Реферат: Проектирование устройств фильтрации

--PAGE_BREAK--                                                                                                   

                                                                                                   

Рис.4.1 Структурная схема фильтра восьмого порядка
Построим принципиальную схему полосового фильтра восьмого порядка на операционном усилителе. Полосовой фильтр пропускает составляющие сигнала с частотами, лежащими между левой и правой частотой среза, а остальные задерживает, исходя из этого присутствие разделительных конденсаторов в ветвях схемы необходимо. Чтобы определить в какой именно ветви они должны стоять, сначала во все ветви поставим проводимости.
<img width=«391» height=«205» src=«ref-1_1349929393-10860.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">

Рис.4.2 – Функциональная схема структуры Рауха второго порядка.

Найдём передаточную функцию каждого каскада.
<img width=«80» height=«47» src=«ref-1_1349940253-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> (4.1)
Применим законы Кирхгофа:
<img width=«102» height=«22» src=«ref-1_1349940544-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> (4.2)

<img width=«42» height=«22» src=«ref-1_1349940734-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> (4.3)

<img width=«102» height=«51» src=«ref-1_1349940862-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> (4.4)

<img width=«121» height=«22» src=«ref-1_1349941225-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">                                 (4.5)

<img width=«69» height=«22» src=«ref-1_1349941525-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> (4.6)

<img width=«126» height=«22» src=«ref-1_1349941685-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">                                (4.7)

<img width=«69» height=«22» src=«ref-1_1349941983-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">                                            (4.8)

<img width=«90» height=«22» src=«ref-1_1349942146-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">                                       (4.9)
Ток i4 протекает через проводимость Y4 и втекает в ветвь с проводимостью Y5 без потерь. Подставим (4.7), (4.8), (4.6) в (4.2), а затем получившееся выражение подставим в (4.5):
<img width=«309» height=«22» src=«ref-1_1349942333-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">              (4.10)
Подставим (4.4) в (4.10) и преобразуем, чтобы получить окончательное выражение для передаточной функции:
<img width=«319» height=«47» src=«ref-1_1349942876-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">           (4.11)




<img width=«310» height=«47» src=«ref-1_1349943530-652.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">             (4.12)
Общая же формула передаточной характеристики полосового фильтра имеет вид:
<img width=«252» height=«78» src=«ref-1_1349944182-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> (4.13)

<img width=«72» height=«25» src=«ref-1_1349944892-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> 
Анализируя выражения передаточной характеристики фильтра, определим типы проводимостей для обеспечения требуемой степени p. Так, сделаем вывод о том, что проводимости Y1, Y2 и Y5 должны заменить резисторы, а проводимости Y3 и Y4 – емкости:
<img width=«52» height=«43» src=«ref-1_1349945067-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> <img width=«52» height=«43» src=«ref-1_1349945245-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1349945427-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1349945586-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> <img width=«52» height=«43» src=«ref-1_1349945762-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> (4.14)
Подставив (4.14) в (4.12) и преобразовав к виду (4.13), получим:
<img width=«301» height=«56» src=«ref-1_1349945943-797.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> (4.15)
Таким образом, коэффициенты нормированного ФНЧ-прототипа для одного звена второго порядка можно представить следующим образом:
<img width=«77» height=«17» src=«ref-1_1349946740-182.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_24»>

<img width=«110» height=«37» src=«ref-1_1349946922-317.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_25»>
<img width=«120» height=«37» src=«ref-1_1349947239-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">
С учётом (4.14) построим принципиальную схему фильтра.
<img width=«381» height=«205» src=«ref-1_1349947571-2885.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">

Рис.4.3 – Функциональная схема структуры Рауха второго порядка.
Данное функциональное звено представляет собой активный фильтр второго порядка, построенный на основе операционного усилителя.






5 МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРА НА ФУНКЦИОНАЛЬНОМ УРОВНЕ В СИСТЕМЕ MATHCADВ ЧАСТОТНОЙ И ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТЯХ (РАСЧЕТ АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ, ПХ В НОРМИРОВАННОМ И ДЕНОРМИРОВАННОМ ВИДАХ)
Для моделирования на функциональном уровне будем использовать MathCAD.

Операторную передаточную функцию можно записать в следующем виде:
<img width=«142» height=«18» src=«ref-1_1349950456-815.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_119»>                                     (5.1)
где K(w)-амплитудно-частотная характеристика;

φ(w)-фазо-частотная характеристика.

