502769579-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i2041">.
<img width=«659» height=«365» src=«ref-2_502769937-3995.coolpic» v:shapes="_x0000_i2042">
Находя для различных значений <img width=«41» height=«24» src=«ref-2_502769195-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i2043"> с использованием кривой <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502768443-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2044"> соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 7) кривую зависимости <img width=«33» height=«24» src=«ref-2_502774694-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i2045">.
Анализ полученного результата позволяет сделать важный вывод: при синусоидальной форме потока напряжение <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502775052-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i2046"> на катушке синусоидально, а протекающий через нее ток имеет явно выраженную несинусоидальную форму. Аналогично можно показать, что при синусоидальном токе поток, сцепленный с катушкой, и напряжение на ней несинусоидальны.
Для среднего значения напряжения, наведенного потоком, можно записать
<img width=«217» height=«28» src=«ref-2_502775510-687.coolpic» v:shapes="_x0000_i2047">.
(2)
Умножив (2) на коэффициент формы, получим выражение для действующего значения напряжения
.<img width=«179» height=«28» src=«ref-2_502776197-609.coolpic» v:shapes="_x0000_i2048">
В частности, если напряжение и поток синусоидальны, то
<img width=«215» height=«25» src=«ref-2_502776806-661.coolpic» v:shapes="_x0000_i2049">.
Соотношение (2) является весьма важным: измеряя среднее значение напряжения, наведенного потоком, по (2) можно определить амплитуды потока <img width=«28» height=«25» src=«ref-2_502777467-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i2050">и индукции <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502777816-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2051">при любой форме нелинейности катушки.
Аналогично проводится построение кривой <img width=«33» height=«24» src=«ref-2_502774694-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i2052"> при синусоидальном потоке и задании зависимости <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502768443-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2053"> в виде петли гистерезиса. При этом следует помнить, что перемещение рабочей точки по петле осуществляется против часовой стрелки (см. рис. 8).
<img width=«659» height=«401» src=«ref-2_502778896-5004.coolpic» v:shapes="_x0000_i2054">
К полученному результату следует сделать следующий важный комментарий. Разложение построенной кривой <img width=«33» height=«24» src=«ref-2_502774694-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i2055"> в ряд Фурье показывает, что первая гармоника тока (см. кривую <img width=«39» height=«25» src=«ref-2_502784258-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i2056"> на рис. 8) опережает по фазе потокосцепление и, следовательно, отстает по фазе от синусоидального напряжения на катушке на угол, меньший 90°. Это указывает ( <img width=«71» height=«24» src=«ref-2_502784630-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i2057">) на потребление катушкой активной мощности, затрачиваемой на перемагничивание сердечника и определяемой площадью петли гистерезиса.
Литература
Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
Контрольные вопросы и задачи
В чем заключаются особенности нелинейных цепей переменного тока? Какие типы характеристик используются в цепях переменного тока для описания нелинейных элементов? В каких случаях допустимо использование при расчетах идеальных ВАХ вентилей? Почему нельзя потокосцепление рассеяния катушки представить как произведение числа ее витков и потока рассеяния? Как косвенным путем можно определить амплитуду индукции магнитного поля, сцепленного с катушкой? Построить кривые <img width=«36» height=«24» src=«ref-2_502785055-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2058"> и <img width=«40» height=«25» src=«ref-2_502785432-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i2059"> при синусоидальном токе в нелинейной катушке. Почему первая гармоника разложения кривой тока <img width=«33» height=«24» src=«ref-2_502774694-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i2060"> при учете гистерезисной петли отстает от напряжения на угол, меньший 90°? Определить амплитуду основного рабочего потока в сердечнике нелинейной катушки сечением <img width=«85» height=«29» src=«ref-2_502691053-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i2061">, если при числе витков <img width=«64» height=«20» src=«ref-2_502786620-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i2062"> среднее значение напряжения, обусловленного изменением потока, <img width=«103» height=«28» src=«ref-2_502787019-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i2063">; частота <img width=«81» height=«24» src=«ref-2_502787493-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i2064">.
Ответ: <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_502787922-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i2065">.
Лекция N 35
продолжение
--PAGE_BREAK--Графический метод с использованием характеристик
по первым гармоникам
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i2066">
При анализе нелинейной цепи данным методом изменяющиеся по сложному закону переменные величины заменяются их первыми гармониками, что позволяет использовать векторные диаграммы.
Основные этапы расчета:
-строится график зависимости <img width=«70» height=«25» src=«ref-2_502788465-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i2067"> нелинейного элемента для первых гармоник;
-произвольно задаются амплитудой одной из переменных, например <img width=«30» height=«25» src=«ref-2_502788893-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i2068">, связанной с нелинейным элементом, и по характеристике <img width=«70» height=«25» src=«ref-2_502788465-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i2069"> последнего находят другую переменную <img width=«36» height=«25» src=«ref-2_502789669-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i2070"> , определяющую режим работы нелинейного элемента, после чего, принимая все величины синусоидально изменяющимися во времени, на основании построения векторной диаграммы определяется амплитуда первой гармоники <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502790045-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i2071"> переменной на входе цепи;
-путем построения ряда векторных диаграмм для различных значений <img width=«30» height=«25» src=«ref-2_502788893-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i2072"> строится зависимость <img width=«66» height=«25» src=«ref-2_502790734-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i2073">, по которой для заданного значения <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502790045-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i2074"> определяется действительная величина <img width=«30» height=«25» src=«ref-2_502788893-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i2075">, на основании чего проводится окончательный анализ цепи.
Графический метод с использованием характеристик
для действующих значений (метод эквивалентных синусоид)
При анализе нелинейной цепи данным методом реальные несинусоидально изменяющиеся переменные заменяются эквивалентными им синусоидальными величинами, действующие значения которых равны действующим значениям исходных несинусоидальных переменных. Кроме того, активная мощность, определяемая с помощью эквивалентных синусоидальных величин, должна быть равна активной мощности в цепи с реальной (несинусоидальной) формой переменных. Используемый прием перехода к синусоидальным величинам определяет другое название метода — метод эквивалентных синусоид.
Строго говоря, характеристика нелинейного элемента для действующих значений зависит от формы переменных, определяющих эту характеристику. Однако в первом приближении, особенно при качественном анализе, этим фактом обычно пренебрегают, считая характеристику неизменной для различных форм переменных. Указанное ограничивает возможности применения метода для цепей, где высшие гармоники играют существенную роль, например, для цепей с резонансными явлениями на высших гармониках.
Переход к эквивалентным синусоидам позволяет использовать при анализе цепей векторные диаграммы. В связи с этим этапы расчета данным методом в общем случае совпадают с рассмотренными в предыдущем разделе.
Метод расчета с использованием характеристик для действующих значений широко применяется для исследования явлений в цепях, содержащих нелинейную катушку индуктивности и линейный конденсатор (феррорезонансных цепях), или цепях с линейной катушкой индуктивности и нелинейным конденсатором. Кроме того, данный метод применяется для анализа цепей с инерционными нелинейными элементами, у которых постоянная времени, характеризующая их инерционные свойства, много больше периода переменного напряжения (тока) источника питания. В этом случае в установившихся режимах инерционные нелинейные элементы можно рассматривать как линейные с постоянными параметрами (сопротивлением, индуктивностью, емкостью). При этом сами параметры определяются по характеристикам нелинейных элементов для действующих значений и для различных величин последних являются разными.
Феррорезонансные явления
Различают феррорезонанс в последовательной цепи (феррорезонанс напряжений) и феррорезонанс в параллельной цепи (феррорезонанс токов).
Рассмотрим первый из них на основе схемы на рис. 1. Для этого строим (см. рис. 2) прямую зависимости <img width=«55» height=«25» src=«ref-2_502791851-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i2076">, определяемую соотношением
<img width=«100» height=«51» src=«ref-2_502792247-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i2077">.
(1)
<img width=«666» height=«345» src=«ref-2_502792762-4516.coolpic» v:shapes="_x0000_i2078">
Далее для двух значений сопротивлений <img width=«17» height=«19» src=«ref-2_502107888-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i2079"> ( <img width=«45» height=«20» src=«ref-2_502797599-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i2080">и <img width=«45» height=«20» src=«ref-2_502797960-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i2081">) строим графики зависимостей <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502798328-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i2082">: для <img width=«45» height=«20» src=«ref-2_502797599-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i2083">-согласно соотношению <img width=«167» height=«28» src=«ref-2_502799071-636.coolpic» v:shapes="_x0000_i2084"> (кривая <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502665185-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i2085"> на рис. 2); для <img width=«45» height=«20» src=«ref-2_502797960-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i2086"> -согласно выражению <img width=«276» height=«35» src=«ref-2_502800390-859.coolpic» v:shapes="_x0000_i2087"> (кривая <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_502801249-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2088"> на рис. 2).
Точка пересечения кривой <img width=«55» height=«25» src=«ref-2_502801569-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i2089"> с прямой <img width=«55» height=«25» src=«ref-2_502791851-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i2090"> соответствует феррорезонансу напряжений. Феррорезонансом напряжений называется такой режим работы цепи, содержащей последовательно соединенные нелинейную катушку индуктивности и конденсатор, при котором первая гармоника тока в цепи совпадает по фазе с синусоидальным питающим напряжением. В соответствии с данным определением при рассмотрении реальной катушки действительная вольт-амперная характеристика (ВАХ) цепи, даже при значении сопротивления последовательного включаемого резистора <img width=«45» height=«20» src=«ref-2_502797599-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i2091">, в отличие от теоретической (кривая <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502665185-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i2092"> на рис. 2) не касается оси абсцисс и смещается влево, что объясняется наличием высших гармоник тока, а также потерями в сердечнике катушки. С учетом последнего напряжение на катушке индуктивности <img width=«197» height=«35» src=«ref-2_502803039-717.coolpic» v:shapes="_x0000_i2093">, где <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502803756-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2094"> -сопротивление, характеризующее потери в сердечнике, в режиме феррорезонанса <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_502804095-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i2095"> не равно напряжению на конденсаторе.
Из построенных результирующих ВАХ цепи видно, что при увеличении питающего напряжения в цепи имеет место скачок тока: для кривой <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502665185-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i2096">-из точки 1 в точку 2, для кривой <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_502801249-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2097">-из точки 3 в точку 4. Аналогично имеет место скачок тока при снижении питающего напряжения: для кривой <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502665185-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i2098">-из точки 5 в точку 0; для кривой <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_502801249-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2099">-из точки 6 в точку 7. Явление скачкообразного изменения тока при изменении входного напряжения называется триггерным эффектом в последовательной феррорезонансной цепи.
В соответствии с уравнением
<img width=«141» height=«28» src=«ref-2_502805901-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i2100">
(2)
на рис. 3 и 4 построены векторные диаграммы для двух произвольных значений тока ( <img width=«55» height=«25» src=«ref-2_502806425-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i2101">) в режимах до и после резонанса для обеих ВАХ (для <img width=«45» height=«20» src=«ref-2_502797599-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i2102"> -соответственно рис. 3, а и 3, б; для <img width=«45» height=«20» src=«ref-2_502797960-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i2103"> -рис. 4, а и 4, б); при этом соответствующие выбранным токам действующие значения напряжений, входящих в (2), взяты из графиков на рис. 2.
<img width=«639» height=«556» src=«ref-2_502807544-3952.coolpic» v:shapes="_x0000_i2104">
Анализ векторных диаграмм позволяет сделать вывод, что в режиме до скачка тока напряжение на входе цепи опережает по фазе ток, а после скачка-отстает, т.е. в первом случае нагрузка носит индуктивный характер, а во втором-емкостной. Таким образом, скачок тока в феррорезонансной цепи сопровождается эффектом опрокидывания фазы.
Феррорезонанс в параллельной цепи рассмотрим на основе схемы на рис. 5. Для этого, как и в предыдущем случае, строим (см. рис. 6) прямую <img width=«67» height=«25» src=«ref-2_502811496-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i2105">, определяемую выражением (1).
<img width=«682» height=«368» src=«ref-2_502811909-4503.coolpic» v:shapes="_x0000_i2106">
Далее, поскольку <img width=«102» height=«28» src=«ref-2_502816412-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i2107">, в соответствии с соотношением <img width=«186» height=«28» src=«ref-2_502816863-660.coolpic» v:shapes="_x0000_i2108"> строим результирующую ВАХ <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502798328-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i2109"> цепи.
Точка <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502665185-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i2110"> пересечения кривой <img width=«58» height=«25» src=«ref-2_502818220-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i2111"> с прямой <img width=«60» height=«25» src=«ref-2_502818626-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i2112"> соответствует феррорезонансу токов. Необходимо отметить, что в реальном случае действительная ВАХ цепи в отличие от теоретической не касается оси ординат, что объясняется наличием высших гармоник тока и неидеальностью катушки индуктивности.
Из построенной ВАХ <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_502798328-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i2113"> видно, что при увеличении тока источника имеет место скачок напряжения. Явление скачкообразного изменения напряжения при изменении входного тока называется триггерным эффектом в параллельной феррорезонансной цепи.
На рис. 7 для двух (до и после резонанса) значений напряжения ( <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502592560-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i2114">и <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502819758-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i2115">) построены векторные диаграммы; при этом соответствующие выбранным напряжениям действующие значения токов <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_502820099-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i2116"> и <img width=«22» height=«25» src=«ref-2_502820429-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i2117">взяты из графиков на рис. 6.
<img width=«596» height=«366» src=«ref-2_502820763-2128.coolpic» v:shapes="_x0000_i2118">
Анализ векторных диаграмм показывает, что в режиме до скачка напряжения ток источника опережает по фазе входное напряжение (рис. 7, а), а после скачка (рис. 7, б) -отстает, т.е. в первом случае нагрузка носит емкостной характер, а во втором-индуктивный. Таким образом, скачок напряжения связан с эффектом опрокидывания фазы.
Аналитические методы расчета
Аналитические методы, в отличие от рассмотренных выше графических, позволяют проводить анализ нелинейной цепи в общем виде, а не для частных значений параметров элементов схемы. В этом заключается их главное преимущество. Однако аппроксимация нелинейной характеристики, лежащая в основе данных методов, изначально обусловливает внесение в расчеты большей или меньшей погрешности. Как и при графическом анализе цепей, при применении аналитических методов используются характеристики нелинейных элементов для мгновенных значений, по первым гармоникам и для действующих значений. При этом для расчета цепей переменного тока наиболее широкое распространение получили следующие аналитические методы:
-метод аналитической аппроксимации;
-метод кусочно-линейной аппроксимации;
-метод гармонического баланса;
-метод эквивалентных синусоид (метод расчета по действующим значениям).
