Реферат: Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

--PAGE_BREAK--1.1.4.
Общая картина


Из формального определения спектра,следует,что спектр является некоторой функцией  одних лишь статистик второго порядка, относительно которых в свою очередь предполагается,что они остаются неизменными,или стационарными во времени. Следовательно,такой спектр не передает полной статистической информации об анализируемом случайном процессе,а значит,дополнительная информация может содержаться в статистиках третьего и более высокого порядка.Кроме того,многие обычные сигналы,которые приходится анализировать на практике,не являются стационарными. Однако короткие сегменты данных,получаемые из более длинной записи данных, можно считать локально стационарными. Анализируя изменения спектральных оценок от одного такого сегмента к другому,можно затем составить представление и об изменяющихся во времени статистиках сигналов,то есть нестационарных.    

1.2.
Основные определения и теоремы классического спектрального анализа

1.2.1.
Непрерывно-временное преобразование Фурье
.


Определение
:Непрерывно-временным преобразованием Фурьеназывается функция

<img width=«230» height=«51» src=«ref-1_458451392-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">

В спектральном анализе переменная <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_458451945-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">в комплексной синусоиде <img width=«59» height=«29» src=«ref-1_458452143-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">  соответствует частоте,измеряемой в герцах,если переменная <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_458452412-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">измеряется в единицах времени (в секундах).По сути дела,непрерывно-временное преобразование Фурье идентифицирует частоты и  амплитуды тех комплексных синусоид,на которые разлагается некоторое произвольное колебание.

Определение
:Обратное преобразование Фурье определяется выражением

<img width=«265» height=«54» src=«ref-1_458452600-596.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">

Существование прямого и обратного преобразований Фурье с непрерывным временем для данной функции определяется целым рядом условий.Одно из достаточных условий состоит в том, что сигнал <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458453196-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">должен быть абсолютно интегрируемым в смысле

<img width=«106» height=«47» src=«ref-1_458453424-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> 

1.2.2
Операции дискретизации и взвешивания для получения дискретно-временных рядов Фурье
.

Определение
:
 Функцией отсчетов с интервалом <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_458453757-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">называется следующая функция :

 <img width=«203» height=«53» src=«ref-1_458453944-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> 

Предположим, что берутся отсчеты непрерывного действительнозначного сигнала<img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458454464-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">с ограниченным спектром,верхняя частота которого равна<img width=«17» height=«21» src=«ref-1_458454683-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> герц,так что преобразование Фурье равно нулю при частотах больше <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_458454683-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">.Отсчеты сигнала<img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458454464-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">с интервалом Т могут быть получены посредством умножения этого сигнала на функцию отсчетов:

<img width=«320» height=«52» src=«ref-1_458455312-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">

Теперь найдем непрерывное преобразование Фурье <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458454464-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">,это свертка спектра сигнала <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458454464-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> и преобразования Фурье функции отсчетов по времени с интервалом Т секунд :

 <img width=«329» height=«55» src=«ref-1_458456403-721.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">

То есть свертка <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_458457124-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> с преобразованием Фурье функции отсчетов <img width=«75» height=«28» src=«ref-1_458457374-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">просто периодически продолжает <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_458457124-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> с частотным интервалом 1/TГц, соответствующим частотному интервалу между импульсными функциями.В общем случае отсчеты в одной области (например,временной) приводят к периодическому продолжению в области преобразования (например,частотной). Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой,так что <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_458457919-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">,то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними (эффект наложения в частотной области).Частота отсчетов <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_458458168-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">получила название частоты отсчетов Найквиста.

Для того чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам, то есть осуществить интерполяцию некоторого континуума значений между этими отсчетами,можно пропустить дискретизованные данные через идеальный фильтр нижних частот,обладающий  прямоугольной частотной характеристикой(взвешивание в частотной области ), используя теоремы о свертке во временной и частотной областях, получим:

<img width=«291» height=«53» src=«ref-1_458458432-727.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">

Полученное выражение представляет собой математическую запись теоремы отсчетов во временной области,которая утверждает,что с помощью этой интерполяционной формулы  действительный сигнал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по бесконечному счетному числу известных временных отсчетов, взятых с частотой <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_458459159-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">.Аналогичный результат может быть получен и для комплексных сигналов с ограниченным спектром.
Дуальной к теореме отсчетов во временной области является следующая
Теорема
. Для ограниченного временем <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_458459411-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> по длительности сигнала <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458459615-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> верно,что

<img width=«293» height=«59» src=«ref-1_458459835-769.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">

где<img width=«72» height=«21» src=«ref-1_458460604-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">

Таким образом,преобразование Фурье <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_458457124-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> некоторого сигнала с ограниченной длительностью может быть однозначно восстановлено по эквидистантным отсчетам спектра такого сигнала,если выбранный интервал отсчетов по частоте удовлетворяет условию <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_458461110-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">герц.

Пусть дан произвольный непрерывный сигнал <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458459615-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> и его преобразование <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_458457124-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">, которые в общем случае могут быть неограниченными по спектру и по длительности. Если положить,что Nотсчетов <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458459615-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> во времени взяты с равномерным интервалом Tсекунд, то ограничим спектр этого сигнала частотами <img width=«53» height=«17» src=«ref-1_458462067-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> герц взвешиванием в частотной области: <img width=«125» height=«27» src=«ref-1_458462296-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">, здесь <img width=«53» height=«27» src=«ref-1_458462671-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">— функция окна в частотной области.При этом сигнал трансформируется следующим образом <img width=«168» height=«29» src=«ref-1_458462939-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">.Далее берутся отсчеты во временной области сформированного первой операцией и ограниченного по спектру сигнала <img width=«92» height=«27» src=«ref-1_458463356-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">, соответствующие изменения в спектре можно представить как <img width=«141» height=«27» src=«ref-1_458463675-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">.Теперь ограничимся длительностью сигнала NT:<img width=«143» height=«23» src=«ref-1_458464063-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">. И снова свертка в частотной области для спектра полученного на этапе 2 <img width=«191» height=«24» src=«ref-1_458464414-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">. Последнеечто осталось сделать — взятие отсчетов по частоте с интервалом 1/NTгерц, это приводит к периодическому продолжению исходных Nвременных отсчетов.Сигнал на последнем этапе принимает следующий вид: <img width=«177» height=«29» src=«ref-1_458464835-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">, а его преобразование : <img width=«136» height=«27» src=«ref-1_458465253-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">.

