Реферат: История теоретического изучения течения жидкости в картинках и примерах

В реферате, который вы сейчас читаете, предпринятапопытка осветить некоторые

этапы развития теории турбулентности. Так как задачаописания турбулентности

возникла приблизительно полтора века назад, то охватитьту огромную область

науки в которую развилась эта проблема с течением временине представляется

возможным. Поэтому автор и не пытался ``объятьнеобъятное'', а поставил себе

более скромную цель — рассмотреть несколько различныхподходов к проблеме,

дающих представление о многообразии используемых методов,и рассмотреть их

более или менее подрбно.

beginsection{Как всё начиналось}

История математического описания течения жидкостиначалась в 1741 году, когда

прусский император Фридрих Великий пригласил ЛеонардаЭйлера работать в

Потсдам. Согласно популярной

истории, за достоверность которой автор не ручается,

одной из задач Эйлера было сооружение фонтана. Какистинный теоретик

он начал свою работу с вывода законов движения жидкости.

В 1755 году в письме Ньютону он

приводит уравнение, описывающее движение жидкости,которое в современных

обозначениях для случая постоянной плотности выглядиттак:

$${partial uarg over partial t} + uarg scal nabla, uarg

   = -nabla parg .$$

Где $uarg$ и $parg$ — скорость жидкости и давление впространственной

точке~$r$ в момент времени~$t$, а точка в$uargscalnabla$ означает

скалярное произведение. Левая часть уравнения Эйлера — ускорение

бесконечно малого элемента жидкости, а правая часть — сила действующая на

этот элемент, которая порождается неоднородностьюраспределения давления в

жидкости. Таким образом уравнение Эйлера — этофактически уравнение Ньютона

для элемента жидкости.

Однако, попытка построить фонтан используя это уравнениебыла обречена на

неудачу, так как скорость жидкости, предсказываемая этимуравнением для

данного градиента давления, оказывается гораздо большенежели наблюдаемая.

Дело в том, что при выводе уравнения Эйлера было упущенонемаловажное, как

выяснилось, соображение о наличии

вязкого трения, т.~е. диссипации энергии при трениисоседних элементов

жидкости друг о друга. Член учитывающий этот процесс былдобавлен в уравнение

Навье в 1827 и Стоксом в 1845. Получившееся уравнениеизвестно как уравнение

Навье-Стокса:

$${partial uarg over partial t} + uarg scal nabla, uarg

   = -nabla parg +nu nabla^2 uarg .$$

Где $nu$ — кинематическая вязкость, для воды и воздухапри комнатной

температуре она соответственно равна 0.01 и 0.15см${}^2$/сек.

Если бы член с вязкостью отсутствовал, то кинетическаяэнергия $u^2/2$

сохранялась бы. При наличии этого члена кинетическаяэнергия рассеивается

и превращается в тепло. Таким образом устанавливается,что в отсутствие

подкачки энергии извне в конце концов всякое движение вжидкости прекратится.

beginsection{Простые оценки}

Уже простейшие оценки на решение уравнения Навье-Стоксамогут оказаться

очень далеки от реальности. Например, можно оценитьскорость течения в великих

реках, таких как Нил и Волга, длина которых достигаеттысяч километров, а

перепад высот между истоком и устьем составляет сотниметров. Оценим характерный

угол наклона ложа реки $alpha$ как $10^{-4}$ радиан, ахарактерную глубину

$L$ как <st1:metricconverter ProductID=«10 метров» w:st=«on»>10 метров</st1:metricconverter>. Приравнивая силу тяжести $alpha g$ ($gsimeq10^3$

см/сек${}^2$) к силе вязкого трения $nu, d^2u/dz^2 simnu u/L^2$, находим

$usim 10^7$ см/сек. Конечно же это абсурд, возможно кбольшому сожалению

сплавщиков леса. Эта оценка противоречит даже законусохранения энергии.

Потенциальная энергия накопленная водой на перепаде высот$H$ равна

$rho g H$. Для таких рек как Нил и Волга $Hsim 5times10^4$ см и,

приравнивая потенциальную энергию кинетической, дляскорости получаем

$usim sqrt{2rho g H}simeq 10^4$ см/сек. Эта оценкарасходится с реальностью

на два порядка. Объяснение такого несоответствия былопредложено Ренольдсом,

который заметил важность безразмерного отношениянелинейного члена уравнения

Навье-Стокса к вязкому. Если на масштабе $L$ характерноеизменение скорости

$U$, то нелинейный член может быть оценен как $U^2/L$, авязкий — как

$nu U/L^2$. Отношение этих членов называется числомРейнольдса (Re) и равно

$UL/nu$. Если Re~$ll 1$, то можно пренебречь нелинейнымчленом по сравнению

с вязким. В этом случае уравнение Навье-Стокса становитсялинейным и в

большинстве случаев решается. Распределение скоростейполучается гладким

без завихрений.

