Реферат: Иерархическое управление большими системами

--PAGE_BREAK--В этой декомпозиции большой взаимосвязанной линейной системы общие коэффициенты связи между ее N подсистемами – это переменная взаимосвязи zi(t), которые, вместе с (4.3.15)-(4.3.16), образуют ограничение связи. Эта формулировка называется глобальной и обозначается SG. Можно сделать следующее допущение. Глобальная проблема SG заменяется группой N подзадач, соединенных вместе через вектор параметров a=(a1,…,aN) и обозначенных si(a), i=1,…,N. Другими словами, глобальная системная задача SG включена в группу подсистемных проблем si(a) через внутренний параметр (Sandell и др., 1978) таким образом, что для определенного значения a*, подсистемы Si(a*), и i=1,…,N, дают желаемое решение для SG. Используя обозначения иерархического управления, эта внутренняя идея это и есть понятие согласования, но используя терминологию математического программирования задач, она называется основной проблемой (Geoffrion, 1970). На рисунке 4.6 изображена двухуровневая структура управления большой системой. Под этой стратегией, на i-й итерации каждый местный контроллер i получает <shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image085.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb169593.zip» v:shapes="_x0000_i1069"> от координатора (второй уровень иерархии), решает <shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image087.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb169594.zip» v:shapes="_x0000_i1070"> и передает (сообщает) некоторую функцию <shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image089.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb169595.zip» v:shapes="_x0000_i1071"> этого решения координатору.
Координатор, в свою очередь, оценивает следующее значение <shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image091.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb169564.zip» v:shapes="_x0000_i1072">, т.е.:
<shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image092.wmz» o:><img width=«101» height=«21» src=«dopb169596.zip» v:shapes="_x0000_i1073">                                                                          (4.3.19)
где ei – это l-й размер шага итерации, и новый компонент dl, как мы вскоре увидим, часто берется за функцию ошибка взаимодействия:
<shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image094.wmz» o:><img width=«255» height=«56» src=«dopb169597.zip» v:shapes="_x0000_i1074">                                           (4.3.20)
Внутреннюю переменную взаимодействия zi(*) в (4.3.20) можно считать частью управляющей переменной доступной для контроллера i, в этом случае вектор параметра a(t) является набором двойных переменных или множителем Лагранжа, который соответствует ограничениям уравнения взаимодействия (4.3.16). Фундаментальная идея, которая стоит за этим подходом должна преобразовать задачу поиска минимума первоначальной системы в более легкую задачу поиска максимума, решение которой можно получить посредством двухуровневой итеративной схемы. Которая обсуждалась выше.
Введем двойную функцию
<shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image096.wmz» o:><img width=«163» height=«33» src=«dopb169598.zip» v:shapes="_x0000_i1075">                                                             (4.3.21)
к объекту (4.3.15), где Лагранжиан L(*) определен как:
<shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image098.wmz» o:><img width=«443» height=«117» src=«dopb169599.zip» v:shapes="_x0000_i1076">     (4.3.22)
где вектор параметра а состоит из k множителей Лагранжа. Таким образом, первоначально ограниченная (взаимодействием подсистем) оптимизационная задача превращается в неограниченную, другими словами ограничение (4.3.16) удовлетворяется через определение набора множителей Лагранжа ai, i=1,…,k. В таких случаях, когда функции ограничений выпуклые, теорема сильной двойственности Лагранжа (Geoffrion, 1971a, b; Singh, 1980) показывает, что
<shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image100.wmz» o:><img width=«119» height=«29» src=«dopb169600.zip» v:shapes="_x0000_i1077">                                                                       (4.3.23)