В первых трех случаях обычно используются характеристики нелинейных элементов для мгновенных значений. Характеристики нелинейных элементов по первым гармоникам используются при применении частного варианта метода гармонического баланса — метода расчета по первым гармоникам. В свою очередь, метод эквивалентных синусоид основан на применении характеристик нелинейных элементов для действующих значений.
Метод аналитической аппроксимации
Данный метод основан на аппроксимации характеристик нелинейных элементов аналитическими выражениями с последующим аналитическим решением системы нелинейных уравнений состояния цепи. Точность, а с другой стороны, сложность расчета методом аналитической аппроксимации непосредственно зависят от вида принятой аналитической функции, аппроксимирующей характеристику нелинейного элемента. Поэтому ее выбор является важнейшим этапом при анализе цепи данным методом. Как уже отмечалось, для получения большей точности расчета необходимо выбирать аппроксимирующую функцию, наиболее полно соответствующую исходной нелинейной характеристике, что, однако, может привести в общем случае к появлению в уравнениях состояния сложных математических выражений, часто трудно разрешимых (или вообще неразрешимых) аналитически. С другой стороны, принятие чрезмерно простой функции для аппроксимации позволяет достаточно быстро получить результат, однако погрешность расчета может оказаться недопустимо высокой. Таким образом, выбор аппроксимирующей функции во многом зависит от поставленной задачи расчета и требуемой точности его результатов.
Пусть, например, в цепи состоящей из последовательно соединенных источника тока с <img width=«112» height=«24» src=«ref-2_502822891-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i2119"> и нелинейной катушки индуктивности, заданная графически вебер-амперная характеристика которой может быть аппроксимирована выражением
<img width=«95» height=«30» src=«ref-2_502823390-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i2120">,
(3)
требуется найти напряжение на индуктивном элементе.
На первом этапе определяем коэффициенты <img width=«19» height=«16» src=«ref-2_502717655-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i2121"> и <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502717980-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i2122"> аппроксимирующей функции с учетом того, что рабочий участок заданной графически кривой <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502759167-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2123"> ограничен сверху амплитудой А тока в цепи, что сразу дает одну из двух точек аппроксимации.
После этого подставляем в (3) выражение <img width=«37» height=«24» src=«ref-2_502824874-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i2124">, в результате чего получаем
<img width=«214» height=«30» src=«ref-2_502825239-675.coolpic» v:shapes="_x0000_i2125">
или, с учетом соотношения
<img width=«208» height=«48» src=«ref-2_502825914-717.coolpic» v:shapes="_x0000_i2126">
<img width=«300» height=«53» src=«ref-2_502826631-985.coolpic» v:shapes="_x0000_i2127">.
Тогда искомое напряжение на катушке индуктивности
<img width=«390» height=«52» src=«ref-2_502827616-1171.coolpic» v:shapes="_x0000_i2128">.
Литература
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Контрольные вопросы и задачи
В чем состоит сущность графического метода расчета с использованием характеристик по первым гармоникам? На чем основан метод эквивалентных синусоид? В каком случае и как метод эквивалентных синусоид можно применять для анализа цепей с инерционными нелинейными элементами? Какие цепи относятся к феррорезонансным? Что называется феррорезонансом напряжений? С помощью чего можно обеспечить данный режим? Что называется феррорезонансом токов? С помощью чего можно обеспечить данный режим? В чем заключается эффект опрокидывания фазы? Как можно экспериментально снять участки 4-6 и 2-5 на рис. 2 и участок 1-3 на рис. 6? Для заданной на рис. 2 кривой <img width=«49» height=«25» src=«ref-2_502828787-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i2129"> построить зависимость <img width=«51» height=«25» src=«ref-2_502829179-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i2130">, обеспечивающую скачок тока с увеличением напряжения при заданной величине <img width=«19» height=«20» src=«ref-2_502498263-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i2131"> последнего. При решении принять <img width=«44» height=«20» src=«ref-2_502829899-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i2132">. Для заданной на рис. 6 кривой <img width=«49» height=«25» src=«ref-2_502828787-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i2133"> построить зависимость <img width=«51» height=«25» src=«ref-2_502829179-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i2134">, обеспечивающую триггерный эффект при заданной величине <img width=«13» height=«19» src=«ref-2_502655639-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i2135"> тока.
Лекция N 36
продолжение
--PAGE_BREAK--Метод кусочно-линейной аппроксимации
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i2136">
В соответствии с определением данного метода, расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:
1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.
2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.
3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.
<img width=«487» height=«410» src=«ref-2_502831460-3154.coolpic» v:shapes="_x0000_i2137">4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).
Пусть вольт-амперная харак-теристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму, представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4-3-0-1-2-5, получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответ-ствующие им линейные соотношения.
Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа
линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме, содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент, после чего производится ее расчет. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая (изображающая) точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике, переходя через точки излома. Переход через такие точки соответствует мгновенному изменению схемы замещения. Поэтому задача определения искомой переменной сводится не только к расчету схем замещения, но и к определению моментов “переключения” между ними, т.е. нахождению граничных условий по времени. Анализ существенно усложняется, если в цепи имеется несколько нелинейных элементов. Главная трудность в этом случае связана с тем, что заранее не известно сочетание линейных участков, соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны, и, следовательно, могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков, то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка, то следует перейти
Таблица 1. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ нелинейного резистора
Участок аппроксимирующей
кривой
Схема замещения
Параметры
элементов
Граничные
условия
<img width=«144» height=«583» src=«ref-2_502834614-2486.coolpic» v:shapes="_x0000_i2138">
<img width=«97» height=«578» src=«ref-2_502837100-1062.coolpic» v:shapes="_x0000_i2139">
<img width=«102» height=«580» src=«ref-2_502838162-1075.coolpic» v:shapes="_x0000_i2140">
к другому сочетанию. Необходимо отметить, что всегда имеется единственное сочетание линейных участков характеристик нелинейных элементов, соответствующее изменению входного сигнала в некоторых пределах.
<img width=«261» height=«212» src=«ref-2_502839237-6437.coolpic» v:shapes="_x0000_s1070"><img width=«267» height=«347» src=«ref-2_502845674-1484.coolpic» v:shapes="_x0000_i2141">
В качестве примера определим напряжение <img width=«40» height=«25» src=«ref-2_502847158-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i2142"> в цепи на рис. 2, в которой <img width=«132» height=«25» src=«ref-2_502847541-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i2143"> <img width=«264» height=«25» src=«ref-2_502848078-702.coolpic» v:shapes="_x0000_i2144">. ВАХ нелинейного резистора приведена на рис. 3, где <img width=«169» height=«25» src=«ref-2_502848780-574.coolpic» v:shapes="_x0000_i2145">.
Решение
1. В соответствии с заданной ВАХ нелинейный резистор на участке 1-2 заменяем линейным резистором с сопротивлением
<img width=«208» height=«52» src=«ref-2_502849354-756.coolpic» v:shapes="_x0000_i2146">,
на участке 2-3-источником тока с током <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_502850110-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i2147"> и на участке 4-1-источником тока с током <img width=«145» height=«25» src=«ref-2_502850597-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i2148">.
2. На основании данной эквивалентной замены для тока на участке 1-2 ВАХ можно записать:
<img width=«205» height=«52» src=«ref-2_502851092-794.coolpic» v:shapes="_x0000_i2149">
(1)
откуда
<img width=«273» height=«81» src=«ref-2_502851886-1097.coolpic» v:shapes="_x0000_i2150">
При движении изображающей точки по участку 2-3 ВАХ имеем
<img width=«179» height=«25» src=«ref-2_502852983-571.coolpic» v:shapes="_x0000_i2151">,
при движении по участку 1-4 ВАХ-
<img width=«201» height=«25» src=«ref-2_502853554-579.coolpic» v:shapes="_x0000_i2152">.
3. Определяем интервалы движения изображающей точки по отдельным участкам ВАХ. Для точки излома 1 на основании (1) справедливо уравнение
<img width=«177» height=«52» src=«ref-2_502854133-698.coolpic» v:shapes="_x0000_i2153">
или
<img width=«263» height=«53» src=«ref-2_502854831-833.coolpic» v:shapes="_x0000_i2154">.
Отсюда получаем два значения мгновенной фазы питающего напряжения на одном периоде, соответствующих точке 1: <img width=«196» height=«29» src=«ref-2_502855664-620.coolpic» v:shapes="_x0000_i2155">. Первое значение определяет переход изображающей точки с участка 4-1 на участок 1-2, второе – с участка 2-1 на участок 1-4.
Аналогично записываем для точки 2 излома ВАХ
<img width=«165» height=«52» src=«ref-2_502856284-688.coolpic» v:shapes="_x0000_i2156">
или
<img width=«256» height=«53» src=«ref-2_502856972-836.coolpic» v:shapes="_x0000_i2157">
откуда <img width=«85» height=«29» src=«ref-2_502857808-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i2158"> (значение, соответствующее переходу с участка 1-2 на участок 2-3) и <img width=«95» height=«29» src=«ref-2_502858254-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i2159"> (значение, соответствующее переходу с участка 3-2 на участок 2-1).
Таким образом, получаем для одного периода питающего напряжения
<img width=«408» height=«29» src=«ref-2_502858721-914.coolpic» v:shapes="_x0000_i2160">;
<img width=«428» height=«29» src=«ref-2_502859635-878.coolpic» v:shapes="_x0000_i2161">;
<img width=«417» height=«29» src=«ref-2_502860513-984.coolpic» v:shapes="_x0000_i2162">;
<img width=«416» height=«29» src=«ref-2_502861497-876.coolpic» v:shapes="_x0000_i2163">;
<img width=«401» height=«29» src=«ref-2_502862373-959.coolpic» v:shapes="_x0000_i2164"><img width=«655» height=«292» src=«ref-2_502863332-2904.coolpic» v:shapes="_x0000_i2165">
.
В соответствии с периодичностью синусоидальной функции данные решения повторяются через 360°n.
На рис. 4 представлен график зависимости искомой величины.
Метод гармонического баланса
Применение аналитического выражения для аппроксимации характеристики нелинейного элемента позволяет наименее трудоемко провести расчет, когда закон изменения во времени одной из переменных, определяющих работу нелинейного элемента (ток или напряжение для резистора, потокосцепление или ток для катушки индуктивности, заряд или напряжение для конденсатора), задан или вытекает из предварительного анализа физических условий протекания процесса, что имело место при решении предыдущих задач данного раздела. Если такая определенность отсутствует, то задачу в общем случае можно решить только приближенно. Одним из таких методов, наиболее широко применимым на практике, является метод гармонического баланса.
Метод основан на разложении периодических функций в ряд Фурье. В общем случае искомые переменные в нелинейной электрической цепи несинусоидальны и содержат бесконечный спектр гармоник. Ожидаемое решение можно представить в виде суммы основной и нескольких высших гармоник, у которых неизвестными являются амплитуды и начальные фазы. Подставляя эту сумму в нелинейное дифференциальное уравнение, записанное для искомой величины, и приравнивая в полученном выражении коэффициенты перед гармониками (синусоидальными и косинусоидальными функциями) одинаковых частот в его левой и правой частях, приходим к системе из 2n алгебраических уравнений, где n-количество учтенных гармоник. Необходимо отметить, что точное решение требует учета бесконечного числа гармоник, что невозможно осуществить практически. В результате ограничения числа рассматриваемых гармоник точный баланс нарушается, и решение становится приближенным.
Методика расчета нелинейной цепи данным способом включает в себя в общем случае следующие основные этапы:
1. Записываются уравнения состояния цепи для мгновенных значений.
2. Выбирается выражение аналитической аппроксимации заданной нелинейности.
3. На основе предварительного анализа цепи и нелинейной характеристики задается выражение искомой величины в виде конечного ряда гармоник с неизвестными на этом этапе амплитудами <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502866236-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i2166"> и начальными фазами <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502866568-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2167">.
4. Осуществляется подстановка функций, определенных в пунктах 2 и 3, в уравнения состояния с последующей реализацией необходимых тригонометрических преобразований для выделения синусных и косинусных составляющих гармоник.
5. Производится группировка членов в полученных уравнениях по отдельным гармоникам, и на основании приравнивания коэффициентов при однопорядковых гармониках в их левых и правых частях (в отдельности для синусных и косинусных составляющих) записывается система нелинейных алгебраических (или трансцендентных) уравнений относительно искомых амплитуд <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502866236-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i2168"> и начальных фаз <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502866568-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2169"> функции разложения определяемой величины.
6. Осуществляется решение (в общем случае численными методами на ЭВМ) полученной системы уравнений относительно <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502866236-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i2170"> и <img width=«20» height=«25» src=«ref-2_502866568-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2171">.
Частным случаем метода гармонического баланса являетсяметод расчета по первым гармоникам несинусоидальных величин (метод гармонической линеаризации), когда высшими гармониками искомых переменных, а также входных воздействий пренебрегают. При анализе используется характеристика нелинейного элемента по первым гармоникам, для получения которой в аналитическое выражение нелинейной характеристики для мгновенных значений подставляется первая гармоника одной из двух переменных, определяющих эту характеристику, и находится нелинейная связь между амплитудами первых гармоник этих переменных. Этапы расчета соответствуют изложенным для метода гармонического баланса. При этом, в силу того, что конечная система нелинейных уравнений имеет второй порядок, в ряде случаев появляется возможность их аналитического решения. Кроме того, поскольку рассматриваются только первые гармоники несинусоидальных величин, при расчете можно использовать символический метод.
Пусть, например, в цепи, питаемой от источника синусоидального напряжения <img width=«120» height=«25» src=«ref-2_502868243-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i2172"> и состоящей из последовательно соединенных линейного резистора <img width=«17» height=«19» src=«ref-2_502107888-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i2173"> и нелинейной катушки, вебер-амперная характеристика которой задана аппроксимацией вида <img width=«107» height=«29» src=«ref-2_502869080-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i2174">, необходимо определить первую гармонику тока, задаваемую выражением <img width=«163» height=«25» src=«ref-2_502869575-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i2175">, где <img width=«29» height=«25» src=«ref-2_502870175-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i2176"> и <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_502870522-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2177"> - неизвестные (искомые величины).
Для решения определяем аналитическое выражение характеристики <img width=«34» height=«25» src=«ref-2_502870861-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i2178"> для первых гармоник:
<img width=«419» height=«84» src=«ref-2_502871236-1830.coolpic» v:shapes="_x0000_i2179">
откуда
<img width=«189» height=«48» src=«ref-2_502873066-714.coolpic» v:shapes="_x0000_i2180">.