Такое течение называют ламинарным. Если же реализуетсяобратная ситуация

(Re~$gg 1$), то решение

уравнения Навье-Стокса становится неустойчивым иприобретает сложный

завихряющийся характер. Такое течение называюттурбулентным. Как правило,

в природе реализуется второй тип течений, так для рекупоминавшихся выше

Re~$sim 10^7$.

Таким образом мы приходим к существованию трёх областей,где течение жидкости

происходит качественно разным образом. Первая область — Re~$ll 1$ --

область ламинарности. Вторая область — Re~$sim 1$ — область зарождения

турбулентности. И третья область — Re~$gg 1$ — областьразвитой

турбулентности.

Далее мы сосредоточим наше внимание на рассмотрениипоследних двух областей.

beginsection{Несколько картинок}

Каждое течение может быть охарактеризовано своейспектральной функцией, или

энергетическим спектром, дающим представление ораспределении кинетической

энергии по частотам движений. Спектральная функция$P(omega)$ определяется

как квадрат фурье-образа поля скоростей:

$$u(omega)={1over T} intlimits_0^T dt, e^{2pi i omega t} u(t),$$

$$ P(omega)=|u(omega)|^2.$$

Удобно так же пользоваться определёнными геометрическимиобразами, а именно

пространством состояний жидкости, каждая точка которогоотвечает

опре-делён-ному распределению скоростей в этойжидкости. Состояниям в близкие

моменты времени соответствуют близкие точки. (Это вообщеговоря

бесконечномерное функциональное пространство, в некоторыхслучаях оно может

быть заменено конечномерным — см. далее).

Попытаемся понять как выглядят различные течения жидкостив терминах

энергетического спектра и в пространстве состояний.

Если поместить какое-либо тело в поток жидкости,например, опору моста в русло

реки, то при очень малых скоростях жидкость течётламинарно (Рис.~1).

Рис{1. Re $=10^{-2}$}{r1.bmp}

Такое течение является стационарным, т.~е. скорость влюбой точке

пространства не зависит от времени. Следовательно всяэнергия в спектре

сосредоточена на нулевой частоте. В пространствесостояний такое течение

изображается одной точкой. Эта точка является устойчивойтраекторией системы,

т.~е. если начальное течение соответствовало другой точкев пространстве

состояний, то в пределе $t rightarrow infty$ любоераспределение скоростей

будет стремится к устойчивому. (Строго говоря не любое, алюбое из области

притяжения устойчивой траектории).

С ростом скорости в потоке образуются вихри, однакокартина продолжает

остоваться стационарной (Рис.~2).

Рис{2. Re $= 20$}{r2.bmp}

Так как поле скоростей по прежнему стационарно, тоникаких изменений

относительно ламинарного течения в спектре не произойдёт.В пространстве

состояний это течение будет так же, как и ламинарноеизображаться одной

точкой, однако, её положение изменится.

При дальнейшем росте скорости возможен отрыв вихрей и ихувлечение потоком.

Возникает нестационарное течение, которое, например,можно наблюдать с моста.

При этом скорость, измеренная в некоторой точке вниз попотоку за мостом,

оказывается периодической функцией времени (Рис.~3).

Рис{3. Re $=100$}{r3.bmp}

В такой ситуации происходит качественное изменение какэнергетического спектра,

так и траектории системы в пространстве состояний. Вспектре появляется новая

частота отличная от нулевой, а траектория в пространствесостояний из точки

превращается в устойчивый цикл. В одном из первыхсценариев возникновения

турбулентности — сценарии Ландау — предполагалось,что по мере увеличения

числа Рейнольдса в системе будет возникать всё больше новыхчастот. Траектория

системы будет усложнятся:

предельный цикл превратится в двумерный тор, этот тор всвою очередь превратится

в трёхмерный и далее бесконечный каскад новых торов.Однако, сейчас не

вызывает сомнений, что в большинстве систем сценарий возникновениятурбулентности

другой и данный сценарий крайне маловероятен. Один изсценариев имеющих

экспериментальное подтверждение будет рассмотрен далее.

При ещё большем возрастании числа Рейнольдса (Re) крупныевихри начинают

порождать неупорядоченные внутренние вихри.

В зависимости скорости от времени кроме периодической

компоненты, появляются так же и нерегулярные отклонения.

Спектр представляет собой пики основных частот на фонесравнительно

малоинтенсивного ``белого шума''. Траектория системыначинает размываться.

