Реферат: Структурные автоматы

--PAGE_BREAK--2.    
Основные этапы канонического метода структурного синтеза



В каноническом методе структурного синтеза можно выделить несколько основных этапов:

1. Кодирование алфавитов автомата.

2. Выбор элементов памяти.

3. Выбор функционально полной системы логических элементов.

4. Запись и минимизация канонических уравнений.

5. Построение функциональной схемы автомата.

Исходными данными для начала работы данного метода являются абстрактный цифровой автомат с памятью, заданный таблицей переходов и выходов. Рассмотрим подробнее каждый из этапов канонического метода.


2.1 Кодирование алфавитов автомата



На структурном уровне каждая буква входного алфавита x<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1546391824-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">Х, каждая буква выходного алфавита y<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1546391824-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">Yи каждая буква алфавита состояний а<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1546391824-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">А кодируется двоичными векторами (двоичными наборами), число компонент которых определяется следующим образом:
Kвх >= int(log2|X|); Kвых>= int(log2|Y|); Kсост>=int(log2|A|);
где int— ближайшее большее целое число.

|Х|, |У|, |А| — мощность алфавита входного, выходного и состояний, соответственно. Мощностью алфавита называется количество различных символов входящих в этот алфавит.

Процесс замены буква алфавита (X, У, А) абстрактного автомата двоичными векторами носит название кодирования и описывается таблицами кодирования. Таблица кодирования имеем следующий вид: в левой части перечисляются все символы абстрактного алфавита, а в правой — соответствующие им двоичные векторы.

Рассмотрим пример.

Абстрактный автомат Мили задан таблицей переходов и выходов (табл. 2.). Выполнить кодирование алфавитов автомата.
Таблица2

А\ Х

x1

x2

a1

a2/y1

a3/y3

a2

a1/y2

a2/y1

a3

a2/y2

a1/y1



Выпишем алфавиты автомата и определим длины векторов кодов алфавитов:      
X={x1,x2}; Kвх>= int(log2|2|)=1,

Y={y1,y2,y3}; Kвых>= int(log2|3|)=2,

A={a1,a2,a3}; Kсост>= int(log2|3|)=2.
Заполним таблицы кодирования:
Таблица 3

x1



x2

1



<img width=«256» height=«125» src=«ref-1_1546392076-5026.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_44»>




Результирующая таблица — структурная таблица переходов и выходов автомата (табл. 6.) Получением структурной таблицы переходов -выходов автомата заканчивается этап кодирования.
Таблица 6.

А\ X







1



00



01/00



10/10



01



00/01



01/00



10



01/01



00/00





В общем случае, каждой кодируемой букве может быть присвоен произвольный двоичный вектор, но обязательно две различные буквы одного алфавита должны кодироваться различными векторами. Коды, соответствующие символам различных алфавитов могут совпадать, в рассмотренном примере — коды выходных сигналов и состояний.

На данном этапе целесообразно отметить, что способ кодирования состояний в значительной степени определяют сложность реализации комбинационных схем. Существуют специальные способы кодирования, обеспечивающие получение экономичных схем. Они будут рассмотрены ниже.
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.2 Выбор элементов памяти автомата



Замена таблицы переходов автомата на структурную таблицу переходов приводит к тому, что функция переходов (аi,xj) автомата становится векторной. Иными словами, аргументами такой функции являются все возможные пары двоичных векторов (ai,xj), а сама функция принимает значение из множества Aдвоичных векторов состояний автомата. В соответствии со структурной таблицей переходов автомата его векторная функция переходов каждой паре двоичных векторов ставит в соответствие определенный двоичный вектор ak, что на абстрактном уровне определяется соотношением аk= (аi, хj). Из этого следует, что структурный автомат должен запоминать двоичный вектор каждого очередного состояния автомата, для чего служат элементы памяти (запоминающие элементы, триггеры).

