Реферат: Моделирование процессов тепло и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие

--PAGE_BREAK--    продолжение
--PAGE_BREAK--5.                 Михайличенко, И.Н. Способ расчёта концентрации загрязнителя при захоронении растворённых веществ / И.Н. Михайличенко // ЭВТ в обучении и моделировании. Труды IV Региональной научно – методической конференции. (16 – 17 декабря <metricconverter productid=«2005 г» w:st=«on»>2005 г., г. Бирск). – Бирск: изд-во БГСПА, 2005. – С. 294 – 303.
6.                 Михайличенко, И.Н. и др. Определение зоны заражения при подземном захоронении растворённых радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(25). – Херсон: ХНТУ, 2006. – С. 508 – 512.
7.                 Михайличенко, И.Н. и др. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, А.Г. Крупинов, И.Н. Михайличенко // Экологические системы и приборы. – 2006. – №5. – С. 27 – 35.
8.                 Михайличенко, И.Н. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / Д.А. Гюнтер, И.Н. Михайличенко// Региональная школа – конференция молодых учёных: тезисы докладов. – Уфа: Гилем, 2006. – С. 44 – 45.
9.                 Михайличенко, И.Н, Погранслойное решение в задаче о закачке радиоактивных примесей в пористый пласт/ Е.М. Девяткин, И.Н. Михайличенко // VI Региональная школа – конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных по математике, физике и химии. Тезисы докладов. – Уфа: РИО БашГУ, 2006. – С. 141 – 142.
                                    

СПИСОКОБОЗНАЧЕНИЙ a                    – коэффициент температуропроводности, м2/с;
<shapetype id="_x0000_t75" coordsize=«21600,21600» o:spt=«75» o:divferrelative=«t» path=«m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe» filled=«f» stroked=«f»><path o:extrusionok=«f» gradientshapeok=«t» o:connecttype=«rect»><lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image001.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«44» height=«26» src=«dopb143582.zip» v:shapes="_x0000_i1025">             – удельные теплоёмкости пластов, Дж/(кг·К);
<shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image003.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb143583.zip» v:shapes="_x0000_i1026">, <shape id="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image005.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«30» height=«25» src=«dopb143584.zip» v:shapes="_x0000_i1027">, <shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image007.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«33» height=«25» src=«dopb143585.zip» v:shapes="_x0000_i1028"> – коэффициенты диффузии в вертикальном и радиальном
<shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image009.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«24» height=«26» src=«dopb143586.zip» v:shapes="_x0000_i1029">, <shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image011.wmz» o:><img width=«29» height=«25» src=«dopb143587.zip» v:shapes="_x0000_i1030">, <shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image013.wmz» o:><img width=«31» height=«25» src=«dopb143588.zip» v:shapes="_x0000_i1031">, направлениях, м2/с;
h                   – полувысота пористого пласта, м;
<shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image015.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb143589.zip» v:shapes="_x0000_i1032">                  – коэффициент проницаемости, м2;
<shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image017.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb143590.zip» v:shapes="_x0000_i1033">                          – удельная теплота радиоактивного распада, Дж/кг;
m                 – пористость;
<shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image019.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb143591.zip» v:shapes="_x0000_i1034">                  – радиус скважины закачки, м;
Rp                 – положение фронта загрязнения, м;
Rw                 – положение фронта закачиваемой жидкости, м;
RТ                – положение фронта термического влияния, м;
<shape id="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image021.wmz» o:><img width=«88» height=«25» src=«dopb143592.zip» v:shapes="_x0000_i1035"> – температура носителя (загрязнителя) в различных пластах, К;
<shape id="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image023.wmz» o:><img width=«48» height=«29» src=«dopb143593.zip» v:shapes="_x0000_i1036">  – удельная теплоёмкость и плотность пористого пласта, Дж/(кг·К), кг/м3;
<shape id="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image025.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb143594.zip» v:shapes="_x0000_i1037">                 – скорость конвективного переноса примесей, м/с;
<shape id="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image027.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«18» height=«21» src=«dopb143595.zip» v:shapes="_x0000_i1038">                 – скорость фильтрации жидкости, м/с;
<shape id="_x0000_i1039" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image029.wmz» o:><img width=«20» height=«20» src=«dopb143596.zip» v:shapes="_x0000_i1039">                – истинная скорость движения жидкости, м/с;
<shape id="_x0000_i1040" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image031.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb143597.zip» v:shapes="_x0000_i1040">                                         – постоянная радиоактивного распада, с-1;.
<shape id="_x0000_i1041" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image033.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb143598.zip» v:shapes="_x0000_i1041">                 – вязкость несущей жидкости, Па с;
<shape id="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image035.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb143599.zip» v:shapes="_x0000_i1042">         – химические потенциалы примесей в скелете и жидкости
<shape id="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image037.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb143600.zip» v:shapes="_x0000_i1043">         – плотности загрязнителя в скелете и жидкости, кг/м3;
<shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image039.wmz» o:><img width=«64» height=«29» src=«dopb143601.zip» v:shapes="_x0000_i1044">   – плотности пластов, кг/м3;
<shape id="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image041.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb143602.zip» v:shapes="_x0000_i1045">                 – время, с;
<shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image043.wmz» o:><img width=«95» height=«25» src=«dopb143603.zip» v:shapes="_x0000_i1046">– коэффициенты теплопроводности в радиальном направлении, Вт/(м·К);
<shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image045.wmz» o:><img width=«96» height=«25» src=«dopb143604.zip» v:shapes="_x0000_i1047">– коэффициенты теплопроводности в вертикальном направлении, Вт/(м·К);
<shape id="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image047.wmz» o:><img width=«92» height=«25» src=«dopb143605.zip» v:shapes="_x0000_i1048">– плотности загрязнителя в различных пластах, кг/м3.

Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ С РАДИОАКТИВНЫМ ЗАГРЯЗНИТЕЛЕМ В ГЛУБОКО ЗАЛЕГАЮЩИХ ПЛАСТАХ
1.1.         Некоторые аспекты развития методов расчётов температурных и концентрационных полей в пластах Закачка растворов радиоактивных примесей в глубоко залегающие пористые пласты создает необходимость расчёта взаимосвязанных полей концентрации и температуры, что сводится к решению задач конвективной теплопроводности и конвективной диффузии. Это приводит к системе уравнений, включающей в себя уравнения непрерывности, Навье-Стокса, энергии и состояния вещества. Получающиеся дифференциальные уравнения в частных производных, на которые накладываются начальные и граничные условия, не могут быть решены без введения упрощений.
Одним из таких упрощений в задачах конвективной теплопроводности и диффузии является метод сосредоточенной ёмкости [50, 51, 52, 73], который заключается в выделении областей с мало изменяющейся вдоль одной или нескольких координат величиной, что позволяет заменять искомый параметр средним значением его в этих областях. Причем уравнения, описывающие физические процессы в указанных областях, заменяются соответствующим граничным условием в виде дифференциального уравнения в частных производных.
Температурные поля в нефтегазовых пластах в приближении сосредоточенной емкости рассмотрены в большом числе работ научных школ Башкирского, Казанского, Латвийского госуниверситетов.
Необходимо отметить работу Х.А. Ловерье [98], в которой рассмотрена термически анизотропная среда, обладающая следующими свойствами: пористый пласт, в который нагнетается вода, имеет бесконечно большую теплопроводность в вертикальном направлении и не проводит тепло посредством теплопроводности в горизонтальном направлении, породы, окружающие этот пласт, имеют конечную теплопроводность в вертикальном направлении и не проводят тепло в горизонтальном направлении. Как было показано Г.Е. Малофеевым [42] и Н.А. Авдониным [1], схема Ловерье даёт вполне удовлетворительные результаты, несмотря на упрощённые условия теплопереноса.
Большой вклад в изучение температурных полей в нефтяных пластах внёс Л.И. Рубинштейн [64]. Он разработал схемы, названные “точной схемой” и “схемой сосредоточенной ёмкости”. В “точной схеме” пласт и окружающие его породы считаются термически изотропными, имеющими теплофизические характеристики, совпадающие с характеристиками реального пласта, его кровли и подошвы. “Схема сосредоточенной ёмкости” близка к схеме Ловерье.
Считается, что пласт имеет бесконечно большую теплопроводность в вертикальном направлении, а теплопроводность пласта в направлении его простирания считается конечной, совпадающей с теплопроводностью реального пласта. Породы считаются термически изотропными с реальным значением коэффициента теплопроводности.
Теоретические изучения температурных полей при нагнетании в пласт воды проводились также М.А. Пудовкиным [63].
Вопросы захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этом экологические проблемы подробно рассматривались многими исследователями, среди которых можно выделить А.С. Белицкого, Е.И. Орлову [5], А.И. Рыбальченко, М.К. Пименова [65]. Исследованию гидродинамики и массопереноса загрязнителя посвящено большое число научных работ сотрудников ВНИИВодгео. Наиболее ценные результаты получены при проведении численных расчётов на ЭВМ по методу конечных разностей.
1.2.         Основные физические процессы при фильтрации жидкости в глубоко залегающих пластах Построение механики смесей осуществлено на основе физических законов сохранения массы, импульса и энергии. Вместе с истинной скоростью движения жидкости <shape id="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image049.wmz» o:><img width=«20» height=«20» src=«dopb143596.zip» v:shapes="_x0000_i1049"> в пористой среде вводится скорость фильтрации <shape id="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image027.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«18» height=«21» src=«dopb143595.zip» v:shapes="_x0000_i1050">
<shape id="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image050.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«67» height=«22» src=«dopb143606.zip» v:shapes="_x0000_i1051">.
(1.2.1)
Здесь m – коэффициент пористости (точнее эффективной пористости), который обуславливает фильтрацию в породе жидкости или газа и зависит от объёма пор <shape id="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image052.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«29» height=«25» src=«dopb143607.zip» v:shapes="_x0000_i1052">, через которые осуществляется фильтрация по отношению ко всему объему <shape id="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image054.wmz» o:><img width=«29» height=«25» src=«dopb143608.zip» v:shapes="_x0000_i1053"> образца <shape id="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image056.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«112» height=«27» src=«dopb143609.zip» v:shapes="_x0000_i1054">.
Скорость фильтрации безынерционного движения жидких фаз определяется законом Дарси
<shape id="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image058.wmz» o:><img width=«116» height=«51» src=«dopb143610.zip» v:shapes="_x0000_i1055">.
(1.2.3)
В большинстве встречающихся (и, что важно, “рассчитываемых”) фильтрационных процессов деформация пористого скелета, сжимаемость и связанные с этим изменения температур жидкостей являются малыми. Основными эффектами, определяющими движение системы, являются неравновесное совместное движение нескольких жидких фаз, молекулярная и конвективная диффузия растворённых в фазах компонент, поглощение твёрдой фазой или сорбция компонент, массообмен между фазами и т.д.
Ограничимся рассмотрением задачи для одного загрязнителя, который является радиоактивным или химически активным. Стоит отметить, что концентрации загрязнителя в скелете пористой среды и в насыщающем её несжимаемом растворе быстро выравниваются в силу большой поверхности соприкосновения. Как было показано в работе О.И. Коркешко [30], время протекания массообмена между жидкостью и скелетом оказывается порядка 0.1 с. Растворы, рассматриваемые в работе, считаются идеальными, что соответствует случаю одинакового взаимодействия молекул между собой независимо от того, одинаковы они или различны.
При рассмотрении температурной задачи считается, что нагнетание теплоносителя не сопровождается никакими процессами изменения фазового состояния пластовых жидкостей; теплофизические характеристики жидкости, насыщавшей пласт до начала нагнетания, совпадают с характеристиками нагнетаемой жидкости; начальная температура пласта и окружающих его пород стационарна. Полагаем, что температуры скелета пористой среды и насыщающей её несжимаемой жидкости одинаковы, так как теплообмен (наряду с массообменом) между скелетом и жидкостью осуществляется сравнительно быстро. Это допущение выполняется вследствие большой удельной поверхности пористых сред глубоко залегающих пластов (~<shape id="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image060.wmz» o:><img width=«91» height=«32» src=«dopb143611.zip» v:shapes="_x0000_i1056">).
Жидкость считается несжимаемой, капиллярными силами, силой тяжести, а также температурными изменениями объёмов и тепловых свойств рассматриваемой системы пренебрегаем.
1.3.         Уравнение конвективной диффузии с учетом радиоактивного распада и обмена жидкости со скелетом Постановка задачи о распределении концентрации вредных примесей при закачке растворов в глубоко залегающие пористые пласты основана на законе сохранения массы входящих в состав примесей. Для загрязнителя, находящегося в скелете пласта, справедливо уравнение неразрывности
<shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image062.wmz» o:><img width=«334» height=«46» src=«dopb143612.zip» v:shapes="_x0000_i1057">
(1.3.1)
где <shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image064.wmz» o:><img width=«154» height=«28» src=«dopb143613.zip» v:shapes="_x0000_i1058"> – диффузионный поток вещества в скелете, <shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image066.wmz» o:><img width=«52» height=«29» src=«dopb143614.zip» v:shapes="_x0000_i1059"> – соответственно плотность и коэффициент диффузии радиоактивного вещества в скелете, m – пористость скелета, <shape id="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image068.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb143615.zip» v:shapes="_x0000_i1060"> – функция массообмена между скелетом и жидкостью, показывающая изменение плотности вещества в скелете за счёт диффузии молекул примеси из жидкости в скелет, <shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image070.wmz» o:><img width=«85» height=«25» src=«dopb143616.zip» v:shapes="_x0000_i1061"> – функция источников концентрации, определяющая потери загрязнителя за счёт радиоактивного распада.
Для загрязнителя, находящегося в жидкости, уравнение неразрывности принимает вид
<shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image072.wmz» o:><img width=«369» height=«47» src=«dopb143617.zip» v:shapes="_x0000_i1062">,
(1.3.2)
где <shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image074.wmz» o:><img width=«144» height=«29» src=«dopb143618.zip» v:shapes="_x0000_i1063"> – диффузионный поток радиоактивного вещества в жидкости, текущей в пласте, <shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image076.wmz» o:><img width=«65» height=«25» src=«dopb143619.zip» v:shapes="_x0000_i1064"> – соответственно плотность и коэффициент диффузии радиоактивного вещества в жидкости. Будем считать, что процесс перехода молекул примеси из жидкости в скелет и её переход из скелета в жидкость определяется соотношением химических потенциалов <shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image078.wmz» o:><img width=«56» height=«25» src=«dopb143620.zip» v:shapes="_x0000_i1065">. При этом, из закона сохранения следует, что потоки вещества из жидкости в скелет и обратно равны, но противоположны по знаку. Это приводит к появлению в правых частях уравнений одной и той же функции <shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image080.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«75» height=«25» src=«dopb143615.zip» v:shapes="_x0000_i1066">, но с противоположным знаком. Полагая далее пористость mпостоянной, и складывая уравнения (1.3.1) и (1.3.2), получим
<shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image081.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«489» height=«75» src=«dopb143621.zip» v:shapes="_x0000_i1067">
(1.3.3)
Равновесные концентрации примеси в скелете и в жидкости связаны между собой соотношением <shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image083.wmz» o:><img width=«96» height=«25» src=«dopb143622.zip» v:shapes="_x0000_i1068"> (изотерма сорбции), где <shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image085.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb143623.zip» v:shapes="_x0000_i1069"> – некоторая функция концентрации примеси в жидкости.
Будем считать, что зависимость концентрации примеси в скелете от концентрации её в жидкости линейна (изотерма Генри), что является хорошим приближением при сравнительно небольших концентрациях мигранта
<shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image087.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«85» height=«25» src=«dopb143624.zip» v:shapes="_x0000_i1070">,
(1.3.4)
где <shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image089.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb143625.zip» v:shapes="_x0000_i1071">– коэффициент распределения загрязнителя между носителем и скелетом.
Тогда последнее уравнение принимает вид
<shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image091.wmz» o:><img width=«392» height=«77» src=«dopb143626.zip» v:shapes="_x0000_i1072">
(1.3.5)
Учитывая, что для несжимаемой жидкости <shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image093.wmz» o:><img width=«59» height=«24» src=«dopb143627.zip» v:shapes="_x0000_i1073">, а следовательно, <shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image095.wmz» o:><img width=«127» height=«25» src=«dopb143628.zip» v:shapes="_x0000_i1074">, из последнего уравнения получим
<shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image097.wmz» o:><img width=«284» height=«52» src=«dopb143629.zip» v:shapes="_x0000_i1075">.
(1.3.6)
Здесь введено обозначение
<shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image099.wmz» o:><img width=«191» height=«52» src=«dopb143630.zip» v:shapes="_x0000_i1076"> 
(1.3.7)
– эффективный коэффициент диффузии в пласте. Из (1.3.6) следует, что в уравнении, описывающем миграцию загрязнителя, необходимо учитывать конвективный перенос загрязнителя, “осложнённый” наличием пористости в скелете и протекающими массообменными процессами между загрязнителем и скелетом. Уравнение (1.3.6) позволяет определить скорость конвективного переноса примесей в пористой среде по аналогии со скоростью конвективного переноса тепла и скоростью фильтрации <shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image101.wmz» o:><img width=«19» height=«21» src=«dopb143631.zip» v:shapes="_x0000_i1077">
<shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image103.wmz» o:><img width=«140» height=«52» src=«dopb143632.zip» v:shapes="_x0000_i1078">.
(1.3.8)
Скорость конвективного переноса примеси <shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image025.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb143594.zip» v:shapes="_x0000_i1079"> определяет положение фронта загрязнения Rd подобно тому, как скорость фильтрации <shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image105.wmz» o:><img width=«19» height=«21» src=«dopb143633.zip» v:shapes="_x0000_i1080"> определяет положение фронта закачиваемой жидкости Rw. При этом положение фронта закачиваемой жидкости определяется из баланса массы закачиваемой жидкости. В случае закачки с постоянной скоростью <shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image107.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb143634.zip» v:shapes="_x0000_i1081"> через скважину радиуса r0 выражение для Rw имеет вид
<shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image109.wmz» o:><img width=«385» height=«52» src=«dopb143635.zip» v:shapes="_x0000_i1082">.
(1.3.9)
Соответствующие радиусы зоны загрязнения и термических возмущений определяются в пунктах 2.1 и 3.1.
1.4. Задача теплопереноса 1.4.1. Математическая постановка задачи теплопереноса и её обезразмеривание Рассмотрим задачу о распространении радиоактивных примесей в пористом глубоко залегающем пласте, в который закачивается жидкость с растворёнными радиоактивными веществами. Такая задача является фундаментальной для подземного захоронения радиоактивных отходов и отходов химических производств.
Одним из способов прогнозирования динамики поведения радиоактивных и химических примесей в глубокозалегающих пластах, является исследование их температурных полей. Современные приборы и методики измерения температуры позволяют проводить оперативные измерения с точностью, превосходящей тысячные доли градуса. Температурные измерения в таких условиях можно использовать для контроля продвижения радиоактивной зоны.
Соответствующие температурные аномалии возникают как за счет отличия температуры закачиваемой жидкости от естественной температуры пластов, так и за счет энергии, выделяющейся при распаде радиоактивных веществ.
В результате одного акта радиоактивного распада выделяется энергия ~ 1 МэВ. Согласно действующим в России Нормам радиационной безопасности и санитарным правилам высокоактивными жидкими радиоактивными отходами (РАО) признаются отходы, активность которых > 1 Ки/л. Следовательно, для высокоактивных отходов выделяемая мощность оказывается порядка ~ <shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image111.wmz» o:><img width=«185» height=«28» src=«dopb143636.zip» v:shapes="_x0000_i1083"> ~ 5 Вт/м3. Причём, для средне- и долгоживущих нуклидов эта мощность мало меняется на протяжении лет и даже десятилетий. Выделяемая энергия является весьма существенной и приводит к значительному изменению температурного поля.
На рис. 1.1 представлена геометрия задачи в цилиндрической системе координат, ось z которой совпадает с осью скважины. Среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела z= ±h. Закачка примесей в область ‑h < z< h производится из скважины радиуса r0; покрывающий (кровля) и подстилающий (подошва) пласты считаются непроницаемыми; средняя область толщины 2h является пористой; все пласты считаются однородными и анизотропными по теплофизическим свойствам.
<imagedata src=«31224.files/image113.png» o:><img width=«391» height=«221» src=«dopb143637.zip» v:shapes="_x0000_i1084">
Рис. 1.1. Геометрия задачи теплопереноса
Через скважину малого (по сравнению с расстоянием до точки наблюдения) радиуса <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image019.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb143591.zip» v:shapes="_x0000_i1085"> в горизонтальный бесконечный пласт толщиной <shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image115.wmz» o:><img width=«92» height=«25» src=«dopb143638.zip» v:shapes="_x0000_i1086"> закачивается вода с радиоактивным загрязнителем.
В поступающей в пласт жидкости (при <shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image117.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb143639.zip» v:shapes="_x0000_i1087">) поддерживаются постоянная температура <shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image119.wmz» o:><img width=«40» height=«25» src=«dopb143640.zip» v:shapes="_x0000_i1088"> и концентрация примеси <shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image121.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb143641.zip» v:shapes="_x0000_i1089">. В общем случае температура и концентрация загрязнителя в пласте изменяются за счёт конвективного переноса вдоль направления <shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image123.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb143642.zip» v:shapes="_x0000_i1090">, радиальной теплопроводности и диффузии вдоль <shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image125.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb143642.zip» v:shapes="_x0000_i1091">, теплопроводности и диффузии вдоль <shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image126.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb143643.zip» v:shapes="_x0000_i1092">, за счёт наличия тепловых источников и источников концентрации (в нашем случае такими источниками является радиоактивный распад загрязнителя).
    продолжение
--PAGE_BREAK--В окружающих средах имеет место теплопроводность и диффузия вдоль <shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image128.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb143643.zip» v:shapes="_x0000_i1093"> и радиальная теплопроводность и диффузия вдоль <shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image129.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb143642.zip» v:shapes="_x0000_i1094">. В пласте концентрация примеси <shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image130.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb143644.zip» v:shapes="_x0000_i1095">, температура – <shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image132.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143645.zip» v:shapes="_x0000_i1096">, коэффициент диффузии вдоль <shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image134.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb143643.zip» v:shapes="_x0000_i1097"> равен <shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image135.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb143646.zip» v:shapes="_x0000_i1098">, коэффициент теплопроводности – <shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image137.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143647.zip» v:shapes="_x0000_i1099">, коэффициент радиальной диффузии – <shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image139.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb143648.zip» v:shapes="_x0000_i1100">, коэффициент радиальной теплопроводности – <shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image141.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143649.zip» v:shapes="_x0000_i1101">, в покрывающих пласт породах соответственно – <shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image143.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143650.zip» v:shapes="_x0000_i1102">, <shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image145.wmz» o:><img width=«26» height=«26» src=«dopb143651.zip» v:shapes="_x0000_i1103">, <shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image147.wmz» o:><img width=«31» height=«25» src=«dopb143652.zip» v:shapes="_x0000_i1104">, <shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image149.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb143653.zip» v:shapes="_x0000_i1105">, <shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image151.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb143654.zip» v:shapes="_x0000_i1106">, <shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image153.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb143655.zip» v:shapes="_x0000_i1107">, в подстилающих породах – <shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image155.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143656.zip» v:shapes="_x0000_i1108">, <shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image157.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb143657.zip» v:shapes="_x0000_i1109">,<shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image159.wmz» o:><img width=«30» height=«25» src=«dopb143658.zip» v:shapes="_x0000_i1110">, <shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image161.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb143659.zip» v:shapes="_x0000_i1111">, <shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image163.wmz» o:><img width=«32» height=«25» src=«dopb143660.zip» v:shapes="_x0000_i1112">, <shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image165.wmz» o:><img width=«29» height=«25» src=«dopb143661.zip» v:shapes="_x0000_i1113">. Кроме того, постулируются условия равенства температур и концентраций, а также плотностей тепловых и диффузионных потоков на границах соприкосновения, накладываются начальные и граничные условия. В начальный момент времени везде и в бесконечно удалённых точках всегда концентрации примеси в пласте и в окружающих средах равны нулю.
Математическая постановка задачи теплопереноса для всех областей, таким образом, включает уравнение теплопроводности с учётом радиоактивного распада в покрывающем
<shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image167.wmz» o:><img width=«403» height=«87» src=«dopb143662.zip» v:shapes="_x0000_i1114">
(1.4.1)
и подстилающем
<shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image169.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«407» height=«87» src=«dopb143663.zip» v:shapes="_x0000_i1115">
(1.4.2)
пластах, а также уравнение конвективного переноса с учётом радиоактивного распада в пористом пласте
<shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image171.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«413» height=«89» src=«dopb143664.zip» v:shapes="_x0000_i1116">
(1.4.3)
Сомножитель при <shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image173.wmz» o:><img width=«64» height=«25» src=«dopb143665.zip» v:shapes="_x0000_i1117"> во втором слагаемом в левой части уравнения (1.4.3) в развёрнутом виде
<shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image175.wmz» o:><img width=«303» height=«52» src=«dopb143666.zip» v:shapes="_x0000_i1118">.
Условия сопряжения включают в себя равенство температур
<shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image177.wmz» o:><img width=«128» height=«33» src=«dopb143667.zip» v:shapes="_x0000_i1119">,  <shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image179.wmz» o:><img width=«150» height=«33» src=«dopb143668.zip» v:shapes="_x0000_i1120">
(1.4.4)
и потоков тепла на границах раздела пластов
<shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image181.wmz» o:><img width=«213» height=«63» src=«dopb143669.zip» v:shapes="_x0000_i1121"> <shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image183.wmz» o:><img width=«220» height=«63» src=«dopb143670.zip» v:shapes="_x0000_i1122">.
(1.4.5)
В уравнениях (1.4.1) – (1.4.3) учтено, что плотность радиоактивного нуклида в данной точке пространства определяется суммой плотностей в носителе и в скелете, которые связаны соотношением (1.3.4).
В начальный момент времени температура пластов <shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image185.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb143671.zip» v:shapes="_x0000_i1123"> является естественной невозмущённой температурой Земли на данной глубине. Рассматривая глубины, превышающие порог влияния сезонных температур (~100 м), будем считать, что в силу малой величины градиента температурного поля Земли (~0.01 К/м) и небольшой толщины пористого пласта (~10 м)
<shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image187.wmz» o:><img width=«104» height=«29» src=«dopb143672.zip» v:shapes="_x0000_i1124"> <shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image189.wmz» o:><img width=«104» height=«29» src=«dopb143673.zip» v:shapes="_x0000_i1125"> <shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image191.wmz» o:><img width=«91» height=«29» src=«dopb143674.zip» v:shapes="_x0000_i1126">,
<shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image193.wmz» o:><img width=«353» height=«35» src=«dopb143675.zip» v:shapes="_x0000_i1127">.
(1.4.6)
Температура загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, равна <shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image195.wmz» o:><img width=«36» height=«27» src=«dopb143676.zip» v:shapes="_x0000_i1128">
<shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image197.wmz» o:><img width=«101» height=«33» src=«dopb143677.zip» v:shapes="_x0000_i1129">.
(1.4.7)
Будем в дальнейшем искать превышение температуры в пластах над естественной температурой, выраженное в единицах геотермической температуры в пористом пласте <shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image199.wmz» o:><img width=«179» height=«25» src=«dopb143678.zip» v:shapes="_x0000_i1130">.
При решении задачи удобно перейти к безразмерным координатам, определяемым соотношениями
<shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image201.wmz» o:><img width=«99» height=«52» src=«dopb143679.zip» v:shapes="_x0000_i1131">,  <shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image203.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«48» height=«47» src=«dopb143680.zip» v:shapes="_x0000_i1132">,  <shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image205.wmz» o:><img width=«53» height=«48» src=«dopb143681.zip» v:shapes="_x0000_i1133">,  <shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image207.wmz» o:><img width=«113» height=«56» src=«dopb143682.zip» v:shapes="_x0000_i1134">,  <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image209.wmz» o:><img width=«116» height=«56» src=«dopb143683.zip» v:shapes="_x0000_i1135">,
<shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image211.wmz» o:><img width=«119» height=«56» src=«dopb143684.zip» v:shapes="_x0000_i1136">,   <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image213.wmz» o:><img width=«97» height=«53» src=«dopb143685.zip» v:shapes="_x0000_i1137">,   <shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image215.wmz» o:><img width=«73» height=«53» src=«dopb143686.zip» v:shapes="_x0000_i1138">,   <shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image217.wmz» o:><img width=«53» height=«52» src=«dopb143687.zip» v:shapes="_x0000_i1139">,
<shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image219.wmz» o:><img width=«71» height=«55» src=«dopb143688.zip» v:shapes="_x0000_i1140">,    <shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image221.wmz» o:><img width=«79» height=«60» src=«dopb143689.zip» v:shapes="_x0000_i1141">,    <shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image223.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«165» height=«53» src=«dopb143690.zip» v:shapes="_x0000_i1142">.