Она совершает нерегулярные колебания небольшой амплитудыоколо некоторого

тора. В этом случае мы наблюдаем следующую картину потока(Рис.~4).

Рис{4. Re $=10^4$}{r4.bmp}

Если число Рейнольдса возрастёт ещё больше, то возникаетчрезвычайно сложное

поле скоростей, и зависимость $u(t)$, как впрочем итраектория системы,

становится совершенно хаотической.

Непосредственно за телом возникает, так называемый,турблентный след.

Из спектра исчезают пики частот и возрастаетинтенсивность шума. Шум практически

равномерно распределён в довольно широком интервалечастот.

Картина потока соответствующая такой ситуации изображенана рисунке~5.

Рис{5. Re $=10^6$}{r5.bmp}

Полной теории, исчерпывающим образом объясняющейвозникновение турбулентности

в различных типах гидродинамических течений, насегодняшний день не существует.

Был предложен, однако, ряд возможных сценариевтурбулизации течения. Эти

сценарии по большей части основаны на компьютерномисследовании модельных

систем и частично подтверждаются реальнымигидродинамическими экспериментами.

Опять таки мы не будем пытаться дать полный обзор такихсценариев, а

рассмотрим только один, правда, довольно подробно.

beginsection{Зарождение турбулентности}

Методы исследования хаотизации гидродинамических системоснованы на том,

что устойчивость гидродинамического течения при небольшойзакритичности, а

именно когда в системе появилось всего несколько частот,можно

изучать как устойчивость диссипативной механическойсистемы с конечным

числом переменных. Этими переменными длягидродинамического течения могут быть,

например, амплитуды различных фурье-компонент скороститечения.

Математически это сводится к исследовнию эволюциисистемы, описываемой

эволюционными уравнениями вида

$$dot {bf x}(t)={bf F}({bf x}),$$

где ${bf x}(t)$ — вектор в пространстве $n$ величин

$x^{(1)},x^{(2)},ldots ,x^{(n)}$, описывающих систему;функция ${bf F}$

зависит от параметра изменение которого может приводить кизменению характера

движения. Для диссипативной системы дивергенция вектора$bf dot x$ в

$bf x$-пространстве отрицательна, чем выражаетсясокращение объёмов

$bf x$-пространства при

движенииfootnote{$^{1)}$}{По математической терминологиифункцию $bf F$ называют

векторным полем системы. Если оно не зависит явно отвремени (как в

рассматриваемом случае), систему называют автономной.}:

$${rm div,} dot {bf x}(t)={rm div,} {bf F}=

   partial F^{(i)}/partialx^{(i)}<0. $$

Рассмотрим возможные варианты поведения системыописываемой данными

уравнениями. До сих пор молчаливо подразумевалось, чтопри потере устойчивости

периодическим движением возникает в дополнение к немудругое периодическое

даижение. Логически же это вовсе не обязательно.Ограниченность амплитуд

пульсаций скорости обеспечивает лишь ограниченностьобъёма пространства

состояний, внутри которого располагаются траектории,соответствующие

установившемуся режиму течения вязкой жидкости, но каквыглядит картина

траекторий в этом объёме априори ничего сказать нельзя.Исключением

является случай, когда система описывается двумя фазовымипеременными.

В этом случае

доказывается теорема Пуанкаре, которая гласит что вплоской системе могут

реализоваться только два типа устойчивых траекторий — точка и цикл. Это

является следствием собственно двумерия системы иединственности решения

задачи Коши эволюционных уравнений. В случае же большегочисла переменных

траектории могут стремиться к предельному циклу или кнезамкнутой намотке на

торе (соответственно образам периодического иликвазипериодического движений),

но могут вести себя и совершенно по-иному — сложно изапутанно. Именно эта

возможность чрезвычайно существенна для пониманияматематической природы и

выяснения механизма возникновения турбулентности.

Представить себе сложное и запутанное поведение траекториивнутри

ограниченного объёма, куда траектории только входят,можно, если предположить,

что все траектории в нём неустойчивы. Среди них могутбыть не только неустойчивые

циклы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающиевнутри ограниченной области,

не выходя из неё. Неустойчивость означает, что две скольугодно близкие точки

пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем попроходящим через них

траекториям, далеко разойдутся; первоначально близкиеточки могут относится и

к одной траектории: ввиду ограниченности областинезамкнутая траектория может

подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такоесложное, нерегулярное

поведение траекторий и ассоциируется с турбулентнымдвижением жидкости.