Амплитудно-частотная характеристика определяется следующим образом:
<img width=«98» height=«18» src=«ref-1_1349951271-657.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_120»>                                              (5.2)
Фазо-частотная характеристика определяется следующим образом:
<img width=«125» height=«20» src=«ref-1_1349951928-838.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_121»>                                         (5.3)
Построим АЧХ и ФЧХ в MathCAD:

Исходные данные:
<img width=«157» height=«32» src=«ref-1_1349952766-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">

<img width=«157» height=«32» src=«ref-1_1349953105-332.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_53»>

<img width=«156» height=«32» src=«ref-1_1349953437-334.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_54»>

<img width=«156» height=«32» src=«ref-1_1349953771-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">

<img width=«119» height=«17» src=«ref-1_1349954107-264.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_56»> <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_1349954371-189.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_62»> <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1349954560-202.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_63»>
Построим АЧХ фильтра прототипа нижних частот:
<img width=«484» height=«365» src=«ref-1_1349954762-3422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">
Рисунок 5.1 АЧХ фильтра прототипа нижних частот в нормированном виде
Для построения характеристик ПФ, осуществим пересчёт параметров.

Исходя из того, что
Kфнч(p)=А(p~+1/p~)=Kпф(p~) (5.4)
Получим выражения для пересчёта параметров:



<img width=«581» height=«704» src=«ref-1_1349958184-15684.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">

В выражениях 5.5-5.13 <img width=«134» height=«37» src=«ref-1_1349973868-318.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_44»>, где <img width=«63» height=«37» src=«ref-1_1349974186-209.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_60»> и <img width=«65» height=«37» src=«ref-1_1349974395-210.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_61»>.
<img width=«246» height=«88» src=«ref-1_1349974605-1920.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">
Построим АЧХ ПФ.

<img width=«465» height=«355» src=«ref-1_1349976525-3790.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">
Рисунок 5.2 АЧХ ПФ в нормированном виде
Построим ФЧХ ПФ.
<img width=«507» height=«329» src=«ref-1_1349980315-3581.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">
Рисунок 5.3 ФЧХ ПФ в нормированном виде
Построим характеристику рабочего затухания.
<img width=«389» height=«270» src=«ref-1_1349983896-2934.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">

Рисунок 5.4 ХРЗ ПФ в нормированном виде
Построим характеристику группового времени запаздывания:
<img width=«432» height=«165» src=«ref-1_1349986830-2389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">

Рисунок 5.5 ХГВЗ ПФ в нормированном виде
Построим импульсную и переходную характеристики:

Так как импульсная характеристика – это реакция системы на δ-функцию, выражение для её построения получим следующим образом:
<img width=«22» height=«2» src=«ref-1_1349989219-75.coolpic» v:shapes="_x0000_s1033"><img width=«22» height=«2» src=«ref-1_1349989294-81.coolpic» v:shapes="_x0000_s1034"><img width=«11» height=«2» src=«ref-1_1349989375-77.coolpic» v:shapes="_x0000_s1035">Uвх=δ(t) 1

Uвых=K(p)* Uвх(p)

<img width=«117» height=«23» src=«ref-1_1349989452-492.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_66»> 

<img width=«561» height=«410» src=«ref-1_1349989944-4317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">
Рисунок 5.6 ИХ ПФ в нормированном виде
Переходная характеристика – реакция системы на единичный скачок(на функцию Хевисайда), поэтому выражение для её построения получим следующим образом:

<img width=«23» height=«2» src=«ref-1_1349994261-81.coolpic» v:shapes="_x0000_s1036"><img width=«23» height=«2» src=«ref-1_1349994342-81.coolpic» v:shapes="_x0000_s1037">1(t) 1/p
h(t)= Uвых(t)=1/2*П*j
<img width=«500» height=«392» src=«ref-1_1349994423-3224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">

Рисунок 5.7 ПХ ПФ в нормированном виде
Чтобы построить данные характеристики фильтра в денормированном виде, необходимо получить параметры ПФ в денормированном виде. Для этого воспользуемся следующими выражениями:
<img width=«72» height=«17» src=«ref-1_1349997647-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> (5.14)

<img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1349997808-216.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_40»>    (5.15)

<img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1349998024-221.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_41»>   (5.16)

<img width=«70» height=«45» src=«ref-1_1349998245-239.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_82»> (5.17)
В этих выражениях <img width=«27» height=«27» src=«ref-1_1349998484-187.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_32»>  — денормированная частота, а <img width=«109» height=«22» src=«ref-1_1349998671-250.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_34»> .