(1.4.8)
Сразу заметим, что в силу (1.3.7)
<shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image225.wmz» o:><img width=«149» height=«52» src=«dopb143691.zip» v:shapes="_x0000_i1143">.
(1.4.9)
Безразмерный параметр At представляет собой отношение времени тепловой релаксации слоёв к среднему времени жизни радиоактивного нуклида. Выражение Pt является аналогом параметра Пекле, поскольку определяется аналогично последнему, но через температуропроводность настилающего, а не несущего пласта. Величина <shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image227.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb143692.zip» v:shapes="_x0000_i1144"> определяет отношение изменения температуры, вызванного «мгновенным» распадом радиоактивного нуклида к разности температур закачиваемой жидкости и естественной геотермической температуры пласта.
 Для больших <shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image227.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb143692.zip» v:shapes="_x0000_i1145"> температурное поле определяется в основном энергией радиоактивного распада, для малых – конвективным переносом тепла, обусловленного различием температур закачиваемой жидкости и пласта.
В силу большого значения аналога параметра Пекле (Рt ~ <shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image229.wmz» o:><img width=«25» height=«21» src=«dopb143693.zip» v:shapes="_x0000_i1146">), в пористом пласте можно пренебречь радиальной кондуктивной теплопроводностью по сравнению с конвективным переносом тепла.
Аналогично, для настилающего и подстилающего пластов изменение радиальной составляющей температурного поля будет в значительной мере определяться конвективным переносом тепла в пористом пласте, что позволяет пренебречь для них вкладом соответствующих радиальных теплопроводностей.
Таким образом, во всех уравнениях, получающихся из (1.4.1) – (1.4.3) исчезнут слагаемые, содержащие <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image231.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb143694.zip» v:shapes="_x0000_i1147"> и интересующие нас уравнения запишутся в виде (соответственно для настилающего, подстилающего и пористого пластов):
<shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image233.wmz» o:><img width=«335» height=«53» src=«dopb143695.zip» v:shapes="_x0000_i1148">,
(1.4.10)
<shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image235.wmz» o:><img width=«397» height=«53» src=«dopb143696.zip» v:shapes="_x0000_i1149">,
(1.4.11)
<shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image237.wmz» o:><img width=«558» height=«53» src=«dopb143697.zip» v:shapes="_x0000_i1150">,
(1.4.12)
а условия сопряжения, граничные и начальные условия принимают вид
<shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image239.wmz» o:><img width=«103» height=«29» src=«dopb143698.zip» v:shapes="_x0000_i1151"> <shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image241.wmz» o:><img width=«97» height=«29» src=«dopb143699.zip» v:shapes="_x0000_i1152">,
(1.4.13)
<shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image243.wmz» o:><img width=«156» height=«59» src=«dopb143700.zip» v:shapes="_x0000_i1153">,  <shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image245.wmz» o:><img width=«172» height=«59» src=«dopb143701.zip» v:shapes="_x0000_i1154">,
(1.4.14)
<shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image247.wmz» o:><img width=«67» height=«29» src=«dopb143702.zip» v:shapes="_x0000_i1155">,
(1.4.15)
<shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image249.wmz» o:><img width=«68» height=«29» src=«dopb143703.zip» v:shapes="_x0000_i1156">,  <shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image251.wmz» o:><img width=«76» height=«29» src=«dopb143704.zip» v:shapes="_x0000_i1157">,  <shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image253.wmz» o:><img width=«75» height=«29» src=«dopb143705.zip» v:shapes="_x0000_i1158">,
(1.4.16)
<shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image255.wmz» o:><img width=«87» height=«29» src=«dopb143706.zip» v:shapes="_x0000_i1159">,  <shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image257.wmz» o:><img width=«103» height=«30» src=«dopb143707.zip» v:shapes="_x0000_i1160">,  <shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image259.wmz» o:><img width=«109» height=«35» src=«dopb143708.zip» v:shapes="_x0000_i1161">.
(1.4.17)
Уравнения и равенства (1.4.10) – (1.4.17) представляют математическую постановку задачи теплопереноса.
1.3.1.  Разложение задачи теплопереноса по асимптотическому параметру Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра <shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image261.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb143709.zip» v:shapes="_x0000_i1162"> путем формальной замены <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image263.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143710.zip» v:shapes="_x0000_i1163"> на <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image265.wmz» o:><img width=«40» height=«25» src=«dopb143711.zip» v:shapes="_x0000_i1164"> и, соответственно, <shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image267.wmz» o:><img width=«25» height=«29» src=«dopb143712.zip» v:shapes="_x0000_i1165"> на <shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image269.wmz» o:><img width=«33» height=«29» src=«dopb143713.zip» v:shapes="_x0000_i1166">, а <shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image271.wmz» o:><img width=«85» height=«29» src=«dopb143714.zip» v:shapes="_x0000_i1167"> на <shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image273.wmz» o:><img width=«33» height=«29» src=«dopb143715.zip» v:shapes="_x0000_i1168">. Задача (1.4.10) – (1.4.17) является, таким образом, частным случаем более общей задачи при <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image275.wmz» o:><img width=«37» height=«20» src=«dopb143716.zip» v:shapes="_x0000_i1169">.
<shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image277.wmz» o:><img width=«312» height=«53» src=«dopb143717.zip» v:shapes="_x0000_i1170">,
(1.4.18)
<shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image279.wmz» o:><img width=«384» height=«53» src=«dopb143718.zip» v:shapes="_x0000_i1171">,
(1.4.19)
<shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image281.wmz» o:><img width=«554» height=«53» src=«dopb143719.zip» v:shapes="_x0000_i1172">,
(1.4.20)
<shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image283.wmz» o:><img width=«91» height=«29» src=«dopb143720.zip» v:shapes="_x0000_i1173">  <shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image285.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb143721.zip» v:shapes="_x0000_i1174">,
(1.4.21)
<shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image287.wmz» o:><img width=«166» height=«59» src=«dopb143722.zip» v:shapes="_x0000_i1175">,  <shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image289.wmz» o:><img width=«184» height=«59» src=«dopb143723.zip» v:shapes="_x0000_i1176">,
(1.4.22)
<shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image291.wmz» o:><img width=«67» height=«29» src=«dopb143702.zip» v:shapes="_x0000_i1177">,
(1.4.23)
<shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image292.wmz» o:><img width=«68» height=«29» src=«dopb143724.zip» v:shapes="_x0000_i1178">,  <shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image294.wmz» o:><img width=«77» height=«29» src=«dopb143725.zip» v:shapes="_x0000_i1179">,  <shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image296.wmz» o:><img width=«73» height=«29» src=«dopb143726.zip» v:shapes="_x0000_i1180">,
(1.4.24)
<shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image298.wmz» o:><img width=«87» height=«29» src=«dopb143727.zip» v:shapes="_x0000_i1181">,  <shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image300.wmz» o:><img width=«104» height=«29» src=«dopb143728.zip» v:shapes="_x0000_i1182">,  <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image302.wmz» o:><img width=«111» height=«35» src=«dopb143729.zip» v:shapes="_x0000_i1183">.
(1.4.25)
Будем искать решение задачи (1.4.18) – (1.4.25), разлагая каждое <shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image304.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb143730.zip» v:shapes="_x0000_i1184"> в ряд по параметру <shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image306.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb143709.zip» v:shapes="_x0000_i1185">. При этом асимптотические формулы с остаточным членом для данных разложений имеют вид
<shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image307.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«264» height=«36» src=«dopb143731.zip» v:shapes="_x0000_i1186">,   <shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image309.wmz» o:><img width=«271» height=«32» src=«dopb143732.zip» v:shapes="_x0000_i1187">,   <shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image311.wmz» o:><img width=«273» height=«32» src=«dopb143733.zip» v:shapes="_x0000_i1188"> .
(1.4.26)
Решение исходной задачи будет получено из решения параметризованной задачи при <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image313.wmz» o:><img width=«37» height=«20» src=«dopb143734.zip» v:shapes="_x0000_i1189">. Подставив (1.4.26) в (1.4.18) – (1.4.25) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения <shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image315.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb143709.zip» v:shapes="_x0000_i1190">, получим следующую постановку параметризованной задачи (вместе с граничными условиями)
<shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image316.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«487» height=«88» src=«dopb143735.zip» v:shapes="_x0000_i1191">
(1.4.27)
<shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image318.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«556» height=«88» src=«dopb143736.zip» v:shapes="_x0000_i1192">
(1.4.28)
<shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image320.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«542» height=«123» src=«dopb143737.zip» v:shapes="_x0000_i1193">
(1.4.29)
<shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image322.wmz» o:><img width=«347» height=«68» src=«dopb143738.zip» v:shapes="_x0000_i1194">,
<shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image324.wmz» o:><img width=«372» height=«67» src=«dopb143739.zip» v:shapes="_x0000_i1195">,
(1.4.30)
<shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image326.wmz» o:><img width=«292» height=«41» src=«dopb143740.zip» v:shapes="_x0000_i1196">,
<shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image328.wmz» o:><img width=«296» height=«42» src=«dopb143741.zip» v:shapes="_x0000_i1197">,
(1.4.31)
<shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image330.wmz» o:><img width=«195» height=«40» src=«dopb143742.zip» v:shapes="_x0000_i1198">,  <shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image332.wmz» o:><img width=«197» height=«39» src=«dopb143743.zip» v:shapes="_x0000_i1199">, <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image334.wmz» o:><img width=«195» height=«40» src=«dopb143744.zip» v:shapes="_x0000_i1200">,
(1.4.32)
<shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image336.wmz» o:><img width=«188» height=«39» src=«dopb143745.zip» v:shapes="_x0000_i1201">,
(1.4.33)
<shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image338.wmz» o:><img width=«211» height=«39» src=«dopb143746.zip» v:shapes="_x0000_i1202">, <shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image340.wmz» o:><img width=«229» height=«40» src=«dopb143747.zip» v:shapes="_x0000_i1203">,
<shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image342.wmz» o:><img width=«243» height=«44» src=«dopb143748.zip» v:shapes="_x0000_i1204">
(1.4.34)
При этом плотность загрязнителя, входящая в (1.4.27) – (1.4.29), также будет разлагаться по параметру асимптотического разложения <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image344.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143749.zip» v:shapes="_x0000_i1205">, причём это разложение производится независимо от разложения (1.4.26), хотя и по тому же принципу.
1.3.2.  Математическая постановка задачи теплопереноса в нулевом приближении Из (1.4.29) для коэффициентов при <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image346.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143750.zip» v:shapes="_x0000_i1206"> (нулевое приближение) получим <shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image348.wmz» o:><img width=«115» height=«29» src=«dopb143751.zip» v:shapes="_x0000_i1207">, тогда <shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image350.wmz» o:><img width=«133» height=«29» src=«dopb143752.zip» v:shapes="_x0000_i1208">. Таким образом, в нулевом приближении температура загрязнителя является функцией только от r и t. Из условий сопряжения (1.4.30) <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image352.wmz» o:><img width=«77» height=«24» src=«dopb143753.zip» v:shapes="_x0000_i1209">. Следовательно, температура загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта <shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image354.wmz» o:><img width=«117» height=«29» src=«dopb143754.zip» v:shapes="_x0000_i1210">. Приравнивая коэффициенты при <shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image356.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb143755.zip» v:shapes="_x0000_i1211"> к нулю в уравнении (1.4.29), получим
<shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image358.wmz» o:><img width=«457» height=«53» src=«dopb143756.zip» v:shapes="_x0000_i1212">.
(1.4.35)
Сумму первых двух слагаемых в правой части этого уравнения, не зависящую от z, обозначим через <shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image360.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb143757.zip» v:shapes="_x0000_i1213">
<shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image362.wmz» o:><img width=«212» height=«51» src=«dopb143758.zip» v:shapes="_x0000_i1214">.
(1.4.36)
Тогда
<shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image364.wmz» o:><img width=«365» height=«53» src=«dopb143759.zip» v:shapes="_x0000_i1215">,
(1.4.37)
следовательно,
<shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image366.wmz» o:><img width=«488» height=«55» src=«dopb143760.zip» v:shapes="_x0000_i1216">.
(1.4.38)
При z= 1, воспользовавшись (1.4.30)
<shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image368.wmz» o:><img width=«549» height=«69» src=«dopb143761.zip» v:shapes="_x0000_i1217">,
(1.4.39)
при z= – 1
<shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image370.wmz» o:><img width=«556» height=«69» src=«dopb143762.zip» v:shapes="_x0000_i1218">.
(1.4.40)
Вычитая и складывая два последних уравнения, получим для функций <shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image372.wmz» o:><img width=«56» height=«25» src=«dopb143763.zip» v:shapes="_x0000_i1219"> и <shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image374.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb143764.zip» v:shapes="_x0000_i1220">следующие выражения:
<shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image376.wmz» o:><img width=«552» height=«68» src=«dopb143765.zip» v:shapes="_x0000_i1221">,
(1.4.41)
<shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image378.wmz» o:><img width=«565» height=«73» src=«dopb143766.zip» v:shapes="_x0000_i1222">.
(1.4.42)
Проинтегрировав (1.4.38), получим
<shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image380.wmz» o:><img width=«534» height=«56» src=«dopb143767.zip» v:shapes="_x0000_i1223">,
(1.4.43)
здесь <shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image382.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«58» height=«25» src=«dopb143768.zip» v:shapes="_x0000_i1224"> функция, не зависящая от z, значение которой предстоит найти.
Подставив выражение <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image384.wmz» o:><img width=«56» height=«25» src=«dopb143763.zip» v:shapes="_x0000_i1225"> из (1.4.41) в (1.4.36), получим для нулевого приближения уравнение гиперболического типа со следами производных из внешних областей
<shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image385.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«558» height=«74» src=«dopb143769.zip» v:shapes="_x0000_i1226">
(1.4.44)
Окончательная постановка задачи в нулевом приближении наряду с (1.4.44) включает также уравнения для окружающих сред, начальные, граничные условия и условия сопряжения
<shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image387.wmz» o:><img width=«348» height=«57» src=«dopb143770.zip» v:shapes="_x0000_i1227">,
(1.4.45)
<shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image389.wmz» o:><img width=«421» height=«57» src=«dopb143771.zip» v:shapes="_x0000_i1228">,
(1.4.46)
<shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image391.wmz» o:><img width=«167» height=«41» src=«dopb143772.zip» v:shapes="_x0000_i1229">,
(1.4.47)
<shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image393.wmz» o:><img width=«258» height=«40» src=«dopb143773.zip» v:shapes="_x0000_i1230">
(1.4.48)
<shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image395.wmz» o:><img width=«85» height=«39» src=«dopb143774.zip» v:shapes="_x0000_i1231">,
(1.4.49)
<shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image397.wmz» o:><img width=«103» height=«39» src=«dopb143775.zip» v:shapes="_x0000_i1232">,  <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image399.wmz» o:><img width=«120» height=«39» src=«dopb143776.zip» v:shapes="_x0000_i1233">,  <shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image401.wmz» o:><img width=«124» height=«43» src=«dopb143777.zip» v:shapes="_x0000_i1234">.
(1.4.50)
Последнее слагаемое в правой части уравнения (1.4.44) устанавливает изменение температуры за счёт энергии, выделяющейся при радиоактивном распаде. Отметим, что температурное поле в нулевом приближении определяется не значениями плотностей радиоактивного загрязнителя в точках, а усреднёнными значениями по вертикальной координате в интервале пласта. Как будет показано ниже, усреднённое таким образом значение плотности совпадает с нулевым приближением соответствующей задачи массопереноса (см. пункт 1.5.3).
Для определения в нулевом приближении поля температур в среде, как следует из (1.4.44) – (1.4.50), необходимо задание функции плотности радиоактивного загрязнителя. Постановка этой задачи осуществлена в пункте 1.5, а её решению посвящена глава II.
1.3.3.  Постановка задачи теплопереноса в первом приближении Уравнения (1.4.27), (1.4.28) для коэффициентов при <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image403.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb143778.zip» v:shapes="_x0000_i1235">(первое приближение) принимают вид
<shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image405.wmz» o:><img width=«319» height=«59» src=«dopb143779.zip» v:shapes="_x0000_i1236">,
(1.4.51)
<shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image407.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«339» height=«59» src=«dopb143780.zip» v:shapes="_x0000_i1237">.
(1.4.52)
Для коэффициентов при <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image409.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143781.zip» v:shapes="_x0000_i1238"> в (1.4.29)
<shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image411.wmz» o:><img width=«456» height=«54» src=«dopb143782.zip» v:shapes="_x0000_i1239">.
(1.4.53)
Условия сопряжения, начальные и граничные условия
<shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image413.wmz» o:><img width=«205» height=«61» src=«dopb143783.zip» v:shapes="_x0000_i1240">,  <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image415.wmz» o:><img width=«223» height=«61» src=«dopb143784.zip» v:shapes="_x0000_i1241">,
(1.4.54)
<shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image417.wmz» o:><img width=«112» height=«41» src=«dopb143785.zip» v:shapes="_x0000_i1242">,   <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image419.wmz» o:><img width=«123» height=«42» src=«dopb143786.zip» v:shapes="_x0000_i1243">,
(1.4.55)
<shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image421.wmz» o:><img width=«225» height=«39» src=«dopb143787.zip» v:shapes="_x0000_i1244">,
(1.4.56)
<shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image423.wmz» o:><img width=«87» height=«39» src=«dopb143788.zip» v:shapes="_x0000_i1245">,
(1.4.57)
<shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image425.wmz» o:><img width=«101» height=«39» src=«dopb143789.zip» v:shapes="_x0000_i1246">, <shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image427.wmz» o:><img width=«117» height=«39» src=«dopb143790.zip» v:shapes="_x0000_i1247">, <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image429.wmz» o:><img width=«135» height=«43» src=«dopb143791.zip» v:shapes="_x0000_i1248">
(1.4.58)
Решение <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image431.wmz» o:><img width=«33» height=«27» src=«dopb143792.zip» v:shapes="_x0000_i1249"> отыскивается в виде квадратного многочлена относительно z (1.4.43), где <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image433.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«21» height=«26» src=«dopb143793.zip» v:shapes="_x0000_i1250"> и <shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image435.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143794.zip» v:shapes="_x0000_i1251"> определяются как (1.4.41), (1.4.42), а значение <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image437.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb143795.zip» v:shapes="_x0000_i1252"> предстоит найти.
Уравнения (1.4.51) – (1.4.58) определяют постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image439.wmz» o:><img width=«33» height=«27» src=«dopb143792.zip» v:shapes="_x0000_i1253"> также зависит от плотности загрязнителя, что обусловливается выражениями для <shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image440.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb143796.zip» v:shapes="_x0000_i1254">, <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image442.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143797.zip» v:shapes="_x0000_i1255">.
1.5. Задача массопереноса 1.5.1. Математическая постановка задачи массопереноса и её обезразмеривание Геометрия задачи массопереноса практически ничем не отличается от температурной задачи и представлена на рис. 1.2.
<imagedata src=«31224.files/image444.png» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«373» height=«174» src=«dopb143798.zip» v:shapes="_x0000_i1256">
Рис. 1.2. Геометрия задачи массопереноса
Математическая постановка задачи массопереноса для всех областей включает уравнение диффузии с учётом радиоактивного распада в покрывающем
<shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image446.wmz» o:><img width=«381» height=«87» src=«dopb143799.zip» v:shapes="_x0000_i1257">
(1.5.1)
и подстилающем
<shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image448.wmz» o:><img width=«403» height=«87» src=«dopb143800.zip» v:shapes="_x0000_i1258">
(1.5.2)
пластах, а также уравнение конвективной диффузии с учётом радиоактивного распада в пористом пласте
<shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image450.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«445» height=«88» src=«dopb143801.zip» v:shapes="_x0000_i1259">
(1.5.3)
При этом граничные условия включают в себя равенства плотностей и потоков растворённого вещества на границах раздела пластов
<shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image452.wmz» o:><img width=«136» height=«33» src=«dopb143802.zip» v:shapes="_x0000_i1260">  <shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image454.wmz» o:><img width=«160» height=«33» src=«dopb143803.zip» v:shapes="_x0000_i1261">,
(1.5.4)
<shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image456.wmz» o:><img width=«233» height=«65» src=«dopb143804.zip» v:shapes="_x0000_i1262">  <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image458.wmz» o:><img width=«273» height=«63» src=«dopb143805.zip» v:shapes="_x0000_i1263">
(1.5.5)
Плотность загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстояниями до точки наблюдения, равна <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image460.wmz» o:><img width=«27» height=«25» src=«dopb143806.zip» v:shapes="_x0000_i1264">, т.е.
<shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image462.wmz» o:><img width=«101» height=«33» src=«dopb143807.zip» v:shapes="_x0000_i1265">.
(1.5.6)
В начальный момент времени полагаем плотность загрязнителя равной нулю
<shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image464.wmz» o:><img width=«89» height=«29» src=«dopb143808.zip» v:shapes="_x0000_i1266">  <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image466.wmz» o:><img width=«89» height=«29» src=«dopb143809.zip» v:shapes="_x0000_i1267">  <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image468.wmz» o:><img width=«89» height=«29» src=«dopb143810.zip» v:shapes="_x0000_i1268">.
(1.5.7)
Кроме того, на бесконечности выполняются условия регулярности
<shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image470.wmz» o:><img width=«105» height=«33» src=«dopb143811.zip» v:shapes="_x0000_i1269">,  <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image472.wmz» o:><img width=«135» height=«33» src=«dopb143812.zip» v:shapes="_x0000_i1270">,  <shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image474.wmz» o:><img width=«135» height=«35» src=«dopb143813.zip» v:shapes="_x0000_i1271">.
(1.5.8)
Перейдём к безразмерным координатам (1.4.8). При этом получим следующую постановку задачи: для покрывающего пласта
<shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image476.wmz» o:><img width=«353» height=«87» src=«dopb143814.zip» v:shapes="_x0000_i1272">
(1.5.9)
для пористого пласта
<shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image478.wmz» o:><img width=«383» height=«87» src=«dopb143815.zip» v:shapes="_x0000_i1273">
(1.5.10)
для подстилающего пласта
<shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image480.wmz» o:><img width=«361» height=«87» src=«dopb143816.zip» v:shapes="_x0000_i1274">
(1.5.11)
При этом во втором слагаемом в левой части уравнения (1.5.9) появляется отношение коэффициента диффузии к коэффициенту температуропроводности
<shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image482.wmz» o:><img width=«63» height=«47» src=«dopb143817.zip» v:shapes="_x0000_i1275">,
(1.5.12)
величина которого оказывается порядка ~<shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image484.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb143818.zip» v:shapes="_x0000_i1276">ч<shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image486.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«35» height=«25» src=«dopb143819.zip» v:shapes="_x0000_i1277">.
Вновь, как и в задаче теплопереноса, последнее слагаемое в левой части уравнения (1.5.10) содержит сомножитель Рd который при существующих объёмах закачки имеет порядок ~ 102, так что конвективная составляющая (вдоль координаты r) для поля концентраций оказывается много значимей, чем диффузионная составляющая. Поэтому в уравнениях (1.5.9) – (1.5.11) пренебрежём молекулярной диффузией вдоль оси r.
Вводя обозначения
<shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image488.wmz» o:><img width=«81» height=«52» src=«dopb143820.zip» v:shapes="_x0000_i1278">,  <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image490.wmz» o:><img width=«76» height=«52» src=«dopb143821.zip» v:shapes="_x0000_i1279">,
(1.5.13)
выпишем окончательно интересующие нас уравнения:
<shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image492.wmz» o:><img width=«374» height=«57» src=«dopb143822.zip» v:shapes="_x0000_i1280">
(1.5.14)
<shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image494.wmz» o:><img width=«480» height=«57» src=«dopb143823.zip» v:shapes="_x0000_i1281">
(1.5.15)
<shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image496.wmz» o:><img width=«430» height=«57» src=«dopb143824.zip» v:shapes="_x0000_i1282">
(1.5.16)
Условия сопряжения, граничные и начальные условия при этом принимают вид
<shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image498.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«101» height=«33» src=«dopb143825.zip» v:shapes="_x0000_i1283">,  <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image500.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«120» height=«33» src=«dopb143826.zip» v:shapes="_x0000_i1284">,
(1.5.17)
<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image502.wmz» o:><img width=«163» height=«61» src=«dopb143827.zip» v:shapes="_x0000_i1285">,  <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image504.wmz» o:><img width=«181» height=«61» src=«dopb143828.zip» v:shapes="_x0000_i1286">,
(1.5.18)
<shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image506.wmz» o:><img width=«65» height=«29» src=«dopb143829.zip» v:shapes="_x0000_i1287">,
(1.5.19)
<shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image508.wmz» o:><img width=«65» height=«29» src=«dopb143830.zip» v:shapes="_x0000_i1288">,  <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image510.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«77» height=«29» src=«dopb143831.zip» v:shapes="_x0000_i1289">,  <shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image512.wmz» o:><img width=«75» height=«29» src=«dopb143832.zip» v:shapes="_x0000_i1290">,
(1.5.20)
<shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image514.wmz» o:><img width=«84» height=«29» src=«dopb143833.zip» v:shapes="_x0000_i1291">,  <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image516.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«106» height=«29» src=«dopb143834.zip» v:shapes="_x0000_i1292">,  <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image518.wmz» o:><img width=«113» height=«35» src=«dopb143835.zip» v:shapes="_x0000_i1293">.
(1.5.21)
Уравнения (1.5.14) – (1.5.21) определяет математическую постановку задачи массопереноса.
1.5.2. Разложение задачи массопереноса по асимптотическому параметру Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра <shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image520.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1294"> путём формальной замены коэффициента диффузии <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image522.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb143837.zip» v:shapes="_x0000_i1295"> на частное <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image524.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb143838.zip» v:shapes="_x0000_i1296">. В соответствии с принятыми обозначениями это отвечает следующим заменам: <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image526.wmz» o:><img width=«83» height=«29» src=«dopb143839.zip» v:shapes="_x0000_i1297">, <shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image528.wmz» o:><img width=«148» height=«29» src=«dopb143840.zip» v:shapes="_x0000_i1298">. Задача (1.5.14) – (1.5.16) становится, таким образом, частным случаем (при <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image530.wmz» o:><img width=«40» height=«20» src=«dopb143841.zip» v:shapes="_x0000_i1299">) более общей задачи, содержащей параметр асимптотического разложения как в уравнении для пласта, так и в условиях сопряжения:
<shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image532.wmz» o:><img width=«393» height=«57» src=«dopb143842.zip» v:shapes="_x0000_i1300">,
(1.5.22)
<shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image534.wmz» o:><img width=«464» height=«57» src=«dopb143843.zip» v:shapes="_x0000_i1301">,
(1.5.23)
<shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image536.wmz» o:><img width=«427» height=«57» src=«dopb143844.zip» v:shapes="_x0000_i1302">
(1.5.24)
с условиями сопряжения, граничными и начальными условиями
<shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image538.wmz» o:><img width=«164» height=«59» src=«dopb143845.zip» v:shapes="_x0000_i1303">,  <shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image540.wmz» o:><img width=«185» height=«59» src=«dopb143846.zip» v:shapes="_x0000_i1304">,
(1.5.25)
<shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image542.wmz» o:><img width=«101» height=«33» src=«dopb143825.zip» v:shapes="_x0000_i1305">,  <shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image543.wmz» o:><img width=«96» height=«34» src=«dopb143847.zip» v:shapes="_x0000_i1306">,
(1.5.26)
    продолжение
--PAGE_BREAK--<shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image545.wmz» o:><img width=«67» height=«29» src=«dopb143848.zip» v:shapes="_x0000_i1307">,  <shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image547.wmz» o:><img width=«73» height=«29» src=«dopb143849.zip» v:shapes="_x0000_i1308">,  <shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image549.wmz» o:><img width=«76» height=«29» src=«dopb143850.zip» v:shapes="_x0000_i1309">,
(1.5.27)
<shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image551.wmz» o:><img width=«65» height=«29» src=«dopb143851.zip» v:shapes="_x0000_i1310">,
(1.5.28)
<shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image553.wmz» o:><img width=«83» height=«29» src=«dopb143852.zip» v:shapes="_x0000_i1311">,  <shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image555.wmz» o:><img width=«107» height=«29» src=«dopb143853.zip» v:shapes="_x0000_i1312">,  <shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image557.wmz» o:><img width=«124» height=«35» src=«dopb143854.zip» v:shapes="_x0000_i1313">
(1.5.29)
Будем искать решение задачи (1.5.22) – (1.5.29), разлагая значение плотности <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image559.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb143855.zip» v:shapes="_x0000_i1314"> каждой из областей в ряд по параметру <shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image561.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143749.zip» v:shapes="_x0000_i1315">. При этом для данных разложений асимптотические формулы с остаточным членом имеют вид
<shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image562.wmz» o:><img width=«256» height=«35» src=«dopb143856.zip» v:shapes="_x0000_i1316">,
<shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image564.wmz» o:><img width=«261» height=«29» src=«dopb143857.zip» v:shapes="_x0000_i1317">,
<shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image566.wmz» o:><img width=«264» height=«29» src=«dopb143858.zip» v:shapes="_x0000_i1318">.
