Реферат: Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы
Задание
/>
Исходные данные
Форма тела 1
Однородная пластина
Масса тела 1
m1
кг
5
Масса материальной точки 2
m2
кг
0,1
Размеры
a
м
2
h
м
3
Обобщенные координаты
Обозначения
Начальные значения для Iэтапа
q1 = j
рад
j0 = 0
q2 = x
м
x0 = 0,8
Жесткость пружины
с
Н/м
10
Длина свободной пружины
l
м
0,8
Угловая скорость тела 1
w1
рад/c
4
Конец Iэтапа движения
t1
с
5
Конец IIэтапа движения
t2
с
5
Содержание
Введение
1. Поведение системы в условиях стабильного закона движения
2. Поведение системы в конкретных условиях
3. Поведения системы в условиях малых колебаний
Список использованной литературы
Введение
Изучение теоретической механики как одной из фундаментальных физико-математических дисциплин играет важную роль в подготовке специалистов по механико-математическим и инженерным направлениям. Оно позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания о природе, но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных научных и технических задач, для которых требуется построение математических моделей разнообразных механических систем, развивает способности к научным обобщениям и выводам
Теоретическая механика, как часть естествознания, использующая математические методы, имеет дело не с самими материальными объектами, а их математическими моделями. Такими моделями являются материальные точки, системы материальных точек, твердые тела и деформируемая сплошная среда. В курсовой работе рассматриваются простейшие системы, которые состоят из твердых тел, совершающих простейшие движения, и перемещающейся по телу материальной точки.
1. Поведение системы в условиях стабильного закона движения
1.1 Относительное движение материальной точки
/>
Рис.1 Схема механической системы и действующие на шарик силы
Свяжем подвижную систему координат Оxyс вращающейся пластиной как показано на рисунке.
Вращение пластины вместе с системой координат Oxyвокруг оси является переносным движением для шарика. Относительным движением шарика является его движение вдоль трубки, расположенной вдоль пластины.
--PAGE_BREAK--Дифференциальное уравнение относительного движения для рассматриваемого случая равномерного вращения пластины имеет вид
/>, (1.1.1)
где m– масса материальной точки;
/>— ускорение точки в подвижной системе отсчета;
/>— внешние силы: />, />
/>— реакции связей: />-нормальная реакция стенки трубки;
/>и />— переносная и кориолисова силы инерции.
Вращение пластины происходит равномерно, следовательно />=0, значит />-.
Силы инерции />и />направлены противоположно переносному центростремительному />и кориолисову ускорению />, соответственно. Направление ускорения />определим по правилу Жуковского: необходимо спроектировать относительную скорость шарика в плоскость вращения, а затем повернуть вектор этой скорости на 90по направлению вращения, и получим направление ускорения Кориолиса.
Предположим, что относительная скорость шарика положительна. В этом случае кориолисова сила инерции />направлена параллельно оси Оyподвижной системы координат.
Модули сил инерции определяются по формулам:
/>=/>/>
/>=/>.
Найдем зависимость heот х:
/>/>
/>
В итоге уравнение (1.1.1) примет вид:
/>/>
Спроектируем векторное уравнение относительного движения шарика на оси подвижной системы координат Оxy:
/>(1.1.2)
/>. Выберем φ=0 → φ=/>; />
Рассмотрим проекцию на ось Ох. Разделим обе части уравнения на массу тела:
/>
/>, где />/>(1.1.3)
Общее решение полученного линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами будем искать виде
x=X+/>,
где Х – общее решение соответствующего однородного уравнения,
/>-частное решение неоднородного уравнения.
Однородное уравнение имеет вид
/>=0, (1.1.4)
которому соответствует следующее характеристическое уравнение
/>
/>
/>i,
продолжение--PAGE_BREAK--
Т.к. величина под корнем отрицательна, то общим решением однородного дифференциального уравнения (1.1.3) будет являться функция:
Х=/>,
где С1 и С2– постоянные интегрирования.
Частное решение уравнения (1.1.3) будем находить как результат суперпозиции двух решений: />.
Для />имеем:
/>(1.1.5)
/>, где />k=0, значит
/>
/>
/>
Подставим в (1.1.4):
/>
/>
При sin/>: />
B=/>
При cos/>: />
A=/>
Тогда />
Для />имеем:
/>
Тогда общее решение дифференциального уравнения относительного движения шарика (1.1.3) принимает вид
x=/>/>
/>
Скорость этого движения равна
/>
Составляющую реакции стенки трубки Nyопределим из второго уравнения системы (1.1.2)
/>
где />определяется соответствующим выражением.
1.2 Закон изменения движущих сил, обеспечивающих заданное движение тела. Реакции внешних опор.
/>
Рис.2 Определение реакций в опорах
Определим проекции реакций опоры на оси неподвижной декартовой системы координат O1x1y1 (рис. 2).
Запишем уравнение теоремы о движении центра масс для рассматриваемой механической системы в векторном виде:
/>(1.2.1)
Проектируя уравнение (2.1) на оси системы координат О1x1y1 получаем
/>,
/>(1.2.2)
По известным формулам находим координаты центра тяжести системы,
/>/>(1.2.4)
Дифференцируя уравнения 1.2.3,1.2.4, получим
/>
/>
Вычисляя вторые производные получим
/>
/>(1.2.5)
Подставляя (1.2.5) в уравнения (1.2.2), получаем проекции реакций в опоре О1на оси неподвижной системы координат:
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/>
При этом мы учли, что />
/>
Рис.3 Определение вращательного момента
Применим теорему об изменении кинетического момента для определения внешнего момента, обеспечивающего равномерное движение ведущего звена механической системы. Выберем за ось zось вращения:
/>. (1.3.1)
Определим кинетический момент рассматриваемой системы относительно оси Oz.