определяя, что минимизация J в (4.3.17) для объекта (4.3.15)-(4.3.16) эквивалентна максимуму двойной функции q(a) в (4.3.21) по параметру a. Чтобы облегчить решение этой задачи, замечено, что для определенного набора этих множителей Лагранжа а=а*, Лагранжиан можно переписать в виде:
<shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image102.wmz» o:><img width=«520» height=«117» src=«dopb169601.zip» v:shapes="_x0000_i1078">(4.3.24)
который обнаруживает, что декомпозицию применяют к Лагранжиану таким образом, что, подлагранжиан Li существует для каждой подсистемы. Каждая подсистема будет стремиться минимизировать свой собственный подлагранжиан Li, как определенно в (4.3.24) для объекта (4.3.15) и используя множители Лагранжа a*, которые считаются известными функциями на первом уровне иерархии. Результат каждой такой минимизации позволит определить двойственную функцию q(a*) в (4.3.21). На втором уровне, на котором решение всех подсистем первого уровня известны, значение q(a*) будет изменено типичной неограниченной оптимизацией, например метод Ньютона, градиента или скоростного градиента. Градиентные методы используются потому, что градиент q(a) определяется:
<shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image104.wmz» o:><img width=«283» height=«56» src=«dopb169602.zip» v:shapes="_x0000_i1079">                                               (4.3.25)
это ошибки взаимодействия подсистем, которые известны из решений первого уровня и <shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image106.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb169603.zip» v:shapes="_x0000_i1080"> определяет градиент f по х. На втором уровне вектор a изменяется по формуле (4.3.19) и рисунку 4.6. Если применяется градиентный метод (с крутым склоном), вектор dl в (4.3.19) является просто l-й итеративной ошибкой взаимодействия el(t). Однако, для повышения точности вычислений определим скоростной градиент как:
<shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image108.wmz» o:><img width=«228» height=«25» src=«dopb169604.zip» v:shapes="_x0000_i1081">                                                (4.3.26)
где
<shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image110.wmz» o:><img width=«172» height=«72» src=«dopb169605.zip» v:shapes="_x0000_i1082">                                                            (4.3.27)
и d0=e0. Как только вектор ошибки e(t) достигает нуля, появляется оптимальное иерархическое управление s. Ниже дана пошаговая процедура вычисления для метода согласования цели иерархического управления.
Алгоритм 4.1. Метод согласования цели.
Шаг 1. Для каждой подсистемы первого уровня, минимизируем каждый подлагранжиан Li, используя известный множитель Лагранжа a=a*, так как подсистемы линейные, может быть использовано уравнение Риккати. Сохраним решение. (Читатели не знакомые с уравнением Риккати могут прочитать раздел 4.3.2, метод прогнозирования взаимодействия).
Шаг 2. На втором уровне используется итеративный метод скоростного градиента, похожий на (4.3.26)-(4.3.27), чтобы изменить траектории a*(t) как в (4.3.19). Как только общая ошибка взаимодействия системы будет нормализована из
<shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image112.wmz» o:><img width=«385» height=«92» src=«dopb169606.zip» v:shapes="_x0000_i1083">                 (4.3.28)
и будет достаточно мала, будет достигнуто оптимальное решение для системы. Здесь <shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image114.wmz» o:><img width=«19» height=«16» src=«dopb169607.zip» v:shapes="_x0000_i1084"> – размер шага интегрирования.
Два примера ниже иллюстрируют метод согласования цели или баланса взаимодействия. Первый пример, который был предложен Pearson (1971), и позже рассмотрен Singh (1980) и Jamshidi (1983), использован в изменненой форме. Второй пример показывает модель многоколенной задачи загрязнения реки (Beck, 1974; Singh, 1975). Полная оценка многоуровневых методов дана в секции 4.6, а описание нелинейных многоуровневых нелинейных систем в главе 6. Две альтернативы решения этого иерархического управления основаны на расширенных рядах Тейлора и Чебышева в разделе 4.6.