(2)
После подстановки выражения тока и соотношения (2) в уравнение состояния цепи
<img width=«95» height=«48» src=«ref-2_502873780-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i2181">
получаем
<img width=«477» height=«52» src=«ref-2_502874309-1305.coolpic» v:shapes="_x0000_i2182">
или
<img width=«491» height=«81» src=«ref-2_502875614-1747.coolpic» v:shapes="_x0000_i2183">
На основании последнего получаем систему уравнений
<img width=«336» height=«106» src=«ref-2_502877361-1670.coolpic» v:shapes="_x0000_i2184">
из которых находим искомые параметры <img width=«29» height=«25» src=«ref-2_502870175-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i2185">и <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_502870522-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2186">.
Литература
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.
Контрольные вопросы и задачи
В чем заключается сущность метода кусочно-линейной аппроксимации? На чем основан метод гармонического баланса? Сформулируйте основные этапы расчета нелинейной цепи методом гармонического баланса. В чем состоит сущность метода расчета по первым гармоническим? Как определяется характеристика нелинейного элемента для первых гармоник? Резистивная нагрузка подключена к источнику синусоидального напряжения через последовательно включенный с ней диод. Считая ВАХ диода идеальной, определить коэффициент мощности. Обоснуйте физически полученный результат.
Ответ: <img width=«89» height=«29» src=«ref-2_502879717-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i2187">.
Последовательно соединенные линейный конденсатор с <img width=«111» height=«24» src=«ref-2_502880172-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i2188"> и нелинейная катушка, вебер-амперная характеристика которой аппроксимирована выражением <img width=«61» height=«29» src=«ref-2_502880651-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i2189">, где <img width=«107» height=«29» src=«ref-2_502881050-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i2190">, питаются от источника синусоидального напряжения <img width=«139» height=«24» src=«ref-2_502881537-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i2191">. Ограничившись рассмотрением первой и третьей гармонических, определить потокосцепление.
Ответ: <img width=«428» height=«25» src=«ref-2_502882072-1023.coolpic» v:shapes="_x0000_i2192">.
Лекция N 37
продолжение
--PAGE_BREAK--Метод эквивалентных синусоид (метод расчета по действующим значениям)
Сущность метода эквивалентных синусоид была изложена в лекции №35 при рассмотрении его графической реализации. При аналитическом варианте применения метода отсутствует основной этап графических построений, в частности векторных диаграмм, который заменяется соответствующими вычислениями с использованием аналитических соотношений для комплексов эквивалентных синусоидальных величин.
Графический вариант применения метода эквивалентных синусоид характеризуется, в первую очередь для относительно простых схем, большей наглядностью. В то же время при аналитическом подходе повышается точность расчетов за счет устранения погрешностей, связанных с графическими построениями.
<img width=«409» height=«300» src=«ref-2_502883095-3281.coolpic» v:shapes="_x0000_s1071"> Переход к эквивалентным синусоидам в сочетании с символическим методом позволяет составлять эквивалентные схемы замещения с эквивалентными параметрами <img width=«48» height=«25» src=«ref-2_502886376-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i2193"> и <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502886751-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i2194">. Трудности анализа и расчета заключаются в том, что значения этих параметров зависят от искомых напряжений, токов и потоков, т. е. заранее не известны.
Переход к эквивалентным синусоидам соответствует замене реальных петель гистерезиса <img width=«46» height=«24» src=«ref-2_502671517-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i2195"> <img width=«46» height=«25» src=«ref-2_502887479-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i2196"> или <img width=«44» height=«24» src=«ref-2_502887888-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i2197"> <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_502888279-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i2198"> эквивалентными эллипсами. На рис. 1 представлен эквивалентный эллипс, заменяющий реальную кривую <img width=«46» height=«24» src=«ref-2_502671517-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i2199">, которому соответствуют параметрические уравнения, определяемые синусоидальными функциями
<img width=«144» height=«55» src=«ref-2_502889084-741.coolpic» v:shapes="_x0000_i2200">
где <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502699960-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i2201"> -угол потерь, определяющий мощность потерь в единице объема ферромагнетика за один цикл перемагничивания
<img width=«147» height=«46» src=«ref-2_502890147-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i2202">.
При переменных токах потери в стали сердечника определяются не только гистерезисом, но и вихревыми токами, вызываемыми переменным потоком. Таким образом, динамическая петля гистерезиса шире статической и отличается от последней по форме. Отметим, что для уменьшения потерь от вихревых токов сердечник набирают из изолированных тонких листов (при частоте <img width=«55» height=«24» src=«ref-2_502890758-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i2203"> Гц их толщина <img width=«112» height=«21» src=«ref-2_502891140-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i2204"> мм), выполненных из сталей со специальными присадками, снижающими проводимость.
При пренебрежении неравномерностью распределения магнитной индукции по сечению мощность потерь от вихревых токов определяется соотношением
<img width=«129» height=«29» src=«ref-2_502891600-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i2205">,
где <img width=«28» height=«25» src=«ref-2_502892136-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i2206"> - эмпирический коэффициент, определяемый сортом стали и размером листов; G – масса сердечника.
В свою очередь мощность потерь от гистерезиса
<img width=«117» height=«29» src=«ref-2_502892486-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i2207">,
где n=1,8…2,2 (часто в первом приближении принимается n=2); <img width=«29» height=«25» src=«ref-2_502892994-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i2208"> - эмпирический коэффициент, зависящий от сорта стали.
Полные потери в стали <img width=«32» height=«25» src=«ref-2_502893339-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i2209">, помимо указанных, определяются также дополнительными <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_502893693-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i2210">, связанными с магнитной вязкостью материала, т.е.
<img width=«156» height=«25» src=«ref-2_502894031-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i2211">.
Для определения параметров эквивалентной синусоиды тока: его действующего значения и угла потерь (фазового сдвига относительно магнитного потока) — удобно пользоваться соотношением для мощности потерь в стали
<img width=«159» height=«25» src=«ref-2_502894551-558.coolpic» v:shapes="_x0000_i2212">
и намагничивающей мощности
<img width=«152» height=«25» src=«ref-2_502895109-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i2213">
где <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_502895665-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i2214">– напряжение, приложенное к нелинейной катушке индуктивности с числом витков <img width=«17» height=«16» src=«ref-2_502663938-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2215"> и площадью сечения сердечника <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502662097-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i2216">; <img width=«46» height=«25» src=«ref-2_502896823-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i2217"> -соответственно удельные (на единицу массы сердечника) потери в стали и намагничивающая мощность. Значения <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_502897215-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i2218"> и <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502897553-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i2219"> берутся из экспериментальных характеристик <img width=«57» height=«25» src=«ref-2_502897901-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i2220"> и <img width=«60» height=«25» src=«ref-2_502898322-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i2221">, выражающих зависимости этих величин от амплитуды индукции (см. в качестве примера кривые на рис. 2) в режиме синусоидальной индукции.
Переход к эквивалентным синусоидам и соответственно к эквивалентному эллипсу, заменяющему реальную кривую зависимости <img width=«46» height=«24» src=«ref-2_502671517-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i2222">, позволяет ввести в рассмотрение относительную комплексную магнитную проницаемость
<img width=«424» height=«282» src=«ref-2_502899148-2183.coolpic» v:shapes="_x0000_s1072"><img width=«171» height=«53» src=«ref-2_502901331-637.coolpic» v:shapes="_x0000_i2223"><img width=«211» height=«60» src=«ref-2_502901968-909.coolpic» v:shapes="_x0000_i2224">
где <img width=«52» height=«20» src=«ref-2_502902877-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2225"> - объем стали сердечника длиной <img width=«11» height=«20» src=«ref-2_502683939-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i2226"> и сечением <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502662097-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i2227">,
и комплексное магнитное сопротивление
<img width=«438» height=«55» src=«ref-2_502903883-1244.coolpic» v:shapes="_x0000_i2228">
являющееся аналогом магнитному сопротивлению <img width=«114» height=«25» src=«ref-2_502905127-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i2229"> в нелинейных цепях при постоянных магнитных потоках.
Катушка с ферромагнитным сердечником
<img width=«267» height=«253» src=«ref-2_502905651-2296.coolpic» v:shapes="_x0000_s1073">Нелинейная катушка индуктивности изображена на рис. 3. Здесь R-активное сопротивление обмотки с числом витков w; Ф-основной поток, замыкающийся по сердечнику; <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502907947-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i2230">-поток рассеяния, которому соответствует индуктивность рассеяния <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502908295-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i2231"> и индуктивное сопротивление рассеяния <img width=«77» height=«25» src=«ref-2_502908633-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i2232">.
Различают параллельную и последовательную схемы замещения катушки с ферромагнитным сердечником. Эти схемы, а также соответствующие им соотношения и векторные диаграммы приведены в табл. 1.
Таблица 1. Схемы замещения, уравнения и векторные диаграммы для катушки c ферромагнитным сердечником
Схема замещения
Уравнения и соотношения для параметров
Векторная диаграмма
Параллельная
<img width=«234» height=«198» src=«ref-2_502909055-1752.coolpic» v:shapes="_x0000_i2233">
Последовательная
<img width=«191» height=«198» src=«ref-2_502910807-1491.coolpic» v:shapes="_x0000_i2234">
<img width=«155» height=«31» src=«ref-2_502912298-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i2235">
где <img width=«104» height=«31» src=«ref-2_502912866-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i2236">
<img width=«144» height=«233» src=«ref-2_502913357-1626.coolpic» v:shapes="_x0000_i2237">
<img width=«154» height=«31» src=«ref-2_502914983-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i2238">
где <img width=«104» height=«31» src=«ref-2_502912866-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i2239">
<img width=«153» height=«177» src=«ref-2_502916042-1241.coolpic» v:shapes="_x0000_i2240">
<img width=«246» height=«220» src=«ref-2_502917283-2376.coolpic» v:shapes="_x0000_i2241">
Примечание. 1. Если сердечник содержит воздушный зазор величиной <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502699960-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i2242">, в схему замещения параллельно ветви, содержащей нелинейную катушку с проводимостью <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502919981-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2243">, включается дополнительная линейная катушка индуктивности с сопротивлением
<img width=«137» height=«38» src=«ref-2_502920320-580.coolpic» v:shapes="_x0000_i2244">
2. При пренебрежении активным сопротивлением обмотки и потоком рассеяния связь между эквивалентным электрическим сопротивлением <img width=«27» height=«37» src=«ref-2_502920900-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i2245"> катушки и комплексным магнитным сопротивлением <img width=«32» height=«27» src=«ref-2_502921250-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i2246"> сердечника определяется соотношением
<img width=«353» height=«61» src=«ref-2_502921609-1092.coolpic» v:shapes="_x0000_i2247">
или
<img width=«350» height=«61» src=«ref-2_502922701-1025.coolpic» v:shapes="_x0000_i2248">.
Трансформатор с ферромагнитным сердечником
<img width=«362» height=«250» src=«ref-2_502923726-3257.coolpic» v:shapes="_x0000_s1074">Трансформатор с ферромагнитным сердечником изображен на рис. 4. Здесь <img width=«22» height=«25» src=«ref-2_502926983-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2249"> и <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502927320-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i2250"> - активные сопротивления первичной и вторичной обмоток с числами витков <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502927660-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2251"> и <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_502927997-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i2252"> соответственно. <img width=«20» height=«18» src=«ref-2_502928335-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i2253">- основной поток, замыкающийся по сердечнику. <img width=«32» height=«25» src=«ref-2_502928665-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i2254"> и <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502929026-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i2255">- потоки рассеяния первичной и вторичной обмоток, которым соответствуют индуктивности рассеяния <img width=«30» height=«25» src=«ref-2_502929392-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i2256"> и <img width=«31» height=«25» src=«ref-2_502929742-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i2257"> и индуктивные сопротивления рассеяния <img width=«90» height=«25» src=«ref-2_502930093-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i2258"> и <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502930536-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i2259">.
Основные соотношения, схема замещения и векторная диаграмма для трансформатора с ферромагнитным сердечником приведены в табл. 2.
Таблица 2. Трансформатор с ферромагнитным сердечником
Вид информации
Уравнения, соотношения, векторная диаграмма
Примечание
Уравнения для первичной и вторичной цепей
Коэффициент трансформации
Параметры вторичной цепи, приведенные к первичной:
напряжение на нагрузке
ток
ЭДС
сопротивление вторичной обмотки
сопротивление нагрузки
Уравнения приведенного трансформатора
<img width=«195» height=«60» src=«ref-2_502930984-930.coolpic» v:shapes="_x0000_i2260">
где
<img width=«179» height=«121» src=«ref-2_502931914-1231.coolpic» v:shapes="_x0000_i2261">
<img width=«56» height=«52» src=«ref-2_502933145-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i2262">
<img width=«74» height=«28» src=«ref-2_502933588-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i2263">
<img width=«71» height=«48» src=«ref-2_502934023-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i2264">
<img width=«71» height=«28» src=«ref-2_502934480-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i2265">
<img width=«202» height=«63» src=«ref-2_502934911-850.coolpic» v:shapes="_x0000_i2266">
<img width=«239» height=«30» src=«ref-2_502935761-699.coolpic» v:shapes="_x0000_i2267">
<img width=«213» height=«65» src=«ref-2_502936460-991.coolpic» v:shapes="_x0000_i2268">
где
<img width=«203» height=«84» src=«ref-2_502937451-1035.coolpic» v:shapes="_x0000_i2269">
У правильно сконструирован-ных трансформато-ров при нагрузке, близкой к номинальной,
<img width=«96» height=«55» src=«ref-2_502938486-598.coolpic» v:shapes="_x0000_i2270">
Схема замещения
<img width=«333» height=«200» src=«ref-2_502939084-2763.coolpic» v:shapes="_x0000_i2271">
<img width=«76» height=«63» src=«ref-2_502941847-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i2272">
Выражения для <img width=«22» height=«25» src=«ref-2_502942382-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i2273"> и <img width=«19» height=«25» src=«ref-2_502942718-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i2274"> те же, что и для катушки с ферромагнитным сердечником (см. табл. 1)
Векторная диаграмма
<img width=«313» height=«362» src=«ref-2_502943049-2581.coolpic» v:shapes="_x0000_i2275">
Диаграмма строится, начиная со вторичного контура, для произвольного расположения <img width=«20» height=«28» src=«ref-2_502945630-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2276">.
