Реферат: Численное решение уравнения Шредингера средствами Java

--PAGE_BREAK--<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1511114534-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

<img width=«175» height=«49» src=«ref-1_1511120300-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">  <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1511114534-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">(4.1)
Величина <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1511120892-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">называется преобразованием Фурье от <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1511121021-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> и наоборот. Положение множителя <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1511121147-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> довольно произвольно; часто величины <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1511121253-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> и <img width=«14» height=«17» src=«ref-1_1511121346-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> определяют более симметрично:
<img width=«222» height=«49» src=«ref-1_1511121433-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1511114534-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">

<img width=«231» height=«49» src=«ref-1_1511122132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1511114534-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> (4.2)
Выражения (4.1) или (4.2) можно скомбинировать следующим образом:
<img width=«429» height=«37» src=«ref-1_1511122836-906.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">(4.3)
Равенство (4.3) удовлетворяется для любой функции <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1511123742-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> это позволяет сделать интересный вывод об интеграле <img width=«147» height=«49» src=«ref-1_1511123873-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> как функции <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1511124371-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">. Он равен нулю всюду, кроме точки <img width=«42» height=«19» src=«ref-1_1511124462-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">, а интеграл от него по любому промежутку, включающему <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1511124580-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">, равен единице, т.е. эта функция имеет бесконечно высокий и бесконечно узкий пик в точке <img width=«42» height=«19» src=«ref-1_1511124462-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">.

Обычно определяют <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1511114534-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"><img width=«90» height=«21» src=«ref-1_1511124853-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> (Дирака) <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_1511125055-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> следующим образом:
  <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1511125181-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1511125336-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1511114534-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">  <img width=«87» height=«51» src=«ref-1_1511125527-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1511125890-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"><img width=«36» height=«19» src=«ref-1_1511125981-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">(4.4)


Из этих уравнений следует, что
<img width=«167» height=«29» src=«ref-1_1511126099-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> (4.5)
для любой функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1511121021-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">, в случае если интервал интегрирования включает точку <img width=«14» height=«14» src=«ref-1_1511126668-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">.

Проделанные выше операции над интегралами Фурье показали, что
<img width=«180» height=«49» src=«ref-1_1511126752-542.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> (4.6)
Это интегральное представление <img width=«26» height=«19» src=«ref-1_1511127294-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">функции.

Дельта – функцию можно использовать, чтобы выразить важный интеграл <img width=«87» height=«53» src=«ref-1_1511127395-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> через преобразование Фурье (4.1) от <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1511121021-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">:
<img width=«477» height=«49» src=«ref-1_1511127914-1190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">

<img width=«500» height=«40» src=«ref-1_1511129104-1168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">

<img width=«157» height=«49» src=«ref-1_1511130272-500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">(4.7)
Это равенство называется теоремой Парсеваля. Она полезна для понимания физической интерпретации преобразования Фурье для <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1511120892-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">, если известен физический смысл <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1511121021-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">.

Предположим, что <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1511121021-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> четная функция. Тогда




<img width=«359» height=«44» src=«ref-1_1511131153-728.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">
Заметим теперь, что <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1511120892-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> — также четная функция. Поэтому
<img width=«185» height=«51» src=«ref-1_1511132010-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">(4.9)
Функция <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1511121021-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">и <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_1511132677-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"><img width=«20» height=«21» src=«ref-1_1511132780-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, определенные теперь только для положительных <img width=«14» height=«14» src=«ref-1_1511126668-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> и <img width=«14» height=«17» src=«ref-1_1511132966-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">, называются косинус — преобразованиями Фурье по отношению друг к другу.

Рассматривая преобразования Фурье нечетной функции, получаем аналогичные соотношения Фурье между синус — преобразованиями Фурье:
<img width=«165» height=«51» src=«ref-1_1511133055-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> <img width=«155» height=«51» src=«ref-1_1511133570-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">(4.10)
Если нужно, можно симметризовать выражения, поставив множитель <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1511134057-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> перед каждым интегралом (4.7)-(4.10). [4]
2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split-operator method)
Рассмотрим более подробно другой метод аппроксимации оператора эволюции, в котором отсутствуют недостатки, свойственные рассмотренной выше схеме. Здесь оператор эволюции аппроксимируется симметричным расщеплением оператора кинетической энергии (split-operator method)
<img width=«346» height=«43» src=«ref-1_1511134206-947.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">(5.1)


Основная погрешность данной аппроксимации связана с некоммутативностью операторов кинетической и потенциальной энергии. Вычисление действия такого оператора на волновую функцию включает следующие шаги. Преобразованная в импульсное представление волновая функция умножается на <img width=«120» height=«24» src=«ref-1_1511135153-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> и преобразуется обратно в координатное представление, где умножается на <img width=«95» height=«25» src=«ref-1_1511135424-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">. Полученный результат снова преобразуется в импульсное представление, умножается на <img width=«120» height=«24» src=«ref-1_1511135153-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> преобразуется обратно в координатное представление. На этом один шаг по времени завершается. Переход от одного представления к

другому осуществляется посредством преобразования Фурье.

