Реферат: Изучения прямолинейного движения на машине атвуда

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу «Общая физика»

ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель Студент группы 220201

___________ /____________. / Стороженко Сергей Валерьевич

___________2011 г. 2011 г.

2011

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное — по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t 2 > прохождения грузом с перегрузом пути S:

(3.1)

(3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:

σсл (t ) = t(a, n ) × S (t ); (3.4)

где t(a, n ) — коэффициент Стьюдента

стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где

ti — времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. …, n ),

n – число измерений, < t > — среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:

σ(t 2 ) = 2 < t > σ(t ) (3.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:

(3.7)

Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

b = (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

a = 2b2 (3.9)

Абсолютную случайную погрешность ускорения sсл (a ) рассчитываем методом наименьших квадратов.

Рассчитываем параметры линеаризованного графика

(y = f(x) = Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.

Расчет производится по формулам: (3.10)

куда входят следующие величины:

(3.11)

где n – число экспериментальных точек.

Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: sсл (β ):

(3.12)

где вспомогательная величина:

(3.13)

Абсолютная случайная погрешность ускорения:

s ( a ) = 4 b s ( b ) (3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Макет№ 82

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

Результаты прямых и косвенных измерений Таблица 4.1

S 1 = 10, см	S 2 = 20, см	S 3 = 30, см	S 4 = 35, см	S 5 =42, см
Номер измере­ния	=3,16 см1/2	= 4,47 см1/2	= 5,48 см1/2	= 5,92 см1/2	=6,48 см1/2
t, c	t 2, c2	t, c	t 2, c2	t, c	t 2, c2	t, c	t 2, c2	t, c	t 2, c2
1	1,558	2,427	2,425	5,881	3,186	10,150	3,297	10,870	3,627	13,155
2	1,423	2,025	2,178	4,744	2,964	8,785	3,017	9,102	3,538	12,517
3	1,446	2,091	1,856	3,445	2,585	6,682	3,015	9,090	3,145	9,891
4	1,341	1,798	1,554	2,415	2,662	7,086	2,783	7,745	2,775	7,701
5	1,376	1,893	1,396	1,949	2,505	6,275	2,694	7,257	2,530	6,401
< t >, c	1,43	1,88	2,78	2,96	3,12
< t 2 >, c2	2,05	3,69	7,79	8,81	11,33

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t 2 > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения (S 1 = 10 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt1 = t1 −< t>1 = 1,558−1,43 = 0,13 с; Δt12 = ( 0,13)2 = 0,0169 с2 ;

Δt2 = t2 −< t>1 = 1,423−1,43 = -0,007 с; Δt12 = (-0,007)2 = 0,000049 с2 ;

Δt3 = t3 −< t>1 = 1,446−1,43 = 0,016 с; Δt12 = (0,016)2 = 0,000256 с2 ;

Δt4 = t4 −< t>1 = 1,341−1,43 = -0,089 с; Δt12 = (-0,089)2 = 0,00792 с2 ;

Δt5 = t5 −< t>1 = 1,376−1,43 = -0,054 с; Δt12 = (-0,0584)2 = 0,002916 с2 ;

0,0169 +0,000049+0,000256+0,00792+0,002916

S(t)1 = 5x(5-1) = 0,001 с;

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности a=0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(a, n ) = 2,1:

σсл (t )1 = 2,1×0,001 = 0,0021 c ;

Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2

№ измерения	№ опыта	t, с	Δt, с	Δt2, с2	<t>, с	S(t), с	σ(t), с	σ(t2 ), с2
1	1	1,558	0,13	0,0169	1,43	0,001	0,0021	0,006
2	1,423	-0,007	0,000049
3	1,446	0,016	0,000256
4	1,341	-0,089	0,00792
5	1,376	-0,054	0,002916
t1 = 1,43 ± 0,0021, с
2	6	2,425	0,545	0,297025	1,88	0,036	0,076	0,286
7	2,178	0,298	0,088804
8	1,856	-0,024	0,000576
9	1,554	-0,326	0,106276
10	1,396	-0,484	0,234256
t2 = 1,88± 0,076 с
3	11	3,186	0,406	0,164836	2,78	0,012	0,0252	0,14
12	2,964	0,184	0,033856
13	2,585	-0,195	0,038025
14	2,662	-0,118	0,013924
15	2,505	-0,275	0,075625
t3 = 2,78 ± 0,0252, с
4	16	3,297	0,337	0,113569	2,96	0,011	0,0231	0,14
17	3,017	0,057	0,003249
18	3,015	0,055	0,003025
19	2,783	-0,177	0,031329
20	2,694	-0,266	0,070756
t4 = 2,96± 0,0231, с
5	21	3,627	0,507	0,257049	3,12	0,045	0,0945	0,56
22	3,538	0,418	0,174724
23	3,145	0,025	0,000625
24	2,775	-0,345	0,119025
25	2,530	-0,59	0,3481
t5 = 3,12 ± 0,0945, с

Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера:

σсис (t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :

σ(t)1 = 0,0005²+0,0021² = 0,0021 с;

Так как величина σсис (t) много меньше величины σсл (t )1 (σсис (t) = 0,0005 с << σсл (t )1 = 0,0021 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t )1 ≈ σсис (t )1 .