(1.5.30)
Решение исходной задачи получается из решения параметризованной задачи при <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image568.wmz» o:><img width=«40» height=«20» src=«dopb143859.zip» v:shapes="_x0000_i1319">. Подставив выражения (1.5.30) в (1.5.22) – (1.5.29) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения <shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image570.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1320">, получим следующую постановку параметризованной задачи
<shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image571.wmz» o:><img width=«552» height=«88» src=«dopb143860.zip» v:shapes="_x0000_i1321">
(1.5.31)
<shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image573.wmz» o:><img width=«547» height=«89» src=«dopb143861.zip» v:shapes="_x0000_i1322">
(1.5.32)
<shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image575.wmz» o:><img width=«506» height=«90» src=«dopb143862.zip» v:shapes="_x0000_i1323">
(1.5.33)
<shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image577.wmz» o:><img width=«347» height=«65» src=«dopb143863.zip» v:shapes="_x0000_i1324">
<shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image579.wmz» o:><img width=«375» height=«65» src=«dopb143864.zip» v:shapes="_x0000_i1325">
(1.5.34)
<shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image581.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«312» height=«41» src=«dopb143865.zip» v:shapes="_x0000_i1326">,
<shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image583.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«334» height=«41» src=«dopb143866.zip» v:shapes="_x0000_i1327">,
(1.5.35)
<shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image585.wmz» o:><img width=«515» height=«41» src=«dopb143867.zip» v:shapes="_x0000_i1328">,
(1.5.36)
<shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image587.wmz» o:><img width=«176» height=«41» src=«dopb143868.zip» v:shapes="_x0000_i1329">,
(1.5.37)
<shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image589.wmz» o:><img width=«553» height=«43» src=«dopb143869.zip» v:shapes="_x0000_i1330">.
(1.5.38)
Анализ постановки задачи показывает, что условия сопряжения (1.5.34) позволяют связать между собой решения разных приближений в пласте проводимости, “подошве” и “кровле”. Это и определяет возможность “расцепления” получающихся уравнений, содержащих коэффициенты разложения соседних порядков.
1.5.3. Математическая постановка задачи массопереноса в нулевом приближении Приравнивая коэффициенты при сомножителях <shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image591.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb143870.zip» v:shapes="_x0000_i1331"> (нулевое приближение) в уравнении (1.5.33), получим
<shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image593.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«123» height=«57» src=«dopb143871.zip» v:shapes="_x0000_i1332">,
(1.5.39)
а, следовательно, после интегрирования
<shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image595.wmz» o:><img width=«109» height=«52» src=«dopb143872.zip» v:shapes="_x0000_i1333">.
(1.5.40)
Таким образом, в нулевом приближении плотность загрязнителя является функцией только от rи t. Далее, из условий сопряжения (1.5.34) получаем <shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image597.wmz» o:><img width=«76» height=«24» src=«dopb143873.zip» v:shapes="_x0000_i1334">. Следовательно, в нулевом приближении плотность загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image599.wmz» o:><img width=«115» height=«29» src=«dopb143874.zip» v:shapes="_x0000_i1335">.
Приравнивая к нулю коэффициенты при <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image601.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1336"> в (1.5.33), получим
<shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image602.wmz» o:><img width=«305» height=«57» src=«dopb143875.zip» v:shapes="_x0000_i1337">.
(1.5.41)
Левую часть этого уравнения, в силу вышеизложенного не зависящую от z, обозначим через <shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image604.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb143876.zip» v:shapes="_x0000_i1338">:
<shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image606.wmz» o:><img width=«257» height=«52» src=«dopb143877.zip» v:shapes="_x0000_i1339">,
(1.5.42)
тогда
<shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image608.wmz» o:><img width=«157» height=«53» src=«dopb143878.zip» v:shapes="_x0000_i1340">.
(1.5.43)
Интегрируя это уравнение по z, получим
<shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image610.wmz» o:><img width=«223» height=«52» src=«dopb143879.zip» v:shapes="_x0000_i1341">.
(1.5.44)
Повторное интегрирование позволяет представить первый коэффициент разложения в виде квадратного трехчлена относительно z, коэффициенты которого являются функциями от радиальной переменной и времени, но не зависят от z
<shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image612.wmz» o:><img width=«300» height=«51» src=«dopb143880.zip» v:shapes="_x0000_i1342">.
(1.5.45)
Задача сводится к поиску функций <shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image614.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb143876.zip» v:shapes="_x0000_i1343">, <shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image615.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb143881.zip» v:shapes="_x0000_i1344"> и <shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image617.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb143882.zip» v:shapes="_x0000_i1345">, не зависящих от z, значения которых определяются через следы производных из внешних областей с помощью процедуры расцепления, описанной ниже.
Подставляя выражения (1.5.44) при z = 1
<shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image619.wmz» o:><img width=«237» height=«61» src=«dopb143883.zip» v:shapes="_x0000_i1346">
(1.5.46)
и при z= –1
<shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image621.wmz» o:><img width=«257» height=«61» src=«dopb143884.zip» v:shapes="_x0000_i1347">
(1.5.47)
в условия сопряжения (1.5.34) для <shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image623.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1348">, найдём два алгебраических уравнения, решая которые, получим для функций <shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image624.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb143876.zip» v:shapes="_x0000_i1349"> и <shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image625.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb143881.zip» v:shapes="_x0000_i1350">следующие выражения:
<shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image626.wmz» o:><img width=«287» height=«68» src=«dopb143885.zip» v:shapes="_x0000_i1351">,
(1.5.48)
<shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image628.wmz» o:><img width=«311» height=«68» src=«dopb143886.zip» v:shapes="_x0000_i1352">.
(1.5.49)
С учетом (1.5.48) выражение (1.5.42) принимает вид
<shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image630.wmz» o:><img width=«428» height=«68» src=«dopb143887.zip» v:shapes="_x0000_i1353">.
(1.5.50)
(1.5.50) представляет искомое уравнение для определения нулевого приближения плотности примесей в пласте.
Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнения в покрывающих и подстилающих породах
<shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image632.wmz» o:><img width=«211» height=«55» src=«dopb143888.zip» v:shapes="_x0000_i1354">,
(1.5.51)
<shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image634.wmz» o:><img width=«428» height=«68» src=«dopb143887.zip» v:shapes="_x0000_i1355">,
(1.5.52)
<shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image635.wmz» o:><img width=«237» height=«55» src=«dopb143889.zip» v:shapes="_x0000_i1356">.
(1.5.53)
При этом условия сопряжения, начальные и граничные условия
<shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image637.wmz» o:><img width=«187» height=«40» src=«dopb143890.zip» v:shapes="_x0000_i1357">,
(1.5.54)
<shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image639.wmz» o:><img width=«285» height=«40» src=«dopb143891.zip» v:shapes="_x0000_i1358"> ,
(1.5.55)
<shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image641.wmz» o:><img width=«84» height=«39» src=«dopb143892.zip» v:shapes="_x0000_i1359">,
(1.5.56)
<shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image643.wmz» o:><img width=«103» height=«39» src=«dopb143893.zip» v:shapes="_x0000_i1360">,  <shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image645.wmz» o:><img width=«120» height=«40» src=«dopb143894.zip» v:shapes="_x0000_i1361">,  <shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image647.wmz» o:><img width=«123» height=«44» src=«dopb143895.zip» v:shapes="_x0000_i1362">.
(1.5.57)
Выражения (1.5.51) – (1.5.57) представляют смешанную краевую задачу в нулевом приближении. Отметим, что в отличие от исходной задачи, которая представляет задачу сопряжения для уравнений параболического типа, она является смешанной, так как уравнение для пористого пласта не является параболическим. Кроме того, это уравнение содержит следы производных из внешних областей.
1.5.4. Математическая постановка задачи массообмена в первом приближении Уравнения (1.5.31), (1.5.32) для коэффициентов первого приближения принимают вид
<shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image649.wmz» o:><img width=«400» height=«59» src=«dopb143896.zip» v:shapes="_x0000_i1363">
(1.5.58)
<shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image651.wmz» o:><img width=«396» height=«57» src=«dopb143897.zip» v:shapes="_x0000_i1364">.
(1.5.59)
Коэффициенты при <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image653.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb143898.zip» v:shapes="_x0000_i1365"> в уравнении (1.5.33) дают
<shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image655.wmz» o:><img width=«480» height=«53» src=«dopb143899.zip» v:shapes="_x0000_i1366">.
(1.5.60)
Начальные, граничные условия и условия сопряжения
<shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image657.wmz» o:><img width=«224» height=«40» src=«dopb143900.zip» v:shapes="_x0000_i1367">,
(1.5.61)
<shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image659.wmz» o:><img width=«124» height=«40» src=«dopb143901.zip» v:shapes="_x0000_i1368">,   <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image661.wmz» o:><img width=«141» height=«40» src=«dopb143902.zip» v:shapes="_x0000_i1369">,
(1.5.62)
<shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image663.wmz» o:><img width=«176» height=«64» src=«dopb143903.zip» v:shapes="_x0000_i1370">,   <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image665.wmz» o:><img width=«195» height=«64» src=«dopb143904.zip» v:shapes="_x0000_i1371">,
(1.5.63)
<shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image667.wmz» o:><img width=«85» height=«39» src=«dopb143905.zip» v:shapes="_x0000_i1372">.
(1.5.64)
Причем, решение <shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image669.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb143906.zip» v:shapes="_x0000_i1373"> отыскивается в форме квадратного многочлена относительно z(1.5.45), где <shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image671.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb143876.zip» v:shapes="_x0000_i1374"> и <shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image672.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb143881.zip» v:shapes="_x0000_i1375"> задаются выражениями (1.5.48) и (1.5.49), а <shape id="_x0000_i1376" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image673.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb143882.zip» v:shapes="_x0000_i1376"> неизвестно. Для его определения перепишем (1.5.60) в виде
<shape id="_x0000_i1377" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image674.wmz» o:><img width=«149» height=«53» src=«dopb143907.zip» v:shapes="_x0000_i1377">,
(1.5.65)
где оператор
<shape id="_x0000_i1378" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image676.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«153» height=«48» src=«dopb143908.zip» v:shapes="_x0000_i1378">
(1.5.66)
введён для более компактной записи получающихся соотношений и удобства преобразований. Отметим, что из (1.5.42) следует
<shape id="_x0000_i1379" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image678.wmz» o:><img width=«317» height=«52» src=«dopb143909.zip» v:shapes="_x0000_i1379">.
(1.5.67)
Учитывая (1.5.45), (1.5.65), а также линейность оператора <shape id="_x0000_i1380" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image680.wmz» o:><img width=«16» height=«23» src=«dopb143910.zip» v:shapes="_x0000_i1380">, получим
<shape id="_x0000_i1381" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image682.wmz» o:><img width=«380» height=«60» src=«dopb143911.zip» v:shapes="_x0000_i1381">.
(1.5.68)
Проинтегрировав последнее выражение по вертикальной координате z, получим выражение производной для второго коэффициента разложения в виде кубического многочлена по вертикальной координате z
<shape id="_x0000_i1382" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image684.wmz» o:><img width=«456» height=«60» src=«dopb143912.zip» v:shapes="_x0000_i1382">,
(1.5.69)
используя которое определим выражения для следов производных на границах сопряжения (1.5.63) через вспомогательные функции, не зависящие от вертикальной координаты z
<shape id="_x0000_i1383" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image686.wmz» o:><img width=«444» height=«64» src=«dopb143913.zip» v:shapes="_x0000_i1383">,
(1.5.70)
<shape id="_x0000_i1384" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image688.wmz» o:><img width=«475» height=«64» src=«dopb143914.zip» v:shapes="_x0000_i1384">.
(1.5.71)
Умножая левую и правую части (1.5.71) на <shape id="_x0000_i1385" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image690.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb143915.zip» v:shapes="_x0000_i1385"> и вычитая полученное из (1.5.70), приходим к уравнению для определения функции <shape id="_x0000_i1386" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image692.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb143882.zip» v:shapes="_x0000_i1386">, входящей в квадратичное представление первого коэффициента разложения
<shape id="_x0000_i1387" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image693.wmz» o:><img width=«452» height=«68» src=«dopb143916.zip» v:shapes="_x0000_i1387">.
(1.5.72)
Уравнение для определения первого коэффициента разложения получается путем подстановки (1.5.68), (1.5.72), (1.5.48), (1.5.49) в (1.5.60)
<shape id="_x0000_i1388" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image695.wmz» o:><img width=«509» height=«173» src=«dopb143917.zip» v:shapes="_x0000_i1388">
(1.5.73)
В задачу для определения первого коэффициента разложения входят также уравнения для окружающей среды
<shape id="_x0000_i1389" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image697.wmz» o:><img width=«269» height=«55» src=«dopb143918.zip» v:shapes="_x0000_i1389">,
(1.5.74)
<shape id="_x0000_i1390" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image699.wmz» o:><img width=«311» height=«55» src=«dopb143919.zip» v:shapes="_x0000_i1390">.
(1.5.75)
Начальные условия, условия сопряжения и граничные условия
<shape id="_x0000_i1391" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image657.wmz» o:><img width=«224» height=«40» src=«dopb143900.zip» v:shapes="_x0000_i1391">,
(1.5.76)
<shape id="_x0000_i1392" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image659.wmz» o:><img width=«124» height=«40» src=«dopb143901.zip» v:shapes="_x0000_i1392">,   <shape id="_x0000_i1393" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image661.wmz» o:><img width=«141» height=«40» src=«dopb143902.zip» v:shapes="_x0000_i1393">,
(1.5.77)
<shape id="_x0000_i1394" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image701.wmz» o:><img width=«101» height=«39» src=«dopb143920.zip» v:shapes="_x0000_i1394">,  <shape id="_x0000_i1395" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image703.wmz» o:><img width=«120» height=«40» src=«dopb143921.zip» v:shapes="_x0000_i1395">,  <shape id="_x0000_i1396" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image705.wmz» o:><img width=«121» height=«44» src=«dopb143922.zip» v:shapes="_x0000_i1396">,
(1.5.78)
<shape id="_x0000_i1397" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image667.wmz» o:><img width=«85» height=«39» src=«dopb143905.zip» v:shapes="_x0000_i1397">.
(1.5.79)
Уравнения (1.5.73) – (1.5.79) представляют собой математическую постановку задачи массопереноса для коэффициентов первого приближения.
Как будет показано в процессе решения задачи для первого приближения, условие (1.5.79) является избыточным, и должно быть заменено среднеинтегральным условием, которое получено в следующем пункте.
Такая замена возможна благодаря следующим соображениям. Решение в нулевом приближении, как показано в пункте 1.5.5 описывает средние значения и справедливо для больших и малых времён. Первое приближение является поправкой к нулевому. Эта поправка может быть изменена путём использования видоизменённых граничных условий. Область высокой точности расчётов при этом меняется. Однако, для определения «области высокой точности» необходимо решение задачи для остаточного члена, на основании которого и делается заключение о точности первого приближения.
1.5.5. Дополнительное интегральное условие для первого приближения Усредним равенство (1.5.15) по z в пределах несущего пласта согласно
<shape id="_x0000_i1398" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image707.wmz» o:><img width=«100» height=«52» src=«dopb143923.zip» v:shapes="_x0000_i1398">.
(1.5.80)
Последовательно для каждого слагаемого
<shape id="_x0000_i1399" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image709.wmz» o:><img width=«191» height=«57» src=«dopb143924.zip» v:shapes="_x0000_i1399">,
(1.5.81)
<shape id="_x0000_i1400" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image711.wmz» o:><img width=«161» height=«53» src=«dopb143925.zip» v:shapes="_x0000_i1400">,
(1.5.82)
<shape id="_x0000_i1401" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image713.wmz» o:><img width=«501» height=«124» src=«dopb143926.zip» v:shapes="_x0000_i1401">
(1.5.83)
Окончательно, после усреднения, получим следующую постановку задачи осреднённого по несущему пласту поля плотностей загрязнителя
<shape id="_x0000_i1402" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image715.wmz» o:><img width=«374» height=«57» src=«dopb143927.zip» v:shapes="_x0000_i1402">
(1.5.84)
<shape id="_x0000_i1403" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image717.wmz» o:><img width=«532» height=«89» src=«dopb143928.zip» v:shapes="_x0000_i1403">
(1.5.85)
<shape id="_x0000_i1404" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image719.wmz» o:><img width=«426» height=«57» src=«dopb143929.zip» v:shapes="_x0000_i1404">.
(1.5.86)
Условия сопряжения, начальные и граничные условия при этом принимают вид
<shape id="_x0000_i1405" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image721.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«159» height=«29» src=«dopb143930.zip» v:shapes="_x0000_i1405">,
(1.5.87)
<shape id="_x0000_i1406" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image723.wmz» o:><img width=«79» height=«32» src=«dopb143931.zip» v:shapes="_x0000_i1406">,
(1.5.88)
<shape id="_x0000_i1407" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image725.wmz» o:><img width=«80» height=«32» src=«dopb143932.zip» v:shapes="_x0000_i1407">,  <shape id="_x0000_i1408" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image510.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«77» height=«29» src=«dopb143831.zip» v:shapes="_x0000_i1408">,  <shape id="_x0000_i1409" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image512.wmz» o:><img width=«75» height=«29» src=«dopb143832.zip» v:shapes="_x0000_i1409">,
(1.5.89)
<shape id="_x0000_i1410" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image727.wmz» o:><img width=«99» height=«32» src=«dopb143933.zip» v:shapes="_x0000_i1410">,  <shape id="_x0000_i1411" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image516.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«106» height=«29» src=«dopb143834.zip» v:shapes="_x0000_i1411">,  <shape id="_x0000_i1412" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image518.wmz» o:><img width=«113» height=«35» src=«dopb143835.zip» v:shapes="_x0000_i1412">.
(1.5.90)
Полученная задача совпадает с задачей (1.5.51) – (1.5.57) для нулевого приближения плотности загрязнителя. В силу единственности решения следует, что <shape id="_x0000_i1413" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image729.wmz» o:><img width=«72» height=«31» src=«dopb143934.zip» v:shapes="_x0000_i1413">.
Аналогичное соотношение получается при усреднении параметризованной задачи (1.5.22) – (1.5.29). Покажем это. Усреднение производных по времени и радиальной координате совпадает с предыдущим
<shape id="_x0000_i1414" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image709.wmz» o:><img width=«191» height=«57» src=«dopb143924.zip» v:shapes="_x0000_i1414">,
(1.5.91)
<shape id="_x0000_i1415" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image711.wmz» o:><img width=«161» height=«53» src=«dopb143925.zip» v:shapes="_x0000_i1415">.
(1.5.92)
Производная по вертикальной координате z содержит дополнительный множитель <shape id="_x0000_i1416" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image731.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb143935.zip» v:shapes="_x0000_i1416">, который сокращается при использовании условия сопряжения для производных, поэтому в итоге получим выражение, совпадающее с предыдущим
<shape id="_x0000_i1417" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image733.wmz» o:><img width=«479» height=«124» src=«dopb143936.zip» v:shapes="_x0000_i1417">
(1.5.93)
Окончательно после усреднения параметризованной задачи получим следующую постановку задачи
<shape id="_x0000_i1418" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image735.wmz» o:><img width=«323» height=«57» src=«dopb143937.zip» v:shapes="_x0000_i1418">
(1.5.94)
<shape id="_x0000_i1419" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image717.wmz» o:><img width=«532» height=«89» src=«dopb143928.zip» v:shapes="_x0000_i1419">
(1.5.95)
<shape id="_x0000_i1420" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image737.wmz» o:><img width=«364» height=«57» src=«dopb143938.zip» v:shapes="_x0000_i1420">,
(1.5.96)
<shape id="_x0000_i1421" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image721.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«159» height=«29» src=«dopb143930.zip» v:shapes="_x0000_i1421">,
(1.5.97)
<shape id="_x0000_i1422" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image723.wmz» o:><img width=«79» height=«32» src=«dopb143931.zip» v:shapes="_x0000_i1422">,
(1.5.98)
<shape id="_x0000_i1423" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image725.wmz» o:><img width=«80» height=«32» src=«dopb143932.zip» v:shapes="_x0000_i1423">,  <shape id="_x0000_i1424" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image510.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«77» height=«29» src=«dopb143831.zip» v:shapes="_x0000_i1424">,  <shape id="_x0000_i1425" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image512.wmz» o:><img width=«75» height=«29» src=«dopb143832.zip» v:shapes="_x0000_i1425">,
(1.5.99)
<shape id="_x0000_i1426" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image727.wmz» o:><img width=«99» height=«32» src=«dopb143933.zip» v:shapes="_x0000_i1426">,  <shape id="_x0000_i1427" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image516.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«106» height=«29» src=«dopb143834.zip» v:shapes="_x0000_i1427">,  <shape id="_x0000_i1428" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image518.wmz» o:><img width=«113» height=«35» src=«dopb143835.zip» v:shapes="_x0000_i1428">,
(1.5.100)
которая полностью совпадает с предыдущей и с задачей для нулевого приближения поля плотностей загрязнителя. Совпадение усредненных значений исходной и параметризованной задачи существенно выделяет используемую в данной работе параметризацию от произвольной, которая почти всегда приводит к зависимости усредненных значений от параметра асимптотического разложения.
Совпадение задач для усредненных значений параметризованной и для нулевого приближения, как и выше, в силу единственности решения позволяет утверждать, что <shape id="_x0000_i1429" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image729.wmz» o:><img width=«72» height=«31» src=«dopb143934.zip» v:shapes="_x0000_i1429">. Далее процедура усреднения по z асимптотического представления параметризованной задачи (1.5.30) в пласте на линии r= 0 приводит к следующему равенству
<shape id="_x0000_i1430" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image739.wmz» o:><img width=«248» height=«36» src=«dopb143939.zip» v:shapes="_x0000_i1430">
Отсюда с учетом <shape id="_x0000_i1431" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image729.wmz» o:><img width=«72» height=«31» src=«dopb143934.zip» v:shapes="_x0000_i1431">следует, что средние по толщине пласта значения коэффициентов разложения первого и более высоких порядков равны нулю
<shape id="_x0000_i1432" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image741.wmz» o:><img width=«213» height=«41» src=«dopb143940.zip» v:shapes="_x0000_i1432">.
(1.5.101)
Установление равенства нулевого приближения и средних значений исходной и параметризованной задачи <shape id="_x0000_i1433" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image729.wmz» o:><img width=«72» height=«31» src=«dopb143934.zip» v:shapes="_x0000_i1433"> имеет принципиальное значение для решения температурной задачи, поскольку входящую в правую часть уравнения (1.4.43) среднюю плотность можно заменить на равное ей нулевое приближение. Это использовано при решении задачи теплопереноса в пункте 3.1.
При решении задачи массопереноса в первом приближении (1.5.73) – (1.5.79), возникает необходимость использования дополнительного интегрального условия (1.5.101), поскольку условие (1.5.79) является избыточным и должно быть заменено (1.5.101). Если потребовать выполнения этого интегрального условия при любых значениях r, то оно также оказывается избыточным. Для построения аналитического решения достаточно заданий интегрального условия на одной поверхности для заданного значения r. Ранее показано, что наилучшим первое приближение является в случае, когда поверхность осреднения совпадает с поверхностью, на которой заданы граничные условия.
1.6. Выводы В главе I на основе уравнения конвективной диффузии для несжимаемой жидкости с учетом радиоактивного распада и обмена загрязнителя со скелетом, осуществлена постановка термодиффузионной задачи о взаимосвязанных полях концентрации и температуры в глубокозалегающих горизонтах, возникающих при закачке в пористый пласт растворенных радиоактивных веществ. С использованием параметра асимптотического разложения температурная и диффузионная задачи представлены в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основе осуществлена постановка краевых задач смешанного типа со следами производных из внешних областей для нулевого и первого коэффициентов разложения.
При построении решения задачи для первого коэффициента использовано нелокальное граничное условие, заключающееся в том, что средние значения температуры и плотности примесей по толщине пласта на оси скважины равны нулю.

Глава II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАССОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ
 И ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ, СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ
2.1. Решение задачи массопереноса в нулевом приближении В пространстве изображений Лапласа – Карсона
<shape id="_x0000_i1434" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image743.wmz» o:><img width=«180» height=«57» src=«dopb143941.zip» v:shapes="_x0000_i1434">,
для нулевого приближения вместо (1.5.51) – (1.5.57) получим следующую задачу:
<shape id="_x0000_i1435" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image745.wmz» o:><img width=«232» height=«55» src=«dopb143942.zip» v:shapes="_x0000_i1435">, z > 1, r >0,
(2.1.1)
<shape id="_x0000_i1436" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image747.wmz» o:><img width=«457» height=«68» src=«dopb143943.zip» v:shapes="_x0000_i1436">,
|z| < 1, r >0,
(2.1.2)
<shape id="_x0000_i1437" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image749.wmz» o:><img width=«259» height=«55» src=«dopb143944.zip» v:shapes="_x0000_i1437">,  z < – 1,  r >0,
(2.1.3)
<shape id="_x0000_i1438" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image751.wmz» o:><img width=«206» height=«40» src=«dopb143945.zip» v:shapes="_x0000_i1438">,
(2.1.4)
<shape id="_x0000_i1439" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image753.wmz» o:><img width=«232» height=«41» src=«dopb143946.zip» v:shapes="_x0000_i1439"> ,
(2.1.5)
<shape id="_x0000_i1440" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image755.wmz» o:><img width=«93» height=«39» src=«dopb143947.zip» v:shapes="_x0000_i1440">,
(2.1.6)
<shape id="_x0000_i1441" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image757.wmz» o:><img width=«112» height=«39» src=«dopb143948.zip» v:shapes="_x0000_i1441">,  <shape id="_x0000_i1442" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image759.wmz» o:><img width=«128» height=«40» src=«dopb143949.zip» v:shapes="_x0000_i1442">,  <shape id="_x0000_i1443" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image761.wmz» o:><img width=«131» height=«44» src=«dopb143950.zip» v:shapes="_x0000_i1443">.
(2.1.7)
Решение уравнения (2.1.1) имеет вид
<shape id="_x0000_i1444" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image763.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«365» height=«57» src=«dopb143951.zip» v:shapes="_x0000_i1444">.
(2.1.8)
Учитывая второе из граничных условий (2.1.5), получим <shape id="_x0000_i1445" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image765.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb143952.zip» v:shapes="_x0000_i1445">. Тогда
<shape id="_x0000_i1446" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image767.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«210» height=«57» src=«dopb143953.zip» v:shapes="_x0000_i1446">.
(2.1.9)
Аналогично, для подстилающего пласта в пространстве изображений из (2.1.3) и (2.1.5) получим
<shape id="_x0000_i1447" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image769.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«230» height=«68» src=«dopb143954.zip» v:shapes="_x0000_i1447">.
(2.1.10)
Учитывая граничные условия (2.1.4), а также то, что в нулевом приближении плотность загрязнителя в пористом пласте не зависит от zи является функцией только от r и t, эти решения можно переписать в виде
<shape id="_x0000_i1448" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image771.wmz» o:><img width=«264» height=«57» src=«dopb143955.zip» v:shapes="_x0000_i1448">,
(2.1.11)
<shape id="_x0000_i1449" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image773.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«281» height=«67» src=«dopb143956.zip» v:shapes="_x0000_i1449">.