При каноническом методе структурного синтеза автоматов в качестве элементов памяти используются элементарные автоматы Мура с двумя состояниями, обладающие полной системой переходов и выходов.

Полнота системы переходов автомата в общем случае означает, что для любой пары состояний автомата существует входной сигнал, переводящий элементарный автомат из одного состояния в другое. Таблица переходов элементарного автомата с полной системой переходов должна содержать в каждой своей строке все возможные состояния.

Полнота системы выходов означает, что различным состояниям автомата соответствуют различные выходные сигналы. Обычно нулевому состоянию элементарного автомата соответствует нулевой выходной сигнал, единичному — единичный.

Очевидно, что число элементов памяти структурного автомата равно числу компонент вектора его состояний.
2.3 Выбор функционально-полной системы логических элементов



Функционирование структурного автомата во времени предполагает управление переключением каждого элементарного автомата его памяти в соответствии со структурной таблицей переходов синтезируемого автомата. Последнее осуществляется с помощью специальной комбинационной схемы, подключаемой к информационным входам элементарного автомата памяти и реализующей булевы функции, управляющие его переключением.

Такие булевы функции называются функциями возбуждения элемента памяти и, в общем случае, различных функций возбуждения столько, сколько различных информационных входов имеется у элементарных автоматов памяти в синтезируемом структурном автомате.

Функция возбуждения любого элемента памяти является произвольной булевой функцией и для ее реализации комбинационной схемой необходимо использовать какую-либо функционально-полную систему логических элементов. Теоретическим фундаментом канонического метода структурного синтеза автоматов с памятью является теорема о структурной полноте, из которой следует, что для построения структурного автомата необходимо кроме элементов памяти иметь комбинационную схему, реализующую булевы функции возбуждения элементов памяти автомата, а для выработки выходных сигналов структурного автомата — специальную комбинационную схему формирования выходных сигналов автомата.

Функция возбуждения структурного автомата является векторной. Ее аргументами являются пары двоичных векторов (аi, хj).- а значением функции — двоичный вектор, каждая i-я компонента которого есть значение булевой функции возбуждения i-го элемента памяти автомата, определяющая тот двоичный сигнал, который необходимо подать на вход i-го элемента памяти для обеспечения его переключения в соответствии с требованиями структурной таблицы переходов.

Если векторная функция переходов задает переход из одного вектора состояния структурного автомата в другой вектор состояния под воздействием двоичного вектора входного сигнала, то векторная функция возбуждения автомата задает двоичный вектор, который нужно подать на входы элементов памяти автомата, чтобы обеспечить требуемый переход (в соответствии с векторной функцией переходов автомата).

Последнее означает, что переменными, от которых зависит векторная функция возбуждения, являются те же переменные, что и для векторной функции переходов автомата, т. е. выходы всех элементов памяти автомата и входы автомата. Поэтому структурный автомат Мура, в общем случае, может быть представлен структурной схемой (рис. 2), а структурный автомат Мили — структурной схемой (рис. 3).

Буквами б1,… бц на рисунках обозначены выходы элементов памяти. Буквами ц1,…, цjобозначены булевы функции возбуждения элементов памяти. Для простоты положим, что каждый элемент памяти структурного автомата имеет один информационный вход. Буквами w1,...,wjобозначены выходные каналы автомата, где j— число выходных каналов автомата. Буквами z1,…,zm– входные каналы.


2.4 Построение уравнений булевых функций возбуждения и выходов автомата



Кодирование и выбор системы элементов однозначно определяют комбинационную часть автомата: вначале строится таблица истинности функций возбуждения элементов памяти автомата, получившая название таблицы функций возбуждения; канонические уравнения функций возбуждения выписываются исходя из построенной таблицы. Полученная аналитическая запись булевой функции возбуждения (для каждого элемента памяти автомата) может быть минимизирована любым из известных методов. Исходными данными для построения таблицы функций возбуждения являются структурная таблица переходов автомата и таблица переходов элемента памяти. Обрамление таблицы функций возбуждения, т.е. идентификация ее строк и столбцов полностью совпадает с обрамлением структурной таблицы переходов синтезируемого автомата. Клетки, расположенные внутри таблицы функций возбуждения, заполняются специальным образом.