Пример 4.3.1. Рассмотрим систему 12-го порядка введенную Pearson (1971) и показанную на рис 4.7 с уравнением состояния:
<shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image116.wmz» o:><img width=«376» height=«288» src=«dopb169608.zip» v:shapes="_x0000_i1085">                            (4.3.29)
и квадратичной функцией оценки:
<shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image118.wmz» o:><img width=«224» height=«35» src=«dopb169609.zip» v:shapes="_x0000_i1086">                                                 (4.3.30)
с
<shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image120.wmz» o:><img width=«324» height=«24» src=«dopb169610.zip» v:shapes="_x0000_i1087">
где
<shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image122.wmz» o:><img width=«229» height=«24» src=«dopb169611.zip» v:shapes="_x0000_i1088">
Вектор выхода системы представлен как:
<shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image124.wmz» o:><img width=«267» height=«192» src=«dopb169612.zip» v:shapes="_x0000_i1089">                                         (4.3.31)
Необходимо найти стратегию иерархического управления по методу баланса взаимодействий (согласования цели).
Решение: Из схемы системы, показанной на рисунке 4.7 (пунктирные линии) и матрицы состояния (4.3.29) ясно, что есть четыре подсистемы третьего порядка соединенных через шесть ограничивающих уравнений (по числу пунктирных линий на рис. 4.7):
<shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image126.wmz» o:><img width=«369» height=«48» src=«dopb169613.zip» v:shapes="_x0000_i1090">                    (4.3.32)
где ei, i=1,…,6 представляет ошибки взаимодействия между четырех подсистемами. Задачи подсистем первого уровня были решены через набор из четырех матричных уравнений Риккати третьего порядка:
<shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image128.wmz» o:><img width=«377» height=«25» src=«dopb169614.zip» v:shapes="_x0000_i1091">                            (4.3.33)
где Ki(t) – это положительно определенная матрица Риккати ni x ni и <shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image130.wmz» o:><img width=«89» height=«25» src=«dopb169615.zip» v:shapes="_x0000_i1092">. Методы «без взаимодействия» и «удвоения» решают дифференциальное матричное уравнение Риккати, предложены Davison и Maki в 1973 и рассмотрены Jamshidi в 1980, были использованы для компьютерного решения (4.3.33). Уравнения состояния подсистем были решены стандартным методом Рунге-Кутта четвертого порядка, а итерации второго уровня были выполнены по схеме скоростного градиента (4.3.19), (4.3.26)-(4.3.27), используя кубическую сплайн интерполяцию (Hewlett-Packard, 1979) для оценки подходящих численных интегралов. Размер шага был выбран <shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image132.wmz» o:><img width=«21» height=«13» src=«dopb169616.zip» v:shapes="_x0000_i1093">=0.1, как и в более ранних рассмотрениях этого примера (Pearson, 1971; Singh, 1980). Алгоритм скоростного градиента позволил уменьшить ошибку с 1 до <shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image134.wmz» o:><img width=«29» height=«21» src=«dopb169617.zip» v:shapes="_x0000_i1094">за шесть итераций, как показано на рисунке 4.8, который был в тесной связи с результатами предыдущих исследований модифицированной версии системы (4.3.29), полученными Singh (1980). Рассмотрим второй пример.
Пример 4.3.2. Рассмотрим двухколенную модель задачи управления загрязнением реки.
<shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image136.wmz» o:><img width=«291» height=«96» src=«dopb169618.zip» v:shapes="_x0000_i1095">                                    (4.3.34)
где каждое колено (подсистема) реки имеет два состояния – x1 – это концентрация биохимической потребности в кислороде (БПК) (биохимическая потребность в кислороде представляет собой уровень содержания кислорода полученного в результате распада органического вещества) и х2 – это концентрация растворенного кислорода (РК) – и управление u1 – это БПК вод втекающих в реку. Для квадратичной функции оценки
<shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image138.wmz» o:><img width=«163» height=«35» src=«dopb169619.zip» v:shapes="_x0000_i1096">                                                             (4.3.35)
С Q=diag(2,4,2,4) и R=diag(2,2), необходимо найти оптимальное управление, которое оптимизирует (4.3.35) для объекта (4.3.34) при x(0)=(11 -11)T.