<img width=«140» height=«53» src=«ref-2_502945967-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i2277">
— угол нагрузки
Литература
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Контрольные вопросы и задачи
Из каких составляющих складываются общие потери в стали сердечника? Как на практике подсчитываются потери в стали и намагничивающая мощность? Объясните понятия комплексной магнитной проницаемости и комплексного магнитного сопротивления. Нарисуйте последовательную и параллельную схемы замещения катушки с ферромагнитным сердечником и соответствующие им векторные диаграммы. Как определяются параметры <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502946574-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i2278"> и <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_502919981-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2279"> сердечника? Как в схеме замещения нелинейной катушки учитывается воздушный зазор в сердечнике? Нарисуйте схему замещения и векторную диаграмму для трансформатора с ферромагнитным сердечником. Катушка со стальным сердечником, имеющим <img width=«73» height=«24» src=«ref-2_502947254-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i2280">, сечение <img width=«85» height=«29» src=«ref-2_502691053-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i2281">, длину <img width=«72» height=«24» src=«ref-2_502948124-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i2282"> и воздушный зазор <img width=«85» height=«24» src=«ref-2_502948544-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i2283">, включена на переменное напряжение <img width=«165» height=«24» src=«ref-2_502948980-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i2284">; число витков обмотки <img width=«72» height=«20» src=«ref-2_502949528-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i2285">. Пренебрегая рассеянием и потерями в стали сердечника и считая активное сопротивление обмотки равным 100 Ом, определить потребляемый ток и активную мощность.
Ответ: <img width=«229» height=«31» src=«ref-2_502949942-655.coolpic» v:shapes="_x0000_i2286">.
При напряжении с действующим значением <img width=«83» height=«24» src=«ref-2_502950597-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i2287"> и частотой <img width=«81» height=«24» src=«ref-2_502787493-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i2288"> на зажимах дросселя ток в его обмотке <img width=«57» height=«24» src=«ref-2_502951460-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2289">, а потребляемая мощность <img width=«93» height=«24» src=«ref-2_502951837-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i2290">. Число витков обмотки дросселя <img width=«63» height=«20» src=«ref-2_502952291-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i2291">, а ее активное сопротивление <img width=«75» height=«24» src=«ref-2_502952693-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i2292">. Измерения показали, что максимальное значение рабочего потока в сердечнике <img width=«148» height=«29» src=«ref-2_502953117-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i2293">. Определить параметры элементов параллельной схемы замещения дросселя.
Ответ: <img width=«355» height=«25» src=«ref-2_502953656-793.coolpic» v:shapes="_x0000_i2294">.
Лекция N 38
продолжение
--PAGE_BREAK--Переходные процессы в нелинейных цепях
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i2295">
Особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепях
Переходные процессы в нелинейных электрических цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, общих методов интегрирования которых не существует. На нелинейные цепи не распространяется принцип суперпозиции, поэтому основанные на нем методы, в частности классический или с использованием интеграла Дюамеля, для расчета данных цепей не применимы.
Анализ переходных режимов в электрических цепях требует использования динамических характеристик нелинейных элементов, которые, в свою очередь, зависят от происходящих в них динамических процессов и, следовательно, в общем случае наперед неизвестны. Указанное изначально обусловливает в той или иной степени приближенный характер расчета переходных процессов.
Переходный процесс в нелинейной цепи может характеризоваться переменной скоростью его протекания в различные интервалы времени. Поэтому понятие постоянной времени в общем случае не применимо для оценки интенсивности протекания динамического режима.
Отсутствие общности подхода к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений обусловило наличие в математике большого числа разнообразных методов их решения, нацеленных на различные типы уравнений. Применительно к задачам электротехники все методы расчета по своей сущности могут быть разделены на три группы:
– аналитические методы, предполагающие либо аналитическое выражение характеристик нелинейных элементов, либо их кусочно-линейную аппроксимацию;
– графические методы, основными операциями в которых являются графические построения, часто сопровождаемые вспомогательными вычислительными этапами;
– численные методы, основанные на замене дифференциальных уравнений алгебраическими для приращений переменных за соответствующие интервалы времени.
Аналитические методы расчета
Аналитическими называются методы решения, базирующиеся на аналитическом интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих состояние нелинейной цепи с использованием аналитических выражений характеристик нелинейных элементов.
Основными аналитическими методами, используемыми при решении широкого круга задач электротехники, являются:
– метод условной линеаризации;
– метод аналитической аппроксимации;
– метод кусочно-линейной аппроксимации.
Метод условной линеаризации
Метод условной линеаризации применяется в случаях, когда в нелинейном уравнении одно из слагаемых в левой части мало по сравнению с другими, вследствие чего, без внесения существенной погрешности, его можно соответствующим образом линеаризовать. Благодаря этому все уравнение становится линейным для одной из переменных, определяющих характеристику <img width=«42» height=«24» src=«ref-2_502954553-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2296"> нелинейного элемента, например <img width=«37» height=«24» src=«ref-2_502747368-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i2297">. С использованием этой характеристики находится затем временная зависимость <img width=«38» height=«24» src=«ref-2_502955299-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i2298"> для второй определяющей ее переменной по алгоритму:
<img width=«152» height=«24» src=«ref-2_502955671-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i2299">.
Метод отличается простотой, однако получаемое с его использованием решение является достаточно приближенным, вследствие чего он в основном применяется для ориентировочных расчетов.
В качестве примера использования метода определим максимальное значение тока в цепи на рис. 1, если <img width=«100» height=«25» src=«ref-2_502956227-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i2300">, где <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502956692-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i2301">; <img width=«112» height=«24» src=«ref-2_502957137-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i2302">; <img width=«83» height=«24» src=«ref-2_502525074-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i2303">; <img width=«65» height=«25» src=«ref-2_502958063-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i2304">. Вебер–амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности приведена на рис. 2.
<img width=«463» height=«157» src=«ref-2_502958493-1640.coolpic» v:shapes="_x0000_i2305">
1. Запишем уравнение состояния цепи после коммутации
<img width=«155» height=«48» src=«ref-2_502960133-646.coolpic» v:shapes="_x0000_i2306">.
(1)
2. Используя метод условной линеаризации, определим второе слагаемое в левой части (1) как
<img width=«121» height=«52» src=«ref-2_502960779-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i2307">,
(2)
где <img width=«100» height=«25» src=«ref-2_502961356-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i2308"> ; <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502961811-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i2309"> и <img width=«22» height=«25» src=«ref-2_502962162-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i2310"> - амплитуды потокосцепления и тока в установившемся послекоммутационном режиме; <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_502962496-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i2311">.
3. Подставив (2) в (1), получим линейное дифференциальное уравнение
<img width=«162» height=«52» src=«ref-2_502962930-683.coolpic» v:shapes="_x0000_i2312">,
решением которого на основании классического метода расчета переходных процессов является
<img width=«217» height=«52» src=«ref-2_502963613-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i2313">.
4. Принужденная составляющая <img width=«31» height=«28» src=«ref-2_502964318-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i2314"> определяется соотношением
<img width=«151» height=«28» src=«ref-2_502964681-2513.coolpic» v:shapes="_x0000_i2315">,
где <img width=«397» height=«35» src=«ref-2_502967194-1000.coolpic» v:shapes="_x0000_i2316">.
Для определения <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502961811-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i2317"> и <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502968545-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i2318"> предположим (с последующей проверкой), что <img width=«78» height=«25» src=«ref-2_502968873-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i2319">. При этом условии <img width=«149» height=«25» src=«ref-2_502969297-527.coolpic» v:shapes="_x0000_i2320"> и <img width=«69» height=«24» src=«ref-2_502969824-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i2321">. По зависимости <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502768443-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2322"> для полученного значения <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502961811-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i2323">найдем <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_502970961-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i2324">.Тогда <img width=«162» height=«25» src=«ref-2_502971417-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i2325"> и <img width=«189» height=«25» src=«ref-2_502971958-574.coolpic» v:shapes="_x0000_i2326">, т.е. сделанное выше предположение корректно.
Следует отметить, что в общем случае значения <img width=«27» height=«25» src=«ref-2_502961811-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i2327"> и <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502968545-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i2328"> могут быть определены, например, итерационным методом.
Определив <img width=«148» height=«25» src=«ref-2_502973211-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i2329">, запишем
<img width=«212» height=«47» src=«ref-2_502973714-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i2330">.
Поскольку по условию <img width=«71» height=«24» src=«ref-2_502974419-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i2331">, то <img width=«198» height=«24» src=«ref-2_502974850-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i2332">.
Таким образом,
<img width=«199» height=«47» src=«ref-2_502975484-675.coolpic» v:shapes="_x0000_i2333">.
(3)
6. Не решая трансцендентное уравнение, будем считать, что максимальное значение потокосцепления имеет место примерно через полпериода своего изменения, т.е. при <img width=«184» height=«21» src=«ref-2_502976159-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i2334">. Подставив это время в (3), получим:
<img width=«377» height=«47» src=«ref-2_502976712-966.coolpic» v:shapes="_x0000_i2335">
По кривой <img width=«50» height=«24» src=«ref-2_502977678-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i2336">для <img width=«96» height=«25» src=«ref-2_502978067-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i2337"> найдем максимальное значение тока <img width=«101» height=«25» src=«ref-2_502978522-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i2338">, которое в <img width=«117» height=«25» src=«ref-2_502978979-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i2339">раз превышает амплитуду тока в установившемся послекоммутационном режиме. Напомним, что для линейной цепи <img width=«100» height=«25» src=«ref-2_502979441-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i2340">
Примечания: 1. Обычно при использовании метода условной линеаризации для расчета переходного процесса при подключении нелинейной катушки индуктивности к источнику синусоидального напряжения эквивалентная линейная индуктивность <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502979890-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2341"> определяется исходя из амплитудных значений тока и потокосцепления в установившемся послекоммутационном режиме, как это и было сделано в рассмотренном выше примере. Однако если необходимо оценить максимально возможное значение тока, то величину индуктивности следует определять по начальному участку вебер–амперной характеристики, где <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502979890-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2342"> максимальна.
2. Если сопротивление резистора в ветви с нелинейной катушкой достаточно велико, так что <img width=«104» height=«24» src=«ref-2_502980564-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i2343">, то следует пренебречь нелинейностью слагаемого <img width=«59» height=«24» src=«ref-2_502981050-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i2344">, положив <img width=«153» height=«25» src=«ref-2_502981468-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i2345">. В этом случае нелинейное уравнение (1) сводится к линейному вида
<img width=«173» height=«48» src=«ref-2_502982022-669.coolpic» v:shapes="_x0000_i2346">,
и соответственно кривая <img width=«41» height=«24» src=«ref-2_502769195-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i2347"> определяется по кривым <img width=«34» height=«24» src=«ref-2_502753802-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i2348"> и <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502768443-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2349">.
Метод аналитической аппроксимации
Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента аналитической функцией, которая должна, с одной стороны, достаточно точно отображать исходную нелинейную характеристику на участке перемещения рабочей точки, а с другой стороны, обеспечивать возможность достаточно несложного интегрирования полученного дифференциального уравнения (в частности, с использованием табличных интегралов).
Метод применим к нелинейным цепям с одним накопителем энергии, описываемым дифференциальными уравнениями первого порядка, а также к цепям, описываемым уравнениями, сводящимися к уравнениям первого порядка путем замены переменных.
<img width=«295» height=«209» src=«ref-2_502983812-1447.coolpic» v:shapes="_x0000_s1075">Ценность метода заключается в получении выражения исследуемой величины в общем виде, что позволяет осуществлять требуемый анализ процессов при варьировании параметров схемы.
В качестве примера использования метода определим ток в схеме на рис. 3, полагая, что характеристика <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502768443-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2350"> нелинейной катушки имеет вид типовой кривой на рис. 2.
1. Для решения задачи выберем выражение аналитической аппроксимации вида <img width=«61» height=«29» src=«ref-2_502985637-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i2351">. Определяя параметр <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502665185-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i2352"> из условия соответствия данной функции точке установившегося послекоммутационного режима, получим
<img width=«142» height=«54» src=«ref-2_502986353-692.coolpic» v:shapes="_x0000_i2353">,
(4)
где <img width=«119» height=«25» src=«ref-2_502987045-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i2354">.
2. Подставив в уравнение переходного процесса
<img width=«105» height=«48» src=«ref-2_502987573-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i2355">
аналитическое выражение тока с учетом (4), получим
<img width=«144» height=«59» src=«ref-2_502988116-687.coolpic» v:shapes="_x0000_i2356">
(5)
Разделяя переменные и решая (5) относительно времени, запишем
<img width=«339» height=«88» src=«ref-2_502988803-1342.coolpic» v:shapes="_x0000_i2357">
(6)
где <img width=«44» height=«24» src=«ref-2_502990145-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i2358"> – начальное значение потокосцепления, соответствующее значению тока в момент коммутации <img width=«152» height=«25» src=«ref-2_502990535-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i2359">.
Выражение (6) соответствует табличному интегралу; в результате получаем
<img width=«256» height=«57» src=«ref-2_502991089-1030.coolpic» v:shapes="_x0000_i2360">.
(7)
Подставив в последнее соотношение выражение потокосцепления в виде
<img width=«192» height=«60» src=«ref-2_502992119-800.coolpic» v:shapes="_x0000_i2361">,
перепишем (7) как
<img width=«15» height=«28» src=«ref-2_502992919-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i2362"><img width=«296» height=«68» src=«ref-2_502993171-1140.coolpic» v:shapes="_x0000_i2363">.
Метод кусочно–линейной аппроксимации
Данный метод основан на замене характеристики нелинейного элемента отрезками прямых, на основании чего осуществляется переход от нелинейного дифференциального уравнения к нескольким (по числу прямолинейных отрезков) линейным, которые отличаются друг от друга только значениями входящих в них коэффициентов. Необходимо помнить, что каждое из линейных уравнений справедливо для того временного интервала, в течение которого рабочая точка перемещается по соответствующему линеаризованному участку. Временные границы для каждого участка определяются исходя из достижения одной (любой) из переменных, определяющих характеристику нелинейного элемента, своих граничных значений для рассматриваемого прямолинейного участка. В соответствии с законами коммутации значения тока в ветви с катушкой индуктивности или напряжения на конденсаторе в эти моменты времени являются начальными значениями соответствующих переменных для соседних прямолинейных участков, на основании чего определяются постоянные интегрирования. Значение параметра линеаризуемого нелинейного элемента для каждого участка ломаной определяется тангенсом угла, образованного рассматриваемым прямолинейным отрезком с соответствующей осью системы координат.
В качестве примера рассмотрим применение данного метода для решения предыдущей задачи.
1. Заменим рабочий участок зависимости <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_502768443-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2364"> (см. рис. 2) двумя прямолинейными отрезками <img width=«24» height=«20» src=«ref-2_502994689-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i2365"> и <img width=«22» height=«20» src=«ref-2_502995029-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i2366">. Первому из них соответствует уравнение <img width=«100» height=«25» src=«ref-2_502995362-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i2367">, второму – <img width=«102» height=«25» src=«ref-2_502995822-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i2368">. При этом начальная точка <img width=«15» height=«16» src=«ref-2_502665185-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i2369"> определяется током <img width=«139» height=«25» src=«ref-2_502996602-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i2370">, а конечная точка <img width=«13» height=«16» src=«ref-2_502997163-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i2371"> - током <img width=«92» height=«25» src=«ref-2_502997471-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i2372">.
