Реферат: Понятие бинарного отношения. Способы задания отношений.

R називають бінарним відношеннямна множині A, Якщо. При цьому замість запису часто використовують запис xRy.

Відношенням R на множині Ω називається підмножина декартового добутку ΩхΩ, тобто R Ω2.

Для того, щоб задати відношення (R, Ω), необхідно задати всі пари елементів (х, у)є ΩхΩ, які включено в множину R. Крім повного переліку всіх пар, існують 3 способи задання відношень: за допомогою матриці, графа, розрізів. Перші 2а застосовують, щоб задати відношення на скінченних множинах, задання відношення розрізами може бути застосовано й до нескінченних множин.

Задання відношення за допомогою матриці. Нехай множина Ω складається з n елементів, R – подане на цій множині бінарне відношення. Пронумеруємо елементи множини Ω цілими числами від 1 до n. Для того, щоб задати відношення, побудуємо квадратну таблицю розміром nxn. Її і-й рядок відповідає елементу хі множини Ω, j-й стовпчик — елементу хj з множини Ω. На перетині і-го рядка та j-го стовпчика ставимо 1, якщо елемент хі перебуває у відношенні R з елементом хj, і 0 в інших випадках, а саме: .

Для того, щоб задати відношення графом поставимо у взаємно однозначну відповідність елементам скінченної множини W, на якій визначено відношення, вершини графа x1…xn (за будь-якою нумерацією).

Проведемо дугу від xi, до xj тоді й тільки тоді, коли виконується xiRxj (якщо i=j дуга (xi,xj) перетворюється у петлю при вершині xi ). Якщо задано будь-який орієнтований граф G з n вершинами, та вибрана нумерація на множині W, то таким чином на W задане деяке відношення R=R(G), таке, що xiRxj виконується тоді і тільки тоді, коли в графі G є дуга (xi,xj). Отже, граф є геометричним зображенням відношення.

Розглянемо відношення R на множиніΩ. Верхнім розрізом відношення (R, Ω) в елементі х, позначене черезR+(х), наз. множина елементів уєΩ, для яких виконано умову: (у, х)єR, тобто R+(х)= Ω|. Нижнім розрізом R--(х) відношення (R, Ω) в елементі х наз. множина елементів уєΩ, для яких (х, у)єR, а саме R--(х)= Ω|. Таким чином, щоб задати відношення за доп. розрізів, необхідно описати всі верхні, або всі нижні його розрізи. Тобто відношення R буде задано, якщо для кожного елемента хєΩ задано множину R+(х), або для кожного елемента хєΩ задано множину R--(х).

5. Понятия R – оптимальности. Принятие решений на основе заданных отношений предпочтения.

Елемент x* з множини Х будемо називати найкращимза відношенням R, якщо для виконується .

Елемент будемо називати найгіршимза відношенням R, якщо має місце .

Легко бачити, що найкращий та найгірший елементи існують не завжди. Зауважимо, що якщо найкращі елементи існують, то вони будуть і максимальними, але не навпаки.

Елемент xmax називається максимальнимза відношенням на множині Х, якщо для має місце або, або xmax незрівняний з Х. Тобто не існує елемента (альтернативи), який би був кращим за альтернативу xmax .

Елемент xmin називається мінімальним відносно на множині Х, якщо для або або х незрівняний з xmin. Тобто не існує елемента який би був гіршим за xmin, немає жодного елемента х, який би домінувався елементом xmin.

Якщо треба обрати найкращу в деякому сенсі альтернативу, то природним буде вибір із множини максимальних (недомінованих) альтернатив.