(2.1.12)
Эти выражения позволяют определить значения следов производных из внешних областей, входящих в уравнение для пласта, через плотность примеси в нем
<shape id="_x0000_i1450" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image775.wmz» o:><img width=«207» height=«64» src=«dopb143957.zip» v:shapes="_x0000_i1450">,  <shape id="_x0000_i1451" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image777.wmz» o:><img width=«237» height=«65» src=«dopb143958.zip» v:shapes="_x0000_i1451">.
(2.1.13)
Подставляя найденные значения производных (2.1.11), (2.1.12) в уравнение (2.1.2), соответствующее (1.5.52) в пространстве изображений, получим
<shape id="_x0000_i1452" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image779.wmz» o:><img width=«448» height=«52» src=«dopb143959.zip» v:shapes="_x0000_i1452">.
(2.1.14)
Группируя слагаемые и учитывая, что в последнем уравнении производная берётся только по одной переменной, перепишем (2.1.2) в виде
<shape id="_x0000_i1453" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image781.wmz» o:><img width=«404» height=«60» src=«dopb143960.zip» v:shapes="_x0000_i1453">.
(2.1.15)
Решение уравнения (2.1.15)
<shape id="_x0000_i1454" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image783.wmz» o:><img width=«417» height=«63» src=«dopb143961.zip» v:shapes="_x0000_i1454">.
(2.1.16)
    продолжение
--PAGE_BREAK--Граничное условие (2.1.6) позволяет получить значение постоянной интегрирования <shape id="_x0000_i1455" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image785.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb143962.zip» v:shapes="_x0000_i1455">. Окончательно в пространстве изображений в нулевом приближении для пористого пласта получим
<shape id="_x0000_i1456" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image787.wmz» o:><img width=«397» height=«63» src=«dopb143963.zip» v:shapes="_x0000_i1456">.
(2.1.17)
Введём обозначение для выражения, стоящего в квадратных скобках
<shape id="_x0000_i1457" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image789.wmz» o:><img width=«268» height=«51» src=«dopb143964.zip» v:shapes="_x0000_i1457">,
(2.1.18)
при этом
<shape id="_x0000_i1458" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image791.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«171» height=«51» src=«dopb143965.zip» v:shapes="_x0000_i1458">.
(2.1.19)
С учетом (2.1.11) и (2.1.12) полное решение задачи в пространстве изображений представляется как
<shape id="_x0000_i1459" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image793.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«157» height=«60» src=«dopb143966.zip» v:shapes="_x0000_i1459">,
(2.1.20)
<shape id="_x0000_i1460" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image795.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«337» height=«59» src=«dopb143967.zip» v:shapes="_x0000_i1460">,
(2.1.21)
<shape id="_x0000_i1461" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image797.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«339» height=«67» src=«dopb143968.zip» v:shapes="_x0000_i1461">.
(2.1.22)
Для удобства перехода в пространство оригиналов, полученные решения с учётом (2.1.18) представим в форме
<shape id="_x0000_i1462" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image799.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«503» height=«60» src=«dopb143969.zip» v:shapes="_x0000_i1462">,
(2.1.23)
<shape id="_x0000_i1463" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image801.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«562» height=«70» src=«dopb143970.zip» v:shapes="_x0000_i1463">,
(2.1.24)
<shape id="_x0000_i1464" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image803.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«567» height=«70» src=«dopb143971.zip» v:shapes="_x0000_i1464">.
(2.1.25)
Переход в пространство оригиналов осуществим, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]:
<shape id="_x0000_i1465" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image805.wmz» o:><img width=«417» height=«55» src=«dopb143972.zip» v:shapes="_x0000_i1465">,
где <shape id="_x0000_i1466" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image807.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb143973.zip» v:shapes="_x0000_i1466"> - единичная функция Хевисайда
<shape id="_x0000_i1467" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image809.wmz» o:><img width=«140» height=«55» src=«dopb143974.zip» v:shapes="_x0000_i1467">
(2.1.26)
<shape id="_x0000_i1468" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image811.wmz» o:><img width=«408» height=«124» src=«dopb143975.zip» v:shapes="_x0000_i1468">
(2.1.27)
В нашем случае, совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде
<shape id="_x0000_i1469" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image813.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«513» height=«292» src=«dopb143976.zip» v:shapes="_x0000_i1469">
(2.1.28)
<shape id="_x0000_i1470" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image815.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«548» height=«412» src=«dopb143977.zip» v:shapes="_x0000_i1470">
(2.1.29)
<shape id="_x0000_i1471" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image817.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«557» height=«409» src=«dopb143978.zip» v:shapes="_x0000_i1471">
(2.1.30)
соответственно для пористого, настилающего и подстилающего пластов.
Первый сомножитель в решении (2.1.28) – (2.1.30) описывает уменьшение плотности загрязнителя в результате радиоактивного распада, второй – функция Хевисайда, определяет радиус распространения зоны заражения и третий (выражение в фигурных скобках) учитывает изменение плотности из-за диффузии загрязнителя и радиоактивного распада продиффузирующего нуклида.
Рассмотрим упрощённую модель в которой не учитывается радиоактивный распад в накрывающем и подстилающем пластах. В этом случае в правых частях уравнений (1.5.51), (1.5.53) будет стоять нуль, граничные условия и условия сопряжения не изменятся. Аналогично, в пространстве изображений равны нулю правые части (2.1.1) и (2.1.3). Математическая постановка соответствующей задачи в пространстве изображений
<shape id="_x0000_i1472" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image819.wmz» o:><img width=«173» height=«55» src=«dopb143979.zip» v:shapes="_x0000_i1472">,  z > 1, r >0,
(2.1.31)
<shape id="_x0000_i1473" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image747.wmz» o:><img width=«457» height=«68» src=«dopb143943.zip» v:shapes="_x0000_i1473">,
|z| < 1, r >0,
(2.1.32)
<shape id="_x0000_i1474" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image821.wmz» o:><img width=«200» height=«55» src=«dopb143980.zip» v:shapes="_x0000_i1474">,  z < – 1, r >0,
(2.1.33)
<shape id="_x0000_i1475" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image751.wmz» o:><img width=«206» height=«40» src=«dopb143945.zip» v:shapes="_x0000_i1475">,
(2.1.34)
<shape id="_x0000_i1476" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image823.wmz» o:><img width=«232» height=«41» src=«dopb143981.zip» v:shapes="_x0000_i1476"> ,
(2.1.35)
<shape id="_x0000_i1477" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image755.wmz» o:><img width=«93» height=«39» src=«dopb143947.zip» v:shapes="_x0000_i1477">,
(2.1.36)
<shape id="_x0000_i1478" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image757.wmz» o:><img width=«112» height=«39» src=«dopb143948.zip» v:shapes="_x0000_i1478">,  <shape id="_x0000_i1479" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image759.wmz» o:><img width=«128» height=«40» src=«dopb143949.zip» v:shapes="_x0000_i1479">,  <shape id="_x0000_i1480" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image825.wmz» o:><img width=«131» height=«44» src=«dopb143950.zip» v:shapes="_x0000_i1480">.
(2.1.37)
Ход решения идентичен решению задачи с учётом распада в «кровле» и «подошве».
Учитывая граничные условия (2.1.34) и то, что в нулевом приближении плотность загрязнителя в пористом пласте не зависит от zи является функцией только от r и t, решения уравнений (2.2.31), (2.1.33) можно записать в виде
<shape id="_x0000_i1481" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image826.wmz» o:><img width=«223» height=«57» src=«dopb143982.zip» v:shapes="_x0000_i1481">,
(2.1.38)
<shape id="_x0000_i1482" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image828.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«233» height=«67» src=«dopb143983.zip» v:shapes="_x0000_i1482">.
(2.1.39)
Тогда для следов производных, входящих в (2.1.32)
<shape id="_x0000_i1483" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image830.wmz» o:><img width=«169» height=«64» src=«dopb143984.zip» v:shapes="_x0000_i1483">,  <shape id="_x0000_i1484" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image832.wmz» o:><img width=«193» height=«65» src=«dopb143985.zip» v:shapes="_x0000_i1484">.
(2.1.40)
Подставляя найденные значения производных в уравнение (2.1.32), получим
<shape id="_x0000_i1485" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image834.wmz» o:><img width=«355» height=«60» src=«dopb143986.zip» v:shapes="_x0000_i1485">.
(2.1.41)
Решение уравнения (2.1.41) с учётом граничного условия (2.1.36) имеет вид
<shape id="_x0000_i1486" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image836.wmz» o:><img width=«344» height=«63» src=«dopb143987.zip» v:shapes="_x0000_i1486">.
(2.1.42)
Введём обозначение
<shape id="_x0000_i1487" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image838.wmz» o:><img width=«212» height=«51» src=«dopb143988.zip» v:shapes="_x0000_i1487">.
(2.1.43)
Тогда полное решение задачи в пространстве изображений
<shape id="_x0000_i1488" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image840.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«171» height=«51» src=«dopb143989.zip» v:shapes="_x0000_i1488">.
(2.1.44)
<shape id="_x0000_i1489" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image842.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«319» height=«59» src=«dopb143990.zip» v:shapes="_x0000_i1489">,
(2.1.45)
<shape id="_x0000_i1490" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image844.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«299» height=«67» src=«dopb143991.zip» v:shapes="_x0000_i1490">.
(2.1.46)
Для удобства перехода в пространство оригиналов, решения с учётом (2.1.43) запишем в виде
<shape id="_x0000_i1491" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image846.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«462» height=«60» src=«dopb143992.zip» v:shapes="_x0000_i1491">,
(2.1.47)
<shape id="_x0000_i1492" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image848.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«556» height=«73» src=«dopb143993.zip» v:shapes="_x0000_i1492">,
(2.1.48)
<shape id="_x0000_i1493" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image850.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«560» height=«73» src=«dopb143994.zip» v:shapes="_x0000_i1493">.
(2.1.49)
Перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]
<shape id="_x0000_i1494" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image805.wmz» o:><img width=«417» height=«55» src=«dopb143972.zip» v:shapes="_x0000_i1494">,
<shape id="_x0000_i1495" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image852.wmz» o:><img width=«195» height=«52» src=«dopb143995.zip» v:shapes="_x0000_i1495">.
(2.1.50)
В нашем случае имеем
<shape id="_x0000_i1496" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image854.wmz» o:><img width=«364» height=«52» src=«dopb143996.zip» v:shapes="_x0000_i1496">.
(2.1.51)
Совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде
<shape id="_x0000_i1497" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image856.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«482» height=«113» src=«dopb143997.zip» v:shapes="_x0000_i1497">
(2.1.52)
<shape id="_x0000_i1498" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image858.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«520» height=«113» src=«dopb143998.zip» v:shapes="_x0000_i1498">
(2.1.53)
<shape id="_x0000_i1499" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image860.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«564» height=«112» src=«dopb143999.zip» v:shapes="_x0000_i1499">
(2.1.54)
Учтём, что наиболее важные физические результаты обусловливаются нулевым приближением асимптотического разложения, первый и последующий коэффициенты определяют «поправки». Кроме того, в силу малости коэффициента диффузии (<shape id="_x0000_i1500" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image862.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb143837.zip» v:shapes="_x0000_i1500">~10-9ч10-11) распространение загрязнителя в водоупорных пластах в вертикальном направлении ничтожно (по сравнению с конвективном переносом в пористом пласте) и слабо влияет на размеры зоны заражения, поэтому проведём сравнение полученных результатов только для пористого пласта (2.1.28), (2.1.52).
На рис. 2.1 показана зависимость разности между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты r. График 1 соответствует периоду полураспада Т1/2=100 лет, 2 – 10 лет, 3 – 1 год. Вычисления проведены для времени <shape id="_x0000_i1501" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image863.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb144000.zip» v:shapes="_x0000_i1501">=30 лет, интенсивность закачки – 100 м3/сут.
<imagedata src=«31224.files/image865.png» o:><img width=«284» height=«244» src=«dopb144001.zip» v:shapes="_x0000_i1502">
Рис. 2.1. Зависимость разности (для нулевого приближения) между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты rпри различных постоянных распада 1 – At = 0.1, 2 – 1, 3 – 10. Другие расчётные параметры t = 10, <shape id="_x0000_i1503" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image867.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i1503">, <shape id="_x0000_i1504" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image869.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1504">, Pd = 102
Из рис. 2.2 следует, что возникающая при замене (2.1.28) на (2.1.52) относительная разность <shape id="_x0000_i1505" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image871.wmz» o:><img width=«205» height=«49» src=«dopb144004.zip» v:shapes="_x0000_i1505">, возрастает при увеличении постоянной распада (уменьшении периода полураспада) и для короткоживущих нуклидов (T1/2 ~ 100 сут.) на фронте загрязнителя составляет более 0,4. Однако, абсолютная разность плотностей при этом уменьшается с ростом At и для тех же короткоживущих нуклидов становится ничтожно малой (рис. 2.1). Расчёты приведены для безразмерного времени t = 10, что соответствует размерному времени ~ 30 лет. При уменьшении расчётного времени погрешности также уменьшаются.
<imagedata src=«31224.files/image873.png» o:><img width=«266» height=«239» src=«dopb144005.zip» v:shapes="_x0000_i1506">
Рис. 2.2. Зависимость относительной разности (для нулевого приближения) между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты rпри различных постоянных распада 1 – At = 0.1, 2 – 1, 3 – 10. Другие расчётные параметры t = 10, <shape id="_x0000_i1507" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image867.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i1507">, <shape id="_x0000_i1508" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image875.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1508">, Pd = 102
На рис. 2.3 видно, что и сами абсолютные значения плотностей короткоживущих загрязнителей для указанного момента времени на границе зоны загрязнения практически обращаются в ноль. При увеличении периода полураспада нуклида до ~ 30 лет абсолютное значение плотности его на границе зоны загрязнения остаётся весьма значительным (рис. 2.3), но относительная разность между результатами (2.1.28) и (2.1.52) составляет несколько процентов (рис. 2.2). Уменьшение при расчётах коэффициента δ на порядок (<shape id="_x0000_i1509" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image876.wmz» o:><img width=«64» height=«25» src=«dopb144006.zip» v:shapes="_x0000_i1509">) приводит к уменьшению абсолютной и относительной разности ещё примерно вдвое.
<imagedata src=«31224.files/image878.png» o:><img width=«261» height=«243» src=«dopb144007.zip» v:shapes="_x0000_i1510">
Рис. 2.3 Зависимость нулевого приближения плотности радиоактивного загрязнителя в пористом пласте от координаты r без учёта распада в окружающих пластах. при различных постоянных распада 1 – At = 0.1, 2 – 1, 3 – 10. Другие расчётные параметры t = 10, <shape id="_x0000_i1511" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image880.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i1511">, <shape id="_x0000_i1512" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image881.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1512">, Pd = 102
Всё это позволяет для практических расчётов пренебречь радиоактивным распадом в водоупорных пластах, что существенно упрощает расчётные формулы. Поэтому в дальнейшем мы и в массо- и в теплообменной задаче будем игнорировать этот распад.
Поскольку вклад радиоактивного распада описывается сомножителем <shape id="_x0000_i1513" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image882.wmz» o:><img width=«133» height=«29» src=«dopb144008.zip» v:shapes="_x0000_i1513">, то можно утверждать, что концентрация радиоактивного загрязнителя уменьшается в е раз за счет распада на расстояниях, определяемых простым соотношением Re=h<shape id="_x0000_i1514" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image884.wmz» o:><img width=«72» height=«27» src=«dopb144009.zip» v:shapes="_x0000_i1514">=<shape id="_x0000_i1515" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image886.wmz» o:><img width=«84» height=«31» src=«dopb144010.zip» v:shapes="_x0000_i1515">. Отсюда следует, что для короткоживущих изотопов зона загрязнения невелика. С другой стороны, для уменьшения зоны влияния долгоживущих радиоактивных изотопов следует уменьшать скорость фильтрации.
Полученное решение содержит функцию Хевисайда, которая позволяет указать, что плотность радиоактивных изотопов обращается в ноль при r ≥<shape id="_x0000_i1516" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image888.wmz» o:><img width=«59» height=«31» src=«dopb144011.zip» v:shapes="_x0000_i1516">. Это соотношение позволяет определить радиус зоны радиоактивного заражения
Rp=h<shape id="_x0000_i1517" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image890.wmz» o:><img width=«59» height=«31» src=«dopb144011.zip» v:shapes="_x0000_i1517">=<shape id="_x0000_i1518" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image891.wmz» o:><img width=«68» height=«31» src=«dopb144012.zip» v:shapes="_x0000_i1518">.
(2.1.55)
При Аt = 0 из (2.1.52) – (2.1.54) следуют решения без учета радиоактивного распада
<shape id="_x0000_i1519" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image893.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«381» height=«113» src=«dopb144013.zip» v:shapes="_x0000_i1519">
(2.1.56)
<shape id="_x0000_i1520" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image895.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«428» height=«113» src=«dopb144014.zip» v:shapes="_x0000_i1520">
(2.1.57)
<shape id="_x0000_i1521" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image897.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«472» height=«112» src=«dopb144015.zip» v:shapes="_x0000_i1521">
(2.1.58)
Пренебрежение влиянием массообмена с окружающей средой на плотность примесей в пласте в (2.1.52) – (2.1.54), позволяет получить приближение, которое можно с высокой точностью использовать для расчета тепловых полей в подземных горизонтах
<shape id="_x0000_i1522" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image899.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«325» height=«60» src=«dopb144016.zip» v:shapes="_x0000_i1522">
(2.1.59)
<shape id="_x0000_i1523" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image901.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«437» height=«113» src=«dopb144017.zip» v:shapes="_x0000_i1523">
(2.1.60)
<shape id="_x0000_i1524" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image903.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«453» height=«112» src=«dopb144018.zip» v:shapes="_x0000_i1524">
(2.1.61)
Устремляя δ → 0 в (2.1.59) – (2.1.61), получим так называемое «бездиффузионное приближение»
<shape id="_x0000_i1525" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image905.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«335» height=«60» src=«dopb144019.zip» v:shapes="_x0000_i1525">
(2.1.62)
<shape id="_x0000_i1526" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image907.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«214» height=«32» src=«dopb144020.zip» v:shapes="_x0000_i1526">
(2.1.63)
<shape id="_x0000_i1527" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image909.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«211» height=«32» src=«dopb144021.zip» v:shapes="_x0000_i1527">
(2.1.64)
границы применимости которого обсуждается в 2.3.

2.2. Анализ результатов расчетов в нулевом приближении На рис.2.4 показаны расчёты зависимости в нулевом приближении плотности радиоактивного загрязнителя от расстояния до оси скважины. С увеличением времени возрастает радиус зоны загрязнения.
<imagedata src=«31224.files/image911.png» o:><img width=«261» height=«241» src=«dopb144022.zip» v:shapes="_x0000_i1528">
Рис 2.4. Зависимость плотности радиоактивных примесей (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины для различных моментов времени: 1 – t = 1, 2 – 10, 3 – 100. Другие расчётные параметры At = 0.1, <shape id="_x0000_i1529" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image880.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i1529">, <shape id="_x0000_i1530" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image913.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1530">, Pd = 102
На рис. 2.5 приведены результаты расчётов плотности радиоактивных примесей в нулевом приближении в зависимости от безразмерной пространственной координаты, отнесённой к радиусу зоны загрязнения (<shape id="_x0000_i1531" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image914.wmz» o:><img width=«73» height=«25» src=«dopb144023.zip» v:shapes="_x0000_i1531">). Как видно из сопоставления кривых уменьшение концентрации загрязнителя определяется не только диффузионными процессами (кривая 1), но и, в значительной степени, радиоактивным распадом (кривые 2 – 4).
<imagedata src=«31224.files/image916.png» o:><img width=«264» height=«249» src=«dopb144024.zip» v:shapes="_x0000_i1532">
Рис 2.5. Зависимость плотности радиоактивных примесей (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, для различных постоянных распада 1 – At = 0, 2 – 0.01, 3 – 0.1, 4 – 1. Другие расчётные параметры t = 10, <shape id="_x0000_i1533" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image880.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i1533">, <shape id="_x0000_i1534" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image913.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1534">, Pd = 102
Несмотря на то, что обычно вклад диффузионных процессов очень мал, в рассматриваемом случае происходят значительные изменения концентрации на фронте зоны возмущений (кривая 1 на обоих рисунках). Главными причинами этого эффекта являются повышенные градиенты концентрации между пластом и окружающими породами и большие времена закачки, которая осуществляется обычно десятки лет. При постоянных распада At >0.01 становится существенным вклад радиоактивного распада. При At > 0.1 процесс радиоактивного распада является преобладающим и практически полностью определяет распределение концентрации радиоактивных примесей. Отметим, что при больших временах в пласте устанавливается стационарное поле, определяемое соотношением <shape id="_x0000_i1535" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image918.wmz» o:><img width=«188» height=«29» src=«dopb144025.zip» v:shapes="_x0000_i1535">, следующим из (2.1.52).
Графики, представленные на рис. 2.6 аналогичны предыдущим (рис. 2.5). однако вклад диффузионных процессов в данном случае становится меньшим в силу уменьшения d. При этом общие тенденции остаются прежними.
<imagedata src=«31224.files/image920.png» o:><img width=«264» height=«249» src=«dopb144026.zip» v:shapes="_x0000_i1536">
Рис 2.6. Зависимость плотности радиоактивных примесей (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, для различных постоянных распада 1 – At = 0, 2 – 0.01, 3 – 0.1, 4 – 1. Другие расчётные параметры t = 10, <shape id="_x0000_i1537" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image922.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144027.zip» v:shapes="_x0000_i1537">, <shape id="_x0000_i1538" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image913.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1538">, Pd = 102
На рис 2.7 представлена зависимость вклада диффузионного массообмена с окружающей средой от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязненияRd. Из рисунка следует, что влияние диффузионного массообмена для больших времён (~10 лет) вблизи фронта загрязнения является весьма существенным. В расчетах приято Pd = 100, δ = 10-3, At = 0. Последнее соответствует пренебрежению радиоактивным распадом.
<imagedata src=«31224.files/image924.png» o:><img width=«275» height=«248» src=«dopb144028.zip» v:shapes="_x0000_i1539">
Рис. 2.7. Вклад диффузионного массообмена с окружающей средой от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки:1 – t = 0.1,  2 – 1, 3 – 10. At = 0, <shape id="_x0000_i1540" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image880.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i1540">, <shape id="_x0000_i1541" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image926.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1541">, Pd = 102
На рис 2.8 приведена зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в нулевом приближении от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязненияRd для различных времён закачки и постоянных распада. Причём, значения t и At выбраны таким образом, что t∙At=1. При этом графики плотностей оказываются весьма близкими друг к другу. Различие между ними определяется лишь наличием диффузионных процессов. Это подчёркивает физическую разумность выбранной системы обезразмеривания.
<imagedata src=«31224.files/image927.png» o:><img width=«264» height=«249» src=«dopb144029.zip» v:shapes="_x0000_i1542">
Рис. 2.8. зависимость плотности загрязнителя (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки и постоянных распада1 – t = 0.1, At = 10, 2 – t = 10, At = 0.1, 3 – t = 100, At = 0.01, <shape id="_x0000_i1543" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image880.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i1543">, <shape id="_x0000_i1544" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image926.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1544">, Pd = 102
Если строить зависимость <shape id="_x0000_i1545" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image929.wmz» o:><img width=«52» height=«28» src=«dopb144030.zip» v:shapes="_x0000_i1545">, то заметить «близость» графиков затруднительно, поскольку радиус зоны загрязнения растёт, согласно (2.1.55) пропорционально <shape id="_x0000_i1546" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image931.wmz» o:><img width=«24» height=«27» src=«dopb144031.zip» v:shapes="_x0000_i1546">.
2.3. Бездиффузионное приближение в задаче массообмена В силу того, что отношение коэффициентов диффузии (<shape id="_x0000_i1547" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image933.wmz» o:><img width=«31» height=«25» src=«dopb143652.zip» v:shapes="_x0000_i1547">) и температуропроводности (<shape id="_x0000_i1548" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image934.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb144032.zip» v:shapes="_x0000_i1548">) является малой величиной порядка ~ <shape id="_x0000_i1549" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image484.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb143818.zip» v:shapes="_x0000_i1549">ч<shape id="_x0000_i1550" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image936.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«35» height=«25» src=«dopb144033.zip» v:shapes="_x0000_i1550"> (см. (1.5.12)), появляется возможность упростить взаимосвязанную задачу тепломассопереноса, рассмотрев бездиффузионное приближение, суть которого заключается в пренебрежении диффузионными слагаемыми в соответствующей задаче массопереноса.
Преимущество такого подхода в значительном упрощении процедуры построения решения тепломассообменной задачи. Однако, при использовании бездиффузионного приближения необходимо разрешение вопросов, связанных с оценкой его применимости.
Рассматривая найденное нами выражение для <shape id="_x0000_i1551" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image938.wmz» o:><img width=«32» height=«29» src=«dopb144034.zip» v:shapes="_x0000_i1551"> (2.1.52) как функцию от <shape id="_x0000_i1552" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image940.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb144035.zip» v:shapes="_x0000_i1552">, разложим его в ряд Маклорена по малому параметру <shape id="_x0000_i1553" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image942.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb144035.zip» v:shapes="_x0000_i1553">, причём ограничимся первыми двумя членами разложения
<shape id="_x0000_i1554" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image943.wmz» o:><img width=«244» height=«61» src=«dopb144036.zip» v:shapes="_x0000_i1554">.
(2.3.1)
Из (2.2.1), учитывая, что <shape id="_x0000_i1555" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image945.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb144037.zip» v:shapes="_x0000_i1555">, получим
<shape id="_x0000_i1556" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image947.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«392» height=«59» src=«dopb144038.zip» v:shapes="_x0000_i1556">.
(2.3.2)
Далее, вычислив производную
<shape id="_x0000_i1557" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image949.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«462» height=«191» src=«dopb144039.zip» v:shapes="_x0000_i1557">
(2.3.3)
и подставляя (2.3.2) и (2.3.3) в (2.3.1), окончательно получим
<shape id="_x0000_i1558" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image951.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«461» height=«135» src=«dopb144040.zip» v:shapes="_x0000_i1558">.
(2.3.4)
    продолжение
--PAGE_BREAK--В случае бездиффузионного приближения в уравнении (1.5.41) сразу пренебрегаем диффузионной составляющей, и оно принимает вид
<shape id="_x0000_i1559" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image953.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«419» height=«56» src=«dopb144041.zip» v:shapes="_x0000_i1559">
(2.3.5)
или, проведя преобразование Лапласа – Карсона, в пространстве изображений
<shape id="_x0000_i1560" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image955.wmz» o:><img width=«371» height=«52» src=«dopb144042.zip» v:shapes="_x0000_i1560">.
(2.3.6)
Решение этого уравнения (в пространстве оригиналов)
<shape id="_x0000_i1561" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image957.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«284» height=«60» src=«dopb144043.zip» v:shapes="_x0000_i1561">,
(2.3.7)
что совпадает с нулевым приближением (по <shape id="_x0000_i1562" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image959.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb144035.zip» v:shapes="_x0000_i1562">) для задачи массопереноса с учётом вертикальной диффузии.
Относительная погрешность, возникающая при пренебрежении вторым слагаемым в квадратных скобках в выражении (2.3.4), и определяет погрешность бездиффузионного приближения
<shape id="_x0000_i1563" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image960.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«314» height=«100» src=«dopb144044.zip» v:shapes="_x0000_i1563">.
(2.3.8)
Анализ рис.2.9, на котором показана зависимость относительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, показывает, что за время <shape id="_x0000_i1564" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image962.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb144000.zip» v:shapes="_x0000_i1564">~30 лет погрешность данного приближения на расстояниях до 0,9Rd не превышает нескольких процентов и лишь для значительных времён <shape id="_x0000_i1565" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image962.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb144000.zip» v:shapes="_x0000_i1565">~300 лет, на расстояниях бульших 0,7Rd становится существенной. Причём данные результаты не зависят от среднего времени жизни нуклида.