Соответствующие этим участкам индуктивности
<img width=«172» height=«51» src=«ref-2_502997942-764.coolpic» v:shapes="_x0000_i2373">;
<img width=«180» height=«51» src=«ref-2_502998706-771.coolpic» v:shapes="_x0000_i2374">.
2. В соответствии с указанной линеаризацией нелинейное дифференциальное уравнение состояния цепи
<img width=«108» height=«48» src=«ref-2_502999477-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i2375">
заменяется двумя линейными:
<img width=«121» height=«48» src=«ref-2_503000024-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i2376">;
<img width=«123» height=«48» src=«ref-2_503000581-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i2377">.
3. Решением первого уравнения является
<img width=«117» height=«61» src=«ref-2_503001146-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i2378">
и второго -
<img width=«128» height=«62» src=«ref-2_503001699-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i2379">,
где <img width=«87» height=«25» src=«ref-2_503002284-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i2380">; <img width=«85» height=«25» src=«ref-2_503002713-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i2381">; <img width=«131» height=«25» src=«ref-2_503003146-513.coolpic» v:shapes="_x0000_i2382">; <img width=«220» height=«25» src=«ref-2_503003659-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i2383">.
Время t1, соответствующее моменту перехода с первого участка на второй, определим из уравнения
<img width=«246» height=«63» src=«ref-2_503004089-685.coolpic» v:shapes="_x0000_i2384">,
откуда
<img width=«139» height=«102» src=«ref-2_503004774-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i2385">.
Литература
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Контрольные вопросы и задачи
В чем заключаются особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепях? В чем состоит сущность метода условной линеаризации? С чем связана его невысокая точность? В чем заключается основное преимущество метода аналитической аппроксимации? Следует ли применять метод кусочно-линейной аппроксимации для расчета переходных процессов в цепях с питанием от источника переменного напряжения? Аппроксимируя зависимость <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502759167-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2386"> выражением <img width=«61» height=«29» src=«ref-2_503005758-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i2387">, определить ток в цепи на рис. 1 при ее включение на постоянное напряжение <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502478431-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2388">.
Ответ: <img width=«103» height=«52» src=«ref-2_503006502-562.coolpic» v:shapes="_x0000_i2389">.
Заменив в цепи на рис. 1 нелинейную катушку индуктивности на нелинейный конденсатор с характеристикой <img width=«47» height=«25» src=«ref-2_503007064-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i2390">, подобной <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_502759167-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2391"> на рис. 2, методом кусочно-линейной аппроксимации определить зависимость <img width=«43» height=«25» src=«ref-2_503007842-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i2392">.
Лекция N 39
продолжение
--PAGE_BREAK--Графические методы анализа переходных процессов в нелинейных цепях
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i2393">
Графическими называются методы, в основе которых лежат графические построения на плоскости. По сравнению с рассмотренными выше аналитическими методами они обладают следующими основными преимуществами:
— отсутствием принципиальной необходимости в аналитическом выражении характеристики нелинейного элемента, что устраняет погрешность, связанную с ее аппроксимацией;
— возможностью проведения расчетов при достаточно сложных формах кривых нелинейных характеристик.
Главный недостаток графических методов заключается в получении решения для конкретных значений параметров цепи.
Основными графическими методами, используемыми при решении электротехнических задач, являются:
1. Метод графического интегрирования
Метод графического интегрирования основан на графическом подсчете определенного интеграла и заключается в последовательном нахождении площадей под соответствующей подынтегральной функции кривой. Он применяется для анализа электрических цепей, переходные процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.
2. Метод изоклин
Данный метод является одним из наиболее широко используемых графических методов приближенного интегрирования. Он непосредственно используется для решения уравнений первого порядка вида <img width=«101» height=«24» src=«ref-2_503008337-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i2394"> и при этом включает в себя в общем случае следующие этапы:
в плоскости <img width=«42» height=«17» src=«ref-2_503008834-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2395">по уравнениям изоклин <img width=«73» height=«25» src=«ref-2_503009173-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i2396"> (изоклина — линия равного наклона, вдоль которой функция <img width=«45» height=«25» src=«ref-2_503009606-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i2397"> имеет постоянное значение, т.е. геометрическое место точек, для которых <img width=«101» height=«20» src=«ref-2_503009999-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i2398">) строятся изоклины для различных значений углового коэффициента <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_503010470-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2399">;
вдоль каждой изоклины наносятся черточки с наклоном, определяемым соответствующим значением <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_503010470-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2400">;
от точки <img width=«43» height=«24» src=«ref-2_503011110-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i2401">соответствующей начальному условию, строится интегральная кривая так, чтобы она пересекала каждую изоклину параллельно нанесенным на ней черточкам; полученная кривая является графиком искомой зависимости <img width=«35» height=«24» src=«ref-2_503011489-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i2402">
3. Метод фазовой плоскости
Метод позволяет осуществлять качественное исследование динамических процессов в нелинейных цепях, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. При этом без непосредственного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений данный метод дает возможность получить представление о процессе в целом. В общем случае исследования, проводимые методом фазовой плоскости, позволяют выявить зависимость характера переходного процесса от начальных условий, судить об устойчивости или неустойчивости работы цепи, устанавливать возможность появления в цепи автоколебаний с оценкой их частоты и формы и т. д.
Более подробно с графическими методами можно познакомиться в [1,2,3].
Численные методы расчета переходных процессов
Численные методы анализа динамических процессов в нелинейных электрических цепях базируются на различных численных способах приближенного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. В их основе лежит общий принцип: исходное дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим для приращений зависимой (исследуемой) переменной за соответствующие интервалы изменения независимой переменной (времени).
Основным достоинством численных методов является их универсальность, т.е. принципиальная пригодность для анализа любой цепи. Это особенно важно в случае нелинейных цепей, для которых не существует общих аналитических методов расчета.
Применительно к анализу динамических процессов в нелинейных цепях наибольшее распространение получили:
— метод переменных состояния;
— метод дискретных моделей.
Метод переменных состояния
Метод переменных состояния, как было показано при анализе переходных процессов в линейных цепях, основывается на составлении и интегрировании дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме. Полная система уравнений в матричной форме имеет вид
<img width=«33» height=«114» src=«ref-2_503011856-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i2403">.
=
<img width=«156» height=«84» src=«ref-2_503012449-1020.coolpic» v:shapes="_x0000_i2404">
.
<img width=«62» height=«84» src=«ref-2_503013469-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i2405">
(1)
Здесь <img width=«16» height=«16» src=«ref-2_503014095-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i2406"> и <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_503014409-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2407">- матрицы переменных состояния и их первых производных по времени соответственно; w(z) – матрица нелинейных резистивных элементов ;z – матрица аргументов нелинейных резистивных элементов; v – матрица входных воздействий ( ЭДС и токов источников ); y – матрица искомых величин.
При составлении уравнений состояния для относительно несложных цепей они могут быть записаны непосредственно по законам Кирхгофа. В общем же случае для этой цели используется или методика, основанная на составлении по специальному алгоритму таблицы соединений, что было показано при рассмотрении метода переменных состояния применительно к расчету линейных цепей, или методика, базирующаяся на принципе наложения.
Методика составления уравнений состояния на основе принципа наложения
Данная методика составления уравнений состояния вытекает из разделения исходной цепи на две подсхемы:
— первая включает в себя элементы, запасающие энергию, а также нелинейные резистивные элементы и источники питания;
-вторая охватывает линейные резистивные элементы.
Пример такого представления исходной цепи приведен на рис. 1, а, где пассивный многополюсник П соответствует второй подсхеме .
Следующий этап рассматриваемой методики заключается в замене на основании теоремы о компенсации всех конденсаторов, а также нелинейных резистивных элементов с характеристикой типа u(i) источниками напряжения, а всех катушек индуктивности и нелинейных резистивных элементов с характеристикой типа i(u) – источниками тока (рис. 1, б). В результате исходная цепь трансформируется в резистивную, в которой, помимо заданных (независимых) источников, действуют управляемые источники.
<img width=«645» height=«319» src=«ref-2_503014729-4882.coolpic» v:shapes="_x0000_i2408">
<img width=«12» height=«23» src=«ref-2_503019611-247.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i2409">Рис. 1
На третьем этапе с использованием метода наложения определяются выражения входных токов и напряжений пассивного многополюсника П через напряжения и токи всех присоединенных к нему источников.
В качестве примера составим уравнения состояния для цепи на рис. 2, а и определим выражения <img width=«15» height=«25» src=«ref-2_503019858-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2410"> и <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_503020178-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i2411">.
1. В соответствии с изложенной методикой заменим исходную цепь схемой замещения на рис. 2, б. На основании метода наложения этой схеме соответствует пять цепей, приведенных на рис. 3. С их использованием для тока <img width=«16» height=«25» src=«ref-2_503024499-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2413">=dq/dt в ветви с конденсатором и напряжения <img width=«96» height=«25» src=«ref-2_503024819-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i2414">на зажимах катушки индуктивности запишем
<img width=«456» height=«53» src=«ref-2_503025280-1190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2415">
<img width=«164» height=«52» src=«ref-2_503026470-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i2416">
(2)
<img width=«652» height=«178» src=«ref-2_503027123-3608.coolpic» v:shapes="_x0000_i2417">
<img width=«476» height=«157» src=«ref-2_503030731-2434.coolpic» v:shapes="_x0000_i2418">
Рис. 3
<img width=«481» height=«107» src=«ref-2_503033165-1825.coolpic» v:shapes="_x0000_i2419">
(3)
2. Выражение для искомого напряжения <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_503034990-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i2420"> определяется согласно закону Ома:
<img width=«425» height=«52» src=«ref-2_503035323-1341.coolpic» v:shapes="_x0000_i2421">
( 4)
На основании метода наложения с использованием расчетных схем на рис. 3 для второй искомой переменной – тока <img width=«15» height=«25» src=«ref-2_503036664-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2422"> запишем
<img width=«416» height=«52» src=«ref-2_503036984-1177.coolpic» v:shapes="_x0000_i2423">
( 5)
<img width=«162» height=«52» src=«ref-2_503038161-660.coolpic» v:shapes="_x0000_i2424">
3. Объединив (2) <img width=«17» height=«16» src=«ref-2_503038821-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i2425">(5) с учетом <img width=«84» height=«25» src=«ref-2_503039130-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i2426">, получим матричное уравнение вида (1):
Вектор начальных значений <img width=«75» height=«28» src=«ref-2_503044953-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i2430"> <img width=«86» height=«32» src=«ref-2_503045415-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i2431"> = <img width=«59» height=«25» src=«ref-2_503045898-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i2432"> <img width=«28» height=«29» src=«ref-2_503046307-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i2433"> .
Сравнивая в заключение рассмотренные методики составления уравнений состояния, можно отметить, что методика, основанная на использовании принципа наложения, не содержит достаточно сложного этапа исключения переменных резистивных ветвей из уравнений состояния, входящего в методику составления уравнений на основе таблицы соединений. Вместе с тем использование метода наложения для сложных цепей может также оказаться весьма трудоемкой задачей.
Метод дискретных моделей
Метод основан на использовании дискретных моделей индуктивного и емкостного элементов и позволяет свести численный анализ динамических процессов в нелинейных цепях к последовательному расчету на каждом шаге нелинейных резистивных цепей.
Дискретные модели вытекают из неявных алгоритмов, в частности из обратной формулы Эйлера. Эти модели, полученные на основе неявного алгоритма Эйлера, а также выражения для параметров входящих в них элементов приведены в табл. 1.
Таблица 1. Дискретные модели индуктивного и емкостного элементов
Примечание: если емкостный и индуктивный элементы линейные и <img width=«84» height=«21» src=«ref-2_503053590-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i2445">то <img width=«160» height=«25» src=«ref-2_503054016-544.coolpic» v:shapes="_x0000_i2446"> и <img width=«153» height=«25» src=«ref-2_503054560-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i2447">.
Метод дискретных моделей хорошо поддается машинной алгоритмизации и используется для расчета сложных нелинейных цепей на ЭВМ. Для достаточно простых схем он может быть реализован ’’вручную’’.
Последовательность расчета нелинейной цепи методом дискретных моделей иллюстрируется приведенным ниже примером решения задачи.
В цепи на рис. 3 предыдущей задачи ЭДС источника Е = 1В; <img width=«38» height=«25» src=«ref-2_503055096-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i2448">1Ом; <img width=«40» height=«25» src=«ref-2_503055448-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i2449">4 Ом. Вебер — амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности аппроксимирована выражением <img width=«54» height=«29» src=«ref-2_503055805-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i2450"> где ток – в амперах, потокосцепление – в веберах.
Рассчитать ток i в цепи после замыкания ключа
.
Решение
1. Нарисуем расчетную дискретную схему замещения цепи (см. рис. 4).
Для этой схемы справедливо
<img width=«117» height=«44» src=«ref-2_503056188-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i2451">
(6)
<img width=«289» height=«238» src=«ref-2_503056550-1505.coolpic» v:shapes="_x0000_s1076">где в соответствии с табл. 1
<img width=«149» height=«38» src=«ref-2_503058055-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i2452">
Значение дифференциальной индуктивности нелинейной катушки на k-м шаге
<img width=«306» height=«63» src=«ref-2_503058458-1170.coolpic» v:shapes="_x0000_i2453">
(7)
2. Выберем шаг интегрирования <img width=«64» height=«24» src=«ref-2_503059628-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i2454"> На основании закона коммутации <img width=«137» height=«25» src=«ref-2_503060019-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i2455"> <img width=«245» height=«25» src=«ref-2_503060557-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i2456"> Тогда <img width=«156» height=«36» src=«ref-2_503061238-606.coolpic» v:shapes="_x0000_i2457"> и в соответствии с (7) <img width=«329» height=«30» src=«ref-2_503061844-838.coolpic» v:shapes="_x0000_i2458">. Параметры элементов схемы замещения: <img width=«198» height=«25» src=«ref-2_503062682-609.coolpic» v:shapes="_x0000_i2459"> <img width=«191» height=«25» src=«ref-2_503063291-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i2460"> откуда на основании (6)
<img width=«270» height=«54» src=«ref-2_503063892-934.coolpic» v:shapes="_x0000_i2461">
На следующем шаге <img width=«159» height=«36» src=«ref-2_503064826-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i2462"> тогда <img width=«198» height=«30» src=«ref-2_503065433-646.coolpic» v:shapes="_x0000_i2463"> и параметры элементов схемы замещения <img width=«114» height=«28» src=«ref-2_503066079-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i2464"><img width=«81» height=«24» src=«ref-2_503066564-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i2465"> <img width=«189» height=«25» src=«ref-2_503067018-595.coolpic» v:shapes="_x0000_i2466"> откуда
<img width=«280» height=«56» src=«ref-2_503067613-961.coolpic» v:shapes="_x0000_i2467">
Результаты пошагового расчета согласно приведенному алгоритму представлены в табл. 2 .