<img width=«135» height=«280» src=«ref-1_1546397102-10220.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_3»>

Рисунок 2- Структурная схема автомата Мура
<img width=«230» height=«285» src=«ref-1_1546407322-7833.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">

Рисунок 3- Структурная схема автомата Мили
Получение канонических уравнений булевых функций выходов структурного автомата проще и может быть сделано непосредственно по структурной таблице выходов автомата. Структурная таблица выходов автомата есть таблица истинности булевых функций выходов автомата. Иными словами, уравнения булевых функций выходов автомата не зависят от типа используемых элементов памяти, однако зависят от их количества.

Если синтезируемый автомат является автоматом Мура, то задача построения уравнений булевых функций возбуждения решается так же. Уравнения булевых функций выходов автомата Мили строятся несколько иначе. Последнее связано с различиями в способах построения структурных таблиц выходов автомата Мили и Мура. После проведения этапа кодирования состояний автомата и кодирования выходных сигналов получаем структурную таблицу выходов автомата, которая является таблицей истинности булевых функций выходов автомата.


    продолжение
--PAGE_BREAK--2.5 Построение функциональной схемы автомата



На основании полученных выражений для булевых функций возбуждения элементов памяти автомата и булевых функций выходов автомата строятся комбинационная схема функций возбуждения и комбинационная схема формирования выходных сигналов автомата. Элементы памяти подключаются к построенным комбинационным схемам. Функциональная схема автомата Мура отлична только комбинационной схемой формирования выходных сигналов, которая строится на основании уравнений для булевых функций выходов. Отметим, что реализация комбинационных схем может быть выполнена в любом функционально-полном базисе.





3.    
Пример канонического метода структурного синтеза



Пусть задан абстрактный автомат Мили таблицей переходов и выходов (табл. 7.). Используя логические элементы И, ИЛИ, НЕ и элементарный автомат Мура (элемент памяти), заданный табл. 8.
Таблица7.

А\ Х

x1

x2

x3

a1

a2/y3

a3/y4

a2/y2

a2

-

a1/y3

a3/y1

a3

a1/y2

-

a3/y3

А\ Х

x1

x2

x3

a1

a2/y3

a3/y4

a2/y2

a2

-

a1/y3

a3/y1

a3

a1/y2

-

a3/y3



Таблица8



r1

r2

b1

b1

b2

b2

b2

b1



Выполним кодирование алфавитов автомата (табл. 7.)

Выпишем алфавиты автомата и определим длины векторов кодов алфавитов:
Х= {x1, x2, x3}; Kвх>= int(log2|3|)= 2,

У= {y1, y2, y3, y4}; Kвых>= int(log2|3|)= 2,

А = {a1, a2, а3}; Kсост>= int(log2|3|)= 2.
Заполним таблицы кодирования (табл. 9 – 11):






Таблица 9.

Х

z1

z2

x1





x2



1

x3

1




Таблица 10

У

w1

w2

y1

1



y2





y3

1

1

y4



1


Таблица 11

А

1

2

a1





a2



1

a3

1

1



Каждый разряд вектора кода обозначим символом с соответствующим номером. Входные — z, выходные — w, состояния – а.
Таблица 12



z1z2

12

00

01

10

00

01/11

11/01

01/00

01

-

00/11

11/10

11

00/00

-

11/11



В результате получим таблицу переходов и выходов структурного автомата (табл. 12.). Выполним кодирование элементарного автомата Мура (табл. 8.):

— выпишем алфавиты автомата и определим длины векторов кодов алфавитов,
R={r1,r2}; Kвх>= int(log2|2|)=1,

В= {b1, b2}; Kсост>= int(log2|2|)= 1;
-заполним таблицы кодирования:
<img width=«280» height=«191» src=«ref-1_1546415155-6097.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_48»>
Структурная таблица переходов элементарного автомата Мура имеет вид (табл. 15.):

Так как абстрактный автомат имеет три состояния, каждое из которых кодируется двумя разрядами, то структурный автомат будет содержать два запоминающих элемента.