Окончательноможно получить,что если исходный сигнал <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458459615-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076"> и <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_458457124-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">— его преобразование, то на четвертом шаге  <img width=«143» height=«23» src=«ref-1_458466105-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078"> и <img width=«183» height=«23» src=«ref-1_458466468-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> связаны следующими соотношениями :

<img width=«223» height=«48» src=«ref-1_458466856-513.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080"> 

<img width=«256» height=«55» src=«ref-1_458467369-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">,где<img width=«104» height=«20» src=«ref-1_458467956-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">

<img width=«12» height=«21» src=«ref-1_458468252-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">Последние соотношения называют дискретно-временными рядами Фурье.Исходя из процесса построения дискретно-временных рядов Фурье,можно установить требуемое точное соотношение между рядом Фурье временной последовательности и соответствующей непрерывно-временной функцией или между рядом Фурье преобразования и исходной функции преобразования. Если ширина спектра <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458459615-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> ограничена частотой 1/Tгерц,то ряд Фурье  временной последовательности будет сохранять исходные значения <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458459615-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> в отсчетных точках,однако ряд Фурье последовательности преобразований будет состоять из отсчетов некоторого «размытого»варианта исходного преобразования <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_458457124-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">. С другой стороны,если длительность  <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458459615-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> фактически ограничена интервалом NTсекунд, то ряд Фурье последовательности преобразований сохраняет исходные значения <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_458457124-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> в отсчетных точках,однако ряд Фурье  временной последовательности будет состоять из некоторого «размытого»варианта исходного сигнала <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458459615-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">. Эффекты размытия можно ослабить за счет уменьшения T  (так что 1/
Tбудет соответствовать более широкой полосе) или увеличения N
(так что NTбудет соответствовать большей длительности), в результате чего дискретно-временной рад Фурье будет точнее аппроксимировать  непрерывное преобразование.Ряд будет идентичным непрерывному преобразованию только в случае периодических сигналов,которые можно представить в виде суммы из комплексных  синусоид с частотами k
/
NTгерц, где k
=0,1,...
N
-1.

1.2.3.
Анализ эргодичных дискретных процессов
.

Определение
:Дискретный случайный процесс <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_458469801-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> эргодичен в среднем  если

<img width=«233» height=«47» src=«ref-1_458470017-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">
Определение
:Дискретный случайный процесс <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_458469801-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092"> автокорреляционно эргодичен  если

<img width=«413» height=«47» src=«ref-1_458470818-790.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

Допущение об эргодичности позволяет не только ввести через усреднение по времени определения для среднего значения и автокорреляции,но позволяет дать  подобное  определение спектральной плотности мощности  :

Определение
:

<img width=«383» height=«61» src=«ref-1_458471608-843.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">

Эта эквивалентная форма спектральной плотности мощности получается посредством статистического усреднения модуля дискретно-временного преобразования Фурье взвешенной совокупности данных,для случая когда число отсчетов данных увеличивается до бесконечности. Статистическое усреднение необходимо здесь потому,что дискретно-временное преобразование само является случайной величиной,изменяющейся для каждой используемой реализации <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_458469801-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">.Это определение эквивалентно определению спектральной плотности мощности как дискретно-временное преобразование Фурье автокорреляционной последовательности.

Если в последнем определении не учитывать операцию математического ожидания, тополучим оценку спектральной плотности мощности, которая называется выборочным спектром:

<img width=«358» height=«53» src=«ref-1_458472667-782.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">

Хотя выборочный спектр не является состоятельной оценкой истинной спектральной плотности мощности,эта оценка может быть использована если выполнять некоторого рода усреднение или сглаживания. На использовании этой оценки основан классический периодограммый метод определения спектральной плотности мощности.



1.3.
Классические методы спектрального анализа
.

1.3.1
Введение

Оценки СПМ,основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении,получили название периодограмм.Оценки СПМ,для получения которых по исходным данным сначала формируется корреляционные оценки,получили название коррелограммных методов спектрального оценивания.

При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится принимать множество компромиссных решений,с тем,чтобы по конечному количеству отсчетов данных получать статистически устойчивые спектральные оценки с максимально возможным разрешением.К этим компромиссным решениям относятся,в частности,выбор таких функций окна для взвешивания данных и корреляционных функций и таких параметров усреднения во временной и в частотной областях,которые позволяют сбалансировать требования к снижению уровня боковых лепестков,выполнению эффективного усреднения по ансамблю и к обеспечению приемлемого спектрального разрешения.Устойчивые результаты (малые спектральные флюктуации) и хорошая точность (малое смещение относительно истинных спектральных значений на всех частотах)достижимы только тогда,когда произведение TB,  где Т — полный интервал записи данных, а B— эффективное разрешение по частоте,значительно превышает единицу.Все эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в случае гауссовских процессов,для которых подробно теоретически изучены статистические характеристики классических спектральных оценок.Однако выбор конкретного метода спектрального оценивания в случае негауссовских процессов зачастую обосновывается только экспериментальными данными.Да и выбор функции окна очень часто основывается на данных экспериментальных,а не теоретических исследований.
1.3.2.
Окна данных и корреляционные окна в спектральном анализе
.

Окна представляют собой весовые функции,используемые для уменьшения размывания спектральных компонент, обусловленного конечностью интервалов наблюдения.Так,можно считать,что воздействие окна на массив данных (как мультипликативной весовой функции) состоит в уменьшении порядка разрыва на границе периодического продолжения.Этого добиваются,согласуя на границе возможно большее число производных взвешенных данных.Проще всего обеспечить такое согласование,сделав эти производные равными или,по крайней мере,близкими к нулю.Таким образом,вблизи границ интервала взвешенные данные плавно стремятся к нулю, так, что периодическое продолжение сигнала оказывается непрерывным вплоть до производных высших порядков.

С другой стороны,можно считать,что окно мультипликативно воздействует на базисное множество так,чтобы сигнал произвольной частоты имел значительные проекции только на те базисные векторы,частоты которых близки к частоте сигнала. Оба подхода ведут,конечно,к одинаковым результатам.
    продолжение
--PAGE_BREAK--1.3.3.
Периодограммные оценки Спектральной Плотности Мощности
.

