Реферат: Физическое описание явления фильтрации жидкости
--PAGE_BREAK--2. Основные задачи нестационарной фильтрации2.1. Уравнение неразрывности
Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема пористой среды V, ограниченном поверхностью S. За бесконечно малое время dt приток жидкости внутрь элемента равен согласно определению скорости фильтрации
(24)
( единичный вектор нормали; за положительное направление нормали принято направление внешней нормали к поверхности; un — нормальная к поверхности составляющая скорости фильтрации). Приращение массы жидкости внутри этого элемента равняется
(25)
Приравнивая выражения (24) и (25) и используя формулу преобразования поверхностного интеграла в объёмный
находим
откуда в силу произвольности элемента V и вытекает уравнение неразрывности
(26)
2.2. Упругий режим фильтрации
1. Самым простым и наиболее изученным случаем нестационарной фильтрации является фильтрации слабосжимаемой жидкости в упругодеформируемом пласте (в технических приложениях эти задачи получили название задач упругого режима фильтрации). В основу исследования кладется система уравнений закона фильтрации и уравнения неразрывности:
(27)
Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, нужно воспользоваться тем, что свойства жидкости (плотность r и вязкость m), так же как и пористость и проницаемость пористой среды, являются функциями давления (мы предполагаем движение изотермическим).
В силу (23) имеем
исходя из предположения о слабой сжимаемости жидкости и пористой среды, можно считать относительные изменения величин rи m малыми и коэффициенты при dp/dt в предыдущих формулах постоянными:
(28)
Опытные данные показывают, что в реальных случаях
(p-p0)/Кm <<1; (p-p0)/Кr<<1 и т. д.
Подставляя второе уравнение (27) в первое и преобразуя получающее соотношение с учетом (28), находим, пренебрегая малыми величинами,
Если dp — характерное изменение давления, а L — характерная длина, то первый член в скобках имеет, очевидно, порядок dp/L2, а второй (dp)2/L2К. Отсюда следует, что вторым членом в принятом приближении также следует пренебречь. Таким образом, имеем
(29)
где коэффициент
(30)
носит название коэффициента пьезопроводности. Уравнение (29) обычно называется уравнением упругого режима или, по предложению В.Н.Щелкачева, уравнением пьезопроводности. Оно совпадает с хорошо известным классическим уравнением теплопроводности.
2. Рассмотрим постановку основных задач теории упругого режима. Определим распределение давления р в некоторой замкнутой области пространства D на протяжении промежутка времени 0 £t£T. Из теории уравнения теплопроводности известно, что если задать на границе Г области D линейную комбинацию давления и его производной по нормали к границе области
(31)
и задать начальное распределение давления в области D
p(x,y,z,0)=φ(x,y,z) (32)
то существует распределение давления p(x, y, z, t), и при том единственное, удовлетворяющее уравнению (29), непрерывное в замкнутой области D, включая границу, и удовлетворяющее условия (31) и (32).
Сформулированная задача охватывает почти все основные задачи теории упругого режима фильтрации.
Рассмотрим подробнее физический смысл тех или иных дополнительных условий.
Область, в которой ищется распределение давления жидкости, обычно представляет собой пористый пласт, частично имеющий непроницаемые границы, а частично сообщающиеся с другими пластами и вскрывающими его скважинами. На непроницаемых границах должно удовлетворятся очевидное условие отсутствия потока — равенство нормальной компоненты скорости фильтрации нулю:
un=0,
откуда, используя закон Дарси, получаем (33)
На участках границы с областями, в которых перераспределения давления практически не происходит (“области питания”), давление можно считать постоянным и известным, так что
р|Г = f(x, y , z). (34)
Такое условие справедливо, если, например, рассматриваемый пласт граничит с высокопроницаемой областью,
запас жидкости в которой весьма велик. Давление на границе такой области близко к среднему давлению в ней и ввиду ее большого объема мало зависит от процессов, происходящих в исследуемой области. Характерным примером является нефтяная залежь, окруженная со все сторон обширной водоносной областью.
При рассмотрении нестационарных процессов в залежи давление в водоносной области можно считать постоянным. Следует, однако, отчетливо представлять себе, что понятие области постоянного давления не является абсолютным. Чем более длительный характер носят изменения давления, тем на большую область они распространяются.