Теперь задача сводится к синтезу комбинационной схемы, реализующей канонические уравнения:
w1=l(a1,a2.z1,z2), w2= l(a1, a2, z1, z2) — функции выходов автомата
j1= f(a1,a2.z1,z2), j2= f(a1,a2.z1,z2) — функции возбуждения элементов памяти автомата.

Функции w1, w2можно получить непосредственно из отмеченной таблицы переходов структурного автомата как дизъюнкцию конъюнкций, соответствующих тем наборам (1,2.z1,z2), на которых эти функции принимают значения 1. Но более удобно пользоваться так называемой таблицей формирования функций возбуждения и функций выходов автомата, в которой в табличной форме задана система булевых функций (табл. 16). Заполним эту таблицу, используя коды соответствующих алфавитов и таблицу переходов и выходов абстрактного автомата. Для заполнения колонок j1, j2необходимо воспользоваться еще и таблицей элемента памяти (табл. 15).

Для заполнения функций возбуждения элементов памяти рассматривается переход из исходного состояния (12) в состояние перехода (12). За первый разряд 1отвечает первый элемент памяти (его функция j1), за второй 2-второй элемент памяти (его функция j2).

В таблице проставляется значение входного сигнала, который обеспечивает соответствующий переход. Количество функций возбуждения элементов памяти автомата зависит от количества разрядов вектора кода состояния и от количества информационных входов самого запоминающего элемента. Рассмотрим, например, что будет со структурным автоматом, если он находится в состоянии 01, и на его вход поступил сигнал 10.

Как видно из таблицы переходов структурный автомат перейдет в состояние 11. Этот переход складывается из двух переходов элементов памяти: 1-й из 0 в 1, 2-й из 1 в 1. По таблице 15 определим входные сигналы элемента памяти, обеспечивающие эти переходы: это 0 и 1., и т.д. В клетку соответствующего перехода запишем вектор функции возбуждения, вызывающий данный переход.
Таблица 16.



<img width=«319» height=«25» src=«ref-1_1546421252-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">

<img width=«422» height=«21» src=«ref-1_1546421749-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">

<img width=«367» height=«22» src=«ref-1_1546422430-636.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">

<img width=«321» height=«21» src=«ref-1_1546423066-562.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1546423628-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">
По таблице 16 запишем аналитические выражения канонических уравнений:



Рисунок 4- Структурная схема автомата
Не занимаясь минимизацией канонический уравнений, построим схему электрическую функциональную (рис. 5).





    продолжение
--PAGE_BREAK--4.    
Элементы памяти



В качестве элементов памяти структурного автомата обычно используются триггеры. Как уже было сказано, с точки зрения прикладной теории цифровых автоматов, триггер — это элементарный автомат Мура, обладающий полной системой переходов и полной системой выходов.

Триггер характеризуется числом информационных входов, внутренних состояний, числом выходных сигналов и т.д. выходные сигналы триггера отождествляются с его внутренними состояниями, именно поэтому таблица переходов совпадает с таблицей выходов и триггер задается только одной из них (таблицей переходов). Как правило, триггер формирует как прямой сигнал, так и инверсный.

Рассмотрим некоторые из этапов канонического метода более подробно, с применением специальных методов.
<img width=«417» height=«335» src=«ref-1_1546432939-23873.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">

Рисунок 5- Функциональная схема автомата

4.1 Элементы памяти с одним информационным входом



Существует только 4 типа запоминающих элементов с одним информационным входом, имеющих полную систему переходов и выходов: D-триггер, Т-триггер, <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1546456812-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">-триггер, <img width=«15» height=«21» src=«ref-1_1546456916-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">-триггер. Таблицы их переходов представлены табл. 17 — 20. соответственно, а условные графические изображения триггеров представлены на рис. 6. Входы D, T, <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1546456812-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"><img width=«15» height=«21» src=«ref-1_1546456916-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> называются информационными.