Решение: Как видно из (4.3.34)-(4.3.35), две задачи первого уровня идентичны, и матричное уравнение Риккати второго порядка решается интегрированием (4.3.33) используя метод Рунге-Кутта четвертого порядка при <shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image132.wmz» o:><img width=«21» height=«13» src=«dopb169616.zip» v:shapes="_x0000_i1097"> =0.1. Ошибка взаимодействия в этом примере снижена до <shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image140.wmz» o:><img width=«29» height=«21» src=«dopb169620.zip» v:shapes="_x0000_i1098"> за 15 итераций, как показано на рисунке 4.9. Оптимальные концентрации БПК и РК двух колен реки показаны на рисунке 4.10.
4.3.2. Метод прогнозирования взаимодействия.
Альтернативный подход к оптимальному управлению иерархическими системами, который имеет как открытый, так и закрытый контур управления, — это метод прогнозирования взаимодействия, который основывается на работе Takahara (1965), который избегает упоминания о градиентных итерациях второго уровня. Рассмотрим большую линейную взаимосвязанную систему, которая декомпозирована на N подсистем, каждая из которых может быть описана
<shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image142.wmz» o:><img width=«352» height=«24» src=«dopb169621.zip» v:shapes="_x0000_i1099">                        (4.3.36)
Где вектор взаимодействия zi:
<shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image144.wmz» o:><img width=«119» height=«56» src=«dopb169622.zip» v:shapes="_x0000_i1100">                                                                      (4.3.37)
Задача оптимального управления на первом уровне – найти управление ui(t), которое удовлетворяет (4.3.36)-(4.3.37), минимизируя обычную квадратичную функцию оценки:
<shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image146.wmz» o:><img width=«367» height=«35» src=«dopb169623.zip» v:shapes="_x0000_i1101">                     (4.3.38)
Эту задачу можно решить введением множества множителей Лагранжа ai(t), и векторов косостояния pi(t), чтобы увеличить ограничение уравнения взаимодействия (4.3.37) и подсистем динамического ограничения (4.3.36) до подынтегральной функции оценки, т.е. Гамильтониан i-й подсистемы будет определен как:
<shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image148.wmz» o:><img width=«276» height=«83» src=«dopb169624.zip» v:shapes="_x0000_i1102">                                       (4.3.39)
Затем должно быть написано несколько необходимых условий:
<shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image150.wmz» o:><img width=«269» height=«56» src=«dopb169625.zip» v:shapes="_x0000_i1103">                                        (4.3.40)
<shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image152.wmz» o:><img width=«313» height=«27» src=«dopb169626.zip» v:shapes="_x0000_i1104">                               (4.3.41)
<shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image154.wmz» o:><img width=«359» height=«25» src=«dopb169627.zip» v:shapes="_x0000_i1105">                      (4.3.42)
<shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image156.wmz» o:><img width=«213» height=«25» src=«dopb169628.zip» v:shapes="_x0000_i1106">                                                   (4.3.43)
где векторы ai(t) и zi(t) – уже не считаются неизвестными на первом уровне, и фактически ai(t) увеличивает zi(t), чтобы образовать широкоразмерный вектор согласования, который мы рассмотрим ниже. Для решения задачи первого уровня, надо принять <shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image158.wmz» o:><img width=«97» height=«25» src=«dopb169629.zip» v:shapes="_x0000_i1107"> как известную. Замете, что ui(t) можно выделить из (4.3.43):
<shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image160.wmz» o:><img width=«133» height=«25» src=«dopb169630.zip» v:shapes="_x0000_i1108">                                                                   (4.3.44)
и подставить в (4.3.40)-(4.3.42), получив:
<shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image162.wmz» o:><img width=«293» height=«24» src=«dopb169631.zip» v:shapes="_x0000_i1109">                                   (4.3.45)
<shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image164.wmz» o:><img width=«388» height=«57» src=«dopb169632.zip» v:shapes="_x0000_i1110">                (4.3.46)
