Реферат: Оценки спектральных радиусов
--PAGE_BREAK--Пример конуса в множестве <shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image169.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«20» src=«dopb158176.zip» v:shapes="_x0000_i1134"> n-мерных векторов — это множество векторов с неотрицательными координатами, этот конус принято обозначать через <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image173.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«24» src=«dopb158178.zip» v:shapes="_x0000_i1135"> Хотя понятно это не единственный пример конуса в <shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image169.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«20» src=«dopb158176.zip» v:shapes="_x0000_i1136">. Так в случае n = 3 <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image173.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«24» src=«dopb158178.zip» v:shapes="_x0000_i1137"> это множество векторов первого октанта, хотя в <shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image175.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«20» src=«dopb158179.zip» v:shapes="_x0000_i1138"> можно рассматривать и другие примеры конусов, например «круглый» конус (см. рис.1). Каждый конус можно описать аналитически с помощью системы функций и неравенств. Например, конус <shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image173.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«24» src=«dopb158178.zip» v:shapes="_x0000_i1139"> можно описать аналитически с помощью системы линейных неравенств:<shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image177.wmz» o:><img border=«0» width=«136» height=«21» src=«dopb158180.zip» v:shapes="_x0000_i1140">
<line id="_x0000_s1027" from=«118.2pt,1.65pt» to=«118.25pt,88.1pt» o:allowincell=«f»><line id="_x0000_s1026" from=«118.2pt,16.05pt» to=«154.25pt,88.1pt» o:allowincell=«f»><oval id="_x0000_s1028" o:allowincell=«f» filled=«f»><img width=«59» height=«117» src=«dopb158181.zip» v:shapes="_x0000_s1027 _x0000_s1026 _x0000_s1028">
L
<line id="_x0000_s1029" from=«118.2pt,8.2pt» to=«197.45pt,37.05pt» o:allowincell=«f»><img width=«107» height=«40» src=«dopb158182.zip» v:shapes="_x0000_s1029">
K
<line id="_x0000_s1030" from=«118.2pt,3.05pt» to=«204.65pt,3.1pt» o:allowincell=«f»><img width=«117» height=«2» src=«dopb158183.zip» v:shapes="_x0000_s1030"><line id="_x0000_s1031" from=«39pt,3.05pt» to=«118.25pt,53.5pt» o:allowincell=«f»><img width=«108» height=«69» src=«dopb158184.zip» v:shapes="_x0000_s1031"> <shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image183.wmz» o:><img border=«0» width=«19» height=«21» src=«dopb158185.zip» v:shapes="_x0000_i1141">
<shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image185.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«21» src=«dopb158186.zip» v:shapes="_x0000_i1142"> Рис.1
«Круглый» конус, изображенный на рис.1 — это множество векторов, лежащих внутри или на границе конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей — линией L, не проходящей через начало координат. Выбирая разные направляющие, мы будем получать разные примеры конусов. Так, если выбрать в качестве направляющей <shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image187.wmz» o:><img border=«0» width=«19» height=«21» src=«dopb158187.zip» v:shapes="_x0000_i1143"> контур треугольника (рис.2), мы получим трехгранный конус. Аналогично можно рассмотреть четырехгранные, пятигранные и т.д. конусы. «Круглый» конус, изображенный на рис.1, можно рассматривать в этой связи как конус, имеющий бесконечное число граней (каждое из ребер является одномерной гранью).
Особое место среди конусов занимают конусы с минимально возможным числом граней. Заметим, что в случае пространства <shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image189.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«20» src=«dopb158188.zip» v:shapes="_x0000_i1144"> (т.е. плоскости) каждый конус имеет ровно две грани и число 2 — это единственно возможное число граней конуса на плоскости.
<shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image191.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«21» src=«dopb158189.zip» v:shapes="_x0000_i1145">
<line id="_x0000_s1034" from=«82.2pt,7.05pt» to=«82.25pt,86.3pt» o:allowincell=«f»><line id="_x0000_s1033" from=«82.2pt,7.05pt» to=«132.65pt,86.3pt» o:allowincell=«f»><line id="_x0000_s1039" from=«82.2pt,85.65pt» to=«168.65pt,107.3pt» o:allowincell=«f»><line id="_x0000_s1037" from=«82.2pt,49.8pt» to=«154.25pt,100.25pt» o:allowincell=«f»><line id="_x0000_s1036" from=«111pt,49.8pt» to=«147.05pt,85.85pt» o:allowincell=«f»><line id="_x0000_s1035" from=«111pt,49.8pt» to=«111.05pt,78.65pt» o:allowincell=«f»><line id="_x0000_s1038" from=«111pt,85.65pt» to=«147.05pt,92.9pt» o:allowincell=«f»><line id="_x0000_s1032" from=«82.2pt,7.05pt» to=«82.25pt,14.3pt» o:allowincell=«f»><img width=«117» height=«136» src=«dopb158190.zip» v:shapes="_x0000_s1034 _x0000_s1033 _x0000_s1039 _x0000_s1037 _x0000_s1036 _x0000_s1035 _x0000_s1038 _x0000_s1032">
<line id="_x0000_s1040" from=«10.2pt,1.25pt» to=«82.25pt,44.5pt» o:allowincell=«f»><img width=«98» height=«59» src=«dopb158191.zip» v:shapes="_x0000_s1040"><line id="_x0000_s1041" from=«82.2pt,1.25pt» to=«168.65pt,1.3pt» o:allowincell=«f»><img width=«117» height=«2» src=«dopb158192.zip» v:shapes="_x0000_s1041"> <shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image183.wmz» o:><img border=«0» width=«19» height=«21» src=«dopb158185.zip» v:shapes="_x0000_i1146">
<shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image185.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«21» src=«dopb158186.zip» v:shapes="_x0000_i1147"> Рис.2
Поэтому каждый конус на плоскости имеет минимально возможное число граней. В случае пространства <shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image196.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«20» src=«dopb158179.zip» v:shapes="_x0000_i1148"> - минимально возможное число граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно трем. В пространстве<shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image144.wmz» o:><img border=«0» width=«12» height=«21» src=«dopb158164.zip» v:shapes="_x0000_i1149"><shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image197.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«20» src=«dopb158176.zip» v:shapes="_x0000_i1150"> минимально возможное число (n-1)-мерных граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно n.
Тогда миниэдральным конусом будет называться всякий конус, который, во-первых, содержит хотя бы одну внутреннюю точку и, во-вторых, имеет минимально возможное число граней.
Миниэдральные конусы обладают одним важным свойством. Для формулировки этого свойства нам понадобятся некоторые вспомогательные понятия.
Пусть Е — линейное пространство с конусом К и знак «<shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image171.wmz» o:><img border=«0» width=«13» height=«16» src=«dopb158177.zip» v:shapes="_x0000_i1151">» есть отношение предпочтения по конусу К.
Однако, миниэдральные конусы в конечномерных пространствах <shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image198.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«20» src=«dopb158176.zip» v:shapes="_x0000_i1152"> обладают следующимфундаментальным свойством:
если конус К миниэдрален, то каждое ограниченное сверху (соответственно, снизу) множество М элементов имеет точную верхнюю sup М (соответственно, точную нижнюю inf M) грань.
Пример. Рассмотрим в пространстве <shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image198.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«20» src=«dopb158176.zip» v:shapes="_x0000_i1153"> с конусом <shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image199.wmz» o:><img border=«0» width=«47» height=«24» src=«dopb158193.zip» v:shapes="_x0000_i1154"> векторов из <shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image198.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«20» src=«dopb158176.zip» v:shapes="_x0000_i1155"> с неотрицательными координатами множество <shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image201.wmz» o:><img border=«0» width=«24» height=«21» src=«dopb158194.zip» v:shapes="_x0000_i1156"> векторов <shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image203.wmz» o:><img border=«0» width=«13» height=«21» src=«dopb158195.zip» v:shapes="_x0000_i1157">, удовлетворяющих для заданного вектора <shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image205.wmz» o:><img border=«0» width=«104» height=«25» src=«dopb158196.zip» v:shapes="_x0000_i1158">неравенству
<shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image207.wmz» o:><img border=«0» width=«33» height=«25» src=«dopb158197.zip» v:shapes="_x0000_i1159">.
Тогда inf<shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image209.wmz» o:><img border=«0» width=«47» height=«25» src=«dopb158198.zip» v:shapes="_x0000_i1160">, sup<shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image201.wmz» o:><img border=«0» width=«24» height=«21» src=«dopb158194.zip» v:shapes="_x0000_i1161"> не существует.
Аналогично, если <shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image211.wmz» o:><img border=«0» width=«27» height=«21» src=«dopb158199.zip» v:shapes="_x0000_i1162"> — множество векторов <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image203.wmz» o:><img border=«0» width=«13» height=«21» src=«dopb158195.zip» v:shapes="_x0000_i1163"> из<shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image198.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«20» src=«dopb158176.zip» v:shapes="_x0000_i1164">, удовлетворяющих неравенству
<shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image213.wmz» o:><img border=«0» width=«128» height=«25» src=«dopb158200.zip» v:shapes="_x0000_i1165">,
то sup<shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image215.wmz» o:><img border=«0» width=«47» height=«25» src=«dopb158201.zip» v:shapes="_x0000_i1166">, а inf<shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image211.wmz» o:><img border=«0» width=«27» height=«21» src=«dopb158199.zip» v:shapes="_x0000_i1167"> не существует.
§3. Интегральные операторы
Большой интерес представляют линейные интегральные операторы
<shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image217.wmz» o:><img border=«0» width=«172» height=«41» src=«dopb158202.zip» v:shapes="_x0000_i1168">,
действующие в различных пространствах Е функций, определенных на множестве W, которое мы предполагаем ограниченным и замкнутым подмножеством конечномерного пространства Rп[1], [16], [20].
Термин «интегральные уравнения» расплывчат. Обычно под интегральными уравнениями понимают уравнения, в которых неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента встречается под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения, в зависимости от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным образом. Многие линейные интегральные уравнения (в «одномерном» случае) могут быть записаны в виде
<shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image219.wmz» o:><img border=«0» width=«319» height=«47» src=«dopb158203.zip» v:shapes="_x0000_i1169"> (1)
где x: [a, b] → R — искомая функция, α, f: [a, b] → R и K: [a, b]Ч[a, b] → R — заданные функции. Функцию K обычно называют ядром интегрального уравнения.