Пренебрегая операцией  вычисления математического ожидания и полагая,что конечное множество данных содержит Nотсчетов,получаем выборочный спектр

<img width=«412» height=«51» src=«ref-1_458473449-891.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">

который может быть вычислен по конечной последовательности данных.Однако поскольку была опущена операция математического ожидания, эта оценка будет неустойчивой или несостоятельной.И для сглаживания применяется что-то вроде псевдоусреднения  по ансамблю.Существует три различных типа сглаживания быстрых флюктуаций спектра.
Первый метод заключается в усреднении по соседним спектральным частотам.Если для вычисленный выборочный спектр на сетке частот <img width=«89» height=«32» src=«ref-1_458474340-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">,то модифицированная оценка периодограммы на частоте <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_458474680-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">может быть получена посредством усреднения в Pточках с каждой стороны от этой частоты

<img width=«193» height=«49» src=«ref-1_458474889-530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> 

Обобщением этого подхода является обработка выборочного спектра с помощью фильтра нижних частот с частотной характеристикой <img width=«40» height=«27» src=«ref-1_458475419-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> .В этом случае модифицированную периодограмму можно записать в виде свертки частотной характеристики фильтра нижних частот и самого выборочного спектра

<img width=«140» height=«32» src=«ref-1_458475663-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">
Вторым методом сглаживания выборочного спектра является усреднение по псевдоансамблю периодограмм за счет деления последовательности из Nотсчетов данных на Pнеперекрывающихся сегментов по Dотсчетов в каждом,так что DP<N(называемым периодограмма Бартлетта).Тогда p-ый сегмент будет состоять из отсчетов <img width=«128» height=«28» src=«ref-1_458476050-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">,где n=0,1,..,D-1,p=0,1,..P-1.Для каждого сегмента независимо вычисляется выборочный спектр в диапазоне частот <img width=«99» height=«23» src=«ref-1_458476412-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

<img width=«304» height=«59» src=«ref-1_458476726-733.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">

Далее на каждой частоте,представляющей интерес, Pотдельных немодифицированных  периодограмм усредняются,с тем чтобы получить окончательную оценку:

 <img width=«173» height=«52» src=«ref-1_458477459-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> 

Математическое ожидание и дисперсия даются следующими выражениями:

<img width=«318» height=«58» src=«ref-1_458477980-819.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">

<img width=«175» height=«46» src=«ref-1_458478799-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">

Из выражения для дисперсии видно,что устойчивость спектральной оценки Бартлетта улучшается как величина,обратная числу сегментов P.
Третьим и одним из самых эффективных методов является метод периодограмм Уэлча.Основное отличие от периодограммы Бартлетта состоит в том,что здесь используется окно данных и осуществлено перекрывающееся сегментирование последовательности отсчетов.Применение окна данных дает незначительное ухудшение разрешения по частоте,так как сам спектр окна вносит погрешности в результирующий спектр, однако удается достичь уменьшения влияния боковых лепестков спектра прямоугольного окна,которое косвенно применяется при сегментировании последовательности данных.Целью перекрытия сегментов является увеличение числа усредняемых сегментов итем самым уменьшение дисперсии оценки спектральной плотности мощности.Сам метод состоит в следующем.Пусть дана запись комплексных данных <img width=«143» height=«24» src=«ref-1_458479355-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">, которая разбивается на число сегментов
Dсо сдвигом
Sотсчетов между соседними сегментами,тогда взвешенный p-ый сегмент будет состоять из <img width=«155» height=«28» src=«ref-1_458479699-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> отсчетов,где n= 0,1..D-1, p= 0,1..P-1, P=[(N
-
D)/S+1].А выборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот <img width=«99» height=«23» src=«ref-1_458476412-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">

<img width=«257» height=«60» src=«ref-1_458480414-685.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">,где

<img width=«108» height=«49» src=«ref-1_458481099-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">

И окончательный вид периодограммы Бартлетта приобретает вид :

<img width=«176» height=«56» src=«ref-1_458481480-549.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">

Среднее и дисперсия оценки выглядят следующим образом (доказательство первого  соотношения в приложении А):

<img width=«389» height=«60» src=«ref-1_458482029-976.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">

<img width=«170» height=«43» src=«ref-1_458483005-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">

При использовании перекрытия соседних сегментов можно сформировать большее число псевдореализаций,чем  в методе Бартлетта,а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча,хотя порядок имеет тот же самый.Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
1.3.4.
Коррелограммные оценки Спектральной Плотности Мощности
.

Альтернативным методом является коррелограммный метод.Косвенный метод основан на использовании бесконечной последовательности значений данных для расчета автокорреляционной последовательности,  преобразование Фурье которой дает искомую СПМ. В отличии от прямого метода,который основан на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бесконечной последовательности данных с использованием соответствующего статистического усреднения.Показано,что результирующая функция,получаемая без использования такого усреднения и называемая выборочным спектром,оказывается  неудовлетворительной из-за статистической несостоятельности получаемых  с ее помощью оценок,поскольку среднеквадратичная ошибка таких оценок сравнима по величине со средним значением оценки. 

Автокорреляционная последовательность на практике может быть оценена по конечной записи данных следующим образом (несмещенная оценка):

<img width=«232» height=«47» src=«ref-1_458483515-576.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">,  где<img width=«144» height=«20» src=«ref-1_458484091-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

или смещенной оценкой автокорреляции, которая имеет меньшую,по сравнению с несмещенной оценкой,дисперсию:

<img width=«201» height=«47» src=«ref-1_458484428-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">,  где<img width=«144» height=«20» src=«ref-1_458484091-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">

 Коррелограммный метод заключается в подстановке в определение спектральной плотности мощности оценку автокорреляционной последовательности (коррелограммы).Таким образом,имея две оценки автокорреляционной последовательности получаем две оценки спектральной плотности мощности:

<img width=«188» height=«45» src=«ref-1_458485312-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">, <img width=«188» height=«45» src=«ref-1_458485818-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">, где<img width=«73» height=«17» src=«ref-1_458486323-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">

<img width=«185» height=«32» src=«ref-1_458486578-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">, где<img width=«48» height=«27» src=«ref-1_458487041-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">  — ядроДирихле

<img width=«205» height=«41» src=«ref-1_458487298-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">

Эффект неявно присутствующего окна из-за конечности данных приводит к свертке истинной спектральной плотности с преобразованием Фурье дискретно-временного прямоугольного или треугольного (как в случае со смещенными оценками) окна.Для уменьшения этого эффекта используется корреляционное окно <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_458487821-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">и коррелограммная оценка спектральной плотности мощности в общем виде выглядит следующим образом:

<img width=«221» height=«45» src=«ref-1_458488049-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
1.3.5.Область применения
.