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t 2 )1 = 2×1,43×0,0021 = 0,006 с2 ;

Результаты измерений записываем в виде < t > ± σ(t) :

t1 = 1,43±0,0021 с.

Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7:

Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n	S, см	σ(S), см	, см0,5	σ(). см0,5	<t>, c	(<t>)2, c2	(<t>)× , c× см0,5
1	10	0,5	3,16	0,01	1,43	2,05	4,519
2	20	0,5	4,47	0,01	1,88	3,69	8,404
3	30	0,5	5,48	0,01	2,78	7,79	15,234
4	35	0,5	5,92	0,01	2,96	8,81	17,523
5	42	0,5	6,48	0,01	3,12	11,31	20,218
å	137	25,51	12,17	33,65	65,90
МНК	S 6	S 2	S 1	S 4	S 3

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f 1 ( t ) ( рис. 4.1.) и S = f 2 ( t 2 ) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.

Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t .

Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t 2 .

На рис.4.3. представлен линеаризованный график = f 3 ( t ) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t .

Рисунок 4.3. Зависимость от времени t .

На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

b граф = 4 / 2,3 = 1,73 см0,5 /с;

Величину ускорения определим по формуле 3.9:

a граф = 2×1,732 =5,98 см/с2 ;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр b линеаризованного графика = b t и случайную абсолютную погрешность параметра sсл (b ).

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S 1 − S 6 для расчета по МНК (число точек n =5):

S 1 = 12,17 c; S4 = 33,65 c2 ;

S 2 = 25,51см1/2; S 6 = 137 см ;

S 3 = 65,90 c×см1/2; S 5 = 5×33,65 − 12,172 = 20,14 c × см1/2.

По формуле 3.10 определим параметр b линеаризованного графика:

b = (5×65,90 − 12,17 ×25,51) / 20,14 = 0,94 см1/2 /c.

Угловой коэффициент прямой b = 0,94 см1/2 /c.

Значение вспомогательной величины S 0по формуле 3.13:

S 0 = 137/ 3 – (25,512 + 0,94 2 ×20,14 ) / 15 = 1,03 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

s ( b) = (5×1,032 /20,14) 0,5 = 0,513 см1/2 /c .

Величина ускорения по формуле 3.9 :

a = 2×0,942 = 1,76 см/с2 .

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

s ( a ) = 4×0,94×0,513 = 1,93 см/с2 .

Получаем:

a = (1,76 ± 1,93) см/с2 = (1,76 ± 1,93)×10-2 м/с2 .

5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at 2 /2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

a – ускорение движения.

В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a = (1,76 ± 1,93) × 10-2 м/с2 .

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие силы действуют на груз с перегрузком во время движения?

На груз с перегрузом во время движения действует сила тяжестиF тяж2 и противоположно направленная сила натяжения нити T2 .

Сила тяжести F тяж2= ( M + m ) g , где M – масса груза, m – масса перегрузка, g – ускорение свободного падения.

2. Запишите уравнение движения для каждого из грузов.

Уравнение движения грузов имеют вид:

( M + m ) g – T 1 = ( M + m ) a 1 — груз с перегрузом (справа)

Mg – T 2 = Ma 2 - груз ( слева )

В силу не растяжимости нити a 2 = — a 1 ; при невесомом блоке T 1 = T 2 имеем следующие уравнения движения:

(M + m)g – T = (M + m)a

Mg – T = — Ma

3. Укажите возможные причины, обуславливающие несовпадение теоретических выводов с результатами измерений.

— физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин;

— точность вычислений.

4. Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени?

Систематическая погрешность измерения времени σсис (t) приводит к тому, что прямая на линеаризованном графике не проходит через начало координат. Величина отрезка, отсекаемого прямой при пересечении с осью t ( от точки пересечения до начала координат), есть величина систематической погрешности измерения времени σсис (t).

5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов в машине Атвуда.

Идеализация движения грузов на машине Атвуда:

— нить и блок невесомы, нить не растяжима, сила трения на оси блока мала, можно пренебречь.