В данной курсовой работе используется Гауссов волновой пакет вида <img width=«87» height=«26» src=«ref-1_1511135927-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">, а также ступенчатый потенциал. Сначала преобразуем нашу волновую функцию из координатного представления в импульсное
<img width=«161» height=«37» src=«ref-1_1511136165-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> ,(5.2)
затем умножим полученный результат на <img width=«92» height=«51» src=«ref-1_1511136682-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">. На этом завершается половина временного шага. Полученный результат снова преобразуется в координатное представление
<img width=«193» height=«40» src=«ref-1_1511137036-669.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">(5.3)
и умножается на <img width=«112» height=«45» src=«ref-1_1511137705-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">. После чего вновь преобразуется в импульсное представление




<img width=«249» height=«49» src=«ref-1_1511138066-785.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> (5.4)
и умножается на <img width=«92» height=«51» src=«ref-1_1511138851-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">. Завершается шаг по времени еще одним преобразованием полученной волновой функции в координатное представление
<img width=«240» height=«49» src=«ref-1_1511139209-734.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">.(5.5)
Один шаг по времени завершен.

В данной работе этот метод реализован в среде Java, ниже приведены программный блок и полученные графики поведения волновой функции в различные моменты времени.

Важная особенность этого метода заключается в том, что действие каждого из операторов оценивается в их соответствующем локальном представлении.

С методической точки зрения ценность нестационарного подхода состоит в существенно большей наглядности и информативности результатов, по сравнению с результатами решения стационарного уравнения Шредингера. Круг задач, которые могут быть рассмотрены на основе решения нестационарного уравнения Шредингера очень разнообразен.

Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим задачу о движении частицы в поле потенциального барьера. Хотя стационарный подход позволяет определить коэффициенты прохождения и отражения частицы он, однако, не позволяет рассмотреть реальную пространственно-временную картину движения частицы через потенциальный барьер, которая является существенно нестационарной. Рассмотрение задачи на основе решения нестационарного уравнения Шредингера позволяет не только сопоставить классический и квантовый подход к проблеме, но и получить ответы на ряд вопросов, представляющих значительный практический интерес (например, длительность процесса туннелирования, скорости прошедших и отраженных частиц и т.д.). Ниже мы приводим результаты решения нестационарного уравнения Шредингера для данной задачи. Начальное состояние частицы задано в виде пакета гауссовой формы, движущегося в направлении области действия потенциала. На графиках представлена временная картина туннелирования такого пакета через потенциальный барьер прямоугольной формы в виде «мгновенных снимков» волнового пакета в разные моменты времени. Как видно, при попадании пакета в область действия потенциала его форма нарушается в результате формирования отраженного волнового пакета и его интерференции с падающим на препятствие пакетом. Через некоторое время формируются два пакета: отраженный и прошедший через препятствие. Движение падающего и отраженного пакета можно сопоставить с движение классической частицы, положение которой совпадает с максимумом в распределении вероятности. В случае протяженного потенциала отраженный пакет «отстает» от отраженной от барьера классической частицы. Физически это связано с тем, что пакет частично проникает в классически запрещенную область, в то время как в классике отражение происходит строго в точке скачка потенциала. Образование же прошедшего пакета представляет собой сугубо квантовый эффект не имеющий классических аналогий.[3]




3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера
3.1 Метод Нумерова
Рассмотрим решения одномерного стационарного уравнения Шредингера (3.1) частицы, движущейся в одномерном потенциале U(x).
<img width=«213» height=«51» src=«ref-1_1511139943-578.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">(3.1)
Будем при этом полагать, что его форма имеет потенциала, представленного на рис.1: в точках xmin, xmax потенциал становится бесконечно большим. Это означает, что в точках xmin, xmax расположены вертикальные стенки, а между ними находится яма конечной глубины.
<img width=«259» height=«228» src=«ref-1_1511140521-12606.coolpic» alt=«25.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_16»>

Рисунок 1.
Для удобства дальнейшего решения запишем уравнение Шредингера (3.1) в виде:
<img width=«143» height=«44» src=«ref-1_1511153127-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">(3.2)


Где
<img width=«148» height=«41» src=«ref-1_1511153516-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">(3.3)
С математической точки зрения задача состоит в отыскании собственных функций оператора<img width=«83» height=«44» src=«ref-1_1511153903-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">, отвечающим граничным условиям
<img width=«159» height=«24» src=«ref-1_1511154161-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">(3.4)
и соответствующих собственных значений энергии E.