Часть границы области фильтрации обычно образована стенками скважины или дренажных галерей. На этой части границы чаще всего задается либо давление жидкости, либо поток ее через стенки скважины. Выбор того или иного условия зависит от режима работы скважины или галереи. Могут быть и более сложные условия, когда задается связь с расходом жидкости. Задание потока жидкости согласно закону Дарси эквивалентно заданию нормальной производной от давления.
Условия этого типа выполняются на тех участках границы, через которые может происходить обмен жидкости с соседними пластами через сравнительно слабопроницаемые перемычки. Если толщина перемычки Dмала, а давление р¢за ней можно считать постоянным, то расход вытекающей жидкости через участок перемычки площадью ds составит . Это количество жидкости должно быть равно
где un — нормальная проекция скорости фильтрации на рассматриваемом участке границы. Отсюда имеем
(35)
т.е. условия третьего рода.
Все три типа условий являются частными случаями общего условия (31). Таким образом, задавая начальное распределение давления указанные условия на границе, получаем однозначно разрешимую задачу.
2.3. Уравнения безнапорной фильтрации
несжимаемой жидкости
Под безнапорным фильтрационным движением понимают движение со свободной поверхностью, на которой давление жидкости постоянно и равно внешнему атмосферному давлению. Наиболее часто приходится встречаться с безнапорным движением подземных вод; безнапорное движение нефти встречается сравнительно редко, только при шахтной добыче.
Рассмотрим безнапорное движение в однородной и изотропной пористой среде, область течения будем предполагать ограниченной снизу непроницаемой и криволинейной поверхностью — водоупором.
Закон Дарси в рассматриваемом случае можно записать в виде:
(36)
Величина С, имеющая размерность скорости, называется коэффициентом фильтрации, =- напором, а функция Сh- фильтрационным потенциалом. Заметим, что для безнапорного движения изменения давления обычно настолько малы, что пористую среду можно считать недеформируемой, а жидкость несжимаемой, так что С =const, rg = const.
В точной постановке исследование безнапорного фильтрационного движения представляет исключительные трудности математического характера; относящиеся сюда постановки задач и результаты можно найти в книге П. Я. Полубариновой-Кочиной [94]. Поэтому приходится обращаться к некоторым упрощенным постановкам.
Большое значение имеет приближенная постановка задачи о безнапорной фильтрации, соответствующая случаю движения, которое будем называть пологим. Под пологим фильтрационным движением понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водоупора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации uz мала сравнительно с горизонтальной компонентой. Так как характерной скоростью в безнапорном фильтрационном движении является скорость С, то горизонтальная компонента скорости фильтрации может быть либо порядка С, либо малой сравнительно с С. В обоих случаях ясно, что вертикальная компонента uz мала сравнительно с С, т. е.
(37)
Это неравенство можно переписать еще так:
(38)
Но представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена фильтрацией жидкости. Неравенство (38) показывает таким образом, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления мала сравнительно с гидростатическим градиентом давления. Поэтому распределение давления по вертикали можно в случае пологих движений считать гидростатическим.
<img width=«288» height=«192» src=«ref-1_561361694-879.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1148"> Выведем важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h расстояние от свободной поверхности жидкости до водоупора, а через H- расстояние от свободной поверхности до горизонтальной плоскости z = 0; очевидно, dh/dt = dH/dt. Объем жидкости, заключенной в объеме V, равен
(39)
где площадка S представляет собой проекцию объема на горизонтальную плоскость. Изменение количества жидкости в объеме V за бесконечно малый промежуток времени dt равно поэтому
(40)
Вместе с тем это изменение равно притоку жидкости в объем V извне за время dt, равному
(41)
где g— замкнутый контур, ограничивающий площадку S, а un — нормальная компонента вектора потока , определяемого соотношением
(42)
Приравнивая (40) и (41) и используя формулу преобразования контурного интеграла в интеграл по площади
получаем
(43)
откуда, пользуясь произвольностью площадки S, находим уравнение
(44)
Согласно закону Дарси, скорость фильтрации определяется соотношением (36)
Поскольку, по предыдущему, давление распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, величина = вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна Н:
(x, y, z, t) = H (x, y, z, t) + O (uz/C); =Cgrad H + O(uz).