Классические методы спектрального анализа применимы почти ко всем классам сигналов и шумовв предположении о стационарности.Вычислительная эффективность периодограммных и коррелограммных методов основана на использовании алгоритма Быстрого Преобразования Фурье.Недостатком всех методов спектрального анализа является искажения в спектральных составляющих по боковым лепесткам из-за взвешивания данных при помощи окна.Сравнение экспериментальных результатов с другими методами и характеристики взвешивающих окон приведены в соответствующем разделе.
1.4.
Авторегрессионное спектральное оценивание
.

1.4.1.
Введение


Одна из причин применения параметрических моделей случайных и процессов и построения на их основе методов получения оценок спектральной плотности мощности обусловлена увеличением точности оценок по сравнению с классическими методами. Еще одна важная причина  — более высокое спектральное разрешение. Далее рассматриваются следующие методы: методЮла-Уалкераоценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок автокорреляционной функции, метод Бергаоценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок коэффициентов отражения, метод раздельной минимизации квадратичных ошибок линейного предсказания вперед и назад — ковариационный метод, метод совместной минимизации квадратичных ошибок прямого и обратного линейного предсказания— модифицированныйковариационный.  

Модель временного ряда (называемая модели авторегрессии-скользящегосреднего в случае входной последовательности — белого шума),которая пригодна для аппроксимации многих встречающихся на практике детерминированных и стохастических процессов с дискретным временем,описывается следующим разностным уравнением:

<img width=«380» height=«47» src=«ref-1_458488599-770.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">

Системная функция <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_458489369-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">,связывающая вход и выход этого фильтра имеет рациональную форму:

<img width=«300» height=«91» src=«ref-1_458489600-900.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

Если в качестве входной последовательности использовать белый шум,то приходим к АРСС-модели.Спектральную плотность для АРСС-модели получаем,подставляя <img width=«61» height=«20» src=«ref-1_458490500-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">,что дает

<img width=«147» height=«59» src=«ref-1_458490746-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">, где

<img width=«168» height=«47» src=«ref-1_458491233-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">

<img width=«167» height=«47» src=«ref-1_458491698-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">, <img width=«111» height=«23» src=«ref-1_458492164-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">,а <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_458492489-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">  — дисперсия

возбуждающего белого шума

В частных случаях для авторегрессионной модели и модели скользящегосреднегополучаем соответственно :

<img width=«263» height=«72» src=«ref-1_458492685-718.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">

<img width=«291» height=«53» src=«ref-1_458493403-682.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">
1.4.2.
Оценивание корреляционной функции — метод Юла-Уалкера
.

Из соотношения,связывающего параметры АРСС-модели с порядком авторегрессии p
и скользящего среднего q:

<img width=«320» height=«47» src=«ref-1_458494085-725.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">

Поскольку полагается,что u[k] — белый шум,то  

<img width=«317» height=«47» src=«ref-1_458494810-721.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">,<img width=«65» height=«20» src=«ref-1_458495531-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">

<img width=«191» height=«47» src=«ref-1_458495793-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">, m>q

<img width=«140» height=«24» src=«ref-1_458496290-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">, m<0

В частном случае для авторегрессионных параметров, получаем :

<img width=«191» height=«47» src=«ref-1_458495793-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">,<img width=«40» height=«16» src=«ref-1_458497149-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">

<img width=«201» height=«47» src=«ref-1_458497368-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">, m=

<img width=«140» height=«24» src=«ref-1_458496290-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">, m<0

В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом :

<img width=«257» height=«123» src=«ref-1_458498235-791.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"><img width=«92» height=«120» src=«ref-1_458499026-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">

Таким образом,если задана автокорреляционная последовательность для <img width=«67» height=«20» src=«ref-1_458499399-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">, то АР-параметры можно найти в результате решения последнего матричного соотношения(называемого нормальными уравнениямиЮла-Уалкера), где автокорреляционная матрица является и теплицевой,и эрмитовой.

Наиболее очевидным подходом к авторегрессионному оцениванию является решение нормальных уравнений Юла-Уалкера,в которые вместо значений неизвестной автокорреляционной функции подставляем их оценки. Результаты экспериментов с этим,первым методом АР-оценивания и сравнение с другими методами этого класса приведены в соответствующем разделе.
1.4.3.
Методы оценивания коэффициентов отражения
.

Рекурсивное решение уравнений Юла-Уалкера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка pcпараметрами порядка p
-1выражением :

<img width=«213» height=«28» src=«ref-1_458499661-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">, гдеn=1,2,..p-1

Коэффициент отражения <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_458500136-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">определяется по известным значениям автокорреляционной функции :

<img width=«244» height=«71» src=«ref-1_458500358-628.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">

<img width=«139» height=«40» src=«ref-1_458500986-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
, где<img width=«79» height=«23» src=«ref-1_458501392-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">

Из всех величин только <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_458500136-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> непосредственно зависит от автокорреляционной функции.В разное время предлагалось несколько различных процедур оценки коэффициента отражения,рассмотрим некоторые из них.
1.4.3.1.
Геометрический алгоритм
.

Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответственно следующими выражениями:

<img width=«212» height=«47» src=«ref-1_458501884-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">

 
<img width=«265» height=«47» src=«ref-1_458502407-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">


Рекурсивные выражения, связывающие ошибки линейного предсказания моделей порядков pи p-1,определяются простой подстановкой  <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_458502999-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">
 и <img width=«40» height=«27» src=«ref-1_458503249-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">
в рекурсивное соотношение для авторегрессионных параметров:

<img width=«201» height=«27» src=«ref-1_458503496-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">

<img width=«207» height=«32» src=«ref-1_458503975-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">

Несложно показать, что коэффициент отражения обладает следующим свойством (является коэффициентом частной корреляции между ошибками линейного предсказания вперед и назад) :

<img width=«272» height=«72» src=«ref-1_458504463-814.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">

Используя оценки взаимной корреляции и автокорреляции ошибок предсказания вперед и назад, получим:

 <img width=«299» height=«101» src=«ref-1_458505277-1053.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">

Таким образом,геометрический алгоритм использует алгоритм Левинсона,в котором вместо обычного коэффициента отражения,вычисляемого по известной автокорреляционной функции,используется его оценка  <img width=«25» height=«29» src=«ref-1_458506330-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">

Окончательный вид выражений геометрического алгоритма :

<img width=«213» height=«29» src=«ref-1_458506561-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">, гдеn=1,2,..p-1

    продолжение
--PAGE_BREAK--<img width=«201» height=«29» src=«ref-1_458507042-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

<img width=«207» height=«32» src=«ref-1_458507529-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, <img width=«137» height=«24» src=«ref-1_458508026-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> 

<img width=«308» height=«100» src=«ref-1_458508388-1060.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">

<img width=«139» height=«40» src=«ref-1_458500986-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
, где<img width=«115» height=«45» src=«ref-1_458509854-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">
1.4.3.2.
Гармонический алгоритм Берга
.