<imagedata src=«31224.files/image963.png» o:><img width=«273» height=«246» src=«dopb144045.zip» v:shapes="_x0000_i1566">
Рис. 2.9. Зависимость относительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 0.1, 2 – 1, 3 – 10,  4 – 100.   Pd = 102, <shape id="_x0000_i1567" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image965.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144046.zip» v:shapes="_x0000_i1567">
Если при расчётах полагать, что <shape id="_x0000_i1568" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image967.wmz» o:><img width=«64» height=«25» src=«dopb144047.zip» v:shapes="_x0000_i1568">, то на расстояниях до 0,9Rd для τ £300 лет погрешность бездиффузионного приближения не превышает 5%. Это позволяет во многих практических задачах использовать бездиффузионное приближение.
Расстояние от скважины, на котором можно пользоваться бездиффузионным приближением, естественно назвать «радиусом бездиффузионного приближения». Аналогично можно ввести понятие «время бездиффузионного приближения».
На рис. 2.10 приведены результаты расчётов плотности <shape id="_x0000_i1569" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image969.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb144048.zip» v:shapes="_x0000_i1569"> радиоактивных примесей для бездиффузионного приближения в зависимости от относительного расстояния до скважины. Параметр Pd при расчётах принимался равным 102.
<imagedata src=«31224.files/image971.png» o:><img width=«275» height=«241» src=«dopb144049.zip» v:shapes="_x0000_i1570">
Рис. 2.10. Зависимость относительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 0.1, 2 – 1, 3 – 10,  4 – 100.   Pd = 102, <shape id="_x0000_i1571" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image973.wmz» o:><img width=«57» height=«25» src=«dopb144050.zip» v:shapes="_x0000_i1571">
Кривые, приведённые на рис. 2.11 рассчитаны для значения безразмерного времени t = 10.При отсутствии диффузии уменьшение концентрации загрязнителя происходит только в результате радиоактивного распада. Поэтому в случае Аt = 0 плотность <shape id="_x0000_i1572" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image975.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb144048.zip» v:shapes="_x0000_i1572"> постоянна па всём участке вплоть до фронта загрязнителя (положение которого задаётся функцией Хевисайда), где скачком падает до нуля (кривая 1). Вид кривых 2 – 4 определяется радиоактивным распадом.
<imagedata src=«31224.files/image976.png» o:><img width=«277» height=«243» src=«dopb144051.zip» v:shapes="_x0000_i1573">
Рис. 2.11. Зависимость плотности <shape id="_x0000_i1574" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image978.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144052.zip» v:shapes="_x0000_i1574"> радиоактивных примесей от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.01, 3 – 0.1, 4 – 1.  
Pd = 102, <shape id="_x0000_i1575" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image965.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144046.zip» v:shapes="_x0000_i1575">
2.4. Решение задачи массообмена в первом приближении Выпишем ещё раз полученную в разделе 1.5.4 математическую постановку задачи массообмена для коэффициентов первого приближения, пренебрегая радиоактивным распадом в водоупорных пластах
<shape id="_x0000_i1576" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image980.wmz» o:><img width=«505» height=«171» src=«dopb144053.zip» v:shapes="_x0000_i1576">
(2.4.1)
<shape id="_x0000_i1577" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image982.wmz» o:><img width=«220» height=«55» src=«dopb144054.zip» v:shapes="_x0000_i1577">,
(2.4.2)
<shape id="_x0000_i1578" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image984.wmz» o:><img width=«259» height=«55» src=«dopb144055.zip» v:shapes="_x0000_i1578">,
(2.4.3)
начальные условия, условия сопряжения и граничные условия
<shape id="_x0000_i1579" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image657.wmz» o:><img width=«224» height=«40» src=«dopb143900.zip» v:shapes="_x0000_i1579">,
(2.4.4)
<shape id="_x0000_i1580" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image659.wmz» o:><img width=«124» height=«40» src=«dopb143901.zip» v:shapes="_x0000_i1580">,   <shape id="_x0000_i1581" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image661.wmz» o:><img width=«141» height=«40» src=«dopb143902.zip» v:shapes="_x0000_i1581">,
(2.4.5)
<shape id="_x0000_i1582" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image986.wmz» o:><img width=«104» height=«41» src=«dopb144056.zip» v:shapes="_x0000_i1582">,  <shape id="_x0000_i1583" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image645.wmz» o:><img width=«120» height=«40» src=«dopb143894.zip» v:shapes="_x0000_i1583">,  <shape id="_x0000_i1584" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image988.wmz» o:><img width=«127» height=«43» src=«dopb144057.zip» v:shapes="_x0000_i1584">,
(2.4.6)
<shape id="_x0000_i1585" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image990.wmz» o:><img width=«85» height=«39» src=«dopb144058.zip» v:shapes="_x0000_i1585">.
(2.4.7)
Напомним, что решение <shape id="_x0000_i1586" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image669.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb143906.zip» v:shapes="_x0000_i1586"> отыскивается в форме квадратного многочлена относительно z
<shape id="_x0000_i1587" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image992.wmz» o:><img width=«311» height=«60» src=«dopb144059.zip» v:shapes="_x0000_i1587">,
(2.4.8)
где
<shape id="_x0000_i1588" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image626.wmz» o:><img width=«287» height=«68» src=«dopb143885.zip» v:shapes="_x0000_i1588">,
(2.4.9)
<shape id="_x0000_i1589" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image628.wmz» o:><img width=«311» height=«68» src=«dopb143886.zip» v:shapes="_x0000_i1589">.
(2.4.10)
Определение <shape id="_x0000_i1590" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image673.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb143882.zip» v:shapes="_x0000_i1590"> сводится к решению уравнения
<shape id="_x0000_i1591" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image693.wmz» o:><img width=«452» height=«68» src=«dopb143916.zip» v:shapes="_x0000_i1591">,
(2.4.11)
где введён оператор
<shape id="_x0000_i1592" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image676.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«153» height=«48» src=«dopb143908.zip» v:shapes="_x0000_i1592">.
(2.4.12)
Перейдём далее к пространству изображений (преобразование Лапласа – Карсона). При этом оператор <shape id="_x0000_i1593" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image994.wmz» o:><img width=«16» height=«23» src=«dopb143910.zip» v:shapes="_x0000_i1593"> принимает вид
<shape id="_x0000_i1594" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image995.wmz» o:><img width=«193» height=«48» src=«dopb144060.zip» v:shapes="_x0000_i1594">.
(2.4.13)
Выражение (2.4.11) в пространстве изображений
<shape id="_x0000_i1595" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image997.wmz» o:><img width=«493» height=«68» src=«dopb144061.zip» v:shapes="_x0000_i1595">.
(2.4.14)
Имеет смысл сначала найти в пространстве изображений выражения <shape id="_x0000_i1596" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image999.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«62» height=«29» src=«dopb144062.zip» v:shapes="_x0000_i1596"> и <shape id="_x0000_i1597" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1001.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«63» height=«29» src=«dopb144063.zip» v:shapes="_x0000_i1597">. Воспользовавшись аналогами (2.4.9) и (2.4.10) в пространстве изображений, а также (2.1.48), (2.1.49), получим
<shape id="_x0000_i1598" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1003.wmz» o:><img width=«297» height=«53» src=«dopb144064.zip» v:shapes="_x0000_i1598">,
(2.4.15)
<shape id="_x0000_i1599" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1005.wmz» o:><img width=«324» height=«55» src=«dopb144065.zip» v:shapes="_x0000_i1599">.
(2.4.16)
Далее
<shape id="_x0000_i1600" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1007.wmz» o:><img width=«287» height=«52» src=«dopb144066.zip» v:shapes="_x0000_i1600">,
(2.4.17)
<shape id="_x0000_i1601" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1009.wmz» o:><img width=«279» height=«52» src=«dopb144067.zip» v:shapes="_x0000_i1601">.
(2.4.18)
Выражение (1.10.7), в пространстве изображений представляется как
<shape id="_x0000_i1602" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1011.wmz» o:><img width=«363» height=«59» src=«dopb144068.zip» v:shapes="_x0000_i1602">.
(2.4.19)
Решения уравнений (2.4.2) и (2.4.3) почти ничем не отличаются от решений соответствующих уравнений в нулевом приближении, поэтому в пространстве изображений справедливы соотношения
<shape id="_x0000_i1603" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1013.wmz» o:><img width=«192» height=«64» src=«dopb144069.zip» v:shapes="_x0000_i1603">,   <shape id="_x0000_i1604" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1015.wmz» o:><img width=«223» height=«65» src=«dopb144070.zip» v:shapes="_x0000_i1604">.
(2.4.20)
Заметим, что в первом приближении <shape id="_x0000_i1605" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1017.wmz» o:><img width=«79» height=«29» src=«dopb144071.zip» v:shapes="_x0000_i1605"> зависит от z. Это же справедливо и для изображений.
Из (2.4.19) получим для первого коэффициента разложения
<shape id="_x0000_i1606" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1019.wmz» o:><img width=«247» height=«60» src=«dopb144072.zip» v:shapes="_x0000_i1606">,
(2.4.21)
<shape id="_x0000_i1607" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1021.wmz» o:><img width=«257» height=«60» src=«dopb144073.zip» v:shapes="_x0000_i1607">.
(2.4.22)
Подставляя в (2.4.14) выражения (2.4.15) – (2.4.18) и (2.4.20) – (2.4.22), после упрощений получим
<shape id="_x0000_i1608" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1023.wmz» o:><img width=«421» height=«55» src=«dopb144074.zip» v:shapes="_x0000_i1608">.
(2.4.23)
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
<shape id="_x0000_i1609" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1025.wmz» o:><img width=«180» height=«52» src=«dopb144075.zip» v:shapes="_x0000_i1609">.
(2.4.24)
Подставляя найденное значение в (2.4.23) и считая, что <shape id="_x0000_i1610" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1027.wmz» o:><img width=«81» height=«25» src=«dopb144076.zip» v:shapes="_x0000_i1610">, получим дифференциальное уравнение
<shape id="_x0000_i1611" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1029.wmz» o:><img width=«261» height=«47» src=«dopb144077.zip» v:shapes="_x0000_i1611">,
(2.4.25)
решение которого
<shape id="_x0000_i1612" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1031.wmz» o:><img width=«279» height=«47» src=«dopb144078.zip» v:shapes="_x0000_i1612">.
(2.4.26)
Из (2.4.24) и (2.4.26) выражение для <shape id="_x0000_i1613" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1033.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb144079.zip» v:shapes="_x0000_i1613">
<shape id="_x0000_i1614" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1035.wmz» o:><img width=«519» height=«53» src=«dopb144080.zip» v:shapes="_x0000_i1614">.
(2.4.27)
Для нахождения <shape id="_x0000_i1615" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1037.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb144081.zip» v:shapes="_x0000_i1615"> воспользуемся дополнительным интегральным условием (1.5.101) которое для коэффициентов разложения первого порядка в пространстве изображений имеет вид
<shape id="_x0000_i1616" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1039.wmz» o:><img width=«104» height=«41» src=«dopb144082.zip» v:shapes="_x0000_i1616">.
(2.4.28)
Здесь <shape id="_x0000_i1617" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1041.wmz» o:><img width=«51» height=«36» src=«dopb144083.zip» v:shapes="_x0000_i1617"> – среднее по z значение <shape id="_x0000_i1618" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1043.wmz» o:><img width=«36» height=«29» src=«dopb144084.zip» v:shapes="_x0000_i1618">, определяемое с помощью (2.4.19) стандартным образом:
<shape id="_x0000_i1619" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1045.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«482» height=«133» src=«dopb144085.zip» v:shapes="_x0000_i1619">
(2.4.29)
Тогда в пространстве изображений получим
<shape id="_x0000_i1620" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1047.wmz» o:><img width=«187» height=«52» src=«dopb144086.zip» v:shapes="_x0000_i1620">,
(2.4.30)
или, с учётом (2.4.15)
<shape id="_x0000_i1621" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1049.wmz» o:><img width=«203» height=«52» src=«dopb144087.zip» v:shapes="_x0000_i1621">.
(2.4.31)
Сравнивая с (2.4.27), определим <shape id="_x0000_i1622" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1051.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb144081.zip» v:shapes="_x0000_i1622">
<shape id="_x0000_i1623" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1052.wmz» o:><img width=«175» height=«52» src=«dopb144088.zip» v:shapes="_x0000_i1623">.
(2.4.32)
окончательно для <shape id="_x0000_i1624" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1054.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb144089.zip» v:shapes="_x0000_i1624">имеем в пространстве изображений
<shape id="_x0000_i1625" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1056.wmz» o:><img width=«540» height=«63» src=«dopb144090.zip» v:shapes="_x0000_i1625">.
(2.4.33)
Наконец, подставив (2.4.15), (2.4.16) и (2.4.33) в (2.4.19) получим выражение для первого коэффициента в пространстве изображений
<shape id="_x0000_i1626" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1058.wmz» o:><img width=«495» height=«124» src=«dopb144091.zip» v:shapes="_x0000_i1626">
(2.4.34)
Скомпонуем последнее выражение удобным образом (учитывая необходимость перехода в пространство оригиналов)
<shape id="_x0000_i1627" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1060.wmz» o:><img width=«507» height=«121» src=«dopb144092.zip» v:shapes="_x0000_i1627">
(2.4.35)
Раскрывая <shape id="_x0000_i1628" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1062.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb144093.zip» v:shapes="_x0000_i1628"> в соответствии с (2.1.43), перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]
<shape id="_x0000_i1629" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image805.wmz» o:><img width=«417» height=«55» src=«dopb143972.zip» v:shapes="_x0000_i1629">,
<shape id="_x0000_i1630" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1064.wmz» o:><img width=«260» height=«52» src=«dopb144094.zip» v:shapes="_x0000_i1630">.
(2.4.36)
В нашем случае
<shape id="_x0000_i1631" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1066.wmz» o:><img width=«477» height=«56» src=«dopb144095.zip» v:shapes="_x0000_i1631">,
(2.4.37)
<shape id="_x0000_i1632" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image852.wmz» o:><img width=«195» height=«52» src=«dopb143995.zip» v:shapes="_x0000_i1632">.
(2.4.38)
Наконец, справедливо следующее соотношение
<shape id="_x0000_i1633" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1068.wmz» o:><img width=«189» height=«48» src=«dopb144096.zip» v:shapes="_x0000_i1633">.
(2.4.39)
Воспользовавшись (2.3.36) – (2.3.39), из (2.3.35) получим выражение для первого коэффициента разложения в форме
<shape id="_x0000_i1634" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1070.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«505» height=«273» src=«dopb144097.zip» v:shapes="_x0000_i1634">
(2.4.40)
При этом в первом приближении плотность загрязнителя представится как
<shape id="_x0000_i1635" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1072.wmz» o:><img width=«109» height=«29» src=«dopb144098.zip» v:shapes="_x0000_i1635">,
(2.4.41)
где <shape id="_x0000_i1636" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1074.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb144048.zip» v:shapes="_x0000_i1636"> и <shape id="_x0000_i1637" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1075.wmz» o:><img width=«28» height=«29» src=«dopb144099.zip» v:shapes="_x0000_i1637"> определяются выражениями (2.1.52) и (2.4.40).
Оценим теперь вклад второго слагаемого в фигурных скобках выражения (2.4.40) по сравнению с первым. Полагая коэффициенты диффузии надстилающего и подстилающего пластов равными, для отношения этих слагаемых получим
<shape id="_x0000_i1638" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1077.wmz» o:><img width=«330» height=«57» src=«dopb144100.zip» v:shapes="_x0000_i1638">.
(2.4.42)
Анализ рис. 2.12 позволяет сделать вывод о возможности пренебрежения вторым слагаемым в фигурных скобках (2.4.40) по сравнению с первым для всех практически значимых времён на расстояниях до 0.95Rd. Графики на рис. 2.12 построены для z = 0, но аналогичные результаты получаются и при других z, за исключением точек <shape id="_x0000_i1639" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1079.wmz» o:><img width=«85» height=«29» src=«dopb144101.zip» v:shapes="_x0000_i1639">, в которых (2.4.42) обращается в бесконечность.
<imagedata src=«31224.files/image1081.png» o:><img width=«279» height=«240» src=«dopb144102.zip» v:shapes="_x0000_i1640">
Рис. 2.12. Зависимость <shape id="_x0000_i1641" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1083.wmz» o:><img width=«37» height=«28» src=«dopb144103.zip» v:shapes="_x0000_i1641"> от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 10, 2 – 30, 3 – 100. Графики построены для z = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1642" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1642">
Однако из рис. 2.13 видно, что и в этом случае (в силу абсолютной малости соответствующего слагаемого) им можно пренебречь для расстояний меньших 0.98Rd. поэтому в дальнейшем при рассмотрении первого коэффициента асимптотического разложения <shape id="_x0000_i1643" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1087.wmz» o:><img width=«101» height=«29» src=«dopb144105.zip» v:shapes="_x0000_i1643"> будем полагать, что
<imagedata src=«31224.files/image1089.png» o:><img width=«274» height=«245» src=«dopb144106.zip» v:shapes="_x0000_i1644">
Рис. 2.13. Зависимость второго слагаемого по раскрытии всех скобок в (2.4.40) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1 – t = 10, 2 – 30, 3 – 100. Графики построены для <shape id="_x0000_i1645" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1091.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb144107.zip» v:shapes="_x0000_i1645">. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1646" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1093.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1646">
<shape id="_x0000_i1647" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1094.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«505» height=«205» src=«dopb144108.zip» v:shapes="_x0000_i1647">
(2.4.43)
Выражение (2.4.43) с высокой степенью точности определяет первый коэффициент модифицированного асимптотического разложения плотности радиоактивного загрязнителя.
2.5. Анализ результатов расчетов в первом приближении На рис. 2.14 и 2.15 представлены графики зависимости первого коэффициента разложения <shape id="_x0000_i1648" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1648"> от расстояния до оси скважины. Вид графиков для z = 0 и z = 1 оказывается похожим, но «опрокинутым». При этом наиболее существенный вклад первого приближения наблюдается на границе зоны заражения.
<imagedata src=«31224.files/image1098.png» o:><img width=«273» height=«242» src=«dopb144110.zip» v:shapes="_x0000_i1649">
Рис. 2.14. Зависимость плотности <shape id="_x0000_i1650" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1100.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1650"> радиоактивных примесей для коэффициента первого приближения от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.1, 3 – 1, 4 – 10. Графики построены для z = 1. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1651" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1651">, <shape id="_x0000_i1652" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1652">, <shape id="_x0000_i1653" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1103.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1653">
Сравнивая графики, представленные на рис. 2.15 и 2.16, приходим к выводу, что с увеличением времени, прошедшего с момента закачки, вклад <shape id="_x0000_i1654" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1654"> уменьшается.
<imagedata src=«31224.files/image1105.png» o:><img width=«268» height=«247» src=«dopb144113.zip» v:shapes="_x0000_i1655">
Рис. 2.15. Зависимость плотности <shape id="_x0000_i1656" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1107.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1656"> радиоактивных примесей для коэффициента первого приближения от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.1, 3 – 1, 4 – 10. Графики построены для z = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1657" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1657">, <shape id="_x0000_i1658" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1658">, <shape id="_x0000_i1659" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1103.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1659">
<imagedata src=«31224.files/image1108.png» o:><img width=«273» height=«247» src=«dopb144114.zip» v:shapes="_x0000_i1660">
Рис. 2.16. Зависимость плотности <shape id="_x0000_i1661" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1107.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1661"> радиоактивных примесей для коэффициента первого приближения от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 30 при различных постоянных распада: 1 – At = 0, 2 – 0.1, 3 – 1, 4 – 10. Графики построены для z = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1662" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1662">, <shape id="_x0000_i1663" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1663">, <shape id="_x0000_i1664" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1103.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1664">
Об этом же говорит и анализ рис. 2.17, на котором приведена зависимость первого коэффициента плотности радиоактивного загрязнителя от времени закачки на различных расстояниях от оси скважины. Причём, на бульших расстояниях от оси уменьшение <shape id="_x0000_i1665" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1665"> происходит быстрее.
<imagedata src=«31224.files/image1110.png» o:><img width=«259» height=«232» src=«dopb144115.zip» v:shapes="_x0000_i1666">
Рис. 2.17. Зависимость плотности <shape id="_x0000_i1667" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1107.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1667"> радиоактивных примесей от времени закачки     на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1668" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1668">, <shape id="_x0000_i1669" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1669">, <shape id="_x0000_i1670" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1670">
Однако из рис. 2.18 следует, что для нерадиоактивных примесей <shape id="_x0000_i1671" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1671"> имеет большое значение и на бульших расстояниях от скважины. Следовательно, наблюдавшееся на рис. 2.17 различие в быстроте уменьшения <shape id="_x0000_i1672" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1672"> определяется не столько диффузионными характеристиками, сколько радиоактивным распадом.
<imagedata src=«31224.files/image1113.png» o:><img width=«259» height=«233» src=«dopb144116.zip» v:shapes="_x0000_i1673">
Рис. 2.18. Зависимость плотности <shape id="_x0000_i1674" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1107.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1674"> радиоактивных примесей от времени закачки на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4; 0.6, 3 – 0.8. Графики построены для At = 0. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1675" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1675">, <shape id="_x0000_i1676" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1115.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb144117.zip» v:shapes="_x0000_i1676">, <shape id="_x0000_i1677" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1677">
На рис. 2.19 представлена зависимость <shape id="_x0000_i1678" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1117.wmz» o:><img width=«132» height=«29» src=«dopb144118.zip» v:shapes="_x0000_i1678"> от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу загрязнения. Различные кривые соответствуют разным расстояниям вдоль вертикальной координаты в пласте. Графики построены для безразмерного времени t = 3. При этом данное отношение не зависит от параметра At радиоактивного распада. Видно, что для столь незначительного времени на расстояниях <shape id="_x0000_i1679" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1119.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb144119.zip» v:shapes="_x0000_i1679"> вклад первого коэффициента приближения является весьма существенным.
<imagedata src=«31224.files/image1121.png» o:><img width=«278» height=«245» src=«dopb144120.zip» v:shapes="_x0000_i1680">
Рис. 2.19. Зависимость отношения <shape id="_x0000_i1681" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1107.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1681"> к <shape id="_x0000_i1682" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1123.wmz» o:><img width=«29» height=«28» src=«dopb144121.zip» v:shapes="_x0000_i1682"> от «относительного расстояния» для различных z: 1 – z = 0, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 1. Графики построены для t = 3. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1683" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1683">, <shape id="_x0000_i1684" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1115.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb144117.zip» v:shapes="_x0000_i1684">, <shape id="_x0000_i1685" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1685">
Анализ рис. 2.20, определяющего зависимость <shape id="_x0000_i1686" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1117.wmz» o:><img width=«132» height=«29» src=«dopb144118.zip» v:shapes="_x0000_i1686"> от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу загрязнения, в сравнении с рис. 2.19, позволяет сделать вывод об уменьшении роли <shape id="_x0000_i1687" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1125.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1687"> с ростом времени закачки. Графики построены для безразмерного времени t = 30, что соответствует размерному времени ~ 100 лет. При этом на расстояниях до <shape id="_x0000_i1688" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1126.wmz» o:><img width=«47» height=«25» src=«dopb144122.zip» v:shapes="_x0000_i1688"> вклад <shape id="_x0000_i1689" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1125.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1689"> по сравнению с <shape id="_x0000_i1690" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1128.wmz» o:><img width=«31» height=«28» src=«dopb144123.zip» v:shapes="_x0000_i1690"> для горизонтов –0.6 < z < 0.6 весьма мал и составляет 3 – 5%.
<imagedata src=«31224.files/image1130.png» o:><img width=«278» height=«245» src=«dopb144124.zip» v:shapes="_x0000_i1691">
Рис. 2.20. Зависимость отношения <shape id="_x0000_i1692" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1107.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1692"> к <shape id="_x0000_i1693" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1123.wmz» o:><img width=«29» height=«28» src=«dopb144121.zip» v:shapes="_x0000_i1693"> от «относительного расстояния» для различных z: 1 – z = 0, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 1. Графики построены для t = 30. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1694" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1694">, <shape id="_x0000_i1695" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1115.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb144117.zip» v:shapes="_x0000_i1695">, <shape id="_x0000_i1696" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1696">
Этот вывод подтверждается и анализом рис. 2.21, на котором представлена зависимость <shape id="_x0000_i1697" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1117.wmz» o:><img width=«132» height=«29» src=«dopb144118.zip» v:shapes="_x0000_i1697"> от времени. При увеличении времени закачки уменьшается относительный вклад <shape id="_x0000_i1698" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1125.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1698">. Следовательно, при значительных расчётных временах, распределение плотности загрязнителя описывается с высокой степенью точности нулевым приближением.
<imagedata src=«31224.files/image1132.png» o:><img width=«273» height=«234» src=«dopb144125.zip» v:shapes="_x0000_i1699">
Рис. 2.21. Зависимость отношения <shape id="_x0000_i1700" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1107.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1700"> к <shape id="_x0000_i1701" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1123.wmz» o:><img width=«29» height=«28» src=«dopb144121.zip» v:shapes="_x0000_i1701"> от времени закачки на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 1. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1702" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1702">, <shape id="_x0000_i1703" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1115.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb144117.zip» v:shapes="_x0000_i1703">, <shape id="_x0000_i1704" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1704"> 
    продолжение
--PAGE_BREAK--На рис. 2.22 представлена картина зависимости <shape id="_x0000_i1705" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1705"> от вертикальной координаты. Коэффициенты диффузии надстилающего и подстилающего пластов полагаются одинаковыми. Картина симметрична относительно z = 0. при этом с увеличением расстояния до оси скважины происходит «сглаживание» значений <shape id="_x0000_i1706" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1706">.
<imagedata src=«31224.files/image1134.png» o:><img width=«268» height=«247» src=«dopb144126.zip» v:shapes="_x0000_i1707">
Рис. 2.22. Зависимость коэффициента первого приближения <shape id="_x0000_i1708" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1107.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1708"> плотности радиоактивных примесей от z для безразмерного времени t = 10 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1709" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1709">, <shape id="_x0000_i1710" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1710">, <shape id="_x0000_i1711" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1136.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144127.zip» v:shapes="_x0000_i1711">
Рисунок 2.23 показывает зависимость <shape id="_x0000_i1712" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1712"> от вертикальной координаты в случае различия коэффициентов диффузии надстилающего и подстилающего пластов. Симметрия относительно z = 0 нарушается, более высокий коэффициент определяет и большее абсолютное значение <shape id="_x0000_i1713" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1713">. С увеличением расстояния до оси скважины происходит «сглаживание» <shape id="_x0000_i1714" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1096.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1714">.
Из рис. 2.24 следует, что при малых постоянных распада различие между первым и нулевым приближениями остаётся практически постоянным, в то время, как при больших At уменьшение плотности загрязнителя за счёт распада становится преобладающим и разница между нулевым и первым приближениями уменьшается.
<imagedata src=«31224.files/image1138.png» o:><img width=«266» height=«247» src=«dopb144128.zip» v:shapes="_x0000_i1715">
Рис. 2.23. Зависимость коэффициента первого приближения <shape id="_x0000_i1716" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1107.wmz» o:><img width=«27» height=«28» src=«dopb144111.zip» v:shapes="_x0000_i1716"> плотности радиоактивных примесей от z для безразмерного времени t = 10 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1717" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1717">, <shape id="_x0000_i1718" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1140.wmz» o:><img width=«52» height=«28» src=«dopb144129.zip» v:shapes="_x0000_i1718">, <shape id="_x0000_i1719" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1142.wmz» o:><img width=«73» height=«29» src=«dopb144130.zip» v:shapes="_x0000_i1719">, <shape id="_x0000_i1720" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1144.wmz» o:><img width=«77» height=«29» src=«dopb144131.zip» v:shapes="_x0000_i1720">
<imagedata src=«31224.files/image1146.png» o:><img width=«278» height=«244» src=«dopb144132.zip» v:shapes="_x0000_i1721">
Рис. 2.24. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в нулевом (1, 3) и первом (2, 4) приближениях от «относительного расстояния» для различных постоянных распада 1,2 – At = 0.1, 3,4 – 1. Графики построены для t = 10. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1722" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1722">, <shape id="_x0000_i1723" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1115.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb144117.zip» v:shapes="_x0000_i1723">, <shape id="_x0000_i1724" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1724">
Анализ рис. 2.25 показывает, что с увеличением времени кривые, отвечающие плотности загрязнителя в различных горизонтальных плоскостях, приближаются друг к другу, что вызвано, прежде всего, уменьшением <shape id="_x0000_i1725" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1148.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb143855.zip» v:shapes="_x0000_i1725"> в результате радиоактивного распада.
