Реферат: П.9.2. Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме

(9.3)

с краевыми условиями первого рода

u(0)=μ1, u(1)=μ2 (9.4)

Если, то такая задача описывает стационарное распределение тепла в стержне. Задача имеет единственное решение, если k(x), q(x), f(x) –кусочно-непрерывные функции.

Введем на отрезке [0,1] равномерную сетку

Запишем трехточечную разностную схему для краевой задачи (9.3)-(9.4) в прогоночном виде

(9.5)

Коэффициенты bi, ci, ai, φi зависят от значений функций k(x), q(x), f(x) в узлах сетки, а также от шага h.

Перепишем разностную схему (9.5) в следующем виде:

(9.6)

где .

Схема называется однородной, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любого линейного дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же правилам.

Для однородной схемы удобна система безиндексных обозначений:

(9.7)

Здесь a = a(x), b = b(x), d = d(x), y = y(x), x = ih, hÎwh

,

Найдем погрешность аппроксимации схемы (9.7)

(9.8)

По формуле Тейлора

тогда

(*)

Подставим выражения (*) в (9.8)

Т.о., схема (9.7) будет иметь 2-ой порядок аппроксимации, если будут выполняться следующие условия:

,, d = q(x)+O(h2), -j = f(x)+O(h2) (9.9)

Эти условия выполняются, например, при, (9.10)

где,, .

Действительно

,

поэтому

,