Алгоритм Берга идентичен геометрическому,однако оценка коэффициента отражения находится из других соображений,а именно : при каждом значений параметра pв нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейного предсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибки предсказания):

<img width=«269» height=«53» src=«ref-1_458510261-739.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

Приравнивая производные к нулю,имеем оценку для <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_458500136-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> :

<img width=«253» height=«95» src=«ref-1_458511222-950.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания для уменьшения частотного смещения,наблюдаемого при использовании базового метода Берга:

<img width=«283» height=«53» src=«ref-1_458512172-738.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">

что приводит к следующей оценке :

<img width=«296» height=«93» src=«ref-1_458512910-1064.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">
1.4.4.
Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов
.

Налагая ограничения на авторегрессионные параметры, с тем чтобы они удовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона,в методе Берга происходит минимизация по одного параметра — коэффициента отражения <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_458500136-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">.Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффициентам линейного предсказания.

Итак,пусть для оценивания авторегрессионных параметров порядка pиспользуются последовательность данных <img width=«66» height=«26» src=«ref-1_458514196-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">.Оценка линейного предсказания вперед порядка p
для отсчета <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_458514482-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">будет иметь форму:

<img width=«175» height=«45» src=«ref-1_458514699-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">

где <img width=«43» height=«27» src=«ref-1_458515174-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">  — коэффициенты линейного предсказания вперед порядка p.

Ошибка линейного предсказания :

<img width=«307» height=«47» src=«ref-1_458515434-616.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

В матричном виде это выражение записывается как :

<img width=«380» height=«156» src=«ref-1_458516050-1047.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

и соотношение для ошибки :

<img width=«97» height=«57» src=«ref-1_458517097-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

Однако если рассматривать,в котором  минимизируется следующая,невзвешенная  выборочная дисперсия :

<img width=«116» height=«48» src=«ref-1_458517483-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

то матрица <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_458517920-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">принимает теплицевый вид(далее ее будем обозначать <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_458518133-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">).

Нормальные уравнения,минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующий вид:

<img width=«132» height=«52» src=«ref-1_458518330-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> 

Элементы эрмитовой матрицы <img width=«80» height=«27» src=«ref-1_458518782-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">имеют вид корреляционных форм

<img width=«191» height=«48» src=«ref-1_458519045-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">, где<img width=«72» height=«20» src=«ref-1_458519525-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">

Таким образом,авторегрессионные параметры могут быть получены в результате решения нормальных уравнений.Рассмотрим алгоритм,который в решении нормальных уравнений учитывает тот факт,что эрмитова матрица <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_458519799-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> получена как произведение двух теплицевых  и в результате этого сводит количество вычислений к <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_458520003-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> .При использовании алгоритма Холецкого потребовалось бы <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_458520263-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">операций.

Ошибки линейного предсказания вперед и назад p
-
огопорядка

<img width=«112» height=«27» src=«ref-1_458520525-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">

<img width=«108» height=«27» src=«ref-1_458520899-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">

Здесь вектор данных <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_458521268-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">,вектор коэффициентов линейного предсказания вперед <img width=«21» height=«27» src=«ref-1_458521508-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> и вектор линейного предсказания назад <img width=«21» height=«27» src=«ref-1_458521729-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">определяется следующими выражениями:

 <img width=«123» height=«99» src=«ref-1_458521948-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, <img width=«95» height=«100» src=«ref-1_458522445-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">, <img width=«92» height=«100» src=«ref-1_458522892-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">

На основе отсчетов измеренных комплексных данных <img width=«66» height=«26» src=«ref-1_458514196-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">ковариационныйметод линейного предсказания позволяет раздельно  минимизировать суммы квадратов ошибок линейного предсказания вперед и назад:

<img width=«116» height=«48» src=«ref-1_458517483-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">
, 
<img width=«113» height=«48» src=«ref-1_458524058-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">


что приводит к следующим нормальным уравнениям :

<img width=«92» height=«53» src=«ref-1_458524490-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">, <img width=«91» height=«53» src=«ref-1_458524876-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">

<img width=«133» height=«48» src=«ref-1_458525262-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

Введем необходимые для дальнейшего определения :

<img width=«137» height=«48» src=«ref-1_458525716-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">,  <img width=«136» height=«48» src=«ref-1_458526178-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">

исходя из вида <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_458526643-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> и <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_458526862-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> можно записать :

<img width=«143» height=«53» src=«ref-1_458527084-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">, <img width=«149» height=«52» src=«ref-1_458527567-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">,

где вектор столбцы <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_458528061-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> и <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_458528267-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">даются выражениями :

<img width=«97» height=«101» src=«ref-1_458528470-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">, <img width=«120» height=«104» src=«ref-1_458528894-459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">

Важными также являются следующие выражения :

<img width=«199» height=«28» src=«ref-1_458529353-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">

<img width=«164» height=«27» src=«ref-1_458529805-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">

Пара векторов-столбцов <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_458530230-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_458530433-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> определяются из выражений :

<img width=«96» height=«27» src=«ref-1_458530650-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">

<img width=«117» height=«28» src=«ref-1_458530969-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

Аналогично определяются вектора <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_458531312-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_458531521-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">, а также <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_458531739-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">и <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_458531949-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> через матрицы <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_458526643-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> и <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_458526862-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">.