Таблица 2. Результаты расчета
<img width=«16» height=«23» src=«ref-2_503068574-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i2468">
<img width=«11» height=«17» src=«ref-2_503068904-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i2469">
<img width=«23» height=«25» src=«ref-2_503069208-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i2470">
<img width=«86» height=«31» src=«ref-2_503069542-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i2471">
<img width=«94» height=«54» src=«ref-2_503069988-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i2472">
<img width=«72» height=«48» src=«ref-2_503070534-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i2473">
<img width=«85» height=«48» src=«ref-2_503071002-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i2474">
<img width=«37» height=«25» src=«ref-2_503071493-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i2475">
с
А
Вб
Гн
Ом
В
А
0
0
0,2
0,585
0,974
0,974
0,195
0,605
1
1
0,605
0,846
0,466
0,466
0,282
0,874
2
2
0,874
0,956
0,365
0,365
0,319
0,966
3
3
0,966
0,989
0,341
0,341
0,329
0,99
4
4
0,99
0,997
0,335
0,335
0,332
0,998
Литература
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.: Учеб. для студ. электротехн. спец. вузов. 2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352с.
Контрольные вопросы
Какие графические методы применяются для расчета переходных процессов в нелинейных цепях? В чем их сущность? Какие методики применяются для составления уравнений состояния? Сформулируйте этапы составления уравнений состояния на основе принципа наложения. В чем заключается сущность метода дискретных моделей? Нарисуйте дискретные модели нелинейных индуктивного и емкостного элементов и напишите соответствующие им аналитические соотношения.
Лекция N 40
продолжение
--PAGE_BREAK--Цепи с распределенными параметрами
<img width=«650» height=«1» src=«ref-2_502081443-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i2476">
В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи, геометрические размеры которых, а также входящих в них элементов не играли роли, т.е. электрические и магнитные поля были локализованы соответственно в пределах конденсатора и катушки индуктивности, а потери мощности – в резисторе. Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями (линии электропередачи, передачи информации, обмотки электрических машин и аппаратов и т.д.), где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами. Смысл данного названия заключается в том, что у цепей данного класса каждый бесконечно малый элемент их длины характеризуется сопротивлением, индуктивностью, а между проводами – соответственно емкостью и проводимостью.
Для оценки, к какому типу отнести цепь: с сосредоточенными или распределенными параметрами – следует сравнить ее длину l с длиной электромагнитной волны <img width=«57» height=«20» src=«ref-2_503071955-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i2477">. Если <img width=«115» height=«21» src=«ref-2_503072338-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i2478">, т.е. при <img width=«79» height=«24» src=«ref-2_503072811-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i2479">, и <img width=«264» height=«29» src=«ref-2_503073231-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i2480">. Для <img width=«164» height=«29» src=«ref-2_503073936-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i2481">, т.е. уже при <img width=«121» height=«24» src=«ref-2_503074481-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i2482"> к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами.
Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами (другое название – длинная линия) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки.
Уравнения однородной линии в стационарном режиме
Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_503074967-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i2483">, индуктивность <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_503075309-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i2484">, проводимость <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_503075644-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i2485"> и емкость <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_503075984-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2486">, отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины <img width=«23» height=«20» src=«ref-2_503076323-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2487"> со структурой, показанной на рис. 1.
<img width=«399» height=«222» src=«ref-2_503076662-2566.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1077">Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника равны u иi, а в конце соответственно <img width=«75» height=«48» src=«ref-2_503079228-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i2488"> и <img width=«68» height=«48» src=«ref-2_503079726-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i2489">.
Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа
<img width=«204» height=«97» src=«ref-2_503080203-1201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2490">
или после сокращения на <img width=«23» height=«20» src=«ref-2_503076323-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2491">
<img width=«141» height=«48» src=«ref-2_503081743-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i2492">;
(1)
<img width=«149» height=«48» src=«ref-2_503082385-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i2493">.
(2)
Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_503083039-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i2494"> можно распространить и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока.
Вводя комплексные величины и заменяя <img width=«37» height=«25» src=«ref-2_503083404-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2495"> на <img width=«28» height=«23» src=«ref-2_502421774-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i2496">, на основании (1) и (2) получаем
<img width=«213» height=«49» src=«ref-2_503084129-746.coolpic» v:shapes="_x0000_i2497">;
(3)
<img width=«219» height=«49» src=«ref-2_503084875-759.coolpic» v:shapes="_x0000_i2498">,
(4)
где <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_503085634-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i2499"> и <img width=«124» height=«25» src=«ref-2_503086131-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i2500"> - соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.
Продифференцировав (3) по х и подставив выражение <img width=«48» height=«28» src=«ref-2_503086634-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i2501"> из (4), запишем
<img width=«117» height=«53» src=«ref-2_503087039-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i2502">.
Характеристическое уравнение
<img width=«116» height=«29» src=«ref-2_503087647-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i2503">,
откуда
<img width=«255» height=«31» src=«ref-2_503088128-729.coolpic» v:shapes="_x0000_i2504">.
Таким образом,
<img width=«339» height=«29» src=«ref-2_503088857-825.coolpic» v:shapes="_x0000_i2505">,
(5)
где <img width=«85» height=«24» src=«ref-2_503089682-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i2506"> - постоянная распространения; <img width=«17» height=«16» src=«ref-2_503090119-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2507"> - коэффициент затухания; <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_503090439-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i2508"> - коэффициент фазы.
Для тока согласно уравнению (3) можно записать
<img width=«435» height=«53» src=«ref-2_503090774-1197.coolpic» v:shapes="_x0000_i2509">,
(6)
где <img width=«115» height=«31» src=«ref-2_503091971-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i2510"> - волновое сопротивление.
Волновое сопротивление <img width=«28» height=«25» src=«ref-2_503092480-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2511"> и постоянную распространения <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_503092824-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i2512"> называютвторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации.
Определяя <img width=«92» height=«31» src=«ref-2_503093143-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i2513"> и <img width=«96» height=«31» src=«ref-2_503093605-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i2514">, на основании (5) запишем
<img width=«483» height=«29» src=«ref-2_503094074-1127.coolpic» v:shapes="_x0000_i2515">.
(7)
Аналогичное уравнение согласно (6) можно записать для тока.
Слагаемые в правой части соотношения (7) можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени.
<img width=«421» height=«287» src=«ref-2_503095201-2958.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1078">Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной.
На рис. 2 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени <img width=«16» height=«25» src=«ref-2_503098159-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i2516"> и <img width=«17» height=«25» src=«ref-2_503098482-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i2517"> <img width=«69» height=«25» src=«ref-2_503098806-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i2518">. Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:
<img width=«156» height=«25» src=«ref-2_503099220-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i2519">.
(8)
Продифференцировав (8) по времени, получим
<img width=«52» height=«52» src=«ref-2_503099760-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i2520">.
(9)
Длиной волны <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_503100191-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i2521"> называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на <img width=«27» height=«20» src=«ref-2_503100514-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i2522"> рад. В соответствии с данным определением
<img width=«291» height=«25» src=«ref-2_503100852-735.coolpic» v:shapes="_x0000_i2523">,
откуда
<img width=«59» height=«51» src=«ref-2_503101587-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i2524">
и с учетом (9)
<img width=«92» height=«52» src=«ref-2_503102032-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i2525">.
В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, — перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях:
<img width=«120» height=«31» src=«ref-2_503102521-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i2526">,
(10)
где в соответствии с (5) <img width=«99» height=«32» src=«ref-2_503103030-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i2527"> и .
Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн согласно (10) означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково: от верхнего провод<img width=«99» height=«32» src=«ref-2_503103503-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i2528">а к нижнему.
Аналогично для тока на основании (6) можно записать
<img width=«104» height=«31» src=«ref-2_503103988-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i2529">,
(11)
где <img width=«129» height=«32» src=«ref-2_503104454-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i2530"> и <img width=«129» height=«32» src=«ref-2_503104982-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i2531">.
Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (11) различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока <img width=«13» height=«23» src=«ref-2_503105522-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i2532"> (от начала к концу линии), а положительное направление обратной волны ему противоположно.
На основании (10) и (11) для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома
Рассмотрим теоретически важный случай бесконечно длинной однородной линии.
Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы
В случае бесконечно длинной линии в выражениях (5) и (6) для напряжения и тока слагаемые, содержащие <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_503106881-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i2535">, должны отсутствовать, т.к. стремление <img width=«53» height=«16» src=«ref-2_503107218-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i2536"> лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, в рассматриваемом случае <img width=«63» height=«28» src=«ref-2_503107578-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i2537">. Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным
На основании соотношений (12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению:
<img width=«109» height=«48» src=«ref-2_503108903-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i2540">.
Таким образом, если такую линию мысленно рассечь в любом месте и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода:
Уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока.
У линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому.
Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным, а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой.
Отметим, что данный режим практически важен для передачи информации, поскольку характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи.
Согласованная нагрузка полностью поглощает мощность волны, достигшей конца линии. Эта мощность называется натуральной. Поскольку в любом сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_502968545-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i2541"> между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность, получаемая линией от генератора, равна <img width=«119» height=«25» src=«ref-2_503109738-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i2542">, то мощность в конце линий длиной <img width=«11» height=«20» src=«ref-2_502683939-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i2543"> в данном случае
<img width=«348» height=«29» src=«ref-2_503110537-829.coolpic» v:shapes="_x0000_i2544">,
откуда КПД линии
<img width=«112» height=«52» src=«ref-2_503111366-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i2545">
и затухание
<img width=«107» height=«53» src=«ref-2_503111892-558.coolpic» v:shapes="_x0000_i2546">.
Как указывалось при рассмотрении четырехполюсников, единицей затухания является непер, соответствующий затуханию по мощности в <img width=«21» height=«25» src=«ref-2_503112450-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i2547"> раз, а по напряжению или току – в <img width=«13» height=«16» src=«ref-2_503112780-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i2548"> раз.
Литература
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Контрольные вопросы и задачи
В чем заключается разница между цепями с сосредоточенными и распределенными параметрами? По какому критерию цепь относят к классу цепей с распределенными или сосредоточенными параметрами? Нарисуйте схему замещения длинной линии. Объясните понятия прямой и обратной бегущих волн. Что такое согласованный режим работы цепи с распределенными параметрами, чем он характеризуется? Определить первичные параметры линии, если ее вторичные параметры <img width=«383» height=«31» src=«ref-2_503113090-896.coolpic» v:shapes="_x0000_i2549">.
Ответ: <img width=«131» height=«25» src=«ref-2_503113986-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i2550"> <img width=«149» height=«25» src=«ref-2_503114511-562.coolpic» v:shapes="_x0000_i2551"> <img width=«57» height=«25» src=«ref-2_503115073-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i2552"><img width=«189» height=«29» src=«ref-2_503115463-612.coolpic» v:shapes="_x0000_i2553">
Определить по условиям предыдущей задачи КПД линии длиной 200 км, считая, что она нагружена на сопротивление, равное волновому.
Ответ: <img width=«69» height=«24» src=«ref-2_503116075-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i2554">.
Определить <img width=«28» height=«25» src=«ref-2_503092480-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2555">, <img width=«17» height=«16» src=«ref-2_503090119-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2556"> и <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_503090439-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i2557"> для кабеля, у которого <img width=«120» height=«25» src=«ref-2_503117496-513.coolpic» v:shapes="_x0000_i2558">, <img width=«119» height=«25» src=«ref-2_503118009-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i2559"><img width=«136» height=«25» src=«ref-2_503118501-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i2560">, если частота <img width=«99» height=«24» src=«ref-2_503119027-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i2561">.
Ответ: <img width=«203» height=«31» src=«ref-2_503119491-647.coolpic» v:shapes="_x0000_i2562">; <img width=«116» height=«29» src=«ref-2_503120138-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i2563">; <img width=«117» height=«29» src=«ref-2_503120629-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i2564">.
По условиям предыдущей задачи определить длину волны и ее фазовую скорость.
Ответ: <img width=«236» height=«25» src=«ref-2_503121127-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i2565">
Лекция N 41
продолжение
--PAGE_BREAK--Линия без искажений
Пусть сигнал, который требуется передать без искажений по линии, является периодическим, т.е. его можно разложить в ряд Фурье. Сигнал будет искажаться, если для составляющих его гармонических затухание и фазовая скорость различны, т.е. если последние являются функциями частоты. Таким образом, для отсутствия искажений, что очень важно, например, в линиях передачи информации, необходимо, чтобы все гармоники распространялись с одинаковой скоростью и одинаковым затуханием, поскольку только в этом случае, сложившись, они образуют в конце линии сигнал, подобный входному.
Идеальным в этом случае является так называемаялиния без потерь, у которой сопротивление <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_503074967-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i2566"> и проводимость <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_503075644-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i2567"> равны нулю.
Действительно, в этом случае
<img width=«353» height=«31» src=«ref-2_503122458-916.coolpic» v:shapes="_x0000_i2568">,
т.е. независимо от частоты коэффициент затухания <img width=«103» height=«20» src=«ref-2_503123374-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i2569"> и фазовая скорость
<img width=«188» height=«55» src=«ref-2_503123829-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i2570">.
Однако искажения могут отсутствовать и в линии с потерями. Условие передачи сигналов без искажения вытекает из совместного рассмотрения выражений для постоянной распространения
<img width=«385» height=«31» src=«ref-2_503124534-903.coolpic» v:shapes="_x0000_i2571">
(1)
и фазовой скорости
<img width=«121» height=«52» src=«ref-2_503125437-566.coolpic» v:shapes="_x0000_i2572">.
(2)
Из (1) и (2) вытекает, что для получения <img width=«75» height=«17» src=«ref-2_503126003-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i2573"> и <img width=«76» height=«20» src=«ref-2_503126406-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i2574">, что обеспечивает отсутствие искажений, необходимо, чтобы <img width=«88» height=«25» src=«ref-2_503126821-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i2575">, т.е. чтобы волновое сопротивление не зависело от частоты.
<img width=«368» height=«57» src=«ref-2_503127257-1413.coolpic» v:shapes="_x0000_i2576">.