На рис. 2.26 представлена зависимость плотности загрязнителя при отсутствии радиоактивного распада от времени. При этом уменьшение <shape id="_x0000_i1726" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1148.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb143855.zip» v:shapes="_x0000_i1726"> определяется только процессами диффузии. Чем больше величина <shape id="_x0000_i1727" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1149.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb144133.zip» v:shapes="_x0000_i1727">, т.е. чем ближе по абсолютной величине коэффициент диффузии к коэффициенту температуропроводности, тем быстрее уменьшается плотность, и наоборот.
<imagedata src=«31224.files/image1151.png» o:><img width=«262» height=«229» src=«dopb144134.zip» v:shapes="_x0000_i1728">
Рис. 2.25. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в первом приближении от времени для различных z: 1 – z = 0.5, 2 – 0.7, 3 – 0.9, 4 – 1. Графики построены для R = 0.5. Другие расчётные параметры At = 0.3, Pd = 102, <shape id="_x0000_i1729" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1729">, <shape id="_x0000_i1730" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1115.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb144117.zip» v:shapes="_x0000_i1730">, <shape id="_x0000_i1731" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1731"> 
<imagedata src=«31224.files/image1153.png» o:><img width=«262» height=«229» src=«dopb144135.zip» v:shapes="_x0000_i1732">
Рис. 2.26. Зависимость плотности нерадиоактивного загрязнителя в первом приближении от времени для различных <shape id="_x0000_i1733" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1155.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb144136.zip» v:shapes="_x0000_i1733">:   1<shape id="_x0000_i1734" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1157.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb144137.zip» v:shapes="_x0000_i1734">, 2 – <shape id="_x0000_i1735" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1159.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb144138.zip» v:shapes="_x0000_i1735">, 3 – <shape id="_x0000_i1736" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1161.wmz» o:><img width=«35» height=«25» src=«dopb144139.zip» v:shapes="_x0000_i1736">. Графики построены для R = 0.9 и z = 0.5. Другие расчётные параметры At = 0, Pd = 102, <shape id="_x0000_i1737" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1163.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1737">, <shape id="_x0000_i1738" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1738">
При наличии радиоактивного загрязнителя картина в большей степени определяется процессами радиоактивного распада, что хорошо видно на рис. 2.27. Особенно существенна разница в масштабе оси времени между 2.26 и 2.27, что вызвано большим временем «диффузионной релаксации» в сравнении со средним временем жизни нуклида.
Из рис. 2.28, 2.29 следует, что увеличение времени закачки приводит к «сглаживанию» плотности загрязнителя в первом приближении на границе зоны загрязнения, что позволяет в этом приближении получать хорошие результаты для всех постоянных распада и на всех расстояниях.
<imagedata src=«31224.files/image1164.png» o:><img width=«262» height=«229» src=«dopb144140.zip» v:shapes="_x0000_i1739">
Рис. 2.27. Зависимость плотности нерадиоактивного загрязнителя в первом приближении от времени для различных постоянных распада: 1 – At = 0.1, 2 – 0.3, 3 – 1, 4 – 3. Графики построены для R = 0.9 и z = 0.5. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1740" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1740">, <shape id="_x0000_i1741" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1163.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1741">, <shape id="_x0000_i1742" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1742">
<imagedata src=«31224.files/image1166.png» o:><img width=«267» height=«238» src=«dopb144141.zip» v:shapes="_x0000_i1743">
Рис. 2.28. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в первом приближении от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 1. При различных постоянных распада: 1 – At = 0.1, 2 – 0.3, 3 – 1, 4 – 3. Графики построены для z = 0.5. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1744" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1744">, <shape id="_x0000_i1745" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1163.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1745">, <shape id="_x0000_i1746" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1746">
<imagedata src=«31224.files/image1168.png» o:><img width=«267» height=«238» src=«dopb144142.zip» v:shapes="_x0000_i1747">
Рис. 2.29. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в первом приближении от расстояния до оси скважины, отнесённого к максимальному радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10. При различных постоянных распада: 1 – At = 0.1, 2 – 0.3, 3 – 1, 4 – 3. Графики построены для z = 0.5. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1748" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1748">, <shape id="_x0000_i1749" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1163.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1749">, <shape id="_x0000_i1750" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1750">

Как видно из рис. 2.30 и 2.31, увеличение времени закачки уменьшает вертикальную составляющую градиента плотности радиоактивного загрязнителя в первом приближении.
<imagedata src=«31224.files/image1170.png» o:><img width=«254» height=«241» src=«dopb144143.zip» v:shapes="_x0000_i1751">
Рис. 2.30. Зависимость <shape id="_x0000_i1752" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1172.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb144144.zip» v:shapes="_x0000_i1752"> плотности радиоактивных примесей в первом приближении от z для безразмерного времени t = 3 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1753" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1753">, <shape id="_x0000_i1754" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1754">, <shape id="_x0000_i1755" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1136.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144127.zip» v:shapes="_x0000_i1755">
<imagedata src=«31224.files/image1174.png» o:><img width=«253» height=«241» src=«dopb144145.zip» v:shapes="_x0000_i1756">
Рис. 2.31. Зависимость <shape id="_x0000_i1757" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1172.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb144144.zip» v:shapes="_x0000_i1757"> плотности радиоактивных примесей в первом приближении от z для безразмерного времени t = 10 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1758" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1758">, <shape id="_x0000_i1759" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1759">, <shape id="_x0000_i1760" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1136.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144127.zip» v:shapes="_x0000_i1760">
Существенное влияние на распределение загрязнения вдоль вертикальной оси оказывает δ – увеличение коэффициента диффузии несущего пласта (или уменьшение его коэффициента температуропроводности) приводят к более значительному изменению плотности загрязнителя по высоте пласта.
<imagedata src=«31224.files/image1176.png» o:><img width=«253» height=«241» src=«dopb144146.zip» v:shapes="_x0000_i1761">
Рис. 2.32. Зависимость плотности радиоактивных примесей в первом приближении от z для безразмерного времени t = 10 на расстоянии 0.9Rd от оси скважины для различных <shape id="_x0000_i1762" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1155.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb144136.zip» v:shapes="_x0000_i1762">:  1<shape id="_x0000_i1763" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1157.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb144137.zip» v:shapes="_x0000_i1763">,  2 – <shape id="_x0000_i1764" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1159.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb144138.zip» v:shapes="_x0000_i1764">, 3 – <shape id="_x0000_i1765" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1161.wmz» o:><img width=«35» height=«25» src=«dopb144139.zip» v:shapes="_x0000_i1765">, 4 – <shape id="_x0000_i1766" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1178.wmz» o:><img width=«33» height=«25» src=«dopb144147.zip» v:shapes="_x0000_i1766">. Другие расчётные параметры At = 0.1, Pd = 102, <shape id="_x0000_i1767" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1163.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1767">, <shape id="_x0000_i1768" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1112.wmz» o:><img width=«108» height=«29» src=«dopb144112.zip» v:shapes="_x0000_i1768">
<imagedata src=«31224.files/image1180.png» o:><img width=«254» height=«241» src=«dopb144148.zip» v:shapes="_x0000_i1769">
Рис. 2.33. Зависимость <shape id="_x0000_i1770" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1172.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb144144.zip» v:shapes="_x0000_i1770"> плотности радиоактивных примесей в первом приближении от z для безразмерного времени t = 3 на «относительных расстояниях» от оси скважины: 1 – R = 0.2, 2 – 0.4, 3 – 0.6, 4 – 0.8. Графики построены для At = 0.3. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1771" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1771">, <shape id="_x0000_i1772" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1182.wmz» o:><img width=«57» height=«29» src=«dopb144149.zip» v:shapes="_x0000_i1772">, <shape id="_x0000_i1773" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1184.wmz» o:><img width=«79» height=«29» src=«dopb144150.zip» v:shapes="_x0000_i1773">, <shape id="_x0000_i1774" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1186.wmz» o:><img width=«81» height=«29» src=«dopb144151.zip» v:shapes="_x0000_i1774">
Различия в физических свойствах «кровли» и «подошвы» приводит к смещению максимума графика <shape id="_x0000_i1775" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1188.wmz» o:><img width=«35» height=«24» src=«dopb144152.zip» v:shapes="_x0000_i1775"> в сторону пласта, обладающего меньшим коэффициентом диффузии.
Итак, на основе асимптотического метода создана методика расчетов концентрации примесей радиоактивных и химически активных веществ при их захоронении в подземных горизонтах.
2.6. Стационарное решение задачи массопереноса в нулевом и первом приближении Отметим, что чрезвычайно важным является нахождение стационарного решения, позволяющего установить максимальные размеры зоны загрязнения. Положим в уравнениях (1.5.14) – (1.5.16), описывающих распространение загрязнителя в пластах, первое слагаемое <shape id="_x0000_i1776" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1190.wmz» o:><img width=«65» height=«25» src=«dopb144153.zip» v:shapes="_x0000_i1776"> равным нулю. При этом уравнения принимают вид
<shape id="_x0000_i1777" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1192.wmz» o:><img width=«279» height=«59» src=«dopb144154.zip» v:shapes="_x0000_i1777">,
(2.6.1)
<shape id="_x0000_i1778" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1194.wmz» o:><img width=«293» height=«60» src=«dopb144155.zip» v:shapes="_x0000_i1778">,
(2.6.2)
<shape id="_x0000_i1779" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1196.wmz» o:><img width=«328» height=«60» src=«dopb144156.zip» v:shapes="_x0000_i1779">.
(2.6.3)
Поделив левые и правые части всех уравнений на <shape id="_x0000_i1780" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1198.wmz» o:><img width=«12» height=«19» src=«dopb144157.zip» v:shapes="_x0000_i1780">, значение которого определяется выражением (1.5.12), запишем стационарную задачу вместе с граничными условиями и условиями сопряжения
<shape id="_x0000_i1781" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1200.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«256» height=«59» src=«dopb144158.zip» v:shapes="_x0000_i1781">,
(2.6.4)
<shape id="_x0000_i1782" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1202.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«307» height=«59» src=«dopb144159.zip» v:shapes="_x0000_i1782">,
(2.6.5)
<shape id="_x0000_i1783" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1204.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«348» height=«57» src=«dopb144160.zip» v:shapes="_x0000_i1783">,
(2.6.6)
<shape id="_x0000_i1784" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1206.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«123» height=«29» src=«dopb144161.zip» v:shapes="_x0000_i1784">  <shape id="_x0000_i1785" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1208.wmz» o:><img width=«145» height=«29» src=«dopb144162.zip» v:shapes="_x0000_i1785">,
(2.6.7)
<shape id="_x0000_i1786" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1210.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«179» height=«59» src=«dopb144163.zip» v:shapes="_x0000_i1786">  <shape id="_x0000_i1787" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1212.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«196» height=«59» src=«dopb144164.zip» v:shapes="_x0000_i1787">,
(2.6.8)
<shape id="_x0000_i1788" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1214.wmz» o:><img width=«81» height=«29» src=«dopb144165.zip» v:shapes="_x0000_i1788">,
(2.6.9)
<shape id="_x0000_i1789" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1216.wmz» o:><img width=«99» height=«29» src=«dopb144166.zip» v:shapes="_x0000_i1789">,  <shape id="_x0000_i1790" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1218.wmz» o:><img width=«121» height=«29» src=«dopb144167.zip» v:shapes="_x0000_i1790">,  <shape id="_x0000_i1791" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1220.wmz» o:><img width=«121» height=«35» src=«dopb144168.zip» v:shapes="_x0000_i1791">.
(2.6.10)
Будем искать решение задачи (2.6.4) – (2.6.10) в виде асимптотического ряда по параметру <shape id="_x0000_i1792" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1222.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1792">, появляющемуся при формальной замене коэффициента диффузии <shape id="_x0000_i1793" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image522.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb143837.zip» v:shapes="_x0000_i1793"> на частное <shape id="_x0000_i1794" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1223.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb143838.zip» v:shapes="_x0000_i1794">. В соответствии с принятыми обозначениями это соответствует следующим заменам:<shape id="_x0000_i1795" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1224.wmz» o:><img width=«83» height=«29» src=«dopb143839.zip» v:shapes="_x0000_i1795">, а <shape id="_x0000_i1796" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1225.wmz» o:><img width=«148» height=«29» src=«dopb144169.zip» v:shapes="_x0000_i1796">.
<shape id="_x0000_i1797" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1227.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«160» height=«31» src=«dopb144170.zip» v:shapes="_x0000_i1797">,  <shape id="_x0000_i1798" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1229.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«156» height=«31» src=«dopb144171.zip» v:shapes="_x0000_i1798">,   <shape id="_x0000_i1799" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1231.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«157» height=«31» src=«dopb144172.zip» v:shapes="_x0000_i1799"> .
(2.6.11)
Подставив выражения (2.6.11) в (2.6.4) – (2.6.10) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения <shape id="_x0000_i1800" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1233.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1800">, получим следующую постановку параметризованной задачи (вместе с граничными условиями)
<shape id="_x0000_i1801" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1234.wmz» o:><img width=«451» height=«57» src=«dopb144173.zip» v:shapes="_x0000_i1801">,
(2.6.12)
<shape id="_x0000_i1802" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1236.wmz» o:><img width=«491» height=«57» src=«dopb144174.zip» v:shapes="_x0000_i1802">,
(2.6.13)
<shape id="_x0000_i1803" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1238.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«391» height=«135» src=«dopb144175.zip» v:shapes="_x0000_i1803">
(2.6.14)
<shape id="_x0000_i1804" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1240.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«344» height=«68» src=«dopb144176.zip» v:shapes="_x0000_i1804">
<shape id="_x0000_i1805" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1242.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«372» height=«68» src=«dopb144177.zip» v:shapes="_x0000_i1805">
(2.6.15)
<shape id="_x0000_i1806" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1244.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«309» height=«39» src=«dopb144178.zip» v:shapes="_x0000_i1806">,  <shape id="_x0000_i1807" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1246.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«333» height=«38» src=«dopb144179.zip» v:shapes="_x0000_i1807">,
(2.6.16)
<shape id="_x0000_i1808" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1248.wmz» o:><img width=«175» height=«39» src=«dopb144180.zip» v:shapes="_x0000_i1808">,
(2.6.17)
<shape id="_x0000_i1809" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1250.wmz» o:><img width=«193» height=«39» src=«dopb144181.zip» v:shapes="_x0000_i1809">, <shape id="_x0000_i1810" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1252.wmz» o:><img width=«212» height=«39» src=«dopb144182.zip» v:shapes="_x0000_i1810">, <shape id="_x0000_i1811" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1254.wmz» o:><img width=«228» height=«43» src=«dopb144183.zip» v:shapes="_x0000_i1811">
(2.6.18)
Приравнивая коэффициенты при <shape id="_x0000_i1812" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1256.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb143870.zip» v:shapes="_x0000_i1812"> в уравнении (2.6.14) и учитывая условие (2.6.15), получим, что в нулевом приближении плотность загрязнителя является функцией только от r, т.е. в каждом вертикальном сечении одинакова по высоте несущего пласта <shape id="_x0000_i1813" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1257.wmz» o:><img width=«107» height=«35» src=«dopb144184.zip» v:shapes="_x0000_i1813">. Далее, приравняв к нулю коэффициенты при <shape id="_x0000_i1814" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1259.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1814"> в уравнении (2.6.14), получим
<shape id="_x0000_i1815" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1260.wmz» o:><img width=«236» height=«57» src=«dopb144185.zip» v:shapes="_x0000_i1815">.
(2.6.19)
Левую часть этого уравнения, не зависящую от z, обозначим через <shape id="_x0000_i1816" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1262.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«48» height=«25» src=«dopb144186.zip» v:shapes="_x0000_i1816">:
<shape id="_x0000_i1817" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1264.wmz» o:><img width=«205» height=«52» src=«dopb144187.zip» v:shapes="_x0000_i1817">.
(2.6.20)
Тогда <shape id="_x0000_i1818" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1266.wmz» o:><img width=«171» height=«30» src=«dopb144188.zip» v:shapes="_x0000_i1818">, следовательно
<shape id="_x0000_i1819" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1268.wmz» o:><img width=«193» height=«53» src=«dopb144189.zip» v:shapes="_x0000_i1819">,
(2.6.21)
<shape id="_x0000_i1820" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1270.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«267» height=«46» src=«dopb144190.zip» v:shapes="_x0000_i1820">.
(2.6.22)
Здесь <shape id="_x0000_i1821" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1272.wmz» o:><img width=«46» height=«25» src=«dopb144191.zip» v:shapes="_x0000_i1821">, <shape id="_x0000_i1822" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1274.wmz» o:><img width=«48» height=«25» src=«dopb144192.zip» v:shapes="_x0000_i1822"> – неизвестные пока функции.
Из условий сопряжения (2.6.15) при сомножителе <shape id="_x0000_i1823" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1259.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1823"> получим
<shape id="_x0000_i1824" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1276.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«276» height=«68» src=«dopb144193.zip» v:shapes="_x0000_i1824">,
(2.6.23)
<shape id="_x0000_i1825" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1278.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«300» height=«68» src=«dopb144194.zip» v:shapes="_x0000_i1825">.
(2.6.24)
Тогда уравнение (2.6.20) примет вид
<shape id="_x0000_i1826" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1280.wmz» o:><img width=«375» height=«68» src=«dopb144195.zip» v:shapes="_x0000_i1826">.
(2.6.25)
Для нулевого приближения из (2.6.12) и (2.6.13) с учётом условий сопряжения (2.6.16)
<shape id="_x0000_i1827" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1282.wmz» o:><img width=«218» height=«57» src=«dopb144196.zip» v:shapes="_x0000_i1827">,  <shape id="_x0000_i1828" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1284.wmz» o:><img width=«228» height=«57» src=«dopb144197.zip» v:shapes="_x0000_i1828">.
(2.6.26)
Продифференцировав последние выражения и подставив результат в (2.4.25), получим
<shape id="_x0000_i1829" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1286.wmz» o:><img width=«325» height=«52» src=«dopb144198.zip» v:shapes="_x0000_i1829">.
(2.6.27)
Решение этого уравнения представим как
<shape id="_x0000_i1830" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1288.wmz» o:><img width=«148» height=«59» src=«dopb144199.zip» v:shapes="_x0000_i1830">,
(2.6.28)
где
<shape id="_x0000_i1831" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1290.wmz» o:><img width=«205» height=«49» src=«dopb144200.zip» v:shapes="_x0000_i1831">.
(2.6.29)
Полученные уравнения (2.6.26), (2.6.28) и определяют решение стационарной задачи в нулевом приближении.
Найдём теперь коэффициенты при <shape id="_x0000_i1832" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1259.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1832"> в асимптотическом разложении стационарной задачи массопереноса. Уравнения (2.6.12) – (2.6.14) для слагаемых, содержащих <shape id="_x0000_i1833" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1259.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1833"> имеют вид
<shape id="_x0000_i1834" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1292.wmz» o:><img width=«256» height=«59» src=«dopb144201.zip» v:shapes="_x0000_i1834">,
(2.6.30)
<shape id="_x0000_i1835" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1294.wmz» o:><img width=«271» height=«60» src=«dopb144202.zip» v:shapes="_x0000_i1835">,
(2.6.31)
<shape id="_x0000_i1836" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1296.wmz» o:><img width=«329» height=«57» src=«dopb144203.zip» v:shapes="_x0000_i1836">.
(2.6.32)
Условия сопряжения представляются как
<shape id="_x0000_i1837" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1298.wmz» o:><img width=«125» height=«38» src=«dopb144204.zip» v:shapes="_x0000_i1837">,  <shape id="_x0000_i1838" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1300.wmz» o:><img width=«141» height=«38» src=«dopb144205.zip» v:shapes="_x0000_i1838">,
(2.6.33)
<shape id="_x0000_i1839" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1302.wmz» o:><img width=«174» height=«64» src=«dopb144206.zip» v:shapes="_x0000_i1839">,  <shape id="_x0000_i1840" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1304.wmz» o:><img width=«196» height=«64» src=«dopb144207.zip» v:shapes="_x0000_i1840">,
(2.6.34)
причем, решение <shape id="_x0000_i1841" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1306.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb144208.zip» v:shapes="_x0000_i1841"> отыскивается в форме квадратного многочлена (2.6.22) относительно z, где <shape id="_x0000_i1842" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1308.wmz» o:><img width=«48» height=«25» src=«dopb144209.zip» v:shapes="_x0000_i1842"> и <shape id="_x0000_i1843" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1310.wmz» o:><img width=«47» height=«25» src=«dopb144210.zip» v:shapes="_x0000_i1843"> определены выражениями (2.6.20) и (2.6.21), а <shape id="_x0000_i1844" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1312.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb144211.zip» v:shapes="_x0000_i1844"> неизвестно. Для его определения перепишем (2.6.32) в виде
<shape id="_x0000_i1845" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1314.wmz» o:><img width=«139» height=«55» src=«dopb144212.zip» v:shapes="_x0000_i1845">,
(2.6.35)
где оператор <shape id="_x0000_i1846" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1316.wmz» o:><img width=«179» height=«48» src=«dopb144213.zip» v:shapes="_x0000_i1846">. Учитывая соотношение (2.6.22), а также линейность оператора <shape id="_x0000_i1847" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1318.wmz» o:><img width=«23» height=«28» src=«dopb144214.zip» v:shapes="_x0000_i1847">, получим
<shape id="_x0000_i1848" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1320.wmz» o:><img width=«379» height=«59» src=«dopb144215.zip» v:shapes="_x0000_i1848">.
(2.6.36)
Интегрируя последнее выражение и используя условия сопряжения (2.6.34), перейдём к уравнению
<shape id="_x0000_i1849" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1322.wmz» o:><img width=«361» height=«71» src=«dopb144216.zip» v:shapes="_x0000_i1849">.
(2.6.37)
Решения уравнений для первых коэффициентов асимптотического разложения для настилающего и подстилающего пластов почти не отличаются от решений соответствующих уравнений в нулевом приближении, поэтому справедливы соотношения
<shape id="_x0000_i1850" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1324.wmz» o:><img width=«193» height=«64» src=«dopb144217.zip» v:shapes="_x0000_i1850">,  <shape id="_x0000_i1851" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1326.wmz» o:><img width=«224» height=«64» src=«dopb144218.zip» v:shapes="_x0000_i1851">.
(2.6.38)
Воспользовавшись (2.6.23), (2.6.26) и (2.6.28), получим
<shape id="_x0000_i1852" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1328.wmz» o:><img width=«293» height=«53» src=«dopb144219.zip» v:shapes="_x0000_i1852">,
(2.6.39)
<shape id="_x0000_i1853" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1330.wmz» o:><img width=«304» height=«55» src=«dopb144220.zip» v:shapes="_x0000_i1853">,
(2.6.40)
<shape id="_x0000_i1854" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1332.wmz» o:><img width=«279» height=«52» src=«dopb144221.zip» v:shapes="_x0000_i1854">,
(2.6.41)
<shape id="_x0000_i1855" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1334.wmz» o:><img width=«273» height=«52» src=«dopb144222.zip» v:shapes="_x0000_i1855">.
(2.6.42)
Уравнение (2.6.37) с учетом (2.6.38) – (2.6.42), запишется как
<shape id="_x0000_i1856" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1336.wmz» o:><img width=«417» height=«59» src=«dopb144223.zip» v:shapes="_x0000_i1856">.
(2.6.43)
Решение этого уравнения
<shape id="_x0000_i1857" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1338.wmz» o:><img width=«377» height=«59» src=«dopb144224.zip» v:shapes="_x0000_i1857">.
(2.6.44)
Для нахождения постоянной интегрирования С необходимо воспользоваться граничным условием (2.6.17) для коэффициента при <shape id="_x0000_i1858" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1259.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb143836.zip» v:shapes="_x0000_i1858">: <shape id="_x0000_i1859" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1340.wmz» o:><img width=«85» height=«39» src=«dopb144225.zip» v:shapes="_x0000_i1859">. Однако, как следует из (2.6.22), удовлетворить ему не представляется возможным. Это вынуждает ослабить условие (2.6.17). Для того, чтобы прояснить возможное “ослабление”, рассмотрим задачу для остаточного члена <shape id="_x0000_i1860" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1342.wmz» o:><img width=«33» height=«31» src=«dopb144226.zip» v:shapes="_x0000_i1860">. Подставляя
<shape id="_x0000_i1861" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1344.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«160» height=«35» src=«dopb144227.zip» v:shapes="_x0000_i1861">, <shape id="_x0000_i1862" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1346.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«165» height=«31» src=«dopb144228.zip» v:shapes="_x0000_i1862">, <shape id="_x0000_i1863" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1348.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«169» height=«31» src=«dopb144229.zip» v:shapes="_x0000_i1863">
(2.6.45)
в параметризованную задачу, получим
<shape id="_x0000_i1864" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1350.wmz» o:><img width=«241» height=«57» src=«dopb144230.zip» v:shapes="_x0000_i1864">,
(2.6.46)
<shape id="_x0000_i1865" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1352.wmz» o:><img width=«472» height=«113» src=«dopb144231.zip» v:shapes="_x0000_i1865">
(2.6.47)
<shape id="_x0000_i1866" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1354.wmz» o:><img width=«272» height=«57» src=«dopb144232.zip» v:shapes="_x0000_i1866">,
(2.6.48)
с граничными условиями и условиями сопряжения
<shape id="_x0000_i1867" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1356.wmz» o:><img width=«307» height=«71» src=«dopb144233.zip» v:shapes="_x0000_i1867">, <shape id="_x0000_i1868" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1358.wmz» o:><img width=«336» height=«71» src=«dopb144234.zip» v:shapes="_x0000_i1868">,
(2.6.49)
<shape id="_x0000_i1869" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1360.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«317» height=«39» src=«dopb144235.zip» v:shapes="_x0000_i1869">,
(2.6.50)
<shape id="_x0000_i1870" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1362.wmz» o:><img width=«84» height=«40» src=«dopb144236.zip» v:shapes="_x0000_i1870">,  <shape id="_x0000_i1871" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1364.wmz» o:><img width=«83» height=«39» src=«dopb144237.zip» v:shapes="_x0000_i1871">,  <shape id="_x0000_i1872" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1366.wmz» o:><img width=«84» height=«39» src=«dopb144238.zip» v:shapes="_x0000_i1872">,
(2.6.51)
<shape id="_x0000_i1873" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1368.wmz» o:><img width=«147» height=«40» src=«dopb144239.zip» v:shapes="_x0000_i1873">,
(2.6.52)
<shape id="_x0000_i1874" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1370.wmz» o:><img width=«101» height=«40» src=«dopb144240.zip» v:shapes="_x0000_i1874">,  <shape id="_x0000_i1875" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1372.wmz» o:><img width=«119» height=«39» src=«dopb144241.zip» v:shapes="_x0000_i1875">,  <shape id="_x0000_i1876" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1374.wmz» o:><img width=«133» height=«43» src=«dopb144242.zip» v:shapes="_x0000_i1876">
(2.6.53)
Усредним задачу по толщине пласта. При усреднении второй производной по вертикальной координате воспользуемся условиями сопряжения (2.6.49)
<shape id="_x0000_i1877" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1376.wmz» o:><img width=«464» height=«143» src=«dopb144243.zip» v:shapes="_x0000_i1877">
(2.6.54)
Окончательно постановка усредненной задачи для остаточного члена с учетом (2.6.54) представится как
<shape id="_x0000_i1878" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1378.wmz» o:><img width=«235» height=«57» src=«dopb144244.zip» v:shapes="_x0000_i1878">,
(2.6.55)
<shape id="_x0000_i1879" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1380.wmz» o:><img width=«476» height=«143» src=«dopb144245.zip» v:shapes="_x0000_i1879">
(2.6.56)
<shape id="_x0000_i1880" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1382.wmz» o:><img width=«265» height=«57» src=«dopb144246.zip» v:shapes="_x0000_i1880">,
(2.6.57)
с граничными условиями и условиями сопряжения
<shape id="_x0000_i1881" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1384.wmz» o:><img width=«278» height=«41» src=«dopb144247.zip» v:shapes="_x0000_i1881">,
(2.6.58)
<shape id="_x0000_i1882" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1386.wmz» o:><img width=«97» height=«43» src=«dopb144248.zip» v:shapes="_x0000_i1882">,  <shape id="_x0000_i1883" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1388.wmz» o:><img width=«83» height=«39» src=«dopb144249.zip» v:shapes="_x0000_i1883">,  <shape id="_x0000_i1884" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1390.wmz» o:><img width=«84» height=«39» src=«dopb144238.zip» v:shapes="_x0000_i1884">,
(2.6.59)
<shape id="_x0000_i1885" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1391.wmz» o:><img width=«177» height=«43» src=«dopb144250.zip» v:shapes="_x0000_i1885">,
(2.6.60)
<shape id="_x0000_i1886" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1393.wmz» o:><img width=«115» height=«40» src=«dopb144251.zip» v:shapes="_x0000_i1886">, <shape id="_x0000_i1887" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1395.wmz» o:><img width=«117» height=«39» src=«dopb144252.zip» v:shapes="_x0000_i1887">, <shape id="_x0000_i1888" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1397.wmz» o:><img width=«116» height=«42» src=«dopb144253.zip» v:shapes="_x0000_i1888">.