Эта картина имеет ещё и другой аспект — чувствительнаязависимость течения

от малого изменеия начальных условий. Если движениеустойчиво, то малая

неточность в задании начальных условий приведёт лишь каналогичной неточности

в определении конечного состояния. Если же движениенеустойчиво, то исходная

неточность со временем нарастает и дальнейшее состояниесистемы уже

невозможно предвидеть ({it Н.~С.~Крылов, 1944; M.~Born,1952/}).

Притягивающее множество неустойчивых траекторий впространстве состояний

диссипативной системы действительно может существовать({it E. Lorenz,

1963/}); его принято называть it стохастическим/ rmили it странным

аттрактором/rmfootnote{$^{2)}$}{В отличие от обычныхаттракторов (устойчивые

предельные циклы, предельные точки и т. п.); названиеаттрактора ``странный''

связано со сложностью его структуры. В физическойлитературе термином

``странный аттрактор'' обозначают и более сложныепритягивающие множества,

содержащие помимо неустойчивых также и устойчивыетраектории, но со столь

малыми областями притяжения, что ни в физическом, ни вчисленном

экспериментах их нельзя обнаружить.}.

Он был обнаружен Лоренцем при изучении

системы трёх нелинейных дифференциальных уравнений,приближённо описывающих

некоторые гидродинамические течения.

Странный аттрактор может появиться уже после несколькихбифуркаций возникновения

новых периодов: даже сколь угодно малая нелинейностьможет разрушить

квазипериодический режим (незамкнутая обмотка на торе),создав на торе

странный аттрактор ({it D.~Ruelle, F.~Takens, 1971}).Это, однако, не может

произойти на второй (начиная с разрушения стационарногорежима) бифуркации.

При этой бифуркации появляется незамкнутая обмотка надвумерном торе. Учёт

малой нелинейности не разрушает тора, так чт странныйаттрактор должен был бы

быть расположен на нём. Но на двумерной поверхностиневозможно существование

притягивающего множества неустойчивых траекторий. Дело втом, что траектории в

пространстве состояний не могут пересекаться друг сдругом (или сами с собой);

это противоречило бы причинности поведения классическихсистем: состояние

системы в каждый момент времени однозначно определяет еёповедение в

следующие моменты. На двумерной поверхности невозможностьпересечений настолько

упорядочивает поток траекторий, что его хаотизацияневозможна.

Но уже на третьей бифуркации возникновение странногоаттрактора становится

возможным (хотя и не обязательным!). Такой аттрактор,приходящий на смену

трёхчастотному квазипериодическому режиму, расположен натрёхмерном торе

({itS.~Newhouse, D.~Ruelle, F.~Takens, 1978/}).

Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанныетраектории расположены

в ограниченном объёме пространства состояний.Классификация возможных типов

странных аттракторов, которые могут встретиться вреальных гидродинамических

задачах, в настоящее время неизвестна; неясны дажекритерии, на которых

должна была бы основываться такая классификация.Существующие знания о

структуре странных аттракторов основаны в основном лишьна изучении примеров,

возникающих при компьютерном решении модельных систем обыкновенных

дифференциальных уравнений, довольно далёких от реальныхгидродинамических

уравнений. О структуре странного аттрактора можно,однако, высказать некоторые

общие суждения, следующие уже из неустойчивости(седлового типа) траекторий

и диссипативности системы.

Для наглядности будем говорить о трёхмерном пространствесостояний и представлять

себе аттрактор расположенный внутри двумерного тора.

Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (имиописываются переходные

режимы движения жидкости, ведущие к установлению``стационарной'' турбулентности).

В поперечном сечении пучка траектории (точнее — ихследы) заполняют

определённую площадь; проследим за изменением величины иформы этой площади

вдоль пучка. Учтём, что элемент объёма в окрестностиседловой траектории в

одном из (поперечных) направлений растягивается, а вдругом — сжимается;

ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чемрастяжение — объёмы

должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направлениядолжны меняться ---

в противном случае траектори ушли бы слишком далеко (чтоозначало бы слишком

большое изменение скорости жидкости). Всё это приведёт ктому, что сечение

пучка уменьшится по площади и приобретёт сплющенную, и вто же время изогнутую

форму. Но этот процесс должен происходить не только ссечением пучка в целом,

но и с каждым элементом его площади. В результате сечениепучка разбивается на

систему вложенных друг в друга полос, разделённыхпустотами. С течением

времени (т.~е. вдоль пучка траекторий) число полос быстровозрастсет, а их

ширины убывают. Возникающий в пределе$tlongrightarrowinfty $ аттрактор

представляет собой несчётное множество бесконечного числане касающихся друг

друга слоёв — поверхностей, на которых располагаютсяседловые траектории

(своими притягивающими направлениями обращённые``наружу'' аттрактора). Своими

боковыми сторонами и своими концами эти слои сложнымобразом соединяются друг

с другом; каждая из принадлежащих аттрактору траекторийблуждает по всем слоям

и по прошествии достаточно большого времени пройдётдостаточно близко к любой

точке аттрактора (свойство {it эргодичности/}). Общийобъём слоёв и общая

площадь их сечений равны нулю.