(3)
Как показывает анализ (3), при
<img width=«71» height=«52» src=«ref-2_503128670-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i2577">
(4)
<img width=«109» height=«31» src=«ref-2_503129178-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i2578"> есть вещественная константа.
Линия, параметры которой удовлетворяют условию (4), называется линией без искажений.
Фазовая скорость для такой линии
<img width=«243» height=«83» src=«ref-2_503129677-934.coolpic» v:shapes="_x0000_i2579">
и затухание
<img width=«195» height=«52» src=«ref-2_503130611-707.coolpic» v:shapes="_x0000_i2580">.
Следует отметить, что у реальных линий (и воздушных, и кабельных) <img width=«132» height=«25» src=«ref-2_503131318-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i2581">. Поэтому для придания реальным линиям свойств линий без искажения искусственно увеличивают их индуктивность путем включения через одинаковые интервалы специальных катушек индуктивности, а в случае кабельных линий – также за счет обвивания их жил ферромагнитной лентой.
Уравнения линии конечной длины
Постоянные <img width=«23» height=«28» src=«ref-2_503131853-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i2582"> и <img width=«24» height=«28» src=«ref-2_503132195-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i2583"> в полученных в предыдущей лекции формулах
<img width=«144» height=«29» src=«ref-2_503132537-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i2584">;
(5)
<img width=«180» height=«52» src=«ref-2_503133074-685.coolpic» v:shapes="_x0000_i2585">
(6)
определяются на основании граничных условий.
<img width=«321» height=«221» src=«ref-2_503133759-1926.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1079">Пусть для линии длиной l (см. рис. 1) заданы напряжение <img width=«24» height=«28» src=«ref-2_503135685-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2586"> и ток <img width=«19» height=«28» src=«ref-2_503136029-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i2587"> в начале линии, т.е. при <img width=«41» height=«20» src=«ref-2_503136357-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i2588">.
Тогда из (5) и (6) получаем
<img width=«127» height=«57» src=«ref-2_503136709-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i2589">
откуда
<img width=«153» height=«97» src=«ref-2_503137373-909.coolpic» v:shapes="_x0000_i2590">
Подставив найденные выражения <img width=«23» height=«28» src=«ref-2_503131853-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i2591"> и <img width=«24» height=«28» src=«ref-2_503132195-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i2592"> в (5) и (6), получим
<img width=«469» height=«97» src=«ref-2_503138966-1799.coolpic» v:shapes="_x0000_i2593">
(7)
<img width=«535» height=«111» src=«ref-2_503140765-1976.coolpic» v:shapes="_x0000_i2594">
(8)
Уравнения (7) и (8) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их известным значениям в начале линии. Обычно в практических задачах бывают заданы напряжение <img width=«25» height=«28» src=«ref-2_503142741-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i2595"> и ток <img width=«20» height=«28» src=«ref-2_503143086-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i2596"> в конце линии. Для выражения напряжения и тока в линии через эти величины перепишем уравнения (5) и (6) в виде
<img width=«205» height=«29» src=«ref-2_503143419-638.coolpic» v:shapes="_x0000_i2597">;
(9)
<img width=«241» height=«52» src=«ref-2_503144057-798.coolpic» v:shapes="_x0000_i2598">.
(10)
Обозначив <img width=«88» height=«29» src=«ref-2_503144855-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i2599"> и <img width=«83» height=«29» src=«ref-2_503145300-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i2600">, из уравнений (9) и (10) при <img width=«45» height=«21» src=«ref-2_503145746-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i2601"> получим
<img width=«128» height=«57» src=«ref-2_503146106-662.coolpic» v:shapes="_x0000_i2602">
откуда
<img width=«156» height=«97» src=«ref-2_503146768-926.coolpic» v:shapes="_x0000_i2603">
После подстановки найденных выражений <img width=«23» height=«28» src=«ref-2_503147694-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i2604"> и <img width=«24» height=«28» src=«ref-2_503148034-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2605"> в (9) и (10) получаем уравнения, позволяющие определить ток и напряжение по их значениям в конце линии
<img width=«267» height=«28» src=«ref-2_503148378-759.coolpic» v:shapes="_x0000_i2606">;
(11)
<img width=«244» height=«55» src=«ref-2_503149137-835.coolpic» v:shapes="_x0000_i2607">.
(12)
Уравнения длинной линии как четырехполюсника
В соответствии с (11) и (12) напряжения и токи в начале и в конце линии связаны между собой соотношениями
<img width=«188» height=«28» src=«ref-2_503149972-645.coolpic» v:shapes="_x0000_i2608">;
<img width=«165» height=«55» src=«ref-2_503150617-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i2609">.
Эти уравнения соответствуют уравнениям симметричного четырехполюсника, коэффициенты которого <img width=«100» height=«25» src=«ref-2_503151306-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i2610">; <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_503151767-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i2611"> и <img width=«101» height=«25» src=«ref-2_503152223-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i2612">; при этом условие <img width=«191» height=«29» src=«ref-2_503152691-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i2613"> выполняется.
Указанное означает, что к длинным линиям могут быть применены элементы теории четырехполюсников, и, следовательно, как всякий симметричный четырехполюсник, длинная линия может быть представлена симметричной Т- или П- образной схемами замещения.
Определение параметров длинной линии из опытов
холостого хода и короткого замыкания
Как и у четырехполюсников, параметры длинной линии могут быть определены из опытов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ).
При ХХ <img width=«111» height=«28» src=«ref-2_503153292-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i2614"> и <img width=«139» height=«28» src=«ref-2_503153793-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i2615">, откуда входное сопротивление
<img width=«183» height=«55» src=«ref-2_503154347-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i2616">.
(13)
При КЗ <img width=«129» height=«28» src=«ref-2_503155036-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i2617"> и <img width=«99» height=«28» src=«ref-2_503155567-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i2618">. Следовательно,
<img width=«173» height=«55» src=«ref-2_503156042-670.coolpic» v:shapes="_x0000_i2619">.
(14)
На основании (13) и (14)
<img width=«160» height=«33» src=«ref-2_503156712-559.coolpic» v:shapes="_x0000_i2620">
(15)
и
<img width=«105» height=«57» src=«ref-2_503157271-581.coolpic» v:shapes="_x0000_i2621">,
откуда
<img width=«269» height=«124» src=«ref-2_503157852-1321.coolpic» v:shapes="_x0000_i2622">.
(16)
Выражения (15) и (16) на основании данных эксперимента позволяют определить вторичные параметры <img width=«28» height=«25» src=«ref-2_503092480-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2623"> и <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_503092824-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i2624"> линии, по которым затем могут быть рассчитаны ее первичные параметры <img width=«75» height=«25» src=«ref-2_503159836-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i2625"> и <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_503075984-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i2626">.
Линия без потерь
Линией без потерь называется линия, у которой первичные параметры <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_503074967-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i2627"> и <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_503075644-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i2628"> равны нулю. В этом случае, как было показано ранее, <img width=«44» height=«20» src=«ref-2_503161293-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i2629"> и <img width=«103» height=«31» src=«ref-2_503161652-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i2630">. Таким образом,
<img width=«215» height=«48» src=«ref-2_503162163-736.coolpic» v:shapes="_x0000_i2631">,
откуда <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_503162899-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i2632">.
Раскроем гиперболические функции от комплексного аргумента <img width=«97» height=«24» src=«ref-2_503163356-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i2633">:
<img width=«304» height=«52» src=«ref-2_503163824-1358.coolpic» v:shapes="_x0000_i2634">
Тогда для линии без потерь, т.е. при <img width=«44» height=«20» src=«ref-2_503161293-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i2635">, имеют место соотношения:
<img width=«195» height=«48» src=«ref-2_503165541-714.coolpic» v:shapes="_x0000_i2636"> и <img width=«203» height=«48» src=«ref-2_503166255-732.coolpic» v:shapes="_x0000_i2637">.
Таким образом, уравнения длинной линии в гиперболических функциях от комплексного аргумента для линии без потерь трансформируются в уравнения, записанные с использованием круговых тригонометрических функций от вещественного аргумента:
<img width=«333» height=«48» src=«ref-2_503166987-975.coolpic» v:shapes="_x0000_i2638">;
(17)
<img width=«313» height=«55» src=«ref-2_503167962-981.coolpic» v:shapes="_x0000_i2639">.
(18)
Строго говоря, линия без потерь (цепь с распределенными параметрами без потерь) представляет собой идеализированный случай. Однако при выполнении <img width=«119» height=«25» src=«ref-2_503168943-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i2640"> и <img width=«121» height=«25» src=«ref-2_503169449-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i2641">, что имеет место, например, для высокочастотных цепей, линию можно считать линией без потерь и, следовательно, описывать ее уравнениями (17) и (18).
Стоячие волны в длинных линиях
Как было показано выше, решение уравнений длинной линии можно представить в виде суммы прямой и обратной волн. В результате их наложения в цепях с распределенными параметрами возникают стоячие волны.
Рассмотрим два предельных случая: ХХ и КЗ в линии без потерь, когда поглощаемая приемником активная мощность равна нулю.
При ХХ на основании уравнений (17) и (18) имеем
<img width=«129» height=«48» src=«ref-2_503169959-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i2642"> и <img width=«141» height=«55» src=«ref-2_503170544-637.coolpic» v:shapes="_x0000_i2643">,
откуда для мгновенных значений напряжения и тока можно записать
<img width=«560» height=«52» src=«ref-2_503171181-1530.coolpic» v:shapes="_x0000_i2644">;
(19)
<img width=«576» height=«53» src=«ref-2_503172711-1620.coolpic» v:shapes="_x0000_i2645">.
(20)
Последние уравнения представляют собой уравнения стоячих волн, являющихся результатом наложения прямой и обратной волн с одинаковыми амплитудами.
<img width=«316» height=«233» src=«ref-2_503174331-2792.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1080">При ХХ в соответствии с (19) и (20) в точках с координатами <img width=«63» height=«47» src=«ref-2_503177123-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i2646">, где <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_503010470-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2647"> - целое число, имеют место максимумы напряжения, называемые пучностями, и нули тока, называемые узлами. В точках с координатами <img width=«109» height=«48» src=«ref-2_503177882-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i2648"> пучности и узлы напряжения и тока меняются местами (см. рис. 2). Таким образом, узлы и пучности неподвижны, и пучности одной переменной совпадают с узлами другой и наоборот.
При КЗ на основании уравнений (17) и (18)
<img width=«152» height=«48» src=«ref-2_503178425-628.coolpic» v:shapes="_x0000_i2649"> и <img width=«119» height=«48» src=«ref-2_503179053-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i2650">,
откуда для мгновенных значений можно записать
<img width=«235» height=«97» src=«ref-2_503179608-1210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2651">
т.е. и в этом случае напряжение и ток представляют собой стоячие волны, причем по сравнению с режимом ХХ пучности и узлы напряжения и тока соответственно меняются местами.
Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю.
Литература
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Контрольные вопросы и задачи
Что называется линией без искажений? Как соотносятся первичные параметры в такой линии? Запишите уравнения линии конечной длины для случаев, когда заданы ее входные напряжение и ток и когда выходные. Как определяются параметры цепи с распределенными параметрами? Что называется линией без потерь? Какими свойствами она обладает? При каких условиях в линии образуются стоячие волны? Определить напряжение и ток на входе трехфазной линии электропередачи длиной <img width=«83» height=«24» src=«ref-2_503180818-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i2652">, если <img width=«112» height=«28» src=«ref-2_503181256-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i2653">, <img width=«107» height=«25» src=«ref-2_503181746-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i2654">, <img width=«93» height=«25» src=«ref-2_503182229-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i2655">. Параметры линии на фазу: <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_503182683-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i2656">, <img width=«141» height=«25» src=«ref-2_503183203-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i2657">, <img width=«52» height=«25» src=«ref-2_503183753-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i2658">, <img width=«193» height=«29» src=«ref-2_503184137-624.coolpic» v:shapes="_x0000_i2659">. Определить КПД линии.
Ответ: <img width=«189» height=«33» src=«ref-2_503184761-624.coolpic» v:shapes="_x0000_i2660">; <img width=«141» height=«33» src=«ref-2_503185385-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i2661">; <img width=«69» height=«24» src=«ref-2_503185916-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i2662">.
Определить входное сопротивление линии без потерь длиной в четверть волны, нагруженной на емкостную нагрузку <img width=«84» height=«24» src=«ref-2_503186335-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i2663"> при частоте 100 МГц. Волновое сопротивление <img width=«104» height=«25» src=«ref-2_503186771-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i2664">.
Ответ: <img width=«127» height=«25» src=«ref-2_503187242-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i2665">.
Однородная двухпроводная линия без искажений имеет волновое сопротивление <img width=«104» height=«25» src=«ref-2_503186771-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i2666">, скорость распространения волны <img width=«127» height=«29» src=«ref-2_503188215-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i2667"> и затухание 1,5 Неп на 100 км. Определить первичные параметры линии, и также ее КПД при длине <img width=«81» height=«24» src=«ref-2_503188718-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i2668"> и нагрузке, равной волновой.
Ответ: <img width=«123» height=«25» src=«ref-2_503189153-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i2669">; <img width=«175» height=«29» src=«ref-2_503189664-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i2670">; <img width=«155» height=«29» src=«ref-2_503190247-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i2671">; <img width=«108» height=«25» src=«ref-2_503190808-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i2672">; <img width=«61» height=«24» src=«ref-2_503191279-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i2673">.
Линия без потерь нагружена на емкостное сопротивление, численно равное волновому. <img width=«104» height=«24» src=«ref-2_503191681-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i2674">, <img width=«119» height=«29» src=«ref-2_503192159-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i2675">. В конце линии <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_503192653-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i2676">. Найти <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_503193103-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i2677"> на расстоянии 1м от конца линии.
Ответ: <img width=«92» height=«28» src=«ref-2_503193431-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i2678">.
Линия без потерь длиной <img width=«65» height=«25» src=«ref-2_503193868-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i2679"> разомкнута на конце. <img width=«104» height=«25» src=«ref-2_503194281-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i2680">, в начале линии <img width=«89» height=«25» src=«ref-2_503194751-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i2681">. Найти <img width=«13» height=«23» src=«ref-2_503105522-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i2682"> в середине линии.
Ответ: <img width=«91» height=«28» src=«ref-2_503195510-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i2683">.
Лекция N 42
продолжение
--PAGE_BREAK--Входное сопротивление длинной линии
Входным сопротивлением длинной линии (цепи с распределенными параметрами) называется такое сосредоточенное сопротивление, подключение которого вместо линии к зажимам источника не изменит режим работы последнего.
