Реферат: Изучение свободных колебаний и измерение ускорения свободного падения

--PAGE_BREAK--                         1.3.Физический и математический маятники
               Примерами тел, совершающих гармонические колебания, могут служить физический и математический маятники.

              1.3.1 Фический маятник

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О подвеса, не проходящей через центр масс С тела (рис.1).

             Если маятник отклонен от положения равновесия на некоторый угол, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (e
= M/J,где e — угловое ускорение тела, M –момент сил, действующих на тело, J –момент инерции тела относительно оси вращения) момент возвращающей силы F можно записать в виде
                                                                                                                                       (10)

где M = F
t
l=-mgl sina =-mgla,J-момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О, l-расстояние меду точкой подвеса и центром масс маятника С, F
t
= -mg sina== -mga –возращающаяся сила и g–ускорение свободного падения.

                        Уравнение (10) можно записать в виде
                                                                                                                                     (11)

     

или
                                                                                                                                      (12)
Принимая
                                                                                                                                       (13)
получим уравнение
                                                                                                                                        (14)
решение которого известно как:
                                                                                                                                        (15)

                                                                                                                      



Из выражения (15) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w

и периодом
                                                                                                                                         (16)

   

где L=J/(ml) –приведенная длина физического маятника.
Тока О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии L, называется центром качаний физического маятника (см. рис.1). Применяя теорему Штейнера, можно показать, что ОО’  всегда больше ОС=l
. Точка подвесаО и центр качаний О’  обладают свойством взаимозаменяемости : если ось подвеса сделать проходящей через центр качаний О’
,то точка О прежней оси подвеса станет новым центром  качаний. При этом период колебаний физического маятника не изменится, а расстояние между точками подвеса будет равно приведенной длине маятника.
<img width=«170» height=«194» src=«ref-1_543512834-6542.coolpic» v:shapes="_x0000_s1095 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1094 _x0000_s1080 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086 _x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1091 _x0000_s1092 _x0000_s1093">


 
                                                 

                                                                    
`
P=m
`
g

                                                                       Рис. 1

          1.3.2. Математический маятник

           Математический маятник –идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.

           Момент инерции математического маятника J =ml,где l— длина маятника. Так  как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся масса физического маятника сосредоточена в одной точке – центре масс, то, подставив выражение момента инерции математического маятника в формулу (16), получим известное выражение для малых колебаний математического маятника.
                                                                                                                                       (17)

    

Сравнивая формулы (16) и (17) видим, что, если приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника, то их периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний данного физического маятника.
<img width=«143» height=«164» src=«ref-1_543519376-2892.coolpic» v:shapes="_x0000_s1123 _x0000_s1119 _x0000_s1108 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1107 _x0000_s1109 _x0000_s1110 _x0000_s1111 _x0000_s1112 _x0000_s1114 _x0000_s1115 _x0000_s1116 _x0000_s1118 _x0000_s1122">



                                                                            l
                                                               m
                                                         Рис.2  

                                                       

                  1.3.3 Оборотный маятник


Оборотный маятник является частным случаем физического маятника и состоит из стального стержня 2, двух легких опорных призм 3 и двух массивных грузов 1, имеющих форму чечевиц (рис.3). Призмы и чечевицы могут перемещаться по стержню и фиксироваться с помощью винтов. Если маятник вывести из положения равновесия то он будет совершать колебания в вертикальной плоскости, опираясь нижним ребром одной из призм на закрепленную на массивном штативе опорную площадку 4.

Соотношение T = 2
p
   J/mgl(см. Формулу (16)) может быть использовано для определения ускорения силы  тяжести g. Для этого необходимо измерить период колебания маятника T,расстоние lмежду осью качания и центром масс, определить момент инерции маятника Jотносительно оси качания и выразить через них g. Оказывается, однако, что с высокой точностью можно измерить только период колебаний Т маятника, а величины l и J
достаточно точно определить не удается. Например, для нахождения расстояния lот оси качаний до центра масс маятника необходимо предварительно определить положение центра масс, что сделать точно довольно трудно.
<img width=«89» height=«40» src=«ref-1_543522268-439.coolpic» v:shapes="_x0000_s1182">                                                                                   3