По математической терминологии, такие множества по одномуиз направлений

относятся к категории {it канторовых/}. Именноканторовость структуры

следует считатть наиболее характерным свойствоматтрактора и в более общем

случае $n$-мерного $(n>3)$ пространства состояний.

 Объём странногоаттрактора

в своём пространстве состояний всегда равен нулю. Онможет, однако, быть

ненулевым в другом пространстве — меньшей размерности.Последнее определяется

следующим образом. Разобьём всё $n$-мерное пространствона малые кубики с

длиной ребра $varepsilon$ и объёмом $varepsilon^n $.Пусть $N(varepsilon )$ ---

минимальное число кубиков, совокупность которых полностьюпокрывает аттрактор.

Определим размерность $D$ аттрактора как предел

$$D=lim_{varepsilonto0}{ln N(varepsilon)over ln (1/varepsilon)}.$$

Эта величина известна в математике как

{it хаусдорфова/} (или {it фрактальная/})размерность.

Существование этого предела означает конечность объёмааттрактора в $D$-мерном

пространстве: при малом $varepsilon$ имеем$N(varepsilon)approx Vvarepsilon^{-D}$

(где $V$ — постоянная), откуда видно, что$N(varepsilon )$ можно расматривать

как число $D$-мерных кубиков, покрывающих в $D$-мерномпространстве объём $V$.

Определённая согласно предыдущей формуле размерность неможет, очевидно, превышать полную

размерность $n$ пространства состояний, но может бытьменьше его и, в отличие

от привычной размерности, может быть дробной; именнотакова она для канторовых

множествfootnote{$^{3)}$} {Покрывающие

множество $n$-мерные кубики могут оказаться ``почтипустыми''; именно поэтому

может быть $D<n$. Для обычных множеств это определениедаёт очевидные результаты.

Так, для множества $N$ изолированных точек имеем$N(varepsilon )= N$  и $D=0$;

для отрезка $L$ линии: $N(varepsilon)=L/varepsilon,D=1;$ для площадки $S$

двумерной поверхности: $N(varepsilon )=S/varepsilon^2, D=2 ,$ и т.д.}.

beginsection{Переход к турбулентности путём удвоенияпериодов}

При изучении эволюции возущения периодического движенияжидкости удобно ввести

{it мультипликатор/} $mu$ периодического движения, какотношение амплитуды

возмущения в момент времени $t$ к амплитуде возмущения вмомент времени $t-T$,

где $T$ — период невозмущённого движения. То есть запериод амплитуда

возмущения изменяется в $mu$ раз. Периодическомудвижению непрерывной среды

(жидкости) соответствует бесконечное множество мультипликаторов,отвечающих

бесконечному числу возможных независимых возмущений.Когда модули

мультипликаторов меньше 1, движение устойчиво. Потеря имустойчивости

происходит тогда, когда один или более мультипликаторовпо модулю становятся

равными 1, т.~е. в комплексной плоскости значения $mu$пересекают единичную

окружность. Ввиду вещественности уравнений проходитьчерез эту окружность

мультипликаторы могут только комплексно-сопряжённымипарами, или поодиночке,

оставаясь вещественными, т.~е. в точках $+1$ или $-1.$Потеря устойчивости

периодическим движением сопровождается определённойкачественной перестройкой

поведения траекторий в пространстве состояний вокрестности ставшего

неустойчивым предельного цикла или, как говорят, своейлокальной

{it бифуркацией/}. Характер бифуркации в значительнойстепени определяется

именно тем, в каких точках единичной окружностимультипликаторы ее пересекают.

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движениемпутём похождения

мультипликатора через значение $-1$ или $+1.$

В $n$-мерном пространстве состояний $n-1$мультипликаторов определяют поведение

траекторий в $n-1$ различных направлений в окрестностирассматриваемой

периодической траектории (отличных от направлениякасательной в каждой точке

самой этой траектории). Пусть близкий к $pm 1$мультипликатор отвечает

некоторому $l$-му направлению. Остальные $n-2$мультипликаторов малы по модулю;

 поэтому посоответствующим им $n-2$ направлениям все траектории будут со

временем прижиматься к некоторой двумерной поверхности(назовём её $Sigma$),

которой принадлежит $l$-ое направление и направлениеуказанных касательных.