Уравнение (1), когда K(t, s) = 0 при a ≤ t ≤ s ≤ b, называют уравнением Вольтерры. В противном случае его называют уравнением Фредгольма [2]. Уравнение Вольтерры, очевидно, оно может быть переписано в виде
<shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image221.wmz» o:><img border=«0» width=«319» height=«47» src=«dopb158203.zip» v:shapes="_x0000_i1170">
Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона
<shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image222.wmz» o:><img border=«0» width=«353» height=«47» src=«dopb158204.zip» v:shapes="_x0000_i1171">
и уравнения Гаммерштейна
<shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image224.wmz» o:><img border=«0» width=«341» height=«47» src=«dopb158205.zip» v:shapes="_x0000_i1172">
Уравнения I и II рода
Если α(t) ≠ 0 при всех t <shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image226.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«15» src=«dopb158206.zip» v:shapes="_x0000_i1173">[a, b], то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде
<shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image228.wmz» o:><img border=«0» width=«287» height=«47» src=«dopb158207.zip» v:shapes="_x0000_i1174"> (2)
Уравнения такого вида называют уравнениями II рода, отличая их от уравнений I рода
<shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image230.wmz» o:><img border=«0» width=«240» height=«47» src=«dopb158208.zip» v:shapes="_x0000_i1175"> (3)
Если в некотором пространстве функций на отрезке [a, b] определить интегральный оператор
<shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image232.wmz» o:><img border=«0» width=«253» height=«47» src=«dopb158209.zip» v:shapes="_x0000_i1176">
то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде
x = Ix + f (4)
и
= Ix + f (5)
Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5) корректно, если при любых f оно однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f. Более точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в паре (E1, E2) банаховых пространств функций на отрезке [a, b], если для любой f <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image234.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«15» src=«dopb158206.zip» v:shapes="_x0000_i1177">E2 уравнение имеет единственное решение x<shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image235.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«15» src=«dopb158206.zip» v:shapes="_x0000_i1178">E1 и, кроме того, найдется такая константа C, что ||x||E1 ≤ ||f ||E2.
Разница между уравнениями I и II родов особенно ясно проявляется после записи интегральных уравнений в операторном виде. Суть здесь в следующем. Интегральные операторы в большинстве своем оказываются вполне непрерывными операторами. Для корректной разрешимости уравнения II рода, т. е. уравнения (4) при любой функции f необходимо и достаточно обратимости оператора I – I и ограниченности (I – I)–1, что в случае вполне непрерывного оператора I есть ситуация общего положения. Для разрешимости уравнения I рода необходима обратимость оператора I. В случае же вполне непрерывного оператора I–1 если он существует, необходимо, чтобы он являлся неограниченным [].
Уравнения I рода представляют собой существенно более сложный объект исследования.
§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения
типа свертки
Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом обиходе [2], [29]. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром. К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде
<shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image236.wmz» o:><img border=«0» width=«157» height=«44» src=«dopb158210.zip» v:shapes="_x0000_i1179"> (6)
Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в виде
<shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image238.wmz» o:><img border=«0» width=«165» height=«44» src=«dopb158211.zip» v:shapes="_x0000_i1180"> (5)
где
<shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image240.wmz» o:><img border=«0» width=«131» height=«47» src=«dopb158212.zip» v:shapes="_x0000_i1181">.
Умножение (7) на ηj и интегрирование по t от a до b приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных cj:
<shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image242.wmz» o:><img border=«0» width=«197» height=«44» src=«dopb158213.zip» v:shapes="_x0000_i1182">
в которой
<shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image244.wmz» o:><img border=«0» width=«151» height=«47» src=«dopb158214.zip» v:shapes="_x0000_i1183">,
<shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image246.wmz» o:><img border=«0» width=«135» height=«47» src=«dopb158215.zip» v:shapes="_x0000_i1184">
Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется специальным видом ядра K(t, s) = k(t – s):
<shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image248.wmz» o:><img border=«0» width=«213» height=«25» src=«dopb158216.zip» v:shapes="_x0000_i1185">
Название наследуется от интегрального оператора свертки
<shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image250.wmz» o:><img border=«0» width=«200» height=«25» src=«dopb158217.zip» v:shapes="_x0000_i1186">
играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях.
Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:
<shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image252.wmz» o:><img border=«0» width=«213» height=«51» src=«dopb158218.zip» v:shapes="_x0000_i1187">
Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства <shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image053.wmz» o:><img border=«0» width=«16» height=«17» src=«dopb158122.zip» v:shapes="_x0000_i1188"> множество в компактное множество.
Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора [13]. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image254.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«19» src=«dopb158219.zip» v:shapes="_x0000_i1189">, при которых уравнение
<shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image256.wmz» o:><img border=«0» width=«80» height=«21» src=«dopb158220.zip» v:shapes="_x0000_i1190">,
где <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image258.wmz» o:><img border=«0» width=«16» height=«17» src=«dopb158124.zip» v:shapes="_x0000_i1191"> – рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор <shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image259.wmz» o:><img border=«0» width=«65» height=«25» src=«dopb158221.zip» v:shapes="_x0000_i1192"> ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image261.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«19» src=«dopb158219.zip» v:shapes="_x0000_i1193">, не являющихся регулярными, называется спектром оператора <shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image258.wmz» o:><img border=«0» width=«16» height=«17» src=«dopb158124.zip» v:shapes="_x0000_i1194"> и обозначается <shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image262.wmz» o:><img border=«0» width=«36» height=«23» src=«dopb158222.zip» v:shapes="_x0000_i1195">. Спектральным радиусом <shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image264.wmz» o:><img border=«0» width=«36» height=«23» src=«dopb158223.zip» v:shapes="_x0000_i1196"> оператора называется число, определенное формулой
<shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image266.wmz» o:><img border=«0» width=«88» height=«27» src=«dopb158224.zip» v:shapes="_x0000_i1197">, <shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image268.wmz» o:><img border=«0» width=«71» height=«23» src=«dopb158225.zip» v:shapes="_x0000_i1198">.
Если уравнение
<shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image270.wmz» o:><img border=«0» width=«56» height=«19» src=«dopb158226.zip» v:shapes="_x0000_i1199">
при данном <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image261.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«19» src=«dopb158219.zip» v:shapes="_x0000_i1200"> имеет решение, отличное от тривиального, то <shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image261.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«19» src=«dopb158219.zip» v:shapes="_x0000_i1201"> называется собственным значением оператора <shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image258.wmz» o:><img border=«0» width=«16» height=«17» src=«dopb158124.zip» v:shapes="_x0000_i1202">, а нетривиальное решение уравнения называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению <shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image272.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«19» src=«dopb158219.zip» v:shapes="_x0000_i1203">. При этом собственное значение <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image261.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«19» src=«dopb158219.zip» v:shapes="_x0000_i1204"> называется позитивным, если <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image273.wmz» o:><img border=«0» width=«39» height=«19» src=«dopb158227.zip» v:shapes="_x0000_i1205"> и отвечающий ему собственный вектор <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image061.wmz» o:><img border=«0» width=«13» height=«15» src=«dopb158126.zip» v:shapes="_x0000_i1206"> принадлежит конусу <shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image076.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«17» src=«dopb158123.zip» v:shapes="_x0000_i1207">.
Глава II
Оценки спектральных радиусов интегральных операторов
§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных
операторов
Многочисленные технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию решения типа
lx= Ax+ f.
Известно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.
В терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда).
Приведем соответствующее определение.
Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. Вещественное или комплексное число l называется регулярным значением оператора А, если оператор
(lI— A)
имеет ограниченный обратный, определенный во всем пространстве Е. В противном случае соответствующее число l называется точкой спектра оператора А. Совокупность всех точек спектра оператора А обозначается s(А).
Спектральным радиусом r(А) оператора А называется следующая величина:
<shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image275.wmz» o:><img border=«0» width=«195» height=«28» src=«dopb158228.zip» v:shapes="_x0000_i1208">.
Для ограниченного оператора А спектральный радиус r(А) является ограниченной величиной, более того из принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка
r(А) < ||A||.
Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов является следующий факт:
Пусть конус К – нормальный и воспроизводящий, тогда r(А) является точкой спектра оператора А (теорема Карлина).
Более того, при несущественных дополнительных предположениях r(А) является собственным значением оператора А, которому отвечает собственный вектор x*Î К (теорема Перрона-Фробениуса [2]).
В теории принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида
r(A)<1, (1)
где r(A) — спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s). Естественно иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (1). Для этого получим соответствующие признаки для случаев, когда А:
10) A=(aij) (i,j=1,2,3…); (2)
20) A – интегральный оператор вида
<shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image277.wmz» o:><img border=«0» width=«151» height=«41» src=«dopb158229.zip» v:shapes="_x0000_i1209">, (3)
где W — ограниченное замкнутое множество из евклидова пространства Rm, K(t,s) – измеримая по sÎW почти при всех значениях tÎW функция, для которой при некоторых p>1 и <shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image279.wmz» o:><img border=«0» width=«65» height=«45» src=«dopb158230.zip» v:shapes="_x0000_i1210"> выполняется условие:
<shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image281.wmz» o:><img border=«0» width=«168» height=«63» src=«dopb158231.zip» v:shapes="_x0000_i1211">. (4)
При выполнении условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве Lp(W) и является вполне непрерывным оператором в этом пространстве [ 29].
Введем в рассмотрение следующие функции
<shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image283.wmz» o:><img border=«0» width=«124» height=«41» src=«dopb158232.zip» v:shapes="_x0000_i1212">,<shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image285.wmz» o:><img border=«0» width=«124» height=«41» src=«dopb158233.zip» v:shapes="_x0000_i1213">. (5)
Теорема 1. Пусть для некоторого aÎ[0,1] выполняется следующее неравенство
Pa(t)Q1-a(t)£1 (tÎW) (6)
и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:
10) в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;
20) в неравенстве (6) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества wÎW, mesw>0, оператор А – неразложим в пространстве Lp(W).
Тогда спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве Lp(W) меньше чем единица:
r(A)<1.
Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W).
Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса <shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image287.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1214"> посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида
<shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image289.wmz» o:><img border=«0» width=«81» height=«25» src=«dopb158235.zip» v:shapes="_x0000_i1215"> <imagedata src=«33625.files/image291.wmz» o:><img border=«0» width=«90» height=«28» src=«dopb158236.zip» v:shapes="_x0000_i1216">,
где <shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image293.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«25» src=«dopb158237.zip» v:shapes="_x0000_i1217"> - фиксированный элемент из <shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image295.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158238.zip» v:shapes="_x0000_i1218">, вытекает оценка снизу
<shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image297.wmz» o:><img border=«0» width=«60» height=«26» src=«dopb158239.zip» v:shapes="_x0000_i1219">
для спектрального радиуса <shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image299.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158240.zip» v:shapes="_x0000_i1220"> линейного положительного оператора <shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image301.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1221">, а из неравенства вида
<shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image303.wmz» o:><img border=«0» width=«83» height=«25» src=«dopb158242.zip» v:shapes="_x0000_i1222"> (7)
(при некоторых дополнительных предположениях [29] относительно элемента <shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image305.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158243.zip» v:shapes="_x0000_i1223"> и конуса <shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image307.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1224">, или оператора <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image308.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1225">), вытекает оценка сверху для <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image309.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158240.zip» v:shapes="_x0000_i1226"> вида
<shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image310.wmz» o:><img border=«0» width=«73» height=«24» src=«dopb158244.zip» v:shapes="_x0000_i1227">. (8)
Для этого, например, достаточно, чтобы конус <shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image312.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1228"> был телесным и нормальным, и чтобы <shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image313.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1229"> был внутренним элементом конуса <shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image315.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1230">. Заметим, что без соответствующих дополнительных предположений утверждать о наличии оценки сверху типа (8), очевидно, нельзя. В отличие от оценки <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image316.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158240.zip» v:shapes="_x0000_i1231"> сверху, оценка <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image317.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158240.zip» v:shapes="_x0000_i1232"> снизу верна при единственном предположении о том, что <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image318.wmz» o:><img border=«0» width=«69» height=«25» src=«dopb158246.zip» v:shapes="_x0000_i1233">.
Поставим вопрос существенно шире: что можно сказать о том, что если вместо условия (7) нам известно условие вида
<shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image320.wmz» o:><img border=«0» width=«83» height=«25» src=«dopb158247.zip» v:shapes="_x0000_i1234">, (9)
где <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image322.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1235"> - некоторый линейный оператор, действующий в пространстве <shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image324.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158238.zip» v:shapes="_x0000_i1236">? По аналогии с упомянутой оценкой вида (8) естественно спросить: не следует ли из условия (9) оценка
<shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image325.wmz» o:><img border=«0» width=«97» height=«24» src=«dopb158249.zip» v:shapes="_x0000_i1237">? (10)
При положительном ответе на этот вопрос получаем возможность иметь как следствия, ранее установленные ([11], [18], [26], [29]) результаты по оценке сверху спектральных радиусов линейных положительных операторов по информации о поведении операторов <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image327.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1238"> и <shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image328.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1239"> на фиксированном элементе конуса <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image329.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1240">.
Теорема 2. Пусть конус <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image330.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1241"> - телесен и нормален, <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image331.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1242"> - внутренний элемент конуса <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image332.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1243">. <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image333.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1244"> и <shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image334.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1245"> - линейные положительные операторы, действующие в <shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image335.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158238.zip» v:shapes="_x0000_i1246">, причем они коммутируют, т.е.
<shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image336.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158250.zip» v:shapes="_x0000_i1247">. (11)
Пусть хотя бы на одном фиксированном элементе <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image338.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1248"> конуса <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image339.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1249"> выполняется неравенство
<shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image340.wmz» o:><img border=«0» width=«83» height=«25» src=«dopb158247.zip» v:shapes="_x0000_i1250">,
тогда для спектральных радиусов <shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image341.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158240.zip» v:shapes="_x0000_i1251"> и <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image342.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158251.zip» v:shapes="_x0000_i1252"> операторов <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image344.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1253"> и <shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image345.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1254"> справедливо следующее неравенство:
<shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image346.wmz» o:><img border=«0» width=«97» height=«24» src=«dopb158249.zip» v:shapes="_x0000_i1255"> .
Доказательство.
Перейдем в пространстве <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image347.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158238.zip» v:shapes="_x0000_i1256"> к <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image348.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1257"> — норме [26], [29], которая, во-первых, определена на всем <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image349.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158238.zip» v:shapes="_x0000_i1258">, так как конус <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image350.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1259"> телесен, и, во-вторых, эквивалентна норме в <shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image351.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158238.zip» v:shapes="_x0000_i1260">, т.к. конус <shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image352.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1261"> нормален. Тем самым пространство <shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image353.wmz» o:><img border=«0» width=«61» height=«28» src=«dopb158252.zip» v:shapes="_x0000_i1262"> будет полно по <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image355.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1263">-норме. Прежде всего, установим, что для произвольного линейного положительного оператора <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image356.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158253.zip» v:shapes="_x0000_i1264"> справедливо равенство
<shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image358.wmz» o:><img border=«0» width=«116» height=«32» src=«dopb158254.zip» v:shapes="_x0000_i1265">. (12)
Действительно, из неравенства
<shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image360.wmz» o:><img border=«0» width=«185» height=«32» src=«dopb158255.zip» v:shapes="_x0000_i1266">,
справедливого для любого <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image362.wmz» o:><img border=«0» width=«47» height=«20» src=«dopb158256.zip» v:shapes="_x0000_i1267">, в виду положительности оператора <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image364.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158253.zip» v:shapes="_x0000_i1268"> следует, что
<shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image365.wmz» o:><img border=«0» width=«228» height=«32» src=«dopb158257.zip» v:shapes="_x0000_i1269">,
откуда, учитывая монотонность <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image367.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1270">-нормы, получим
<shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image368.wmz» o:><img border=«0» width=«167» height=«32» src=«dopb158258.zip» v:shapes="_x0000_i1271">,
и, следовательно, по определению нормы оператора
<shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image370.wmz» o:><img border=«0» width=«116» height=«32» src=«dopb158259.zip» v:shapes="_x0000_i1272">. (13)
С другой стороны, из свойств нормы следует, что
<shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image372.wmz» o:><img border=«0» width=«224» height=«32» src=«dopb158260.zip» v:shapes="_x0000_i1273">. (14)
Из (14) и (13) следует равенство (12).
Далее, согласно условию (9), свойству (11) и положительности оператора <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image374.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1274">, имеем
продолжение
--PAGE_BREAK--<shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image375.wmz» o:><img border=«0» width=«471» height=«28» src=«dopb158261.zip» v:shapes="_x0000_i1275">. (15)
По индукции легко доказать, что для любого <shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image377.wmz» o:><img border=«0» width=«44» height=«19» src=«dopb158262.zip» v:shapes="_x0000_i1276"> имеет место неравенство
<shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image379.wmz» o:><img border=«0» width=«128» height=«28» src=«dopb158263.zip» v:shapes="_x0000_i1277">,
и в силу монотонности <shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image381.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1278">-нормы
<shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image382.wmz» o:><img border=«0» width=«145» height=«37» src=«dopb158264.zip» v:shapes="_x0000_i1279">.
Поэтому, согласно (12),
<shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image384.wmz» o:><img border=«0» width=«276» height=«37» src=«dopb158265.zip» v:shapes="_x0000_i1280">. (16)
Т.к. в силу эквивалентности <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image386.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1281">-нормы и нормы пространства <shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image387.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158238.zip» v:shapes="_x0000_i1282"> можно написать, что
<shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image388.wmz» o:><img border=«0» width=«155» height=«41» src=«dopb158266.zip» v:shapes="_x0000_i1283">, <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image390.wmz» o:><img border=«0» width=«155» height=«41» src=«dopb158267.zip» v:shapes="_x0000_i1284">, (17)
то из неравенства (16) и равенств (17) следует утверждение теоремы.
Замечание. Теорема 2 верна также и в том случае, когда операторы <shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image392.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1285"> и <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image393.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1286"> полукоммутируют (т.е. <shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image394.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158268.zip» v:shapes="_x0000_i1287">). В доказательстве выражение (15) перепишется в виде:
<shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image396.wmz» o:><img border=«0» width=«465» height=«28» src=«dopb158269.zip» v:shapes="_x0000_i1288">.
Рассмотрим теперь условия (9) и (10) для строгих неравенств. Т.е. условия, при которых из
<shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image398.wmz» o:><img border=«0» width=«83» height=«25» src=«dopb158247.zip» v:shapes="_x0000_i1289">
следует оценка
<shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image399.wmz» o:><img border=«0» width=«97» height=«24» src=«dopb158270.zip» v:shapes="_x0000_i1290">. (18)
Прежде, чем перейти к рассмотрению строгих оценок (18), приведем несколько важных теорем, представляющих интерес.
Теорема 3.Пусть <shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image401.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1291"> и <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image402.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1292"> - линейные положительные операторы, действующие в пространстве <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image403.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158238.zip» v:shapes="_x0000_i1293">, причем они коммутируют, т.е. <shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image404.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158271.zip» v:shapes="_x0000_i1294">. Пусть оператор <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image406.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1295"> неразложим, тогда операторы <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image407.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1296"> и <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image408.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1297"> имеют общий собственный вектор.
Доказательство.
Пусть <shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image409.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«25» src=«dopb158272.zip» v:shapes="_x0000_i1298"> - собственный вектор оператора <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image411.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«17» src=«dopb158273.zip» v:shapes="_x0000_i1299">, отвечающий спектральному радиусу <shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image413.wmz» o:><img border=«0» width=«43» height=«24» src=«dopb158274.zip» v:shapes="_x0000_i1300">. Т.к. операторы <shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image415.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1301"> и <shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image416.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1302"> коммутируют, то для любого <shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image417.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1303"> имеем:
<shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image418.wmz» o:><img border=«0» width=«104» height=«25» src=«dopb158275.zip» v:shapes="_x0000_i1304">.
Тогда
<shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image420.wmz» o:><img border=«0» width=«293» height=«25» src=«dopb158276.zip» v:shapes="_x0000_i1305">,
следовательно <shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image422.wmz» o:><img border=«0» width=«33» height=«25» src=«dopb158277.zip» v:shapes="_x0000_i1306"> - собственный вектор оператора <shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image424.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1307">, <shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image425.wmz» o:><img border=«0» width=«60» height=«25» src=«dopb158278.zip» v:shapes="_x0000_i1308">. Т.к. <shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image427.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1309"> - неразложим, то согласно теореме о единственности (с точностью до нормы) собственного вектора у неразложимого оператора [29]:
<shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image428.wmz» o:><img border=«0» width=«77» height=«25» src=«dopb158279.zip» v:shapes="_x0000_i1310">,
где <shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image430.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«17» src=«dopb158280.zip» v:shapes="_x0000_i1311">.
Тем самым у оператора <shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image432.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1312"> есть собственный вектор <shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image433.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«25» src=«dopb158281.zip» v:shapes="_x0000_i1313">. Т.е. получаем, что у операторов <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image435.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1314"> и <shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image436.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1315"> есть общий собственный вектор <shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image437.wmz» o:><img border=«0» width=«21» height=«25» src=«dopb158281.zip» v:shapes="_x0000_i1316">.