Таким образом, скорость можно, пренебрегая малыми величинами, вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (42), определяющем вектор Тогда получаем
= – Сhgrad H. (45)
Представляя (45) в (44), имеем
(46)
В это уравнение следует подставить соотношение
H(x, y, t) = h(x, y, t) + h0(x,y),
определяющее вертикальную координату свободной поверхности Н через ее расстояние h до водоупора и расстояние h0от водоупора до плоскости отсчета z = 0; получим окончательное уравнение для определения h. В частности, если поверхность водоупора представляет собой горизонтальную плоскость, то ее можно принять за плоскость отсчета и, следовательно, h0(x,y) можно считать равным нулю. Тогда Н= h, и уравнение (46) принимает вид:
(47)
Уравнения (46) и (47) были даны Буссинеском.
2.4. Основные уравнения фильтрации газа
При исследовании фильтрации газа основное значение имеет тот факт, что сжимаемость газа обычно на несколько порядков превышает сжимаемость пористой среды. С учетом этого обстоятельства в уравнении неразрывности
(48)
изменением пористости m во времени можно пренебречь, так что получим
(49)
Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, снова нужно использовать связь плотности газа rс его давлением р и температурой Т:
r= r(р, Т), (50)
поэтому в задаче появляется новая переменная Т, и для замыкания системы уравнений нужно добавить еще одно уравнение — уравнение энергии. Однако, если в среде отсутствуют источники выделения или поглощения энергии, то изменения температуры в процессе движения газа крайне малы, и при расчете поля давления газа ими можно пренебречь. Это обстоятельство легко понять, если учесть, во-первых, крайнюю малость скорости фильтрации и, во-вторых, наличие теплового балласта — скелета пористой среды, эффективно подавляющего изменения температуры. Будем поэтому считать, что
r= r(р, Т0)= r(р), (51)
где Т0 — постоянная температура.
Присоединяя к уравнениям (49) и (51) уравнение закона фильтрации (предполагаемого линейным)
(52)
получаем замкнутую систему уравнений. Исключая скорость фильтрации, имеем
(53)
В уравнении (53) r— известная функция давления. Аналогично и вязкость газа, зависящая в общем случае от давления и температуры, может быть представлена в виде:
m= m(р, Т0) =m(р). (54)
Таким образом, и вязкость может считаться известной функцией одного лишь давления.
Введем теперь функции
(55)
Уравнение (53) принимает при этом вид:
(56)
Можно показать, что уравнение для давления сохранит форму (56) и в случае, если учитывается деформируемость пористой среды, т. е. зависимость от давления пористости и проницаемости (среда по-прежнему считается однородной).
В простейшем случае, когда газ можно считать термодинамически идеальным, с вязкостью, не зависящей от давления,
m= const, (57)
(р0и r— постоянные). При этом
(58)
и уравнение (56) преобразуется к виду:
(59)
или
(60)
Уравнения (59) и (60) выведены в предположении постоянства температуры газа Т0. Поэтому их обычно называют уравнениями изотермической фильтрации газа.
Уравнение (60) — основное для теории фильтрации газа — получено впервые Л. С. Лейбензоном, а затем, несколько позднее, в работе Маскета и Ботсета. Преобразования (55) также берет свое начало от работ Л. С. Лейбензона. Далее уравнение (60) совпадает с уравнением Буссинеска (47) для напора при пологих безнапорных фильтрационных движениях. Эта аналогия, впервые обнаруженная Л. С. Лейбензоном, позволяет рассматривать исследование изотермической фильтрации газа и пологих безнапорных движений несжимаемой жидкости как одну задачу.
продолжение
--PAGE_BREAK--3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ ЗАДАЧИ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
3.1. Общая характеристика инвариантных задач
теории нестационарной фильтрации.
