Реферат: Теорема Котельникова Побудова ортонормованого базису

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра радіотехніки

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з курсу «Сигнали та процеси»

Варіант № 9

Черкаси 2010

Варіант 9

Теорема Котельникова. Побудова ортонормованого базису

Теорема Котельникова (у англомовній літературі — теорема Найквіста — Шенона) свідчить, що, якщо аналоговий сигнал />має обмежений спектр, то він може бути відновлений однозначно і без втрат по своїх дискретних відліках, узятих з частотою більш подвоєної максимальної частоти спектру />:

/>

де /> - верхня частота в спектрі, або (формулюючи по-іншому) по відліках, узятих з періодом />, частіше за напівперіод максимальної частоти спектру />

/>

Пояснення:

Таке трактування розглядає ідеальний випадок, коли сигнал почався нескінченно давно і ніколи не закінчиться, а також не має в тимчасовій характеристиці точок розриву. Саме це має на увазі поняття «спектр, обмежений частотою />».

Зрозуміло, реальні сигнали (наприклад, звук на цифровому носієві) не володіють такими властивостями, оскільки вони кінцеві за часом і, зазвичай, мають в тимчасовій характеристиці розриви. Відповідно, їх спектр безконечний. В такому разі повне відновлення сигналу неможливе і з теореми Котельникова витікають 2 слідства:

Будь-який аналоговий сигнал може бути відновлений з якою завгодно точністю по своїх дискретних відліках, узятих з частотою

/>

де /> - максимальна частота, якою обмежений спектр реального сигналу.

2. Якщо максимальна частота в сигналі перевищує половину частоти переривання, то способи відновити сигнал з дискретного в аналоговий без спотворень не існує.

Кажучи ширше, теорема Котельникова стверджує, що безперервний сигнал />можна представити у вигляді інтерполяційного ряду

/>

де /> - Інтервал дискретизації задовольняє обмеженням />Миттєві значення даного ряду є дискретні відліки сигналу />.

Згодом було запропоновано велике число різних способів апроксимації сигналів з обмеженим спектром, узагальнювальних теорему відліків. Так, замість кардинального ряду по sinc-функціям, що є характеристичними функціями прямокутних імпульсів, можна використовувати ряди по конечно або бесконечнократним сверткам sinc-функцій.

Наприклад, справедливо наступне узагальнення ряду Котельникова безперервної функції />з фінітним спектром />на основі перетворень Фур'є атомарних функцій:

/>

де параметри />задовольняють нерівності />, а інтервал дискретизації

/>

З неперервного сигналу s(t) = 10cos(2π800t)В беруться ідеальні відліки з частотою fВ = 400Гц. Отримані дискретні сигнали пропускаються через ідеальний ФНЧ з частотою зрізу 0,4fВ. Необхідно визначити сигнал, відновлений за допомогою фільтрації

/>

Схема включення ФНЧ (рис. 1).

/>

Рисунок 1 — Сигнал s(t) = 10cos(2π800t) В

/>

Рисунок 2 – Гармоніка

Балансна амплітудна модуляція

У амплітудно-модульованому (АМ) сигналі:

/>

значна доля потужності зосереджена в несучому коливанні />

Для ефективнішого використання потужності передавача можна формувати Ам-сигнали з пригніченим несучим коливанням, реалізовуючи так звану балансну амплітудну модуляцію (рис. 3).

/>

Рис. 3

Однотональний Ам-сигнал з балансною модуляцією має вигляд:

/>

Такий сигнал з фізичної точки зору є биттям двох гармонійних сигналів з однаковими амплітудами і частотами /> />і />Під час переходу тієї, що огинає биття через нуль фаза високочастотного заповнення стрибком змінюється на 180о, оскільки функція />має різні знаки справа і зліва від нуля. Здійснення балансної модуляції, як і зворотного процесу демодуляції (детектування), технічно складніше, ніж при звичайній амплітудній модуляції.

Задані параметри коливання з односмуговою АМ: А0= 25 В, Е = 1,5 В, θ0= π/4, γ = π/3, f0= 20 кГц, F = 4 кГц. Записати вираз для аналітичного сигналу і комплексної обвідної заданого коливання

uΩ(t)= UΩsinΩt

u(t) = Uωsinω0t + m Uω/2 sin(ω0+ Ω) t+ m Uω/2 sin(ω0— Ω) t

u(t) = (Uω + UΩ sinΩt) sinω0t

u(t) = (А0+ Еsin(f0t+ θ0) )sin (F t + γ ) =(25 + 1,5sin(20 t + π/4) )sin (2 t + π/3).