Процедура, используемая для обновления порядка вектора линейного предсказания вперед выглядит следующим образом :

<img width=«180» height=«52» src=«ref-1_458532612-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">, где<img width=«101» height=«51» src=«ref-1_458533159-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">, в котором

<img width=«83» height=«27» src=«ref-1_458533536-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">


<img width=«123» height=«36» src=«ref-1_458533854-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">


Соответствующий вид имеет процедура обновления порядка для вектора предсказания назад:

<img width=«176» height=«52» src=«ref-1_458534243-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">,где<img width=«159» height=«53» src=«ref-1_458534784-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">,

<img width=«168» height=«32» src=«ref-1_458535283-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">

Векторы <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_458530230-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_458530433-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">должны удовлетворять следующим рекурсиям обновления порядка:

<img width=«145» height=«49» src=«ref-1_458536174-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">

<img width=«149» height=«49» src=«ref-1_458536599-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">

Используя тот факт,что <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_458537040-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> является эрмитовой матрицей имеем следующие выражения для <img width=«40» height=«28» src=«ref-1_458537256-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> и <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_458537497-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">:

<img width=«140» height=«59» src=«ref-1_458537734-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">


<img width=«121» height=«59» src=«ref-1_458538191-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">

Введем скалярные множители

 <img width=«311» height=«28» src=«ref-1_458538633-596.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">

<img width=«260» height=«27» src=«ref-1_458539229-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">

Соответствующие рекуррентные выражения для <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_458539741-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_458539956-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">имеют следующий вид :

<img width=«292» height=«59» src=«ref-1_458540167-667.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">

<img width=«257» height=«59» src=«ref-1_458540834-613.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">

Наконец,еще одна рекурсия обновления порядка необходима для вектора <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_458541447-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> :

 <img width=«219» height=«56» src=«ref-1_458541653-579.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">

Обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания вперед осуществляется в соответствии с выражением :

<img width=«143» height=«53» src=«ref-1_458542232-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">

Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания вперед :

<img width=«407» height=«59» src=«ref-1_458542696-911.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">

Аналогичным образом обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания назад ведется в соответствии с выражением :

<img width=«164» height=«52» src=«ref-1_458543607-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">

Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказанияназад :

<img width=«371» height=«59» src=«ref-1_458544142-869.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">

<img width=«117» height=«55» src=«ref-1_458545011-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">,  <img width=«120» height=«55» src=«ref-1_458545416-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">

где комплексный скаляр <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_458545848-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">удовлетворяет выражениям :

<img width=«328» height=«28» src=«ref-1_458546064-672.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">

Соответствующие рекурсии по временному индексу для действительных скаляров <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_458539956-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> и <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_458539741-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> даются следующими выражениями:

<img width=«100» height=«59» src=«ref-1_458547162-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">, <img width=«101» height=«59» src=«ref-1_458547544-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">

Начальные условия необходимы для того,чтобы начать рекурсивное решение с порядка равного нулю:

<img width=«121» height=«45» src=«ref-1_458547924-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">, <img width=«103» height=«45» src=«ref-1_458548328-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">, <img width=«103» height=«45» src=«ref-1_458548704-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">,

<img width=«100» height=«51» src=«ref-1_458549089-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">, <img width=«105» height=«51» src=«ref-1_458549457-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">,

<img width=«96» height=«48» src=«ref-1_458549833-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">, <img width=«99» height=«48» src=«ref-1_458550205-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

1.4.5.
Градиентный адаптивный авторегрессионный метод


1.4.6.
Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов


1.5.
Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии — скользящего среднего
.

Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы,чем авторегрессионная модель,поэтому следует ожидать,что получаемые с ее помощью оценки спектральной плотности мощности будут обладать большими возможностями для передачи формы различных спектров.Основой спектрального оценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего является аппроксимация СС-процесса авторегрессионной моделью высокого порядка.Пусть

<img width=«139» height=«47» src=«ref-1_458550561-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">   — системная функция СС(q)-процесса

<img width=«149» height=«45» src=«ref-1_458550977-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">-системная функция АР-процесса,

эквивалентного этому СС(q)-процессу,то есть <img width=«91» height=«45» src=«ref-1_458551403-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">

Применим обратное z-преобразование к обеим частям последнего равенства, используя теорему об обратном преобразовании произведения функций,получим:

<img width=«280» height=«49» src=«ref-1_458551726-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">причем

<img width=«151» height=«21» src=«ref-1_458552400-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">

Таким образом,СС-параметры можно определить по параметрам некоторой эквивалентной авторегрессионной модели посредством решения произвольной подсистемы из qуравнений. Используя АР-оценки высокого порядка <img width=«124» height=«23» src=«ref-1_458552753-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">можно записать следующую систему уравнений :

<img width=«231» height=«47» src=«ref-1_458553106-542.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">

В идеальном случае ошибка <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_458553648-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">должна быть равна нулю при всех значениях m, за исключением m=0,однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будет равна нулю, поэтому оценки для CC-параметров должны определятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки:

<img width=«140» height=«47» src=«ref-1_458553891-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> 

Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно,что эти оценки можно найти,решив соответствующие нормальные уравнения(здесь используется либо «
Оценивание корреляционной функции — метод Юла-Уалкера
», либо

«
Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов
»)  

Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров и параметров скользящего среднего заключается в следующем.Этап первый — определение авторегрессионных параметров по исходным данным,после этого исходную последовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получения временного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй).Этот фильтр имеет системную функцию вида :

<img width=«137» height=«47» src=«ref-1_458554322-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">, где<img width=«32» height=«21» src=«ref-1_458554750-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">— оценки

авторегрессионных параметров,определенные с помощью метода наименьших квадратов. Системная функция процесса авторегресии-скользящего среднего равна <img width=«37» height=«44» src=«ref-1_458554982-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">,поэтому

<img width=«113» height=«44» src=«ref-1_458555270-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">

 Таким образом,пропуская запись измеренных данных через фильтр с системной функцией <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_458555663-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">,получаем на его выходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего.Этап     продолжение
--PAGE_BREAK--третий:для оценивания СС-параметров применяется процедура,описанная в начале этого раздела.Оценка спектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид :

<img width=«191» height=«49» src=«ref-1_458555895-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">, где

<img width=«47» height=«24» src=«ref-1_458556438-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">— оценка автокорреляции,полученная по фильтрованной последовательности <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_458556694-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

.



1.6.
Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии
.