Автомодельные пологие безнапорные движения
при нулевом начальном уровне жидкости
3.3.1. Общая характеристика инвариантных задач теории нестационарной фильтрации. В разделе 2 было показано, что основные задачи гидродинамической теории нестационарной фильтрации приводят к краевым, смешанным или начальным задачам для нелинейных, как правило, дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Нелинейность вообще характерна для многих актуальных задач современной гидродинамики: газодинамики, теории волн, теории движений вязкой жидкости и т. д. В настоящее время существует сколько-нибудь общих эффективных аналитических методов решения достаточно широких классов нелинейных задач математической физики; это в полной мере относится и к теории фильтрации. Поэтому в теории фильтрации уже давно привлекли внимание своеобразные частные решения, которые выражаются через функции одной переменной. Вначале эти решения обратили на себя внимание только потому, что их получение сводилось к решению обыкновенных уравнений и представлялось (особенно в домашинную эру) более простым, чем решение уравнений в частных производных в общем случае. При построении различных приближенных методов решения, более общих, эти решения часто использовались как эталоны, позволяющие оценить точность метода. (Приближенные методы аналитического решения сохраняют, особенно в теории фильтрации, свое значение и сейчас, при широком внедрении машин, поскольку эти методы дают аналитические формулы, позволяющие наглядно проследить влияние различных параметров, а высокая точность в теории фильтрации не представляет особого интереса. В ряде случаев задачи, описываемые такими решениями, представляют и самостоятельный интерес.
Однако главная ценность таких решений была осознана позднее. Оказалось, что они представляют собой асимптотические представления решений весьма широких классов задач именно там, где детальная структура граничных и начальных условий перестает быть существенной, а эти области часто бывают наиболее интересными (например, спустя некоторое время после начала отбора из скважины, пока воронка депрессии не достигла области влияния соседней скважины и т. д.). Поэтому, зная такие решения, мы фактически получаем возможность судить, по крайней мере качественно, о поведении очень широкого класса фильтрационных движений.
Важным свойством рассматриваемых ниже решений является их инвариантность: для одних из этих решений — “автомодельных” — распределение давлений, напоров, плотностей и т. п. оказывается все время подобным самому себе, для других — перемещается как твердое тело с постоянной скоростью и т. д. Это свойство связано с особым характером задач, приводящих к таким решениям. Выполнение определенных преобразований зависимых и независимых переменных оставляет уравнения, граничные и начальные условия задачи неизменными. Как говорят в математике, эти задачи инвариантны относительно некоторой группы непрерывных преобразований. Такие задачи называются инвариантными, они рассматриваются ниже.
3.1.2. Автомодельные пологие безнапорные движения при нулевом начальном уровне жидкости. Ниже будут рассмотрены точные решения некоторых линейных задач нестационарной фильтрации, характеризующихся нулевым начальным условием. Исследование этого класса движений представляет, помимо непосредственного, также принципиальный интерес, поскольку в подобных задачах наиболее сильно проявляется существенно нелинейный характер рассматриваемой проблемы и обнаруживаются некоторые свойства нелинейных движений, резко отличающие их от соответствующих линейных задач и неизбежно утрачиваемые при линеаризации.
Будем рассматривать безнапорные пологие фильтрационные движения в первоначально сухом грунте, имея в виду, что в силу обнаруженной Л. С. Лейбензоном аналогии все результаты непосредственно переносятся на задачи изотермической фильтрации газа. Излагаемые ниже в этом параграфе решения были получены Г. И. Баренблаттом.
Рассмотрим полубесконечный пласт, имеющий снизу плоскую горизонтальную непроницаемую границу — водоупор, а со стороны канала — плоскую вертикальную границу, перпендикулярную оси x и проходящую через точку x =0.
Пусть начальный напор жидкости в пласте равен нулю, а напор на вертикальной границе пласта изменяется по степенному закону, начиная с исходного момента t =t0:
h(0, t) = s(t-t0)a, (61)
где s> 0, а a— некоторая константа, которую будем выбирать в пределах –Ѕ<α<8. В частности, константа aможет равняться нулю; в этом случае напор на границе мгновенно принимает некоторое значение sи остается постоянным.