Таблицы переходов триггеров составляются только для информационных входов. Остальные входы являются вспомогательными. В частности, вход C— вход для подключения синхросерии (о чем будет сказано ниже). Каждый из триггеров имеет два выхода. Появление единичного сигнала на выходе, помеченном на рисунках символом q, означает, что триггер находится в единичном состоянии. Появление единичного сигнала на выходе <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1546457208-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> говорит о нулевом состоянии.
<img width=«280» height=«188» src=«ref-1_1546457305-10343.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_52»>
<img width=«417» height=«65» src=«ref-1_1546467648-6065.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">

а)                         б)                в)                        г )

Рисунок 6- Условное графическое обозначение триггеров:

а)D-триггер; б) Т-триггер; в) D-триггер; г) T-триггер




В таблицах переходов две первые колонки одинаковые — в них перечислены все возможные комбинации входного сигнала и состояния элемента памяти. Для того, чтобы элементарный автомат имел полную систему переходов, колонку Q(t+1) следует заполнить таким образом, чтобы во второй и третьей колонках встречались все возможные типы переходов (00, 01, 10, 11). Для триггера типа D колонка Q(t+1) и D совпадают, т.к. выходной сигнал отождествляется с состоянием, то это означает, что данный элемент является элементом задержки на 1 такт. Его характеристическое уравнение имеет вид:
Q(t+1)=d(Q(t), D(t))= DQvD<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1546473713-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">= D.
Триггер типа Т изменяет свое состояние только при подаче на его вход «1». Это триггер со счетным входом. Его характеристическое уравнение имеет вид:
Q(t+1 )=d(Q(t), (t))= <img width=«15» height=«21» src=«ref-1_1546456916-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">QvT<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1546473713-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">.


4.2 Элементы памяти с двумя информационными входами



Триггеры с двумя информационными входами имеют различное построение в зависимости от режимов использования имеющихся входов. Основными, наиболее распространенными двухвходовыми триггерами являются RS-триггер, JK-триггер, синхронизированный D-триггер. Рассмотрим подробнее каждый из них.

RS-триггер

Название этого элемента происходит от английских слов «set-reset» — «установка-сброс». Он имеет два установочных входа: S-установка в 1, R— установка в ноль (сброс). Работа описывается таблицей переходов (табл. 21). На 6 и 7 наборах функция не определена, т.к. считается, что нет необходимости устанавливать данный триггер в положение «1» и «О» одновременно. Таким образом, входная комбинация 11 для RS-триггера является запрещенной и не должна возникать в реальных условиях работы.

Характеристическое уравнение после его преобразования и минимизации имеет вид:
Q(t+1 )=d (Q(t), R(t), S(t))= <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1546474009-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">Q v S.
Это соотношение показывает, что при нулевом сигнале на входе «установка в ноль» (R=0) RS-триггер является дизъюнктором накапливающего типа. Он осуществляет логическое сложение содержимого триггера Q(t) и сигнала S(t), после чего результат операции записывается вместо первого слагаемого. В частном случае, при обнуленном триггере, осуществляется запись в триггер той информации, которая поступила на вход S. Условное графическое обозначение RS-триггера представлено на рис. 7.а).
<img width=«258» height=«185» src=«ref-1_1546474105-12012.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_62»>
<img width=«276» height=«52» src=«ref-1_1546486117-4095.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">

а)                         б)                         в)

Рисунок 7- Условное графическое обозначение триггеров:

а) RS-триггер; б) JK-триггер; в) синхронизированный D-триггер.




