Реферат: Методичні вказівки до виконання розрахунко роботи дослідження за допомогою еом коливань системи

--PAGE_BREAK--Складання диференціального рівняння вимушених коливань механічної системи.
Рівняння вимушених коливань заданої механічної системи (рис.1) складемо за допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду:

<img width=«208» height=«51» src=«ref-1_114306967-646.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">,                        (    )

де <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_114307613-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> і <img width=«13» height=«21» src=«ref-1_114307813-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">  — узагальнена координата та швидкість, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_114308019-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> і <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_114308217-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">  — кінетична і потенціальна енергії системи відповідно, <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_114308400-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">  — функція розсіювання, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_114308598-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">  — узагальнена непотенціальна сила.

                Складемо вираз кінетичної енергії системи в її довільному положенні, враховуючи, що тіло 1 виконує поступальний рух, а тіла 2 і 3 – обертальний рух;  при  цьому  швидкості  усіх тіл виразимо через узагальнену  швидкість  <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_114308804-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">:

<img width=«261» height=«44» src=«ref-1_114309061-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">;

<img width=«57» height=«45» src=«ref-1_114309669-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">;           <img width=«59» height=«45» src=«ref-1_114309943-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">;          <img width=«68» height=«44» src=«ref-1_114310229-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">;       <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_114310540-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">;




<img width=«232» height=«67» src=«ref-1_114310813-693.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">= <img width=«188» height=«51» src=«ref-1_114311506-542.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">.

                У виразі <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_114312048-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> та <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_114312249-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">  — моменти інерції тіл 2 і 3 відносно центральної осі.

                Позначимо коефіцієнт <img width=«139» height=«45» src=«ref-1_114312449-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">=<img width=«35» height=«24» src=«ref-1_114312870-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">, де <img width=«35» height=«24» src=«ref-1_114312870-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">  — зведена маса системи. Тоді:

<img width=«29» height=«21» src=«ref-1_114313306-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"><img width=«80» height=«41» src=«ref-1_114313513-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"><img width=«75» height=«44» src=«ref-1_114313818-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">.                                               (    )

                Складемо вираз потенціальної енергії системи: <img width=«89» height=«23» src=«ref-1_114314118-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">, де <img width=«24» height=«23» src=«ref-1_114314367-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">  — потенціальна енергія сил ваги, а <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_114314562-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">  — потенціальна енергія сил пружності, що діють на тіла системи.

                Обчислемо потенціальну енергію системи в її довільному положенні як роботу потенціальних сил на переміщенні системи із довільного положення в положення статичної рівноваги:

<img width=«119» height=«23» src=«ref-1_114314758-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">;

<img width=«296» height=«41» src=«ref-1_114315059-1091.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">,

де <img width=«120» height=«27» src=«ref-1_114316150-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">; <img width=«85» height=«27» src=«ref-1_114316607-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> <img width=«125» height=«27» src=«ref-1_114317008-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> <img width=«87» height=«27» src=«ref-1_114317499-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">;

тут <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_114317923-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">, <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_114318183-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">  — статичні подовження пружин; <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_114318459-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_114318675-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">  — зміна довжини відповідної пружини при відхиленні системи від стану статичної рівноваги; <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_114318899-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">,<img width=«41» height=«27» src=«ref-1_114319197-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">  — подовження пружини в довільному положенні системи.

                Врахуємо, що <img width=«178» height=«55» src=«ref-1_114319517-832.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">, <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_114318675-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">=<img width=«37» height=«17» src=«ref-1_114320573-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">, а в стані статичної рівноваги <img width=«77» height=«44» src=«ref-1_114320792-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">.


                Вираз потенціальної енергії системи та її похідної мають вигляд:

<img width=«363» height=«51» src=«ref-1_114321108-1344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">;

<img width=«301» height=«48» src=«ref-1_114322452-992.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">.

При рівновазі системи (<img width=«37» height=«21» src=«ref-1_114323444-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">) маємо:

<img width=«245» height=«45» src=«ref-1_114323656-869.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">, тобто <img width=«131» height=«48» src=«ref-1_114324525-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">.

                Тоді вираз потенціальної енергії системи приймає вигляд:

<img width=«303» height=«72» src=«ref-1_114324971-818.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">=<img width=«57» height=«44» src=«ref-1_114325789-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">,              (    )

                де <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_114326073-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">=<img width=«75» height=«48» src=«ref-1_114326284-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">.