В случае фильтрации газа сформулированная задача отвечает закачке газа в первоначально не заполненный однородный пласт постоянной мощности при изменении давления газа в начальном сечении пласта х = 0 по закону (61). Линиями равных напоров будут линии х = const, параллельные границе пласта. Таким образом, напор h(x, t) удовлетворяет уравнению
(62)
получающемуся из общего уравнения Буссинеска (47) для данных геометрических условий задачи, а также граничному условию (61), начальному условию и условию на бесконечности:
h(x, t0) = h(¥, t) = 0. (63)
<img width=«288» height=«154» src=«ref-1_561372570-767.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1149"> Напор в некоторой точке пласта h зависит от следующих аргументов: координаты х, времени, прошедшего от начало процесса t — t0(в силу однородности уравнения (62) по времени напор будет зависеть только от разности t — t0, а не от значений t и t0в отдельности), коэффициентов aи sи константы a. Вводя для удобства независимую размерность напора (это возможно, так как для рассматриваемой задачи несущественно, что размерности длины и напора одинаковы), получим размерности этих аргументов в следующем виде:
[a] = [h]-1 L2 T-1; [t — t0] = T; [x] = L; [s] = [h] T-a, (64)
где через [h], L и Т обозначены соответственно размерности напора, длины и времени; константа aбезразмерна. Из аргументов, от которых зависит напор жидкости, можно составить только две независимые безразмерные комбинации:
(65)
В силу p— теоремы анализа размерностей выражение для напора можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров, имеющей размерность напора (в качестве нее можно взять s(t — t0)a), на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций (65). Имеем таким образом
h= s(t — t0)af(x, l); l= a/(1+a), (66)
где f — безразмерная функция, а параметр lвведен вместо параметра aдля удобства последующего изложения. Очевидно, что lлежит в интервале -1 <l<1. Имеем, далее, в силу (66)
<img width=«411» height=«105» src=«ref-1_561373793-1388.coolpic» v:shapes="_x0000_s1098 _x0000_s1099">
Подставляя эти соотношения в уравнение (62) и упрощая, получаем для функции f обыкновенное дифференциальное уравнение:
(67)
После подстановки выражения (66) в граничное условие (61) и условие (63) получаем для функции f (x, l) краевые условия:
f(0, l) = 1; (68)
f(¥, l) = 0. (69)
Напор и объемный поток (расход) грунтовых вод должны быть непрерывными функциями x и t. Используя закон Дарси, имеем для расхода, приходящего на единицу ширины пласта, выражение
(70)
Таким образом, из требования непрерывности расхода следует непрерывность функции df2/dx.
При непрерывной функции f(x) и f ¹0 требование непрерывности функции df2/dx= 2fdf/dxсовпадает с требованием непрерывности производной df/dx. Однако при f = 0 из непрерывности df2/dxнепрерывность df/dxне вытекает. Напротив, как увидим далее, искомая функция f(x, l) имеет в точке, где f обращается в нуль, разрыв первой производной.
Условие (69) удобнее привести к другому виду. Умножим обе части основного уравнения (62) на х и проинтегрируем по х от нуля до бесконечности. В результате получим
Очевидно, что dh2/dx стремится к нулю при х®¥, быстрее, чем х-1, в противном случае h не стремилось бы к нулю при х®¥. Используя это обстоятельство и условие на бесконечности (63), получаем
Интегрируя это соотношение в пределах от t = t0до t и используя граничное условие (61) и представление решения (66), имеем
(напомним, что считаем aудовлетворяющим неравенству -1/2<a<¥), откуда получаем искомое условие в форме
(71)
В интересующей нас области изменения aи lправая часть (71) конечна и положительна.
3.2. ПОЛОГИЕ БЕЗНАПОРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
С НУЛЕВЫМ НАЧАЛЬНЫМ НАПОРОМ:
ПРЕДЕЛЬНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ,
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
3.2.1. Предельные автомодельные движения. Рассмотрим теперь для того же полубесконечного пласта несколько иную задачу. Будем исследовать движение на полубесконечном интервале времени (-¥, t), поэтому начальное распределение напора по пласту несущественно.