Можно сказать, что в окрестности предельного циклапространство состояний при

$tlongrightarrowinfty $ оказывается почти двумерным(строго двумерным оно быть

не может — траектории могут располагаться по обестороны $Sigma$ и переходить

с одной стороны поверхности на другую). Разрежем потоктраекторий вблизи

$Sigma$ некоторой секущей поверхностью $sigma.$ Каждаятраектория, повторно

пересекая $sigma,$ ставит в соответствие исходной точкепересечения

(назовём её $x_j$) точку пересечения в момент следующеговозврата $x_{j+1}.$

Связь $x_{j+1}=f(x_j;R)$ называют {it отображениемПуанкаре/} или

{it отображением последования/}; она зависит отпараметра $R$ (в данном случае

— числа Рейнольдсаfootnote{$^{4)}$}{Или числа Рэлея,если речь идёт о тепловой

конвекции.}), значение которого определяет степеньблизости к бифуркации ---

потере устойчивости периодическим движением. Посколькувсе траектории тесно

прижаты к поверхности $Sigma$, множество точекпересечения поверхности $sigma$

траекториями оказывается почти одномерным, и его можноприближённо

аппроксимировать линией; отображение Пуанкаре станетодномерным преобразованием

$$

x_{j+1}=f(x_j;R),eqno(1)

$$

причём $x$ будет просто координатой на указанной линии

footnote{$^{5)}$} {Обозначение $x$ не имеет, разумеется,нияего общего с

координатой в физическом пространстве.}. Дискретнаяпеременная ${j}$ играет

роль времени, измеряемого в единицах периода движения.

Отображение Пуанкаре даёт альтернативный способ определения характера течения

вблизи бифуркации. Самому периодическому движениюотвечает {it неподвижная

точка/} преобразования (1) — значение $x_j=x_*$, неменяющееся при отображении, т.~е.

для которого $x_{j+1}=x_j$. Роль мультипликатора играетпроизводная

$mu=dx_{j+1}/dx_j$, взятая в точке $x_j=x_*$. Точки$x_j=x_* +xi$ в

окрестности $x_*$ в результате отображения переходят в

$x_{j+1}approxx_* +muxi$. Неподвижная точка устойчива (и является

аттрактором отображения), если $|mu|<1$: повторноприменяя ({it итерируя/})

отображение и начав с какой-либо точки в окрестноститочки $x_*$, мы будем

асимптотически приближаться к последней (по закону$|mu|^r$, где $r$ ---

число итераций). Напротив при $mu >1$ неподвижнаяточка неустойчива.

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движениемпри переходе

мультипликатора через $-1$. Равенство $mu=-1$ означает,что начальное возмущение

через интервал времени $T_0$ меняет знак, не изменяясь поабсолютной величине:

ещё через период $T_0$ возмущение перейдёт само в себя.Таким образом, при

переходе $mu$ через значение $-1$ в окрестностипредельного цикла с периодом

$T_0$ возникает новый предельный цикл с периодом $2T_0$--- {it бифуркация

удвоения периода/}.% (Рис.~6)

Если принять условно неподвижную точку отображенияПуанкаре за точку $x=0,$

то вблизи неё отображение, описывающее бифуркациюудвоения периода можно

представить в виде разложения

$$

x_{j+1}=, -[1+(R-R_1)]x_j+x_j^2+beta x_j^3,eqno(2)

$$

где $beta >0 $footnote {$^{6)}$}{Коэффициент при$R-R_1$ может быть превращён

в единицу соответствующим переопределением $R$, акоэффициент при $x_j^2$

обращён в $+1$ переопределением $x_j$ (что ипредполагается в (2)).}.

При $R<R_1$ неподвижная точка $x_*=0$ устойчива, а при$R>R_1$ — неустойчива.

Чтобы увидеть, как происходит удвоение периода, надоитерировать

отображение (2) дважды, т.~е. рассмотреть его за два шага(две единицы времени) и

определить неподвижные точки вновь полученного отображения;если они существуют

и устойчивы, то они и отвечают циклу удвоенного периода.