В общем случае для линии с произвольной нагрузкой <img width=«31» height=«25» src=«ref-2_503195964-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i2684"> для входного сопротивления можно записать
<img width=«565» height=«80» src=«ref-2_503196313-2035.coolpic» v:shapes="_x0000_i2685">.
(1)
Полученное выражение показывает, что входное сопротивление является функцией параметров линии <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_503092824-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i2686"> и <img width=«28» height=«25» src=«ref-2_503092480-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2687">, ее длины <img width=«11» height=«20» src=«ref-2_502683939-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i2688"> и нагрузки <img width=«31» height=«25» src=«ref-2_503195964-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i2689">. При этом зависимость входного сопротивления от длины линии, т.е. функция <img width=«49» height=«25» src=«ref-2_503199668-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i2690">, не является монотонной, а носит колебательный характер, обусловленный влиянием обратной (отраженной) волны. С ростом длины линии как прямая, так соответственно и отраженная волны затухают все сильнее. В результате влияние последней ослабевает и амплитуда колебаний функции <img width=«49» height=«25» src=«ref-2_503199668-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i2691"> уменьшается. При согласованной нагрузке, т.е. при <img width=«75» height=«25» src=«ref-2_503200470-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i2692">, как было показано ранее, обратная волна отсутствует, что полностью соответствует выражению (1), которое при <img width=«75» height=«25» src=«ref-2_503200470-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i2693"> трансформируется в соотношение
<img width=«135» height=«25» src=«ref-2_503201284-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i2694">.
Такой же величиной определяется входное сопротивление при <img width=«49» height=«20» src=«ref-2_503201773-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i2695">.
При некоторых значениях длины линии ее входное сопротивление может оказаться чисто активным. Длину линии, при которой <img width=«31» height=«25» src=«ref-2_503202137-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i2696"> вещественно, называют резонансной. Как и в цепи с сосредоточенными параметрами, резонанс наиболее ярко наблюдается при отсутствии потерь. Для линии без потерь на основании (1) можно записать
<img width=«213» height=«95» src=«ref-2_503202487-1008.coolpic» v:shapes="_x0000_i2697">.
(2)
Из (2) для режимов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ), т.е. случаев, когда потребляемая нагрузкой активная мощность равна нулю, соответственно получаем:
<img width=«168» height=«48» src=«ref-2_503203495-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i2698">;
(3)
<img width=«148» height=«48» src=«ref-2_503204125-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i2699">.
(4)
Исследование характера изменения <img width=«47» height=«28» src=«ref-2_503204733-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2700"> в зависимости от длины <img width=«11» height=«20» src=«ref-2_502683939-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i2701"> линии на основании (3) показывает, что при <img width=«84» height=«25» src=«ref-2_503205419-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i2702"> <img width=«47» height=«28» src=«ref-2_503204733-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i2703"> по модулю изменяется в пределах <img width=«107» height=«28» src=«ref-2_503206241-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i2704"> и имеет емкостный характер, а при <img width=«97» height=«25» src=«ref-2_503206709-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i2705"> - в пределах <img width=«107» height=«28» src=«ref-2_503207175-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i2706"> и имеет индуктивный характер. Такое чередование продолжается и далее через отрезки длины линии, равные четверти длины волны (см. рис. 1, а).
В соответствии с (4) аналогичный характер, но со сдвигом на четверть волны, будет иметь зависимость <img width=«65» height=«28» src=«ref-2_503207646-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i2707"> при КЗ (см. рис. 1, б).
<img width=«642» height=«226» src=«ref-2_503208074-4568.coolpic» v:shapes="_x0000_i2708">
Точки, где <img width=«60» height=«25» src=«ref-2_503212642-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i2709">, соответствуют резонансу напряжений, а точки, где <img width=«72» height=«25» src=«ref-2_503213033-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i2710">, — резонансу токов.
Таким образом, изменяя длину линии без потерь, можно имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой величины. Поскольку длина волны <img width=«16» height=«20» src=«ref-2_503100191-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i2711"> есть функция частоты, то аналогичное изменение <img width=«31» height=«25» src=«ref-2_503202137-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i2712"> можно обеспечить не изменением длины линии, а частоты генератора. При некоторых частотах входное сопротивление цепи с распределенными параметрами также становится вещественным. Такие частоты называются резонансными. Таким образом, резонансными называются частоты, при которых в линии укладывается целое число четвертей волны.
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами имеют характер блуждающих волн, распространяющихся по цепи в различных направлениях. Эти волны могут претерпевать многократные отражения от стыков различных линий, от узловых точек включения нагрузки и т.д. В результате наложения этих волн картина процессов в цепи может оказаться достаточно сложной. При этом могут возникнуть сверхтоки и перенапряжения, опасные для оборудования.
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами возникают при различных изменениях режимов их работы: включении-отключении нагрузки, источников энергии, подключении новых участков линии и т.д. Причиной переходных процессов в длинных линиях могут служить грозовые разряды.
Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами
При рассмотрении схемы замещения цепи с распределенными параметрами были получены дифференциальные уравнения в частных производных
<img width=«145» height=«48» src=«ref-2_503214106-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i2713">;
(5)
<img width=«153» height=«48» src=«ref-2_503214750-661.coolpic» v:shapes="_x0000_i2714">
(6)
Их интегрирование с учетом потерь представляет собой достаточно сложную задачу. В этой связи будем считать цепь линией без потерь, т.е. положим <img width=«52» height=«25» src=«ref-2_503215411-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i2715"> и <img width=«52» height=«25» src=«ref-2_503183753-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i2716">. Такое допущение возможно для линий с малыми потерями, а также при анализе начальных стадий переходных процессов, часто наиболее значимых в отношении перенапряжений и сверхтоков.
С учетом указанного от соотношений (5) и (6) переходим к уравнениям
<img width=«109» height=«48» src=«ref-2_503216181-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i2717">
(7)
<img width=«111» height=«48» src=«ref-2_503216745-567.coolpic» v:shapes="_x0000_i2718">
(8)
Для получения уравнения (7) относительно одной переменной продифференцируем (7) по х, а (8) – по t:
<img width=«147» height=«55» src=«ref-2_503217312-754.coolpic» v:shapes="_x0000_i2719">;
(9)
<img width=«148» height=«55» src=«ref-2_503218066-756.coolpic» v:shapes="_x0000_i2720">.
(10)
Учитывая, что для линии без потерь <img width=«107» height=«31» src=«ref-2_503218822-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i2721">, после подстановки соотношения (10) в (9) получим
<img width=«143» height=«53» src=«ref-2_503219325-684.coolpic» v:shapes="_x0000_i2722">.
(11)
Аналогично получается уравнение для тока
<img width=«140» height=«53» src=«ref-2_503220009-672.coolpic» v:shapes="_x0000_i2723">.
(12)
Волновым уравнениям (11) и (12) удовлетворяют решения
<img width=«328» height=«28» src=«ref-2_503220681-859.coolpic» v:shapes="_x0000_i2724">;
<img width=«319» height=«53» src=«ref-2_503221540-985.coolpic» v:shapes="_x0000_i2725">.
Как и ранее, прямые и обратные волны напряжения и тока связаны между собой законом Ома для волн
<img width=«89» height=«28» src=«ref-2_503222525-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i2726"> и <img width=«103» height=«28» src=«ref-2_503222980-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i2727">,
где <img width=«109» height=«31» src=«ref-2_503129178-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i2728">.
При расчете переходных процессов следует помнить:
В любой момент времени напряжение и ток в любой точке линии рассматриваются как результат наложения прямой и обратной волн этих переменных на соответствующие величины предшествующего режима. Всякое изменение режима работы цепи с распределенными параметрами обусловливает появление новых волн, накладываемых на существующий режим. Для каждой волны в отдельности выполняется закон Ома для волн.
Как указывалось, переходный процесс в цепях с распределенными параметрами характеризуется наложением многократно отраженных волн. Рассмотрим многократные отражения для двух наиболее характерных случаев: подключение источника постоянного напряжения к разомкнутой и короткозамкнутой линии.
Переходные процессы при включении на постоянное напряжение
разомкнутой и замкнутой на конце линии
При замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение в начале линии сразу же достигает величины <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502478431-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2729">, и <img width=«153» height=«165» src=«ref-2_503224303-986.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1081">возникают прямые волны прямоугольной формы напряжения <img width=«75» height=«28» src=«ref-2_503225289-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i2730"> и тока <img width=«104» height=«28» src=«ref-2_503225722-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i2731">, перемещающиеся вдоль линии со скоростью V (см. рис. 3, а).Во всех точках линии, до которых волна еще не дошла, напряжение и ток равны нулю.Точка, ограничивающая участок линии, до которого дошла волна, называется фронтом волны. В рассматриваемом случае во всех точках линии, пройденных фронтом волны, напряжение равно <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502478431-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2732">, а ток — <img width=«60» height=«25» src=«ref-2_503226547-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i2733">.
Отметим, что в реальных условиях форма волны, зависящая от внутреннего сопротивления источника, параметров линии и т.п., всегда в большей или меньшей степени отличается от прямоугольной.
<img width=«659» height=«294» src=«ref-2_503226955-4392.coolpic» v:shapes="_x0000_i2734">
Кроме того, при подключении к линии источника с другим законом изменения напряжения форма волны будет иной. Например, при экспоненциальном характере изменения напряжения источника (рис. 4, а) волна будет иметь форму на рис. 4, б.
<img width=«642» height=«200» src=«ref-2_503231347-2311.coolpic» v:shapes="_x0000_i2735">
В рассматриваемом примере с прямоугольной волной напряжения при первом пробеге волны напряжения и тока (см. рис. 3, а) независимо от нагрузки имеют значения соответственно <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502478431-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2736"> и <img width=«60» height=«25» src=«ref-2_503226547-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i2737">, что связано с тем, что волны еще не дошли до конца линии, и, следовательно, условия в конце линии не могут влиять на процесс.
В момент времени <img width=«91» height=«25» src=«ref-2_503234410-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i2738"> волны напряжения и тока доходят до конца линии длиной l, и нарушение однородности обусловливает появление обратных (отраженных) волн. Поскольку в конце линия разомкнута, то
<img width=«133» height=«28» src=«ref-2_503234840-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i2739">,
откуда <img width=«156» height=«28» src=«ref-2_503235342-558.coolpic» v:shapes="_x0000_i2740"> и <img width=«155» height=«28» src=«ref-2_503235900-558.coolpic» v:shapes="_x0000_i2741">.
В результате (см. рис. 3, б) напряжение в линии, куда дошел фронт волны, удваивается, а ток спадает до нуля.
В момент времени <img width=«56» height=«25» src=«ref-2_503236458-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i2742">, обратная волна напряжения, обусловливающая в линии напряжение <img width=«35» height=«25» src=«ref-2_503236837-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i2743">, приходит к источнику, поддерживающему напряжение <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_502478431-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i2744">. В результате возникает волна напряжения <img width=«87» height=«28» src=«ref-2_503237544-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i2745"> и соответствующая волне тока <img width=«120» height=«28» src=«ref-2_503237987-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i2746"> (см. рис. 3, в).
В момент времени <img width=«56» height=«25» src=«ref-2_503238479-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i2747"> волны напряжения и тока подойдут к концу линии. В связи с ХХ <img width=«173» height=«28» src=«ref-2_503238859-572.coolpic» v:shapes="_x0000_i2748"> и <img width=«169» height=«28» src=«ref-2_503239431-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i2749"> (см. рис. 3, г). Когда эти волны достигнут начала линии, напряжение и ток в ней окажутся равными нулю. Следовательно, с этого момента переходный процесс будет повторяться с периодичностью <img width=«53» height=«20» src=«ref-2_503240001-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i2750">.
В случае короткозамкнутой на конце линии в интервале времени <img width=«64» height=«20» src=«ref-2_503240371-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i2751"> картина процесса соответствует рассмотренной выше. При <img width=«75» height=«20» src=«ref-2_503240760-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i2752">, поскольку в конце линии <img width=«257» height=«28» src=«ref-2_503241165-676.coolpic» v:shapes="_x0000_i2753"> и <img width=«125» height=«28» src=«ref-2_503241841-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i2754">, что приведет к возрастанию тока в линии за фронтом волны до величины <img width=«189» height=«28» src=«ref-2_503242343-598.coolpic» v:shapes="_x0000_i2755">. При <img width=«84» height=«20» src=«ref-2_503242941-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i2756"> от источника к концу линии будет двигаться волна напряжения <img width=«76» height=«28» src=«ref-2_503243360-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i2757"> и соответствующая ей волна тока <img width=«105» height=«28» src=«ref-2_503243792-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i2758">, обусловливающая ток в линии, равный <img width=«71» height=«25» src=«ref-2_503244274-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i2759">, и т. д. Таким образом, при каждом пробеге волны ток в линии возрастает на <img width=«60» height=«25» src=«ref-2_503226547-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i2760">.
Отметим, что в реальном случае, т.е. при наличии потерь мощности, напряжение в линии в режиме ХХ постепенно выйдет на уровень, определяемый напряжением источника, а ток в режиме КЗ ограничится активным сопротивлением и проводимостью линии, а также внутренним сопротивлением источника.
Литература
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Контрольные вопросы и задачи
Какой характер имеет зависимость входного сопротивления линии от ее длины и почему? С помощью чего можно изменять характер и величину входного сопротивления цепи с распределенными параметрами? Какое допущение лежит в основе анализа переходных процессов в длинных линиях? Каким законом связаны волны напряжения и тока в переходных режимах? Линия без потерь имеет длину <img width=«72» height=«24» src=«ref-2_503245110-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i2761">, фазовая скорость волны <img width=«123» height=«29» src=«ref-2_503245529-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i2762">. При каких частотах в ней будут иметь место минимумы и максимумы входного сопротивления?
Ответ: <img width=«156» height=«29» src=«ref-2_503246019-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i2763">.
При каких длинах линии без потерь в ней будут наблюдаться резонансные явления, если фазовая скорость равна скорости света, а частота <img width=«89» height=«29» src=«ref-2_503246580-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i2764">?
Ответ: <img width=«104» height=«25» src=«ref-2_503247027-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i2765">.
Постройте эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии, питаемой от источника постоянного напряжения, при включении и отключении в ее конце резистивной нагрузки.
Лекция N 43
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по физике
Реферат по физике
Экспериментальное исследование светового поля источника видимого излучения
1 Сентября 2013
Реферат по физике
Экспериментальное подтверждение двойственности свойств магнитного поля
26 Июня 2015
Реферат по физике
Изучение тонких линз и сферических зеркал
1 Сентября 2013
Реферат по физике
Инфракрасная спектроскопия и спектроскопия кругового дихроизма Методы определения вторичной
1 Сентября 2013