который образует линейную двухточечную краевую (ДТК) задачу, и, как в (4.3.33) <shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image166.wmz» o:><img width=«85» height=«25» src=«dopb169633.zip» v:shapes="_x0000_i1111">. Можно увидеть, что ДТК задача может быть разложена введением матрицы Риккати. Это выглядит как:
<shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image168.wmz» o:><img width=«164» height=«24» src=«dopb169634.zip» v:shapes="_x0000_i1112">                                                             (4.3.47)
где gi(t) – это разомкнутый сопряженный или компенсирующий вектор, размерностью ni. Если обе части уравнения (4.3.47) продифференцированы и <shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image170.wmz» o:><img width=«36» height=«24» src=«dopb169635.zip» v:shapes="_x0000_i1113"> и <shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image172.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb169636.zip» v:shapes="_x0000_i1114"> из (4.3.46) и (4.3.45) подставлены в него, можно вновь использовать (4.3.47) и уравнительные коэффициенты для первого и нулевого порядка xi(t), получив следующие матричные и векторные дифференциальные уравнения:
<shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image174.wmz» o:><img width=«308» height=«25» src=«dopb169637.zip» v:shapes="_x0000_i1115">                                (4.3.48)
<shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image176.wmz» o:><img width=«373» height=«57» src=«dopb169638.zip» v:shapes="_x0000_i1116">                   (4.3.49)
где конечные условия Ki(tf) и gi(tf) вытекают из (4.3.41) и (4.3.47).
<shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image178.wmz» o:><img width=«156» height=«23» src=«dopb169639.zip» v:shapes="_x0000_i1117">                                                               (4.3.50)
В результате данного уравнения оптимальное уравнение первого уровня становится
<shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image180.wmz» o:><img width=«247» height=«25» src=«dopb169640.zip» v:shapes="_x0000_i1118">                                             (4.3.51)
который имеет частичную закрытую обратную связь и прямую (открытую) обратную связь. Можно сделать два вывода. Первый, решение дифференциального, симметричного матричного уравнения Риккати, в которое включены ni(ni+1)/2 нелинейных скалярных уравнений не зависит от первоначального состояния xi(0). Второй, в отличие от Ki(t), gi(t) в (4.3.49) посредством zi(t) зависит от xi(0). Это свойство будет использовано в разделе 4.4, чтобы получить абсолютно закрытое управление в иерархической структуре.
Задача второго уровня сильно изменяет новый вектор согласования <shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image158.wmz» o:><img width=«97» height=«25» src=«dopb169629.zip» v:shapes="_x0000_i1119">. Для этой цели определите аддитивно отделяемый Лагранжиан:
<shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image182.wmz» o:><img width=«329» height=«129» src=«dopb169641.zip» v:shapes="_x0000_i1120">                                      (4.3.52)
Значение ai(t) и zi(t) можно получить из:
<shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image184.wmz» o:><img width=«225» height=«25» src=«dopb169642.zip» v:shapes="_x0000_i1121">                                                 (4.3.53)
<shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image186.wmz» o:><img width=«240» height=«57» src=«dopb169643.zip» v:shapes="_x0000_i1122">                                              (4.3.54)
т.е.:
<shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image188.wmz» o:><img width=«243» height=«57» src=«dopb169644.zip» v:shapes="_x0000_i1123">                                             (4.3.55)
Процедура согласования второго уровня на итерации (l+1) имеет вид:
<shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image190.wmz» o:><img width=«172» height=«89» src=«dopb169645.zip» v:shapes="_x0000_i1124">                                                           (4.3.56)
Метод прогнозирования взаимодействия формулируется следующим алгоритмом:
Алгоритм 4.2 Метод прогнозирования взаимодействия для непрерывных систем:
Шаг 1. Решить N независимых дифференциальных матричных уравнений Риккати (4.3.48) с конечным условием (4.3.50) и сохраните Ki(t), i=1,2…,N. Инициализируйте ai(t) случайными числами и найдите соответствующее значение для zi(t).