Так как <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_1511154454-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">при <img width=«96» height=«25» src=«ref-1_1511154632-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> и <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_1511154856-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> при <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_1511155035-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">, <img width=«105» height=«25» src=«ref-1_1511155260-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">, то можно ожидать, что собственному решению данной задачи соответствует собственная функция, осциллирующая в классически разрешенной области движения <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1511155496-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"><img width=«108» height=«25» src=«ref-1_1511155661-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> и экспоненциально затухающим в запрещенных областях, где <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1511155903-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_1511155035-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">,<img width=«105» height=«25» src=«ref-1_1511155260-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">, при <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_1511156527-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">, <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_1511156667-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1511156809-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">. Так как все состояния частицы в потенциальной яме оказываются связанными (т.е. локализованными в конечной области пространства), спектр энергий является дискретным. Частица, находящаяся в потенциальной яме конечных размеров <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1511156938-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> при <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1511157109-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">, <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1511157313-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> при <img width=«99» height=«24» src=«ref-1_1511157471-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">, имеет дискретный спектр при <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1511157706-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> и непрерывный спектр при <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1511157829-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">.

Традиционно для решении задачи о нахождении собственных значений уравнения Шредингера используется метод пристрелки. Идея метода пристрелки состоит в следующем. Допустим, в качестве искомого значения ищется одно из связанных состояний, поэтому в качестве пробного начального значения энергии выбираем отрицательное собственное значение. Проинтегрируем уравнение Шредингера каким-либо известным численным методом на интервале <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_1511157953-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">. По ходу интегрирования от <img width=«28» height=«23» src=«ref-1_1511158146-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> в сторону больших значений <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1511158256-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> сначала вычисляется решение <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1511158340-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> , экспоненциально нарастающее в пределах классически запрещенной области. После перехода через точку поворота <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_1511158482-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">, ограничивающую слева область движения разрешенную классической механикой, решение уравнения становится осциллирующим. Если продолжить интегрирование далее за правую точку поворота <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_1511158595-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">, то решение становится численно неустойчивым. Это обусловлено тем, что даже при точном выборе собственного значения, для которого выполняется условие <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_1511158717-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">, решение в области <img width=«100» height=«25» src=«ref-1_1511158914-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"> всегда может содержать некоторую примесь экспоненциально растущего решения, не имеющего физического содержания. Отмеченное обстоятельство является общим правилом: интегрирование по направлению вовнутрь области, запрещенной классической механикой, будет неточным. Следовательно, для каждого значения энергии более разумно вычислить еще одно решение <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1511159139-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">, интегрируя уравнение (3.1) от <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_1511159277-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> в сторону уменьшения<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1511158256-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">. Критерием совпадения данного значения энергии является совпадение значений функций <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1511158340-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> и <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1511159139-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> в некоторой промежуточной точке <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1511159750-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">. Обычно в качестве данной точки выбирают левую точку поворота <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1511159848-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">. Так как функции <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1511158340-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">,<img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1511159139-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> являются решениями однородного уравнения (3.1), их всегда можно нормировать так, чтобы в точке <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1511159750-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> выполнялось условие <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1511160340-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">. Помимо совпадения значений функций в точке <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1511159750-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> для обеспечения гладкости сшивки решений потребуем совпадения значений их производных <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1511160676-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">
<img width=«135» height=«49» src=«ref-1_1511160919-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">(3.5)


Используя в (17) простейшие левую и правую конечно-разностные аппроксимации производных функций <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1511158340-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">, <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1511159139-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> в точке <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1511159750-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">, находим эквивалентное условие гладкости сшивки решений:
<img width=«344» height=«47» src=«ref-1_1511161796-786.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">(3.6)
Число <img width=«49» height=«27» src=«ref-1_1511162582-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> является масштабирующим множителем, который выбирается из условия <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1511162755-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> Если точки поворота отсутствуют, т.е. <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1511162879-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">E>0, то в качестве <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1511159750-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> можно выбрать любую точку отрезка <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1511163098-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">. Для потенциалов, имеющих более двух точек поворота и, соответственно, три или более однородных решений, общее решение получается сшивкой отдельных кусков. В описанном ниже документе, для интегрирования дифференциального уравнения второго порядка мы используем метод Нумерова. Для получения вычислительной схемы аппроксимируем вторую производную трехточечной разностной формулой:
<img width=«249» height=«44» src=«ref-1_1511163270-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">(3.7)
Из уравнения (3.1) имеем
<img width=«312» height=«45» src=«ref-1_1511163818-870.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">(3.8)
Подставив (3.7) в (3.8) и перегруппировав члены, получаем
<img width=«271» height=«37» src=«ref-1_1511164688-813.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">(3.9)


Разрешив (3.9) относительно <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_1511165501-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> или <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_1511165612-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">    продолжение
--PAGE_BREAK--