(2.6.61)
    продолжение
--PAGE_BREAK--Усредненная задача для остаточного члена (2.6.55) – (2.6.61) имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда
<shape id="_x0000_i1889" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1399.wmz» o:><img width=«96» height=«41» src=«dopb144254.zip» v:shapes="_x0000_i1889">,
(2.6.62)
и
<shape id="_x0000_i1890" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1401.wmz» o:><img width=«319» height=«65» src=«dopb144255.zip» v:shapes="_x0000_i1890">,
(2.6.63)
то есть, когда в усредненной задаче для остаточного члена отсутствует источник и средние значения нулевого коэффициента разложения на поверхности задания граничных условий обращается в нуль.
В справедливости последнего уравнения легко убедиться, усреднив (2.6.35) с учетом условий сопряжения (2.6.34). Следовательно, если заменить граничное условие для <shape id="_x0000_i1891" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1403.wmz» o:><img width=«28» height=«28» src=«dopb144109.zip» v:shapes="_x0000_i1891"> на среднеинтегральное
<shape id="_x0000_i1892" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1404.wmz» o:><img width=«99» height=«41» src=«dopb144256.zip» v:shapes="_x0000_i1892">,
(2.6.64)
то рассматриваемый метод решения обеспечивает возможность обращения в нуль решения усреднённой задачи для остаточного члена асимптотического разложения. Это, естественно, повышает ценность решения для практических приложений. В силу этого целесообразно в асимптотических решениях выделить соответствующий класс решений. Асимптотическое приближение параметризованной задачи, полученной из (2.6.4) – (2.6.10), построенное при условии, что решение усредненной задачи для остаточного члена является тривиальным, назовем точным в среднем асимптотическим решением.
Для точного в среднем решения из дополнительного граничного условия (2.6.64) и выражения для первого коэффициента разложения (2.6.22) получим
<shape id="_x0000_i1893" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1406.wmz» o:><img width=«145» height=«50» src=«dopb144257.zip» v:shapes="_x0000_i1893">.
(2.6.65)
Откуда
<shape id="_x0000_i1894" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1408.wmz» o:><img width=«168» height=«52» src=«dopb144258.zip» v:shapes="_x0000_i1894">.
(2.6.66)
Подставляя полученное таким образом выражение <shape id="_x0000_i1895" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1410.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb144259.zip» v:shapes="_x0000_i1895"> в (2.6.22), для первого коэффициента разложения получим
<shape id="_x0000_i1896" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1412.wmz» o:><img width=«393» height=«140» src=«dopb144260.zip» v:shapes="_x0000_i1896">
(2.6.67)
<shape id="_x0000_i1897" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1414.wmz» o:><img width=«244» height=«57» src=«dopb144261.zip» v:shapes="_x0000_i1897">,  <shape id="_x0000_i1898" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1416.wmz» o:><img width=«265» height=«57» src=«dopb144262.zip» v:shapes="_x0000_i1898">.
(2.6.68)
В первом приближении решение стационарной задачи имеет вид
<shape id="_x0000_i1899" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1418.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«108» height=«29» src=«dopb144263.zip» v:shapes="_x0000_i1899">,    <shape id="_x0000_i1900" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1420.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«115» height=«31» src=«dopb144264.zip» v:shapes="_x0000_i1900">,    <shape id="_x0000_i1901" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1422.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«116» height=«31» src=«dopb144265.zip» v:shapes="_x0000_i1901">,
(2.3.69)
где <shape id="_x0000_i1902" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1424.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«30» height=«29» src=«dopb144266.zip» v:shapes="_x0000_i1902"> и <shape id="_x0000_i1903" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1426.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«28» height=«29» src=«dopb144267.zip» v:shapes="_x0000_i1903"> определяются выражениями (2.4.26), (2.4.28) и (2.4.67), (2.4.68)
2.7. Анализ результатов расчёта стационарной задачи На рис.2.34 представлены графики зависимости стационарного распределения примесей в нулевом приближении от расстояния до оси скважины. Нулевое приближение в данном случае является наиболее значимым, оно определяет общий вид зависимости <shape id="_x0000_i1904" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1428.wmz» o:><img width=«21» height=«29» src=«dopb144268.zip» v:shapes="_x0000_i1904">. При этом величина плотности загрязнителя спадает по экспоненциальному закону и, как следует из графиков, даже для среднеживущих и наиболее опасных радионуклидов (90Sr, 137Cs) на расстояниях 200 h оказывается порядка процентов от максимальной, наблюдающейся в зоне закачки.
<imagedata src=«31224.files/image1430.png» o:><img width=«259» height=«250» src=«dopb144269.zip» v:shapes="_x0000_i1905">
Рис. 2.34. Зависимость плотности радиоактивных примесей в пористом пласте для стационарного случая (нулевое приближение) от расстояния до скважины при различных постоянных распада: 1 – At = 0.01, 2 – 0.1, 3 – 1. Другие расчётные параметры Pd = 102, <shape id="_x0000_i1906" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1906">, <shape id="_x0000_i1907" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1907"> 
На рис 2.35 отражена картина распределения поля радиоактивного загрязнителя в стационарном случае вдоль вертикальной координаты (нулевое приближение). «Срезы» приведены для расстояний 0, 100h и 200h от оси скважины. Видно, что для среднеживущих нуклидов (Т1/2 ~ 30 лет) в настилающем и подстилающем пластах плотности загрязнителя быстро спадают, и уже на расстояниях 0,5h становятся ничтожно малыми.

<imagedata src=«31224.files/image1432.png» o:><img width=«271» height=«248» src=«dopb144270.zip» v:shapes="_x0000_i1908">
Рис. 2.35. Зависимость плотности радиоактивных примесей для стационарного случая (нулевое приближение) от координаты z при различных расстояниях до скважины: 1 – r = 0, 2 – 100, 3 – 200. Другие расчётные параметры At = 0.01, Pd = 102, <shape id="_x0000_i1909" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1085.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb144104.zip» v:shapes="_x0000_i1909">, <shape id="_x0000_i1910" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1910">
В общем случае, увеличение параметра Pd приводит к «вытянутости» графика вдоль радиального направления, уменьшение At (что соответствует увеличению среднего времени жизни нуклида) – к «расширению» графика вдоль осей r и z. При этом поле загрязнителя остаётся ограниченным в пространстве.
2.8. Сравнение результатов аналитического решения с численными и с экспериментом На рис. 2.36 приведены результаты, полученные с помощью модифицированного метода асимптотического разложения и результаты решения задачи массопереноса методом сеток. При этом численным методом решалась задача (1.5.14) – (1.5.21), т.е. также в пренебрежении радиальной диффузией.
Разностные схемы задачи:
<shape id="_x0000_i1911" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1434.wmz» o:><img width=«493» height=«53» src=«dopb144271.zip» v:shapes="_x0000_i1911">,
<shape id="_x0000_i1912" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1436.wmz» o:><img width=«312» height=«47» src=«dopb144272.zip» v:shapes="_x0000_i1912">,
<shape id="_x0000_i1913" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1438.wmz» o:><img width=«419» height=«105» src=«dopb144273.zip» v:shapes="_x0000_i1913">
<shape id="_x0000_i1914" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1440.wmz» o:><img width=«319» height=«47» src=«dopb144274.zip» v:shapes="_x0000_i1914">,
<shape id="_x0000_i1915" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1442.wmz» o:><img width=«480» height=«49» src=«dopb144275.zip» v:shapes="_x0000_i1915">.

<imagedata src=«31224.files/image1444.png» o:><img width=«261» height=«243» src=«dopb144276.zip» v:shapes="_x0000_i1916">
Рис. 2.36. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя от расстояния до оси скважины. Графики построены (для безразмерного времени t = 100): методом сеток – 1 и методом асимптотического разложения – 2. Другие расчётные параметры At = 0.1, Pd = 102, <shape id="_x0000_i1917" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1446.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb144277.zip» v:shapes="_x0000_i1917">, <shape id="_x0000_i1918" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1102.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb144003.zip» v:shapes="_x0000_i1918">
Сравнения кривых, приведённых на рис. 2.36 позволяет сделать вывод о хорошем соответствии результатов, полученных численными методами и аналитическими вычислениями.
На рис. 2.37 приведено сравнение теоретических результатов (сплошные линии) и экспериментальных данных (из кн. Рыбальченко А.И. и др. [64] Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов. – М.: ИздАТ, 1994; пунктирные линии).
<imagedata src=«31224.files/image1448.png» o:><img width=«484» height=«193» src=«dopb144278.zip» v:shapes="_x0000_i1919">
Рис. 2.37. Сопоставление зависимости плотности радиоактивных нуклидов от интенсивности закачки на расстоянии <metricconverter productid=«200 м» w:st=«on»>200 м до оси скважины для момента времени t = 5 лет. V – интенсивность закачки
Сравнение экспериментальных и теоретических кривых позволяет сделать вывод о неплохом качественном совпадении имеющихся результатов.
2.9. Выводы Во второй главе нами найдены решения задачи массопереноса в нулевом и первом приближениях. Анализ результатов расчётов пространственно-временных зависимостей полей концентраций вредных примесей и температур в глубоко залегающих пластах позволяет установить следующее: нулевое приближение может быть успешно использовано для расчёта средних значений концентраций вредных веществ и температуры в проницаемых пластах и с достаточной точностью описывает поля концентраций и температур в окружающих породах и зону возмущений концентрации и температуры в среде; первое приближение удовлетворительно описывает поля концентраций как в пласте, так и в окружающих породах и позволяет устранить главный недостаток нулевого приближения, то есть учесть зависимость от <shape id="_x0000_i1920" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image134.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb143643.zip» v:shapes="_x0000_i1920"> в интервале пласта.
Построенные решения для полей концентрации загрязнителя в нулевом и первом приближениях свидетельствуют о наличии погранслоев на малых расстояниях от оси скважины и малых времен, откуда возникает задача построения соответствующих погранслойных функций. Решение стационарной задачи позволило установить соотношения для предельных размеров зоны заражения.
Введённое среднеинтегральное граничное условие для первого коэффициента разложения позволило получить точное в среднем асимптотическое решение задачи, для которого в пористом пласте значение остаточного члена усреднённой задачи равно нулю.
На основании расчетов показано, что в большинстве практических случаев влиянием радиоактивного распада в окружающих пластах на плотность радиоактивных примесей в пласте и инициируемым этим распадом тепловым эффектом можно пренебречь. В то же время вклад диффузионных процессов обмена с окружающими пластами является преобладающим на диффузионном фронте, что объясняется большими градиентами концентрации и значительными временами закачки.
Показано, что для относительно малых времен при практических расчетах с высокой точностью может быть использовано так называемое «бездиффузионное» приближение, при построении которого вклад конвекции предполагается преобладающим. Произведена оценка погрешности бездиффузионного приближения, позволяющего значительно упростить выполняемые расчёты.
Сопоставление теории и эксперимента позволило подтвердить удовлетворительную точность при применении расчётных формул, полученных по методу пространственного усреднения на основе формального параметра, для практических расчётов.
Построено стационарное решение для массопереносной задачи, позволяющее установить предельные размеры зоны заражения при закачке радиоактивных отходов в глубокозалегающие горизонты.
Полученные выражения позволяют приступить к решению приоритетной для нас задачи теплопереноса, что и сделано в главе III.

Глава III. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ И ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ 3.1. Нулевое приближение Постановка задачи теплопереноса для нулевого приближения представлена в разделе 1.4 в виде (1.4.44) – (1.4.50). Учитывая, обоснованную в 2.1 возможность пренебрежения радиоактивным распадом в «кровле» и «подошве», в пространстве преобразований Лапласа – Карсона по времени t задача представляется как
<shape id="_x0000_i1921" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1450.wmz» o:><img width=«464» height=«120» src=«dopb144279.zip» v:shapes="_x0000_i1921">
(3.1.1)
<shape id="_x0000_i1922" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1452.wmz» o:><img width=«263» height=«59» src=«dopb144280.zip» v:shapes="_x0000_i1922">,
(3.1.2)
<shape id="_x0000_i1923" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1454.wmz» o:><img width=«317» height=«59» src=«dopb144281.zip» v:shapes="_x0000_i1923">,
(3.1.3)
условия сопряжения, граничные и начальные условия
<shape id="_x0000_i1924" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1456.wmz» o:><img width=«191» height=«40» src=«dopb144282.zip» v:shapes="_x0000_i1924">,
(3.1.4)
<shape id="_x0000_i1925" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1458.wmz» o:><img width=«96» height=«39» src=«dopb144283.zip» v:shapes="_x0000_i1925">,
(3.1.5)
<shape id="_x0000_i1926" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1460.wmz» o:><img width=«115» height=«39» src=«dopb144284.zip» v:shapes="_x0000_i1926">,  <shape id="_x0000_i1927" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1462.wmz» o:><img width=«131» height=«40» src=«dopb144285.zip» v:shapes="_x0000_i1927">,  <shape id="_x0000_i1928" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1464.wmz» o:><img width=«136» height=«44» src=«dopb144286.zip» v:shapes="_x0000_i1928">.
(3.1.6)
Последнее слагаемое в правой части уравнения (3.1.1) содержит сомножитель, определяемый плотностью радиоактивного загрязнителя, нахождение которой описано в главе II. В разделе 1.5.5 показано, что интеграл <shape id="_x0000_i1929" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1466.wmz» o:><img width=«88» height=«57» src=«dopb144287.zip» v:shapes="_x0000_i1929"> совпадает с нулевым приближением плотности <shape id="_x0000_i1930" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1468.wmz» o:><img width=«32» height=«29» src=«dopb144034.zip» v:shapes="_x0000_i1930"> и не зависит от <shape id="_x0000_i1931" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1469.wmz» o:><img width=«29» height=«29» src=«dopb144288.zip» v:shapes="_x0000_i1931">. Поэтому уравнение (3.1.1) можно переписать следующим образом
<shape id="_x0000_i1932" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1471.wmz» o:><img width=«466» height=«120» src=«dopb144289.zip» v:shapes="_x0000_i1932">
(3.1.7)
Решение уравнения (3.1.2), с учётом граничных условий (3.1.6):
<shape id="_x0000_i1933" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1473.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«165» height=«32» src=«dopb144290.zip» v:shapes="_x0000_i1933">.
(3.1.8)
Аналогично, для подстилающего пласта в пространстве изображений
<shape id="_x0000_i1934" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1475.wmz» o:><img width=«235» height=«34» src=«dopb144291.zip» v:shapes="_x0000_i1934">.
(3.1.9)
Учитывая условия сопряжения (3.1.4), эти решения можно переписать в виде
<shape id="_x0000_i1935" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1477.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«217» height=«31» src=«dopb144292.zip» v:shapes="_x0000_i1935">,
(3.1.10)
<shape id="_x0000_i1936" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1479.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«243» height=«35» src=«dopb144293.zip» v:shapes="_x0000_i1936">.
(3.1.11)
С помощью (3.1.10) и (3.1.11) выразим значения следов производных из внешних областей через температуру пласта в нулевом приближении
<shape id="_x0000_i1937" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1481.wmz» o:><img width=«173» height=«64» src=«dopb144294.zip» v:shapes="_x0000_i1937">,  <shape id="_x0000_i1938" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1483.wmz» o:><img width=«212» height=«64» src=«dopb144295.zip» v:shapes="_x0000_i1938">.
(3.1.12)
Подставляя найденные значения производных (3.1.12) в уравнение (3.1.7), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения температурного поля в пласте в нулевом приближении
<shape id="_x0000_i1939" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1485.wmz» o:><img width=«547» height=«60» src=«dopb144296.zip» v:shapes="_x0000_i1939">.
(3.1.13)
Введём обозначение для выражения, стоящего в квадратных скобках
<shape id="_x0000_i1940" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1487.wmz» o:><img width=«205» height=«52» src=«dopb144297.zip» v:shapes="_x0000_i1940">,
(3.1.14)
тогда
<shape id="_x0000_i1941" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1489.wmz» o:><img width=«387» height=«51» src=«dopb144298.zip» v:shapes="_x0000_i1941">.
(3.1.15)
Решение однородного уравнения, соответствующего (3.1.15) имеет вид
<shape id="_x0000_i1942" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1491.wmz» o:><img width=«189» height=«60» src=«dopb144299.zip» v:shapes="_x0000_i1942">.
(3.1.16)
Методом вариации произвольной постоянной определим <shape id="_x0000_i1943" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1493.wmz» o:><img width=«47» height=«25» src=«dopb144300.zip» v:shapes="_x0000_i1943">.
<shape id="_x0000_i1944" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1495.wmz» o:><img width=«439» height=«60» src=«dopb144301.zip» v:shapes="_x0000_i1944">.
(3.1.17)
Для нахождения постоянной <shape id="_x0000_i1945" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1497.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb144302.zip» v:shapes="_x0000_i1945"> подставим (3.1.17) в (3.1.16) и учтём граничное условие (3.1.5), тогда
<shape id="_x0000_i1946" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1499.wmz» o:><img width=«429» height=«60» src=«dopb144303.zip» v:shapes="_x0000_i1946">.
(3.1.18)
Выражение для <shape id="_x0000_i1947" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1501.wmz» o:><img width=«47» height=«25» src=«dopb144300.zip» v:shapes="_x0000_i1947"> имеет вид
<shape id="_x0000_i1948" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1502.wmz» o:><img width=«425» height=«60» src=«dopb144304.zip» v:shapes="_x0000_i1948">,
(3.1.19)
а решение задачи в пласте в пространстве изображений представляется в форме
<shape id="_x0000_i1949" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1504.wmz» o:><img width=«541» height=«60» src=«dopb144305.zip» v:shapes="_x0000_i1949">.
(3.1.20)
С учётом (3.1.10), (3.1.11) температурное поле в окружающей среде описывается выражениями ( в пространстве изображений)
<shape id="_x0000_i1950" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1506.wmz» o:><img width=«551» height=«94» src=«dopb144306.zip» v:shapes="_x0000_i1950">
(3.1.21)
<shape id="_x0000_i1951" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1508.wmz» o:><img width=«557» height=«100» src=«dopb144307.zip» v:shapes="_x0000_i1951">.
(3.1.22)
Для удобства перехода в пространство оригиналов перепишем (3.1.20) – (3.1.22) в виде
<shape id="_x0000_i1952" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1510.wmz» o:><img width=«567» height=«143» src=«dopb144308.zip» v:shapes="_x0000_i1952">
(3.1.23)
<shape id="_x0000_i1953" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1512.wmz» o:><img width=«487» height=«212» src=«dopb144309.zip» v:shapes="_x0000_i1953">
(3.1.24)
<shape id="_x0000_i1954" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1514.wmz» o:><img width=«555» height=«212» src=«dopb144310.zip» v:shapes="_x0000_i1954">
(3.1.25)
Перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]
<shape id="_x0000_i1955" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1516.wmz» o:><img width=«405» height=«55» src=«dopb144311.zip» v:shapes="_x0000_i1955">,
где <shape id="_x0000_i1956" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image807.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb143973.zip» v:shapes="_x0000_i1956"> - единичная функция Хевисайда
<shape id="_x0000_i1957" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1518.wmz» o:><img width=«147» height=«55» src=«dopb144312.zip» v:shapes="_x0000_i1957">
(3.1.26)
<shape id="_x0000_i1958" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image852.wmz» o:><img width=«195» height=«52» src=«dopb143995.zip» v:shapes="_x0000_i1958">,
(3.1.27)
В нашем случае имеем
<shape id="_x0000_i1959" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1520.wmz» o:><img width=«361» height=«52» src=«dopb144313.zip» v:shapes="_x0000_i1959">,
(3.1.28)
где
<shape id="_x0000_i1960" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1522.wmz» o:><img width=«93» height=«55» src=«dopb144314.zip» v:shapes="_x0000_i1960">,
(3.1.29)
<shape id="_x0000_i1961" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1524.wmz» o:><img width=«299» height=«64» src=«dopb144315.zip» v:shapes="_x0000_i1961">,
(3.1.30)
Для случая стационарного поля примесей <shape id="_x0000_i1962" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1526.wmz» o:><img width=«52» height=«29» src=«dopb144316.zip» v:shapes="_x0000_i1962"> совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде
<shape id="_x0000_i1963" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1528.wmz» o:><img width=«560» height=«257» src=«dopb144317.zip» v:shapes="_x0000_i1963">
(3.1.31)
<shape id="_x0000_i1964" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1530.wmz» o:><img width=«564» height=«327» src=«dopb144318.zip» v:shapes="_x0000_i1964">
(3.1.32)
<shape id="_x0000_i1965" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1532.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«585» height=«312» src=«dopb144319.zip» v:shapes="_x0000_i1965">
(3.1.33)
При этом радиус зоны термического влияния закачиваемой жидкости
RT =h<shape id="_x0000_i1966" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1534.wmz» o:><img width=«73» height=«35» src=«dopb144320.zip» v:shapes="_x0000_i1966">=<shape id="_x0000_i1967" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1536.wmz» o:><img width=«109» height=«63» src=«dopb144321.zip» v:shapes="_x0000_i1967">.
(3.1.34)
Для случая, когда плотность источников загрязнения нестационарна, наряду с указанными выше соотношениями необходимо использовать следующие:
<shape id="_x0000_i1968" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1538.wmz» o:><img width=«413» height=«52» src=«dopb144322.zip» v:shapes="_x0000_i1968">,
(3.1.35)
<shape id="_x0000_i1969" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1540.wmz» o:><img width=«187» height=«65» src=«dopb144323.zip» v:shapes="_x0000_i1969">,
(3.1.36)
поскольку подынтегральное выражение в этом случае может быть представлено в виде
<shape id="_x0000_i1970" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1542.wmz» o:><img width=«309» height=«51» src=«dopb144324.zip» v:shapes="_x0000_i1970">.
(3.1.37)
Осуществив переход в пространство оригиналов в (3.1.37), получим
<shape id="_x0000_i1971" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1544.wmz» o:><img width=«527» height=«59» src=«dopb144325.zip» v:shapes="_x0000_i1971">.
(3.1.38)
Для пласта
<shape id="_x0000_i1972" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1546.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«529» height=«391» src=«dopb144326.zip» v:shapes="_x0000_i1972">
(3.1.39)
для кровли (3.1.40) и подошвы (3.1.41)
<shape id="_x0000_i1973" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1548.wmz» o:><img width=«517» height=«180» src=«dopb144327.zip» v:shapes="_x0000_i1973">
<shape id="_x0000_i1974" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1550.wmz» o:><img width=«540» height=«237» src=«dopb144328.zip» v:shapes="_x0000_i1974">
(3.1.40)
<shape id="_x0000_i1975" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1552.wmz» o:><img width=«572» height=«178» src=«dopb144329.zip» v:shapes="_x0000_i1975"><shape id="_x0000_i1976" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1554.wmz» o:><img width=«580» height=«84» src=«dopb144330.zip» v:shapes="_x0000_i1976"> <shape id="_x0000_i1977" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1556.wmz» o:><img width=«559» height=«95» src=«dopb144331.zip» v:shapes="_x0000_i1977">
<shape id="_x0000_i1978" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1558.wmz» o:><img width=«383» height=«60» src=«dopb144332.zip» v:shapes="_x0000_i1978">
(3.1.41)
При пренебрежении радиоактивным распадом At = 0, полученные решения совпадают с известными для температурного поля при закачке холодной или горячей воды в пласт [30]
<shape id="_x0000_i1979" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1560.wmz» o:><img width=«367» height=«127» src=«dopb144333.zip» v:shapes="_x0000_i1979">
(3.1.42)
<shape id="_x0000_i1980" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1562.wmz» o:><img width=«505» height=«124» src=«dopb144334.zip» v:shapes="_x0000_i1980">
(3.1.43)
<shape id="_x0000_i1981" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1564.wmz» o:><img width=«517» height=«124» src=«dopb144335.zip» v:shapes="_x0000_i1981">
(3.1.44)
Если пренебречь влиянием теплообмена с окружающей средой на температуру в пласте, то вместо (3.1.42) – (3.1.44) получим квазиадиабатическое приближение
<shape id="_x0000_i1982" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1566.wmz» o:><img width=«172» height=«63» src=«dopb144336.zip» v:shapes="_x0000_i1982">
(3.1.45)
<shape id="_x0000_i1983" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1568.wmz» o:><img width=«312» height=«127» src=«dopb144337.zip» v:shapes="_x0000_i1983">
(3.1.46)
<shape id="_x0000_i1984" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1570.wmz» o:><img width=«303» height=«129» src=«dopb144338.zip» v:shapes="_x0000_i1984">
(3.1.47)
Для малых времен применимо адиабатическое приближение
<shape id="_x0000_i1985" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1566.wmz» o:><img width=«172» height=«63» src=«dopb144336.zip» v:shapes="_x0000_i1985">
(3.1.48)
<shape id="_x0000_i1986" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1572.wmz» o:><img width=«69» height=«32» src=«dopb144339.zip» v:shapes="_x0000_i1986">  <shape id="_x0000_i1987" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1574.wmz» o:><img width=«62» height=«29» src=«dopb144340.zip» v:shapes="_x0000_i1987">
(3.1.49)
3.2. Переход в пространство оригиналов для нулевого представления плотности загрязнителя В данном пункте осуществлён переход в пространство оригиналов для случая, когда выражение для плотности в (3.1.23) – (3.1.25) представлено зависимостью (2.1.47)
<shape id="_x0000_i1988" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1576.wmz» o:><img width=«578» height=«268» src=«dopb144341.zip» v:shapes="_x0000_i1988">
(3.2.1)
<shape id="_x0000_i1989" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1578.wmz» o:><img width=«575» height=«279» src=«dopb144342.zip» v:shapes="_x0000_i1989">
(3.2.2)
<shape id="_x0000_i1990" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1580.wmz» o:><img width=«581» height=«279» src=«dopb144343.zip» v:shapes="_x0000_i1990">
(3.2.3)
Воспользовавшись приведенными выше соотношениями (3.1.26) – (3.1.28), получим следующие выражения для температурного поля в нулевом приближении:
<shape id="_x0000_i1991" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1582.wmz» o:><img width=«504» height=«385» src=«dopb144344.zip» v:shapes="_x0000_i1991">
(3.2.4)
<shape id="_x0000_i1992" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1584.wmz» o:><img width=«572» height=«385» src=«dopb144345.zip» v:shapes="_x0000_i1992">
(3.2.5)
<shape id="_x0000_i1993" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1586.wmz» o:><img width=«556» height=«377» src=«dopb144346.zip» v:shapes="_x0000_i1993">
(3.2.6)
Таким образом, нами получены выражения (3.2.4) – (3.2.6), определяющие в нулевом приближении температурное поле в пористом пласте и окружающих его породах.
3.3. Анализ результатов расчетов по нулевому приближению На рис.3.1 показаны расчёты зависимости в нулевом приближении температуры в несущем пласте от времени для безразмерного расстояния r=20 (что соответствует размерному расстоянию ~ <metricconverter productid=«200 м» w:st=«on»>200 м) от оси скважины. Период полураспада изотопа полагается ~ 30 лет. При расчётах считается, что объёмы закачки составляют ~ 100 м3/сут. Графики построены для загрязнителя с различной активностью: 1 ~ 0.1 Ки/л, 2 ~ 0.05 Ки/л, 3 ~ 0.01 Ки/л, 4 ~ 0 Ки/л. С увеличением времени температура возрастает. Величина температуры в данной точке в каждый фиксированный момент времени тем выше, чем больше активность препарата, причём для высокоактивных загрязнителей рост температуры в основном определяется энергией, выделяющейся при радиоактивном распаде.