Теорема доказана.
Важным моментом в доказанной теореме является то, что телесность конуса не предполагается.
Теорема 4. Пусть дана некоторая коммутативная совокупность <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image438.wmz» o:><img border=«0» width=«60» height=«24» src=«dopb158282.zip» v:shapes="_x0000_i1317"> линейных положительных операторов, из которых хотя бы один <shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image440.wmz» o:><img border=«0» width=«55» height=«25» src=«dopb158283.zip» v:shapes="_x0000_i1318"> является неразложимым. Тогда найдется положительный функционал <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image442.wmz» o:><img border=«0» width=«63» height=«28» src=«dopb158284.zip» v:shapes="_x0000_i1319">, такой, что <shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image444.wmz» o:><img border=«0» width=«96» height=«28» src=«dopb158285.zip» v:shapes="_x0000_i1320"> для всех <shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image446.wmz» o:><img border=«0» width=«48» height=«19» src=«dopb158286.zip» v:shapes="_x0000_i1321">, где <shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image448.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158287.zip» v:shapes="_x0000_i1322"> для каждого <shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image450.wmz» o:><img border=«0» width=«47» height=«20» src=«dopb158288.zip» v:shapes="_x0000_i1323">. При этом <shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image452.wmz» o:><img border=«0» width=«124» height=«28» src=«dopb158289.zip» v:shapes="_x0000_i1324">.
Доказательство.
На основании предыдущей теоремы, можем утверждать, что все операторы из <shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image454.wmz» o:><img border=«0» width=«60» height=«24» src=«dopb158282.zip» v:shapes="_x0000_i1325"> имеют общий собственный вектор <shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image455.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«25» src=«dopb158290.zip» v:shapes="_x0000_i1326"> (<shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image457.wmz» o:><img border=«0» width=«91» height=«25» src=«dopb158291.zip» v:shapes="_x0000_i1327">), причем <shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image459.wmz» o:><img border=«0» width=«125» height=«25» src=«dopb158292.zip» v:shapes="_x0000_i1328">.
<shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image461.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«25» src=«dopb158293.zip» v:shapes="_x0000_i1329"> является собственным значением соответствующего оператора <shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image463.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1330"> и собственным значением сопряженного оператора <shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image464.wmz» o:><img border=«0» width=«24» height=«23» src=«dopb158294.zip» v:shapes="_x0000_i1331">, которому отвечают собственный вектор <shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image466.wmz» o:><img border=«0» width=«57» height=«25» src=«dopb158295.zip» v:shapes="_x0000_i1332"> оператора <shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image468.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> и собственный функционал <shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image469.wmz» o:><img border=«0» width=«56» height=«25» src=«dopb158296.zip» v:shapes="_x0000_i1334"> оператора <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image471.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«23» src=«dopb158297.zip» v:shapes="_x0000_i1335">, где <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image473.wmz» o:><img border=«0» width=«25» height=«23» src=«dopb158298.zip» v:shapes="_x0000_i1336"> — сопряженная к <shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image475.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1337"> полугруппа. Из результатов [22], следует, что сопряженные операторы также составляют коммутирующую совокупность линейных положительных операторов <shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image476.wmz» o:><img border=«0» width=«75» height=«27» src=«dopb158299.zip» v:shapes="_x0000_i1338">. Таким образом, получим
<shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image478.wmz» o:><img border=«0» width=«96» height=«28» src=«dopb158285.zip» v:shapes="_x0000_i1339"> и <shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image479.wmz» o:><img border=«0» width=«125» height=«28» src=«dopb158300.zip» v:shapes="_x0000_i1340">.
Теорема доказана.
Приведем достаточно известный [22] результат.
Теорема 5. Если <shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image481.wmz» o:><img border=«0» width=«80» height=«28» src=«dopb158301.zip» v:shapes="_x0000_i1341">, то уравнение
<shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image483.wmz» o:><img border=«0» width=«96» height=«24» src=«dopb158302.zip» v:shapes="_x0000_i1342"> (19)
имеет единственное решение
<shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image485.wmz» o:><img border=«0» width=«131» height=«28» src=«dopb158303.zip» v:shapes="_x0000_i1343">,
которое является пределом последовательных приближений
<shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image487.wmz» o:><img border=«0» width=«123» height=«25» src=«dopb158304.zip» v:shapes="_x0000_i1344"> <shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image489.wmz» o:><img border=«0» width=«99» height=«24» src=«dopb158305.zip» v:shapes="_x0000_i1345"> (20)
при любом <shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image491.wmz» o:><img border=«0» width=«53» height=«25» src=«dopb158306.zip» v:shapes="_x0000_i1346">.
Замечание. Сходимость последовательных приближений (20) равносильна тому, что решение (19) может быть представлено сходящимся по норме рядом Неймана
<shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image493.wmz» o:><img border=«0» width=«95» height=«51» src=«dopb158307.zip» v:shapes="_x0000_i1347">.
Перейдем к рассмотрению строгих оценок.
Теорема 6. Пусть <shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image495.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«16» src=«dopb158308.zip» v:shapes="_x0000_i1348"> и <shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image497.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1349"> - линейные положительные операторы, действующие в пространстве <shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image498.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158238.zip» v:shapes="_x0000_i1350">, причем они коммутируют, т.е. <shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image499.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158271.zip» v:shapes="_x0000_i1351">, и пусть оператор <shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image500.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1352"> - неразложим и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса <shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image501.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1353"> выполнено неравенство
<shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image502.wmz» o:><img border=«0» width=«83» height=«25» src=«dopb158247.zip» v:shapes="_x0000_i1354">, (<shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image503.wmz» o:><img border=«0» width=«84» height=«25» src=«dopb158309.zip» v:shapes="_x0000_i1355">).
Пусть выполнено одно из условий:
1) <shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image505.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1356"> вполне непрерывен, <shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image506.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1357"> - квазивнутренний элемент <shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image507.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1358">;
2) конус <shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image508.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1359"> телесный и нормальный, <shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image509.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1360"> - внутренний элемент <shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image510.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1361">;
3) оператор <shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image511.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1362"> <shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image512.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1363">-ограничен сверху, конус <shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image513.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1364"> воспроизводящий и нормальный;
4) оператор <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image514.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1365"> <shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image515.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1366">-ограничен сверху, конус <shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image516.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1367"> воспроизводящий и нормальный, <shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image517.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1368"> - квазивнутренний элемент <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image518.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1369">;
5) оператор <shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image519.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1370"> допускает представление
<shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image520.wmz» o:><img border=«0» width=«80» height=«20» src=«dopb158310.zip» v:shapes="_x0000_i1371">,
где <shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image522.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1372"> - вполне непрерывен, <shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image523.wmz» o:><img border=«0» width=«56» height=«28» src=«dopb158311.zip» v:shapes="_x0000_i1373">, конус <shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image525.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1374"> воспроизводящий и нормальный, <shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image526.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1375"> - квазивнутренний элемент <shape id="_x0000_i1376" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image527.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1376">; существует такой элемент <shape id="_x0000_i1377" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image528.wmz» o:><img border=«0» width=«19» height=«25» src=«dopb158312.zip» v:shapes="_x0000_i1377"> <shape id="_x0000_i1378" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image530.wmz» o:><img border=«0» width=«80» height=«25» src=«dopb158313.zip» v:shapes="_x0000_i1378">, что <shape id="_x0000_i1379" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image532.wmz» o:><img border=«0» width=«73» height=«25» src=«dopb158314.zip» v:shapes="_x0000_i1379">.
Тогда справедливо строгое неравенство
<shape id="_x0000_i1380" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image534.wmz» o:><img border=«0» width=«97» height=«24» src=«dopb158270.zip» v:shapes="_x0000_i1380">.
Доказательство.
В силу теоремы 5 уравнение
<shape id="_x0000_i1381" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image535.wmz» o:><img border=«0» width=«223» height=«25» src=«dopb158315.zip» v:shapes="_x0000_i1381">
имеет решение
<shape id="_x0000_i1382" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image537.wmz» o:><img border=«0» width=«168» height=«56» src=«dopb158316.zip» v:shapes="_x0000_i1382">.
Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенству
<shape id="_x0000_i1383" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image539.wmz» o:><img border=«0» width=«123» height=«51» src=«dopb158317.zip» v:shapes="_x0000_i1383">. (21)
Т.к. <shape id="_x0000_i1384" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image541.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1384"> - неразложим, то из неравенства (21) следует, что <shape id="_x0000_i1385" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image542.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«16» src=«dopb158318.zip» v:shapes="_x0000_i1385"> — квазивнутренний элемент <shape id="_x0000_i1386" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image544.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1386">. Поэтому при любом ненулевом <shape id="_x0000_i1387" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image545.wmz» o:><img border=«0» width=«49» height=«24» src=«dopb158319.zip» v:shapes="_x0000_i1387"> выполнено неравенство
<shape id="_x0000_i1388" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image547.wmz» o:><img border=«0» width=«232» height=«56» src=«dopb158320.zip» v:shapes="_x0000_i1388">. (22)
В условиях нашей теоремы существует такой ненулевой функционал <shape id="_x0000_i1389" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image549.wmz» o:><img border=«0» width=«57» height=«28» src=«dopb158321.zip» v:shapes="_x0000_i1389">, что <shape id="_x0000_i1390" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image551.wmz» o:><img border=«0» width=«107» height=«28» src=«dopb158322.zip» v:shapes="_x0000_i1390">. На основании теоремы 3 найдется такой собственный элемент <shape id="_x0000_i1391" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image553.wmz» o:><img border=«0» width=«16» height=«25» src=«dopb158323.zip» v:shapes="_x0000_i1391"> оператора <shape id="_x0000_i1392" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image555.wmz» o:><img border=«0» width=«24» height=«23» src=«dopb158294.zip» v:shapes="_x0000_i1392">, отвечающий собственному значению <shape id="_x0000_i1393" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image556.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«24» src=«dopb158324.zip» v:shapes="_x0000_i1393">, который будет также собственным элементом оператора <shape id="_x0000_i1394" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image558.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«23» src=«dopb158325.zip» v:shapes="_x0000_i1394">, отвечающим некоторому собственному значению <shape id="_x0000_i1395" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image560.wmz» o:><img border=«0» width=«16» height=«20» src=«dopb158326.zip» v:shapes="_x0000_i1395"> оператора <shape id="_x0000_i1396" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image562.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«23» src=«dopb158325.zip» v:shapes="_x0000_i1396">. Тогда
<shape id="_x0000_i1397" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image563.wmz» o:><img border=«0» width=«484» height=«28» src=«dopb158327.zip» v:shapes="_x0000_i1397">,
и из (22) вытекает
<shape id="_x0000_i1398" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image565.wmz» o:><img border=«0» width=«281» height=«25» src=«dopb158328.zip» v:shapes="_x0000_i1398">.