J
-
K
-триггер

Он имеет два установочных входа: J — установка в 1, К — установка в ноль. Работа описывается таблицей переходов (табл. 22). Для него не существует запрещенных наборов входных сигналов.

Характеристическое уравнение после его преобразования и минимизации имеет вид:
Q(t+1)=d(Q(t), J(t), (t)) = KQvQJ.
Из этого соотношения следует, что JK-триггер является универсальным, имеющим два режима работы.

1) Режим записи и хранения информации, пришедшей по входу J, если триггер заранее был обнулен, поскольку работа обнуленного JK-триггера описывается уравнением RS-триггера. Данный режим называется RS-режимом.

2) Режим счета, который возникает при обеспечении одинаковых сигналов на обоих входах. Поскольку такой режим описывается уравнением, аналогичным уравнению Т-триггера, то его можно назвать Т-режимом. Условное графическое обозначение JK-триггера представлено на рис. 7.б.

D-триггер

Триггер имеет также 2 входа: информационный (D) и синхронизирующий (С). Функция на выходе триггера принимает значение информационного сигнала, если есть разрешающий сигнал по входу C(С=1). При отсутствии разрешающего сигнала (С=0), значение функции замораживается, т.е. остается равным содержимому триггера на предыдущем такте. Работа описывается таблицей переходов (табл. 23.).

Характеристическое уравнение триггера имеет вид:
Q(t+1 )=d(Q(t), D(t), (t))= <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1546490212-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">QvDC.




Из чего следует, что D-триггер является переключателем накапливающего типа: он пропускает на выход либо сигнал, приходящий по условной шине D, либо сигнал, приходящий по условной шине Q(t), в зависимости от значения управляющего сигнала С. Условное графическое обозначение триггера представлено на рис. 7.в.


    продолжение
--PAGE_BREAK--4.3 Матрица переходов элемента памяти



Элемент памяти (триггер) может быть задан одним из нескольких способов: сокращенной таблицей переходов, полной таблицей переходов, характеристическим уравнением, матрицей переходов. Рассмотрим последний способ.

Для каждого из 4-х возможных переходов элементарного автомата (00, 01, 10, 11) всегда найдется значение входного сигнала, равное 0 или 1, которое вызывает данный переход. Если элементарный автомат имеет 2 или более входов, то на некоторые переходы значения входных сигналов, действующих на одном или другом входе, оказываются несущественными.

Количество строк матрицы всегда равно 4 (по количеству возможных переходов), количество столбцов равно числу входных сигналов. Элемент матрицы biskпредставляет собой значение входного сигнала xkпод действием которого элементарный автомат перейдет из состояния iв состояние s. При этом biskвсегда равняется 0 или 1, или неопределен, если он не влияет на данный переход.

Матрица переходов элементарного автомата составляется по таблице переходов.

Рассмотрим пример построения матрицы переходов триггера.

Пусть триггер, в общем случае, задан сокращенной таблицей переходов (табл. 24.). Построить полную таблицу переходов триггера и матрицу переходов.




<img width=«271» height=«545» src=«ref-1_1546490308-21926.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_67»>
Полная таблица переходов триггера, построенная по сокращенной, представлена в таблице 25. По полной таблице переходов запишем комбинации входных сигналов, соответствующих всем возможным переходам (табл. 26.) Таким образом:

1. Для перехода «0-0» Х=0, Yможет быть равен 0 или 1

2. Для перехода «0-1» Х=1, Yможет быть равен 0 или 1

3. Для перехода «1-0» Х может быть равен 0 или 1, а Y=0.

4. Для перехода «1-1» Х может быть равен 0 или 1, а Y=1.

Тогда матрица переходов триггера запишется в виде:





0-0



b1

0-1

1

b2

1-0

b3



1-1

b4

1



где    b1,b2,b3,b4 — произвольные сигналы (0 или 1).