<imagedata src=«31224.files/image1588.png» o:><img width=«268» height=«241» src=«dopb144347.zip» v:shapes="_x0000_i1994">
Рис 3.1. Зависимость в нулевом приближении температуры в пористом пласте от времени при фиксированной точке наблюдения r=20. Графики построены для различных значений активностей раствора (Ки/л): 1 ~ 0.1, 2 – 0.05, 3 – 0.01, 4 – 0. Другие расчётные параметры <shape id="_x0000_i1995" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image880.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i1995">, <shape id="_x0000_i1996" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1590.wmz» o:><img width=«111» height=«29» src=«dopb144348.zip» v:shapes="_x0000_i1996"> <shape id="_x0000_i1997" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1592.wmz» o:><img width=«52» height=«29» src=«dopb144349.zip» v:shapes="_x0000_i1997">, Кг=40, At =0.3, Pt = 102
    продолжение
--PAGE_BREAK--На рис.3.2 показаны расчёты зависимости в нулевом приближении температуры в несущем пласте от расстояния до оси скважины для момента времени t= 0.3, что соответствует размерному времени ~ 1 года. Период полураспада Т1/2 = 30 лет. Из анализа кривых следует, что при различных значениях активности загрязнителя 1 ~ 0.5 Ки/л, 2 ~ 0.3 Ки/л, 3 ~ 0.1 Ки/л на некотором расстоянии от скважины наблюдается значительный рост температуры пласта по сравнению температурой, определяемой теплофизическими свойствами закачиваемой жидкости без загрязнителя – 4. Причём этот рост тем более значим, чем больше активность нуклида.
<imagedata src=«31224.files/image1594.png» o:><img width=«260» height=«243» src=«dopb144350.zip» v:shapes="_x0000_i1998">
Рис 3.2. Зависимость в нулевом приближении температуры в пористом пласте от расстояния до оси скважины для момента времени t=0.3. Графики построены для постоянной распада At =0.3 и для различных значений Q: 1 – Q = 50, 2 – 30, 3 – 10, 4 – 0. Другие расчётные параметры <shape id="_x0000_i1999" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image880.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i1999">, <shape id="_x0000_i2000" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1596.wmz» o:><img width=«56» height=«29» src=«dopb144351.zip» v:shapes="_x0000_i2000">, <shape id="_x0000_i2001" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1598.wmz» o:><img width=«49» height=«29» src=«dopb144352.zip» v:shapes="_x0000_i2001">, <shape id="_x0000_i2002" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1592.wmz» o:><img width=«52» height=«29» src=«dopb144349.zip» v:shapes="_x0000_i2002">, Кг = <metricconverter productid=«20, m» w:st=«on»>20, m= 0.4, Pt = 102
На рис. 3.3 показаны расчёты зависимости в нулевом приближении температуры от вертикальной координаты для безразмерного времени t= 10, что соответствует размерному времени ~ 30 лет. Период полураспада Т1/2 = 30 лет. Графики построены для загрязнителя, активность которого ~ 0.1 Ки/л на различных расстояниях от оси скважины 1 – , 2 – h, 3 – 5h, 4 – 10h, 5 – 20h, 6 – 30h, 7 – 40h. Максимальное значение температуры достигается примерно на расстоянии 10h от оси скважины. Для выбранного временного промежутка возмущение температурного поля в вертикальном направлении на расстоянии большем 10h являются несущественными.
<imagedata src=«31224.files/image1600.png» o:><img width=«267» height=«248» src=«dopb144353.zip» v:shapes="_x0000_i2003">
Рис. 3.3. Зависимость нулевого приближения температуры от вертикальной координаты, для момента времени t = 10. Графики построены для постоянной распада At = 0.3 и для различных значений r: 1 – r = 0, 2 – 1, 3 – 5, 4 – 10, 5 – 20, 6 – 30, 7 – 40. Другие расчётные параметры <shape id="_x0000_i2004" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image880.wmz» o:><img width=«64» height=«19» src=«dopb144002.zip» v:shapes="_x0000_i2004">, <shape id="_x0000_i2005" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1596.wmz» o:><img width=«56» height=«29» src=«dopb144351.zip» v:shapes="_x0000_i2005">, <shape id="_x0000_i2006" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1598.wmz» o:><img width=«49» height=«29» src=«dopb144352.zip» v:shapes="_x0000_i2006">, <shape id="_x0000_i2007" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1592.wmz» o:><img width=«52» height=«29» src=«dopb144349.zip» v:shapes="_x0000_i2007">, Кг = <metricconverter productid=«20, m» w:st=«on»>20, m= 0.4, Pt = 102
3.4. Решение задачи теплообмена в пространстве изображений
в первом приближении Постановка первого приближения задачи теплообмена была осуществлена в 1.4.4. Выпишем полученные там уравнения ещё раз, переобозначив их для удобства.
<shape id="_x0000_i2008" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1602.wmz» o:><img width=«347» height=«57» src=«dopb144354.zip» v:shapes="_x0000_i2008">,
(3.4.1)
<shape id="_x0000_i2009" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1604.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«362» height=«57» src=«dopb144355.zip» v:shapes="_x0000_i2009">,
(3.4.2)
<shape id="_x0000_i2010" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1606.wmz» o:><img width=«456» height=«54» src=«dopb144356.zip» v:shapes="_x0000_i2010">.
(3.4.3)
Граничные условия и условия сопряжения
<shape id="_x0000_i2011" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1608.wmz» o:><img width=«208» height=«64» src=«dopb144357.zip» v:shapes="_x0000_i2011">,  <shape id="_x0000_i2012" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1610.wmz» o:><img width=«225» height=«64» src=«dopb144358.zip» v:shapes="_x0000_i2012">,
(3.4.4)
<shape id="_x0000_i2013" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1612.wmz» o:><img width=«114» height=«40» src=«dopb144359.zip» v:shapes="_x0000_i2013">,  <shape id="_x0000_i2014" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1614.wmz» o:><img width=«129» height=«41» src=«dopb144360.zip» v:shapes="_x0000_i2014">,
(3.4.5)
<shape id="_x0000_i2015" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1616.wmz» o:><img width=«233» height=«40» src=«dopb144361.zip» v:shapes="_x0000_i2015">,
(3.4.6)
<shape id="_x0000_i2016" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1618.wmz» o:><img width=«88» height=«39» src=«dopb144362.zip» v:shapes="_x0000_i2016">,
(3.4.7)
<shape id="_x0000_i2017" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1620.wmz» o:><img width=«103» height=«39» src=«dopb144363.zip» v:shapes="_x0000_i2017">,   <shape id="_x0000_i2018" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1622.wmz» o:><img width=«120» height=«40» src=«dopb144364.zip» v:shapes="_x0000_i2018">,   <shape id="_x0000_i2019" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1624.wmz» o:><img width=«123» height=«43» src=«dopb144365.zip» v:shapes="_x0000_i2019">.
(3.4.8)
Решение <shape id="_x0000_i2020" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1626.wmz» o:><img width=«31» height=«24» src=«dopb144366.zip» v:shapes="_x0000_i2020"> отыскивается в виде квадратного многочлена относительно z
<shape id="_x0000_i2021" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1628.wmz» o:><img width=«565» height=«55» src=«dopb144367.zip» v:shapes="_x0000_i2021">,
(3.4.9)
причём
<shape id="_x0000_i2022" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1630.wmz» o:><img width=«515» height=«68» src=«dopb144368.zip» v:shapes="_x0000_i2022">,
(3.4.10)
<shape id="_x0000_i2023" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1632.wmz» o:><img width=«558» height=«68» src=«dopb144369.zip» v:shapes="_x0000_i2023">,
(3.4.11)
а значение <shape id="_x0000_i2024" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1634.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb144370.zip» v:shapes="_x0000_i2024"> нам ещё предстоит найти.
Система (3.4.1) – (3.4.8) и определяет постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь <shape id="_x0000_i2025" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1636.wmz» o:><img width=«31» height=«24» src=«dopb144371.zip» v:shapes="_x0000_i2025"> также зависит от плотности загрязнителя, что определяется выражениями для <shape id="_x0000_i2026" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1638.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb144372.zip» v:shapes="_x0000_i2026">, <shape id="_x0000_i2027" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1640.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143794.zip» v:shapes="_x0000_i2027">.
Для нахождения <shape id="_x0000_i2028" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1641.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb144370.zip» v:shapes="_x0000_i2028"> перепишем (3.4.3) в виде
<shape id="_x0000_i2029" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1642.wmz» o:><img width=«154» height=«57» src=«dopb144373.zip» v:shapes="_x0000_i2029">,
(3.4.12)
где введён оператор
<shape id="_x0000_i2030" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1644.wmz» o:><img width=«136» height=«52» src=«dopb144374.zip» v:shapes="_x0000_i2030">.
(3.4.13)
Учитывая (3.4.9) и (3.4.12), а также линейность оператора <shape id="_x0000_i2031" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1646.wmz» o:><img width=«20» height=«28» src=«dopb144375.zip» v:shapes="_x0000_i2031">, получим
<shape id="_x0000_i2032" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1648.wmz» o:><img width=«437» height=«119» src=«dopb144376.zip» v:shapes="_x0000_i2032">
(3.4.14)
Проинтегрируем последнее выражение
<shape id="_x0000_i2033" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1650.wmz» o:><img width=«413» height=«119» src=«dopb144377.zip» v:shapes="_x0000_i2033">
(3.4.15)
Как видно из (3.4.15), в первом приближении задача теплопереноса в общем случае уже зависит от первого приближения плотности радиоактивного загрязнителя. В силу громоздкости получающихся выражений ограничимся решением этой задачи в общем случае в пространстве изображений (преобразование Лапласа – Карсона).
Перейдём сразу в пространство изображений, воспользовавшись преобразованием Лапласа – Карсона. При этом последнее уравнение принимает вид
<shape id="_x0000_i2034" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1652.wmz» o:><img width=«415» height=«117» src=«dopb144378.zip» v:shapes="_x0000_i2034">
(3.4.16)
Причём оператор <shape id="_x0000_i2035" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1654.wmz» o:><img width=«20» height=«28» src=«dopb144379.zip» v:shapes="_x0000_i2035"> в пространстве изображений представится как
<shape id="_x0000_i2036" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1656.wmz» o:><img width=«175» height=«52» src=«dopb144380.zip» v:shapes="_x0000_i2036">,
(3.4.17)
а <shape id="_x0000_i2037" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1658.wmz» o:><img width=«21» height=«29» src=«dopb144381.zip» v:shapes="_x0000_i2037">определяется выражением (2.1.47).
Учитывая условия сопряжения (3.4.4), остающиеся справедливыми и в пространстве изображений, получим из (3.4.16)
<shape id="_x0000_i2038" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1660.wmz» o:><img width=«402» height=«123» src=«dopb144382.zip» v:shapes="_x0000_i2038">
(3.4.18)
и
<shape id="_x0000_i2039" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1662.wmz» o:><img width=«449» height=«123» src=«dopb144383.zip» v:shapes="_x0000_i2039">
(3.4.19)
Умножая (3.4.18) на <shape id="_x0000_i2040" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1664.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb144384.zip» v:shapes="_x0000_i2040"> и вычитая (3.4.19), получим
<shape id="_x0000_i2041" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1666.wmz» o:><img width=«428» height=«123» src=«dopb144385.zip» v:shapes="_x0000_i2041">
(3.4.20)
Выразим из (3.4.20) <shape id="_x0000_i2042" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1668.wmz» o:><img width=«44» height=«29» src=«dopb144386.zip» v:shapes="_x0000_i2042">
<shape id="_x0000_i2043" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1670.wmz» o:><img width=«409» height=«128» src=«dopb144387.zip» v:shapes="_x0000_i2043">
(3.4.21)
В пространстве изображений (3.4.9) принимает вид
<shape id="_x0000_i2044" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1672.wmz» o:><img width=«379» height=«105» src=«dopb144388.zip» v:shapes="_x0000_i2044">
(3.4.22)
где
<shape id="_x0000_i2045" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1674.wmz» o:><img width=«330» height=«126» src=«dopb144389.zip» v:shapes="_x0000_i2045">
(3.4.23)
<shape id="_x0000_i2046" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1676.wmz» o:><img width=«319» height=«123» src=«dopb144390.zip» v:shapes="_x0000_i2046">
(3.4.24)
Решения уравнений
<shape id="_x0000_i2047" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1678.wmz» o:><img width=«289» height=«59» src=«dopb144391.zip» v:shapes="_x0000_i2047">,
(3.4.25)
<shape id="_x0000_i2048" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1680.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«315» height=«59» src=«dopb144392.zip» v:shapes="_x0000_i2048">,
(3.4.26)
соответствующих (3.4.1), (3.4.2) в пространстве изображений, с учётом условий регулярности и сопряжения, принимают вид
<shape id="_x0000_i2049" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1682.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«236» height=«39» src=«dopb144393.zip» v:shapes="_x0000_i2049">,
(3.4.27)
<shape id="_x0000_i2050" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1684.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«271» height=«41» src=«dopb144394.zip» v:shapes="_x0000_i2050">.
(3.4.28)
При этом следы производных из внешних областей представятся как
<shape id="_x0000_i2051" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1686.wmz» o:><img width=«196» height=«64» src=«dopb144395.zip» v:shapes="_x0000_i2051">,   <shape id="_x0000_i2052" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1688.wmz» o:><img width=«237» height=«61» src=«dopb144396.zip» v:shapes="_x0000_i2052">,
(3.4.29)
что позволяет переписать (3.4.21) в виде
<shape id="_x0000_i2053" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1690.wmz» o:><img width=«525» height=«117» src=«dopb144397.zip» v:shapes="_x0000_i2053">
(3.4.30)
Из (3.3.9) в пространстве изображений определены граничные значения первого коэффициента
<shape id="_x0000_i2054" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1692.wmz» o:><img width=«377» height=«105» src=«dopb144398.zip» v:shapes="_x0000_i2054">
(3.4.31)
<shape id="_x0000_i2055" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1694.wmz» o:><img width=«383» height=«105» src=«dopb144399.zip» v:shapes="_x0000_i2055">
(3.4.32)
Подстановка (3.4.31), (3.4.32) в (3.4.30) даёт уравнение для определения <shape id="_x0000_i2056" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1696.wmz» o:><img width=«68» height=«32» src=«dopb144400.zip» v:shapes="_x0000_i2056">.
<shape id="_x0000_i2057" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1698.wmz» o:><img width=«580» height=«260» src=«dopb144401.zip» v:shapes="_x0000_i2057">
<shape id="_x0000_i2058" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1700.wmz» o:><img width=«339» height=«68» src=«dopb144402.zip» v:shapes="_x0000_i2058">
<shape id="_x0000_i2059" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1702.wmz» o:><lock v:ext=«edit» aspectratio=«f»><img width=«484» height=«380» src=«dopb144403.zip» v:shapes="_x0000_i2059">
(3.4.33)
Действительно, значения всех величин и выражения для всех переменных, входящих в (3.4.33), за исключением <shape id="_x0000_i2060" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1704.wmz» o:><img width=«68» height=«32» src=«dopb144400.zip» v:shapes="_x0000_i2060"> нам известны. При решении этого уравнения появится постоянная интегрирования, значение которой может быть найдено с использованием нелокального интегрального условия <shape id="_x0000_i2061" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1705.wmz» o:><img width=«101» height=«41» src=«dopb144404.zip» v:shapes="_x0000_i2061"> аналогично нахождению первого коэффициента разложения в задаче массопереноса.
3.5. Сопоставление радиусов зон химического и теплового возмущений При распространении загрязнителя возникает несколько фронтов, определяемых различными физическими процессами, протекающими в закачиваемой жидкости и скелете. Один из них – тепловой фронт, обусловленный конвективным переносом тепла, другой – определяется теплотой, выделяемой в результате радиоактивного распада. Наконец, из-за сорбции загрязнителя на скелете, возникает зона чистой воды, уширяющаяся с течением времени.
Отличительная особенность предлагаемой модели заключается в том, что она позволяет сопоставить размеры зон теплового, химического и гидродинамического влияния. Это сопоставление и сопутствующие оценки очень важны для практических приложений. Как указывалось выше скорость конвективного переноса примеси <shape id="_x0000_i2062" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image025.wmz» o:><img width=«15» height=«20» src=«dopb143594.zip» v:shapes="_x0000_i2062"> определяет положение фронта загрязнения Rp подобно тому, как скорость фильтрации <shape id="_x0000_i2063" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image105.wmz» o:><img width=«19» height=«21» src=«dopb143633.zip» v:shapes="_x0000_i2063"> определяет положение фронта закачиваемой жидкости Rw. Положение фронта закачиваемой жидкости определяется для случая закачки с постоянной скоростьюv0‘ в пласт через скважину радиуса r0 согласно (1.3.8) имеет вид
<shape id="_x0000_i2064" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1707.wmz» o:><img width=«381» height=«53» src=«dopb144405.zip» v:shapes="_x0000_i2064">.
Для достаточно больших времен τ можно пренебречь <shape id="_x0000_i2065" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1709.wmz» o:><img width=«20» height=«29» src=«dopb144406.zip» v:shapes="_x0000_i2065"> в подкоренном выражении, тогда вместо (3.3.1) получим
<shape id="_x0000_i2066" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1711.wmz» o:><img width=«272» height=«53» src=«dopb144407.zip» v:shapes="_x0000_i2066">.
(3.5.1)
Радиус зоны радиоактивного заражения определяется согласно зависимости (2.1.55) в виде
Rp=<shape id="_x0000_i2067" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image891.wmz» o:><img width=«68» height=«31» src=«dopb144012.zip» v:shapes="_x0000_i2067">.
(3.5.2)
Соотношение между скоростями фильтрации <shape id="_x0000_i2068" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1713.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb143634.zip» v:shapes="_x0000_i2068"> на входе в пористую среду при r = r0и конвективного переноса примеси <shape id="_x0000_i2069" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1714.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb144408.zip» v:shapes="_x0000_i2069"> в той же точке определяется соотношением (1.3.7)
<shape id="_x0000_i2070" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1716.wmz» o:><img width=«147» height=«52» src=«dopb144409.zip» v:shapes="_x0000_i2070">,
(3.5.3)
поэтому для радиуса зоны радиоактивного заражения из (3.3.3) получим
Rp=<shape id="_x0000_i2071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1718.wmz» o:><img width=«125» height=«57» src=«dopb144410.zip» v:shapes="_x0000_i2071">.
(3.5.4)
Если постоянная равновесия Генри <shape id="_x0000_i2072" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1720.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb143625.zip» v:shapes="_x0000_i2072"> равна нулю, то размеры зон закачиваемой жидкости и загрязнения совпадаютRw = Rp. При ненулевых значениях константы равновесия Генри <shape id="_x0000_i2073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1721.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb143625.zip» v:shapes="_x0000_i2073">≠ 0 фронт радиоактивного заражения отстает от фронта закачиваемой жидкости. Образуется кольцевая зона очищенной от радиоактивных примесей закачиваемой жидкости Rp < r <Rw, размеры которой растут пропорционально корню из времени закачки <shape id="_x0000_i2074" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1722.wmz» o:><img width=«27» height=«27» src=«dopb144411.zip» v:shapes="_x0000_i2074">:
Rp=<shape id="_x0000_i2075" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1724.wmz» o:><img width=«371» height=«63» src=«dopb144412.zip» v:shapes="_x0000_i2075">.
(3.5.5)
Наличие такой зоны является благоприятствующим экологическим фактором. Если подбирать для закачки горизонты с высокими значениями постоянной равновесия, то таким способом можно очищать воду от радиоактивных и химических примесей. Такие горизонты могут служить естественными фильтрами, очищающими воду от различных примесей. Нечто аналогичное, видимо, происходит в некоторых родниковых питьевых источниках.
Наряду с отмеченными выше фронтами в задаче возникает фронт термического влияния закачиваемой жидкости, который определяется выражением (3.1.34)
RT = <shape id="_x0000_i2076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1726.wmz» o:><img width=«108» height=«63» src=«dopb144413.zip» v:shapes="_x0000_i2076">.
(3.5.6)
Наличие такого фронта обусловлено величиной скорости конвективного переноса тепла, которая связана со скоростью конвективного переноса примесей на входе в пористую среду <shape id="_x0000_i2077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1728.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb143591.zip» v:shapes="_x0000_i2077"> соотношением
<shape id="_x0000_i2078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1729.wmz» o:><img width=«284» height=«57» src=«dopb144414.zip» v:shapes="_x0000_i2078">.
(3.5.7)
В общем случае скорость конвективного переноса тепла связана со скоростью фильтрации соотношением
<shape id="_x0000_i2079" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1731.wmz» o:><img width=«245» height=«52» src=«dopb144415.zip» v:shapes="_x0000_i2079">.
(3.5.8)
Величина скорости конвективного переноса тепла u при <shape id="_x0000_i2080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1733.wmz» o:><img width=«57» height=«25» src=«dopb144416.zip» v:shapes="_x0000_i2080">больше скорости фильтрации v΄. При фильтрации воды с теплоемкостью сw = 4100 Дж/(кг∙К) и плотностью ρw = 1000 кг/м3 в песчанике с пористостью m = 0.2, теплоемкостью сs = 840 Дж/(кг∙К) и плотностью ρs = 2500 кг/м3 отношение скоростей конвективного переноса тепла и фильтрации составит <shape id="_x0000_i2081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1735.wmz» o:><img width=«121» height=«25» src=«dopb144417.zip» v:shapes="_x0000_i2081"><shape id="_x0000_i2082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1737.wmz» o:><img width=«117» height=«25» src=«dopb144418.zip» v:shapes="_x0000_i2082"><shape id="_x0000_i2083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1739.wmz» o:><img width=«101» height=«25» src=«dopb144419.zip» v:shapes="_x0000_i2083"><shape id="_x0000_i2084" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1741.wmz» o:><img width=«49» height=«20» src=«dopb144420.zip» v:shapes="_x0000_i2084">. При фильтрации нефти с теплоемкостью со = 2000 Дж/(кг∙К) и плотностью ρо = 850 кг/м3 скорость конвективного переноса тепла больше скорости фильтрации, поскольку их отношение меньше единицы и составляет
<shape id="_x0000_i2085" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1743.wmz» o:><img width=«123» height=«25» src=«dopb144421.zip» v:shapes="_x0000_i2085"><shape id="_x0000_i2086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1745.wmz» o:><img width=«47» height=«25» src=«dopb144422.zip» v:shapes="_x0000_i2086"><shape id="_x0000_i2087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1747.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb144423.zip» v:shapes="_x0000_i2087"><shape id="_x0000_i2088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1749.wmz» o:><img width=«148» height=«25» src=«dopb144424.zip» v:shapes="_x0000_i2088">.
Скорость конвективного переноса тепла может превышать скорость конвективного переноса примеси. В этом случае фронт термических возмущений опережает фронт радиоактивного загрязнения. Условие, при котором это происходит, имеет вид
<shape id="_x0000_i2089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1751.wmz» o:><img width=«181» height=«57» src=«dopb144425.zip» v:shapes="_x0000_i2089">, <shape id="_x0000_i2090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1753.wmz» o:><img width=«228» height=«60» src=«dopb144426.zip» v:shapes="_x0000_i2090">.
(3.5.9)
Поскольку постоянная Генри представляет отношение плотности примеси в скелете и растворе <shape id="_x0000_i2091" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«31224.files/image1755.wmz» o:><img width=«93» height=«26» src=«dopb144427.zip» v:shapes="_x0000_i2091">, то условие опережения температурного фронта представится как
<shape id="_x0000_i2092" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1757.wmz» o:><img width=«79» height=«60» src=«dopb144428.zip» v:shapes="_x0000_i2092">.
(3.5.10)
Последнее означает, что температурный фронт опережает фронт загрязнения при достаточно большом содержании примеси в скелете, что возможно при высокой адсорбирующей способности скелета. Напомним, что величины со звездочкой означают истинную плотность среды, а без звездочки – плотность примеси в среде. Условие (3.5.9) означает, что отношение плотности примеси в скелете к плотности примеси в растворе должно превышать отношение соответствующих объемных теплоемкостей.
При малой адсорбирующей способности скелета, напротив, температурный фронт отстает от фронта загрязнения, что осуществляется при выполнении условия
<shape id="_x0000_i2093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1759.wmz» o:><img width=«119» height=«59» src=«dopb144429.zip» v:shapes="_x0000_i2093">.
(3.5.11)
В этом случае формируется зона Rp < r < RT, в которой температурное поле определяется влиянием распада радиоактивных примесей. Размеры этой зоны растут со временем согласно зависимости
<shape id="_x0000_i2094" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1761.wmz» o:><img width=«416» height=«68» src=«dopb144430.zip» v:shapes="_x0000_i2094">.
(3.5.12)
Приведенные выше зависимости позволяют утверждать, что критические значения коэффициента Генри, когда фронты загрязнения и температурного влияния совпадают, не зависят от пористости. Указанные выше значения теплоемкостей и плотностей позволяют оценить критические значения коэффициента Генри: для воды – <shape id="_x0000_i2095" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1763.wmz» o:><img width=«61» height=«28» src=«dopb144431.zip» v:shapes="_x0000_i2095">0.52, для нефти – <shape id="_x0000_i2096" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1765.wmz» o:><img width=«61» height=«28» src=«dopb144431.zip» v:shapes="_x0000_i2096">1.2.
Отношения соответствующих радиусов определяется соотношениями, следующими из (3.5.1), (3.5.4) и (3.5.6)
<shape id="_x0000_i2097" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1766.wmz» o:><img width=«171» height=«56» src=«dopb144432.zip» v:shapes="_x0000_i2097">,.<shape id="_x0000_i2098" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1768.wmz» o:><img width=«117» height=«63» src=«dopb144433.zip» v:shapes="_x0000_i2098">, <shape id="_x0000_i2099" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1770.wmz» o:><img width=«215» height=«63» src=«dopb144434.zip» v:shapes="_x0000_i2099">.
(3.5.13)
На практике величина коэффициента Генри определяется многими факторами и сильно зависит, в том числе, от солесодержания и pH среды, имея общую тенденцию возрастания с увеличением pH и уменьшением солесодержания.
Некоторые типичные значения коэффициентов Генри приведены в табл. 1 (из книги «Охрана подземных вод от радиоактивных загрязнений» Белицкий А.С., Орлова Е.И.)
Таблица 1
№ п/п
Наименование породы
Коэффициент распределения
Стронций 89Sr
Цезий 137Cs
Рутений 105Ru
Церий 144Ce
1
Песок среднезернистый, четвертичный, древнеаллювиальный
10
700
20
900
2
Песок мелкозернистый, слюдистый, глуаконитовый, верхнеюрский
12
1150
20
1100
3
Песок среднезернистый, аллювиальный
8
760
460
480
4
Песчаник чёрный, мелкозернистый, верхнеюрский с фосфоритами
6
2200
35
65
и в таблице 2 (коэффициент межфазного распределение нуклидов в песчано-глинистых породах) (из книги «Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов» Рыбальченко А.И. и др.)
Таблица 2
Столь высокие значения <shape id="_x0000_i2100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31224.files/image1772.wmz» o:><img width=«28» height=«25» src=«dopb144435.zip» v:shapes="_x0000_i2100"> позволяют говорить, что в реальных условиях размеры зоны заражения всегда значительно меньше размеров зоны термического влияния, что позволяет использовать результаты измерений температурного поля в качестве «опережающего прогнозирования» распространения зоны заражения.
На рис. 3.3 приведены характерные зависимости от времени размеров зон загрязнения – Rp, теплового влияния – RТ и чистой воды – Rw. При этом область шириной ΔRw=Rw–RТ заполнена чистой водой, имеющей температуру, равную естественной температуре пласта. С течением времени ширина этой области увеличивается.
<imagedata src=«31224.files/image1774.png» o:><img width=«301» height=«242» src=«dopb144436.zip» v:shapes="_x0000_i2101">
Рис 3.3. Зависимость максимальных размеров зон от времени для объёмов закачки 100 м3/сут. Полуширина пористого пласта, h = 10 м, состав – песчаник, пористость m = 0.4, фильтрирующаяся жидкость – вода, КГ = 15
Схематично картину расположения зон для некоторого момента времени можно представить в виде схематичного рисунка 3.4, на котором учтено, что в реальных пластах всегда наибольшие размеры имеет зона очищенной воды, а наименьшие – зона радиоактивного загрязнения. При этом вполне возможна ситуация, когда плотность загрязнителя (в силу радиоактивного распада) становится ничтожно малой далеко до границы зоны.
<imagedata src=«31224.files/image1776.png» o:><img width=«236» height=«236» src=«dopb144437.zip» v:shapes="_x0000_i2102">
Рис 3.4. Схематично представлена картина зон загрязнения – Rp, термического влияния – RТ и чистой воды – Rwдля некоторого момента времени
3.6. Выводы В нулевом и первом приближениях решена задача о температурном поле, вызванном закачкой радиоактивного раствора в глубокозалегающие пласты. На основании полученного решения установлены расчетные формулы для полей температуры, вызванных энергией распада и различием температур пласта и закачиваемой жидкости. В частности, построена зависимость температуры от пространственных координат r, z и времени t для стационарного распределения плотности радиоактивных примесей, имеющее важное значение для описания полей короткоживущих изотопов.