Откуда
<shape id="_x0000_i1399" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image567.wmz» o:><img border=«0» width=«73» height=«24» src=«dopb158329.zip» v:shapes="_x0000_i1399">.
Следовательно, <shape id="_x0000_i1400" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image569.wmz» o:><img border=«0» width=«101» height=«24» src=«dopb158330.zip» v:shapes="_x0000_i1400">.
Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 6 верна также и в том случае, когда операторы <shape id="_x0000_i1401" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image571.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1401"> и <shape id="_x0000_i1402" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image572.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1402"> полукоммутируют, т.к. если операторы <shape id="_x0000_i1403" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image573.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1403"> и <shape id="_x0000_i1404" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image574.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1404"> полукоммутируют, и оператор <shape id="_x0000_i1405" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image575.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1405"> неразложим, то имеет место равенство:
<shape id="_x0000_i1406" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image576.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158271.zip» v:shapes="_x0000_i1406">,
т. е. операторы <shape id="_x0000_i1407" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image577.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1407"> и <shape id="_x0000_i1408" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image578.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1408"> коммутируют.
Замечание2. Используя равенство
<shape id="_x0000_i1409" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image579.wmz» o:><img border=«0» width=«128» height=«28» src=«dopb158331.zip» v:shapes="_x0000_i1409">
можно расширить возможности получения оценок спектрального радиуса: если некоторая степень <shape id="_x0000_i1410" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image581.wmz» o:><img border=«0» width=«24» height=«23» src=«dopb158332.zip» v:shapes="_x0000_i1410"> удовлетворяет условиям теоремы 5, то из неравенства
<shape id="_x0000_i1411" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image583.wmz» o:><img border=«0» width=«89» height=«28» src=«dopb158333.zip» v:shapes="_x0000_i1411">
вытекает оценка
<shape id="_x0000_i1412" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image585.wmz» o:><img border=«0» width=«115» height=«31» src=«dopb158334.zip» v:shapes="_x0000_i1412">.
Пример. Рассмотрим матрицу <shape id="_x0000_i1413" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image587.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1413"> и вектор <shape id="_x0000_i1414" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image588.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1414"> пространства <shape id="_x0000_i1415" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image589.wmz» o:><img border=«0» width=«24» height=«23» src=«dopb158335.zip» v:shapes="_x0000_i1415">, а также матрицу <shape id="_x0000_i1416" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image591.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1416">, коммутирующую с матрицей <shape id="_x0000_i1417" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image592.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1417">:
<shape id="_x0000_i1418" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image593.wmz» o:><img border=«0» width=«127» height=«55» src=«dopb158336.zip» v:shapes="_x0000_i1418">; <shape id="_x0000_i1419" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image595.wmz» o:><img border=«0» width=«65» height=«55» src=«dopb158337.zip» v:shapes="_x0000_i1419">; <shape id="_x0000_i1420" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image597.wmz» o:><img border=«0» width=«127» height=«55» src=«dopb158338.zip» v:shapes="_x0000_i1420">, <shape id="_x0000_i1421" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image599.wmz» o:><img border=«0» width=«103» height=«24» src=«dopb158339.zip» v:shapes="_x0000_i1421">. Имеем <shape id="_x0000_i1422" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image601.wmz» o:><img border=«0» width=«95» height=«55» src=«dopb158340.zip» v:shapes="_x0000_i1422">, <shape id="_x0000_i1423" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image603.wmz» o:><img border=«0» width=«95» height=«55» src=«dopb158341.zip» v:shapes="_x0000_i1423">, т.е. <shape id="_x0000_i1424" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image605.wmz» o:><img border=«0» width=«83» height=«25» src=«dopb158247.zip» v:shapes="_x0000_i1424">. Таким образом, выполнены все условия теоремы 6, следовательно <shape id="_x0000_i1425" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image606.wmz» o:><img border=«0» width=«103» height=«24» src=«dopb158342.zip» v:shapes="_x0000_i1425">.
В то время как точное значение спектрального радиуса: <shape id="_x0000_i1426" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image608.wmz» o:><img border=«0» width=«103» height=«24» src=«dopb158343.zip» v:shapes="_x0000_i1426">.
Заметим, что использование коммутирующего оператора <shape id="_x0000_i1427" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image610.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1427"> способствовало уточнению оценки <shape id="_x0000_i1428" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image611.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158240.zip» v:shapes="_x0000_i1428">. Действительно, если в примере воспользоваться неравенством (7), то <shape id="_x0000_i1429" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image612.wmz» o:><img border=«0» width=«159» height=«55» src=«dopb158344.zip» v:shapes="_x0000_i1429">, и тогда, учитывая (8), получим <shape id="_x0000_i1430" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image614.wmz» o:><img border=«0» width=«81» height=«24» src=«dopb158345.zip» v:shapes="_x0000_i1430">, а эта оценка намного хуже оценки <shape id="_x0000_i1431" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image616.wmz» o:><img border=«0» width=«103» height=«24» src=«dopb158342.zip» v:shapes="_x0000_i1431">.
§ 2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора
Существует большое количество результатов по оценке спектрального радиуса матричного оператора. Обзор результатов приведен, например, в работе [26]. Стеценко В.Я. в [29] развил некоторые из оценок на интегральные операторы. Следующая теорема является развитием второго метода Островского для интегральных операторов [26].
Теорема 1 . Пусть <shape id="_x0000_i1432" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image617.wmz» o:><img border=«0» width=«51» height=«28» src=«dopb158346.zip» v:shapes="_x0000_i1432"> — матричное ядро. <shape id="_x0000_i1433" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image619.wmz» o:><img border=«0» width=«213» height=«31» src=«dopb158347.zip» v:shapes="_x0000_i1433">. Функции <shape id="_x0000_i1434" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image621.wmz» o:><img border=«0» width=«60» height=«28» src=«dopb158348.zip» v:shapes="_x0000_i1434">, заданны в квадрате <shape id="_x0000_i1435" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image623.wmz» o:><img border=«0» width=«79» height=«24» src=«dopb158349.zip» v:shapes="_x0000_i1435">, за исключением прямой t=s, <shape id="_x0000_i1436" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image625.wmz» o:><img border=«0» width=«207» height=«29» src=«dopb158350.zip» v:shapes="_x0000_i1436">, <shape id="_x0000_i1437" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image627.wmz» o:><img border=«0» width=«64» height=«24» src=«dopb158351.zip» v:shapes="_x0000_i1437">. Пусть r=<shape id="_x0000_i1438" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image629.wmz» o:><img border=«0» width=«39» height=«28» src=«dopb158352.zip» v:shapes="_x0000_i1438">-спектральный радиус матричного интегрального оператора <shape id="_x0000_i1439" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image631.wmz» o:><img border=«0» width=«165» height=«47» src=«dopb158353.zip» v:shapes="_x0000_i1439">.Тогда
<shape id="_x0000_i1440" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image633.wmz» o:><img border=«0» width=«157» height=«81» src=«dopb158354.zip» v:shapes="_x0000_i1440">, где p>0, q>0, 1/p+ 1/q=1,
где
<shape id="_x0000_i1441" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image635.wmz» o:><img border=«0» width=«173» height=«65» src=«dopb158355.zip» v:shapes="_x0000_i1441">. (1)
Доказательство.
Рассмотрим систему
<shape id="_x0000_i1442" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image637.wmz» o:><img border=«0» width=«189» height=«52» src=«dopb158356.zip» v:shapes="_x0000_i1442">. (2)
Так как <shape id="_x0000_i1443" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image629.wmz» o:><img border=«0» width=«39» height=«28» src=«dopb158352.zip» v:shapes="_x0000_i1443"> — спектральный радиус оператора А, то система линейных однородных уравнений относительно неизвестных <shape id="_x0000_i1444" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image639.wmz» o:><img border=«0» width=«31» height=«21» src=«dopb158357.zip» v:shapes="_x0000_i1444"> имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы
<shape id="_x0000_i1445" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image641.wmz» o:><img border=«0» width=«105» height=«49» src=«dopb158358.zip» v:shapes="_x0000_i1445"> (3)
Представим <shape id="_x0000_i1446" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image643.wmz» o:><img border=«0» width=«161» height=«52» src=«dopb158359.zip» v:shapes="_x0000_i1446"> (4)
Вычтем почленно из (2) тождество (4):
<shape id="_x0000_i1447" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image645.wmz» o:><img border=«0» width=«13» height=«25» src=«dopb158360.zip» v:shapes="_x0000_i1447"> <shape id="_x0000_i1448" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image647.wmz» o:><img border=«0» width=«303» height=«52» src=«dopb158361.zip» v:shapes="_x0000_i1448">.
Так как <shape id="_x0000_i1449" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image649.wmz» o:><img border=«0» width=«39» height=«17» src=«dopb158362.zip» v:shapes="_x0000_i1449">, то <shape id="_x0000_i1450" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image651.wmz» o:><img border=«0» width=«87» height=«24» src=«dopb158363.zip» v:shapes="_x0000_i1450">, таким образом:
<shape id="_x0000_i1451" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image653.wmz» o:><img border=«0» width=«217» height=«47» src=«dopb158364.zip» v:shapes="_x0000_i1451">
Применяя неравенство Гельдера для интегралов, и учитывая, что <shape id="_x0000_i1452" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image651.wmz» o:><img border=«0» width=«87» height=«24» src=«dopb158363.zip» v:shapes="_x0000_i1452">,
получим:
<shape id="_x0000_i1453" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image655.wmz» o:><img border=«0» width=«344» height=«61» src=«dopb158365.zip» v:shapes="_x0000_i1453"> =<shape id="_x0000_i1454" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image657.wmz» o:><img border=«0» width=«347» height=«67» src=«dopb158366.zip» v:shapes="_x0000_i1454">
=<shape id="_x0000_i1455" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image659.wmz» o:><img border=«0» width=«396» height=«67» src=«dopb158367.zip» v:shapes="_x0000_i1455">
согласно (4)
=<shape id="_x0000_i1456" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image661.wmz» o:><img border=«0» width=«320» height=«67» src=«dopb158368.zip» v:shapes="_x0000_i1456">
учитывая (1) и (3)
<shape id="_x0000_i1457" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image663.wmz» o:><img border=«0» width=«140» height=«36» src=«dopb158369.zip» v:shapes="_x0000_i1457">.