Таким образом деномированные коэффициенты равны:



 <img width=«125» height=«115» src=«ref-1_1349999657-774.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> Сpd=2.925739792537995685239e-17
Построим АЧХ ПФ в денормированном виде:

<img width=«521» height=«377» src=«ref-1_1350000431-4376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

Рисунок 5.8 АЧХ ПФ в денормированном виде
Построим фЧХ ПФ в денормированном виде:
<img width=«554» height=«340» src=«ref-1_1350004807-3983.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">

Рисунок 5.9 ФЧХ ПФ в денормированном виде
Построим ХРЗ ПФ в денормированном виде:

<img width=«476» height=«490» src=«ref-1_1350008790-4220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">

Рисунок 5.10 ХРЗ ПФ в денормированном виде

Построим ХГВЗ ПФ в денормированном виде:
<img width=«111» height=«39» src=«ref-1_1350013010-275.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_117»>
<img width=«426» height=«260» src=«ref-1_1350013285-2351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">

Рисунок 5.11 ХГВЗ ПФ в денормированном виде
Построим ИХ и ПХ ПФ в денормированном виде:
<img width=«90» height=«37» src=«ref-1_1350015636-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">

<img width=«204» height=«53» src=«ref-1_1350015902-519.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_122»>
<img width=«505» height=«284» src=«ref-1_1350016421-2601.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_125»>

Рисунок 5.12 ИХ ПФ в денормированном виде
<img width=«106» height=«52» src=«ref-1_1350019022-329.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_129»>

<img width=«492» height=«261» src=«ref-1_1350019351-2095.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_127»>

Рисунок 5.13 ПХ ПФ в денормированном виде
Анализ результатов вычислений показывает, что операция денормирования произведена верно, так как характеристики фильтра в денормированном виде отличны от характеристик в нормированном виде представляемой областью частот.






6 РАЗРАБОТКА ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ СХЕМЫ ФИЛЬТРА, РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ
Для построения принципиальной схемы восьмого порядка необходимо последовательно соединить четыре функциональных звена второго порядка структуры Рауха, изображение которого представлено на рисунке 4.3.

Операторную функцию представим произведением операторных функций каждого звена :
<img width=«301» height=«22» src=«ref-1_1350021446-518.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_37»>
Операторная функция каждого звена запишется следующим образом:
<img width=«232» height=«52» src=«ref-1_1350021964-566.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_48»>

<img width=«236» height=«52» src=«ref-1_1350022530-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">

<img width=«232» height=«52» src=«ref-1_1350023095-561.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_47»>

<img width=«232» height=«52» src=«ref-1_1350023656-557.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_50»>
Нормирующий множитель С распределим между каскадами следующим образом:
<img width=«85» height=«25» src=«ref-1_1350024213-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> <img width=«85» height=«25» src=«ref-1_1350024437-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"> <img width=«85» height=«25» src=«ref-1_1350024662-223.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_57»> <img width=«85» height=«25» src=«ref-1_1350024885-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> (6.3)
Чтобы рассчитать элементы принципиальной схемы фильтра, нужно решить четыре системы (4.16) (для четырёх каскадов второго порядка).

Система (4.16) для одного каскада второго порядка представляет собой три уравнения с пятью неизвестными, то есть с двумя степенями свободы. Следовательно, два элемента зададим произвольно. Рациональнее задавать сопротивления резисторов. Однако значения сопротивлений резисторов должны удовлетворять следующему условию:
<img width=«147» height=«57» src=«ref-1_1350025110-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">        (6.9)
Значения нормирующего коэффициента для всех каскадов согласно (6.3):
<img width=«259» height=«36» src=«ref-1_1350025703-638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">
Расчёты будем производить в MatCad.