<img width=«151» height=«258» src=«ref-1_543522707-3354.coolpic» v:shapes="_x0000_s1193 _x0000_s1163 _x0000_s1181 _x0000_s1175 _x0000_s1179 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1140 _x0000_s1142 _x0000_s1143 _x0000_s1144 _x0000_s1145 _x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148 _x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1152 _x0000_s1153 _x0000_s1158 _x0000_s1156 _x0000_s1157 _x0000_s1159 _x0000_s1160 _x0000_s1161 _x0000_s1165 _x0000_s1166 _x0000_s1167 _x0000_s1168 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172 _x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1176 _x0000_s1177 _x0000_s1178 _x0000_s1183">



                                                                                   4

<img width=«60» height=«23» src=«ref-1_543526061-384.coolpic» v:shapes="_x0000_s1184">




                                                                                   1
<img width=«88» height=«2» src=«ref-1_543526445-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1185"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_543526601-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1139">                                                                                   3
<img width=«62» height=«17» src=«ref-1_543526757-347.coolpic» v:shapes="_x0000_s1186">                                                                                    1
<img width=«2» height=«18» src=«ref-1_543527104-151.coolpic» v:shapes="_x0000_s1189"><img width=«88» height=«2» src=«ref-1_543526445-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1188">                                                                               x

<img width=«88» height=«2» src=«ref-1_543527411-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1187">   

                                                     Рис.3
 Достоинством метода оборотного маятника для определения ускорения свободного падения является то, что величины J иl не входят в расчетную формулу для g. Перейдем к обсуждению этого метода. Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера, момент инерции физического маятника относительно оси качаний О (рис.1)

                                                     J = J
c
+ ml                                                                 (18)

Где J
c–момент инерции маятника относительно оси, параллельной оси качаний и проходящей через центр масс С маятника, l-расстояние между осью О и центром масс С. Подставляя выражение (18) в (16), получаем
                                                                                                                                          (19)


Обсудим, качественно, характер зависимости периода колебаний от расстояния lмежду центром масс и осью качаний. При очень малых lмомент силы тяжести М=-mgl sina(рис.1), стремящийся вернуть маятник в положение равновесия, становится очень малым и период колебаний резко возрастет. В пределе l ®, момент силы тяжести равен нулю и колебания вообще невозможны: маятник находится в состоянии раавновесия. Это согласуется с формулой (19): при l®0 период

       

                                                                                                                                          (20)

      

В обратном пределе, для очень больших l, можно пренебречь J
cпо сравнению с mlи рассматривать физический маятник как математический с длиной подвеса l. В этом случае период колебаний  Т=                      При l             период Т также неограниченно возрастает. При возрастании  l
периодT  сначала убывает до некоторого минимального значения Tm
=T
min, а затем вновь возрастает. Качественно вид зависимости T(l)изображен на рис.4.

Значению l=0 соответствует центр масс маятника. Если маятник подвешивать по другую сторону от центра масс, то, как видно из формулы (19), зависимость T(l) будет точно такой же. Поэтому график T(l) имеет две симметричные ветви, соответствующие положению точки подвеса маятника слева или справа от его центра масс.

<img width=«16» height=«118» src=«ref-1_543527567-270.coolpic» v:shapes="_x0000_s1199">                                                                  T

<img width=«80» height=«71» src=«ref-1_543527837-925.coolpic» v:shapes="_x0000_s1203"> <img width=«79» height=«71» src=«ref-1_543528762-918.coolpic» v:shapes="_x0000_s1201">



                                                                  T

<img width=«2» height=«31» src=«ref-1_543529680-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1207"><img width=«108» height=«2» src=«ref-1_543529833-159.coolpic» v:shapes="_x0000_s1206"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_543529992-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1205"><img width=«98» height=«21» src=«ref-1_543530145-196.coolpic» v:shapes="_x0000_s1198">                                                           

                                                    Tm                                        

<img width=«186» height=«16» src=«ref-1_543530341-265.coolpic» v:shapes="_x0000_s1196">                                                                            lm   l1      0              lm    l2        l

                                                                 Рис.4

Из графика видно, что по каждую сторону от центра масс маятника имеется по две точки подвеса, для которых периоды колебания маятника совпадают.Найдем такие два положения l
1 и l
2
(l
2
=l
1
) точек подвеса по разные стороны от центра масс (рис.5), чтобы периоды колебаний маятника совпадали:

                                                            T(l
1
) = T(l
2
)
.                                                          (21)
    продолжение
--PAGE_BREAK--