Возведем обе части в степень q.
<shape id="_x0000_i1458" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image665.wmz» o:><img border=«0» width=«228» height=«32» src=«dopb158370.zip» v:shapes="_x0000_i1458">, тогда <shape id="_x0000_i1459" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image667.wmz» o:><img border=«0» width=«237» height=«32» src=«dopb158371.zip» v:shapes="_x0000_i1459">
<shape id="_x0000_i1460" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image669.wmz» o:><img border=«0» width=«171» height=«59» src=«dopb158372.zip» v:shapes="_x0000_i1460">
Проинтегрируем по t
<shape id="_x0000_i1461" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image671.wmz» o:><img border=«0» width=«221» height=«59» src=«dopb158373.zip» v:shapes="_x0000_i1461"> ,
учитывая (3) получим:
<shape id="_x0000_i1462" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image673.wmz» o:><img border=«0» width=«157» height=«59» src=«dopb158374.zip» v:shapes="_x0000_i1462"> или <shape id="_x0000_i1463" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image633.wmz» o:><img border=«0» width=«157» height=«81» src=«dopb158354.zip» v:shapes="_x0000_i1463">
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему, которая является неравенством Фарнелла для интегральных операторов.
Теорема 2.Пусть <shape id="_x0000_i1464" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image617.wmz» o:><img border=«0» width=«51» height=«28» src=«dopb158346.zip» v:shapes="_x0000_i1464">-непрерывное матричное ядро <shape id="_x0000_i1465" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image675.wmz» o:><img border=«0» width=«221» height=«32» src=«dopb158375.zip» v:shapes="_x0000_i1465">. Тогда функции <shape id="_x0000_i1466" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image677.wmz» o:><img border=«0» width=«61» height=«29» src=«dopb158376.zip» v:shapes="_x0000_i1466">, заданные для <shape id="_x0000_i1467" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image679.wmz» o:><img border=«0» width=«80» height=«23» src=«dopb158377.zip» v:shapes="_x0000_i1467">, порождают действующий и вполне непрерывный оператор в пространстве<shape id="_x0000_i1468" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image681.wmz» o:><img border=«0» width=«55» height=«23» src=«dopb158378.zip» v:shapes="_x0000_i1468">
<shape id="_x0000_i1469" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image683.wmz» o:><img border=«0» width=«195» height=«25» src=«dopb158379.zip» v:shapes="_x0000_i1469">.
Пусть <shape id="_x0000_i1470" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image629.wmz» o:><img border=«0» width=«39» height=«28» src=«dopb158352.zip» v:shapes="_x0000_i1470">-спектральный радиус матричного интегрального оператора <shape id="_x0000_i1471" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image685.wmz» o:><img border=«0» width=«167» height=«52» src=«dopb158380.zip» v:shapes="_x0000_i1471"> в пространстве<shape id="_x0000_i1472" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image681.wmz» o:><img border=«0» width=«55» height=«23» src=«dopb158378.zip» v:shapes="_x0000_i1472">,
<shape id="_x0000_i1473" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image687.wmz» o:><img border=«0» width=«151» height=«52» src=«dopb158381.zip» v:shapes="_x0000_i1473">, <shape id="_x0000_i1474" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image689.wmz» o:><img border=«0» width=«148» height=«52» src=«dopb158382.zip» v:shapes="_x0000_i1474">,
докажем, что
<shape id="_x0000_i1475" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image691.wmz» o:><img border=«0» width=«203» height=«71» src=«dopb158383.zip» v:shapes="_x0000_i1475">.
Для доказательства теоремы рассмотрим систему
<shape id="_x0000_i1476" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image693.wmz» o:><img border=«0» width=«188» height=«52» src=«dopb158384.zip» v:shapes="_x0000_i1476">. (5)
Эта система имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы
<shape id="_x0000_i1477" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image695.wmz» o:><img border=«0» width=«101» height=«52» src=«dopb158385.zip» v:shapes="_x0000_i1477"> (6)
Умножим обе части уравнения (5) на <shape id="_x0000_i1478" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image697.wmz» o:><img border=«0» width=«37» height=«28» src=«dopb158386.zip» v:shapes="_x0000_i1478">. Получим
<shape id="_x0000_i1479" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image645.wmz» o:><img border=«0» width=«13» height=«25» src=«dopb158360.zip» v:shapes="_x0000_i1479"> <shape id="_x0000_i1480" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image699.wmz» o:><img border=«0» width=«231» height=«52» src=«dopb158387.zip» v:shapes="_x0000_i1480">. (7)
С учетом (5) <shape id="_x0000_i1481" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image701.wmz» o:><img border=«0» width=«195» height=«52» src=«dopb158388.zip» v:shapes="_x0000_i1481"> ,
тогда (7) запишется следующим образом:
<shape id="_x0000_i1482" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image703.wmz» o:><img border=«0» width=«292» height=«55» src=«dopb158389.zip» v:shapes="_x0000_i1482"> (8)
Умножим обе части выражения (8) на <shape id="_x0000_i1483" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image705.wmz» o:><img border=«0» width=«35» height=«28» src=«dopb158390.zip» v:shapes="_x0000_i1483">, получим
<shape id="_x0000_i1484" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image707.wmz» o:><img border=«0» width=«329» height=«55» src=«dopb158391.zip» v:shapes="_x0000_i1484">. (9)
Проинтегрируем обе части выражения (9) по <shape id="_x0000_i1485" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image709.wmz» o:><img border=«0» width=«12» height=«16» src=«dopb158392.zip» v:shapes="_x0000_i1485">
<shape id="_x0000_i1486" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image711.wmz» o:><img border=«0» width=«381» height=«55» src=«dopb158393.zip» v:shapes="_x0000_i1486">.
Тогда
<shape id="_x0000_i1487" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image713.wmz» o:><img border=«0» width=«420» height=«49» src=«dopb158394.zip» v:shapes="_x0000_i1487">
Учитывая (6), получим
<shape id="_x0000_i1488" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image715.wmz» o:><img border=«0» width=«351» height=«49» src=«dopb158395.zip» v:shapes="_x0000_i1488">
Из неравенства Гельдера <shape id="_x0000_i1489" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image717.wmz» o:><img border=«0» width=«296» height=«73» src=«dopb158396.zip» v:shapes="_x0000_i1489"> для <shape id="_x0000_i1490" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image719.wmz» o:><img border=«0» width=«45» height=«21» src=«dopb158397.zip» v:shapes="_x0000_i1490">
получим
<shape id="_x0000_i1491" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image721.wmz» o:><img border=«0» width=«377» height=«52» src=«dopb158398.zip» v:shapes="_x0000_i1491">
<shape id="_x0000_i1492" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image723.wmz» o:><img border=«0» width=«523» height=«73» src=«dopb158399.zip» v:shapes="_x0000_i1492">
<shape id="_x0000_i1493" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image725.wmz» o:><img border=«0» width=«135» height=«55» src=«dopb158400.zip» v:shapes="_x0000_i1493">.
Следовательно,
<shape id="_x0000_i1494" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image727.wmz» o:><img border=«0» width=«200» height=«71» src=«dopb158401.zip» v:shapes="_x0000_i1494">.
Теорема доказана.
Получена еще одна оценка сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.
§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного
положительного оператора
В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента <shape id="_x0000_i1495" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image729.wmz» o:><img border=«0» width=«43» height=«28» src=«dopb158402.zip» v:shapes="_x0000_i1495"> со значением комбинации элементов <shape id="_x0000_i1496" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image731.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«44» src=«dopb158403.zip» v:shapes="_x0000_i1496">, где <shape id="_x0000_i1497" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image733.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1497"> - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок <shape id="_x0000_i1498" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image734.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158240.zip» v:shapes="_x0000_i1498"> достаточно знать оценку <shape id="_x0000_i1499" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image735.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158251.zip» v:shapes="_x0000_i1499">, а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ [11], [18], [26], [29].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть <shape id="_x0000_i1500" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image736.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1500"> воспроизводящий и нормальный конус, <shape id="_x0000_i1501" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image737.wmz» o:><img border=«0» width=«22» height=«18» src=«dopb158404.zip» v:shapes="_x0000_i1501"> и <shape id="_x0000_i1502" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image739.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1502"> — линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. <shape id="_x0000_i1503" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image740.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158271.zip» v:shapes="_x0000_i1503">. Пусть <shape id="_x0000_i1504" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image741.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1504"> - неразложим. Если для некоторого <shape id="_x0000_i1505" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image742.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158243.zip» v:shapes="_x0000_i1505"> и <shape id="_x0000_i1506" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image743.wmz» o:><img border=«0» width=«42» height=«21» src=«dopb158405.zip» v:shapes="_x0000_i1506"> выполняется неравенство
<shape id="_x0000_i1507" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image745.wmz» o:><img border=«0» width=«140» height=«25» src=«dopb158406.zip» v:shapes="_x0000_i1507">, (1)
то
<shape id="_x0000_i1508" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image747.wmz» o:><img border=«0» width=«140» height=«25» src=«dopb158407.zip» v:shapes="_x0000_i1508">.
Если для <shape id="_x0000_i1509" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image749.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158251.zip» v:shapes="_x0000_i1509"> верна оценка <shape id="_x0000_i1510" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image750.wmz» o:><img border=«0» width=«71» height=«24» src=«dopb158408.zip» v:shapes="_x0000_i1510">, тогда
<shape id="_x0000_i1511" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image752.wmz» o:><img border=«0» width=«115» height=«24» src=«dopb158409.zip» v:shapes="_x0000_i1511">. (2)
Доказательство.
Существует такой функционал <shape id="_x0000_i1512" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image754.wmz» o:><img border=«0» width=«12» height=«20» src=«dopb158410.zip» v:shapes="_x0000_i1512">, что
<shape id="_x0000_i1513" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image756.wmz» o:><img border=«0» width=«92» height=«27» src=«dopb158411.zip» v:shapes="_x0000_i1513"> и <shape id="_x0000_i1514" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image758.wmz» o:><img border=«0» width=«75» height=«28» src=«dopb158412.zip» v:shapes="_x0000_i1514">,
где <shape id="_x0000_i1515" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image760.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«25» src=«dopb158413.zip» v:shapes="_x0000_i1515"> — собственное значение оператора <shape id="_x0000_i1516" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image762.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«23» src=«dopb158325.zip» v:shapes="_x0000_i1516">, соответствующее функционалу <shape id="_x0000_i1517" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image763.wmz» o:><img border=«0» width=«11» height=«20» src=«dopb158414.zip» v:shapes="_x0000_i1517">. Применим функционал <shape id="_x0000_i1518" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image765.wmz» o:><img border=«0» width=«11» height=«20» src=«dopb158414.zip» v:shapes="_x0000_i1518"> к (1):
<shape id="_x0000_i1519" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image766.wmz» o:><img border=«0» width=«180» height=«25» src=«dopb158415.zip» v:shapes="_x0000_i1519">,
<shape id="_x0000_i1520" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image768.wmz» o:><img border=«0» width=«208» height=«28» src=«dopb158416.zip» v:shapes="_x0000_i1520">,
<shape id="_x0000_i1521" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image770.wmz» o:><img border=«0» width=«224» height=«25» src=«dopb158417.zip» v:shapes="_x0000_i1521">.