/> ,
где />— осевой момент инерции пластины, />-угловая скорость вращения.
Шарик М совершает сложное движение- относительное вдоль желоба пластины(см. рис.3) со скоростью />и переносное вместе с пластиной. Переносная скорость />перпендикулярна пластине и по модулю равна:
/>,
где />
Кинетический момент шарика относительно оси zравен
/>
/>,
Кинетический момент всей системы равен
/> (1.3.2)
Определим главный момент внешних сил относительно оси z. Реакции опор />пересекают ось вращения и момент относительно этой оси не создают. Определим момент силы тяжести шарика и пластины:/>
/> />
Отсюда имеем:
/>, (1.3.3)
где Mвр.— внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение пластины.
Подставляя 1.3.2, 1.3.3 в уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы 1.3.1, получаем
/>.
Учитывая, что ω=constполучим:
/>
2. Поведение системы в конкретных условиях
2.1 Дифференциальные уравнения движения системы и их интегрирование
Составим уравнения движения с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода. В выбранных обобщенных координатах />и />они принимают вид:
/>(2.1.1)
где />/>— кинетическая энергия системы;
/>— обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам />и />.
Найдем кинетическую энергию системы. Она состоит из кинетических энергий всех тел, входящих в систему:
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
Абсолютная скорость шарика />равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей (см. рис. 3), ее величина определяется по формуле:
/>
/>
Тогда для кинетической энергии системы получим:
/>(2.1.2)
Введем обозначения:
/>
Найдем все производные левой части уравнений (2.1.3):
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Обобщенные силы можно определить двумя способами:
1. Фиксируем координату />, даем виртуальное перемещение />, находим элементарную работу:
/>
/>
Фиксируем координату />, даем виртуальное перемещение />, находим элементарную работу:
/>
/>
2. Вычислим потенциальную энергию системы:
/>
Найдем обобщенные силы:
/>/>
/>
Подставив производные левой части уравнений (2.1.1) и обобщенные силы />и />в уравнения (2.1.1), получим дифференциальные уравнения движения системы:
/>
Для решения системы дифференциальных уравнений движения механической системы проведем численное интегрирование на ЭВМ. Результаты численного интегрирования приведены в приложении №2.
Для проверки численного интегрирования найдем, исходя из полученных данных, значения потенциальной и кинетической энергии механической системы. Суммируя значения потенциальной и кинетической энергии механической системы проверим, выполняется ли Закон сохранения энергии (см. приложение №2).
2.2 Определение реакций в опорах методом кинетостатики
Выберем для нашей системы неподвижную систему координат О1X1Y1, (cм. рис.4).
/>
Рис.4. Силы, действующие на систему
Уравнения кинетостатики в векторной форме имеют вид
/>(2.2.1)
где />— главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции;
/>— главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции относительно точки О1.
Сила инерции шарика как материальной точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относительной, переносной и кориолисовой сил инерции:
/>
/>,
/>
Сила инерции пластины будет равна:
/>
Модули сил инерции равны
/>, />, />/>(2.2.2)
Изобразим активные силы, реакции опоры и силы инерции, действующие на механическую систему (рис. 4). Векторные уравнения кинетостатики (2.2.1) в проекциях на оси неподвижной системы координат OX1Y1имеют вид
/>(2.2.3)
Cучётом выражений для сил инерции (2.2.2), уравнения (2.2.3) принимают вид
/>
Найденные уравнения реакций шарнира и вращательного момента совпадают с теми, что были найдены в предыдущих частях курсовой работы.
3. Поведения системы в условиях малых колебаний
3.1 Положения равновесия механической системы и их устойчивость
Для определения положения равновесия механической системы воспользуемся выражением для потенциальной энергии системы, которое было выведено нами во втором разделе курсовой работы (см. п. 4):
продолжение--PAGE_BREAK--
/>(3.1.1)
Найдем возможные положения равновесия системы. Значение обобщенных координат в положениях равновесия есть корни системы уравнений:
/>
Решая систему уравнений, получаем два возможных положение равновесия:
/>.
Для оценки устойчивости полученных положений равновесия определим обобщенные коэффициенты жесткости. Найдем все вторые производные потенциальной энергии (3.1) по обобщенным координатам:
/>
Для первого положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:
/>
Воспользуемся критерием Сильвестра:
/>
Для второго положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:
/>
Воспользуемся критерием Сильвестра:
/>
Таким образом, система принимает единственное устойчивое положение равновесия при: />
3.2 Частоты главных колебаний. Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях
Для нахождения частот и форм главных колебаний, выпишем полученные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости в положении устойчивого равновесия, при: />.
/>
/>
/>
/>
В положении равновесия:
/>(3.2.1)
Запишем дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы:
/>
Составим характеристическое уравнение:
/>
Или в развернутом виде:
/>
Найдем корни характеристического уравнения, подставляя в уравнение найденные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости:
/>
Определим коэффициенты форм колебаний:
/>
Таким образом, движение рассматриваемой системы при собственных колебаниях будет происходить по следующему закону:
/>(3.2.2)
3.3Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях
Найдем значения постоянных интегрирования />системы уравнений (3.2.2) для следующих начальных условий:
/>
/>
Решая систему уравнений, получим:
/>/>
/>
С учетом полученных значений постоянных интегрирования запишем окончательный вид уравнений колебаний:
/>
Список использованной литературы
Авраменко А.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай И.А. Динамика точки и механической системы. – Самара: СГАУ. – 2001. – 84 с.
СТП СГАУ 6.1.4. – 97. Общие требования к оформлению учебных текстовых документов: методические указания.