                Функцію розсіювання <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_114308400-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> будемо вважати залежною від узагальненої швидкості <img width=«13» height=«21» src=«ref-1_114307813-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">, а її похідну представимо у вигляді:

<img width=«72» height=«44» src=«ref-1_114327018-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">,

де <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_114303154-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">  — коефіцієнт в’язкості (дисипативний коефіцієнт).

                До непотенціальних сил, що діють на систему, відноситься тільки збурююча сила <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_114298793-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">, можлива робота якої <img width=«155» height=«21» src=«ref-1_114327779-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">; тоді

<img width=«224» height=«48» src=«ref-1_114328160-881.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">.

                Візьмемо відповідні похідні і складемо рівняння Лагранжа для заданої системи:

<img width=«40» height=«47» src=«ref-1_114329041-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"><img width=«52» height=«24» src=«ref-1_114329314-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">; <img width=«72» height=«51» src=«ref-1_114329561-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"><img width=«53» height=«24» src=«ref-1_114329934-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">; <img width=«40» height=«47» src=«ref-1_114329041-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">0; <img width=«41» height=«44» src=«ref-1_114330456-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"><img width=«49» height=«24» src=«ref-1_114330712-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">;

<img width=«53» height=«24» src=«ref-1_114329934-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">=<img width=«133» height=«24» src=«ref-1_114331201-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">;

<img width=«53» height=«24» src=«ref-1_114329934-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"><img width=«140» height=«24» src=«ref-1_114331798-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">;


<img width=«13» height=«21» src=«ref-1_114332151-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"><img width=«159» height=«45» src=«ref-1_114332357-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">;

<img width=«13» height=«21» src=«ref-1_114332151-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"><img width=«163» height=«45» src=«ref-1_114333077-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">;

<img width=«13» height=«21» src=«ref-1_114332151-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"><img width=«140» height=«45» src=«ref-1_114333799-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">,                                           (    )

                де <img width=«71» height=«45» src=«ref-1_114334223-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> і <img width=«75» height=«51» src=«ref-1_114334529-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">.

                Диференціальне рівняння (   ) представляє собою неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку відносно узагальненої координати <img width=«37» height=«17» src=«ref-1_114302936-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">зі сталими коефіцієнтами.

                Рішення задачі про дослідження вимушених коливань системи зводиться до рішення цього диференціального рівняння при заданих початкових умовах задачі. Оскільки у розглянутому випадку рух системи починається із стану статичної рівноваги, то початкові умови будуть нульовими:

                при <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_114335093-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">: <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_114335298-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">; <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_114335548-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">.                                                                          (     )

                Як відомо, аналітичне рішення рівняння (   ) складається із суми двох рішень <img width=«84» height=«21» src=«ref-1_114335796-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> <img width=«92» height=«23» src=«ref-1_114336076-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">, де <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_114336375-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> — загальне рішення однорідного рівняння, <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_114336603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> — частинне рішення неоднорідного диференціального рівняння.

                Слід зауважити, що рішення <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_114336375-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> в даному випадку (при відповідному підборі коефіцієнта <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_114303154-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">) практично згасає через <img width=«83» height=«27» src=«ref-1_114337266-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">. Тоді получається, що при <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_114337559-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> <img width=«76» height=«23» src=«ref-1_114337786-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">.

                Визначимо чисельні значення параметрів системи та коефіцієнтів в рівнянні (   ):

<img width=«33» height=«24» src=«ref-1_114338073-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">=<img width=«109» height=«48» src=«ref-1_114338292-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">= 0,2 + 0 +<img width=«55» height=«40» src=«ref-1_114338704-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">= 0,2 + 0,056 = 0,256т;

<img width=«29» height=«24» src=«ref-1_114326073-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">=<img width=«75» height=«48» src=«ref-1_114326284-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">= <img width=«38» height=«40» src=«ref-1_114339627-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">+ 10 = 3,56 + 10 = 13,6кН.м –1;

<img width=«75» height=«51» src=«ref-1_114334529-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"><img width=«58» height=«42» src=«ref-1_114340347-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">=7,29с–1; <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_114340649-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"><img width=«50» height=«37» src=«ref-1_114340921-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">=0,861с;


<img width=«45» height=«21» src=«ref-1_114341203-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"><img width=«33» height=«24» src=«ref-1_114338073-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"><img width=«33» height=«36» src=«ref-1_114341657-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"><img width=«110» height=«40» src=«ref-1_114341906-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">= 0,456кН.с.м –1;

<img width=«77» height=«45» src=«ref-1_114342255-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">=<img width=«47» height=«34» src=«ref-1_114342563-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">=0,891с–1.

