Реферат: Представление численной информации в ЭВМ. Системы счисления

--PAGE_BREAK--1.1 Непозиционные системы счисления


Непозиционные системы счисления — это системы счисления, алфавит которых содержит неограниченное количество символов (цифр), причем количественный эквивалент любой цифры постоянен и зависит только от начертания и не зависит от положения в числе. Такие системы строятся по принципу аддитивности, т.е. количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр в числе. Наиболее известными представителями непозиционных систем счисления являются иероглифические и алфавитные, в частности, иероглифическая система — римская система счисления. Запись чисел в алфавитных системах счисления строится по такому же принципу.

К основным недостаткам непозиционных систем счисления можно отнести:

1) отсутствие нуля;

2) необходимость содержания бесконечного количества символов;

3) сложность арифметических действий.

Основное внимание уделим позиционным системам счисления.


1.2 Позиционные системы счисления



Позиционными называются такие системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе. Основное достоинство позиционных систем счисления — удобство выполнения вычислений.

Позиционные системы счисления разделяются на ряд подклассов.

Неоднородные позиционные системы счисления (со смешанным основанием)

В таких системах счисления в каждом разряде количество допустимых символов может быть различно значения не зависят друг от друга и могут принимать любые значения. Примером неоднородной позиционной системы счисления может служить система счисления времени, для которой Р0 — 1сек, Р1 — 60 сек, Р2 — 60 мин, Р3 — 24 часа, Р4 — 365 суток.

Однородные позиционные системы счисления.

Это частный случай позиционных систем счисления, в них веса отдельных разрядов представляют собой ряд членов геометрической прогрессии со знаменателем p. Поэтому число в однородных системах может быть представлено в общем случае полиномом вида:
А(p)= аnрn+ аn-1рn-1 +… а1р1 + а0р0+ а-1р-1 +...+ а—kр-k,

или
<img width=«96» height=«45» src=«ref-1_1591219679-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">
Основанием однородной позиционной системы может быть любое целое число, так как в определении позиционных систем счисления не наложено никаких ограничений на величину основания. Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления.

Обычно число в однородной системе счисления записывается в сокращенном виде:
А(p)= аnаn-1… а1а0а-1… а—k,
а название системы счисления определяет ее основание: десятеричная, двоичная, восьмеричная, и т.д. Для любой позиционной системы счисления справедливо, что ее основание изображается символами 10 в своей системе.

Кодированные системы счисления

Это такие системы, в которых цифры одной системы счисления кодируются при помощи цифр другой системы. Примером может служить двоично-десятичная система с весами (8-4-2-1) или (8-4-2-1+3).






2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Существует два основных метода перевода чисел из одной системы счисления в другую: табличный и расчетный [2].

Табличный метод прямого перевода основан на сопоставлении таблиц соответствия чисел различных систем счисления. Этот метод очень громоздок и требует очень большого объема памяти для хранения таблиц, но применим для любых систем счисления.

Расчетный метод перевода применим только для позиционных однородных систем счисления.
2.1 Перевод целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Пусть задано число А в произвольной позиционной системе счисления с основанием Lи его необходимо перевести в новую систему счисления с основанием Р, т.е. преобразовать к виду:
А(p)= аnрn+ аn-1рn-1 +… а1р1 + а0р0,                    (2.1)
где ai= 0 ч (p-1) — база новой системы счисления.

Это выражение можно записать в виде:
А=А1р+а0,
где    А1= (аnрn-1+ аn-1рn-2 +… а2р1 + а1) — целая часть частного,

а0 — остаток от деления А/р, который является цифрой младшего разряда искомого числа.

При делении числа А1 на р получим остаток а1 и т.д. Иными словами, если записать выражение (2.1) по схеме Горнера:

<img width=«306» height=«28» src=«ref-1_1591220034-815.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">,
после чего правую часть последовательно разделить на основание новой системы счисления р, то получим коэффициенты:
<img width=«91» height=«26» src=«ref-1_1591220849-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">

<img width=«107» height=«24» src=«ref-1_1591221074-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">

...