Как правило, значение двух различных коэффициентов bi, и bsиз одной строки матрицы являются зависимыми друг от друга и нахождение этой зависимости с ростом числа информационных входов усложняется. Установление точной взаимозависимости между входными переменными триггера является обязательным условием, обеспечивающим возможность максимального упрощения схем с памятью. В основе методики лежит таблица, в которой представлены возможные сочетания входных переменных и соответствующие им описания (табл. 27.).
<img width=«487» height=«231» src=«ref-1_1546512234-35875.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">
С учетом доопределений входных переменных матрицы переходов некоторых стандартных триггеров имеют вид (таб. 28.)






Таблица 28.Матрицы переходов триггеров




    продолжение
--PAGE_BREAK--5.               
Кодирование состояний и выходов автомата и сложность комбинационных схем



Анализ канонического метода структурного синтеза показал, что различные варианты кодирования состояний автомата приводят к различным выражениям для функций возбуждения и функций выходов.

В рассмотренном ранее примере коды состояний автомата принимали значения: a1=00, a2=01, а3=11. Если принять коды: a1=01, а2=01, а3=00, то таблица переходов структурного автомата примет вид (табл. 29).

Если в качестве запоминающего элемента применить D-триггер, то таблица формирования функций возбуждения будет совпадать с данной таблицей. Тогда функции примут вид:
Таблица 29



ZlZ2

a1a2

00

01

10

01

10

00

10

10

-

01

00

00

01

-

00



<img width=«164» height=«25» src=«ref-1_1546548109-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">;

<img width=«171» height=«25» src=«ref-1_1546548420-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">;
Если сравнить с предыдущим результатом, то нетрудно сделать вывод, что реализация этих выражений комбинационной схемой проще.

В данном случае при кодировании состояний был использован весовой метод, который может быть использован и для кодирования выходных сигналов.

Алгоритм весового метода кодирования:

1. Каждому выходному сигналу у, ставится в соответствие целое число Pi, равное числу появлений сигнала уiв таблице выходов автомата.

2. Числа Piсортируются по убыванию.

3. Выходной сигнал yiс наибольшим весом (Pimax) кодируются кодом, содержащим все 0 (00...00).

4. Следующие Lвыходных сигналов (где L— число разрядов в двоичном векторе выходного сигнала) по списку убывания веса (см п. 2) кодируются кодами, содержащими одну 1 (00...01, 00...10,… ,10...00).

5. Для кодирования следующих по списку убывания выходных сигналов используются все коды, содержащие две единицы, затем три единицы и т.д., пока не будут закодированы все выходные сигналы.

В результате получаем такое кодирование, при котором чем чаще встречается выходной сигнал в таблице выходов, тем меньше единиц содержится в его коде.

Кодирование внутренних состояний двоичными символами оказывает существенное влияние на стоимость комбинационной части схемы автомата. Оптимальное кодирование даст минимальную стоимость, однако алгоритм эффективного кодирования неизвестен. Тем не менее, при кодировании внутренних состояний автомата используются различные эвристические алгоритмы, позволяющие, по крайней мере в некоторых случаях получить кодирование, близкое к оптимальному.

Д.А. Морозом предложен эвристический алгоритм кодирования внутренних состояний автоматов, основанный на минимизации суммарного числа изменений состояний элементов памяти автомата на всех переходах автомата.

При таком критерии уменьшается сложность схем, реализующих дизъюнкции на входах элементов памяти, т.е. минимизируется комбинационная схема автомата. Для оценки кодирования вводится коэффициент эффективности кодирования:
Kэф= W/P;




где    Р — общее количество переходов автомата,

W— весовая функция: W=tij

где    tij— расстояние Хэмминга между кодами состояний аiи аj, равное числу элементов памяти, изменяющих свое состояние на данном переходе.

Отметим, что при определении весовой функции суммирование производится по всем переходам автомата. Коэффициент эффективности позволяет оценить сложность комбинационной схемы автомата: чем меньше его значение, тем меньше сложность комбинационной схемы, и оптимальный вариант — Kэф=1.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Построить матрицу М, составленную из всех пар номеров (ar, br) переходов автомата.