                Для перевірки вірності визначення коефіцієнту <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_114303154-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> рекомендується підрахувати значення співмножника <img width=«27» height=«21» src=«ref-1_114343055-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> в рішенні <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_114343263-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> при <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_114343458-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">=5    продолжение
--PAGE_BREAK--.0,861 = 4,31с:

                               <img width=«134» height=«23» src=«ref-1_114343682-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">.

                Таке значення співмножника (наближене до нуля) в рішенні <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_114336375-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">підтверджує факт, що вільні коливання системи на цей момент часу практично згасають; значить коефіцієнт <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_114303154-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> знайдено вірно.
3.       Визначення амплітудних- та фазово-частотних характеристик системи.



Шляхом виведення, за допомогою  ЕОМ,  для заданої механічної  системи  з  параметрами <img width=«33» height=«24» src=«ref-1_114338073-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">= 0,256т; <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_114326073-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">= 13,6кН.м –1; <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_114303154-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">= 0,456кН.с.м–1 получимо (шляхом введення на друкарський пристрій – принтер) амплітудно- та фазово-частотніх характеристики системи та приведемо їх на рис.2 і рис.3 (відповідно).
4.       Розкладання функції F(t) в ряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили.



Розкладемо функцію <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_114298793-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> в ряд Фур’є:

<img width=«171» height=«47» src=«ref-1_114345278-815.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">,                                    (    )

де <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_114346093-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> — номер гармоніки, а <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_114297894-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> — число гармонік в розкладенні.

                Визначимо (за допомогою ЕОМ) параметри гармонік: амплітуди <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_114346474-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">, частоти <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_114346691-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> та початкової фази <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_114346902-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">.

                Для заданої сили “прямокутного” типу з параметрами <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_114347111-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">кН, <img width=«48» height=«18» src=«ref-1_114347399-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> значення параметрів гармонік наведені у табл.1.




Таблиця 1.

Номер гармоніки,

<img width=«13» height=«20» src=«ref-1_114346093-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">

<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_114346474-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">,

кН

<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_114346691-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">,

<img width=«23» height=«21» src=«ref-1_114348248-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">

<img width=«20» height=«25» src=«ref-1_114346902-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">,

рад.

1

0,764

2



2

0,255

6



3

0,153

10



4

0,109

14



5

0,085

18





5.       Дослідження вимушених коливань механічної системи.



5.1.  Визначення (за допомогою ЕОМ) “точного” рішення диференціального рівняння. Аналіз рішення.
Визначимо за допомогою ЕОМ “точне” рішення <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_114348651-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> диференціального рівняння для випадку, коли сила <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_114298793-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> представлена однією гармонікою (<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_114297894-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">=1). Два графіка функцій <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_114348651-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> для відповідних випадків виводяться на екран ЕОМ. Перед виводом графіків на друкарський пристрій їх треба “промасштабувати”, тобто получити рішення на заданому відрізку інтегрування  0<img width=«27» height=«24» src=«ref-1_114349577-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, де <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_114349782-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> рекомендується задавати рівним 8<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_114349983-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">10<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_114350161-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">. На рис.4 приведені вказані графіки функцій <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_114348651-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> для заданої механічної системи. Лінія 1 відображає “точне” рішення, а лінія 2 – рішення у випадку <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_114297894-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">= 1 (тобто, коли <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_114350798-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">).

Із графіків видно, що функції <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_114348651-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> получаються періодичними, тобто рух механічної системи получається періодичним-коливальним. І в першому, і в другому випадку при <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_114351296-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">с процеси получилися явно усталеними, тобто без вільних коливань. Але в “точному” рішенні навіть при <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_114337559-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> явно виражені дві частоти – одна дорівнює <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_114351781-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> (див. лінію 2 для випадку <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_114297894-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">= 1; це частота першої гармоніки), а друга частота – втричі більша (це частота другої гармоніки, див. табл. 1). Рішення, що відповідають лініям 1 і 2, значно відрізняються одне від одного. Наприклад, в момент часу <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_114352191-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">с (<img width=«43» height=«19» src=«ref-1_114337559-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">=4,31с) значення <img width=«78» height=«20» src=«ref-1_114352637-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">м (точне рішення) і <img width=«78» height=«20» src=«ref-1_114352898-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">м (випадок <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_114297894-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">= 1).




    продолжение
--PAGE_BREAK--