Предположим, что на больших расстояниях от границы пласта, т.е. при х®¥, напор жидкости равен нулю; следовательно,
h(¥, t) = 0. (72)
Пусть, далее, напор жидкости на границе пласта возрастет со временем по экспоненциальному закону:
h(0, t) = h0eht. (73)
Напор жидкости внутри пласта h(x, t) по-прежнему удовлетворяет уравнению
(74)
Составим полный список аргументов, от которых зависит это решение. Помимо координаты х и времени t, в этот список войдут также величины h0, == и a. Тогда размерности всех определяющих параметров решения представляются в виде:
[x]=L; [t]=T; [a]=[h]-1L2T-1; [h0]=[h]; [c]=T-1, (75)
где по-прежнему символы L, T и [h] означают соответственно размерности длины, времени и напора. Из пяти аргументов (75) с тремя независимыми размерностями можно составить две независимые комбинации, которые удобно взять в виде:
отсюда на основе p— теоремы решение рассматриваемой задачи будет
(76)
где j— безразмерная функция.
Положим теперь t = t¢+ t, где t— произвольная константа. При этом условие (72) и уравнение (74), как нетрудно проверить, записываются через новую переменную t¢, так же как и через прежнюю переменную, а условие (73) принимает вид:
(77)
Таким образом, сдвиг во времени влияет лишь на некоторое преобразование величины h0, и постановка задачи оказывается по отношению к группе преобразований переноса по времени; для определения h в переменных х, t¢, a, c, h¢0 получается та же задача, что и для определения h в переменных (75). Стало быть, на основе соотношений (76) и (77) имеем
(78)
Отсюда следует, что при любом tимеет место тождество
(79)
Положим теперь t= t и получим
(80)
Итак, функция h, зависящая от пяти аргументов (75), представляется через функцию одного аргумента:
(81)
Подставляя (81) в основное уравнение (74), получаем для функции f(x) обыкновенное дифференциальное уравнение
(82)
Подставляя выражение (81) в условие на бесконечности (72) и граничное условие (73), имеем граничные условия для функции f(x):
f(0) = 1; f(¥) = 0. (83)
В силу непрерывности напора жидкости и потока жидкости функция f(x) по-прежнему должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата df2/dx. Мы получили, таким образом, для определения функции f(x) граничную задачу того же типа, что и граничные задачи для автомодельных решений, рассмотренных в предыдущем параграфе, и соответствующую значению параметра a, равному бесконечности, т. е. l= 1. Функция f(x) = f(x, 1) тождественно равна нулю при x³x= 1,810; передний фронт х0(t) перемещается, таким образом, по закону
(84)
а скорость его перемещения равна
(85)
Полученное решение является в некотором смысле предельным для автомодельных решений, рассмотренных выше. В самом деле, положим в формуле (66)
s= h0(at)-a, (86)
где h0 — константа размерности напора; t— константа размерности времени, причем, очевидно, эти константы выбираются с точностью до некоторого постоянного множителя. Решение (66) принимает вид
(87)
Будемнеограниченно увеличивать в этом решении aпри начальном моменте t0®-¥по закону
t0= — at. (88)
Раскрывая неопределенность, получаем, что при a®¥
(89)
Уравнение (67) в пределе при a®¥переходит в уравнение (82), а условия (68) и (69) совпадают с условиями (83); f(x, l) ®f(x, 1) = f(x).
Обозначая tчерез 1/c, получаем, что при a®¥решение (87) стремится к решению (81). Поэтому решение (81) было названо предельным автомодельным решением. Это решение было получено в работе Г. И. Баренблатта. предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательства автомодельности этих решений уже недостаточно соображений анализа размерности, т. е. недостаточно инвариантности постановки задачи относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах, а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы — группы преобразований переноса по времени.
Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной задачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах. Очевидно, что предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматриваемой задачи имеет автомодельные решения обычного степенного типа с произвольным показателем степени (который может принимать сколь угодно большие значения) и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты. Как пример можно указать задачу пограничного слоя в несжимаемой жидкости, а также задачу одномерных неустановившихся движений газа. Полученные для этих задач автомодельные решения, содержащие степенные функции независимых переменных, при предельном переходе, аналогичном проделанному в рассматриваемой задаче теории фильтрации, дают предельные автомодельные решения, полученные Гольдштейном и Станюковичем путем формальной постановки.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по физике