<img width=«138» height=«24» src=«ref-1_1591221288-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">

<img width=«112» height=«24» src=«ref-1_1591221527-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">
При этом деление продолжается до тех пор, пока не окажется, что <img width=«124» height=«23» src=«ref-1_1591221742-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">

Правило перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую формулируется следующим образом:

Чтобы перевести целое число из одной позиционной системы счисления в другую необходимо исходное число последовательно делить на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления, до получения частного, равного нулю. Число в новой системе счисления записывается из остатков от деления, начиная с последнего.

Рассмотрим в качестве примера перевод целого числа 138 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную системы счисления.
138, 69, 34, 17, 8, 4, 2, 1, 0- частное

 0 1 0 1 0 0 0 1 — остаток

138, 17, 2, 0- частное

 2 1 2

138, 8, 0

 10 8

[138]10=[10001010]2=[212]8=[8А]16
При переводе из двоичной системы счисления в десятичную исходное число необходимо делить на основание новой системы, т.е. на 10102.

Деление выполнить в двоичной системе трудно, поэтому на практике удобнее пользоваться общей записью числа в виде полинома. При переводе двоичных чисел в десятичную систему счисления обычно подсчитывают сумму степеней основания 2, при которых коэффициенты аіравны 1. Расчеты при этом ведутся в десятичной системе.
2.2 Перевод правильных дробей
Пусть правильную дробь А, заданную в произвольной позиционной системе счисления с основанием Lнеобходимо перевести в новую систему с основанием Р, т.е. преобразовать ее к виду:
А= а-1р-1 +...+ а—kр-k,                                                            (2.2)
если, аналогично переводу целых чисел разделить обе части выражения на р-1, т.е умножить на р, то получим:
Ар = а-1 + А1,
где А1= а-2р-1 + а-3р-2 +...+ а—kр-k+1— дробная часть произведения,

а-1 — целая часть результата.

Полученная при этом цифра целой части результата и будет первой цифрой искомого числа. Умножив теперь дробную часть результата на основание новой системы счисления, получим:
А1р = а-2 + А2,

где А2 — дробная часть произведения,

а-2 — следующая цифра искомого числа.

Следовательно, при переводе выражение (2.2) представляется по схеме Горнера:
А = р-1(а-1 +р-1(а-2 +… + р-1(а-к+1 + р-1а-к)...)).
Для перевода правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую ее надо последовательно умножать на основание новой системы счисления до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества цифр, которое определяется требуемой точностью представления дроби. Правильная дробь в новой системе счисления записывается из целых частей произведений получающихся при последовательном умножении, причем первая целая часть будет старшей цифрой новой дроби.

Рассмотрим в качестве примера перевод правильной дроби0,536 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную системы счисления
[0,536]10=[0,10001001]2=[0,422335]8=[0,8937]16



Перевод дроби в общем случае представляет собой бесконечный процесс. Число цифр в новой системе счисления необходимо определять из условия, что точность представления числа в новой системе должна соответствовать точности в исходной системе.



2.3 Перевод неправильных дробей



При переводе неправильной дроби необходимо отдельно перевести целую и дробную части по вышеизложенным правилам и записать число в новой системе счисления, оставив неизменным положение запятой.
2.4 Перевод чисел из системы счисления в систему с кратным основанием



Если основания систем счисления кратны друг другу, т.е. связаны зависимостью:l=pm, то каждая цифра системы счисления с основанием lможет быть представлена mцифрами в системе с основанием p.

Следовательно, для того, чтобы перевести число из исходной системы в новую, основание которой кратно основанию исходной системы, достаточно каждую цифру переводимого числа записать при помощи mцифр в новой системе счисления, если основание исходной системы больше основания новой системы счисления. В противном случае каждые mцифр исходного числа необходимо записать при помощи одной цифры в новой системе счисления, начиная для целых чисел с младшего разряда и для правильных дробей — со старшего.