Двукратная итерация преобразования (2) приводит (с нужнойточностью по

малым величинам $x_j$ и $R-R_1$) к отображению

$$

x_{j+2} = x_j+2(R-R_1)x_j- 2(1+beta)x_j^3.eqno(3)

$$

Оно всегда имеет неподвижную точку $x_*=0.$ При$R<R_1$ эта точка единственна

и устойчива (мультипликатор $|dx_{j+2}/dx_j|<1$); длядвижения с периодом 1

(в единицах $T_0$) интервал времени 2 — тоже период.При $R=R_1$

мультипликатор обращается в $+1$ и при $R>R_1$ точка$x_*=0$ становится

неустойчивой. Вэтот момент рождается пара устойчивыхнеподвижных точек

$$

x_*^{(1),(2)}= pm left [{R-R_1over 1+beta}right ]^{1/2},eqno(4)

$$

которые и соответствуют устойчивому предельному циклуудвоенного периода

footnote {$^{7)}$}{или, как мы будем говорить длякраткости,

{it 2-циклу./} Относящиеся к нему неподвижные точкибудем называть

{it элементами цикла /}. }; преобразование (3)оставляет каждую из этих точек

на месте, а преобразование (2) переводит каждую из них вдругую. Подчеркнём,

что цикл единичного периода при описанной бифуркации неисчезает — он остаётся

решением уравнений движения, но неустойчивым.

Вблизи бифуркации движение остаётся ещё ``почтипериодическим'' с периодом 1:

точки последовательных возвратов траектории $x^{(1)}$ и$x^{(2)}$ близки друг к

другу. Интервал $x^{(1)}-x^{(2)}$ между ними являетсямерой амплитуды колебаний

с периодом 2; она растёт с надкритичностью как$(R-R_1)^{1/2}$.

Многократное повторение бифуркаций удвоения периодаоткрывает один из

возможных путей возникновения турбулентности. В этомсценарии число бифуркаций

бесконечно, причём они следуют друг за другом (по мереувеличения $R$) через

все убывающие интервалы; последовательность критическихзначений

$R_1, R_2,ldots$ стремится к конечному пределу, закоторым периодичность исчезает

вовсе и в пространстве возникает сложный апериодическийаттрактор, ассоциируемый

в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мыувидим, что этот сценарий

обладает замечательными свойствами универсальности имасштабной инвариантности

({it M. J. Feigenbaum, 1978/})%footnote{$^{1)}$}{Последовательность бифуркаций

%удвоения периода (нумеруемых далее порядковыми номерами$1, 2, ldots $)

%не обязательно должна начинаться с первой же бифуркациипериодического движения.

%Она может, в принципе, начаться и после несколькихпервых бифуркаций с

%возникновением несоизмеримых частот, после ихсинхронизации за счёт рассмотренного

%ранее механизма.}

Излагаемая ниже количественная теория исходит изпредпосылки, что бифуркации

следуют друг за другом (при увеличении $R$) настолькобыстро, что даже в

промежутках между ними занимаемая множеством траекторийобласть пространства

состояний остаётся почти двумерной, и всяпоследовательность бифуркаций может

быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящимот одного параметра.

Выбор рассматриваемого ниже отображения естественен всилу следующих

соображений. В значительной части интервала измененияпеременной $x$

отображение должно быть ``растягивающим'',$|df(x;lambda)/dx|>1;$ это даёт

возможность возникновения неустойчивостей. Отображениедолжно также

возвращать траектории, выходящие за границы некоторогоинтервала, обратно в

него; противное означало бы неограниченное возрастаниеамплитуд пульсаций

скорости, что невозможно. Обоим этим требованиям вместемогут удовлетворять

лишь немонотонные функции $f(x;lambda),$ т.~е. невзамнооднозначные отображения

(1): значение $x_{j+1}$ однозначно определяетсяпредшествующим значением

$x_j,$ но не наоборот. Простейший вид такой функции — функция с одним

максимумом; в окрестности максимума положим

$$

x_{j+1} = f(x_j;lambda) = 1-lambda x_j^2,eqno(5)

$$

где $lambda $ — положительный параметр, который надорассматривать

(в гидродинамическом аспекте) как возрастающую функцию$R$footnote {$^{8)}$}

{Подчеркнём, что допустимость не взаимнооднозначныхотображений связана с

приближённостью одномерного расмотрения. Если бы всетраектории располагались

строго на одной поверхности $Sigma $ (так что отображениеПуанкаре было бы

строго одномерным), подобная неоднозначность была быневозможна: она означала

бы пересечение траекторий (две траектории с различными$x_j$ пересекались бы в

точке $x_{j+1}$). В этом же смысле следствиемприближённости является

возможность обращения в нуль мультипликатора — еслинеподвижная точка

отображения расположена в экстремуме отображающей функции(такая точка

может быть названа ``сверхустойчивой'' — приближение кней происходит по

закону более быстрому, чем указанный выше).}. Примемусловно отрезок

$[-1,+1]$ как интервал изменения величины $x;$ при$lambda $ между 0~и 2

все итерации отображения (5) оставляют $x$ в том жеинтервале.