Шаг 2. На l-й итерации используйте значения <shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image192.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb169646.zip» v:shapes="_x0000_i1125"> чтобы решить сопряженное уравнение (4.3.49), с конечным условием (4.3.50). Сохраните gi(t), i=1,2,…,N.
Шаг 3. Решите уравнение состояния
<shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image194.wmz» o:><img width=«353» height=«24» src=«dopb169647.zip» v:shapes="_x0000_i1126">                       (4.3.57)
И сохраните xi(t), i=1,2,…,N.
Шаг 4. На втором уровне используйте результаты шагов 2 и 3 и (4.3.56) чтобы изменить согласующий вектор:
<shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image158.wmz» o:><img width=«97» height=«25» src=«dopb169629.zip» v:shapes="_x0000_i1127">
Шаг 5. Проверьте сходимость на втором уровне, оценив общую ошибку взаимодействия:
<shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image196.wmz» o:><img width=«349» height=«57» src=«dopb169648.zip» v:shapes="_x0000_i1128">                        (4.3.58)
Шаг 6. Если необходимая сходимость достигнута – остановитесь. Иначе, установите l=l+1 и перейдите к шагу 2.
Важно отметить, что в зависимости от типа цифрового компьютера, и его операционной системы, расчеты подсистем могут осуществляться параллельно, а также N-матричное уравнение Риккати на шаге 1 не зависит от xi(0), и значит их необходимо вычислить один раз, не зависимо от числа итераций второго уровня в алгоритме прогнозирования взаимодействия (4.3.56). В отличие от методов согласования цели, zi(t) не нужен в функции оценки, который был необходим, чтобы избежать однородности, о чем будет написано в следующем разделе.
Метод прогнозирования взаимодействия, введенный Tokahara (1965), был рассмотрен многими исследователями, которые внесли в него существенный вклад. Среди них Titli (1972) который назвал этот метод смешанным (Singh, 1980) и Cohen и др. (1974), который предоставил более убедительные доказательства сходимости чем предложенные ранее. Smith и Sage (1973) рассмотрели эту схему для нелинейных систем, которая будет рассмотрена в Главе 6. Сравнение методов прогнозирования взаимодействия, согласования цели и подходов без интеграции, рассмотренных в разделе 4.4, дано в разделе 4.5. Следующие два примера, а потом пример в САПР иллюстрирует метод прогнозирования взаимодействий.
Пример 4.3.3. Рассмотрим систему четвертого порядка
<shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image198.wmz» o:><img width=«325» height=«96» src=«dopb169649.zip» v:shapes="_x0000_i1129">                             (4.3.59)
Где x(0)=(-1,0.1,1.0,-0.5)T, квадратичная функция оценки Q=daig(2,1,1,2), R=diag(1,2) и нет граничного штрафа. Надо использовать метод прогнозирования взаимодействия и найти оптимальное управление для tf =1.
Решение: Систему разделили на две подсистемы второго порядка и применили методы, описанные в алгоритме 4.2. На первом шаге решили два независимых дифференциальных матричных уравнения Риккати используя как дублирующий алгоритм Davison и Maki (1973), так и стандартный метод Рунге-Кутта. Элементы матрицы Риккати были представлены в виде квадратичного полинома в ряде Чебышева (Newhouse,1962), для удобства вычислений:
<shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36680.files/image200.wmz» o:><img width=«393» height=«109» src=«dopb169650.zip» v:shapes="_x0000_i1130">               (4.3.60)
На первом уровне были решены два сопряженных уравнения второго порядка в виде (4.3.49) и два уравнения состояния подсистем, как показано в алгоритме 4.2 в шаге 3, используя метод четвертого порядка Рунге-Кутта и первоначальные значения
    продолжение
--PAGE_BREAK--