Пример.

[0,536]10=[0,100’010’010]2=[0,422]8;          [0,1000’1001’0]2=[0,89]16

[138]10=[10’001’010]2=[212]8:           [1000’1010]2=[8А]16






3. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ
Очевидно, что непозиционные системы счисления непригодны для применения в ЭВМ в силу своей громоздкости и трудности выполнения арифметических операций.

Из позиционных наиболее удобны однородные. С точки зрения применения в ЭВМ учитываются следующие факторы.

1. Наличие физических элементов, способных изобразить символы системы.

2. Экономичность системы, т.е. количество элементов необходимое для представления многоразрядных чисел.

3. Трудоемкость выполнения арифметических операций в ЭВМ.

4. Быстродействие вычислительных систем.

5. Наличие формального математического аппарата для анализа и синтеза вычислительных устройств.

6. Удобство работы человека с машиной.

7. Помехоустойчивость кодирования цифр на носителях информации.

Исторически сложилось так, что для применения в ЭВМ была выбрана двоичная система счисления, которая наиболее полно соответствует этим критериям.

В современных универсальных ЭВМ применяются как двоичная, так и десятичная системы счисления. Причем цифры последней кодируются двоичными символами, т. е. речь идет в действительности не о десятичной, а о двоично-десятичной системе счисления. Каждая из отмеченных систем имеет свои достоинства и недостатки, а также свои области применения.

Достоинствами двоичной системы счисления относительно двоично-десятичной являются:

1) экономия порядка 20 % оборудования;

2) примерно в 1,5 раза более высокое быстродействие;

3) упрощение логического построения и значительная экономия оборудования в схемах управления и во вспомогательных цепях.

Достоинствами двоично-десятичной системы являются:

1) отсутствие необходимости перевода исходных данных и результатов расчетов из одной системы в другую;

2) удобство контроля промежуточных результатов путем вывода их на индикацию для визуального наблюдения;

3) более широкие возможности для автоматического контроля из-за наличия в двоично-десятичном коде избыточных комбинаций.

Двоичную систему счисления применяют в больших и средних ЭВМ, предназначенных для решения научно-технических задач, для которых характерен большой объем вычислений и сравнительно малый объем исходных данных и результатов вычислений. Ее также целесообразно применять в ЭВМ, предназначенных для управления технологическими процессами.

Двоично-десятичную систему счисления применяют для решения экономических задач, которые характеризуются большим объемом исходных данных, сравнительной простотой и малым объемом выполняемых над ними преобразований и большим количеством результатов вычислений. Эту систему целесообразно также применять в калькуляторах, ЭВМ, предназначенных для инженерных расчетов, а также в персональных ЭВМ.





4. Двоичная система счисления



Под двоичной системой счисления понимается такая система, в которой для изображения чисел используются два символа, а веса разрядов меняются по закону 2+-к, где к — произвольное целое число. Классической двоичной системой является система с символами 0, 1. Ее двоичные цифры часто называют битами. В общем виде все двоичные числа представляются в виде:
А= ∑аі2і, (і от -к до n)
Чтобы овладеть любой системой счисления, надо уметь выполнять в ней арифметические операции. Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются так же, как и в десятичной в соответствии с таблицами поразрядных вычислений.

Сложение в двоичной системе счисления производится по правилам сложения полиномов. Поэтому при сложении чисел А и В i-й разряд суммы Siи перенос Пiиз данного разряда в (i+1) разряд будет определяться в соответствии со следующим выражением:
аі+bі+ Пі-1=Sі+Пі+1



аі

bі

Пі-1

Sі

Пі+1













1



1



1





1



1

1





1





1

1





1

1



1

1



1



1

1

1

1

1

1





Таблица умножения двух двоичных чисел полностью определяется двумя правилами:

-          умножение любого числа на ноль дает в результате ноль,

-          умножение любого числа на 1 оставляет его без изменения, т.е. результат равен исходному числу.
    продолжение
--PAGE_BREAK--