Преобразование (5) имеет неподвижную точку — кореньуравнения

$x_* = 1-lambda x_*^2$. Эта точка становитсянеустойчивой при

$lambda >Lambda_1,$ где $Lambda_1$ — значениепараметра $lambda ,$

для которого мультипликатор $mu = -2lambda x_* = -1;$из двух написанных

уравнений находим $Lambda_1 =3/4.$ Это — первоекритическое значение

параметра $lambda ,$ определяющее момент первойбифуркации удвоения периода:

появления 2-цикла. Проследим за появлением последующихбифуркаций с помощью

приближённого приёма, позволяющего выяснить некоторыекачественные особенности

процесса, хотя и не дающего точных значений характерныхконстант; затем будут

сформулированы точные утверждения.

Повторив преобразования (5) дважды, получим

$$

x_{j+2} = 1-lambda +2lambda^2 x_j^2-lambda^3x_j^4,eqno(6)

$$

Пренебрежём здесь последним слагаемым — четвёртойстепени по $x_j.$

Оставшееся равенство масштабным преобразованиемfootnote{$^{9)}$}{ Это

преобразование невозможно при значении $lambda =1 $ (прикотором неподвижная точка

отображения (6) совпадает с центральным экстремумом:$x_*=0$). Это значение,

однако, заведомо не является интересующим нас следующимкритическим значением

$Lambda_2.$}

$$

x_jtox_j/alpha_0, quad alpha_0 = 1/(1-lambda)

$$

приводится к виду

$$

x_{j+2}= 1-lambda_1 x_j^2,

$$

отличающемуся от (5) лишь заменой параметра $lambda$ на

$$

lambda_1= phi (lambda)equiv 2lambda^2(lambda-1).eqno(7)

$$

Повторяя эту операцию с масштабнымми множителями

$alpha_1= 1/(1-lambda_1),ldots ,$ получим рядпоследовательных отображений

того же вида:

$$

x_{j+2^m}= 1-lambda_m x_j^2,quad lambda_m =phi(lambda_{m-1}).eqno(8)

$$

Неподвижные точки отображений (8) отвечают$2^m$-цикламfootnote{$^{10)}$}

{Во избежание недоразумений подчеркнём, что послепроизведённых масштабных

преобразований отображения (8) должны быть определенытеперь на растянутых

интерваах $|x|le |alpha_1 alpha_2ldotsalpha_{m-1}|$(а не на $|x|le 1,$

как в (5),(6)). Однако в силу сделанных пренебреженийвыражения (8) могут

фактически описывать лишь область вблизи центральныхэкстремумов отображающих

функций.}. Поскольку все эти отображения имеют тот жевид, что и (5), то

можно сразу заключить, что $2^m$-циклы($m=1,2,3,ldots$)становятся

неустойчивыми при $lambda_m =Lambda_1 =3/4.$Соответствующие же критические

значения $Lambda_m$ исходного параметра $lambda$получаются путём решения

цепочки уравнений

$$

Lambda_1 =phi (Lambda_2),quadLambda_2 =phi(Lambda_3),ldots ,

Lambda_{m-1}=phi (Lambda_m).

$$

%графически они даются построением, показанным на рис.~7.

Очевидно, что при

$mlongrightarrow infty $ последовательность этих чиселсходится к конечному

пределу $Lambda_infty$ — корню уравнения$Lambda_infty =phi (Lambda_infty);$

онравен$Lambda_infty =(1+sqrt3)/2approx 1{,}37.$ К конечному пределу стремятся и

масштабные множители: $alpha_mtoalpha,$

где$alpha =1/(1-Lambda_infty)approx -2{,}8.$

Легко найти закон, по которому происходит приближение$Lambda_m$ к

$Lambda_infty$ при больших $m.$ Из уравнения $Lambda_m=phi (Lambda_{m+1}$

при малых разностях $Lambda_infty -Lambda_m $ находим

$$

Lambda_infty-Lambda_{m+1} ={1overdelta}(Lambda_infty -Lambda_m),eqno(9)

$$

где$delta =phi '(Lambda_infty) =4+sqrt 3 approx 5{,}73.$ Другимисловами,

$Lambda_infty-Lambda_msimdelta^m,$ т.~е. значения$Lambda_m$ приближаются

к пределу по закону геометричекой прогрессии. По такомуже закону меняются

интервалы между последовательными критическими числами:(9) можно переписать в

эквивалентном виде

$$

Lambda_{m+2}-Lambda_{m+1}={1overdelta}(Lambda_{m+1}-Lambda_m).eqno(10)

$$

В гидродинамическом аспекте, как уже указывалось,параметр $lambda $ надо

рассматривать как функцию числа Рейнольдса,соответственно

еще рефераты
Еще работы по физике