Оценка спектральной плотности мощности по методу минимума дисперсии не является 

истинной функцией СПМ,поскольку площадь под графиком МД-оценки не характеризует полную мощность измеряемого процесса.Обратное преобразование Фурье,соответствующее МД-оценке,также не совпадает с автокорреляционной последовательностью. Таким образом,МД-оценку можно считать спектральной оценкой в том смысле, что она описывает относительные интенсивности компонент частотного спектра,но не является  оценкой истинной СПМ. Минимальная дисперсия— это характеристика, которая более информативна вблизи начала координат оценки. Она получается посредством минимизации дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра,частотная характеристика которого адаптируется к спектральным компонентам входного процесса на каждой представляющей интерес частоте.

Рассмотрим фильтр с p
+1коэффициентами <img width=«112» height=«27» src=«ref-1_458556911-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">. Выход <img width=«32» height=«23» src=«ref-1_458557229-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">этого фильтра,соответствующий входу <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_458469801-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">,определяется сверткой:

<img width=«145» height=«47» src=«ref-1_458557668-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">

Дисперсия на выходе рассматриваемого фильтра определяется выражением :

<img width=«439» height=«35» src=«ref-1_458558098-765.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">

Коэффициенты фильтра необходимо выбирать таким образом,чтобы на частоте <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_458558863-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> частотная характеристика этого фильтра имела единичный коэффициент усиления.Это ограничение можно записать следующим образом:

<img width=«195» height=«47» src=«ref-1_458559067-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">, где

<img width=«105» height=«97» src=«ref-1_458559572-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">

Отсюда следует,что синусоида с частотой <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_458558863-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">,поданная на вход такого фильтра,пройдет без искажений.Для режекции компонент спектра,удаленных от частоты <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_458558863-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">,необходимо минимизировать дисперсию на выходе рассматриваемого фильтра при последнем ограничении.То есть рассматривается задача условной минимизации:

<img width=«137» height=«44» src=«ref-1_458560427-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"><img width=«81» height=«28» src=«ref-1_458560867-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">

Несложно показать,что при таком ограничении решение по методу минимума дисперсии для коэффициентов фильтра будет удовлетворять уравнению:

<img width=«153» height=«56» src=«ref-1_458561171-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> 

Само значение дисперсии:

<img width=«153» height=«49» src=«ref-1_458561704-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">

Отсюда получается выражение для спектральной оценки минимальной дисперсии:

<img width=«220» height=«49» src=«ref-1_458562144-549.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
1.7.
Методы оценивания частоты
,
основанные на анализе собственных значений
.

1.7.1.
Введение


Ключевой операцией в методах,основанных на анализе собственных значений,является разделение информации,содержащейся в автокорреляционной матрице или матрице данных, на два векторных подпространства — подпространство сигнала и подпространство шума. В этих подпространствах можно определять различные функции от векторов сигнала и шума для получения оценок частоты.Однако этиоценки не сохраняют мощность анализируемого процесса и,следовательно,не являются оценками истинной СПМ.Далее будет рассмотрен метод классификации множественных сигналов.

Основная формула практически всех методов  оценивания частоты,основанных на анализе собственных значений имеет следующий вид:

<img width=«399» height=«47» src=«ref-1_458562693-941.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">,здесь

<img width=«120» height=«21» src=«ref-1_458563634-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">— собственные значения автокорреляционной матрицы,упорядоченные по степени их убывания; главные собственные вектора <img width=«44» height=«32» src=«ref-1_458563956-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310"> (<img width=«69» height=«27» src=«ref-1_458564222-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">),соответствующие собственным значениям <img width=«47» height=«32» src=«ref-1_458564506-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">.На собственные векторы <img width=«61» height=«32» src=«ref-1_458564777-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">  натянуто подпространство шума матрицы <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_458537040-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">и всем им соответствует одно и то же собственное значение <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_458565284-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">. На главные собственные векторы  <img width=«44» height=«32» src=«ref-1_458563956-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">натянуто подпространство сигнала матрицы <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_458537040-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">.

Разложение автокорреляционной матрицы на собственные значения можно двумя способами использовать для получения спектральных оценок или, точнее говоря, улучшенных процедур оценок частоты. Сохранение одной лишь информации,соответствующей собственным векторам пространства сигнала,то есть формирование для матриц <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_458537040-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">аппроксимации пониженного порядка,эффективно способствует увеличению отношения сигнал/шум,поскольку устраняет вклад мощности компонент подпространства шума.Этот факт лежит в основе процедур оценок частоты главных компонент (подпространства сигнала). Свойство инвариантных прямых подпространств (подпространств шума и сигнала) положено в основу процедур оценок частоты в подпространстве шума.

1.7.2.
Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала
.

1.7.3.
Оценки частоты в пространстве шума
.



Глава
2.
Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа
.

В данной работе математическое моделирование и вычислительные эксперименты преследовали следующие задачи:

1.) Провести сравнительный анализ численных методов спектрального анализа на различных типах тестовых сигналах.

2.) Выявить особенности каждого из методов и на их основе сделать вывод о целесообразности применения того или иного алгоритма в следующих условиях вычислительного эксперимента:

2.0.) Тест-сигнал состоит из смеси комплексных синусоид и шумовых процессов (белых шумов, пропущенных через фильтры с частотными характеристиками типа приподнятого косинуса) (используем для проверки способности метода к сохранению «достоверности»формы спектра)

2.1.) Несколько комплексных синусоид,присутствующие в анализируемом сигнале,  имеют близкие частоты (этот тип тестовых сигналов используем для получения предельной разрешающей способности по частоте)

2.2.) В сигнале присутствуют слабые синусоидальные составляющие на фоне сильных шумовых процессов(анализируем способность спектральных оценок обеспечивать обнаружение слабых компонент сигнала).

2.3.) Проводим серию испытаний с одним методом и формируем при этом различные реализации процесса(здесь анализируем качество оценки СПМ, рассматриваемое  как функция дисперсии оценки,зависящая от частоты;меньшим значениям функции соответствует лучшая оценка на заданной частоте).Здесь же вводится в рассмотрение равномерный критерий оценки качества получаемых оценок СПМ и на основе его делается вывод о наилучшем методе в рамках своего класса и,вообще,о лучшем из всех исследованныхв рамках данной работы.

2.4.) Для вычислительных схем функционирующих в реальном масштабе времени проводим серию экспериментов,направленных на выявление влияния   значений параметров на структурную устойчивость алгоритма.