Т.к. оператор <shape id="_x0000_i1522" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image772.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1522"> — неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса <shape id="_x0000_i1523" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image773.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1523"> [29]. Поэтому
<shape id="_x0000_i1524" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image774.wmz» o:><img border=«0» width=«120» height=«25» src=«dopb158418.zip» v:shapes="_x0000_i1524">.
Заменив <shape id="_x0000_i1525" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image776.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«25» src=«dopb158413.zip» v:shapes="_x0000_i1525"> на <shape id="_x0000_i1526" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image777.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158251.zip» v:shapes="_x0000_i1526">, мы только усилим неравенство (т.к. <shape id="_x0000_i1527" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image778.wmz» o:><img border=«0» width=«89» height=«25» src=«dopb158419.zip» v:shapes="_x0000_i1527">):
<shape id="_x0000_i1528" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image780.wmz» o:><img border=«0» width=«140» height=«25» src=«dopb158407.zip» v:shapes="_x0000_i1528">.
Первое утверждение теоремы доказано. Из последнего неравенства очевидным образом следует неравенство (2). Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим матрицу <shape id="_x0000_i1529" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image781.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1529"> и вектор <shape id="_x0000_i1530" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image782.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158245.zip» v:shapes="_x0000_i1530"> пространства <shape id="_x0000_i1531" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image783.wmz» o:><img border=«0» width=«24» height=«23» src=«dopb158335.zip» v:shapes="_x0000_i1531">, а также матрицу <shape id="_x0000_i1532" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image784.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1532">, коммутирующую с матрицей <shape id="_x0000_i1533" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image785.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1533">:
<shape id="_x0000_i1534" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image786.wmz» o:><img border=«0» width=«115» height=«55» src=«dopb158420.zip» v:shapes="_x0000_i1534">; <shape id="_x0000_i1535" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image788.wmz» o:><img border=«0» width=«65» height=«55» src=«dopb158337.zip» v:shapes="_x0000_i1535">; <shape id="_x0000_i1536" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image789.wmz» o:><img border=«0» width=«103» height=«55» src=«dopb158421.zip» v:shapes="_x0000_i1536">; <shape id="_x0000_i1537" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image791.wmz» o:><img border=«0» width=«93» height=«55» src=«dopb158422.zip» v:shapes="_x0000_i1537">,
поэтому <shape id="_x0000_i1538" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image793.wmz» o:><img border=«0» width=«149» height=«25» src=«dopb158423.zip» v:shapes="_x0000_i1538">, и <shape id="_x0000_i1539" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image795.wmz» o:><img border=«0» width=«65» height=«23» src=«dopb158424.zip» v:shapes="_x0000_i1539">. Все условия теоремы 1 выполнены, следовательно <shape id="_x0000_i1540" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image797.wmz» o:><img border=«0» width=«145» height=«24» src=«dopb158425.zip» v:shapes="_x0000_i1540">, т.к. <shape id="_x0000_i1541" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image799.wmz» o:><img border=«0» width=«112» height=«24» src=«dopb158426.zip» v:shapes="_x0000_i1541">, то имеем <shape id="_x0000_i1542" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image801.wmz» o:><img border=«0» width=«112» height=«24» src=«dopb158427.zip» v:shapes="_x0000_i1542">. В то время как <shape id="_x0000_i1543" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image803.wmz» o:><img border=«0» width=«112» height=«24» src=«dopb158428.zip» v:shapes="_x0000_i1543">.
При <shape id="_x0000_i1544" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image805.wmz» o:><img border=«0» width=«33» height=«18» src=«dopb158429.zip» v:shapes="_x0000_i1544"> получим известную теорему Стеценко В.Я. [20]:
Пусть оператор <shape id="_x0000_i1545" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image807.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1545"> неразложим и <shape id="_x0000_i1546" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image808.wmz» o:><img border=«0» width=«48» height=«20» src=«dopb158430.zip» v:shapes="_x0000_i1546">, K — телесный и нормальный конус, и для некоторого элемента <shape id="_x0000_i1547" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image810.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158243.zip» v:shapes="_x0000_i1547"> выполняется неравенство <shape id="_x0000_i1548" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image811.wmz» o:><img border=«0» width=«89» height=«25» src=«dopb158431.zip» v:shapes="_x0000_i1548">, тогда справедливо неравенство <shape id="_x0000_i1549" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image813.wmz» o:><img border=«0» width=«79» height=«25» src=«dopb158432.zip» v:shapes="_x0000_i1549">.
Эта теорема является частным случаем теоремы 1.
Кроме того, заметим, что использование коммутирующего с оператором <shape id="_x0000_i1550" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image815.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1550"> оператора <shape id="_x0000_i1551" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image816.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1551"> способствовало уточнению оценки <shape id="_x0000_i1552" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image817.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158240.zip» v:shapes="_x0000_i1552">. Действительно, если в примере 1 предположить <shape id="_x0000_i1553" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image818.wmz» o:><img border=«0» width=«48» height=«20» src=«dopb158433.zip» v:shapes="_x0000_i1553">, то <shape id="_x0000_i1554" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image820.wmz» o:><img border=«0» width=«157» height=«55» src=«dopb158434.zip» v:shapes="_x0000_i1554">, и тогда <shape id="_x0000_i1555" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image822.wmz» o:><img border=«0» width=«80» height=«24» src=«dopb158435.zip» v:shapes="_x0000_i1555">, а эта оценка намного хуже оценки <shape id="_x0000_i1556" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image824.wmz» o:><img border=«0» width=«112» height=«24» src=«dopb158427.zip» v:shapes="_x0000_i1556">.
Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Пусть <shape id="_x0000_i1557" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image825.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«17» src=«dopb158123.zip» v:shapes="_x0000_i1557"> - воспроизводящий и нормальный конус, <shape id="_x0000_i1558" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image826.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1558"> и <shape id="_x0000_i1559" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image827.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1559"> - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. <shape id="_x0000_i1560" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image828.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158271.zip» v:shapes="_x0000_i1560">. Пусть <shape id="_x0000_i1561" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image829.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1561"> - неразложим, и для некоторого <shape id="_x0000_i1562" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image830.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158243.zip» v:shapes="_x0000_i1562"> выполняется неравенство
<shape id="_x0000_i1563" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image831.wmz» o:><img border=«0» width=«265» height=«28» src=«dopb158436.zip» v:shapes="_x0000_i1563">,
где <shape id="_x0000_i1564" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image833.wmz» o:><img border=«0» width=«51» height=«25» src=«dopb158437.zip» v:shapes="_x0000_i1564">, <shape id="_x0000_i1565" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image835.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«28» src=«dopb158438.zip» v:shapes="_x0000_i1565">. Тогда
<shape id="_x0000_i1566" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image837.wmz» o:><img border=«0» width=«277» height=«32» src=«dopb158439.zip» v:shapes="_x0000_i1566">.
Если для <shape id="_x0000_i1567" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image839.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158251.zip» v:shapes="_x0000_i1567"> верна оценка <shape id="_x0000_i1568" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image840.wmz» o:><img border=«0» width=«71» height=«24» src=«dopb158408.zip» v:shapes="_x0000_i1568">, тогда
<shape id="_x0000_i1569" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image841.wmz» o:><img border=«0» width=«225» height=«32» src=«dopb158440.zip» v:shapes="_x0000_i1569">.
Теорема 3. Пусть <shape id="_x0000_i1570" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image843.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1570"> воспроизводящий и нормальный конус, <shape id="_x0000_i1571" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image844.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1571"> и <shape id="_x0000_i1572" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image845.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1572"> линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. <shape id="_x0000_i1573" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image846.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158271.zip» v:shapes="_x0000_i1573">. Пусть <shape id="_x0000_i1574" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image847.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1574"> - неразложим. Пусть для некоторого <shape id="_x0000_i1575" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image848.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158243.zip» v:shapes="_x0000_i1575"> выполняется неравенство
<shape id="_x0000_i1576" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image849.wmz» o:><img border=«0» width=«265» height=«28» src=«dopb158441.zip» v:shapes="_x0000_i1576">, (3)
где <shape id="_x0000_i1577" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image851.wmz» o:><img border=«0» width=«49» height=«25» src=«dopb158442.zip» v:shapes="_x0000_i1577">, <shape id="_x0000_i1578" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image853.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«28» src=«dopb158438.zip» v:shapes="_x0000_i1578">. Тогда верна оценка:
<shape id="_x0000_i1579" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image854.wmz» o:><img border=«0» width=«237» height=«33» src=«dopb158443.zip» v:shapes="_x0000_i1579">,
где <shape id="_x0000_i1580" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image856.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158444.zip» v:shapes="_x0000_i1580"> - наименьшее позитивное собственное значение оператора <shape id="_x0000_i1581" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image858.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1581">.
Доказательство.
Применим к (3) функционал <shape id="_x0000_i1582" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image859.wmz» o:><img border=«0» width=«11» height=«20» src=«dopb158414.zip» v:shapes="_x0000_i1582"> из теоремы 1:
<shape id="_x0000_i1583" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image860.wmz» o:><img border=«0» width=«381» height=«29» src=«dopb158445.zip» v:shapes="_x0000_i1583">.
Т.к. оператор <shape id="_x0000_i1584" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image862.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1584"> — неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса <shape id="_x0000_i1585" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image863.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1585"> [29]. Поэтому
<shape id="_x0000_i1586" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image864.wmz» o:><img border=«0» width=«237» height=«29» src=«dopb158446.zip» v:shapes="_x0000_i1586">.
Т.к. <shape id="_x0000_i1587" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image866.wmz» o:><img border=«0» width=«60» height=«25» src=«dopb158447.zip» v:shapes="_x0000_i1587">, то заменив в последнем неравенстве <shape id="_x0000_i1588" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image868.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«25» src=«dopb158413.zip» v:shapes="_x0000_i1588"> на <shape id="_x0000_i1589" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image869.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158444.zip» v:shapes="_x0000_i1589">, только усилим его:
<shape id="_x0000_i1590" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image870.wmz» o:><img border=«0» width=«232» height=«29» src=«dopb158448.zip» v:shapes="_x0000_i1590">,
таким образом <shape id="_x0000_i1591" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image872.wmz» o:><img border=«0» width=«236» height=«33» src=«dopb158449.zip» v:shapes="_x0000_i1591">. Теорема доказана.
