Реферат: Інтерполяція 4
Пошукова робота на тему:
Інтерполяція.
План
Інтерполяція
Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційна формула Ньютона
13.16. Інтерполювання функцій
Нехай відомі числові значення /> деякої величини />, які відповідають числовим значенням />величини /> /вузли інтерполювання /. Вважаючи /> функцією від />, складемо таблицю із цих чисел:
/>
/>
/>
/>
Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною />; але їх складають і для аналітично заданих функцій />: таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п.
Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень />, відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини />. Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції />, яка набувала б табличних значень /> за табличних значень />. Звичайно, за /> беруть многочлен степеня />, що має таку властивість (інтерполюючий многочлен).
Ознайомимося з деякими методами інтерполювання.
13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді:
/>
Для знаходження невизначених коефіцієнтів /> будемо покладати в цій рівності по черзі /> вимагаючи при цьому, щоб />
Тоді одержуємо
/>
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа:
/>
Поклавши в цю формулу />, що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню, одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення />. За табличних значень /> маємо відповідні табличні значення />.
13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона
У випадку, коли вузли інтерполювання /> утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені)
/>
( />— крок інтерполювання), користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції />.
Скінченою різницею першого порядку величини />називається різниця між двома послідовними її табличними значеннями:
/>
Скінченою різницею другого порядку величини /> називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку:
/>
Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків.
Із означень одержуємо:
/>
Можна показати методом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу /> є біноміальними, а весь вираз /> нагадує розгорнутий />-ий степінь суми. Тому
/>
У цій формулі /> є номер табличного значення />, або інакше — число кроків />, які відділяють табличне значення /> від />, тобто />
Якщо будемо обчислювати нетабличне значення />, що відповідає нетабличному значенню />, і збережемо вигляд правої частини рівності для />, то величина /> буде такою самою функцією від /> , якою функцією від /> раніше було /> ( за всіх /> табличних /> переходить в /> ).
Замінивши /> на />, одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона:
/> У розгорнутому вигляді /> є многочлен степеня /> відносно />. За всіх табличних значень /> аргументу/> дорівнює відповідному табличному значенню /> функції />, тобто />.
Зауваження. Якщо функція /> лінійна або якщо розміщення на координатній площині /> точок /> наближено нагадує пряму лінію, то для одержання проміжних (нетабличних ) значень /> не має необхідності в інтерполяційних формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай /> і потрібно знайти />, знаючи відповідні табличні значення /> та />. Із рівняння прямої
/>
одержимо
/>
Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного.
Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею, у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.
Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так:
/>
Оскільки
/> тощо,
то
/>
/> тощо.
Для знаходження похідних функцій /> за табличних значень аргументу /> покладено /> і тому />
/>
/> тощо.
Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу /> оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що
/>