Решим систему (4.16) для первого каскада второго порядка. Для этого необходимо задать R1, R2 следующим образом:
<img width=«149» height=«20» src=«ref-1_1350026341-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">

<img width=«69» height=«20» src=«ref-1_1350026508-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">

<img width=«32» height=«17» src=«ref-1_1350026667-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">

<img width=«77» height=«17» src=«ref-1_1349946740-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">

<img width=«110» height=«37» src=«ref-1_1349946922-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">

<img width=«120» height=«37» src=«ref-1_1349947239-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

<img width=«268» height=«61» src=«ref-1_1350027616-1001.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">
Для удобства изменим нумерацию элементов согласно схеме. 

Решим систему (4.16) для второго каскада второго порядка. Для этого необходимо задать R5, R4 следующим образом:
<img width=«83» height=«22» src=«ref-1_1350028617-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">

<img width=«32» height=«17» src=«ref-1_1350026667-118.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_68»>

<img width=«77» height=«17» src=«ref-1_1350028913-181.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_69»>

<img width=«110» height=«37» src=«ref-1_1350029094-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">

<img width=«120» height=«37» src=«ref-1_1350029413-336.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_71»>

<img width=«268» height=«61» src=«ref-1_1350029749-1000.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_72»>
Решим систему (4.16) для третьего каскада второго порядка. Для этого необходимо задать R7, R8 следующим образом:
<img width=«52» height=«17» src=«ref-1_1350030749-139.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_78»>

<img width=«58» height=«17» src=«ref-1_1350030888-145.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_80»>

<img width=«31» height=«12» src=«ref-1_1350031033-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">

<img width=«77» height=«17» src=«ref-1_1350031135-181.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_83»>

<img width=«110» height=«37» src=«ref-1_1350031316-317.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_84»>

<img width=«120» height=«37» src=«ref-1_1350031633-338.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_85»>

<img width=«268» height=«61» src=«ref-1_1350031971-1008.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_86»>
Решим систему (4.16) для четвёртого каскада второго порядка. Для этого необходимо задать R10, R11 следующим образом:
<img width=«58» height=«17» src=«ref-1_1350032979-146.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_92»>

<img width=«63» height=«17» src=«ref-1_1350033125-150.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_94»>

<img width=«32» height=«17» src=«ref-1_1350026667-118.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_96»>

<img width=«81» height=«17» src=«ref-1_1350033393-190.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_97»>

<img width=«116» height=«37» src=«ref-1_1350033583-331.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_98»>

<img width=«139» height=«37» src=«ref-1_1350033914-380.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_99»>

<img width=«269» height=«61» src=«ref-1_1350034294-1006.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_100»>
Таким образом, определим вид принципиальной схемы (приложение А).
<img width=«78» height=«25» src=«ref-1_1350035300-176.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_107»>

<img width=«56» height=«17» src=«ref-1_1350035476-133.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_111»>

<img width=«157» height=«17» src=«ref-1_1350035609-272.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_114»>

<img width=«78» height=«25» src=«ref-1_1350035881-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">

<img width=«56» height=«17» src=«ref-1_1350036061-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">

<img width=«157» height=«17» src=«ref-1_1350036195-270.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_123»>

<img width=«78» height=«25» src=«ref-1_1350036465-176.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_108»>

<img width=«56» height=«17» src=«ref-1_1350036641-134.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_110»>

<img width=«157» height=«17» src=«ref-1_1350036775-269.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_113»>

<img width=«82» height=«25» src=«ref-1_1350037044-184.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_116»>

<img width=«62» height=«17» src=«ref-1_1350037228-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">

<img width=«163» height=«17» src=«ref-1_1350037370-270.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_124»>

<img width=«173» height=«17» src=«ref-1_1350037640-282.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_106»>

<img width=«173» height=«17» src=«ref-1_1350037922-284.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_109»>

<img width=«158» height=«17» src=«ref-1_1350038206-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">

<img width=«173» height=«17» src=«ref-1_1350038473-282.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_115»>

<img width=«173» height=«17» src=«ref-1_1350038755-287.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_118»>

<img width=«167» height=«17» src=«ref-1_1350039042-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

<img width=«158» height=«17» src=«ref-1_1350039323-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

<img width=«173» height=«17» src=«ref-1_1350039592-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">
Определив элементы принципиальной схемы фильтра, рассчитаем АЧХ данного фильтра непосредственно через значение элементов.

В выражение передаточной функции для каждого каскада фильтрации подставим коэффициенты с учётом выражений для сопротивлений и ёмкостей.
<img width=«253» height=«52» src=«ref-1_1350039878-636.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_147»>    продолжение
--PAGE_BREAK--