2.5.) Серия экспериментов,направленных на решение вопроса о  выборе значений параметров в параметрических методах оценки СПМ(выбор порядка в авторегрессионном  методе и методе авторегрессии-скользящего среднего, а также порядок модели линейного предсказания в ковариационном методе;шаг адаптации в адаптивном авторегрессионном алгоритме; действительный весовой множитель в рекурсивном алгоритме наименьших квадратов;количество главных собственных векторов, отвечающих подпространству сигнала в методе,основанном на собственных значениях;тип окна в классических методах спектрального анализа).
Сохранение «достоверности»формы спектра — одно из свойств,которое присуще практически всем исследованным методам.Однако меру«достоверности»сложно определить аналитически и затем количественно для каждого из методов,поэтому «достоверность»относится к числу субъективных критериев качества получаемых оценок и основным подходом к сравнению алгоритмов является визуальное сравнение получаемых оценок с истинным априорно известным спектром тест-сигнала.Результаты сравнения полученных каждым из исследованных методов оценок приведены в приложенииC.
Максимально допустимое разрешение оценки СПМ для всех рассмотренных методов приведены в приложенииD.Как и следовало ожидать наилучшими в смысле спектрального разрешения являются альтернативные неклассические методы. Основной недостаток классических методов заключается в искажающем воздействии какого бы то ни было взвешивающего окна.Апсевдоусреднение  по ансамблю за счет сегментации данных приводит к еще более худшему разрешению(приложение D
график N).Отэтого недостатка свободны все остальные взятые в рассмотрение методы.Однако в случае авторегрессионных методов увеличение порядка модели наряду с улучшением разрешающей способности приводит к эффекту появления ложного спектрального пика или к расщеплению спектральной линии (что продемонстрировано на графике N
приложения D).Оценки по методу минимума дисперсии и оценки, полученные авторегрессионными методам, связаны некоторыми соотношениями,поэтому эти же эффекты присутствуют и в МД-оценках.В случае алгоритмов, основанных на сингулярном разложении матрицы данных,значительные ложные пики также имеют место при увеличении порядка модели.    
Практически все методы позволяют экспериментально обнаружить слабые синусоидальные составляющие.В таблице приложения Е приведены максимально допустимое соотношение сигнал/шум для всех методов,при котором еще возможно обнаружить составляющие сигнала, а также графики, иллюстрирующие результаты исследования.
Приложение F
включает в себя получение и исследование дисперсии оценок СПМ как функции частоты.
Выбор правильных параметров в методах,функционирующих в реальном масштабе времени сопряжен со значительными трудностями.С одной стороны,если рассматривать градиентный адаптивный авторегрессионный метод,выбор большего параметра адаптации приводит к улучшению разрешающей способности и к увеличению «достоверности»спектра, с другой стороны это приводит к возрастанию структурной неустойчивости всей вычислительной схемы,а на больших порядках модели,вообще,к разрушению алгоритма.В эксперименте с аудио сигналом для каждого представления отсчетов (под представлением понимается следующий набор установок: частота дискретизациииз диапазона 8 Кгц. — 44Кгц.,количество каналов— 1 (моно)/ 2(стерео), количество битов на отсчет8 бит/16 бит ) и для каждого набора параметров схемы,осуществляющей сбор данных в реальном масштабе времени (количество (значения из диапазона : 3,...,128) и длина буферных областей задержек данных на входе и выходе (значения из диапазона : 256,...,16384 отчета)) было выбрано компромиссное решение.Результаты приведены в приложении G
.   
Поскольку наилучшее значение порядка фильтра в авторегрессионной модели,как правило,не известно,на практике приходится испытывать несколько порядков моделей.Базируясь на этом,вводят тот или иной критерий ошибки,по которому затем определяем требуемый порядок модели.Если порядок модели выбран слишком  малым,получаются сильно сглаженные спектральные оценки, если излишне большим — увеличивается разрешение,но в оценке появляются ложные спектральные пики.Таким образом,применительно к авторегрессионному спектральному оцениванию  выбор порядка моделей эквивалентен компромиссу между разрешением и величиной дисперсии для классических методов спектрального оценивания. Очевидно,что следует увеличивать порядок АР-модели до тех пор, пока вычисляемая ошибка предсказания не достигнет минимума.Однаково всех исследованных методах оценка дисперсии монотонно уменьшается с увеличением порядка модели.Следовательно,одной дисперсии обычно не достаточно для того, чтобы определить момент окончания процедуры изменения порядка.

Для выбора порядка АР-модели предложено много различных критериев — своего рода целевых функций.Рассмотрим некоторые из них.Первый критерий называется окончательная ошибка предсказания(ООП). Согласно этому критерию,выбор порядка осуществляется таким образом, чтобы минимизировать среднюю дисперсию ошибки на каждом шагу предсказания.

<img width=«185» height=«56» src=«ref-1_458566180-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">, где   

N— число отсчетов данных, p-порядок АР-процесса и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_458566714-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">  — оценочное значение дисперсии белого шума (которая будет использоваться в качестве ошибки линейного предсказания).Выбирается такое значение порядка,при котором величина ООП минимальна.Однако использование этого и последующих критериев дает отличные результаты только  для идеальных авторегрессионных процессов,а в случае реальных данных результат оказывается сильно заниженным.

Вторым критерием,основанным на методике максимального правдоподобия является информационный критерий Акаике(
он представляет исключительно теоретический интерес
,
а на практике используется как нижняя граница порядка модели
)  

<img width=«165» height=«32» src=«ref-1_458566921-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">


На практике обычно порядок модели выбирают в интервале от N
/3
до
N
/2где N
-длина обрабатываемой последовательности отсчетов. В приложении Н приведены графики оценок СПМ,полученных при различных значениях порядка модели.

 

Особенности реализации

Для решения поставленных задач был разработан и реализован язык проектирования алгоритмов,включающий в себя средства межзадачного обмена данными,то есть построение распределенных по процессам вычислительных алгоритмов,определенные части которого исполняются параллельно несколькими процессам.Дальнейшим развитием этого подхода является построение сетевых распределенных  схем алгоритмов.Существует большое количество приложений этого подхода.

Заключение

В данной работе :

1.   Tеоретическипроанализированы  методы спектрального анализа,а также возможность применения этих методов в современных вычислительных системах для обработки данных в  реальном масштабе времени.

2.   Получены результаты поставленных экспериментов и на их основе выбран наиболее подходящий метод оценивания спектральной плотности мощности в аддитивной смеси комплексных синусоид и окрашенного стационарного шумового процессадля каждого из типов экспериментов, сформулированных в разделе экспериментальных результатов.

    продолжение
--PAGE_BREAK--