Следствие (к теореме 3). Если в условиях теоремы 3 предположить, что оператор <shape id="_x0000_i1592" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image874.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1592"> также неразложим, тогда будет верна оценка:
<shape id="_x0000_i1593" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image875.wmz» o:><img border=«0» width=«277» height=«32» src=«dopb158450.zip» v:shapes="_x0000_i1593">.
Теорема 4. Пусть <shape id="_x0000_i1594" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image825.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«17» src=«dopb158123.zip» v:shapes="_x0000_i1594"> воспроизводящий и нормальный конус, <shape id="_x0000_i1595" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image877.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1595"> и <shape id="_x0000_i1596" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image878.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1596"> линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е.<shape id="_x0000_i1597" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image879.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158271.zip» v:shapes="_x0000_i1597">. Пусть <shape id="_x0000_i1598" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image880.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1598"> - неразложим, и пусть для некоторого <shape id="_x0000_i1599" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image881.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158243.zip» v:shapes="_x0000_i1599"> выполняется неравенство
<shape id="_x0000_i1600" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image882.wmz» o:><img border=«0» width=«216» height=«44» src=«dopb158451.zip» v:shapes="_x0000_i1600">,
<shape id="_x0000_i1601" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image884.wmz» o:><img border=«0» width=«51» height=«25» src=«dopb158452.zip» v:shapes="_x0000_i1601">, <shape id="_x0000_i1602" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image886.wmz» o:><img border=«0» width=«51» height=«25» src=«dopb158453.zip» v:shapes="_x0000_i1602">. Если спектральный радиус оператора <shape id="_x0000_i1603" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image888.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1603"> известен и <shape id="_x0000_i1604" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image889.wmz» o:><img border=«0» width=«156» height=«44» src=«dopb158454.zip» v:shapes="_x0000_i1604">, то
<shape id="_x0000_i1605" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image891.wmz» o:><img border=«0» width=«204» height=«48» src=«dopb158455.zip» v:shapes="_x0000_i1605">.
Если для <shape id="_x0000_i1606" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image893.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158251.zip» v:shapes="_x0000_i1606"> известна оценка <shape id="_x0000_i1607" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image894.wmz» o:><img border=«0» width=«71» height=«24» src=«dopb158408.zip» v:shapes="_x0000_i1607"> и выполняется неравенство <shape id="_x0000_i1608" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image895.wmz» o:><img border=«0» width=«131» height=«44» src=«dopb158456.zip» v:shapes="_x0000_i1608">, тогда имеет место оценка: <shape id="_x0000_i1609" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image897.wmz» o:><img border=«0» width=«176» height=«48» src=«dopb158457.zip» v:shapes="_x0000_i1609">.
Доказательство.
Как и при доказательстве теоремы 1, придем к неравенству
<shape id="_x0000_i1610" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image899.wmz» o:><img border=«0» width=«247» height=«44» src=«dopb158458.zip» v:shapes="_x0000_i1610">. (4)
Предположим, что <shape id="_x0000_i1611" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image901.wmz» o:><img border=«0» width=«67» height=«24» src=«dopb158459.zip» v:shapes="_x0000_i1611">, тогда, усиливая неравенство (4), получим
<shape id="_x0000_i1612" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image903.wmz» o:><img border=«0» width=«484» height=«47» src=«dopb158460.zip» v:shapes="_x0000_i1612">,
<shape id="_x0000_i1613" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image905.wmz» o:><img border=«0» width=«215» height=«44» src=«dopb158461.zip» v:shapes="_x0000_i1613">,
что противоречит предположению. Остается принять, что <shape id="_x0000_i1614" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image907.wmz» o:><img border=«0» width=«67» height=«24» src=«dopb158462.zip» v:shapes="_x0000_i1614">. Усиливая неравенство (4), получим
<shape id="_x0000_i1615" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image909.wmz» o:><img border=«0» width=«200» height=«44» src=«dopb158463.zip» v:shapes="_x0000_i1615"> <shape id="_x0000_i1616" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image911.wmz» o:><img border=«0» width=«23» height=«17» src=«dopb158464.zip» v:shapes="_x0000_i1616"> <shape id="_x0000_i1617" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image913.wmz» o:><img border=«0» width=«204» height=«48» src=«dopb158465.zip» v:shapes="_x0000_i1617">.
Первое утверждение теоремы доказано. Заменяя в неравенстве (4) <shape id="_x0000_i1618" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image915.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158251.zip» v:shapes="_x0000_i1618"> на большее число <shape id="_x0000_i1619" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image916.wmz» o:><img border=«0» width=«15» height=«19» src=«dopb158107.zip» v:shapes="_x0000_i1619">, повторим рассуждения и получим второе утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть <shape id="_x0000_i1620" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image917.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1620"> воспроизводящий и нормальный конус, <shape id="_x0000_i1621" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image918.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1621"> и <shape id="_x0000_i1622" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image919.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1622"> линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. <shape id="_x0000_i1623" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image920.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158271.zip» v:shapes="_x0000_i1623">. Пусть <shape id="_x0000_i1624" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image921.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1624"> - неразложим и для некоторого <shape id="_x0000_i1625" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image922.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158243.zip» v:shapes="_x0000_i1625"> выполняется неравенство
<shape id="_x0000_i1626" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image923.wmz» o:><img border=«0» width=«216» height=«44» src=«dopb158466.zip» v:shapes="_x0000_i1626">,
<shape id="_x0000_i1627" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image925.wmz» o:><img border=«0» width=«51» height=«25» src=«dopb158452.zip» v:shapes="_x0000_i1627">, <shape id="_x0000_i1628" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image926.wmz» o:><img border=«0» width=«51» height=«25» src=«dopb158453.zip» v:shapes="_x0000_i1628">. Если наименьшее позитивное значение <shape id="_x0000_i1629" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image927.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158444.zip» v:shapes="_x0000_i1629"> оператора <shape id="_x0000_i1630" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image928.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1630"> известно и <shape id="_x0000_i1631" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image929.wmz» o:><img border=«0» width=«132» height=«45» src=«dopb158467.zip» v:shapes="_x0000_i1631">, то
<shape id="_x0000_i1632" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image931.wmz» o:><img border=«0» width=«183» height=«48» src=«dopb158468.zip» v:shapes="_x0000_i1632">.
Если для <shape id="_x0000_i1633" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image933.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«25» src=«dopb158444.zip» v:shapes="_x0000_i1633"> известна оценка <shape id="_x0000_i1634" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image934.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158469.zip» v:shapes="_x0000_i1634">, и выполняется неравенство <shape id="_x0000_i1635" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image936.wmz» o:><img border=«0» width=«131» height=«44» src=«dopb158470.zip» v:shapes="_x0000_i1635">, тогда имеет место оценка: <shape id="_x0000_i1636" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image938.wmz» o:><img border=«0» width=«176» height=«48» src=«dopb158471.zip» v:shapes="_x0000_i1636">.
Доказательство теоремы 5 вполне аналогично доказательству теоремы 4.
Следствие (к теореме 5). Если в условиях теоремы 5 предположить, что оператор <shape id="_x0000_i1637" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image940.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1637"> также неразложим, спектральный радиус <shape id="_x0000_i1638" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image941.wmz» o:><img border=«0» width=«41» height=«24» src=«dopb158251.zip» v:shapes="_x0000_i1638"> оператора <shape id="_x0000_i1639" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image942.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1639"> известен и <shape id="_x0000_i1640" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image943.wmz» o:><img border=«0» width=«156» height=«44» src=«dopb158472.zip» v:shapes="_x0000_i1640">, тогда верна оценка:
<shape id="_x0000_i1641" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image945.wmz» o:><img border=«0» width=«204» height=«48» src=«dopb158473.zip» v:shapes="_x0000_i1641">.
Теорема 6. Пусть <shape id="_x0000_i1642" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image947.wmz» o:><img border=«0» width=«20» height=«19» src=«dopb158234.zip» v:shapes="_x0000_i1642"> воспроизводящий и нормальный конус, <shape id="_x0000_i1643" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image948.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1643"> и <shape id="_x0000_i1644" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image949.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158248.zip» v:shapes="_x0000_i1644"> линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. <shape id="_x0000_i1645" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image950.wmz» o:><img border=«0» width=«72» height=«19» src=«dopb158271.zip» v:shapes="_x0000_i1645">. Пусть <shape id="_x0000_i1646" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image951.wmz» o:><img border=«0» width=«17» height=«19» src=«dopb158241.zip» v:shapes="_x0000_i1646"> - неразложим. Если для некоторого <shape id="_x0000_i1647" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image952.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«25» src=«dopb158243.zip» v:shapes="_x0000_i1647"> выполняется неравенство
<shape id="_x0000_i1648" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image953.wmz» o:><img border=«0» width=«265» height=«28» src=«dopb158436.zip» v:shapes="_x0000_i1648">,
где <shape id="_x0000_i1649" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image954.wmz» o:><img border=«0» width=«51» height=«25» src=«dopb158437.zip» v:shapes="_x0000_i1649">, <shape id="_x0000_i1650" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image955.wmz» o:><img border=«0» width=«52» height=«28» src=«dopb158438.zip» v:shapes="_x0000_i1650"> и <shape id="_x0000_i1651" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image956.wmz» o:><img border=«0» width=«192» height=«28» src=«dopb158474.zip» v:shapes="_x0000_i1651">, то верна оценка:
<shape id="_x0000_i1652" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«33625.files/image958.wmz» o:><img border=«0» width=«205» height=«59» src=«dopb158475.zip» v:shapes="_x0000_i1652">.
Доказательство.
Аналогично тому, как это было сделано в теореме 1, приходим к неравенству
<shape id="_x0000_i1653" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«33625.files/image960.wmz» o:><img border=«0» width=«276» height=«28» src=«dopb158476.zip» v:shapes="_x0000_i1653">, (5)
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по физике
Реферат по физике
Контрольная по метрологии
3 Сентября 2013
Реферат по физике
Теориям самоорганизации - синергетика, теория изменений и теория катастроф
3 Сентября 2013
Реферат по физике
Создание электрической подстанции Шершнёвская ЗАО Лукойл-Пермь 2
3 Сентября 2013
Реферат по физике
Вопросы реконструкции линии 10 кВ подстанции Василево с заменой масляных выключателей на вакуумные
3 Сентября 2013