2. Переставить строки в матрице таким образом, чтобы в каждой последующей строке содержался хотя бы один элемент из предыдущих строк.

3. Закодируем состояния из первой строки матрицы М следующим образом: Ka1=00...00, Kb1=00...01.

4. Вычеркнем из матрицы М первую строку с закодированными состояниями. Получим матрицу М'.

5. В начальной строке матрицы М' закодирован один элемент. Выберем из первой строки матрицы М' незакодированный элемент и обозначим его .

6. Построим матрицу M, выбрав из матрицы М' строки, содержащие у. Пусть В={1,2,...,f,...,F} — множество элементов из матрицы My, которые уже закодированы. Их коды обозначим через К1, К2,...<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1546423628-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">, Кf,..., КFсоответственно.

7. Для каждого Кgf(f=1, 2,...,F) найдем C1gf— множество кодов, отстоящих от Кgfна расстояние Хэмминга, равное 1 и еще не занятых для кодирования состояний автомата. Построим множество <img width=«63» height=«34» src=«ref-1_1546548810-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">.

Если D1=0, то строим новое множество <img width=«75» height=«41» src=«ref-1_1546549115-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">, где <img width=«29» height=«31» src=«ref-1_1546549587-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">  — множество кодов, у которых кодовое расстояние с кодом Kfравно 2. Если и D2=0, строим D3и т.д., пока не найдем <img width=«53» height=«31» src=«ref-1_1546549812-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">. Пусть <img width=«136» height=«22» src=«ref-1_1546550092-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">.

8. Для каждого Кgнаходим wgf=|Kg— Kf|2 — расстояние Хэмминга между Кgи всеми используемыми кодами Kf(f=1, 2, ...,F).

9. Находим <img width=«157» height=«42» src=«ref-1_1546550458-588.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">

10. Из <img width=«29» height=«31» src=«ref-1_1546551046-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> выбираем К, у которого Wg=Wgmin. Элемент у кодируем кодом К.

11. Из матрицы М' вычеркиваем строки, в которых оба элемента закодированы, в результате чего получаем новую матрицу, которую также обозначаем М’. Если в матрице М' не осталось ни одной строки, переходим к п. 12, иначе к п. 5.

12. Вычисляем функцию <img width=«72» height=«28» src=«ref-1_1546551277-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> где tij=|Kj-Kj|2.

13. Конец.

Оценкой качества кодирования по рассмотренному алгоритму может служить число K=W/P, где P— число переходов в автомате. Очевидно, что K>=1, причем, чем меньше значение K, тем лучше результат кодирования.

Рассмотрим пример кодирования автомата, заданного таблицей переходов и выходов.






<img width=«277» height=«267» src=«ref-1_1546551584-11567.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_73»>
1. Строим матрицу М:

Кодируем первую строку: K1=00;K2=01;

2. Вычеркиваем из матрицы М 1-ю строку (1-3) и 6-ю строку (3-1). Получаем матрицу М', в первой строке которой незакодирован элемент 4. Обозначим =4 и запишем матрицу M,. В матрице Mзакодированы 1 и З: В={1,3}={00,01} <img width=«210» height=«25» src=«ref-1_1546563151-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> Находим W:
W10=|00| |10|=3;              W11=|00| |11|=3;

|10|+|01|                          |11|+|01|
Выбираем K4=10.

Вычеркнем из М' строку (1-4). Получим новую матрицу М', в первой строке которой не закодирован элемент 2. Обозначим g=2 и запишем матрицу М2. В матрице М2 закодированы элементы 3, 4:
Вg={3,4}={01,10} <img width=«214» height=«25» src=«ref-1_1546563588-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">






<img width=«464» height=«88» src=«ref-1_1546564061-12047.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">
Вычислим K=W/P=9/8=1,125.





    продолжение
--PAGE_BREAK--