Реферат: Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл.

Пусть функция определена на отрезке. Разобьем и отрезок точками на n частей .

Определение. Интегральной суммой функции на отрезке называется сумма вида, где, .

Если, тогеометрически представляет собой сумму площадей прямоугольников, имеющих основания и высоты .

Определение. Если функция такова, что существует конечный предел интегральных сумм при условии, что ранг разбиения,, стремится к нулю, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на отрезки, ни от выбора точек на этих отрезках, то функция называетсяинтегрируемой на отрезке, а сам предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается. Таким образом,

= (20.1)

Отметим, что непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Основные свойства определенного интеграла.

Пусть функции и интегрируемы на. Тогда выполнено:

1) = ,

2) Аддитивность: = для

3) Линейность: ,

для любой константы .

4) Интегрирование неравенств:

Если функции интегрируемы на отрезке и для верно неравенство, то .

5) Функция интегрируема на и,

6) Формула Ньютона-Лейбница. Если функция непрерывна на, то для любой ее первообразной имеет место формула:

= .

Формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла схожи с аналогичными формулами для неопределенного интеграла.